（基础数学专业论文）banach值函数的c积分.pdf

摘要 随着非绝对积分理论研究的不断深入，不断完善，积分理论已经得到了极大 的丰富和发展本文主要研究了b a n a c h 空间中的c 一积分与a p - - h e n s t o c k - - s t i e l t j e s 积分全文共分五章 第一章绪论部分，我们主要介绍了关于原函数还原问题的研究背景和本文的 主要结果 第二章，首先给出了b a n a c h - - 值函数的c 一积分的定义，讨论其基本性质 以及与h e n s t o c k 积分、m c s h a n e 积分之间的关系其次，给出b a n a c h - - 值函数 的强c 一积分的定义，并讨论它与c 一积分之间的关系，考察强c 一积分的原函 数最后，利用c 一变分测度重新刻画了强c 一积分的原函数 第三章，我们研究了c 一积分的d e n j o y 扩张以及c - - d t m f o r d 积分和c p e t t i s 积分的基本性质 第四章，首先给出了b a n a c h - - 值函数的a p - - h e n s t o c k s t i e l t j e s 积分的定义， 讨论其基本性质其次，证明了关于a p h e n s t o c k s t i e l t j e s 积分的等度可积定 理，c a u c h y 扩张定理以及控制收敛定理 第五章，总结了全文的工作，并对将来的研究进行展望 关键词：c 一积分；强c 一积分；原函数；a p h e n s t o c k s t i e l t j e s 积分 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho nn o n - - a b s o l u t ei n t e g r a t i o ni sg e t t i n gf u r t h e rd e e p e ra n dp e r f e c t ， w h i c he n r i c ht h et h e o r yo f i n t e g r a t i o n i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h ec - - i n t e g r a la n d a p - - h e n s t o c k - - s t i e l t j e si n t e g r a lo f b a n a c h - - v a l u e df u n c t i o n s t h i st h e s i si sd i v i d e d i n t of i v ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w em a i n l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do f t h er e s e a r c ho nt h ep r o b l e m o f p r i m i t i v e s ，a n dm a i nr e s u l t so f t h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，w ef i r s t l yd e f i n et h ec - - i n t e g r a lo f b a n a c h - - v a l u e df u n c t i o n s ，a n d t h e nd i s c u s st h eb a s i cp r o p e r t i e so f t h ec - - i n t e g r a la n dt h em l a t i o n sa m o n gt h ec i n t e g r a l ，t h eh e n s t o c ki n t e g r a la n dt h em c s h a n ei n t e g r a l n e x t ，w ed e f i n et h es t r o n g c - - i n t e g r a lo f b a n a c h - - v a l u e df u n c t i o n s d i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e nt h es t r o n gc i n t e g r a la n dt h ec - - i