（理论物理专业论文）水溶液分子对赖氨酸和组氨酸电子结构的等效势.pdf

摘要 摘要 蛋白质组学是目前生命科学研究中的一大热点，它将极大地促进人类对生 命活动的理解，促进在诊断、治疗方法、开发新药等领域的研究。但蛋白质组 学研究的手段目前主要依靠实验。而根据量子力学，只要算出材料或分子的电 子结构就可知道其性质功能，即电子结构是我们从本质上理解材料或分子性质 功能的基础。“团簇埋入自洽计算法( s c c e ) ”可在保持计算精度的前提下极大 地降低计算量。s c c e 法的应用使蛋白质分子电子结构的第一性原理、全电子、 从头计算成为可能。已有三个蛋白质分子的电子结构被算出。但由予计算条件 的限制和以下原因，此前的计算中没有考虑水溶液分子对蛋白质分子电子结构 的影响：一般认为水溶液分子在和蛋白质分子的接触中是在作高速振动、转动 和替换的，水溶液分子并不和蛋白质分子有化学意义的结合，它对蛋白质分子 的作用主要是一种平均力效应，主要影响蛋白质分子的三维空间结构。 要可靠计算在水溶液中的蛋白质分子的电子结构，需要构造一个简单易 用、几乎不增加计算量的水溶液分子对蛋白质分子电子结构的等效势，因为直 接把大量水分子放到蛋白质电子结构的计算中是不可能的。本论文通过基于密 度泛函理论的第一性原理、全电示、从头计算，构造了水溶液分子对赖氨酸( l y s ) 和组氨酸( h i s ) 这两种氨基酸的电子结构的等效势。计算过程分为三步。首先 用“自由团簇计算法”计算一个含氨基酸和水分子系统的电子结构，通过调节 水分子的空间位置，求得能量最低的氨基酸与水分子的相对空间构型。然后以 此空问构型为基础，用“团簇埋入自洽计算法”计算氨基酸在以水分子为外势 条件下的电子结构。最后再用“团簇埋入自洽计算法”计算氨基酸在用偶极子 代替水分子时的电子结构，调节偶极子的电荷和位置，使得以偶极予为外势和 以水分子为外势的氨基酸的电子结构尽量接近，即得到了用偶极子势模拟的水 溶液分子对该氨基酸电子结构的等效势。计算结果显示，水溶液分子不同程度 地增大了赖氨酸( l y s + ) 和组氨酸( h i s ) 的能隙宽度，并整体使各能级发生了上 移；简单的偶极子势可以模拟水溶液分子对这两种氨基酸电子结构的影响。 关键词：赖氨酸；组氨酸；水分子；电子结构；团簇埋入自洽计算法；自 由团簇计算 a b s t r a c t a b s t r a c t p r o t e o m i c si san e wi m p o r t a n t 丘e l di nl i f cs c i e n c e i tw i l lp r o m o t eg r e a t l yo u r u n d e r s t a n d i n go fl i f ea c t i v i t i e s ，a n dg i v eu sv a l u a b l ec l u ei nt h er e s e a r c ho fd i a g n o s i s a n dt r e a t m e n t 。a sw e l la si nt h ed e v e l o p m e n to fn e wm e d i c i n e s c u r r e n t l y , t h e r ea r e m a i n l ye x p e r i m e n t a ls t u d i e si nt h ep r o t e o m i c s a c c o r d i n gt oq u a n t u mm e c h a n i c s ， h o w e v e r , t h ek n o w l e d g eo fe l e c t r o n i cs t r u c t u r ei se s s e n t i a lf o ru n d e r s t a n d i n gt h e p r o p e r t i e s a n df u n c t i o n so fm a t e d a l o rm o l e c u l e t h es e l f - c o u s i s t e n t c l u s t e r - e m b e d d i n g ( s c c e ) c a l c u l a t i o nm e t h o dr e d u c e st h ec o m p u t a t i o n a le f f o r t g r e a t l y , w h i l et h ec a l c u l a t i o np r e c i s i o ni sk e p t t h i sm a k e st h et h ef i r s t p r i n c i p l e s a 1 1 e l e c t r o n ，a bi n i t i oc a l c u l a t i o no ft h ee l e c t r o n i cs t r u c t u r eo fp r o t e i nar e a l i t