（基础数学专业论文）与超球展开相关的hardy空间上的连续线性泛函.pdf

摘要 本文的目的是研究与超球级数相关的广义解析函数，给出当p 靠近1 时相应的 h a r d y 空间职上的连续线性泛函的表示 与超球级数和j a c o b i 级数有关的函数理论是数学中的一个重要领域相关问 题的研究已取得了一些成果一方面，其中的大部分问题是经典函数理论的广泛推 广，另方面，在一些特殊参数下的模型又与李群和对称空间上的分析问题密切相 关但是，绝大部分研究都是关于超球级数和j a c o b i 级数本身的，与经典情况相 比，还有许多本质的问题有待探讨，特别是对于相关的解析性质的研究还很少b m u c k e n h o u p t 和e m s t e i n 在1 9 6 5 年的一篇长文中研究了与超球级数相关的h a r d y 空间，建立了一些基本理论；李中凯于1 9 9 6 年把他们的结果推广到关于一般j a c o b i 级数的h a r d y 空间除此以外，在这方面还没有看到新的进展，原因是由于问题的 复杂性，缺少对应于经典解析函数论中的一些重要工具，比如b l a s c h k e 乘积等 c d u n l d 自1 9 8 8 年以来的一系列工作开创了研究与具有反射对称性质的权函 数有关的多变量特殊函数的有效途径，也为调和分析带来了一个新的研究领域c d u n k l 构造一族可交换的一阶微分差分算子来替代偏微分算子，用这些算子的平 方和( 算子运算) 替代l a p l a c e 算子权函数是若干线性函数幂的乘积，它在某有限 反射群( 作为正交群的子群) 下是不变的在d u n k l 理论中，有指数型函数、f o u r i e r 变换、g a u s s 分布等对应的推广形式，还有相应的球面调和展开结构，称为h 一球 面调和在二维时相应于群z 1 或矛垒d 2 的h 一调和展开就是超球展开或雅克比 展开( 二维时的一般情况是相应于二面体群萨的h 一调和展开) 关于在上半欧氏空间嗣，1 或单位圆盘上的h a r d y 空间日p 已经有系统而丰富的 理论，对于h a r d y 空间三p 上的连续线性泛函的刻画是其中的重要内容当0 p 0 ) 的广 义解析函数我们称圆盘上的函数，是a 一解析的，如果疋，：= 譬一a 血鲁笋= 0 1 文中的主要工作包括z ( i ) 研究了微分一反射算子和基函数的性质，利用超球多项式给出了圆盘上a 一 调和函数和入一解析函数的。幂级数”形式刻画； ( i i ) 得到c a u c h y 核c ( z ，w ) 及其在微分一反射算子死作用下的瞅估计； ( i i i ) 给出当p 靠近1 ( 即黼 p o ) af u n c t i o n ，o nt h eu n i td i s ki sc a l l e dt ob ea a n a l y t i ci ft d ：= 甏一a 必z - - z = 0 t h em a i n w o r k si n c l u d et h ef o l l o w i n gt h r e ep a r t s ： ( i ) t h ep r o p e r t i e so ft h ed i f f e r e n t i a l - r e f l e c t i o no p e r a t o r sa n dt h eb a s i sf u n c t i o n sa r e s t u d i e d ，a n dt h ea - h a r m o n i cf u n c t i o n sa n dt h ea - a n a l y t i cf u n c t i o n sa r ec h a r a c t e r i z e db y 。p o w e rs e r i e s i nt e r m so ft h eu l t r a s p h e r i c a lp o l y n o m i a l s ； ( i i ) t h e 娥e s t i m a t e sf o rt h ec a u c h yk e r n e lc ( z ，w ) a n dt 叫c ( z ，面) a r eg i v e n ； ( i i i ) f o rps e a l - t o1 ，i e 黼 p 1 ，s o m er e p r e s e n t a t i o n so ft h ec o n t i n u o u sl i n e a r f u n c t i o n a l so nt h