（应用数学专业论文）广义sin1x连续统上连续自映射周期轨的稳定性.pdf

摘要 l b l o c k 于1 9 8 1 年证明了区间映射的周期轨具有稳定性即对于任一闭区间， 上连续映射厂：，斗，如果，有一n 一周期轨则存在，在c ( z ，i ) 中的一个邻城 u ，使得对于任意g u 及任意在s a r k o v s k i i 序中居于h 的右边的正整数m ，g 有一。一周期轨本文证明了广义s i n i 一连续统上任一连续自的周期轨也具有稳 x 定性 关键词：s i n 三一连续统，s a r k o v s k i i 空间，周期轨的稳定性 x a b s r t r a c t t h e s t a b i l i t yo f p e r i o d i co r b i t so fs e l f - m a p so nac l o s e d ，b o u n d e d i n t e r v a lw a s p r o v e nb yl b l o c k i n1 9 8 1 i tm e a n st h a t ，f o ra n yc o n t i n u o u ss e l f - m a p f o na c l o s e di n t e r v a l1w i t hap e r i o d i co r b i to fp e r i o dn ，t h e r ei sn e i g h b o r h o o du o f f i n c ( i ，i ) s u c ht h a tf o re v e r yg u a n de v e r yp o s i t i o ni n t e g e rm 、v i mt ot h er i g h to f , i nt h es a r k o v s k i io r d e r i n g ，gh a sap e r i o d i co r b i to f p e r i o dm i nt h i sp a p e r ，t h e 1 s t a b i l i t y o fp e r i o d i co r b i t so f s e l f - m a p s o na g e n e r a l i z e d s i n 二一c o n t i n u u mi s o b t a i n e d k e y w o r d s ：s i n 三一c 。n t i n u u m ，s a r k 。v s k i i ，s s p a c e ，s t a b i l i t y 。f p e r i 。d i c 。r b i t s x 广义。i 。一1 一连续统上连续自映射周期轨的稳定性 x 序言 1 9 6 4 年，乌克兰数学家s a r k o v s k i i 给出了自然数集合上的一个序( 俗称为 s a r k o v s k i i 序) ： 3 司5 司7 司司2 3 司2 5 司2 7q 司23 司2 2 q2 司1 ： 籍此，s a r k o v s k i i 对于线段上连续自映射的周期制约关系给出了一个令世人瞩目 的刻画：如果厂：，专，是线段i 上连续自映射，并且，_ 具有周期为m 的周期 点那么，厂必具有按s a r k o v s k i i 序排在m 之后的一切自然数为周期的周期点这 就是著名的s a r k o v s k i i 定理 5 ，6 】1 9 8 9 年，m i n c 和t r a n s u e 证明了对于遗传可 分解可链连续统上的连续自映射，s a r k o v s k i i 定理的相应结论仍然成立 2 1 9 9 6 年，熊金城、叶向东等人又将s a r k o v s k i i 定理推广到了华沙圈上8 1 与周期制约关系密切相关的另一动力学问题是所谓的周期轨的稳定性问 题粗略地说，这里“周期轨的稳定性”是指：对于拓扑空间x 上连续自映射， 如果，满足相应的s a r k o v s k i i 定理的结论并且f 具有一个周期为m 的周期点，那 么，与，充分“接近”的映射g 也定有按s a r k o v s k i i 序排在m 之后的一切自然 数为周期的周期点 1 9 8 1 年，b l o c k 在文 1 中证明了闭区问，上连续自映射的周期轨具有稳定 性1 9 9 9 年，文 9 证明了华沙圈上连续满射的周期轨也具有稳定性一个自然 的问题是：遗传可分解可链连续统上连续自映射是否具有周期轨的稳定性? 