y u pt o d a y , t h ee l e c t r o n i cs t r u c t u r e so ft h r e ep r o t e i n sh a v eb e e no b t a i n e d h o w e v e r , t h e f c r m e rc a l c o l a t i o n sd i dn o ti n c l u d es o l v e n ti n f l u e n c ed u et ol i m i t e dc o m p u t a t i o n a l c o n d i t i o n sa n dt h ef o l l o w i n gr e a s o n s - w a t e rm o l e c u l e sa r eu s u a l l yq u i v e r i n g , t u r n i n g a n df u n g i b l ea th i g hs p e e di na c t i o nw i t hp r o t e i n t h e r ei sn of i x e dc h e m i c a lb o n d i n g b e t w e e nw a t e rm o l e c u l e sa n dp r o t e i ni ns o l u t i o n t h ee f f e c to fw a t e rm o l e c u l e so n p r o t e i ni sak i n do fa v e r a g ef o r c e ，w h i c hm a i n l yi n f l u e n c e st h et h r e e - d i m e n s i o n a l s t r u c t u r eo fp r o t e i n i no r d e rt og e tm o r er e l i a b l ee l e c t r o n i cs t r u c t u r e so fp r o t e i n si na q u c o u ss o l u t i o n , i ti sn e c e s s a r yt oc o n s t r u c ta ne q u i v a l e n tp o t e n t i a lo fw a t e rm o l e c u l e sf o rp r o t e i n s e l e c t r o n i cs t r u c t u r ec a l c u l a t i o n n ce q u i v a l e n tp o t e n t i a lm u s tb es i m p l e , e a s y - u s e e f f e c t i v ea n dw i t hl i t t l ea d d i t i o n a lc o m p u t a t i o n a le f f o r t b e c a u s ei ti si m p o s s i b l et o a d dal a r g ea n i o n n to fw a t e rm o l e c u l e st ot h ec a l c u l a t i o n t h ef i r s t p r i n c i p l e s a 1 1 e l e c t r o n , a bi n i t i oc a l c u l a t i o n s b a s e do nt h ed e n s i t yf o n c t i o n a lt h e o r y , h a v eb e e n p e r f o r m e dt oc o n s t r u c ts u c he q u i v a l e n tp o t e n t i a l so fw a t e rm o l e c u l e sf o rl y s i n e ( l y s ) a n dh i s t i d i n e ( h i 曲t h ep r o c e s sc o n s i s t so ft h r e ep a r t s f i r s t ，t h ee l e c t r o n i cs t r u c t u r e o ft h ed u s t e rc o n t a i n i n ga m i n oa c i da n dw a t e rm o l e c u l e sj sc a l c u l a t e d b ya d j u s t i n g t h ep o s i t i o n so fw a t e rm o l e c u l e s t h eg e o m e t r i cs t n i c t u r eo ft h ec l u s t e rh a v i n g m i n i m u mt o t a