（基础数学专业论文）退化椭圆算子的强唯一延拓性.pdf

，、 摘要 3 6 2 t 5 3 本文对二阶椭圆型方程的唯一延拓性与强唯一延拓性做了一个比较详细的介绍，并 得到了一些新的结果。 缸第三章中，我们对具临界位势的s c h r 5 d i n g e r 算子的强唯一延拓性给出了一个肯定 陛的结果： 定理1 1 设t i22 ，“w 2p ，p l ，r = 且存在常数c ，使得 这里c 满足 ( 一a + r - 2 c ) u lsc l ( r 2 i n r ) 一1 “ 1 ) c ，之o 2 ) a r + ，使得r 1 ( 1 c i + i c r l ) l q ，g n a x ；，2 ) 如果0 是t 。的无穷阶零点，则“；0 当c 无界时，以前只有否定性的结果。对于c = 。c oc t ， 0 ，e 0 ，n - ，2gz ，这一类特 殊情形， g a r o f o l o 与l i n 8 证明了一+ r - 2 c 不具有强唯一延拓性。而定理1 1 给出： 一+ 暑，印 m a x 专2 ) v a n i s h e so i n f i n i t eo r d e ra tt h eo r i g i n , ni0 i fci s t m b o u n d e d ，t h e r eo n l ye x i s t sn e g a t i v er e s u l t sb e f o r e w h e nc = 署，c o 0 ， o ，生手仁z ，g a r o f o l oa n dl i n 8 g e tt h a t 一+ r - 2 cf a i l st oh a v es t r o n gu n i q u ec o n t i n u a t i o n p r o p e r t y h o w e v e r ，t h e o r e m 1 1i m p l i e st h a t 一+ 墨，e 0 2 ；当n = 3 时，p = 2 则工具有唯一延拓性当口甜= 时，对p 的要求 可降低为p l 这是迄今为止最好的结果 当n = 2 时，主部的光滑性可降为工“p r i e d m a r 6 1 在d “，b ，c l “的假设下， 证明了l 具有强唯一延拓性自然工具有唯一延拓性 1 2 强唯一延拓性简介 接下来我们考虑强唯一延拓性这方面的第一个结果同样是由c a r l e m a n 得到 的，他在1 9 3 9 年【7 】证明了三= + kv 工嚣( 五2 ) 具有强唯一延拓性证明的想法 与证明唯一延拓性的想法一样一利用c a r l e m a n 型估计同样，p l i s 的反例说明了当 n 3 时，工的首项系数应假设为l i p s c h i t z 连续的1 9 8 6 年，g a r o f o l o 与l i n 8 】利 用一种新的方法得到强唯一延拓性：即建立工的解的双倍情况( d o u b l i n gc o n d i t i o n ) ： g ，使得u 2 d z c u 2 d z 这里c 与r 无关( 1 3 ) j 岛，j b r 由上式易证上具有强唯一延拓性此后人们主要利用这种方法得到强唯一延拓性 事实上，这两种方法之间是有联系的，l i n 9 】利用c a r l e m a n 估计得到了解的双倍情 况，并进而得到了抛物算子的强唯一延拓性下面我们介绍主要的结果( 下面均 假设z o = 0 n ) 1 9 9 5 年，r e g b a o u i 1 0 观察到：如果0 为“的无穷阶零点，则 2 d z = d ( e z p ( 一c r 一1 ) ) ，r 一+ 0( 1 4 ) b ， r e g a o u b i 利用( 1 4 ) 以及h s r m a n d e r 1 l 】的方法证明了如下的结果： 如果i ( z ) i 瓯l z r ，l c ( z ) i e h - 2 ，c o 0 当 = 2 时，主部的光滑性可降为l “1 9 9 8 年，f r i e d m a r 5 1 在d ”，b i ，c 三。 