eh a r d ys p a c e sa s s o c i a t e dw i t hn i t r a s p h e r i c a ls e r i e sa l eo b t a i n e d 3 k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：u l t r a 旧p h e r i c a ls e r i e s ，h a r d ys p a c e ，d i f f e r e n t i a l - r e f l e c t i o n o p e r a t o r ，a - a n a l y t i cf u n c t i o n ，a - h a x m o n i cf u n c t i o n ，c a u c h yk e r n e l ，p o i s s o nk e r n e l 4 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识 到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 丑锄磊 日期：2 0 0 8 年4 月2 0 日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和 纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有 权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本 规定 学位论文作者签名：1 勘磊 日期：2 0 0 8 年4 月2 0 日 己i吉 ji口 与超球级数和j a c o b i 级数有关的函数理论是数学中的一个重要领域，相关问 题的研究已取得了一些成果一方面，其中的大部分问题是经典函数理论的广泛推 广，另一方面，在一些特殊参数下的模型又与李群和对称空间上的分析问题密切相 关但是，绝大部分研究都是关于超球级数和j a c o b i 级数本身的( 见【1 , 2 ，3 ，1 5 ，1 6 ，1 9 ，2 0 等) ，与经典情况相比，还有许多本质的问题有待探讨，特别是对于相关的解析性 质的研究还很少b m u c k e n h o u p t 和e m s t e i n 在1 9 6 5 年的一篇长文【2 3 1 中研究 了与超球级数相关的h a r d y 空间，建立了一些基本理论李中凯于1 9 9 6 年在【2 1 】中 把他们的结果推广到关于一般j a c o b i 级数的h a r d y 空间除此以外，在这方面还没 有看到新的进展，原因是由于问题的复杂性，缺少对应于经典解析函数论中的一些 重要工具，比如b l a s c h k e 乘积等a m i y a c h i 在【2 2 】中定义了一种加权原子h a r d y 空间并在其上证明了关于j a c o b i 级数的移植定理，这样的h a r d y 空间与【2 1 】中定义 的h a r d y 空间的关系还不清楚 c d u n l d 自1 9 8 8 年以来的一系列工作【5 - 9 】开创了研究与具有反射对称性质 的权函数有关的多变量特殊函数的有效途径，也为调和分析带来了个新的研究领 域c d u n k l 构造一族可交换的一阶微分差分算子来替代偏微分算子，用这些算 子的平方和( 算子运算) 替代l a p l a c e 算子权函数是若干线性函数幂的乘积，它 在某有限反射群( 作为正交群的子群) 下是不变的在d u n k l 理论中。有指数型函 数、f o u r i e r 变换、g a u s s 分布等对应的推广形式，还有相应的球面调和展开结构， 称为h 一球面调和在二维时相应于群z 1 或z 2 笺d 2 的h 一调和展开就是超球展 开或雅克比展开( 二维时的一般情况是相应于二面体群d k 的h 一调和展开) 关于在上半欧氏空间贮1 或单位圆盘上的h a r d y 空间上p 已经有系统而丰富的 理论，对于h a r d y 空间月r p 上的连续线性泛函的刻画是其中的重要内容当0 p 0 ) 的 1 2 首都师范大学硕士研究生学位论文 广义解析函数，它与超球级数的联系就像经典解析函数与f o u r i e r 级数的联系一样 我们将给出当p 靠近1 ( 即黼 p 0 ，由下列生成关系定义超球多项式硪( t ) ( 见【2 3 ) 0 0 扩磺( t ) = ( 1 一+ ) 一， n - - = - o 则 焉( c 0 8 p ) n o o ：l 是( ( o ，7 r ) ，d m x ( o ) ) ( d m a ( e ) = ( s i n o ) 弘d o ) 的正交完备基，满足正 交关系 ，霄 磺( c o s 口) 碟( c o so ) d m ( 一) = ) 一1 如。