n t e g r a l w ea l s os t u d yt h ep r i m i t i v eo f t h es t r o n gc - - i n t e g r a l f i n a l l y ，w ed e p i c tt h ep r i m i t i v eo f t h es t r o n gc - - i n t e g r a li nt e r m so f t h ec v a r i a t i o n a im e a s u r e s i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ed e n j o ye x t e n s i o no f t h ec - - i n t e g r a la n ds o m e p r o p e r t i e so f t h ec - - d u n f o r di n t e g r a la n dc p e m si n t e g r a l i nc h a p t e r4 ，w ef i r s t l yd e f i n ea n ds m d yt h eb a n a c h - - v a l u e da p - - h e n s t o c k - - s t i e l t j e si n t e g r a l n e x t ，w ep r o v et h ee q u i - - i n t e g r a b i l i t yt h e o r e m ，t h ec a u c h y e x t e n s i o nt h e o r e ma n dt h ed o m i n a i e dc o n v e r g e n c et h e o r e mf o rt h ea p - - h e n s t o c k - - s t i e l t j e si n t e g r a l i nc h a p t e r5 ，w es u mu pt h ew h o l ep a p e ra n dg i v ea v i s t ao f t h ef u t u r ew o r k k e y w o r d s ：c - - i n t e g r a l ；s t r o n gc - - i n t e g r a l ；p r i m i t i v e ；a p - - h e n s t o c k - - s t m t j e s i n t e g r a l 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工 作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。如不实，本人负全部责任。 论文作者c 签名，：形垂姐2 0 0 7 3 月- 日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术 期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或 电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外， 允许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权 河海大学研究生院办理。 论文作者c 签名，：左乓兰址2 。7 年3 月- 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景及现状 由函数f ( x ) 的有限导数f ( 工) 出发，通过积分将其还原，简称为原函数的 还原问题从上个世纪初，这一有关原函数的经典问题就一直被众多数学家关 注众所周知，即使在现代积分论中占统治地位的l e b e s g u e 积分也不能完全解 决原函数的还原问题于是数学家们试图在l e b e s g u e 积分的基础上进行推广， 克服绝对可积性的要求，以扩大可积函数范围在这一过程中，多种形式的非 绝对积分理论随之产生 1 9 1 2 年，法国数学家a d e n j o y 在【l 】中利用c a u c h y 极限和h a m a c k 扩张 的方法，给出狭义d e n j o y 积分的定义，即：实值函数厂在【口，b 】上狭义d e n j o y 可积是指：在【口，川上存在a c g 的函数f ( 力，使得f ( 力= f ( x ) 在【口，b 】上几乎 处处成立，并且有( d ) r 触= f ( 6 ) 一f ( 口) 1 9 1 6 年，a d e n j 。