（基础数学专业论文）h型群上的hopf型引理、强极大值原理和liouville型定理.pdf

摘要 本文致力于h型群上次l a p l a c e 方程和p - 次l a p la c e 方程的l io u v i l l e 型定理 的研究。 第一章介绍 h型群上一些基本概念及结论， 给出本文所研究问 题的研究背 景及进展。 第二章通过先验估计方法， 就半线性次l a p la c e 方 程l u + h ( f ) u 0 _ 0 给出 了半空间和全空间上的l i o u v i l l e 型定理。 第 三章建立了h型群 上p 一 次l a p l a c 。 算子的h o p f 型引 理， 给出了 强 极大 值 原理，并证明了p 次l a p la c e 方程在全空间上的l i o u v i l l e 型定理。 关键词:h型群，l i o u v i l l e 子，p 次l a p l a c e 型定理， h o p f 型引理， 强极大值原理， 次l a p la c e 算 算子 ab s t r a c t t h i s p a p e r i st o t h e s t u d y o f s o m e l i o u v i l l e t y p e t h e o r e m s f o r t h e s u b - l a p l a c e e q u a t i o n s a n d p - s u b - l a p la c e e q u a t io n s o n g r o u p s o f h e i s e n b e r g t y p e . i n c h a p t e r 1 , s o m e b a s ic d e f i n it io n s a n d r e s u lt s o n g r o u p s o f h e i s e n b e r g t y p e a r e g iv e n . w e a l s o d e s c r ib e t h e p r o b le m s a n d b a c k g r o u n d s t u d ie d in t h is p a p e r . c h a p t e r 2 g i v e s s o m e l i o u v i l l e t y p e t h e o r e m s o f s u b - l a p l a c e e q u a t i o n s l u + h ( ) u 0 s 0 o n u n b o u n d e d d o m a i n s a n d t h e w h o l e s p a c e b y m e a n s o f p r io r e s t i ma t e . i n c h a p t e r 3 , w e e s t a b l is h s o m e h o p f t y p e p r i n c ip le s a n d s o m e s t r o n g m a x im u m p r i n c ip le s c o n c e r n in g p - s u b - l a p la c i a n o n g r o u p s o f h e i s e n b e r g t y p e . t h e n s o m e l i o u v i l l e t y p e r e s u l t s f o r p - s u b - l a p l a c e e q u a t i o n s a r e o b t a i n e d . k e y w o r d s : g r o u p o f h e is e n b e r g t y p e , l io u v i ll e t y p e t h e o r e m , h o p f t y p e p r in c ip l e , s t r o n g m a x i m u m p r i n c i p l e , s u b - l a p l a c i a n , p - s u b - l a p l a c i a n 西北工业大学硕士学位论文 第一章前言 1 . 1引言 在 1 9 6 7年， h b r m a n d e r 发表了 他的经典文章“ h y p o e l l ip t i c s e c o n d o r d e r d i ff e r e n t ia l e q u a t io n s 1 后，由 非交换向 量 场构成的线性 及拟线性偏微分方 程的 研究受到了国际数学界的广泛关注，并取得了迅猛的发展。