， j o 其中 = | i 辟( 删幢2 = 半群 定义空间口= 妒( ( o ，丌) ，d m x ) 的范数| l ，| i p 为 | | ，i i p ；( 厂霄i ，( 口) | p d m a ( 口) ) ；，1 p ，| | ，i i p = ( i ，( 口) | pa ( 口) ) 刍， ， j o i i f l l = e s s s u p l f ( a ) 1 ，l 1 ( c o ，霄) ，d m a ) 的超球展开是 ，( 口) 一磁( c o s 口) ， ( 1 1 ) 其中 ，霄 a n = 伽，( 口) 磁( c o so ) d r n x ( o ) ( 1 2 ) j o 4 首都师范大学硕士研究生学位论文 它的p o i s s o n 积分是 f ( r ，伊) = n ，i p 磁( c o s 口) ， n - - - o ( 1 3 ) 我们把它记为u ( x ，可) = f ( r ，口) ，其中z = r c o s o ，y = r s i n o 可以验证u ( z ，矽) 在上半圆 盘 d + = ( z ，y ) ：z 2 + 沪 o ) 内满足微分方程 a x ( u ) = 0 ， 其中 杀+ 导+ 等品 下面我们介绍超球展开的p o i s s o n 积分和共轭p o i s s o n 积分 设f l 1 ( ( o ，7 r ) ，d m a ) ，( 1 1 ) 是它的超球展开其p o i s s o n 积分( 1 3 ) 的积分形式 是 地一) = z 霄p ( 以硝( ) d 仇蜘) ， ( 1 4 ) 其中 p ( r ，0 ，) = p 磺( c o s p ) 碟( c o s 钟 = 妻( 1 - r 2 ) f o 霄砰丽丽熹嘉而而研出 是超球p o i s s o n 核( 见【2 3 ，( 2 1 2 ) 】) 记( z ，y ) = ( r c o s o ，r s i n o ) ，( f ，叩) = ( e o s ，s i n e ) ，有 聊= 华f o 霄矿再若筹研出 ( 1 5 ) 下面的定理包含了妒函数p o i s s o n 积分的基本结果 定理1 1 ( 2 3 ，t h m 2 1 )设f l p ( d m ) ，1 p ，( r 0 ) 表示它的p o i s o n 积 分。则 与超球展开相关的h a r d y 空间上的连续线性泛函 5 ( 8 ) l l f ( r ，o ) l l p i i f ( o ) l l p ， 1 pso o ， ( b ) l l f ( r ，口) 一f ( e ) l l p 一0 ，r 叶1 ，1 p 0 0 ， ( c ) l i 鼍，( r ，p ) = f ( o ) 口e ，1 p ， ( d ) l is u pi f ( r ，e ) l l l p 如l l f l l p ，1 p o o 定理1 2 ( p o i s s o n 的积分特征， 2 3 ，t h i n 3 】) 设t ( z ，耖) 在上半圆盘d + = ( z ，y ) ： z 2 + 矿 o ) 内a 一调和，则 ( i ) 对l p ，u ( z ，! ，) = f ( r ，口) 是某函数，( 口) 妒( d m a ) 的p o i s s o n 积分的充 分必要条件是u ( x ，y ) 在圆盘d = ( z ，耖) ：铲+ 沪 1 ) 内是正则的偶函数，且满足 s u pi i f ( r ，0 ) 1 1 p c o ；( 1 6 ) ( i i ) u ( x ，耖) = f ( r ，口) 是某有限b o r e l 测度舡的p o i s s o n 积分的充分必要条件是 u ( x ，y ) 在圆盘d = ( z ，y ) ：+ 2 1 内是正则的偶函数，且( 1 6 ) 式对p = 1 成 立 设( 1 1 ) 是f 厶1 ( d m a ) 的超球展开，定义其共轭p o i s s o n 积分是( 见【2 3 ，( 7 1 ) 1 ) 加) = 2 入三彘 洫口咄( 0 0 s p ) ，0 一0g ( 1 7 ) 若记v ( x ，可) = 矿a 穴r ，p ) ，则它与p o i s s o n 积分t ( z ，y ) 满足广义c a u c h y - r i e m a n n 方程 组 譬盛三0 呈 ( 1 8 ) 1 一耖2 = 、7 根据岳磁( t ) = 2 1 , d n a 一+ l i ( t ) 可以得到c a u c h y - r i e m a n n 方程组的极坐标形式 f0二篙)us：=0sin0 ) 2 a u r 0 ( 1 9 ) l 咖一r ( r = 、7 共轭p o i s s o n 积分的积分形式是 ( r ，p ) = q ( r ，口，) ，( ) d 饥a ( ) ， 其中 她口，) = 圣o o 而2 a r n s i n 一躺( c o s 口) 磁( c o s 咖) 6首都师范大学硕士研究生学位论文 q ( r ，口，砂) 称为共轭p o i s s o n 核，根据( 1 9 ) 式可以得到它与p o i s s o n 核的关系式是( 见 【2 3 ，( 7 3 ) 】) q ( r ，0 ，) = 一r 一2 a t 2 2 、- 1 e o ( t ，0 ，) 出 下面介绍共轭函数的相关结论 定理1 3 ( 2 3 ，t h m 4 】) ( i ) 若f ( o ) l p ( d m x ) ，1 s 】，则 m x ( e o ) ( a s ) l l f l l x 推论1 4 ( 2 3 】，c o r 1 ) 设，i y ( d m ) ，1 p o o ；则当r 趋向于1 时穴r ，0 ) 以妒 范数收敛于，( 口) ，且有 i p 如l l f l l p ， 进一步有 加) 一2 a ? n l - 二as i n 口础( c o s 口) 推论1 5 ( 2 3 1 ，c o r 2 ) 若d u b ，d u 一磺( c o s 0 ) 且 加) 硼圣再a n 2 _ a r n s i n 口躺( 0 0 s 口) ， 则有 ( 厂。i ，( r o ) 1 p d m a ( 口) ) 1 psa p l l d u l l ，o p o , a 0 如果对于单位圆盘上的正则函数f = u + i v ，其中v 关于可是 偶函数，y 关于可为奇函数，f 在上半圆盘d + = ( z ，) ：z 2 + 耖2 o 内满 足广义c a u c h y - r i e m a n n 方程组 警嚣拦甚0 ， ( 1 1 0 ) 、警y + k 一玩= ， “ 皇坐至塑薹丝丝竺立窒塑圭丝堡堡丝坚墨重 7 并且满足有界性条件 s ，u p l ，j 。i f ( r e 诏) j p d m 删 ， 则称f 属于磺 当1 o ，l ，= 器假设f 砰，| ，p ( i ) 若p = y ，存在有限正测度咖b ，使得如果h ( r ，一) 是它的p o i s s o n 积分，则对所 有的0 有 f ( r e 谚) i ”h ( r ，一) ，0 r l ，则存在函数9 ( 口) 2 ，其中口= l ，使得如果危( r ，p ) 是9 的p o i s s o n 积 分，则( 1 1 1 ) 式仍然成立，并且 s u p 1 i e ( r e 硼) 临= l i g l l q r 2 a ( 2 a + 1 ) ，则当r _ 1 时有j ；ri f ( r e i e ) 一f ( e 胡) l n d m x ( o ) _ 1 作为( i i i ) 的一个推论，当p = 1 时可以得到下面m r i e s z 型定理 推论1 9 设中1 ，d # 2 是两个有限侧度( 即f o ( s i i l 口) 2 i d m l o o o = 1 ，2 ) ) ，假设 咖一n n 碟( c o s 口) 咖2 2 a n + l 2 x 如p 删( c o s 口) ， 则咖l ，咖2 都是绝对连续的 同时也可以得到f a t o u s 定理的推广 推论1 1 0 设牡( z ，! ，) 是a 一调和，正则的偶函数，且满足 ，霄 s u p i u ( r c o s o ，r s i n o ) d r a x ( 0 ) o ，p = 0 定义权函数 h ( z ) = i ( 一z 4 ) 2 i a i ( + 砂) 2 尸 对多项式f ( z ，孑) 定义微分反射算子( 见【6 ，7 】) y h f ( z ) ：= 巧o f ( f z ) 一 t h f ( z ) ：= 刁o f ( 厂z ) + u 巧一p k - i 垒兰掣u 巧+ - ， j = o + 卢荟k - 1 糟 在d u n l d 【6 】中得到靠磊= 磊a = l a b ，其中a h 是h - l a p l a c i a n 算子称，是危一 调和的，如果a h f = o ( 见【5 】) 笺一 h 舢h 伽 口 。 