te n e r g yi sd e t e r m i n e d t h e n ，b a s e do nt h es t r u c t u r e , t h ee l e c t r o n i c s t r u c t u r eo fa m i n oa c i dw i t ht h ep o t e n t i a lo fw a t e rm o l e c u l e si sc a l c u l a t e du s i n gt h e s e l f - c o n s i s t e n tc l u s t e r - e m b e d d i n g ( s c c e ) m e t h o d f i n a l l y , t h ee l e c t r o n i cs t r u c t u r eo f a m i n oa c i dw i t ht h ep o t e n t i a lo fd i p o l e si sc a l c u l a t e d t h ed i p o l e sa r ea d j u s t e ds ot h a t t h ee l e c t r o n i cs t r u c t u r eo fa m i n oa c i dw i t ht h ep o t e n t i a lo fd i p o l e si sc l o s et ot h a to f w a t e rm o l e c u l e s 1 m u st h ee q u i v a l e n tp o t e n t i a lo fw a t e rm o l e c u l e sf o rt h ee l e c t r o n i c s t r u c t u r eo fa na m i n oa c i di so b t a i n e d t h em a j o re f f e c to fw a t e rm o l e c u l e so nt h e e l e c t r o n i cs t r u c t u r e so fl y s i n e ( l y r ) a n dh i s t i d i n e ( h i s ) i sr a i s i n gt h eo c c u p i e d e i g e n v a l u e sa n db r o a d e n i n ge n e r g yg a p s t h ee f f e c to fw a t e rm o l e c u l e so nt h e a b s t r a e t e l e c t r o n i cs t r u c t u r e so ft h et w oa m i n oa c i d sc a nb es i m u l a t e db yd i p o l e sp o t e n t i a l s k e yw o r d s ：l y s i n e ；h i s t i d i n e ；w a t e rm o l e c u l e ；e l e c t r o n i cs t r u c t u r e ；s e l f - c o n s i s t e n t d u s t e r - e m b e d d i n gc a l c u l a t i o n ；f r e ed u s t e rc a l c u l a t i o nm e t h o d 申请同济大学理学硕士学位论文 水溶液分子对赖氨酸和组氨酸电子 结构的等效势 ( 国家自然科学基金编号：3 0 4 7 0 4 1 0 上海市科学技术发展基金编号：0 3 j c l 4 0 7 0 ) 培养单位： 一级学科： 二级学科： 研究生： 指导教师： 理学院物理系 物理学 理论物理 李春杰 郑浩平教授 二o o 七年三月 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名参看杰、 动最年1 玛| 了b 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年月日年月日 第1 章引言 1 1 概述 第1 章引言 人类对生命现象的认识己达分子水平，但从发展的观点看，不会停留在分 子水平上。科学家们正在探索从更基本的原子、电子层面上解开生命的奥秘。 另一方面，可以预计，许多生命现象也只有从原子、电子层次上才能得到根本 的解释。国际上许多实验物理学家已在利用最前沿的物理学实验技术从原子、 电子层次上分析蛋白质分子的性质、功能和结构。而根据量子力学，只要算出 材料或分子的电子结构，就可知道其性质功能。我们已利用凝聚态物理中发展 的方法计算了3 个蛋白质分子的电子结构。 “团簇埋入自洽计算法( s c c e ：s e l f c o n s i s t e n tc l u s t e r e m b e d d i n g c a l c u l a t i o n ) ”是近年来凝聚态物理中发展的一种“第一性原理、从头算”方法【埘。 