1 9 7 0 年，s t e in 在【 2 ) 中提出了把偏微分算子的研究与齐次群分析联系起来的思想， 引起了数学界的重 视，并获得了许多重要的结果. 众所周知，与满足有限秩条件的光滑向量场相联系的无穷小量群 ( t h e i n f in it e s i m a l g r o u p s ) 是非 交 换幂零l i e 群， 它 们的l ie 代数允 许分 层。 这些群在 亚椭圆偏微分方程、 非交换调和分析、 次r ie m a n n 几何和c r几何函数理论的 研 究中占据着中心位置。 h e i s e n b e r g 群是 分 层幂零l ie 群中最简 单的 非交 换2 步群。 由 于其结 构直 接、 明 确， 迄 今己 经 得 到了 它 上 面 大 量的 研究 成 果 。 与h e is e n b e r g 群 类 似， h e is e n b e r g 型 群， 即h型群， 是由k a p la n 于1 9 8 0 年首 先在 【 3 ) 中 引 进的， 后来发 现实 际 上 存在着大量的h型 群， 它 是h e i s e n b e r g 群 一个 直 接和重要的 推广。 但因为 它的 中 心是任意维数的， 它的几何变得更加复杂。 本文将在g a r o f a l o 和v a s s i le v 等人 的工作基础上对 h型群上的非线性问题展开研究。 ; 1 . 2 h型群 我们首先从c a r n o t 群开始介绍。设g是一个r ( r 为正整数)步c a r n o t 群， 宫 = 。 ; 二 ， 代 是 g 的l i e 代 数 s 的 一 个 分 层 ， v价 二 k 二 : , 1 叱 , 1 _ i _ r ， 而 ， : 9 峥宫 定 义 为 才= 几 参 + 扩 最十 + 不 点 。g的 拓 扑 维 数 为 n = 艺d im 代 ， 而 关 于 伸 缩 15 1 ) 。 的 齐 次 维 数 是 q = 艺 j d im 1 。 用 d g 西北工业大学硕士学位论文 第一章前言 1 . 1引言 在 1 9 6 7年， h b r m a n d e r 发表了 他的经典文章“ h y p o e l l ip t i c s e c o n d o r d e r d i ff e r e n t ia l e q u a t io n s 1 后，由 非交换向 量 场构成的线性 及拟线性偏微分方 程的 研究受到了国际数学界的广泛关注，并取得了迅猛的发展。1 9 7 0 年，s t e in 在【 2 ) 中提出了把偏微分算子的研究与齐次群分析联系起来的思想， 引起了数学界的重 视，并获得了许多重要的结果. 众所周知，与满足有限秩条件的光滑向量场相联系的无穷小量群 ( t h e i n f in it e s i m a l g r o u p s ) 是非 交 换幂零l i e 群， 它 们的l ie 代数允 许分 层。 这些群在 亚椭圆偏微分方程、 非交换调和分析、 次r ie m a n n 几何和c r几何函数理论的 研 究中占据着中心位置。 h e i s e n b e r g 群是 分 层幂零l ie 群中最简 单的 非交 换2 步群。 由 于其结 构直 接、 明 确， 迄 今己 经 得 到了 它 上 面 大 量的 研究 成 果 。 与h e is e n b e r g 群 类 似， h e is e n b e r g 型 群， 即h型群， 是由k a p la n 于1 9 8 0 年首 先在 【 3 ) 中 引 进的， 后来发 现实 际 上 存在着大量的h型 群， 它 是h e i s e n b e r g 群 一个 直 接和重要的 推广。 但因为 它的 中 心是任意维数的， 它的几何变得更加复杂。 本文将在g a r o f a l o 和v a s s i le v 等人 的工作基础上对 h型群上的非线性问题展开研究。 ; 1 . 2 h型群 我们首先从c a r n o t 群开始介绍。设g是一个r ( r 为正整数)步c a r n o t 群， 宫 = 。 ; 二 ， 代 是 g 的l i e 代 数 s 的 一 个 分 层 ， v价 二 k 二 : , 1 叱 , 1 v , 是正 交的，则称g是一个 h e i s e n b e r g 型 群， 简称h型 群。 上述定义隐含了 ( j ( f 2 ) f , = a , , 。 v , 2 。 v 。( 1 . 2 . 4 ) = i , ， ，点 。 v , 2 2 。 v 2 。 ( 1 . 2 . 5 ) 对b e g. 记 = ( x ( d , y ( d ) ， 其中 x ( o = ( x , ( 0, . . . , x . ( 0 ) y ( o = ( y , ( s ) , . . . , y ,. ( 4 ) ) 分别 表示v ，v 2 上的 射影 坐 标: : ( 咨 ) = ( 么 ， 戈 ) ， = ， ， 。 ， j， 烤 ) = ( 最 ， 乙 ) ， ， 一 ，一 ， 。 一 一 一a 韭 工业 木 学 硕 士学 位 论 文 g的自 然伸缩为 氏( x , y ) = ( a x , a y ) , a 0 , ( x , y ) 。 g 。( 1 . 2 . 6 ) 设y , 的 一组标准正交基是 ; 一 a i ，xr，r ai+ z ax j=一 1,.一 ( 1 . 2 . 7 ) 我们也用它来记 h型群 g上的左不变基向量场。g上的广义梯度记为 x = ( x . . . 戈 ) 。 以上内容可参看【 6 1 7 . l= 容易验证， d i v ( a r a v ) x = 尹 ( 1 . 2 . 8 ) 其中v是普通梯度，且 一 合 f ,x ,y .合 ( x , ,y 0 ， . 合 v ,x . ,y ) 合 f ,x . 因 而 议 ( 用 + 月 ) x型群g上的度量函数为 p (d = ( jx (f )j + 16 iy ( ) j ) ， ; 。 。 ( 1 . 2 . 9 ) 它是k a p l a n 3 导出的。显然有 p ( 几( 0) = 助( 杏 ) ， a 0 。( 1 . 2 . 1 0 ) 以焦偌 , r ) 表 示以 考 为中 心.r 0 为 半 径的 开 球。 前面已 经提到，事实上，存在许多h型群。 譬如，设g是一个秩为 1 的单 群， i w a s a w a 分解 二 k a n中 的幂零部分n 就是一个h型群. 称为i w a s a w a 群 8 0 对任何正整数” ， 总存在n 维中 心的h型群， 见( 3 ,当h型群g的中 心y a 的维 数 等于i 时， 在同 构的意义 下， 它就是h e is e n b e r g 群。 h型 群在分析 和几 何中 扮 演着重要的角色。 _ _ _西北 工业大学 硕士学位论文 1 . 3 关于h o p f 引理和强极大值原理研究的进展 我们知道， 欧氏空间中的调和方程描写稳定的温度分布。 由最大最小原理知， 温度的最高点和最低点必在边界上取到。 在边界上温度的最低点处， 物体其他各 r枉p透二 .0r u七几又 : 、 。 ， ， ， 、*、， 于* 、 。二 ， * ， 二 ， 二二 、 二 卜 一 a u_、 ._、 处 俐狱匀 里 必 泥 四 匕p u 厄 况 网粉 捧 y r 都 。困此 住 以息理 月 : ， 0 e do 经典的 定理1 .3 . 1设球凡 力c r ( n ? 3 ) 是r ” 中 的 一 个 球， 在 其中一 u u ( x ) 则 若u 沿 在x o 点的 外法向 u 的 微商 存在， 必 满 足严格的 不等 式 叫 ox - ,q , 其中度量函数p 如前面( 1 . 2 . 9 ) 所述。 先给出下述引理: 引 理2 . 2 . 1 设d c g 是 一 个 具 有 光 滑 边 界 a d 的 区 域 。 。 。 口(川n c 伍 ) 满 足 n 0 , d 7 ? 0 7 7 = 0 在刀 中， 在 a d上 令 。 。 i ; .(d ) n c (d ) 满 足 u _ 0 , l u + h ( g ) u 0 i ( 2 . 2 . 1 ) 其 中 * 。 ( 在 d 中 ) ， h e c 仿 ) . 如 果 对 某 个 * ) 。 ， 。 。 := ( 凡 (e , r ) 凡 ( e ,乌 ) 。 。 2 非空，则 :一 瓜 h u 0 o rs (p )i7 p d g , p 满足下面的估计 备 :r。* a 一， !r .1z,h 7pp dg + r (l h a n d g 三指 。 ， 设几:= s e d : y7 ( g ) ? e ， 并 考 虑 积 分 i r , ._ l _ h u d dr (q 一 e )p d g 这里热 = 凡( e , r ) n d , . 则由 不 等方 程 ( 2 . 2 . 1 ) 和散 度定 理. 有 西北工业大学硕士学位论文 一 一 瓜 . l u (d r (。 一 ) d g 二 一 l ， u l (d (, r 。 一 ) p )d g + k d p， u x (d (。 一 )p ) - ri d s 一 瓜 沼 (。 一 。 ) p _ 1 声 1 ， 所以 / 一 ri ， ， u l ( (d rd x.r。 一 ) p ) d g + 反 n dd , p u (d r (。 一 ， 一 x 77 -n o d s ， 其 中 izc 二 。 ” ， n 表 示 边 界 外 法 向 量 ， 因 此 = 一 v 17= - q io n1二 - 高 在 ad , 上 ) 又 p u d r 。 一 : )0 _l嘿z o ( 在 b , n a d , 上 ) . 