（基础数学专业论文）临界无限的类星形二次多项式的粘合.pdf

临界无限的类星形二次多项式的粘合 基础数学专业 研究生：段芳指导教师：周吉教授 内容摘要：本文借助于m a s p e n b e r g 和m y a m p o l s k y 的思想，参照y o c c o 拼图的方法，利用气泡线对参数空间进行拼图剖分，证明了临界无限且具有周期为 二的吸性轨道的二次多项式，- 7 8 = z 2 7 8 与，c ( z ) = z 2 + c 的共形粘合存在且 唯一，c 是临界无限，不可重正规化并且没有非排斥周期轨道的二次多项式，其中c 不属于m a n d e l b r o t 集的1 2 分支 关键词：粘合；气泡线；轨道特征；拼图剖分；不可重正规化 第i 页 m a t i n gc r i t i c a l l yi n f i n i t ea n dq u a s i s t a r l i k eq u a d r a t i c p o l y n o m i a l s b a s i cm a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：f a n gd u a ns u p e r v i s o r ：j iz h o u a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fm a t i n g s o f ，- 7 8 = z 2 一z s ，w h i c hi sn o tc r i t i c a l l yf i n i t ea n dh a sap e r i o d i cp o i n tw i t h p e r i o d2 ，w i t ha n yq u a d r a t i cp o l y n o m i a lw h i c hl i e so u t s i d eo ft h e1 2 一l i m bo fm i sn o n r e n o r m a l i z a b l e ，a n dd o e sn o th a v ea n yn o n - r e p e l l i n gp e r i o d i co r b i t s t h e a p p r o a c hc o n s i s t so fc o n s t r u c t i n gay o c c o zp u z z l ep a r t i t i o nb yb u b b l er a y sw h i c h i np l a c eo fe x t e r n a lr a y s ，b a s e do nm a s p e n b e r ga n dm y a m p o l s k y si d e a k e yw o r d s ：m a t i n g ；b u b b l er a y ；o r b i tp o r t r a i t ；p u z z l ep a r t i t i o n ；n o n r e n o r - m a l i z a t i o n 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师周直熬援 指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷 版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供检 索：2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的 学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。 