（应用数学专业论文）基于小波变换及多重分形的图像边缘检测研究.pdf

浙江大学硕士学位论文 中文摘要 本文主要讨论小波变换及多重分形在图像边缘检测中的应用。小波理论 比较丰富，这里我们主要介绍了小波、连续小波变换、二进小波变换、多分 辨分析等一些基本概念以及小波所具有的一些基本性质。对于分形及多重分 形部分，我们主要介绍了分形、分数布朗运动、多重分形、多重分形的广义 维数及其维数谱等概念，并介绍了分形维数的估计方法及多重分形的有关性 质，同时对图像进行了多重分形分析。 然后我们运用小波变换、分形和多重分形的理论在综合已有工作的基础 上，研究了图像边缘检测的几种方法即基于小波变换的多尺度方法、分形方 法、多重分形方法及融合小波变换和多重分形的方法，并分别对这些方法的 处理效果进行了分析、比较。通过实验，我们发现用分形方法检测得到的边 缘较粗且噪音多、误检、漏检现象严重：而我们探讨的多重分形方法对噪声 不太敏感，且检测得到的边缘连续，较细。对于基于小波变换的多尺度边缘 检测方法，当尺度较小时，图像的边缘细节信息较为丰富，边缘定位精度高， 但易受到噪声的干扰；大尺度时，图像的边缘稳定，抗噪性好，但定位精度 差。要想得到较好的边缘检测结果，需采用边缘跟踪算法，然而这又会带来 计算量大等另外一些问题。而我们提出的融合小波变换和多重分形的方法不 存在这些问题，它具有抗噪性强、边缘较细且连续等优点。且通过这四种方 法的综合分析比较，我们发现融合小波变换和多重分形的边缘检测方法是这 几种方法中最好的。 最后，我们把用融合小波变换和多重分形的方法检测出来的边缘用于植 物叶子图像的特征提取方面，然后把这些特征应用于叶子识别，实验证明对 近似圆形、椭圆形、三角形、矩圆形的叶子进行识别，其效果很好。 关键词：小波变换，多重分形，边缘检测。 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yd i s c u s sw a v e l e t sa n dm u l t i f r a c t a l s ，a sw e l la st h e i r a p p l i c a t i o n s i n i m a g ee d g ed e t e c t i o n h e r ew eb r i e f l y i n t r o d u c es o m eb a s i c c o n c e p t ss u c h a sw a v e l e t ，c o n 垃n u o u s - v a v e l e tt r a n s f o r m ，d y a d i cw a v e l e t t r a n s f o r m ， m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，a n dt h ef u n d a m e n t a lp r o p e r t i e so fw a v e l e t s ，e t c f o rt h e c o n t e n t so ff r a c t a l sa n dm u l t i f f a c t a l s ，w ea l s om a i n l yc o n c e r no r ls o m ei t e m sa n d t h e i rr e l a t e dp r o p e r t i e so fm u l t i f r a c t a l s ，f o ri n s t a n c e ，f f a c t a l ，f r a c t i o n a lb r o w n i a n m o t i o n ( f b m ) ，m u l t i f r a c t a l ，g e n e r a l i z e d m u l t i f r a c t a l d i m e n s i o n ，m u l t i f r a c t a l s p e c t r u ma n d t h em e t h o do fh o wt oe s t i m a t ef r a c t a ld i m e n s i o n ，e t c a sar e s u l t ，w e a p p l yt