的假设下，证明了工具有强唯一延拓性 当低阶项属于扩时，j e r i s o n 与k e n i g 1 2 】在1 9 8 5 年得到了第一个好的结果：如 果c 珑。，当n 3 时，p = ；当n = 2 时p 1 他们得到了+ c 的强唯一延拓 性w o l f 玎1 3 推广了【1 2 】的结果，他证明了当n 3 ，b i 三学，c 上；时，+ b i o i + c 具有强唯一延拓性另外，当n 3 ，b i ，c 径向，b i l ”，c 三；时，r e g b a o u i 1 4 1 得到了 a + b o i + c 的强唯一延拓性当n 3 ，a i j c “，1 6 ( ) i 0 ，c 工；一( 弱) 时， s o g g e 1 5 】证明了上具有强唯一延拓性另外，、v o 埘1 6 】给出了一个反例： ( a ) 当t t24 时，存在一个光滑函数“：r “一丑和常数c ，满足“不恒为零，0 是“的无穷阶零点且i “i c f i z i _ 1l v u i ( b ) 当n25 时，可以选取“，使得i a u lsy l v u l ，这里v l ” 在两维情形，a l i n h a c 和b a o u e n d i 1 7 】给出了类似( a ) 的反例。 在退化情形g a r o f o l o 1 8 】利用他们的方法( 7 】 1 9 1 ) ，对于 一( ：+ i z l 2 0 a ) + b v u + v u 得到了强唯一延拓性这里i 与y 满足以下条件：设 则v ( z ，) b n ， d ( ：，) ：( i z l 2 h + l + ( a + 1 ) 2 f 1 2 ) 志 比归烁 ，( 呲。) 一n z m 华瞅o 。 ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) i v ( 引胚e 键斧比) i i v u ls g 笔第1 v 以圳南k f ) ( 1 8 ) 最后我们考虑边界上的强唯一延拓性1 9 9 1 年，j i n 2 0 在“( z ) = o ( e x p ( 一_ 1 ) ) 及n 在。o 满足外球条件时，得到了l a p l a c e 算子的强唯一延拓性同时给出了一 个反例：设“= r e ( e x p ( 一2 。) ) ，：= z + i y ，0 1 ，r = 且存在常数c ，使得 1 ( 一+ 7 - - 2 c ) “i c l ( r 2l n r ) 一1 “l( 1 9 ) 这里c 满足： 1 ) c ，0 2 ) 3 a 冗+ ，使得r 1 ( i c l + 三4 ( 日1 ) ，g n l a x 哆2 ) 如果0 是u 的无穷阶零点，则u ；0 ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) 注1 2 在定理3 1 的假定中，( 1 1 0 ) 与( 1 1 1 ) 都只是技术上的需要其中( 11 1 ) 是很弱的条件，仅仅为了保证积分的合理性而当c 奇异且不满足( 1 1 0 ) 时，目前还 没有肯定性的结果对于c ：詈，c o 0 ，e 0 ，孚gj 7 ，这一类特殊情形，g a r o f o l o 与 l i n 7 】证明了一+ r - 2 c 不具有强唯一延拓性而定弼 1 1 给出：一+ 。c oc o 【 时，一+ r - 2 c 没有强唯一延 拓性，而当c 0 时，强唯一延拓性成立 在第四章中，我们考虑了两类典型的两维退化椭圆算子的强唯一延拓性它们 的主部分别为：巩。+ 巩( f 巩) ，y 0 和y 以。