所 以 有 ir.s一 t _ ul(dr (17 - e)p )dg 一 f1 ndd, put r(。 一 )p-1斋 一 瓦 u l (o r (7 一 e )p ) d g . 现 在 令二 *。 ， 则马. 。马， 因 为 。 e c ( 厕， 从 而二 。 c ( 氏) ， 且。 在d ,z 上 有 界 ， 由勒贝 格控制收敛定理知 (im i r ,0 二 i s 二 l h u o , ( p )i7 l d g = f, h u (d o,?ip d g 一 l , u l ( -d ,7 1 )d gr = 一 f ， u i7p l (cd )d gr一 瓜 u (d l (t7 ,)d g 一 ， 瓜 - x (7p ) x (o )d gr ， 由 : (。 劣 ) 一 ,6 ( ,8 一 ，)。 少 2 o , (p 2 ) x (,0 1 )1 l n r- o (,o ) x (,0 2) + 脚 r 和 p ( p 一 ，)(d fi -2 (p )x ( p )il -: 0 ,r jo r: 。 “ = 爪 ， 一 ，) 。 ，一， ix 71 + ， 。 一 : 。 ! 0 得 到 。 一 j, 6 (， 一 )u 。 p (d o -2u 77 , lo . (p ,)x (p l)l d g 一 众 如 。 凳 一 (， )x (， )dg 一 j a i8 u il 0 (d a -o e (p ) l (p )d g 一 2 f d p u x (n 0 ) .x (d ,i)d g 西北工业大学硕士学位论文 一 jpy b u rl v r-w r (p ) x (p )阿一 !pa ,g u t70 (d a- i o a (p )l (p )d g - 2 p r u x (tl 0 ) x (m a )d g = 一 fp 4 q u x7 0 o r _ o r (p ) p lx p l d g 一 j, r f u t70 (d r -io r (p )l (p )d g 一 瓜 4 p f u t70 - (d n _ o , (p )p x t7x p d g . 又 因 为r . ( p ) 二 从而有 一 k ip 一 工 。 i ( 在 凡 (e ,李 ) 内 ) ， 所 以 (p ) = ( p ) = 0 艺 ， 二_ _ r.，、 l 仕斗 ( e , 二) ic j ) ， 乙 4 f u q 0 (d e - o ; ( p )p ix p j d g 一 1n f u q 0 (d r - i i c p r ( y o ) , h e c ( d ) ， 若如下条件之一成立: (h l) q + y - 2q - 2 ， ，并 且 ，一q + y - 2q - 2 (h2 ) q + y - 2 2q - 2， 并 且 ，一 q + y + 2q 则下列不等方程 l u + h ( g ) u 5 0 , ( 在d中)( 2 . 2 . 3 ) 的 属于r , ( d ) n c ( 乃 ) 的 唯 一非 负 解为。 二 。 证明: 由 于半空间d = ( g e g : a - x 十 b - y 十 d 0 ) 具 光 滑 边界， 取r/ = a . x + b . y + d , 则由 s 知 幼= 艺a ,l x , 十 艺句 纽二 0 , 且 。 一 0 在 a d 上 )，又 h z c p 。 ( 在 d 中 ) ， 卜二i 司 所以满足引理2 . 2 . 工 的条件，从而引用引理2 . 2 . 1 的结论有 i = 瓜 h u o r (p 2 )(a -x + b .y 十 d )0 d g = 甄 h u (d r (a -x + b -y + d ) 0 d g + r .r。一; ( 。 ， j )户 、 1i(a -x + b -y + d )0 dg # 止犷 dg p d 十 y 十 x a. 夕一口 .月 r瓶 c一尸 1一a尺 5 c ， r 十-1 i k一 司月* 一 吕 (。 .: 十 ， .， 十 、 )一 ， p 0 ix (q 二 + b .y ) .x p edg jal 西北工业大学硕上学位论文 因 为 ix ( a - x + b - y ) - x p j s ix ( a - x + b - y ) , - ix ， 卜又 x rx,二 ( +k 告 l . 一 告 喀 x;x , x s , y, 二 c jx lz ， 、.声 v上 戈 戈 耳 i x xy fl2 二 音 ( 争x , 所以x y ,i s c j x j 5 c p , 1 = 1, . . , n ，所以ix ( a . ， 十 b y ) 。 x _ c ( l + p ) 5 c r . 