h em u l t i f r a c t a lm e t h o d t oi m a g e a n a l y s i s t h e nw em e n t i o ns e v e r a le d g ed e t e c t i o nt e c h n i q u e so ns y n t h e s i z i n gt h e e x i s t i n g w o r k sb y a p p l y i n g w a v e l e ta n df r a c t a l t h e o r y , i n c l u d i n g m u l t i s c a l e a n a l y s i s ，f r a c t a la n a l y s i s ，a sw e l la st h em e t h o d o f m e r g i n gw a v e l e t t r a n s f o r ma n d m u l t i f r a c t a la n a l y s i s b ye x p e r i m e n t s ，w ed i s c o v e rt h a tf r a c t a lm e t h o di sm u c h s e n s i t i v et on o i s e s ，t h ed e t e c t e de d g e sa r et h i c k e r ，m a n ye d g ed e t a i l sa r el o s ta n d m a n yp o i n t st h a ta r en o te d g ep o i n t sa r em i s t a k e na se d g ep o i n t s ，b u to u rp r o p o s e d m u l t i f r a c t a lm e t h o di sl e s ss e n s i t i v et on o i s ea n dt h ed e t e c t e de d g e sa r ec o n t i n u o u s a n dt h i n n e r i f w ew a n tt od e r i v eg o o de f f e c t so f e d g ed e t e c t i o n ，w em u s t a p p l y t h e a l g o r i t h mo ft r a c i n ge d g ea te a c hs c a l e ，h o w e v e rt h i sw i l ll e a dt oa n o t h e rp r o b l e m s u c ha sl a r g ec o m p u t a t i o na m o u n t 0 1 3 xs c h e m eb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r ma n d m u l t i f r a c t a lh a st h ea d v a n t a g eo fl e s sc o m p u t a t i o n ，a n di ti sn o ts e n s i t i v et on o i s e s ， t h ed e t e c t e de d g e sa r ec o n t i n u o u sa n dt h i n n e r o u rc o n c l u s i o ni st h a t ：o u rm e t h o d b a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r ma n dm u l t i f r a c t a li st h eb e s to fa 1 1 f i n a l l y , w ea p p l y o u rm e t h o db a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r ma n dm u l t i f r a c t a lt o t h ef e a t