令表示n 阶齐次 一调和多项式的空间，n = 0 ，1 ，2 ，可以认为它是 l 2 ( ( 一7 r ，7 r ) ， ( e 硼) 2 d o ) 的个子空间同时令磁表示k r 磊中多项式在l 2 ( ( 一，r ，丌) ，h ( e 硼) 2 d o ) 中的闭包，则我们有下述结论 命题1 1 1 ( r ，p r o p 1 1 1 ) 如果n 钾n o ) ，则乏磊( z ) k + l 并且牙无( z ) 与k e r 磊正交 推论1 1 2 如( z ) ，孑磊( z ) ：n = 0 ，1 ，2 ，) 是l 2 ( h ( e i 旧) 2 d o ) 的一组正交基 方便起见，假设1 1 1 1 i = 1 ，n 0 ，可定义c a u c h y 核c ( z ，加) ：= 。o o ：0 ( z ) 厕 对于任一个多项式f k e r 磊，有 ，霄 s ( z ) = 卢 ，( e 坩) c ( z ，e 硼) l l ( e 谢) 2 d o ，h 0 ，f z 伽i 0 令七= 1 ， h ( z ) = m 。h p ，可以得到p o ( z ，t t ，) 如下 定理1 1 5 ( 7 ，t h m 3 1 】) 对于h ( x + 锄) = m a h 口，k 叫 1 有 p o ( 删) = 群禹最( 拳i 荔攀1 ；可4 ( i m z 可) ( i m w ) 4 ( r e z ) ( r e w ) 1 4 经典h a r d y 空间及其上的连续线性泛函 1 1 + z 1 2 我们称f ( z ) = u ( z ，y ) + i v ( x ，y ) 是解析的，如果( u ， ) 是一对共轭调和函数对 于圆盘上的解析函数f ( z ) ，记 眸( r ，) = 磊1z 知i f ( r e 讲) l p 硼) ；1 ，。 p ， m o o ( r ，) 2 。m a x z 霄i f ( r e 谚) l 若! 驾嗨c ，则称f 属于俨空间( o p o o ) 若0 ， 0 ) 都有唯一分解( z ) = b ( z ) s ( z ) f ( z ) ，其中b ( z ) 为b l a s c h k e 乘积， e ( z ) 为奇异内函数，f ( z ) 为五r p 外函数反之，任何一个这样的乘积b ( z ) s ( z ) f ( z ) 都属于日p 通常的，称实值函数g ( z ) 在圆盘d 内有调和控制，如果有调和函数u ( z ) ，对 d 内所有的z 满足g ( z ) su ( 彳) 对日p 函数有下面的结论t 定理1 1 9 ( 1 0 ，t h m 2 1 2 ) 若f ( z ) 在圆盘内解析，则f h p ( o p 0 0 ) 当且仅 当i ，( 名) i p 在d 内有调和控制 如果f ( z ) 在单位圆盘内解析，则导函数，心) 的平均增长性与边界函数f ( e i o ) 的光滑性之间有紧密的联系，这一节我们就来回顾其中的一些经典结果 我们称f ( e 诏) a 口，( 0 0 称函数，a ，如果，在圆盘h 1 上连续且在圆盘吲 1 内解析；称函数a a ， 如果，a 且它的边界函数，( e 徊) a o 空间妒( o ，2 丌) ( 1 p ) 中的函数，( e 讲) 的p 阶连续积分模为 rr 2 霄、1 p 郇) 啪，) 蝴s u p s _ 上i f ( e i ( o + h ) ) 。( e 唧i p 枷， 称，( e 棚) 肚，( 0 口1 ) ，如果唧( t ) = o ( t a ) 定理1 2 0 ( 1 0 ，t h m 5 1 1 ) 设，( z ) 是单位圆盘d = t z ： 1 内的解析函数，则 ，( z ) 在圆盘上西= z ：m 1 ) 连续且f ( e 讲) a 口，( 0 q 1 ) 的充分必要条件是 八垆。( 若岳) 1 1 1 2 首都师范大学硕士研究生学位论文 定理1 2 1 ( 1 0 ，t h m 5 4 1 ) 设，( z ) 在单位圆盘d = z ：i z i 1 】i 内解析，则f h p 且，( e 硼) 肛( 1 p o o ；0 q 1 ) 当且仅当 嘶，= 。( d 芦) 定理1 2 2 ( 1 0 ，t h m 5 3 1 ) 设，( z ) 在单位圆盘d 内解析，则，( z ) 在d 上连续且 f i e 徊) a 。的充分必要条件是 八垆。