又 h ( % ) ? c p r ，从而得 ! 县 : 。 户 一 “ (a -x + b -y + d )0 p 20dg 0 找 . ， c ， r +=, l l p 找 一j 刀 一 ， ; ( a . x + b . y + d ) 0 d g 一奋只 r - r 了孟 c， r 一 ， e.、 。 _ 。 _ 。 . _ -: + 7l 奴p 0 l a - x + n - y + a ) . p _ k a c r j , =i r r 4 pea-r“ 一 “ ， ， c ， f +二, l l . p 找 一石j 左 一 ) ; i ( a , x + b - y + d ) 0 d g 0 口 十 昙 p r0 (a .二 十 ， .， 十 d )， 一， 二 e k召 月 ( 2 . 2 . 4) 现在令 q ( r ) := : 一 (x (s ) , y (s ) : ix (8 )i r , ly ; ( $ ) i 5 r , 1 5 i 5 m , i _ j _ n ) 则 。 ( r ) : b ,; (e , r ) . 事 实 上对 于 v g e , ( e , r ) ， 有 ix , ( 8 ) i r , ly , ( g )卜 r z 1 5 i 5 m , i 5 j 5 n .即 包含关系 成立。因为b e r ( 0 ) ， 不妨设气 # 0 ， 又 对 v g e q ( r ) , la . x ( g ) + b . y ( g ) + d l s ia f- lx l+ lb i . i， 卜 d _ c r z ( r 充 分 大 ) ， 因 此 令 气 = zi s i 。 取p := p 一 1 + 二 = a一1 一 1 十 : = 一 匕+ : 之 i ， a一i 这样 选择的p 满足 ( 2 . 2 . 6 )又由 ( 2 . 2 . 5 ) ， 则 ( 2 . 2 . 4 ) 式变为 ir i c1r r a rp 2一 ; (a .二 十 。 .， 十 、 )，一 韶 合 十 、!，!j 1一刀 备 :瓜 ， 一2睿 ( ， ， 、 )刀一 、 ! 备 :工 ，: 一 nrc- 2 ap 0 (a -x + b -y + d ),-1+.dg )s + r .p e-ro (一。 y + d )一 。 ， 叫 1 (5 ir i 4 r(l r ” 一;“” 一” + r r = 口 i q-2+21 q+,+2s-2= c ix.r , 一 ， 今 q + 2 # - 2 + 2 6 ) 1- c_ 一夕 十 大 上。， ， _ q + r + 2 . - 2 所以i n g , 所 以d r -d ,r - f oo . 从 而 - - i := l h u 0 (a -x + b -y + d ) p d g = o ,r 。 二 . 我 们 对1 、 二 一 l 满 足 ( 2 . 2 . 6 ) .又由 ( 2 . 2 . 5 )， 则 ( 2 . 2 . 4 ) 式变为 西北工业大学硕士学位论文 2 0 _ r 0，、_ 去 c_ 。 0 ( a x+b. y十a ) a 行 i +- i ! r一 司; 一 ; r p ( a . x 十 b - v + d wn p f权 知 l一ar - 几 dg ， 一 尸 粤 ， 奴p 一 k a - x + b y + a ) c一r + 州 ， “ 一 q + t+ z )q c _ 十， ， 二式 k ( - 碑k ) + z)o 十 三 * “ - r c一尸 1蜻 . o 二o , r一二， 即得u - 0 . 这 就 完 成 了 在 条 件 ( h 2 ) 下 a 2 情 形 的 证 明 ， 当 1 0 ) ， 若 函 数h ( g ) ? c p r ( y - 1 ) , h e c ( d ) ， 若 如下条件有一个成立: ( h 1 )q + y - 1 5 2 ， q一 2 并 且 1 a 2 ， 并 且1 0 ， 若 如 下 条 件 之 一 成 立 : q + y 卫2， 二 口，q+ y - 2 ， 二 r . a - q - 2 并 且1 a _ 全匕卫 q 、，.夕、，一j廿 112 卜n，fl 了万r、 则下列不等方程 l u + h ( g ) u 5 0 ， ( 在d中) 的 属于r ; ( d ) n c ( d ) 的 唯 一非负 解为二 二 0 。 证 明 : 取n = 艺 a ;x ? + 艺 b , y , + d ， 可 以 验 证 i . 1 j = 1 l 。 二 艺 l ( a ,x ; ) + y_ l ( b , y , ) = i a ,l ( x , 二a , z0 . 、毯间 满足引理2 . 2 . 