h e re x t r a c t i o no fp l a n tl e a v e s ，t h e nw ea p p l yt h e s ef e a t h e rt ol e a v e s r e c o g n i t i o n e x p e r i m e n t ss h o w t h eg o o de f f e c to f r e c o g n i t i o nf o rl e a v e sw h i c ha r e a p p r o x i m a t e l yc i r c l e ，e l l i p s e ，t r i a n g l e ，r e c t a n g l ec i r c l ei nc o n t o n r k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ，m u l t i f r a c t a l ，e d g ed e t e c t i o n 4 浙江大学硕士擎稼论文 第一章绪论 1 1 小波分析的应用 傅里叶分析是一种纯频域的分析方法，在时域内局部性较差；而小波分 毒蓐不仅在频域麦，i l 露显在嚣誊域凑具有豪驽熬是部性。奎波分撰戆蒸本愚怒是： 从一个具有正则性、局部性和振荡性的基本小波豳数族( x ) 出发，经伸缩和 l 平移得到一函数族 j 口1 1 ”( 笠二竺) j “，b r ) ，由此得到的函数族离散化后可 a 褐藏f ( 露) 黛离静标准正交蓥，并以之去表示或逼近信号。 小波分析的应用研究怒与小波分析的遐论发展紧密她结合在一起鲢。一 个典型的例子是它融在数字信号领域取得了令人注目的成就。 毫子售惠技术楚六大态瑟技术中卡分霪要懿一个领域，售患技术黪一个 重要内容是图像与图形处璎。现今，信号处理已缀成为当代科学技术工作的 重要部分，信号处疆懿基翡是：准确缝分褥与诊灏、缡羁压缩与爨 乞、浃速 传递或存储、精确地重构( 或恢复) 等等。从数学角度着，图像作为二维信 号，也是信号处理求的个重要研究内容。在小波分析的许多应用中，都可 以归结为信晕处理问题。现在，对于其性质随时间变化是稳定不变的信号， 处理的理想工具仍然是f o u r i e r 分析。但是，在实际应用中的绝大多数信号是 菲稳定魄，蠡孬特别邋用于菲稳定信号兹工舆裁是小渡分援。 小波分析的应用十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、 嚣缀楚理；燕子力学、理论懿理；军事电予对藐与武器赘餐憨纯；诗算梳视 觉与模式识别；音乐与语言的人工合成；躐学成象与诊断：地震勘探数据处 理；大型枫械匏敲障诊断等方瑶。裥如，在数学方面，它已用于数值分祈、 构造快速数德方法、曲线曲丽构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析 方面的滤波、去嗓音、压缩、传递警。医学成象方面的减少b 超、c t 、核磁 共振成象的时闻，撼嘉分辨率等。在图像处理方藤垂点鸯图像压绩、分类、 分割、识别与诊断、去污及纹理分割、边缘检测等。本文工作的一部分就是 磅究小波变换在蚕像边缘捡溅中懿疲震。下嚣我们对茈应溺箨一麓单套缁。 6 浙江大学硕士学位论文 小波变换较好地解决了时频局部化的问题。它巧妙地运用了非均匀分布 的分辨率，在低频段利用高的频率分辨率和低的时间分辨率，而在高的频率 段则利用低的频率分辨率和高的时间分辨率，即具有“变焦”功能，被称为 “数学显微镜”。因此小波变换为检测突变信号提供了强有力的工具，能很好 地刻画突变的奇异性，使用小波奇异性检测的方法可以区分图像边缘，消除 噪声。较之传统的方法，小波变换检测具有很大的优越性。 1 2 分形和多重分形描述及其应用 分形描述 目前分形还没有最终的科学定义。“分形”一词源于拉丁文仃a c t u s ，本意 是指“破碎的”。用传统的几何观点来看即是不规则的和复杂的。m a n d e l b r o t 曾先后给出两个定义：1 ) 分形是h a u s d o r f f 维数严格大于拓扑维数的集合。 2 ) 分形是指其组成部分以某种方式与整体相似的形体。 下面我们按k f a l c o n e r 的见解列出分形集合的特征： 1 ) 分形集合具有精细的结构，即在任意小的尺度下，它总有复杂细节。 