+ ，j ，0 这两类算子都来源于空气 动力学它们描述了两类不同的跨音速流这里后一类算子就是著名的t r i c o m i 算 子 4 首先给出边界特征时的结果此时r = 杉万干可研，b ，= ( z y ) i z 2 + 4 1 y i r z ，y 定理1 2 设u h 2 ( 日，) 且满足 l u z z + o y ( y u ：川c r - 1 、i u 。1 2 + y l u i2 + c r - 2 l u 训 ：o = 0 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 这里c ， ；如果0 是u 的无穷阶零点，则u ；0 因为 y = 0 ) 是以。+ 吼( 巩) 的特征边界所以当考虑以。+ 如( g 氐) 的低阶扰 动时，c a u c h y 问题可能不唯一。比如说，“= y 4 是( 以。+ o , j ( y 巩) 一4 0 y ) u = 0 的解 且u ，d u l 州严0 ，但“0 有趣的是，我们可以利用定理1 2 给出一个c a u c h y 问题 唯一性的充分条件 定理13 设a 1 ，a 2 ，b ，u c 。( 曰，u y = o ) ) ，使得 t 。+ 毛( y “) + a l u z + , n a 2 “+ b u = 0 u 1 ”：( 1 = 0 ( i 1 4 ) ( 1 1 5 ) 则u ；0 注1 3 在定理1 2 、1 3 中，我们考虑的函数都是复值函数。而本文中其他的 结果都是针对实函数的。这是因为处理的方法不一样。 注1 4 就边界特征的退化椭圆算子来说，以前没有关于强唯一延拓性的讨论 c a u c h y 问题唯一性的讨论也很少对于以。+ 如( v 如) 的低阶扰动而言，以前没有肯 定性的结果 现在我们对定理1 2 、1 3 的假定做一些说明 1 ) 由5 0 万干7 z 2 + 4 1 y i z 2 + y 2 ，z 2 + y 2 1 ，我们知道( 1 1 ) 等价于 v m n ，i i u l l w - p ( b ，n o ) = o ( r ”) ，r 一0 2 ) ( 1 1 3 ) 可能是必须的在l a p l a c e 算子的情形，( 1 1 3 ) 是必不可少的如u = r e ( e x p ( 一z 一。) ) ，z = z + i y ，0 f 1 ，则强唯一延拓性不再成立因此我们有理由认为 ( 1 1 3 ) 与e 。是小常数的假定是必需的但到目前为止，作者还没能发现反例 3 ) 定理1 3 中函数g ”光滑的假定的作用是使我们能够从( 1 1 5 ) 推出0 是u 的 无穷阶零点我们猜想c ”光滑这个假定不是本质的但到目前为止我们还没有任 何进展 5 接下来我们给出t r i c o n f i 算子的结果在这种情况下，r = 、z 2 + ；l y l 3 , b r ( z ，) l z “。4y 1 3 r 2 ，y o ) 定理1 4 设“h 2 ( 口，) ，且存在常数c 。 0 ) 的退化椭圆算子的强唯一延 拓性当圳汩，= 0 时，可将“延拓到且1 ，并利用g a r o f o l o 的结论，可得：如果 u l ”：o = 0 ，“日1 ，0 是t 的无穷阶零点，u 。一y u 。，+ i v u + 矿“= 0 且i 与y 满 足： 一 11 茎g 西赤，m 妒南 这里口赢可 + o o ，则u ；0 与上述结果相比，定理l ，4 的好处主要是将零阶项的 奇性由单点奇性改进为积分奇性：( r h r ) y l 3 ( 口 ) 并由g 南= o o 可知定理 1 3 对一次项做的假设稍弱一点定理1 , 5 的主要好处则是在临界情况下得到了肯定 性的结果 接下来我们对定理中的条件做一些说明 ( i ) 由2 + y 22 2 + ，4y 1 3 兰丽1 ( z 2 + 可2 ) 2 ，( z ，y ) b 1 可知0 是u 的w 。一( 日产) 无 穷阶零点等价于 v m n ，1 1 , 1 1 1 w - ，( b ? 