本文 主要对一+ 类拓扑结构较为简单的遗传可分解可链连续统上连续自映射讨论了周 1 期轨的稳定性问题对一类阶为二的遗传可分解可链连续统，引入了广义s i n 三一 工 1 连续统的定义，并通过讨论该连续统上周期轨的位置，证明了广义s i n 二连续统 x 上连续自映射的周期轨具有稳定性 本文的内容安排如下： 第一节介绍遗传可分解可链连续统的阶和序及其相关性质：第二节介绍遗传 1 可分解可链连续统上的s a r k o v s k i i 定理：第三节给出广义s i n 二一连续统的定义， x 并且证明该连续统上连续自映射的周期轨具有稳定性 1 遗传可分解可链连续统的阶和序及其相关性质 1 1 遗传可分解可链连续统及其性质 j 称为连续统，如果它是一连通紧致度量空间如果连续统的一个子集其 自身也是一个连续统，则称它为j 的子连续统连续统j 称为可分解( 不可分解) 的，如果x 可以( 不可以) 表示成它的两个真子连续统的并集连续统j 称为遗 传可分解的，如果j 每一个子连续统是可分解的连续统j 称为可链的或者类弧 的，如果对于任意s 0 ，存在一个连续映射f ：x 斗 o ，1 】使得对于任意 x x ，1 ( 正( x ) ) 的直径d i a m 1 ( 正( j ) ) s 令j 是一个连续统，a c x ，称连续统j 关于集合a 不可约，如果j 没有包 含a 的真子连续统特别，如果存在a b x ，使得j 关于 a , b ) 不可约，则 称爿是不可约连续统此时，也称爿关于两点口，b 不可约可链连续统与不可约 连续统有下列基本性质： 性质1 。1 3 可链连续统的任一非退化子连续统都是可链的 性质1 2 3 任一可链连续统都是不可约的，并且是遗传不可约的 但是不可约连续统却并不一定是可链的另外，可链连续统也并不一定是可分 解的；可分解连续统也并不一定是可链的对于不可约连续统，有： 性质1 3 3 令j 是一个连续统，acx 是一个闭子集，则存在j 一个子连 续统x 。，使得x 。关于爿不可约 对于遗传可分解不可约连续统，k u r a t o w s k i 在文献 4 阐述了它的一个重要 性质： 性质1 4 令j 是一个遗传可分解连续统，且关于其上两点a ，b 不可约那 么存在一个到单位区间 o ，1 的连续满射g ：x 呻 0 ，1 ，使得 a g “( 0 ) ，b g 。( 1 ) ，并且对每一个，【o ，1 ，g “( f ) 为，r 的一个极大无处稠密的子 连续统 性质1 4 中的映射g 称为上的一个k u r a t o w s k i 函数对于任意 f o ，1 】，g “【t ) 称为i i 一个层g 。( 0 ) 和g 。1 ( 1 ) 称为的端点层：当，( o ，1 ) 时， g 。1 ( ，) 称r 的内点层我们用【x ，】表示关于 z ，y ) 不可约的子连续统，用( z ，y ) 表 示ky 1 减去其端点层由文献 7 可知 性质1 5 设j 是遗传町分解可链连续统，x ，y x 那么k y 】是唯一的 文献 2 给出了遗传可分解可链连续统的两个非常好的性质： 引理1 6 令j 与，是遗传可分解可链连续统厂：工- - - ) y 是连续满射，a ， 占是的端点层，d a b b ，c y 如果c ( 厂( 盯) ，l 厂( 6 ) ) ，那么或者存在 r ( d ，b ) 使得f ( t ) = c ，或者【，) ，厂( 6 ) 】cf ( a ) nf ( b ) 引理l - 7 令j 是一个遗传可分解可链连续统，一是j 的9 个端点层如 果存在n a ，b a r g ：【口，b 寸x 连续，使得g ( a ) a ，g ( b ) a 那么存在 c 【d ，b 卜a ，使g ( c ) = c 1 2 遗传可分解可链连续统的阶与序 令j 是遗传可分解可链连续统定义x 。= 工) ，对于序数口= + 1 ，丸。是由 氕口的退化元和氕口非退化元的层组成的集合；如果旺是极限序数，令 氕。= n p 。d 口id 口羌口) ，我们把艽。叫做连续统爿的第口层，用茏表示丸。的所 有非退化元素所构成的集合，对于每一x x ，用d o ( x ) 表示气。中包含的元由 文献 1 0 可知 引理1 8 设是一个遗传可分解可链连续统，则存在一个可数序数f ，使 得对于任意x x ，有d ，( x ) = x ) 称使得引理1 8 成立的最小序数r 为的阶对于一个序数口，称函数 g 。：z 一【o ，1 】为o r 一函数，如果对于任意d 丸少，g 。i d 是一个k u r a t o w s k i 函 数由定义可知，g 。并不唯一，对于x ，如果g 。( t ) = r ，令 ( 善) = g 。1 ( 【o ，f ) ) n 坟( x ) ： d 1 ( x ) = g 。1 ( ( f ，1 ) n 见( x ) ； s ， ，x ) = u 口；。，( x ) ，f = o ，1 这样，我们构造一集族 = g a ) ，其中g 。