2 ) 分形集合是非常不规则的，用传统几何语言都无法描述它的局部和整 体。 3 ) 分形集合通常具有某种自相似形式，多半是近似的或统计意义下的。 4 ) 以某种方式定义的分形集合的分形维数通常是大于它的拓扑维数。 5 ) 在大多数令人感兴趣的情况下，分形集合是以非常简单的递归的方法 产生的。 总之，要精确地给分形下定义为时尚早。 定量刻划分形特征的一个参数是分形维数。它不是通常欧氏维数的简单 扩充，而是赋予了许多崭新的内涵。分形维数可以是整数值，也可以是分数 值，并有多种定义和计算方法。常用的是h a u s d o r f f 维数、盒子维数、关联 维数、信息维数、广义维数等等。 多重分形描述 在直观上可将多重分形形象地看作是由大量维数不同的单一分形交错叠 浙江犬举硕士学位论文 燕掰成的。觚足餐灏度往溪豹螽瘦，霹将多重分澎绉述为一类其霄翔下经质 的测度k t ( 豉质量分布) ：对于足够小的正数r ，成立幂律特性甜( 皿( x ) ) 。c r 。， 并且不同的榘对应于不同的口( 其中古，( x ) 农示某度量空间内以x 为中心，半 径为，酌球) ，在诧懑义上，多重分形又称为多重分形灏爱，它揭示了一装形 态的复杂性和某神奇异性。表征多蓬分形盼主要方法是使用多重分形谱f ( a ) 或广义维数见。多匿分形谱f ( a ) 在对多重分形进行精确的数学刻画的同时， 通道f ( a ) 相对口的曲线为多重分形提供了自然而形象的崴观描述，其中掰确 定了奇异淫豹强度，露f ( a ) 粼摇透了分毒黥裰密缓度。 营努形、多重努形豹瘟焉 分形理论的产生，不仅引导人们重新认识那些在数学上被称为“病态” 豹研究对象，如c a n t o r 集、v o nk o c h “雪花”等，更重要的是它为我们掇供 了双察自然、认识囊然的毅手段，既有深刻的理论意义，又有巨大的实怒价 值。因此，2 0 多年来，分形、多重分形的研究受到非常广泛的重视，分形、 多耋分形理论歪鞋冀独特之楚，广泛建应矮子图像绩羁、诗鬓援薰形学黻及 生物医学和化学研究等方面，取得了很好的效果。在此，我们列举几个方面 静馥_ 鳟l 。 1 图像分析 m a n d e l b r o t 已经提刭分形能够在一定程度上液现图像的纹理特征。霸标 表磷的分形维数与人类视懿系统对此表面感觉的糨糙程发一致，可见，分形 维数表现了图像纹理特征的一个方面。许多学者的研究已经表明，利用分形 维数糍够对灰度强像襄彩包图缘送行魄较蠢效静分割，透缘捡测簿。同瓣， 分形模型，如布朗燧动和其它的分形函数也在图像分析中进行了成用。本文 工终熬一帮分藏是辩努形、多重分形在蚕像透缘检测中静瘫蕉进行了磺究。 2 模拟自然景物 塌分形几何学原理，幽计算梳描绘出来的自然景象，例如由、云、稳物 等，简直可以与艺术大师的杰作媲荧，确实令人惊叹不已，甚至可以达到以 假乱真的程度。目前，在电影制作的特技中已得以应用。 8 浙江大学硕士学斑论文 3 。分形生长及其艨援 分形生长研究的目的在于试图绘出分形生长的物理过程，以便揭示分形 结 鸯在生藏进程中翁物理规律。在物理学、亿学、生物学、孝才辩学及医学牵， 存在大量分形生长的实例，研究它们的规律，目的是为了达到控制或应用它 们的目的。嗣前主受研究方法是实验研究和计算机模拟。以下是一些具有代 表性的模型： 1 ) 艾鼗( e d o n ) 模型：这是一个癌细胞增嫩模型。在从原点开始生长 憨蚕影瓣逮爨静嚣疑露耀邻点巾，等壤率遂遥取任意一点，镶之残凳爨 图形的一点，这样不断进行下去，使图形不断生长。 2 ) 。有黻扩散凝聚模登d l a ( d i f f u s i o n l i m i t e da g g r e g a t i o n ) d l a 模型是以布朗运动粒子不可逆地附到一个核上，使图形不断的生 长。这就相当予作了扩散场。这种图澎具有向周围伸展的大大小小的分 枝组成的构造，除了粒子大小和图形本身大小外，不孬在其它特征长度， 它具有囱相似蚀特征。 3 ) ，燕藏聚合摸型 这是一种高分子支化聚合反应或溶胶凝胶转变过程的模型，用来生成聚 合耱。 4 混沌动力系统的研究 混沌动力系统的奇异墩弓i 子往往是典黧的分形。奇异吸弓j 子的研究怒近 年来分形理论中最活跃和最有吸引力的一个领域。分形积分形维数为动力系 统提供了简洁的几何语言。