( 击) 关于日p 的连续线性泛函，有下面的定理 定理1 2 3 ( 1 0 ，t h m 7 5 】) 对h p ( 0 p 1 ) 上的每个有界线性泛函妒，都有唯一 的9 a 使得 妒( ，) = l i m1 _ _ f 0 2 ”，( r e 调) 9 ( e 一) 础，丑，( 1 1 2 ) 如果( 他+ 1 ) 一1 p 0 ) 的 广义解析函数，它与超球级数的联系就像经典解析函数与f o u r i e r 级数的联系一样 我们首先在第二章中给出了广义解析函数的基本性质，包括微分反射算子的性 质、圆盘上实值a 一调和函数f ( z ) 的性质以及圆盘上的c 函数f ( z ) 是a 一解析的 充分必要条件等等，这些性质在后面的研究中发挥着重要作用第二章的主要结论 是 命题2 1 0 对于定义在圆盘上的实值a 一调和函数，( z ) ，存在数列 o n ) 和 6 。) 与超球展开相关的h a r d y 空间上的连续线性泛函 使得 他陬+ 薹锹p 础删+ 揣蚺1 - _ 扎1 t c o s 啪t n 田 其中z = r e i 9 , o r 1 上式中数列 ) 和 k ) 可以由下列式子给出 = 熙，( r 沙) 磁( c 0 8 妒) 吼1 s i n 妒1 2 入如，佗。 k = a _ m i r f ( r e 如p a + 1 ( 1 2 0 8 妒) s i 妒c a s i n 妒i 从如，n 1 - 命题2 1 1 对圆盘上的c 函数f ( z ) ，是a 一解析的充分必要条件是，可以 表示成下列幂级数形式 m ) = c ，l ( z ) ，i z l 1 n = 0 上式中的岛可以由下式给出。 铲，骧上。竹e 硼) 砾觋刈s i n q o l 2 a 却 我们在第三章中研究的问题是，c a u c h y 核的三r p 估计以及它在广义微分算子 作用下t c ( z ，伽) 的俨估计第三章的结论是 命题3 2 设0 p 1 ，对所有的 t o 满足川= 1 ，一致地有l i v ( ，w ) i i h ，c 命题3 4 设2 2 x _ l + + a 2 p 1 ，对1 w l = 8 1 有l i t h e ( ，面) 0 胂c p ( 1 8 ) ；1 在第四章中，对接近l 的p ，即黼 p 0 及圣2 a 叁+ 担2 p 1 ，则对h a r d y 空间磁上的每个连续线性 泛函f ，存在g 矸使得对任何，娥，有 f ( ，) 2j 驾上霄，( 詹8 ) 9 ( e 卅) 以j s i n 口1 2 硼， 而g 具有性质 0 疋9 ( z ) 0 日尹c ( 1 一i z l ) ；一2 1 3 第二章关于广义解析函数的性质 在这一节我们对于在圆盘上关于测度is i n o l 2 a d o 的广义解析函数的性质做进一 步讨论 像通常一样，我们记2 = z + i y ，孑= 。一i y 及，( 名，孑) = ，( z ，) 事实上，作为广 义解析函数，可能与z 和牙都有关系，不仅仅是z 的函数，但是为了方便起见常 简写为f ( z ，乏) = ，( 名) 以及 2 1 微分一反射算子的性质 在本节中我们所称的。c 函数，。是指，关于变量x , y 是无穷次可微的 从1 3 可以知道相关的微分反射算子是 死，= 墓 t d = 筹+ 竽麴掣， y z f ( 加瓦o f + 入訾 驯加历o f a 掣挚 注意到瓦0 = ( 差一t 南) 和砸0 = 孔1 瓦0 + l 南) ，我们有 命题2 1 对于圆盘上的可微函数，有 t d ( z ) = ( 互一i t y ) f ( z ) t d ( z ) = ；+ i t v ) f ( z ) 1 5 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 1 6 首都师范大学硕士研究生学位论文 让明。争买上 三( l 嵋z ) = 糕一t 筹一了2 ) 、i 抄1 沪他，训 = 丢( 墓一t 鼽a 塑删2 互【盂叫葛) 尘旦葫旦_ ：型- 4 l - ) a ，丝) 二丝2：= ：- - 一- - - 二- 二- - - - - - - - - 二- o z 。一 z 一乏 = 已f f z ) 。 同理有 t 牙( z ) = 言+ 砚) ，( z ) 相关的广义l a p l a c e 算子是 = 4 t ：t a = 4 疋疋= 霹+ 巧 我们称圆盘上c 函数，是a 一解析函数，如果k e r t 孑，即t d = o ；称，是 a 一调和函数，如果乱，= 0 显然，如果，是a 一解析的，则，是a 一调和的 微分反射算子互和乃具有如下性质： 命题2 2 对于圆盘上的可微函数，我们有 t i f ( z ，乏) = t d ( z ，之)( 2 5 ) 正( ，夕) ( z ) = 疋，夕( z ) + g ，( 名) 一a 土互l 二j 丛 鬯! 