论文作者签名：器豸 伊巾坤月i o 日 第一章绪论 对多项式的动力系统已经进行了广泛研究，并且得到了很多很好的结论为 了利用熟知的多项式的性质研究有理映射，d o u a d y 和h u b b a r d 提出了“粘合” 的方法：通过一对具有连通j u l i a 集的等度多项式构造一个有理映射或者是二 维球面s 2 的分支覆盖，根据多项式的性质可以得到有理映射很多很好的性质 目前，更多的是对二次多项式粘合的研究 1 1 预备知识 对解析函数r ：s _ s ，s 是黎曼曲面，形是r 的迭代，对z 0 s ，点劲的 前向轨道记为0 + ( 劲) ，定义为 0 + ( 细) = 劲，z 1 = r ( 绚) ，= 彤( 硒) ，) 点z o 的后向轨道记为o 一( 纫) ，定义为 o 一( 纫) = z o ，r 一1 ( 如) ，r n ( 7 - 0 ) ，) 如果在0 + ( 匈) 中存在最小的p 0 ，使得r p ( z o ) = z o ，则称点z o 为周期点， p 为周期这时0 + ( z 0 ) 由周期循环组成，记为 0 + ( 硒) 兰 硒，r ( 绚) ，r p 一1 ( 劲) ) 特别地，若p = 1 ，冗( 幻) = z 0 ，则称点z o 为不动点，0 + ( 纫) = 翔) 称 a = ( 舻) 7 ( 细) = 影( 劲) r ( z 1 ) 爿( 爷1 ) 为周期点绚( 幻。) 的乘子；当周期点z o = o 。时，定义乘子a = 面订丽1 根据乘子的模，可将周期循环分为以下四类： ( 1 ) 吸性的，如果0 l a l 1 ； ( 2 ) 超吸性的，如果入= o ； ( 3 ) 中性的，如果l a i = i ，这时a = e 撇当q q ( 有理数集) 时，称为有理 中性的；o t r q 时，称为无理中性的； ( 4 ) 排斥的，如果l i a l 1 ) 构成的曲线，记作7 ( k ) 7 ( t ) = 1 1 罂( r e 2 刑。) 称为磁( k ) 在j ( f ) 上的着落点特别地，7 ( o ) 称作，的p 不动点 第2 页毕业论文 第一章绪论 任意一个二次多项式都可以通过共轭变换为五( z ) = z 2 + c ，使临界轨道 有界的参数c 组成的集合称作m a n d e l b r o t 集，记作朋特别地，使五有一个吸 性不动点的参数c 构成了m 的主心脏，记作c ，ccm 并且髭co m 事实 上，对任意复数a ，存在唯一的二次多项式f ( z ) = z 2 + c ，满足：，有一个不 动点，且，7 ( z ) = a 因为z 2 + c = z ，入= 2 z ，解得c = c ( a ) = a 2 一( 入2 ) 2 当 1 ) ) ，t t = 豫z 设兜( t ) 为亿( t ) 在t 的闭包在q 定义线性等价关系一，：z 一，伽当 且仅当存在闭的外射线的有限序列 7 钙) = 兜( 巧) ) ，i = 1 ，2 ，歹= 1 ，n ， 使得z 7 皂l ，彬觞并且岛n 鹆+ 1 d ，j = 1 ，死一1 根据定义可以 得到，如果 ，如可以拓扑粘合，那么商空间q 一r 也是一个二维球面，并且 ( l j ，2 ) 一，皇 u 丁，2 可以用线性等价关系给共形粘合一个广泛应用的等价定义 定义1 2 4 【4 8 】设 ，五是具有局部连通填充j u l i a 集的二次多项式黎 曼曲面上的二次有理映射f 称作 和五的共形粘合，如果存在连续的半共轭 仇：k ( 五) 一e ，满足：慨。五= fo 慨，i = 1 ，2 ，慨在填充j u l i a 集k ( f i ) 内部 共形，使得l l o l ( k ( f 1 ) ) uq 0 2 ( k ( a ) = e ，并且对i ，歹= 1 ，2 ，也( z ) = 奶) 当且仅 当z 一，w 引理1 2 5 【3 1 】( 共形粘合的性质) 。如果f = u 如是一个共形粘合，那 么： 的卢不动点只能和，2 的p 不动点粘合 的一卢不动点只能和厶的一p 不动点粘合 和，2 的临界点对应于f 的两个临界点特别地，这两个点在粘合映射 下保持不同 1 3 粘合的进展 本节将介绍二次多项式粘合的有关结论和工作进展 定义1 3 1 设r ：s 2 _ 5 2 ，i = 1 ，2 是具有有限临界集只的分支覆盖，定义 f l 与f 2t h u r s t o n 等价，如果存在保向同胚妒，：铲_ s 2 ，使得妒of 1 = 马。