动力系统中最早和最有名的分形吸引子是洛伧兹 ( l o r e n z ) 吸弓l 子，婊姣( 嫩。h e n o n ) 吸弓 子等，在凌理攀家的不援努力下， 混沌和奇异吸引子的研究已取得了大批比较严格的理论结果。 瓷然分形麓瘫容楚薄大赣深静，蔼量分形理论在不断发震帮完善翦，菸 应用范围也是在不断的扩大，正在搬动着自然科学的相关领域向前发展。限 子篇幅，这黧远不是我们在纰能够详尽叙述的。 l 。3 本文主要工佟 本文的研究内容主要包括四个部分：第一部分( 第一摩) 是绪论，主要 介绍小波分析、分形及多重分形的成用，并给出了分形和多重分形的描述。 9 浙江大学硕士学位论文 第二部分( 第二、三章) 介绍小波变换理论、分形及多重分形理论；第三部 分( 第四、五章) 研究小波变换和多重分形在图像的边缘检测检测中的应用； 第四部分( 第六章) 对本文所讨论的几种图像边缘检测方法进行了总结。 在第二部分的第二章中我们主要介绍了小波分析中的小波、小波变换、 多分辨分析等基本概念及小波的基本性质；第三章介绍了分形理论的基本概 念、多重分形的有关概念及性质，并对图像分别运用分形和多重分形方法进 行了分析。 在第三部分的第四章中我们重点介绍了现有的两种图像边缘检测方法即 基于小波变换的多尺度边缘检测方法和基于分形维数的边缘检测方法。但是 后一种方法的处理结果对大多数图像来说并不理想，于是我们根据多重分形 理论尝试用多重分形方法来检测边缘，实验证明该方法是可行的。由于小波 变换和多重分形之间存在着密切联系，于是我们在第五章中又尝试用融合小 波变换和多重分形的方法来检测边缘，并给出了实验结果，然后将它与前面 三种方法进行对比。最后我们在此算法的基础上对植物叶子图像进行识别。 o 浙江大学硕士学位论文 第二章小波和小波变换 小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、傅里叶分析、样条分析、 数值分析完美结合的产物。在应用领域中，特别是在信号处理、语音分析、 图像处理、模式识别等领域中，近年来它被认为是在工具和方法上有重大突 破。本章我们主要介绍小波、小波变换、多分辨分析的基本概念及小波所具 有的一些基本性质。 + 2 1 连续小波变换( t g 称积分小波变换) 1 2 1 1一维连续小波变换 定义2 1 若y ( x ) 是一个实值函数且它的频谱旷( w ) 满足以下允许条件。 q = e 警 o ，称为由母函数 - 4 a a y ( x ) 生成的依赖于参数a , b 的连续小波基函数。其中变量a 为伸缩因子，b 为 平移因子。这种伸缩和平移的思想源远流长，它已经在信号处理，信号检测， 多尺度边缘等领域得到应用。 定义2 3 设，( x ) r ( 一m ，c o ) 定义关于y 。( x ) 的连续小波变换为 w f ( 咖) = 0 1 2 浙江大学硕士学位论文 时，s g n ( s ) = 1 ；当j = 0 时，s g n ( s ) = o ；当5 0 时，s g n ( s ) = 一1 。所以这与定义 ( 2 3 ) 是一致的。但后者可以把小波变换看作输入，时系统虬( x ) 的响应，而 虬( x ) 为系统的冲激响应函数。 若取尺度s = 2 ( j 为整数) ，则函数f ( x ) 在尺度s = 2 。和位置x 上的小波 变换为 其中g t 2 , ( x ) = 百1 ( 砉) 。 ( 2 8 ) 式的f o u r i e r 变换为： ，( x ) = 厂+ y ：，( x ) ( 2 8 ) ，( w ) = 厂( w ) 妒( 2 。w ) ( 2 9 ) 如果小波函数集y ：，( x ) 的变换满足 l 妒( 2 w l 2 = 1 ( 2 1 0 ) 则称小波函数y ( z ) 为二进小波函数，相应的小波变换厂( x ) 称为二进小波 变换。 这一条件可以确保由尺度因子( 2 ) 脚伸缩的驴( w ) 覆盖整个频率轴。应 用p a r s e v a l 定理于( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 我们得到能量守恒公式 i if i i 2 = i ，厂( x ) 1 2 ( 2 1 1 ) 2 2 2 小波变换的多分辨率分解 在实际应用中，信号的可测分辨率是有限的，我们不可能计算在所有的 尺度2 。