与传统计算法不同的是，它解出的单电子波函数是局域化的每个单电子波 函数仅局域于系统所占空间的一小部分，因此有两大优点：( 1 ) 适用于任何复 杂系统，对含真实局域化价电子的材料能给出与实验符合得很好的结果；( 2 ) 可在不降低计算精度的条件下使总计算量从传统方法的正比于n 3 降低到正比于 n ( n 为系统所含原子数) ，使得在现有超级计算机上计算蛋白质分子电子结构 成为可能。s c c e 方法已被成功用于计算多个绝缘体、半导体、金属、含杂质晶 体和表面 2 - 6 。2 0 0 0 年，我们用s c c e 方法在国际上首次成功算出了一个真实蛋 白质分子的电子结构1 7 , 8 1 。至今为止，已有三个蛋白质分子的电子结构被算出【 i o i ( 详细数据见网站w w w e s p r o t c i n o r g c n ) 。但由于计算机条件的限制和下述理 由，此前的计算中没有考虑水溶液分子对蛋白质分子电子结构的影响：一般认 为水溶液分予在和蛋白质分子的接触中是在作高速振动、转动和替换的，水溶 液分子并不和蛋白质分子有化学意义上的固定结合，它对蛋白质分子的作用主 要是一种平均力效应，主要影响蛋白质分子的三维空间结构。因此对一个已处 于溶液中、具有确定三维空问结构的蛋白质分子，可用一个具有同样三维结构、 但周围没有水分子的蛋白质分子来近似描述其电子结构。“我们此前的计算结果 与实验基本符合”这一事实证实了上述观点。然而，为了使蛋白质分子电子结 第1 章引言 构计算更符合实际，需要考虑水溶液分子的影响，即要计算在水溶液分子势作 用下的蛋白质分子电子结构。 尽管“团簇埋入自洽计算法”极大地降低了计算量，但计算含成千上万个 原子的蛋白质分子的电子结构，其计算量仍然极其巨大，几乎己达到现有超级 计算机的上限。因此，直接把大量水分子添放到蛋白质分子电子结构的计算中 是不可能的。必须构造一个简单易用、几乎不增加计算量、但又有效的水溶液 分子对蛋白质分子电子结构的等效势。 在蛋白质分子空问结构计算方面，如蛋白质折叠计算和分子动力学计算等， 一些课题组发展了一些水溶液对蛋白质分子空间结构影响的等效势1 1 1 , 1 2 。比如在 能量参数中加入溶剂化项即溶剂化参数，把溶剂的影响等效为一个光滑的势场， 并用等效函数表示，即溶剂模型【1 3 1 4 1 。1 9 9 4 年g u o 和k a r p l u s 两人利用第一性 原理计算了几种溶液分子( 水、醇和脂) 的氢键组对缩氨酸稳定性的影响m i ， 1 9 9 5 年k a r p l u s 还对牛胰岛素抑制剂的几种小分子蛋白质受到的溶剂的影响做 了研究，主要是针对不同的蛋白质分子用不同的参数描述【1 6 1 。近年来发展了一 些新的模型，如p o i s s i o n - b o l t z m a n n ( p b ) 连续介质模型【1 v l 以及m m p b s a 模型 1 8 1 等。但由于蛋白质分子电子结构的第一性原理、从头计算还刚刚起步，目前 还没有适用的水溶液分子对蛋白质分子电子结构的等效势。 自然界存在几十万种蛋白质分子。但所有蛋白质分子基本上都由2 0 种氨基 酸组成，因此我们只需构造水溶液分子对这2 0 种氨基酸的电子结构的等效势。 本文通过第一性原理计算，构造了水溶液分子对亲水赖氨酸( l y s ：l y s i n e ) 和 组氨酸( 碰s h i s t i d i n e ) 的电子结构的等效势。赖氨酸有一个含氮的碱性基团侧 链，属极性氨基酸，高度亲水【1 9 1 。在中性水溶液中，赖氨酸和组氨酸主链的头部 氨基获得一个质子成为h 3 ，尾部羧基失去一个质子成为c o o - , 而赖氨酸侧 链为4 个甲基( c h 2 ) 连成的脂肪链上接一个带正电荷的碱性氨基h 3 n + 。因此 中性水溶液中的赖氨酸含2 5 个原子，并带一个正电荷。在以下的讨论中，“赖 氨酸”即指在中性水溶液中带一个正电荷的l i r s + 。组氨酸共有2 0 个原子，有一 个碱性侧链，其末端是一个苯环，不带电。 由于用“团簇埋入自洽计算法”计算蛋白质分子电子结构时，点电荷构成 的偶极子可以很容易地被放入，且几乎不增加计算量：另一方面，极性水分子 的平均势场可以合理地用电偶极子来模拟，因此我们选择用点电荷构成的电偶 极子来模拟水分子对氨基酸电子结构的等效势。计算分三步：第一步用“自由 2 第1 章引言 团簇计算法”确定水溶液分子与氨基酸的相对空间构型。第二步是在此空间构 型下，用“团簇埋入自洽计算法”计算氨基酸在水分子势场作用下的电子结构。 第三步用由点电荷构成的偶极子势来模拟水分子对氨基酸的有效势，使算得的 氨基酸的电子结构与第二步中算得的电子结构尽可能接近。这样就用几个特定 分布的点电荷构造出了水溶液分子对氨基酸电子结构的近似等效势。 3 第2 章基本理论 第2 章基本理论 2 1 多电子系统和多电子薛定谔方程 一个处于由许多原子核产生的外势场中的多电子系统中可存在四类电子： ( 1 ) 局域化电子：两个相邻原子的电子间的交迭虽不为零但很小，每个电子局域 于一个原子，只是偶尔由交换作用跳到相邻原子处。 ( 2 ) 部分局域化电子：一个电子由几个相邻原予共享，其分布区域借助于交换作 用在系统内缓慢迁移。 ( 3 ) 准自由电子：一个电子的分布区域为系统所占据的全空间，若不考虑碰撞， 该电子可在系统内自由运动。 ( 4 ) 绝对局域化电子：假定系统中各原子间距离足够大，相邻原子的电子间完全 没有交迭，则一个电子永远局域于一个确定的原予。 考虑一块宏观理想晶体。从无限长时间观点看，一个局域化或部分局域化 电子可因交换作用而处在晶体中任何一个位置，但这绝不表明这个( 部分) 局 域化电子可被一个调幅平面波很好描述。( 部分) 局域化电子的行为与准自由电 子显著不同：( 部分) 局域化电子没有确定的动能和波矢；两个局域于不同区域 的电子可以处在同一个量子态上，并且可以根据所处区域被区分。而两个都分 布于系统全空间的准自由电子不能处在同一个量子态上，且不可区分。这些差 异决定了( 部分) 局域化电子和准自由电子不能用同一类单电子波函数来很好 描述。 理论上，对一个含n 个电子和m 个静止原子核的系统，多电子薛定谔方程 可写为( 不含相对论效应，本文中采用原子单位制：e 2 - 2 ，- q 一1 ，2 m 。- 1 ，其 能量单位为r y d b e r g 常数e 2 2 a o = 1 3 6 0 4 9 e v 。这里e 为电子电荷，t l 是普朗 克常数，m 。为电子质量) ： 善 - r 2 - 2 著阿鳊+ 萎阿场1 ( 墨, a x s ) i 艮僻t , ax s ) q 1 或写成： h 胁f 倦l ，a 工) 一e g 僻。，a “) ( 2 1 a ) 4 第2 章基本理论 这里多电子波函数( x 。，az 。) 中的变量x i 代表第i 个电子的坐标和自旋。 从平均值观点看，设系统总电荷密度p ( 巧和总哈密顿h 。l 都具有对称性c 。 这个对称性只对多电子波函数q 0 ( x ，aj ，) 有限制，即要求i4 么俾。，ax ，) 1 2 与 h 删( 以及p ( ，) ) 有相同的对称性c ，但并不要求系统中单个电子的分布有与 h 。删相同的对称性。 我们无法精确求解多电子薛定谔方程( 2 1 ) 。密度泛函理论提供了个求解 多电子系统问题的方法。 2 2 密度泛函理论 1 9 6 4 年，h o h e n b e r g 和k o h n 提出了密度泛函理论【2 0 l ，该理论基于两条h k 定理： 一个多电子系统的基态电子密度p ( ，) 与作用于该系统的外势矿( ，) ( 可相 差一个常数) 一一对应。由此推出：多电子系统基态能量是该系统基态电子密 度p ( ，) 的唯一泛函： 【纠- f p 】+ v ( r ) p ( r ) d r ( 2 2 ) 使得总能量最小的电荷密度就是真实的电荷密度。对确定的外势y 0 ( ，) ， n - j 通过使下面表达式中总能量e i 川最小来求得正确的p ( r ) ，此时，e f 川等于 基态能量正0 p 】。 e ，【p 】一z 【p 1 + 圪【p 】+ f 可，删( r ) p ( r ) d r ( 2 3 ) 式( 2 2 ) 中的普适函数f p 】在式( 2 3 ) 中已被分为两个部分；系统电子动能研纠 和电子电子相互作用能圪【纠。原子核与电子作用能以及原子核之间的相互作 用能归并到外势k 。( ，) 产生的作用能中。如果丁【p 】和k i 川的函数形式已知，则 根据上述h k 定理中的第二条，在总电子数守恒的条件下对p 4 ( ，) 变分，就得到 系统的基态能量【纠和电子密度p ( r ) 。 但是对于一个有相互作用的多电子系统，丁【纠和圪咖】的形式是不知道的。 1 9 6 5 年，k o h n 和s h a m 提出一个假设：假定存在一个“无相互作用电子系统”， 其基态电子密度等于真实系统的基态电子密度p 2 1 】。在此假定下，含n 个电子 和m 个固定原子核的系统的总能量公式( 2 3 ) 可写成p ( ，) 的泛函： 引小址卜衅垮卜一z 薹，筹净+ 蓦晴哥眨q 5 第2 章基本理论 本文中，上标o r 、u p 、d n 表示自旋，下标x c 表示交换关联作用。在公式( 2 4 ) 中，瓦【p 】是无相互作用电子系统的动能。e 。l p 】是交换一关联能： 吒纠。r p 】+ 吃m 一。纠一俨譬丝挚州。 wl r r 1 现在，每个“无相互作用单电子”可用二土个定态单电子波函数m ：( r ) 来表示，无 相互作用电子系统的电荷密度和总动能分别是各个无相互作用单电子的电荷密 度和动能之和： m 矿( ，) + p 互p ( r 卜黔窑( ，1 2 眨5 ) 【p 卜垂芦( r ) ( - v 2 ) 垂产( ，) d r + 垂竺i 。( r x - v 2 ) 垂窘( ，) 廿 ( 2 6 ) 瞧|i 芒m 结合公式( 2 5 ) 和( 2 6 ) ，在总电荷数守恒条件r p ( r 协一下，把公式( 2 4 ) 对试探单电子波函数西：( ，) 变分，得到定态单电子薛定锷方程，即著名的 k o h n - s h a m 方程； - v 2 叫辟萋南唧，卜q 啪， 眩7 ， 这里的交换关联势是：vo ( ，) - 蓑等( 2 8 ) 为了精确求解方程( 2 4 ) ，必须满足下面两个条件： k l p 】是精确的。 ( i i ) 由变分原理要求，在求解方程( 2 7 ) 时，试探单电子波函数西。4 ( r ) 不受 任何约束。 如果这两个条件能够得到满足，我们应可解得与唯一正确的j 口( ，) 所对应的 唯一一组精确单电子波函数组 圣。4 ) ) 。该精确解有以下两个特点： ( 1 ) 系统中的任何一个真实电子( 无论何种电子) 都能够被一个垂。( ，) 很好描述。 从这个意义上说，“无相互作用电子系统”的概念不再重要。例如，考虑一 个理想晶体。如果该晶体中只包含准自由电子，那么 m 。4 ( ，) ) 应是布洛赫波 函数；如果晶体中只有局域化的电子，那么所有的m 。4 ( ，) 都应是局域化的； 如果晶体中既包括准自由电子，又包括局域化电子，那么 m 。4 ( ，) 应既包括 布洛赫波函数也包括局域化波函数。 ( 2 ) 含有精确交换关联势吃4 ( ，) 和正确电荷密度p ( ，) 的定态单电子薛定谔方程 6 第2 章基本理论 ( k o h n s h a m 方程) ( 2 7 ) 描述了这样一幅单电子运动图像：由垂：( r ) 代表 的一个电子在系统原子核和所有其它电子产生的平均场中运动。由于该电子 ( i 垂：( ，) 2 ) 产生的势不篚作用于其本身，或者说，方程( 2 7 ) 中作用于垂：( r ) 上的精确的单电子哈密顿仅包含由p ( ，) 一p ( ，) 一b 4 ( ，) | 产生的势场，所以 不同中：( r ) 感受到的势场是不同的，对应的单电子哈密顿也是不同的。 p 。4 ( r 本身的性质决定了作用于m 。4 ( r ) 上的单电子哈密顿是否具有p 4 ( r ) 的对称性。而单个陋。4 ( ，) l 完全可以不具有p 。( r ) 的对称性。 以一维周期性系统为例( 见图2 1 、图2 2 ) 。每个黑点代表一个原子核。图 2 1 中，每条曲线代表一个准自由电子的分布。图2 2 中，每个峰代表一个局域 化电子的分布。则两图中总电荷密度p ( ，) 都具有周期性。但图2 1 中任一电子受 到的由原子核和其它准自由电子产生的势场都具有周期性。而图2 2 中第i 个局 域化电子受到的由原子核以及除i 电子外其它局域化电子产生的势场在i 处有一 个正电荷形成的势阱，不具有周期性。 图2 1 包含准自由电子的一维系统示意图 图2 2 包含局域化电子的一维系统示意图 实际计算中，精确的e j 纠是不知道的，而且试探单电子波函数西。4 ( ，) 也 不可能不受约束。所以必须采用两个近似： ( 1 ) 第一个近似：把交换关联势曙对所有自旋为0 的单电子态取平均，例如局 域自旋密度近似( l s d a ) 。这时所有的西。4 ( ，) 都对应于一个相同的、并且有 与p 4 ( r ) 相同对称性的单电子哈密顿量。 ( 2 ) 第二个近似：放弃“中：( r ) 不受约束”的条件：约束波函数西。4 ( r ) 满足一定 7 第2 章基本理论 的边界条件。 请注意，第一个近似使y 三( 以及整个单电子哈密顿) 额外地具有了p r ) 的 对称性，并使不含边界条件的方程( 2 7 ) 中的垂：p 受到该额外对称性的约束。 但这种约束是非物理本质的，可利用边界条件消除。第二个近似则扔掉了所有 不满足给定边界条件的单电子波函数解( 包括可能的精确解) 。实际上是通过选 择边界条件，选择某一形式的单电子波函数组 西。4 ( r ) ) 来近似描述系统，求得 近似的p ( r ) ；或者说，用某一类无相互作用电子来近似描述真实电子系统。因 此就有不同的选择方法，有许多不同的波函数组 中。4 ( ，) 能用来求解近似的 p r ) 。这产生如下问题：在许多组波函数中，哪组能够最好地描述真实体系呢? 答案是：根据变分原理，只有当解出的单电子波函数与系统中真实电子的行为 接近时，求出的总能量与系统真实能量最接近，因此是最好的近似解。例如： 在图2 1 中利用一组布洛赫函数能够很好地描述准自由电子的行为，但是并不适 合用来描述图2 2 中电子的行为。对于后者，用一组局域化的单电子波函数才能 够很好描述。 2 3 团簇埋入自洽计算法( s c c e ) 基本理论 以下讨论中，我们假定已采用了第一个近似：采用局域自旋密度近似形式 的屯【p 】。 e 。 p 一r p ( ，l 。c p ”( ，x p “( ，) 访 ( 2 9 ) 其中。是均匀电子气的交换一关联能密度，已对所有的单电子态取平均。 因此所有m 4 ( ，) 对应一个相同的、具有和p “( r ) 相同对称性的单电子哈密顿量。 我们在已采用了上述第一个近似的条件下讨论第二个近似：用满足不同边 界条件的两类单电子波函数来分别近似描述系统。它们分别对应不同的计算方 法。 2 3 1 扩展的无相互作用单电子模型 约束每一个无相互作用单电子波函数垂。4 ( ，) 扩展于系统所占全部空间。 