掣 ( 2 6 ) 踟9 ) ( 归酚北) + 砀删+ a 幽登竽韭! ! ( 2 7 ) 命题2 3 函数f ( z ) = t ( z ，可) + i v ( x , ，秒) 解析的充分必要条件是u ，t ，满足广义 c a x m h y - p d e m a n n 方程组 j ，t = u = 弓u 1 写u = 一l t ，。 ( 2 8 ) 与超球展开相关的h a r d y 空间上的连续线性泛函 证明根据易的定义可知 t z f ( z ) = 言+ 讥) f c z ) 1 = 丢+ 吗) ( t + i v ) 1 = 去 t , u 一毛t ，+ i ( t , v + 弓t ) 】 必要性。若f ( z ) 解析，则马= 0 ，所以有 t , u = 毛u ，t v = 一弓t 充分性显然命题得证 命题2 4 对于圆盘上的可微函数，如果死，= 0 ，乃，= 0 ，则f 三a ( a 为常 数) 证明由正厂= 0 可设，( z ，y ) = 9 ( 可) 记g ( y ) = g l ( y ) + 卯( 可) ，其中g l 为y 的偶 函数，兜为y 的奇函数由t , g = 0 可知 契+ 挈+ 一2 a 9 2 ：0 ， 白白。y “ 故必有努= o 以及智+ 警9 2 = 0 从而g l ( y ) 三a ，夕2 ( ! ) = c 2 1 可1 2 a 8 9 n 耖国o ) 这样g ( y ) = c 1 + c 2 1 y l - 2 a s 鹃! ( 剪o ) ，由于g 是可微函数，所以必有c 2 = 0 ，即 ，( z ，y ) = 9 ( 秽) = 仍，命题得证 2 2关于测度ls i n0 1 2 a d 0 的标准正交基 根据d u n l d 【7 】，h i l b e r t 空间驴( 【一霄，霄】，c a is i no l 烈d o ) ( 咬1 = 2 b ( a + 1 2 ，1 2 ) ) 的 一个标准正交基是 c n ( e 硼) ，e 一讲无( e 胡) ：n = 0 ，l ，2 ，) ， 其中( z ) = 鬲磊孑西a + 1 ( z ) ，而 西卅1 ) ( z ) = ， 笔竽磁( c o s p ) + ts i n 口躺口) ) ， 其中磷( c 0 8 们是关于参数入的n 阶超球多项式 1 7 1 8首都师范大学硕士研究生学位论文 利用d u n k l 4 ，p r o p 2 3 】，可得 = ( 一x c c x , x + 1 ) ( z ) + ( n - i - a ) c p + 1 ， ( z ) ) = ，( 他+ 2 a ) 芸磺( 咖口) 一i 8 i i l 口础( c 0 8 伊) ) 西，卢是h e i s e n b e r g 多项式，其生成函数为 ( 1 一t 乏) 一。( 1 一t z ) 一卢= 矿钟，卢( 名) ，m 1 n - - 0 关于一般的h e i s e n b e r g 多项式c 驴( z ) ，可以参见d u n l d 【4 】 从d u n k l 7 可知( 参见前面第三节) ，( z ) 是a 一解析的，量石两是入一调和 的事实上，如果记( z ) = + i v ，利用超球多项式的性质可以直接验证u ，u 满足 广义c a u c h y - r i e m a n n 方程组( 1 1 0 ) ，从而西，l ( z ) 是a 一解析的 我们可以直接验证牙碟一l ( z ) 是调和的，即马疋( 乏碟一1 ( z ) ) = 0 事实上，记f ( z ) = 牙，g ( z ) = 珐一lz ) ，首先有正，= 疋( 乏) = 一口，乃，= 乃( 牙) = 1 + d ， 所以有 乃正( 三碟一l ( z ) ) =乃( 一q 9 ( z ) + 巩9 + q ( g ( z ) 一9 ( 乏) ) ) - a t 2 ( g ( z ) ) + 马( j i 疋9 ( z ) ) + 口乃( 夕( 名) 一g ( o ) = 一q 正0 ( z ) ) + 噩乏t ：g ( z ) + 乃正9 ( z ) 孑一a ( 疋9 ( 彳) 一码9 ( 牙) ) + q 乃( 9 ( z ) ) 一q 码( g ( 牙) ) = ( 1 + q ) 正9 ( z ) + 刀j 疋9 ( z ) 一q 己夕( z ) = t ：g ( z ) + 乏2 2 ：9 ( 石) 利用命题2 2 和旌解析，在上式中我们有 t 。