1 的条件，又 从x ? = 2 x ,从x ; 二 2 x ;爪 * ， k , i = 1 , , m ， 1x x ; i = 2 lx i l _ c p lx y , l : c lx l s c p 价月 所 以 ix ( 艺 a ;x ? 十 y_ b , y , i = 1 , . i+ d ).x p _ c p _ c r ， 贝i)如 定 理 2.2,， 的 证 明 可 得 推 论 2 . 2 . 2 的结论。 西北工业大学硕士学位论文 2 . 3全空间上的l i o u v i l l e 型定理 本节我们证明全空间g上的两个l i o u v i l l e 型定理。 像第2 节那样定义截断 函 数 yr (p ) := 0 (r ) - 定 理2 . 3 . 1 g 为 一 h 型 群 ， 若 1 a - 2 ) , h ( g ) e c ( g ) 则不等方程 l u + h ( g ) u 0 _ 0( 在g中)( 2 . 3 . 1 ) 的 属于1 几 ( g ) 的 唯一非负解为。 二 。 证 明 : 记 。 ， 一 、 (p 2) 对 * 。，考 虑 积 分 、 = 工 。 .，)h u q(d rd g ,(r,r+)(告 十 生 =1 ) . 由不等方程( 2 . 3 . 1 ) 和分部积分，有 i x 瓜 (e.r )- l u r d g 一 又 、 r)u l (d r )d g + 从 同 ， u x (d r y ti,a (r,r) l (r,r ) 一 、。 ， (d r x u - n (; d s.br. (e,r) = 一 瓜 、 r )u l (d r )d g + ( ,r ) q u (d r -0 r ( p 2 ) 2 p x p .no d s - (。 ) (p h x u -n i d s(e.r ) dg 士 景 、 ，方一墨一】_iir mz 所 以 i r - i :二 护 u 0 d g = 0 , r 、 二 得 到 “ ! 。定 理 得 证 。 推 论2 . 3 . 1 g 为 一h型 群，u e c 2 (g ) 是下列 不 等方 程的 一 个非负 解: l u + f ( g , u ) 0 , y - 2 及 足 够大的p ( g ) , h ( g ) 满 足h ( g 冲c p l , 如 果 1 灵 时，。 二 。 。 因此对某个.5 0 , u 满足 ! u z 0 、 卜l u _ f ( g , u ) ? 0 在 b ,; ( e , r + s ) ft 在 b . ( e , r 十 s ) 内 从 而由 极 大 值 原 理 知 ， 在 b . (e , r + 6 ) , 有。 二 。 当 。 = 契 且 p 足 够 大 时 ， 由( 2 . 3 . 6 ) 式 知 ， ; 有 界 ， 再 由( 2 . 3 . 5 ) 式 知 u 一l i x c 工 ， u 0 h cd r d g 0 - 0 , r - 二 所以 对足够大的p , u -= 0 。 再由 极大 值原理可得在g上有。 二 0 。 得证口 西北工业大学硕士学位论文 第三章 h 型群上p 一 次l a p l a c e 方程的l i o u v i l l e 型定理 3 . 1引言 b i r i n d e l l i和d e m e n g e l根据粘性解和局部检验函数的方法在 1 9 中给出 了 欧氏 空间上关于p - l a p l a c e 方程的l i o u v i l l e型定 理。 本章将把他们的结论 推广到h 型群 上， 研究h 型 群上p 一 次l a p l a c e 方 程的l i o u v i l l e型性质。 v a z q u e z在其经典文章 9 中建立了欧氏空ira上非线性 l a p l a c e方程和 p - l a p l a c e 方程的h o p f 引理和强极大值原理， p u c c i , s e r r i n 和z o u 在 1 0 中 把v a z q u e z 的 结 论推广到了 更一 般的 方程， 但h e i s e n b e r g 群及h 型群上p - 次 l a p l a c e 算子的h o p f 型引理和极大值原理至今没有看到。本章首先把c a p o g n a , d a n i e l l i 和g a r o f a l o 2 1 中p 一 次l a p l a c e算子对径向函 数的一个公式加以 推 广， 即将那里的结论推广到中心不在群单位元处的情形， 然后根据【 1 0 中的方法 证明一个比较原理，最后分别通过改进 9 和【 2 4 中的方法用两种方法证明了h 型群上p 一 次l a p l a c e 方程的h o p f 型引理， 并 进而证明了 两个极大值原理。 运用 前面得到的这些结论，通过改进 1 9 中的方法我们得到了l i o u v i l l e型结果。 