， 并且，妒关于p f l 同痕 第4 页毕业论文 第一章绪论 利用临界有限的有理映射的t h u r s t o n 特征( 见【1 4 j ) ，谭蕾( 阻】) 和r e e s ( 3 5 】) 研究两个具有周期临界轨道的二次多项式f l ( z ) = z 2 + c - 和五( z ) = z 2 + c 2 的粘合，指出： ，如的形式粘合 u 户，2t h u r s t o n 等价于某个有理映 射f 当且仅当c l 和c 2 不在m a n d e l b r o t 集的共轭分支同时，这样得到的f 也 是 和办的共形粘合 s h i s h i k u r a ( 见 4 2 】) 拓展到了临界轨道最终周期的情况对二次多项式 z ) = + c 1 ，2 ( z ) = z 2 + c 2 假设c 1 和c 2 不在m a n d e l b r o t 集的共轭分支， 那么当 和，2 都有最终周期的临界轨道时，它们的共形粘合存在 特别地，m i l n o r 研究了临界点最终周期，并且j u l i a 集是树形的二次多项式 厶“与它自身的粘合，其中c l 4 是m a n d e l b r o t 集的1 4 外射线 兄1 4 ( m ) 的着落 点f = 五，。u 上，一是一个l a t t 爸s 映射 通过拟共形手术，可以把r e e s 和s h i s h i k u r a 的结论扩展到具有连通j u l i a 集的双曲多项式设二次多项式 ( 名) = z 2 + c 1 ，2 ( z ) = z 2 + c 2 ，c 1 和c 2 属于 m a n d e l b r o t 的不共轭的双曲分支皿和凰，那么 和如可以共形粘合，并且得 到皿h 2 与二次有理映射参数空间的某个双曲分支之间的同构( 见【1 5 1 ) 注意到，c 1 和c 2 不在m a n d e l b r o t 集的共轭分支是拓扑粘合的必要条件对 二次多项式 ( z ) = z 2 + c 1 和，2 ( z ) = z 2 + c 2 ，如果c l ，c 2 在m a n d e l b r o t 集的共 轭分支，着落到 和五的可分不动点q l 和q 2 的外射线 佗l ( 岛) ) 和 砌( 巧) ) 有 相反的角度( 见【2 9 】) 即q 1 一rq 2 ，那么商空间q 一，不再同胚于二维球面从 而， 和，2 不能拓扑粘合 以上的研究都基于t h u r s t o n 等价，直到1 9 9 5 年j l u o 在他的高等学位论 文 2 0 】中简述了y o c c o z 二次多项式和星形二次多项式的共形粘合存在性的证明 1 ( z ) = 户+ c ，c 朋是y o c c o z 二次多项式，如果满足：只有排斥的周期轨道， 并且至多有限次可重正规化( z ) = z 2 + c 称作星形二次多项式，如果c 是附着 于m a n d e l b r o t 集主心脏的双曲分支的中心他给粘合设一个含参数的有理映 射，利用y o c c o z 的拼图分割和y o c c o z 的复边界来证明这个含参数的有理映射 就是满足条件的共形粘合 m y a m p o l s k y 和s z a k e r i ( 见 4 8 1 ) 采用j l u o 的证明方法得到以下结论： 设口和p 是两个有界型的无理数，0 称作气泡f 的“代数 ，记作g e n ( f ) z o 的 原像，f 一_ - 7 g ，8 e n ( f ) ( 翔) nf 称作f 的中心 定义气泡线舀为气泡的集合u 孑s 最，满足：对每一个七，瓦n 瓦+ 1 = z 七】是一个单点，并且g e n ( f k ) z o ，记l o = 7 0 = 【q 一7 s ，z o 】u z o ，胡是玩的 轴，规定沿q r s 到幻的方向为l o 的正方向取2 1 岛8 ( z o ) ) h1 1n l o = q r s ， 记t l = - 1u i ou - 一r s 2 2 t n = t n _ luh luh 2 其中是岛8 一1 ) b o 与 k 一1 相交的两个分支 定义3 1 6 定义2 = u t n 为b 的主轴规定沿l o 的正方向为z 的正方向， 2 沿逆时针方向旋转1 8 0 。