g ( z ) = 马砖一l ( z ) = 0 ， 所以马已9 ( z ) = 0 ，代入原式可得 马( 乏碟一l ( z ) ) = 0 ， 即面丽是n 次齐次调和多项式 h e i s e n b e r g 多项式c 驴，所( 名) 的具体表达式是( 见d u i d d 【7 】) 秽= 薹糯妒舵。 容易验证，毋，所( z ) 具有下列性质； ( i ) 西) = 竹，卢( 乏) = 钟，a ( z ) ； ( i i ) 未毋，所= 删n 郇- - i + 1 ) ( 础是钟) = q 啦! 脚( 础 ( i i i ) c 紫，卢( z ) = c 字+ 1 刃( 名) 一乏c 缝1 ，卢( z ) ，( d u n k l 4 ，p r o p 2 3 ( 3 ) 1 ) 命题2 5 对n l ，正加z ) = 、n m + 2 入) 一l ( z ) 证明t 利用上述性质我们有 正删：c oc ( a 卅1 ) ( 卅a 坐遵掣 = ( a + 1 ) 啦p ( z ) + 圭( 甜+ 1 圳( 名) 一牙啦! 圳( z ) 一甜+ l t m ( 孑) + z 啦! 圳( 三) ) = ( a + 1 ) c ：辁：+ 2 o ) + a a 专1 , a + i 0 ) 叫川薹觜y i z n - l - j + a 薹鼍黔舻疵叫 = 薹觜l z j z n - l - j ( h 州) + ( 叫 ：( n + 2 a ) c 坠，p 1 ( z ) 因此得到疋( z ) = 币再i 嘶n - - ( 石) 命题2 6 如果，是入一解析的则瓦，也是a 一解析的 证明- 因为疋正，= t z t 王f = 已o = 0 ，所以，是a 一解析的 2 0 - ! 查l 师苎叁兰堡丛壅皇堂堡堕圭 2 3 a 一调和函数与a 一解析函数的级数表示 根据d u n l d 【5 】圆盘上关于测度 s i n 0 1 2 的c a u c h y 核是 0 0 c ( z ，) ：= ( z ) 雨丽， n = o p o i s s o n 核是 其中 p ( z ，伽) ：= c ( z ，伽) + 知c ( t l ，名) = ( z ) 丽y + 瓣加( 伽) n - - - o n = o 关于c ( z ，伽) 和p ( 名，砷我们有下面的引理( 见d u n k i s ) 。 引理2 7 对f 。t ，i 1 ，有 p ( 名，) = 与亍圭攀p o ( z ，) m = 杀岛局( 训) p o ( 钏) 2 而去可j ou h l ( 1 - u ) a ( ( 1 一似) j l 一别2 + 牡1 1 一硎2 ) 一 如 注记t 对z = r e 徊，伽= 8 砂，i r s l a c q i o - ( 1 - r ) j 却 l i p 一驯 j i 妒i - 2 - 2 x 却 c ( 1 一r ) 6 2 一， l i r a p ( r e m , e 妒h is i n 妒1 2 如= 0 ( 2 1 1 ) r _ i j - 妒- 0 1 6 关于0 一致地成立 根据( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) ，利用常规方法可以证明- 对，c 2 。，l i m 一1 一i i 耳，一川仍，= o ；再利用i i p d l l p i l ，i i p 及伤，在妒( f _ ，r ，丌】， s i n o 2 a d o ) ( 1 p ) 中的稠密性， 可以证明t 对每个f 2 ，有l i m r + 1 0 只，一，| i p = 0 命题2 9 对于定义在圆盘上的实值a 一调和函数( z ) = ，( z ，耖) ，有 ，( r l r 2 e 讲) = 只l ( 2 ，e 硼) ，0s7 1 ，r 2 1 ， 其中 ：( e 砸) = f ( r 2 e 讲) 证明。记u l ( z ，矽) = f ( r 2 z ) ，坳( z ，可) = 耳。( ，r 。，e 徊) ，。= r l e 徊= z + i y ，由于，在圆 盘内是连续的，所以f ( r 2 z ) _ f ( r 2 e 徊) ，r l _ 1 一又由命题8 ，b 。( 厶，e 胡) 一f ( r 2 e 硼) 因此，扣l 一忱) i a d = 0 由于t 1 1 ( z ，) 和t 2 ( 。，! ) 都是a 一调和的，所以u z ( x ，! ，) - u 2 ( x ，可) 是a 一调和的 利用a 的极大值