为 下文计算方便， 根据 2 5 1 , 7 1 ， 本章 我们取h 型 群g 上第一 层v , 的 一组 标 准正交基为 、 = 8x; 2 熟 、 ， 8y ; 二 ，一 ( 3 . 1 . 1 ) 其中瓦是由 方程 x k , x l k - 艺 6 6 y ) ( 3 . 1 . 2 ) 确定的结构常数。 易知， 正交基( 3 . 1 . 1 ) 与前面前言中所给的向量场( 1 . 2 . 7 ) 是一 致的。 设 = ( x i , . . . , xy h . . . , y ) , 子 = ( 凡 ， ， 礼 汤 ， ， 一 ， 又 ) e g ， h 型 群 g 上 的 群 运 算 法则为二 西北工业大学硕士学位论文 第三章 h 型群上p 一 次l a p l a c e 方程的l i o u v i l l e 型定理 3 . 1引言 b i r i n d e l l i和d e m e n g e l根据粘性解和局部检验函数的方法在 1 9 中给出 了 欧氏 空间上关于p - l a p l a c e 方程的l i o u v i l l e型定 理。 本章将把他们的结论 推广到h 型群 上， 研究h 型 群上p 一 次l a p l a c e 方 程的l i o u v i l l e型性质。 v a z q u e z在其经典文章 9 中建立了欧氏空ira上非线性 l a p l a c e方程和 p - l a p l a c e 方程的h o p f 引理和强极大值原理， p u c c i , s e r r i n 和z o u 在 1 0 中 把v a z q u e z 的 结 论推广到了 更一 般的 方程， 但h e i s e n b e r g 群及h 型群上p - 次 l a p l a c e 算子的h o p f 型引理和极大值原理至今没有看到。本章首先把c a p o g n a , d a n i e l l i 和g a r o f a l o 2 1 中p 一 次l a p l a c e算子对径向函 数的一个公式加以 推 广， 即将那里的结论推广到中心不在群单位元处的情形， 然后根据【 1 0 中的方法 证明一个比较原理，最后分别通过改进 9 和【 2 4 中的方法用两种方法证明了h 型群上p 一 次l a p l a c e 方程的h o p f 型引理， 并 进而证明了 两个极大值原理。 运用 前面得到的这些结论，通过改进 1 9 中的方法我们得到了l i o u v i l l e型结果。 为 下文计算方便， 根据 2 5 1 , 7 1 ， 本章 我们取h 型 群g 上第一 层v , 的 一组 标 准正交基为 、 = 8x; 2 熟 、 ， 8y ; 二 ，一 ( 3 . 1 . 1 ) 其中瓦是由 方程 x k , x l k - 艺 6 6 y ) ( 3 . 1 . 2 ) 确定的结构常数。 易知， 正交基( 3 . 1 . 1 ) 与前面前言中所给的向量场( 1 . 2 . 7 ) 是一 致的。 设 = ( x i , . . . , xy h . . . , y ) , 子 = ( 凡 ， ， 礼 汤 ， ， 一 ， 又 ) e g ， h 型 群 g 上 的 群 运 算 法则为二 西北工业大学硕上学位论文 尝 1介 (x , + 无 !，一 “ 十 称 y ,+ 又 全 晃 公 x ky /,一 “ 十 夕 十 合 晃 b rrx k x r ) ( 3 . 1 . 3 ) 记歹， 为者 关于单位元。 的 逆， 则由 上述运算法则 有歹 = 一 杏 。 定义g上度量函数 p ( , e ) = p ( e - , - , e ) = p d - o 其中e = ( 0 , . . . ,0 ) ， 特别地 p ( ) = p ( , e ) 二 (jx ( ) j + 1 6 1y ( ) 1 ) 0 . 3 . 2 p 一 次l a p l a c e 算子对径向函 数的一 个推广的公式 先给出一个引理。 引 理3 .2 .1 假 设 寸 = 点 十 x = 艺气 戈十 艺y ; 1 , , 17 = v + z 二 艺x ,0 x , + 艺对 乙 ，其 ， 台 11 ， 1坤1厂 司 中s , , 1 e v , , , , , e v z , x = ( x . . . . x m ) , x = ( x . . . . . . x 0 ) e r 若。 为g中 一定 点，则有下面的结论成立 x p ( , n )z 二 以 p k 9 , 刀少 ( 3 . 2 . 1 ) l p ( , j ) = 艺 x z p ( , 71 ) = 念i x p ( , 77)1, ( 3 . 2 . 2 ) 这里，q 为g的 齐次维数。 证明:由 群运算