的区域称为2 的上方，否则为z 的下方 定义3 1 7 设无穷气泡线艿= u 孑s 最着落于z p ，考虑z 的前向迭代 巧= 罡r s ) 对o ，1 构成的序列s ( 召) = ( 鼠) 产作如下定义： 岛= 0 ，如果戤在主轴上方； s i = 1 ，如果鼢在主轴下方； s i = 1 ，= 0 对歹 i ，如果黾不属于以上两种情况 若z = p ，记s ( b ) = ( o ) a 称s ( b ) 是召的特征地址 3 2 忌的气泡线 对r n 的气泡线的定义完全类似于定义3 1 1 第1 1 页毕业论文 第三章气泡线的构造及性质 定义3 2 1凡的气泡定义为包含于u r ( a ) 的f a t o u 分支满足 珊( f ) = a 的最小非负数n 称作气泡f 的“代数 ，记作g e n ( f ) 原像 薪g 蛆f ( o o ) n f 称作f 的中心 定义气泡线b 是满足：对每一个k ，瓦n 瓦+ 1 = z 七】是一个单点的集合 u 孑f k ，并且g e n ( r ) i ，如果f 不属于以上两种情况 若f 与l o 有交，记一( 召) = ( o ) 铲 引理3 2 3 通过把$ - 7 8 和见的特征地址相同的气泡对应来延拓西： 岛s ( 玩) _ 珩n ( a ) 到k 7 = k 一7 s u 是j 0 塌s ( q ) ，并且这个共轭满足： s ，( ( b ) ) = s ( 日) ，对n 7 8 的每一个气泡线b 定义3 2 4 对忌的无穷气泡线b ，定义它的角么( b ) 三么 - 1 ( 召) ) 3 3 参数气泡线 从k 一7 8 去掉q r s 得到两个连通分支c 和冗，c 和冗分别位于q r s 左右 两边记心= 冗一b o ，见( z ) = r ( z ，口) ，冠( z ) = 舻( z ，a ) 第1 2 页 毕业论文 第三章气泡线的构造及性质 定义3 3 1 设a o 满足对某个k n ，硪( 1 ) = o o ，设扎= m i n kl 硪( 1 ) = o o ，七n ) 设参数a 的连通集尸包含a o 且满足p = 【oi 磁( 1 ) a ，称 p 为参数气泡，点a o 为p 的中心，扎为p 的代数，记作g e n ( p ) = 几特别地， 民= 口l 一口a 此时，j ( 凡) 是拟圆 考虑引理3 2 3 给出的共轭西，可以得到以下结论： 引理3 3 2 【2 】设参数气泡p ，g e n ( f ) = 佗2 ( 1 ) 设n p ，玩是见的包含临界值一a 的气泡，那么存在唯一的气泡 w 豇7 8 ，使得咖以( b o ) = w ( 2 ) 对每个气泡w j l 7 8 ，存在唯一的参数气泡p ，使得对任何t 2 p ，有 - 1 ( 坟) = 彬- a b a ( 3 ) a 0 p 当且仅当一口a 玩 ( 4 ) 参数气泡p 是有唯一中心的单连通开集 根据上述引理，定义参数气泡到冗的单射矽：口h 西- 1 ( 一o ) 记矿为见 参数气泡的并，砟= p 民由引理2 2 2 ，立刻可以得到以下命题： 命题3 3 3 2 】对参数气泡p 民，q p o o ，设p 7 = 妒( 尸) ，q 7 = 妒( q ) 以下结论成立： ( 1 ) 歹n 虿n ( - 。) 。= o 当且仅当歹n 虿= 囝； ( 2 ) n 虿n 旷) 。恰有一个点当且仅当f n 虿恰有一个点； ( 3 ) 尸= q 当且仅当p ，= ； o 而且，妒( p ) = 冗 定义3 3 4 设无穷气泡线召= r 孑s ck 一7 8 ，z ( b ) = 0 1 3 ，2 3 称对应的参数气泡序列 最) 孑s 。o 为属于p + 的角度为口的参数气泡线，记 么( p ) = 0 ，其中妒( p k ) = 最 定义气泡线p 的轴7 伊) 兰u f f o z 仇! ，= x k ，z ( r ) 】u 【z ( r ) ，z k + ，】是r 的 轴，其中z 七= 瓦n 七+ 1 ，z 七+ 1 = 瓦+ 1n 2 第1 3 页毕业论文 第三章气泡线的构造及性质 3 4 气泡线的性质 本节将介绍见和参数空间的无穷气泡线的性质( 参见【2 】) 引理3 4 1 【2 】2设b 是兄的周期的无穷气泡线，b 的轴，y 与临界点的前向 集的闭包无交，那么，y 着落于一个排斥或者抛物的周期点 引理3 4 2 【2 】设召是兄的周期的无穷气泡线，b 的轴7 与临界点的前向 集的闭包无交，那么7 不可能着落于任何一个气泡的边界 引理3 4 3 【2 】设8 是r a 的周期( 最终周期) 的无穷气泡线，如果存在， 使得所有代数大于或等于的气泡b 都与临界点的前向集的闭包无交，那么 1 着落于一个单点 在给出无穷参数气泡线的性质之前，我们先介绍轨道特征的相关知识 对二次多项式五( 名) = z 2 + c ，设z lhz 2h h 酃hz 1 是，c 作用下周 期为p 的轨道如果这个轨道是排斥或者抛物的，那么 z l ，z 2 ，昂 是周期的 外射线冗( 巩) 的着落点的集合( 