y 在【2 】中又给 出一种不仅可以还原导数函数还可以还原近似导数函数的积分，称之为广义 d e n j o y 积分定义如下：实值函数，在【口，6 】上广义d e n j o y 可积是指：在 口，b 】 上存在a c g 的函数f ( x ) ，使得兄( x ) = f ( x ) 在【a , b 】上几乎处处成立，并且有 ( d ) e f d x = f ( 6 ) 一，( 口) 1 9 1 4 年，德国数学家o p e 盯o n 在【3 】中利用损函数和益函数，引入一种新 的积分，该积分也解决了原函数的还原问题，称之为p e r r o n 积分 1 9 2 1 年，p a 1 e x a n d r o f f 和h l o o m r l l 在【4 】、【5 】中各自独立证明狭义 d e n j o y 积分与p e r r o n 积分等价因此，人们习惯称之为d e n j o y - - p e r r o n 积分 1 9 3 1 年，j c b u r k i u 在【6 】中通过引入近似损函数和近似益函数的概念， 定义了一种可以还原近似导数函数的积分，将其称为近似连续p e r r o n 积分，简 记为a p - - p e r r o n 积分相关研究见【7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 】 尽管d e n j o y - - p e r r o n 积分扩大了可积函数的范围，但是它们的定义太复 杂，又没有较好的收敛定理，因此人们试图寻找一种表达精炼，性质完善的新 型积分直到1 9 5 7 年，捷克数学家j k u r z w e i l 在 1 4 1 中给出一种r i e m a n n 型 的非绝对积分随后，北爱尔兰数学家r h e n s t o c k 1 5 】独立的给出了相同的积 分定义人们称之为k u r z w e i l - - h e n s t o c k 积分【1 6 - 2 1 i ，或h e n s t o e k - - k u r z w e i l 积 分【2 2 - 3 “，或g a u g e 积分【3 2 h 3 4 1 ，或广义r i e m a n n 积分1 3 5 卅因为当时k u r z w e i l 提出该积分是为了引出广义微分方程的概念并进行相关研究，主要目标并不在 积分理论本身，而h e n s t o e k 则系统的介绍了该积分的基本理论，因此我们将其 称为h e n s t o c k 积分定义如下： 实值函数厂( x ) 在厶上h e n s t o c k 可积是指：存在a r ，对任意占 0 。存在 河海大学硕士学位论文 厶上的正值实函数艿g ) ：，0 寸，对厶上的任意艿一精细h e n s t o c k 划分 d = ( ，考) 乙，：g l s ( f ，d ) - a i 0 ，存在 厶上的正值实函数占g ) ：厶寸r + ，对厶上的任意艿一精细m c s h a l l e 划分 d = ( ( ，专) ) ：，有l s ( d ) 一a i 占 由于用这种方式i j i a l e b e s g u e 积分不再需要抽象的测度理论，使得在积分概 念的教学中，l e b e s g u e 积分的引入更加自然，理解更加容易因此关于m c s h a n e 积分的研究也一直被人们所关注，见【1 3 ，3 l ，3 3 ，3 7 ，4 7 - - 5 3 ，5 s - - 7 2 1 9 8 6 年，m b r u c k n e r ，r j f l e i s s n e r 和j f o r d a n 在【7 3 】中研究了如下 函数 f 1 f ( x ) = 鄹m x 2 【0 o 0 ，存在厶上 的正值实函数占( f ) ：厶专口，对厶上满足条件i = 1c l i s t ( 善, ，) 的任意万一精细 m c s h a n e 翅j ：f d = ( i , ，考) ) 二，有l s ( f ，d ) 一a i 占其中， d i s t ( 考, ，i , ) = i n f l t 一毒l ：f ) 随后b b o n g i o m o 与l d ip i a z z a 以及d p r e i s s 在【7 5 ，7 6 ，7 7 】中研究了关于实 值函数的c 一积分的一些基本性质与基本定理直至1 j 2 0 0 2 年，关于c 一积分的研 究仍然局限于实值函数 1 2 本文的主要研究内容和结论 