1 = o ( r ”) ，r 一，0 ( n ) 与( 1 1 3 ) 相似，( 1 1 6 ) 可能是必须的 6 托 揭 如 n u n n q ( i i i ) ( 11 7 ) 接近最优但不是最优的取t t = ye x p ( 一( 一l nr ) 1 + r ；，w = ( y u 。+ “。) u ，我们可以得到：( 一以。一”+ 扣= 0 ，u c “( b ) ，u l 。：o = 0 w 0 ，w 一 ( 一1 1 l r ) 2 r ，r 一0 0 是u 的日2 无穷阶零点但“0 又由于r e g a o u b i 1 0 的结 果：如果n “l i p s c h i t z 连续，a j ( o ) 为实数，且 a i j d 讲“= 三c l h 一1i v 训+ o h 一2 ，c f l c 。型去 矩阵( at j ( o ) ) j 的最小特征值) v 则l 具有强唯一延拓性所以，我们猜想当 i y u 。+ “”i 茎c 。、历r 一1 i 守1 十c y r 一2 i “l 时，强唯一延拓性仍然成立 以下，我们将在在第二章介绍一些预备知识，在第三章讨论具临界位势的s c h r s d h l g e 算子的强唯一延拓性，在第四章讨论两维退化椭圆算子的强唯一延拓性 7 第二章预备知识 首先我们给出无穷阶零点更细致的定义。 定义2 1 设nc 咒“，z oc 瓦，u w k 9 ( n ) ，如果 v m n ，f w ”( 且，。) n n ) = o p ) ，r - 0 这里b ，( z u ) = z r ”忙一。o i o ，v m n ，r r o ， 3 c , 。使得kl ( z ) l d v msc 。r “则 v m ，k r ，j a 。，使得v r r o ，i h ( z ) “，( z ) i d a 。r j m ， 【证1 只需对k 1 ，0 是u 的l 1 无穷阶零点，则 v o 茎f 0 v u w 9 ( 且2 ，) ，记u 7 = t ( ；) 并取f i ? ( 占2 ) ，f i b = 1 贝9f u w j 9 ( 口2 ) 由n i r e n b e r g 不等式【2 4 】 ild u 岫引c l l d k u 峨州i n i l l 。l ，( 2 n 。) 8 可得： 桫”t l ”i l l 咖，j c l i d ( ) 哆 ”i i l oq b ，) 利用上式及s c a l i n g 技巧可得 v u w 。”( 曰2 r ) ，0s m s 自，i l _ d “训i 口( 口， sc l l t l l i 万i 吼，) i l u i i v 一i 釜，。)( 2 1 ) 由1 ) 及s o b o l e v 嵌入定理可知0 是t t 的三，无穷阶零点再由( 2 1 ) 可得：0 是 “的1 一无穷阶零点再利用s o b o l e v 嵌入定理及1 ) 即得结论成立 口 9 第三章具临界位势s c h r s d i n g e r 算子的强唯一延拓性 在这一章中我们给出定理1 1 的证明。 引理31 设u w2 。p ( b 1 ) ，p 1 ，t l 满足 l u l g i z r 。l v u i + h i l l ”i “l 这里l ，r n r ，g l 。1 ( b 1 ) ，h 工啦( 曰1 ) ，q 1 n ，9 2 n ”，n 。= l n a x 芸，2 如果0 是“的上t 无穷阶零点，则0 也是u 的2 “+ 无穷阶零点 证当p t z “时，由椭圆型方程的p 估计及引理2 1 可知结论成立所以下 设p 蔓n 1 ) n24 记a = ；m a x 嘉一i 2 ，石1 一；) 由s o b o l e v 嵌入定理，h 6 1 d e r 不等式和引理2 1 ，2 2 可得0 是( 旧r - i i i v , z l + i h r - i ) 的三p t 无穷阶零点，击= ；一a 所以0 是u 的2 9 1 一 无穷阶零点重复上述步骤，可得0 是“的2 “无穷阶零点 记a = ；m “ 击一j 1 ，去一； 由s o b o l e v 嵌入定理，h s l d e r 不等式和引理2 1 ，2 2 可得0 是( 咖一i i v , t l + i h r - q t i ) 的f 无穷阶零点，者= i 1 一a 所以0 是t t 的2 + 1 一 无穷阶零点重复上述步骤，可得0 是u 的2 。