参见 2 9 ) ， 定义3 4 4 【2 8 】对每个1 isp ，记a = 磷，嚷) 是着落于钆的外射 线的角度的集合o = a l ，如) 称作循环 z l ，昂) 的轨道特征根据循 环的类型，对应轨道特征为排斥或抛物的 定义3 4 5 【2 9 】对a = p 1 ，以) ct ，记e x p ( a ) = e 2 枷z ，e 2 枷k c 5 1 满足以下性质的集合 a 1 ，岛 称为循环2 7 1 ，昂) 的形式轨道特征： ( 1 ) 每个a 是t 的有限子集； ( 2 ) 对每个j 模p ，倍增映射th 2 tm o d ( z ) 把厶一一映射到a j + 1 ，并围绕 单位圆保持循环的次序； ( 3 ) 所有属于a 1u u 如的角在倍增映射下有相同的周期r p ； ( 4 ) 对i j ，e x p ( a ) 和e x p ( a j ) 的凸包无交 轨道特征d 的基数v o 为a 中元素的个数钞d 2 时，对每个a ，t a 包 含有限条余弧，它们具有以下性质 第1 4 页毕业论文 第三章气泡线的构造及性质 引理3 4 6 2 9 】设p = a 1 ，如 是一个形式轨道特征，a 的余弧中有 一条长度大于v 2 ，在倍增映射下的像把a + 1 的某段余弧覆盖两次除此之外， a 其他的余弧在倍增映射下与a + 1 的余弧一一对应 定义3 4 7 【2 9 】这条最长的余弧称作a 的临界弧，a + 1 中被覆盖两次的余 弧称作a i + 1 的临界值弧 引理3 4 8 【2 9 】设p = a 1 ，如 是一个形式轨道特征，所有a p 的 余弧中，存在一条最短并且唯一的弧乃，历是a 的临界值弧，并且包含于其他 临界值弧 定义3 4 9 2 9 】这条最短的余弧易称作p 的特征弧 定理3 4 1 0 【2 9 1 如果o = a x ，4 是一个形式轨道特征，那么总存在 一个二次多项式f 和它的一个轨道 z 1 ，唧) 实现o 对应二次多项式的轨道特征，可以直接定义忌的轨道特征，并得到相关性 质 定义3 4 1 1 设z 1hz 2h hz phz 1 是兄作用下周期为p 的排斥或 抛物的轨道，设有有限条周期的无穷气泡线着落于z t ，a 是这些气泡线的角度 的集合那么见的轨道特征是集合o = a 1 ，4 】- 给定两个角p l 如，记 日10 如】c 可是单位圆圈上从口1 到如逆时针方向 的弧称9 位于p 1 和如之间，如果p 【p 1op 2 】ct 设召1 ，岛是起始于a 的气泡线，它们有定义好的角p l ，口2 和轴饥，能 着落于公共点z ，d 是轴饥，倪围成的有界区域，且d 不包含任何角度在 p 1o0 2 】的气泡线 召1 和岛的位于d 外部的边界的并称为8 1 ，岛的外边界同样可以定义 岛，如的内边界称z e 位于召l ，岛之间，如果z d 但名岳万1u 瓦 引理3 4 1 2 【2 】设o = a 1 ，4 ) 是一个形式轨道特征，u 。2 ，记 z = 砖一ot + 】是它的特征弧如果这个形式轨道特征被某个吼实现，那么一口不 在统一和鼠+ 的外边界，玩一和玩+ 分别是角度为t 一和t + 的气泡线 第1 5 页毕业论文 第三章气泡线的构造及性质 引理3 4 1 3 2 9 设d = a 1 ，岛) 是一个形式轨道特征，z = i t o t + 】是它的特征弧记只一和只+ 分别是角度为亡一和t + 的参数气泡线，设a p ， p 是位于只一和r + 之间的某个参数气泡，那么轨道特征p 可以被r 实现 引理3 4 1 4 【2 】设形式轨道特征o = a 1 ，4 ) 能被某个见和它的一个 排斥轨道 x l ，唧) 实现， x l ，唧) 是气泡线的着落点集设o a ，t ( 0 ，1 】是 沿n = a o 的一条连续路径，并且对应的周期轨道【z i ，) 保持排斥性同 时对任何t ，镌( 一毗) 不在角度为，y o 的气泡线的边界那么形式轨道特征 o = a 1 ，4 ) 能被所有吼。