本文首次把c 一积分的研究由实值函数推广到b a n a c h - - 值函数，并且讨论 了b a n a c h - - 值函数的a p - - h e n s t o c k - - s t i e l t j e s 积分的基本性质与基本定理全 文的具体内容共分五章，概括如下： 在第一章中，阐述了非绝对积分理论，尤其是关于原函数的还原问题的研 究背景、现状及存在的问题，本文研究的背景、意义、内容及创新点 在第二章中，定义了b a n a c h - - 值函数的c 一积分与强c 一积分，研究了相 关的基本性质与基本定理，讨论了关于c 一积分、强c 一积分原函数的性质定 义了c 一变分测度，不仅重新刻画了强c 一积分的原函数，还以此证明了强c 一积分的乘子为有界变差函数主要结果如下： 定理2 1 8 若函数列 以 在厶上c 一等度可积，并且! i m 以( 掌) = 厂( 孝) ，则 f ：l o 寸z 在，0 上c 一可积并且有 磐i m 。j ，。以2j ，。f 定理2 2 2 设j 是有限维的b a n a c h 空间，则f 在厶上强c 一可积的充分 必要条件是厂在厶上c 一可积 河海大学硕士学位论文 定理2 2 5 设函数厂：厶_ x 在，o 上具有s 性质，则，在厶上是强c 一 可积的 定理2 2 1 2 设函数f ：i o x 为，( x ) 在，o 上的原函数八x ) 在厶上是强 c 一可积的充分必要条件是f o ) 在i o - i ：a c o ：，并且f ( 并) = 厂( 功在厶上几乎处 处成立 定理2 3 2 设函数f ：3 x 在厶上几乎处处可导f 是强c 一可积函数厂 的原函数的充分必要条件是c 一变分测度屹，在厶上绝对连续 在第三章中，研究了b a n a e h - - 值函数的c 一积分的d e n j o y 扩张以及c d u n f o r d 积分和c p e t t i s 积分主要结果如下： 定理3 2 7 设z ，f ：l o _ z ， 正 在厶= ，卅上c - p e n i s 可积，并且 满足下列条件： ( 1 ) 正在厶上a e 弱收敛于厂，即对任意的，e x * ，a e 有x 工哼x 厂 ( 2 ) x e ：x + b ( x ) ，盯n 在，o 上一致爿c g ：并且等度连续 则厂在厶上c - - p e t t i s 可积并且鳃忙- x i 1 = o 在第四章中，定义了b a n a c h - - 值函数的a p - - h e n s t o c k - - s t i e l t j e s 积分，证 明了a p - - h e n s t o c k - - s t i e l t j e s 积分的等度可积定理，c a u c h y 扩张定理以及控制 收敛定理主要结果如下： 定理4 2 6i 揪g ：l o _ r 是厶上的增函数并且g c ( 厶) 工：厶一x 在厶上关于函数g 是a p - - h e n s t o c k - - s t i e l t j e s 可积的，并且满足下列条件： ( 1 ) 对所有的x 厶，都有z ( x ) 厂( 力 ( 2 ) 存在实值函数h 在厶上关于函数g 是a p - - h e n s t o c k - - s t i e l t j e s 可积的， 并且对任意的肌，行都有l 一厶忙厅 则，在，0 上关于函数g 是a p - - h e n s t o c k - - s t i e l t j e s 可积的并且有 。j i mj 工农2f , f d g 在第五章中，对本文的工作进行了总结，并对未来的研究工作进行了展望 4 第二章b a n a d r 值函数的c 一积分 第二章b a n a c h - - 值函数的c 一积分 1 9 9 6 年，b b o n g i o m o 首次给出实值函数c 一积分的定义，并且证明c 一 积分是包含l e b e s g u e 积分与n e w t o n 积分的最小积分，并且在 7 4 ，7 5 ，7 6 h b 研究 了实值函数的c 一积分的有关性质本章首次把c 一积分的研究推广到b a n a c h 空间不仅研究了c 一积分，还考察了强c 一积分的有关性质，尤其是关于原 函数的性质，并证明了若干重要定理 本章共分四节，第一节给出c 一积分的定义，证明若干基本定理，随后讨 论c 一积分，h e n s t o c k 积分，m c s h a n e 积分之间的关系第二节定义强c 一积 分，讨论强c - - 可积与s + c 性质的关系，并考察强c 一积分原函数的性质第 三节定义c - - 