是口一函数，使得对每个 口r ，x x ，及i = 0 ，i ，s ，似，x ) n d n ( x ) 是连通的 令g o 是的一个k u r a t o w s m 函数对于给定的某一序数口，假定对于小于 口的序数卢，一个卢一函数已构造成，使得对每一个 j 口，x x ，及 f _ o ，1 ，e ( 占，x ) n d p ( x ) 是连通的下面我们对每一一个d 羌。构造g 。， 如果口= 卢+ 1 ， 对于某一x d ， 令品( d ) = f l o ( z ) n d ， 3 ( d ) = 万丽n d 有s o ( d ) 与s ( d ) 与d 中z 的选择无关可以证明 d = s o ( d ) u s ，( d ) 又注意到s o ( d ) 与s ( d ) 不分离d 定义在d 上的一个 k u r a t o w s k i 函数如，使得05 乳( 氐( d ) ) ，le ( s ( d ) ) 那么这个满足所需 的性质 如果口是极限序数，i = 0 , 1 ，注意到s i ( 占，x ) n d 。( x ) 与d 中x 的选择无关令 s 。( ，d ) = 岛( x ) n ( u 置( 万，x ) ) ，有s ( ，d ) 是连通的， 并目 j ( 口 d c s o ( f l ，d ) u s 。( ，d ) 注意到d 一瓯( ，d ) 与d s ( ，d ) 不分离d ，记 s ( d ) = n s ( ，d ) ，有d = & ( d ) u s ；( d ) 定义在d 上的一个k u r a t o w s k i 函 口 。 数g 。，使得0 g 。( 氐( d ) ) ，l 乳( & ( d ) ) 那么这个满足所需的性质 这样，我们可以用集 = g 。 ，其中g 。是一个口一函数，来确定遗传可分 解可链连续统x 的一个全序”一。： 令口，be j ，口是使得乳( a ) 如( 6 ) 第一个序数如果乳( d ) g 。( 6 ) ，我们就称 a 一 b 否则就称a 卜b 令爿，b c x ，如果对于任意日a ，b b 有口_ 6 ( “卜b ) ， 则称a _ b ) 如果对于任意a a ，有a _ 占或者a b 则称爿铂 需要注意的是，由于自不唯一，所以j 的全序不唯一在本文中，我们假定 中的一个全序已经给定。由集族壳的构造过程可以得到 引理1 9 如果a c b ，那么有c k b 2 遗传可分解可链连续统上的s a r k o v s k ii 定理 2 1 遗传可分解可链连续统上的s a r k o v s k ii 定理 本章主要介绍遗传可分解可链连续统上的s a r k o v s k i i 定理以及闭区间上连 续自映射周期点的稳定性 设爿是遗传可分解可链连续统用c ( x ，x ) 表示上连续自映射的全体在 c ( x ，x ) 上引入度量 d ( f ，g ) = s u p i f ( x ) 一g ( x ) jv f ，g c ( x x ) 则c ( x ，x ) 关于度量d 构成紧致度量空间 对于厂c ( x ，x ) 定义，o = i d ，对于 n ，f “= f 。f ”1 称点x x 叫 做厂的个周期点，如果f ”( x ) = x 此时，我们称使得f ”( x ) = x 成立的最小的 自然数n 为点x 的周期对于x x ，我们把o r b ( x ，厂) = x ，厂( x ) ，厂2 ( x ) ，) 叫做 x 在厂下的轨道，用a 山口表示f ( a ) b ，其中厂c ( x ，x ) ，a ，b x 我 们首先给出一个在证明遗传可分解可链连续统上的s a r k o v s k i i 定理中起到非常 重要作用的定义 定义2 1 令o r b ( x ，f ) = x ，x ：，x 。) 是，的一个n 周期轨，其中 x i ，x 2 ，一x 是按j 的递增序排列 假设是j 的一个子连续统，。，是，的两 个端点层称，是周期轨o r b ( x ，厂) 的中心，如果 ( 1 ) 存在x ，o ，x ，i i ，使得 z ，( x ，) 型。，且f ( x ，) 三，1 ： ( 2 ) 一( ，o u ，) 不含有o r b ( x ，f ) 中的点： ( 3 )，是满足( 1 ) ，( 2 ) 的最大连续统 根据周期轨的中心的定义，很容易证明，任周期轨都有一个中心文献 2 还给出以下两个结论 引理2 1 令= x ，x ， 是o r b ( x ，f ) 的中心令j x 是一个连续统， k 1 如果 ( 1 ) j = 眇，z ，y ，z o r b ( x ，) ，且y ，z ，( z ) 在( x ，x j ) 的同一侧，但厂( y ) 在另一侧； ( 2 ) j c f 。f ，) 那么，对于某一奇数m ，存在一个m 一周期点( 】t m + 2 ) 引理2 2f ec ( x ，x ) f 有一 一周期轨，n 为奇数，且，没有比n 小的 奇周期轨若是诸 中按上的序由小到大排列时正中间的一个则下列两 种情形必居其一： ( 1 )x 。