实现 引理3 4 1 5 2 】2设风有抛物不动点z o ，r ，幻( 幻) = e 2 m p q ，p 口q ，口) = 1 ，则存在q 条周期的气泡线岛，j = 1 ，q 着落于z o 记0 = 口1 ，) ) 是 z o 的轨道特征，z = p o 矿】是特征弧那么角度为t 一和矿的参数气泡线 只一和r + 着落于a o 定义3 4 1 6 【2 9 介于上述引理中的两条参数气泡线死一和r + 的点的集 合称为特征区域，记作w = 缈( 亡+ ，t 一) ，p = p ( t + ，t 一) 是相应的轨道特征 引理3 4 1 7 【2 】a w 当且仅当兄存在一个轨道特征为0 ( 矿，t 一) 的排斥 不动点 第1 6 页毕业论文 第四章拼图片的构造及性质 4 一厂c 的y o c c o z 拼图 首先，回顾y o c c o z 构造具有连通j u l i a 集且没有非排斥周期轨道的二次多项 式，c 的拼图片的主要步骤设厶的两个不动点是a 与p ，其中口是口条循环外 射线的着落点，记为冗1 ，b s t t c h e r 坐标西：e k ( a ) _ e d 使五共 轭于2h 名2 固定任意的r 1 ，记历为等势线日= 西以( r e 2 棚妒【0 ，l 】) ， u o2 咒1u uru 研u 0 1 c g o 的有界分支称作厶的深度为。的拼图片， 记这g 个拓扑圆盘为p g ，j = 1 ，q 定义五的深度为d 1 的拼图片是深度 为d l 的拼图片砭兰的原象厂- 1 ( 砭三) 命题4 1 1f 2 9 】为了研究j u l i a 集的局部连通性对j u l i a 集作y o c c o z 剖分， 利用了以下两个有用的结论： ( m a r k o v 性质) 任何两个拼图片不相交或者其中一个包含于另外一个即 日n 磁= 仍或者p jc 磁； 磋n 五是连通集 m a r k o v 性质保证了以下定义： 定义4 1 2 对任意点z 五，q u 七( z ) ，记p d ( z ) 为包含z 的深度为d 的 拼图片，定义山( z ) = r ( z ) 万鬲两如果p d + 。( 名) 完全包含于r ( z ) ，也( z ) 是一个模为正数的圆环；如果p d ( z ) 的边界与尸d + 1 ( 弓) 的边界相交，a d ( z ) 是一 个退化的圆环九( 0 ) 的序列称作临界环 b r a n n e r 和h u b b a r d 利用g r s t z c h 不等式，得到以下结论( 【9 】) ： 引理4 1 3设a t ，i n 是有单连通余分支的有乔共形环序列，记毗是 c 五的有界分支，满足：a + 1cw ：，r o o da = 。o 那么d i a m ( n ) = 0 特别地，y o c c o z 给出了以下结论： 第1 7 页 第四章拼图片的构造及性质 引理4 1 4 【3 0 】若丘不可重正规化，则e r o o da d ( o ) = o 。 y o c c o z 的证明( 【3 0 】) ，沿用了b r a n n e r 和h u b b a r d ( 【9 】) 提出的“表格 的概 念 对点z 五，考虑它在丘作用下的轨道：z = z ohz 1h 勿h 注意 到，p d ( 巧) 到p d 一1 ( + 1 ) 的映射是共形同构或者是二重的分支覆盖，这依赖于 拼图片局( ) 是否含有临界点 定义4 1 5设s ( z ) = m a x d 0i 疡z ) = p d ( o ) ，d z ) 若对所有 的d ，有r ( z ) = p d ( o ) ，记s ( z ) = o 。；若对所有的d ，有p d ( z ) p d ( o ) ，记 s ( z 、= - 1 环有以下三种可能： 临界情况：d s ( 忍) 此时，临界点0 隹a d ( z d ，a d ( 旎) 共形映射到 a d 一1 ( 旎+ 1 ) 容易得至0 ：m o d 钆( 么) = r o o da d t ( z i + 1 ) ； 半临界情况：d = s ( z i ) 此时，临界点0 a d ( z i ) ，且r o o d 也( 名) j r o o da d 一1 ( 讥1 ) 定义4 1 6 ( y o c c o z 拼图的临界表格)设0 = c ohc 1h ，h ，= 宽( 0 ) 是上述五的临界轨道，将a d ( j ? ( 0 ) ) 记作a d ( o ) ，l z d ，n = m o d a d ( 宽( o ) ) ，d ，n 0 ，五的临界表格就是( 脚一) 和圆环标记( i 临界，半临 界，非临界) 组成的满足以下规则的一个二维表格 规则1 给定n ( 礼0 ) ，第n 列的环( o ) 是以下三种情况之一： 所有a 咖( o ) ( d 0 ) 均是非临界的；此时，称第礼列是完全非临界的； 所有a 咖( o ) ( d 0 ) 均是临界的；此时，称第扎列是完全临界的； 存在d o 0 ，缸n ( 0 ) 是半临界的，当d d o 时，a d ( o ) 是非临界的此时，称第礼列有一个半临界深度d o 显然，第0 列是完全临界的 第1 8 页毕业论文 第四章拼图片的构造及性质 规则2 如果如( 0 ) 是半临界的，则对任意的0 0 ，则加，n = 。 