变分测度，不仅重新刻画了强c - - 积分原函数的性质，还以此证 明强c 一积分的乘予为有界变差函数最后为本章小结 2 1c 一积分的定义和基本性质 在本章，若无特别声明，我们假定x 为实b a n a c h 空间，x 为其对偶空间， 厶为置中的闭区间，占侈) 是定义在厶上的正值实函数，即j ( 善) ：厶斗r + 设 d = ( ，考) = 为厶上的一个划分，其中，l o = u 为了方便，简记为 d = ( ，f ) 如果c ( f 一占( 手) ，善+ 万( 善) ) ，则称d = ( ，f ) ) 为厶上的艿一精细 m c s h a n e 划分如果善i c ( 掌一6 ( 善) ，掌+ 6 ( 孝) ) ，则称d = ( ，善) 为厶上的万一 精细h e n s t o e k 划分如果d = ( ，善) 为厶上的万一精细m c s h a n e 划分，并且满 足栅( f ，) 0 ，存在厶上的正值实函数艿( f ) ：厶寸r + ，对厶上的任意万一精细c 一 划分d = ( ( ，专) ：。，有l l s f ，d ) 一4 0 o ，存在厶 河海大学硕士学位论文 上的正值实函数艿( 善) ：厶哼r + ，对厶上的任意艿一精细c - - 划分d l = ( j ，善) 和 岛= ( ，孝) j ，总有 i i s c r ，d ) 一s ( f ，d ：) i i 占 定理2 1 3 设函数，：厶- + x ，g ：l o - - - x ，则有 ( 1 ) 如果厂在厶上c - - 可积。则，在，o 的任意子区间，上c 一可积 ( 2 ) 如果f 在和厶上均c - - 司积，厶= u 厶且 与厶互不重叠，则f 在，0 上c 一司积，并且有1 1 ，= l t l j 七i l l ， ( 3 ) 如果和g 在- i o 上c - - 可积，口和是任意的两个实数，则口厂+ g 在 l 。上c 一司积，并且甫l t ，+ f i g ) = a l 。，+ p l i ， 定理2 1 4 设函数厂：厶_ x ，g ：l o _ x ，则有 ( 1 ) 如果在，o 上几乎处处有厂= 口，则厂在厶上c 一可积并且有，= 0 ( 2 ) 如果，在厶上c - - 可积并且在厶上几乎处处有，= g ，则g 在厶上c 一 可积并且有l 厂= l g 证明( 1 ) 设e 为厂在厶上不为零的点的集合，l l p e = 善厶：厂( f ) o ) 令 日= f f l o ：n l l i 厂( 善) i i 月) ，拧= l ，2 ”j ，则e = u ec 厶显然卢( e ) = 0 ，从 而存在开集qc 厶，使得er - q 并且4 g ) 鼍当掌i o e 时，取 h ， 占( ，) = 1 ，当f q 时，取艿( 善) = 磊( 掌) ，此时占( 善，磊( 乒) ) c q 从而对厶上的任 意占一精细c 一戈1 ：f f f d = ( ，考) ) ：，有下面的不等式成立 l 陲，皓，0 s0 砉，= 1 艺t ，e e , 厂c 专小1 9 爿壶阍1 1 , 1 0 争鹏， 0 ，存在，o 上的正值实函数占售) ：厶专r + ，对，o 上的任意万一精细c - - 划分。= ( l f ) ) ，有忙( d ) 一f 。f 0 ，仔征瓯( ；) d ( 毒) ，便得珂仕葸阳以一干荐鹭l i 划于以。 ( i ，磊) j 伺r 瓦 成立 8 s ( f 一k s 卫r + l ，其中，2 ， 令d o = d + d l + d 2 + + d ，则d o 构成厶上的一个万一精细c 一划分则 i i s ( ，d o ) 一厂8 = 8 s ，d ，) + 喜s ( ，q ) 一l ，l 因此 8 s c 。，一喜l 哆，0 = 0 s c 厂，d o ) 一喜s c 厂，q ，一c 0 ，一喜l 。厂，4 l l s c ，d o ) 一j ：厂0 + 喜4 s c 厂，砬，一j ：，。刈 ，者 o ，存在，o 上的正值实函数 每( 孝) ：i , - + r + ，对厶上任意艿一精细c 一划分d = ( ，善) ) ，：1 6 l l s ( f ，d ) 一l 州 o ， 存在，o 上的正值实函数占( f ) ：厶一r + ，对厶上的任意万一精细c 一划分 d = ( ，善) ，有f f s u ，d ) 一l 卅 0 ，存在厶上的正值实函数占g ) ：厶寸，对，o 上的任意 j 一精细c - - 划g d = ( ，专) ：，对所有的七都有 0 s ( l 埘一酬 o ，存在厶上的正值实 函数占( 参) ：厶斗r + ，对厶上的任意万一精细c - j o 9 d = ( ，专) ) ：。