在这个模型下，考虑周期性边界条件，k o l m s h a m 方程( 2 7 ) 可用于理想 的周期性晶体的计算，即能带计算。对于自由团簇计算，垂。4 ( ，) 满足有限边界 条件西：( ，) 型喧型虬o 。 需要注意的是：对如此约束下的单电子模型解，计算得到的每个西。( ，) 必 8 第2 章基本理论 须在由系统对称性确定的所有对称点上有相同的振幅。不可能得到任何不满足 上述对称性条件的波函数，即使它可能是系统的真实解。 2 3 2 局域化无相互作用单电子模型 约束每一个无相互作用单电子波函数中。4 ( ，) 仅分布于系统所占空间的一部 分。 在这个模型下，k o h n s h a m 方程( 2 7 ) 可用于团簇埋入自洽计算法【1 ，硐：n 个m 。4 ( ，) 被分成若干个组，第i 组的m 。4 ( ，) 满足第i 组特殊边界条件，从而局 域于第i 个被埋入团簇区域。 团簇埋入自洽计算法( s c c e ) 的关键思想就在于改变第二个近似，即采用 一种有别于自由团簇计算法和能带计算法的新的约束条件( 一组新的特殊边界 条件) ，来得到一组局域化的波函数。这带来了两个优点： 1 ) s c c e 方法得到的局域化波函数能够很好描述材料中的局域化价电子。 2 ) s c c e 方法的计算量近似与系统的原子数成正比，而且保持同样的计算精度。 这就使得对大的复杂系统( 例如蛋白质) 的计算成为可能。 具体讨论如下： 假设系统可被分为k 个( 被埋入) 团簇。考虑第i 个团簇，其电荷密度用岛( ，) 表示，系统其余部分被看作环境( 电子密度用p ：( ，) 表示，但和p ，( r ) 有小的交迭) 。 a 系统被分为k 个被埋入团簇b 被埋入团簇和周围环境 圈2 3 系统和被埋入团簇的示意图 由于所有n 个垂。4 ( ，) 都是局域化的，我们有( = 1 + 2 ) ： p ( r ) - 。差怫( r 1 2 。互nk 叫2 + 。盍i m 三( r 1 2 - p 。( ，) + 岛( ，) ( 2 5 ) p ( r ) - 占磊箩：( r 1 2 占磊字：叫+ 。捌罗三( r 卜肿2 ( ，) 2 f 9 第2 章基本理论 研p 卜r p - + p 一1 。互广：+ ( r x v 2 ) 垂：( ，) d ， 。占薹，：( ，) ( - v 2 ) 垂：( ，炒+ 占薹：广：p ) ( - v 2 净乏( ，) d r q 露 - t p l 】+ 研p ：】 在总能量公式( 2 4 ) 右边加上一个等于零的积分f p ，( r ) ( ，) d r ，结合公式 ( 2 5 ) 、( 2 6 ) 和( 2 9 ) ，在p ：( ，) 固定情况下，对( 2 4 ) 式变分就可以得到“团 簇埋入自洽计算法”的基本方程： _ v 2 + 臀r - 一z 薹南+ + 叶叫引2 7 ， 在方程( 2 7 ) 中，中。( ，) 只代表局域于第i 个团簇区域的那部分无相互作用电 子。对一个真实有限系统，通过逐次计算所有k 个被埋入团簇，公式( 2 7 ) 给 出整个系统的一组完备的单电子本征函数，它们使公式( 2 4 ) 中的总能量最小。 圪( ，) 的定义如下： ( r ) = 2 薹南 赚琏舳肝褪 ( 2 - 1 0 ) 【。0 其它 这里肘：是周围原子的数目。可见，在所有周围原予的芯区里，圪( ，) 抵消了原 子核产生的库仑势。团簇电子若进入这些区域，将会感受到电子- 电子间的库仑 排斥势，从而被迫退出这些区域。因此，方程( 2 7 ) 中的m 。4 ( r ) 满足因圪( ，) 而 导致的特殊边界条件： m 。9 ( r ) l ，在周围原子芯区 = 0 ( 2 1 1 ) 采用该特殊边界条件的理由详见参考文献【2 2 1 。此外，由于局域性，垂。4 ( ，) 还满 足一个特殊有限边界条件： 西。4 ( ，) 碰盥丑型弘隧+ 0 ( 2 1 2 ) 边界条件( 2 1 2 ) 由约束m 4 ( ，) 的展开基实现，即历用基函数仅在被埋入团簇 及其近邻区域内有非零值。 现在证明方程( 2 7 ) 只是带有特殊边界条件的k o h n - s h a m 方程。显然，若 不计吃( ，) ，方程( 2 7 ) 和k o h n s h a m 方程( 2 7 ) 是完全一样的。根据吃( ，) 的 定义，在特殊边界条件( 2 1 1 ) 满足时，显然有r p ，( r ) ( r ) d r - 0 。因此，( ，) 第2 章基本理论 并不改变系统总能量公式，只是导致了特殊有限边界条件( 2 1 1 ) 。根据密度泛 函理论，此时s c 血算法正确。实际上这就是数理方法中熟知的把边界条件( 2 1 1 ) 转为方程( 2 7 f ) 中的一个等效势圪( r ) 。因此方程( 2 7 ) 就是k o h n - s h a m 方程 ( 2 7 ) ，只不过( 2 7 f ) 中的局域化中4 ( r ) 满足特殊的边界条件( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 。 