无穷阶零点 2 ) n = 3 利用1 ) 的方法同理可证0 是“的w 2 , j 无穷阶零点由s o b o l e v 嵌入定理及引 理2 1 可得0 是g r 一”t t 的上2 无穷阶零点然后利用1 ) 中的方法可证得0 是”的 w 22 无穷阶零点 3 ) n = 2 由s o b o l e v 嵌入定理及引理2 1 可得0 是g r 一”u 的工2 无穷阶零点同理可证0 是u 的w 2 2 无穷阶零点 综上可知0 是t t 的2 m 无穷阶零点 口 我们使用极坐标 ( r ，妒) 卜冠+ ，l p s - i ) 记d ，= ( 0 ，r ) s ”，并在d l 上赋 予度量：d r 2 + b i j & p i d ，1 i ，j n 一1 这里6 “d d 为s 一1 上的标准度量 将d l ，s “，最上的散度与梯度分别记为d i v d ，d i v e , ，d i v 与v d ，v ，v r “与d 1 上 的体积元记为如与d ! a d r ，并将铲_ 1 上的l a p l a c e 算子记为，则 d = r 一1 d 妒曲( 31 ) = 屏，+ ! 孑三4 + 去， ( 3 2 ) 另外我们约定在整篇文章中出现的c 均表示一个有界常数，但可以彼此不同我们 先给出c a r l e m a n 型估计 1 0 引理3 2 设u e 于( 日1 o ) ) ，并记三= 一+ 7 , - 2 c ，c 满足( 1 1 0 ) 和( 1 1 1 ) ，则存 在常数c ，满足：v k n ， ，女2 ( r 2 k + l 1 n 2r ) - x u 2 d zs 2 r 3 2 “( l u ) 2 d bb z ( 3 3 ) j，j 证明v b n ，记 = r - k u ， ( 3 4 ) 则由( 3 2 ) 与( 3 4 ) 可知： r 2 珥，+ ( 2 k + n 一1 ) r v , + 【k ( k + n 一2 ) 一c v + 口= 一, 2k l u 上式两边同加上 ( h r ) - 1 即得 r 2 口，+ ( 2 k + n 一1 ) r v r + 【南( 南+ 几一2 ) 一c + k ( i n r ) 一1 】 + ，” = 一r 2 - k l u + ( h r ) ( 3 5 ) 由u c ”( 日1 o ) 可得： v ，d v i o d l = 0 所以 厶v , v c v = 厶v 小一；( i v 卅i 卜。 二。- - c w w r = 弘州2 以珥乘( 3 5 ) 并在d i 上分部积分并利用上两式可得： 厶， ( 2 k + n - 2 ) r 砰+ 【知n 2 r ) - 1 + c r 妒d r 所以我们有 = 一厶r 2 - t , ( ) 州1 n r ) - 1 咖州r 小2 ) - i r 3 - 2 k ( l u ) 2 + 和n 2r ) 2 + 萼硼蛔rj d l 4z d 。 2 p r y 2 + 自2 ( r l i l 2r ) - l v 2 & p d j r 2 j d r 3 2 ( 工u ) 2 d 妒d rd io 即( 3 3 ) 成立 口 注3 1 显然，当t 瑶( 口1 o ) ) 时，t t 仍然满足引理3 1 如果u h 2 ( 研) 且0 是“的日2 无穷阶零点，取咖c “( b 0 ，机慨= 0 ，蚓马日：。