，对所有的七 都有 l i s ( c , ，d ) 一圳 n o 时有 第二章b m a c i r 值函数的c 一积分 4 联兀，d ) 一 d ) 8 0 时，进一步得到 i l 一l 正8 8 s ( 厂，d ) 一l 以8 + l s ( d ) 一l 石l 忙，d ) 一s ( f ，d ) i i + s ( a ，d ) _ l | i + o s ( 一，d ) 一s ( f , d ) o + 9 s ( 正，d ) 一l 石l 膨时，有恤。以一4 0 m 使得 i i s ( i ，d ) 一双 d ) j i s 最后得到 i i s ( ，d ) 一彳0 肛，d ) 一s ( l ，d ) | | + 0 s ( l ，d ) 一l l 0 + l l 以一爿0 0 ，存在，0 上的正值 实函数艿( 孝) ：厶寸，对厶上的任意万一精细c 一划分d = ( ，卣) ) ，都有 s ( f ，d ) 一川 晶 i p ( x + ，d ) 一x q , o s ) l 卜0 s ( ，d ) 一l 厂0 0 ，存 在，o 上的正值实函数万( 善) ：厶寸r + ，对，o 上的任意艿一精细c 一划分 d = ( ，当) ) ，都有 k 厂妒驴卅 由h a n a - - b a n a e h 定理进一步得到 0 s ( f ，d ) 一川 0 ，存在，o 上的正值实函数占( f ) ：厶斗r + ，对厶上的任 意万一精细h e n s t o c k ( m c s h a n e ) 划分d = ( ，善) ，有l l s ( f ，d ) 一刎 e 称a 为f 在l 上的h e n s t o c k ( m c s h a n e ) 积分，记为a = ( 日) j l f 或 似= ( 肘) f ，力厂在集合e c 厶上h e n s t o c k ( m c s h a n e ) 可积是指亿在厶上 h e n s t o c k ( m c s 捌1 c ) 可积并且有( ) l 厂尻2 ( 日) 点f ，( ( m ) k ，屁2 ( m ) l ) ， 其中屁是e 上的特征函数类似于c 一积分，定理2 1 2 2 1 9 对h e n s t o c k 积分与m c s h a n e 积分都成立 由定义2 1 1 与定义2 1 1 0 可得下面的定理 定理2 1 1 l 设函数厂：厶一x ( a ) 如果厂在厶上m c s h a n e 可积，则，在厶上c 一可积 ( b ) 如果厂在厶上c 一可积，则厂在厶上h e n s t o e k 可积 但是，必须指出：函数厂在厶上h e n s t o c k 可积不一定c 一可积，厂在厶上 c 一可积也不一定m c s h a n e 可积 例子2 1 1 2 ( a ) 定义函数如下： 埘：卜m 吉一要c o s 圭 。 矧， 【0 x = o 不难得出f ( x ) 的原函数为 即) ；p m 孝 吣“l ， 【0 工= o f ( 功在【o ，1 】上处处可导且p ( 功= ，( x ) ，因此，( x ) 在【o ，1 】上是c 一可积的但 是f ( x ) 在【o ，l 】上并非绝对连续的，因i f s f ( x ) 在【o ，1 】上不是m c s h a n e 可积的 ( b ) 定义函数f ( x ) 如下： 厂( x ，：js ；n 当毒c 。s 专 o x 乳 厂( x ) ： 5 1 n 7 7 c 0 8 7 u 0 ，当( e ) 叩时，有 ( d ) f e f 9 = r 。s 。u 。p 。，1 l x f i ，。s 。u 。p r ，l l x 爿l l i ，o 0 ，存在厶上的正值实函数艿( f ) ：厶_ r + ，对厶上的任意 万一精细c - - 划分d = ( ，善) ，有i ( f ) 1 ，l f ( 删 0 ，存在厶上的正值实函数j ( f ) ：，o r + ，对厶 上的任意j 一精细c 一划分d = ( ，善) ) ，有 x l l s ( f ) l l 一，( 圳i o ，存在厶上的正值实函数正( f ) ：厶寸胄+ ，对厶上 的任意j 一精细c 一划分d = ( ，掌) ) ，有 e g , ( f ) l z l j ：岛| 2 占 令g i ( ，) = f 岛，f ( j ) = i , ，则 f ( d = i , = 喜f g q = 喜( f ) q = 喜g j ( ，) 岛 令6 ( 易= m i n 4 ( f ) ：f = l ，2 ，一) ，则对厶上的任意万一精细c 一划分 d = ( l f ) ) ，有 e i i f ( f 巾”忙降账州_ g ( 啦。 = 降孵加k l i 岛( 掌) m q ( 叫u e1 1 = ( d ) | g f ( f ) m iq ( 驯、。7 j l ”77 l _ 一，l 0 ，1 - 0 ，存在 厶上的正值实函数万( f ) ：o 寸r + ，对厶上的任意万一精细c 一划分 d l = ( ，参) ：和b = ( ，旬) ，总有 z z i i s ( o - s ( ) l l i ，n 三，l 占 定理2 2 5 若函数f ：i o x 在厶上具有s + c 性质，则厂在厶上是强c 一 可积的 证明我们将分两步证明 ( 1 ) 不妨设d l = ( ( ，考) ：。和d 2 = ( ，乞) ) 川n 是0 上的任意占一精细c 一 划分，则有 0 喜g f ) j ，i 一言厂c f ，i ，1 = 9 喜喜厂c 善i s , n l , i 一喜喜c f i s , n l , 1 8 ：性窆( 雕卜形胁i 加圳 z z i i s ( o - l ( ) l l l ，n ，l 0 ，存在厶上的正值实函数 6 侈) ：l 寸r + ，对厶上的任意万一精细c 一划分d l = ( ，专) ) ：。和 d 2 = ( 工，乞) ；- i ，总有 z e i l i ( o - i ) l l i i l l ，i o ，存在，上的正值实函数艿( 善) ：s o r + ，对上 的任意艿，一精细c - - 划分d = ( 上：，f ：) ) ：。，总有 防。i 纠_ f j 十阻鲫i 纠乜叫 三2 m 河海大学硕士学位论文 令d = u d ，显然划分d 构成了h 上的- - + 6 精细c - - 划分，从而 芝0 厂( 砷卜f ( ，) l ：兰0 壹厂( 釉l tn 工：| _ 壹，( n 上： ：兰0 壹( ， ) 一厂( f ：) ) i ，n 三j | + 量【厂( f j ) kn 上：卜f ( n 三：) 】| s z ”z ”p ( f ，) 一s l l i i ，n 肛i ，( f ) 一m ) l - l ，n 肛占 即l ，( x ) i 具有s c 性质从而i 厂( x ) i 在【o ，l 】上是c 一可积的进一步得到八x ) 在 【o ，l 】上是l e b e g u e 可积的事实上，( 砷在【o ，i i 上并非绝对连续的，从而产生 矛盾因此，函数厂( x ) 在【o ，1 】上不具有s c 性质 定义2 2 6 设f ：厶岭x ，e 为厶上的任意一个子集 ( a ) 函数f 称作在e 上弱c 一绝对连续，简称为在e 上+ 爿c ，是指任给 占 0 ，存在叩 o 和正值实函数占( 善1 ：e 斗r + ，对任意的j 一精细部分c 一划分 d = ( ，舌) ，其中磊e ，当1 4 1 0 和正值实i l l 数j ( 善) ：e 斗，对任意的万一精细部分c 一划分 d = ( ，毒) ) ，其中专e ，当k i 0 和正值实函数艿( a ：e 寸r + ，对任意的占一精细部分c 一划 分d = ( ，磊) ) ，其中缶e ，当。i s , i 玎时，有。r o ( f ，) 0 ， 存在，o _ k i l t 值实函数占( 善) ：厶斗r + ，对厶上的任意万一精细部分c 一划分 d = 专) ：。，硎( d ) d r ( ，j ) 一h 圳“ 令乓= 善厶：h l 9 彤) 8 以) n = l ，2 ，显然，e = u e 假设对每一 个f ，都有当e 并且i l 兰，可得1 1 1 0 喜f c ，0 l i 善c f c ，一厂c 夤，i i ，0 + l l 喜厂c 磊，l t l 6 占+ 肿 0 ， 存在厶上的正值实函数, f r o ：t o _ r + ，对，0 上的任意万一精细部分c 一划分 d = ( ( ，毒) ) ：。，有下式成立 2 1 1 f ( t , ) 1 4 1 - f z , ) l l 显然函数f f x ) 在厶上连续，因此对每一个i ，都存在f c t ，使得 c o ( y ，) = 9 f ( f ) 4 从而得到一个新的万一精细部分c - - 划分d = ( f ，量) ) ：，再 次运用s a k s h e n 咖c k 引理，得到芝l l ，( 专) k l f ( ，) 0 占 令e = 善厶：万一l s0 ，( 善) 0 ”) ，n = l ，2 ，显然，e = u e 假设对每 一个f ，都有当e 并且l ，j i 三n ，进一步得到 河海大学硕士学位论文 艺( f ，) = 窆6 f ( ) l 羔0 f ( ) 一厂皤) + 羔4 厂皤) k 4 占栅吲 0 由导数的定义可知，对任意的手厶，都存在正值实函数 6 ( 孝) ：，o 斗r + ，使得对所有的f 厶，当眵一纠 占( 善) 时，有 0 笔挚咄，l 赤 从而对厶上任意的占一精细c 一划分d = ( ，磊) 二，有 善。