注意：边界条件( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 与被埋入团簇在系统中的空间位置和周围原 子有关。由于系统中不同的被埋入团簇有不同的空间位置及周围原子，两个边 界条件对不同的被埋入团簇是不一样的。我们实际上是用k o h n s h a m 方程( 2 7 ) 中的同一个哈密顿、但不同的边界条件来解出k 组局域于不同团簇区域的单电 子波函数m 。4 ( ，) 。考虑到m 。4 ( ，) 的展开基及方程( 2 7 ) 中等效势( ，) 的不同， 则可认为k 组西4 ( ，) 的有效单电子哈密顿是不同的。 下面说明团簇埋入自洽计算法中的几个技术问题。 1 ) 根据下述两原则确定周围原子芯区的最佳半径：曲计算中没有“电子塌陷灾 难”。b ) 残留在周围原子芯区内的团簇电子总数最小。通常，边界条件( 2 1 1 ) 可在很高的精度内满足，且当周围原子芯区的半径在最佳值附近时，计算结果 对芯区半径不敏感。 2 ) 对一个真实有限系统，计算采用分块一合拢技术，含两种形式的自洽循环： a ) 团簇内循环。对每一个被埋入团簇，方程( 2 7 ) 作自洽求解：属于该团簇 的电子密度n i r ) 在每次团簇内循环中自洽改变，而系统其余部分被看作不变的 p 2 ( ，) 。b ) 团簇间循环。k 个被埋入团簇分别在计算机的k 个c p u 上同步进行 各自的团簇内循环计算直至收敛，然后用其结果为每一个被埋入团簇构造新的 p ：( ，) ，则新一轮团簇间循环重新开始。 3 ) 对于晶体，由于j d i r ) 具有周期性，只需自洽计算一个被埋入团簇，周围环境 的p ：r ) 可由被埋入团簇的p ，) 在三维方向周期性平移构成。无论被埋入团簇大 小如何，无限大晶体的周期性势都可由足够多的周围环境原子来很好地描述。 2 4 本章小结 真实多电子系统中原本就存在各类电子：局域化的、部分局域化的或准自 由的。密度泛函理论是精确的，其精确解应能很好描述各类电子。但实际计算 中无法求得精确解，必须采用二个近似。本章讨论了第二个近似：约束单电子 波函数满足一定的边界条件，来控制k o h n s h a m 方程解的类型。对每一个给定 第2 章基本理论 的边界条件，k o n h s h a m 方程( 2 7 ) 只能解出唯一的一组 垂。4 ( r ) ) ，他们代表 无相互作用电子，并不代表真实电子。单个的l 垂。( r ) i2 可能与单个的真实价 电子的分布毫无关系。当解得的单电子波函数 西。4 ( r ) 的行为与系统中真实电 子行为接近时，就是最好的近似解。 1 2 第3 章计算方法 第3 章计算方法 计算就是具体对某一个系统求解单电子薛定谔方程( 2 7 ) 或( 2 7 ) 。计算 所用的五类原子的优化的高斯基函数与我们计算蛋白质分子电子结构时所用的 相同“删：碳原子为8 s 6 p ，2 6 个高斯基函数；氮原子为8 s 7 p ，2 9 个高斯基函数； 氧原子为8 s 7 p ，2 9 个高斯基函数；氢原予为8 s l p ，1 1 个高斯基函数；硫原子 为9 s 9 p l d 。具体见表3 1 。 对每一个氨基酸，为了研究水溶液分子对其电予结构的影响，首先用“自 由团簇计算法”计算一个无外势的、孤立氨基酸的电子结构。然后，构造等效 势的计算分三步：第一步用“自由团簇计算法”确定水溶液分子与氨基酸的相 对空间构型。第二步是在此空间构型下，用“团簇埋入自洽计算法”计算氨基 酸在水分子势场作用下的电子结构。第三步用由点电荷构成的偶极子势来模拟 水分子对氨基酸的有效势，使算得的氨基酸的电子结构与第二步中算得的电子 结构尽可能接近。这样就用几个特定分布的点电荷构造出了水溶液分子对氨基 酸电子结构的近似等效势。具体叙述如下。 3 1 计算含氨基酸和多个水分子的自由团簇的空间结构 计算所需的赖氨酸和组氨酸的原子位最坐标取自r o c k e f e l l e ru n i v e r s i t y 的 l a b o r a t o r yo fm a s ss p e c t r o m e t r ya n dg a s e o u si o nc h e m i s t r y 提供的p d b 格式文 件( h t w ：v r o w l r o c k e f e l l e r e d u a a i n f o s t m c t h t m ) ，其坐标见附录a 。将氨基酸按位置坐 标放好后，水分子摆放在氨基酸分子的周围。我们用“自由团簇计算法”计算 含氨基酸和多个( 这两种氨基酸都是七个) 水分子的系统的空间结构及电子结 构。只取七个水分子的理由如下： 可以合理地认为远低于费米面的电子深能级没有被水分子改变另外氨 基酸性质主要取决于其电子结构中f e r m i 面附近的几个电子态，它们基本上属于 氨基酸的头部氨基、尾部羧基和侧链末端处的局域化价电子，因此只需考虑这 三处附近的水分子作用。 氨基酸残基的价电子是局域化电子，氨基酸费米面附近主要是n 末端 h 3 、c 末端c o o 一和侧链末端的局域化电子，所以只需要考虑这三个地方周围 1 3 第3 章计算方法 的水分子。从氢键