= 1 ，则如“h g ( b l o ) ) ， 且 v 南n ，r - k 如u _ r - k u i n 日2 所以我们有：如果u h 2 ( b 1 ) 且0 是u 的丑2 无穷阶零点，u 仍然满足引理3 2 【定理1 1 的证明 我们利用引理3 2 来得到强唯一延拓性 取f c 。( 【o ，l 】) ，满足 乱! 2 1 ，乩! = 0 ( 3 6 ) 则“c “( b 1 ) 记，= l ( f u ) ，我们有： ，2 ( f ) t + 2 v u v f + e i r 2 i n r i 一t t 】2 s2 c 2 ( r 2 i nr ) 。2 i e u l 2 + g 这里g = 2 ( f ) “ 2 + 8 1 x 7 u v f l 2( 3 7 ) 所以 s u p pgc 口1 曰 ( 3 8 ) 由( 19 ) 可得 j “is r - 2 j c 训+ g 卜2 i n r i - 1 川 利用引理3 1 可知。是“的日2 的无穷阶零点对f “使用引理3 2 可得： 2 ( r 2 1 i n 2r ) 。删2 如s ，4 【( r 2 1h 2 r ) 1 c 2 酬2 + 2 r 3 _ “g d z j b lj b l 则当充分大时( 女 2 c ) ，上式可化为： 厶，( 7 2 。+ 1 i n 27 ) 一1 f f “f 2 d 。e 厶。r a - 2 , g d z ( 3 9 ) 由( 3 6 ) 与( 3 8 ) 可得： 上；一2 u 2 d z s e 二“且；3 2 “g d z 所以 正，粕吲扩正，g 如 令女一o o ，可得在曰 上u ；0 再由椭圆算子的唯一延拓性即得u i0 口 注3 2 我们可以利用c 来得到更精细的结果可以类似的证明： 如果0 是u 的无穷阶零点，且i ( 一+ 1 南) u i m r 一半t ，7 五十，m 0 ( 4 1 ) 的退化椭圆算子且考虑的函数均为复值函数我们先给出一些定义：r = 万千i 虿丽， b ，= ( z ，9 ) i z 2 + 4 y 1 20 并记 = f “下面我们估计，d c rl w 从( 1 1 2 ) 可推出 ，2 ( 三f ) “+ 2 7 u rv f + f ( e 。r 1 v u f + c r - 2 1 “1 ) 1 2 s 4 c 2 r 一4 i 1 2 + 4 c 2 r 一2 i v w l 2 + g 这里g = 4 l ( l f ) u 1 2 + 1 6 1 v u - v 引2 + 4 r 一2 g ：【| ( v u ) 引2 一l v ( f u ) 1 2 】 注意到 s “p p g b b ；- 另外，对任意的。日。( 曰；) ，利用散度定理可得 厶 瞰f ”) 一i + 2 y 般”) z ”1 2 + y 2 胀”) 。j 2 】d z d y = c 厶，j 三t 州2 妇曲 所以 厶咿一2 均k ”f 2 + 机虮g 厶v 柞嘞 再由相似变换技巧即可推出 厶帆中均剖铀w | 2 】d z d y r - 4 c f 。去2 叩印m 曲 设 ， 吣剐2 ：裂，拦 1 5 口 ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) 并取n c 。( b 1 ) ，州风= o ，蚓b 。k s 。= 1 ；j i 卵( 曰1 ) ，满足、岛c d x d y = 1 ， ，= q 一2 ( ：，：) 这里”= q ( e ) 为一个充分小的常数令西。= 机由，w 。= 西。+ i 。! o 则w ，e 尹( b 产u y = o ，z o ) w ，i 。：o = 0 所以我们可以对w 。使用引理4 1 ： f r - - 2 r i v w 1 2 + t - 2 r 一2 2 7 i 。1 2 d x d y 4 r 2 - 2 r i l w 。