d 4 2兄的拼图剖分 可以用y o c c o z 拼图的构造方法构造兄的拼图，只是用兄的气泡线取代 厶的外射线对a w ( t + ，t 一) ，设相应的轨道特征为o ( t + ，t 一) = 秽l ，铭) ) 记鼠= 岛；是起始于钆且角度为巩的气泡线，是这些气泡线的公共着落 点见的另外一个排斥性不动点是，是与a 的交点 定义4 2 1设m 是鼠的轴，端点是q 和o o ，对共形映射雪：a o o c d 固定r 1 ，设d = m - 1 ( l z i 7 - ) ) ，d 7 = 耳1 ( d ) n ， c ( ( u ) u q a udud ：) 的连通分支称为心的初始的拼图片，记做 瑶，瑶深度为钆的拼图片是焉的第几次原像，记磁 根据r 的拼图的构造，可以得到与丘类似的性质 命题4 2 2 ( m a r k o v 性质) 任何两个拼图片不相交或者其中一个包含于另 外一个即磋n 彰= d 或者层c 硌 定义4 2 3 对任意点z j 屯，z 不是q d 的原像，记p d ( 名) 为包含z 的深度 为d 的拼图片定义环a n ( z ) = r ( z ) r + 1z ) ，即使它可能是退化的，根据临 界点一l 的位置，称山( z ) 是临界环，半临界环和非临界环 第1 9 页毕业论文 第四章拼图片的构造及性质 定义正= ( r o o d 凡( 磁( 一1 ) ) ，d ，扎0 ) 是有标记的二维排列，( d ，铊) 处的 标记对应于环a 如( 一1 ) 的标记( 临界环，半临界环或非临界环) 称五是r 的 临界表格 然而，在临界表格互中可能没有非退化的环这时就需要修改退化环的结 构，保证存在非退化的环采用m a s p e n b e r g 和m y a m p o l s k y 加厚临界环的 方法( 参见 2 】) 加厚( - i ) ，构造非退化的临界环( - i ) ，得到相应的加厚的 临界表格亢元保留了互的标记，用a m ( 一1 ) 的像和原像的模取代了对应的 ( 一1 ) 的像和原像的模 定理4 2 4 假设临界表格五递归但不是周期的，那么n p d ( 一1 ) = 一1 ) 临晃表格亢非递归时，如果存在，使得p ( 一1 ) 与轨道翔hz 1h ，那么 n 竹r ( 匈) = 翔) 临界表格乞递归但不是周期时，直接利用定理4 】8 和引理1 1 3 可以证明 临界表格五非递归时，证明过程与五的类似( 见【3 0 】) ，这里就不重复了 4 3 参数空间的拼图片 定义4 3 1 设a 1 ，n 2 是属于特征区域的两个参数，称玩，和兄。有直到 深度为d 的相同的拼图片组合如果存在一个保向同胚西：t _ e 满足： 妒把兄，的深度为尼d 的不同的拼图片r i 同胚映射到兄。的深度为 k 的不同的拼图片吼； 对所有的ksd 有：痧：r ( - 1 ) _ q 七( - 1 ) ； 保持兄。和忌：的动力学性质，即：砭= r 。( 磁) 当且仅当砂( 砭) = r a 。( 妒( 磁) ) 同样地，我们说 和r n 有直到深度为d 的相同的拼图片组合，如果存在一 个保向的连续满射使五和忽的相同深度( 回的拼图片对应；把丘的临界 拼图片映射到r 口的临界拼图片；并且保持厶和忌的动力学性质 命题4 3 2 设j c c 是没有非排斥性不动点的二次多项式对每个d ，存在参 数a 使得五和兄有直到深度为d 的相同的拼图片组合 第2 0 页毕业论文 第四章拼图片的构造及性质 同时，存在参数盘的一个开集 d ) ，满足dc d 一1 ，a o = w ，使得： 风和兄有直到深度为d 的相同的拼图片组合且一b 属于某个深度为d 的拼图 片当且仅当b a d 证明对d 作归纳法d = 0 时，设，c 的深度为的0 的拼图片是 瑶，j = 1 ，口，它们的公共点a 是外射线冗1 ，7 的着落点，记 d = 【口1 ，目。) ) 是不动点a 的轨道特征，z = i t ot + 】是它的特征弧 根据引理3 