1 x 2 x o _ 1 一 x n - 2 ， ( 2 ) x 。一2 _ z o - kz 2 _ 0 ，可以证明存在从x 。 到 0 ，1 的f 一映射所以x 。是一个遗传可分解可链连续统，据定理2 1 ，因 此是一个s a r k o v s k ii 空间 对，中的每一s ，作平行于 ，( f ，) 的投影映射，再把所得像集线形地映到 【o 1 上，这两个映射的复合就是一个从z 。到 0 , 1 的k u r a t o w s k i 函数由层的定 义可知，x 。的第一层的非退化元素之集合恰由m + 1 个同胚于 0 ，1 的道路连通 分支所构成注意到闭区间 0 ，1 的每一个层都是单点集，故对于任意x x 。， 有d ，( x ) = z 故x 。的阶为2 引理3 2 设f ：x ，呻x ，是连续满射，b ，d l ，d ，及c 1 ，c ! ，c ，分别是 m 工，的所有闭道路连通分支及所有开道连通分支记d = u d ，c = u c ，那么 ，( d ) = d 且f ( c ) = c 进一步，诱导x 。的闭道路连通分支问的一个置换 厶： d o ，d ，d 。，) 斗 d o ，d l ，一，d 。) ，及x ，的开道路连通分支间的一个置换 ： c 1 ，c 2 ，c 。) 4 c l ，c 2 ，c 。 证明因为厂是连续满射，那么x ，的每一道路连通分支的像必覆盖一个且 仅覆盖一个道路连通分支注意到d ，为x 。的紧子集，而每个c ，是非紧的故每 一个d ，的像不会覆盖c ，由于，满射，那么d ，d ，蕴涵着f ( d ，) e 5 f ( d ，) = 从 而f ( d ) = d 相似的讨论可得到f ( c ) = c 进一步，厂诱导 d o ，d 一，d 。) 上 的一个置换) ，满足厂，( d ，) = d ：铮，( 口) = d 及一个 c 。，c ：，c ，) 上的置换f ， 满足厶( c ，) = c ，铮，( c ，) = c ， 11 由于广义s i n 三一连续统的阶为2 我们依照如下方式在广义s i n z 一连续统 x 。上引入全序”一：记g 为爿。上的一个k u r a t o w s k i 函数，对于任意两相异点 d ，b ，如果g ( d ) g ( b ) ，规定a b ：如果g ( a ) = g ( b ) = t 。，则考虑定义在子 连续统g “( f 。) 上的k u r a t o w s k i i 函数g 。：g “( t o ) 斗 o ，1 】注意到g 。( ) 的每一 层由单点集合构成( 因为x 。的每一非退化极大无处稠密的子连续统恰为某 d ，) 从而g 0 ( a ) g ，。( b ) 因此，我们可依照9 1 0 ( a ) 与g 。( b ) 的大小关系规定a 与b 的序关系，即如果g “( a ) g “( b ) ，规定a b 否则，规定d 卜b 引理3 3 设厂：x ，斗，为连续满射d o ，d 一一，d 。及c 1 ，c 2 ，c 。，分别 是，的所有同胚于 0 ，1 的道路连通分支及所有同胚于( 0 ，1 ) 的道路连通分支， 那么对于每一个d ，k 每- + c ，f a f ( d ，) _ d ，并且厶 矗( c 埘= c ， 证明 假定d ，( 1 ) ，d ，( 2 ) ，d 卅) 为，的，个互不相同的道路连通分支，并且 f ( d 巾) ) = d 巾+ 1 ) ，i = 1 , 2 ，一l 及厂( d ( ，) ) = d 川) 将哆( 1 ) ，d m ) ，d m ) 按肖，上 的序 排列为d f _ d ； - d i ，厂( d ：) _ d ：成 立故存在k 1 ，使得，( d ：) 三d ：。厂( d ：+ ) 璺哦易见，我们只要证明此时必有 f ( d 女) = d k l ，( d k + ) = d t ( jk = 1 ) 假定，( q ) 卜d ：+ ，任取x 。d ：，k + ，哦并以 札，屯+ 】表示关于h 及耳+ ， 不可约的子连续统由于f ( x ) 卜d ：。f ( x 。) d ：那么厂( “，吒+ 。 ) 3 哦+ 且 f ( d 。) u 厂( 域+ ，) n d ：+ 。= 矿由 ，k 。 的连通性及厶为置换知，存在 d p d o ，d ，d ， 使得d ： 3 为奇数，如果f 有k 一周期轨则 存在厂在c ( x ，x ，) 中的一个f 一邻域u 。杪) ，使得对于任一满射ge u 。( 厂) ，g 有( k + 2 ) 周期轨 证明掘定理3 1 每4 奇周期轨必含于工。的某一道路分支，中，且 ( j ) = ，据引理3 4 存在， 0 ，使得对于每一满射g u 。汐) ，有g ( j ) = l ，注 意到了x ，为连续统故c ( x 。