1 2 d x d y ( 4 1 6 ) jb ? j b ： 同时，由引理2 2 及w h 2 可得o 是w 的h 1 无穷阶零点荐利用引理2 1 ，( 4 1 5 ) 可知 y k ，五，z 1 2 + 2 y l w z h f 2 2 d z d y 3o ( r k ) ，r o 因此，我们可以在( 4 1 6 ) 中用w 替换w 。即”满足 厶? r 。7 i w l 2 圹2 r 。2 y 1 6 上 。7 4 c t l v w l 2 + c 2 r 。1 w 1 2 + r 2 g d x d y 令r 充分大，我们有 ”。2。2wdxdyc名?r2-27gdxdyjb? j b ? 利用( 4 1 4 ) 易得 b + ir - 2 - 2 r 川2 叔8 y c 五十b t 2 。2 g 血8 y 因此 口+ 岬x 8 y 茎c 上州2 2 7 g d x d y 令r o o 可知在日 上w ；0 由此易证结论成立 口 【定理1 3 的证明】首先，利用相似变换我们可令；e ， 1 ，此时，“ec 。( b ，) 其次，由( 1 1 5 ) 我们知道v men ，o m “( z ，0 ) = 0 将这些关系代入( 1 1 4 ) 推出 “。( ，0 ) = 0 因此v men ，0 2 吼u ( 。，0 ) = o 微分( 1 1 4 ) ，同理可证u y y ( z ，0 ) = 0 。重 复上述步骤可得0 是u 的无穷阶零点注意到定理1 2 中的常数c 。在相似变换下 保持不变，所以当我们将定理1 2 中的曰产换为b 产时，定理1 2 仍然成立，最后， 对u 使用定理1 2 立即得到定理1 3 口 4 2 边界非特征情形的强唯一延拓性 本节我们考虑主部为t r i c o m i 算子的二阶退化椭圆算子的强唯一延拓性，并且 考虑的函数都为实函数我们先引入一些定义设nc 碹，uew 1 , 1 ( n ) ，记寺u = ( i u 。，) ，研= ( z ，) i 2 + 4 。y 1 3 o ) 并定义 r = 两 工= y 如z + ，f 0 1 6 ( 4 1 7 ) f 4 1 8 ) 4 下面我们给出定理1 4 、1 5 的证明与一致椭圆算子的情况相似，我们采用相 应于t r i c o m i 算子的极坐标( ( r ，口) 卜冗+ ，口( o ，7 r ) 记口= ( i 3 ，。2 _ ，取 z=rc o s0 ，v = a ( r s i n 口) 则 黼= c o s s 渤。，暑芝；) n h 寸，口，变为( o ，r ) ( o ，r ) = i c f b 且 f 以。+ b ，。= 盼，+ 面4 罅+ 1 ( s i n 口) 一 凶( ( 8 i n 0 ) o o ) 1 d z d y = a - i ir _ 【2s l n 0 ) 一；- d r d 0 记 d p 磐( s i n 日) 曲d o 则由( 4 2 0 ) 及( 4 2 2 ) 可知： 厶扫+ “；j d z 曲= 厶a r ( 晖2 + r 一2 嵋) 姐 xd = e f u e 罗( 珐u = 0 1 ) iu i 。：。= o ) e d = e f t 日2 ( 曰志) s u p p t c 曰志u v = 0 1 ( 4 2 5 ) ( 4 2 6 ) 在这里及f 文中r o 为一可以任意小的待定常数 跏沪 ：茗 z ， 取 6 印( b 1 ) ，o s1 ，拈 21 ，厶口2 “21 ( 4 2 8 ) 并记( ，y ) = e 。f ( ：，：) ，a 。= + 口，= d 。k o 显然魄f ”：o = 0 ，u 。一“i n 日2 由 此可得x 在e 中稠密下面我们给出两个引理 引理4 2 设u e ，9 “( l u ) 2 上1 ( 口五) 则存在常数c ，满足： 二k 2 ”“2 ”伸z 2 z d z d v c 五矗y 1 圳d ( 42 9 ) 1 7 刎 叫哟 嘲 刎 h q h h 似 ( 证l ：由x 在e 中稠密，我们只需对“证明( 42 9 ) 即可以“z z