4 1 7 ，存在a w ( t + ，t 一) = o 使得p = p 1 ，吼 ) 被见实 现，即厶和风有深度为o 的相同的拼图片组合假设d l 时，命题成 立对含临界值的拼图片b 一1 ( c ) 和q d l ( 一a ) ，根据定义一1 3 1 ，存在保向同胚 妒：p d 一1 ( c ) 一q d x ( - a ) 因为q d ( 1 ) = r - ；1 ( q d l ( - - a ) ) ，p d ( o ) = 1 ( i d 一1 ( c ) ) ， 所以 q d ( 1 ) = 冠i 1 ( q d 一- ( 一o ) ) = r - ；1 ( 砂( 尸d 一，( c ) ) ) = 妒( p d ( o ) ) 根据引理3 4 1 7 ，a 属于d 一1c o 时，忍( z ) 具有排斥不动点将。实现根据 引理3 4 1 4 ，当a 在d 一1 内沿连续路径变化时，一a 在q d 一1 ( 一a ) 内连续变化因 此，存在参数a ，使心( z ) 的拼图片q d ( 一a ) 同胚于，c ( z ) 的拼图片局( c ) 满足该 条件的参数a 构成d 一1 的一个开子集，记作d 所以d = k 时，命题成立因 此，对d n 命题成立得证 定义4 3 3 上述的d 称作参数的拼图片 第2 1 页毕业论文 第五章主要定理的证明 本章将在前几章的基础知识上，给出主要定理的证明 5 1 构造半共轭 给定一个临界无限，不可重正规化并且没有非排斥周期轨道的二次多项式 ( z ) = 名2 + c ，c 不属于m a n d e l b r o t 集的1 1 2 分支根据命题，1 3 2 知，存在参数a 使得凡和五有直到深度为d n 的相同的拼图片组合 引理5 1 1 对任意点名，( 兄) ，z 不是q 。的原像，记乃( z ) 为包含z 的深 度为d 的拼图片那么n d 尼( z ) = z 证明如果存在n 0 ，使得z 的轨道与p ( 一1 ) 无交，根据定理4 2 4 可得 结论如果对任何的n n ，z 的轨道与r ( 一1 ) 都有交，设厄= 磁( z ) r + 1 ( 一1 ) 而名如“( z ) ，经过兄作用i 次，有磁( a * ( z ) ) = 厶( 么) = a ( 一1 ) 所以 五亿) 与 ( 一1 ) 共形而疋( 一1 ) 非退化，因此厶( 旎) 也非退化，根据! 1 1 s 得到 r o o da n ( z ) = c x 3 ，根据引理4 1 3 ，得证 引理5 1 2 兄的每个气泡线都有着落点 证明设兄的无穷气泡线b = u n 。兄如果召是周期或者最终周期的，那 么根据引理3 4 1 可得结论反之，设z 是b = u o o o 兄的一个聚点，那么存在包含 z 的无穷拼图片序列根据引理5 1 1 ，得n drz ) = z 又根据引理2 2 2 知，只 不可能穿过疡( z ) 的边界，因此r _ z 得证 oa o 考虑第三章引理3 ，2 ，3 给出的共轭：址7 8u ( uj ：- ；8 ( q ) )一 u 。孵n ( a u t p ) 根据引理工1 2 ，咖可以连续延拓为半共轭咖1 ：n 7 8 _ u n 兄i n ( a 。) = c ，使多lof - v s c z ) = 兄0 l ( z ) 对点z 以，z 不是q 的原像，记r ( z ) 是包含z 的深度为d 的y o c c o z 拼图 片，设q d ( z ) 是对应的兄的拼图片，定义也z ) = nq d ( z ) 根据构造，屯可连 续延拓到u n 疗n ( 口，) ，且有：如d 五( z ) = 兄。加( 名) 记一，是由五和正7 8 生成的线性等价关系，那么需要证明以下定理： 第2 2 页 第五章定理的证明 定理5 1 3 晚( z ) = 九) 当且仅当z 和w 在同一个等价类，即z 一，伽 5 2 主要定理存在性的证明 定义5 2 1设口1h 如h h9 q = 口1 是倍增映射d 作用下的周期为 g 的轨道，角以把单位圆圈分成了口段弧a t ，i = 1 ，口从包含0 的弧开始， 按照逆时方向把这q 段弧依次记做a 1 ，a 2 ，a 口对p ，若p 不是任何 仇的原像，记p 关于分割a 的巡回为印，卅。卅口( p ) ，0 6 ，。9 。一卜幻( p ) 是属于 l ，g ) 的无穷数字串若口是某个巩的原像，0 0 ，毗一卜+ 幻( 口) 是1