，：) 中每一元素都是一致连续的由定理2 3 知， 存在一正数e - c 毛) ，对任意连续满射g u 。( 厂) ，g 有2 - 周期轨 引理3 6设f ：x 。斗x 。为连续满射如果厂有4 一周期轨，则存在厂在 c ( x ，x ，) 中f g - - l s 一邻域u 。驴) ，使得对任一满射g u 。( ，) ，g 有2 - 周期轨 证明设x 。_ x 2 o ，使得刈于每一满劓 g u 。( f ) ，g 有2 一周期轨若该周期轨含于l ，：，那么由引理3 ，3 知， s ( a ) = l ，：，s ( s ：) = j 。由引理3 4 知，存在s ” 0 ，使得对每一满射g u ，( 厂) ， 有g ( j ) = j 2 ，g ( a 2 ) = 由引理3 3 ，l ，j ，或者同时同胚于 0 ，1 或者同时刚胚于( 0 ，1 ) 若j 。t ， 同时同胚于 0 ，1 ，则由g ( j 。) = j 2 及g2 ( ，) = j ，易见，g 由2 一周期轨故 以下设，同时同胚于( 0 ，1 ) 不失于一般性，假定 ，l = k 】u j iu k 2 ，2 = k 3u ，2u k d 且有k 。 i ，i 一 k 2 型3 j 2 k 。 那么， 注意到g 为闭映射，有 g ( d ，) = j ，( ，l i ，2 ) 成立 若k 2 0 ， 由于厂在工，中一致连续，可选取 0 占1 占2 瓦 f 使得对于每一个i = 1 , 2 ，n 一1 ，如果 “，v 工。，d ( “，v ) j ，贝0 d ( 厂( “) ，( v ) ) = z o 令占= i o i 以下证明f 的巧一邻域u 。( 厂) 满足引理要求这是因为对于任意 x x 。，依次有 d ( 厂( x ) ，g ( x ) ) 占 点， d ( f 2 ( x ) ，g2 ( z ) ) d ( f 2 ( x ) ，厂( g ( x ) ) ) + d ( ，( g ( x ) ) ，g2 ( x ) ) 生+ 占 占， 2 ， d ( f “( x ) ，g ”( x ) ) d ( f ”( x ) ，f ( g ”。( x ) ) ) + d ( f ( g ”。( x ) ) ，g ”( x ) ) 冬+ 占 0 ，对于任意g u 。( 厂) ( cc ( x ，x ) ) ，有既u 。( ) 由条件g ， 满，所以卫在y 中有m 一周期点 参考文献 1 b 1 0 c kls t a b l i l i t yo fo r b i t si nt h et h e o r e mo fs a r k o v s k i j p r o c a m e r m a t h s o c ，1 9 8 1 ( 8 1 ) ：3 3 3 3 3 6 2 m i n cp a n dt r a n s u et rr s a r k o v s k i i st h e o r e mf o rh e r e d i t a r i l y d e c o m p o s a b e c h a i n a b l ec o n t i n u a l j j t r a n s a m e r a t h s o c ， 1 9 8 9 ( 3 1 5 ) ：1 73 1 8 8 3 x a d l e rj r s b c o n t i u u mt h e o r y l m j n e wy o r k ：m a r c e ld e k k e ri n c ， 1 9 9 2 4 k u r a t e w s k ik t o p o l o g yv 0 1 i i m n e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s ，1 9 6 8 5 张景中，熊金城函数迭代与一维动力系统 m ，成都：四川教育出版社， 1 9 9 2 6 b 1 0 c kla n dc o p p e dwa d y m a m i e sj no n ed i m e n s i o n l m ，l e c t u r en o t e s i nm a t h e m a t i c s1 5 1 3s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 9 2 7 t o m a sw s j r ，m o n o t o n ed e c o m p o s i t i o no fi r r e d u c i b l ec o n t i n u a j ， r o z p r w y m a t ，1 9 6 0 ( 5 0 ) 8 熊金城，叶向东，张志强，黄骏华沙圈上连续映射的某些动力性质 j