聪蚪删8 南善( 跚( “) ) 0 ，存在j o 上的正值实函数 j ( f ) ：厶 r + ，当i j i 万( f ) 时，有 l i r a ) 1 4 - f c s ) l l ：i s l f 在，o 上0 c ，从而存在一列闭集 e 使得厶= u e ，f 在e 上爿q 令 e 。= 善e n y ：j 一1 - l l s c 善) l l s ，其中k = e ，z = 骂、( 置u 巨u u e 一) ， 1 6 第二章b 柚粒i r 值函数的c 一积分 i = 2 州3 显然蜀j 互不重叠并且e = u 置f 在每个集合e 上彳c ，因此 存在 i i 使得对任意的艿一精细部分c - - 划分d = ( ，蠡) ，其中厶至少 有一个端点属于互，当k i 时，有h f ( z 。：i l l 2 巾啊 存在开区间g j 使得e c g , 。并且i q 。l o 使得 b g ，万( 毋) c o , 从而在l 上定义了一个正值实函数6 ( f ) ：，o 寸r + ，对如上任 意的万一精细c 一划分d = ( ，缶) ，有 e i s ( , ) 1 4 1 - f ( s , ) i i ：i i ，( 卣) l i f ( ) 0 + i i 厂( 当) l ，i f ( ) 0 l s ( # , ) 1 4 1 - f ( s , ) l l + 0 1 ( # , ) 1 4 1 1 1 + 0 f ( 4 ) i i ：i s o l + g 2 叫吖+ - ，钆 t ，ji i f ( 2 + l 厶b 因此函数，：厶寸z 在厶上强c 一可积 由定理2 2 8 和定理2 2 1 1 可得： 定理2 2 1 2 设函数f ：厶一彳为m ) 在，o 上的原函数厂( 工) 在厶上强c 一可积的充分必要条件是f ( 工) 在厶上一c q ，并且f ( x ) = ( x ) 在，0 上几乎处处 成立 2 3c 一变分测度 在本节，设函数f ：l _ x ，e 为厶上任意的可测集合，存在正值实函数 j 倍) ：e _ r + ，定义 矿( f ，玩e ) = 8 u p l f ( j ，) 0 ， 其中上确界取遍，o 上所有的艿一精细c - - 划分d = ( ，毒) ，其中专e 定义 k f ( e ) = s u p i n f f ( f ，占，e ) ， 其中上确界取遍g ，下确界取遍艿v f ( e ) 称为由f ：3 - - x 诱导的集合e 的c 一变分测度，其中3 代表由厶上的所有子区间所构成的集合显然，集合函数 k f ( e ) 是b o r e l 度量外测度 定义2 3 1 函数e f 在e 上绝对连续，简记为a c ，是指对任意的集合 n c e ，当( ) = 0 时有k f ( ) = 0 定理2 3 2 设函数f ：3 斗x 在，o 上几乎处处可导f 是强c 一可积函数 1 7 河海大学硕士学位论文 f 的原函数的充分必要条件是c 一变分测度k f 在，0 上绝对连续 证明必要性设e c i o 并且( d - - 0 令e = ，e e ：行一1 s4 厂( 善) i i 0 使得b ( 善，磊( d ) c q 令占g ) = m 洫 磊( 善) ，瓦( f ) 从而对厶上的任意万一精细部分c 一划分d = ( ，磊) ， 7 - ，其中毒e e 有 8 ，“) l = 8 ，“) 一鳐) 川+ 皓) k 0 l - if = i 慨) 一( 专) + 帆考) ，# it - i 0 ，存在正值实函数瓯( f ) ， 对任意的c g 一磊( 善) ，善+ 4 ( 掌) ) 有 帆刮，卜f ( 川j 占( 加，( 善，) + 帅 c 一变分测度k ，在厶上4 c ，从而当f e 时，存在正值实函数坑( f ) ，对 厶上的任意嘎一精细部分c 一划分d = ( ，考) ，有忙( ，) i i s 定义正值实函数艿( 掌) 如下 孵，= 船裂e 从而对任意的万一精细部分c - 划分d = ( ，f ，) ，有 1 8 第二章b a n a c t r 啦函数的c 一积分 zu f c , ) - f c c , ) i x , i i = 慨) 一厂( 专) + i i m , ) - m , ) l ，, l l i ，毒e e- 0 ，、 f + 占( d i s t ( 善，) + i 1 ) t , f e l o e 0 ，存在厶上的一个 正值实函数艿( f ) ：厶寸，对厶上的任