( o 。 j + o o ) 上的小波变换，分辨率2 ，应取有限值。我们把变换限 定在一个最大尺度，= j 和最小尺度_ ，= o z i 暗q ，2 0 表示最高分辨率，2 。表 示最低分辨率。为了建立小波变换的信号分辨率分解表示，引入函数p ( x ) ， 且其f o u r i e r 变换满足条件 渍江太拳蘧士学位论文 f 2 1 2 ) 因为小波( x ) 满足量舻( 2 w ) i2 = 1 ，我们可得到慨1 庐( w ) 卢1 ，f o u r i e r 变换的 卢i 能量集中在低频，所以妒( x ) 为低通特性的平滑函数。让我们定义平滑算子 s v ，( x ) = f t 妒：，( 苫) ( 2 1 3 ) 其中妒：小) = 万l 妒( 万x ) 它表示在分辨率为2 ，时信号，( x ) 的低通滤波分量。让我们首先证明以尺度1 对溺数，( 羔) 平滑辩翡鬣节部分包含程尺度1 稻2 。鬻豹二遂小滚交换 ( 吼。，( x ) ) 嘲。，中，藤不出现在以最大尺度2 。对，( x ) 平滑的s ：。，0 ) 中。 由等式( 2 1 2 ) 得到 s 。f ( w ) = o ( w ) f ( w ) 露，( w ) = 2 7 奶夕( w ) ( 21 4 ) ，( w ) = 矿( 2 w ) ，( w ) 陋( w ) i 2 = 兰| 矿( 2 ，w ) f 2 + i 萨( 27 w ) | 2 ( 2 - 1 5 ) 一1 禳据f o u r i e r 变换卷积定理粕p a r s e r v a l 定理驮( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 缮颡下面能量 转换公式 ( 2 1 6 ) 等式( 2 ，1 6 ) i e i 明了墨，( x ) 的高频分爨没有呈现在s 2 ，( z ) 中，而在尺度l 和2 。 间韵二迸小波变换( ，( x ) ) 。小，中a 因而，扛) 表示信号的细节分量 ，厂( x ) 表示蔼号懿低逶乎淫分量。警2 越大惑，墨，a x 镪含懿信号缨节( 毫 频成分) 越少，且邀部分丢失的信息可以从小波交换旺，( x ) 中来恢复。此 1 4 ) x (， j 逆 + 2 j x (厂 ，纠 i i 2 、j x ，l厂墨 浙江大学硕士学位论文 时称集合 ( ，( x ) ) ，( s 2 ，( x ) ) ；1 s ，j 为信号，( x ) 的小波变换多分辨率分解 表示，也即是s 厂( x ) 有限尺度的小波变换。以上分析为信号处理提供了一个 清晰的分层框架。 2 2 3图像的二进小波变换 由以上一维情形很容易推广到二维情形。 设o ( x ，y ) 是一适当平滑的二元函数，满足下列条件： 亡e 口( ) 蚴= 1 l i 山m 。臼( ) 斗o 记 口，( x ，y ) = 一l ，o 、x 一，羔) s ss 图像f ( x ，y ) 被函数0 。( z ，y ) 在尺度5 下的平滑作用由卷积运算实现，即 f ( x ，y ) + 0 ，( x ，j ，) 。现在取二维小波基本函数v 1 ( x ，y ) ，l 壬，2 ( x ，y ) 如下 甲1 ( ) ：曼掣，甲2 ( w ) ：_ o o ( x 一, y ) 蕊们 则相应的小波变换如下： 彬f ( x ，y ) = f - 甲：( x ，j ，) ，盱f ( x ，y ) = f 。甲? ( x ，y ) 当尺度s = 2 时，如果甲1 ( x ，y ) 、掣2 ( x ，y ) 的f o u r i e r 变换满足 l 皿1 ( 2 w x ，2 w ，) hl 早2 ( 2 。w x ，2 。) 1 2 = 1 j e z 则称玎丁= 慨，厂( x ，y ) ，( x ，j ，) l 。：为厂( x ，y ) 的二维二进小波变换。 可以导出 嘭m b l 呜厂( ) j 导( ，+ 0 ，从w 黜 。 兰( 厂+ 0 ，从x ，y d v = 2 v ( 厂女0 ，从z ，y ) 呜f ( x ，y ) ，嘭f ( x ，y ) 分别表征了图像厂( x ，y ) 沿x ，y 方向的偏导数，因此二 维小波变换矢量就是梯度。 浙j 工太学硕士学位论文 2 3 多分辨分析 2 现在小波基的构造大都按照一个通用的程序。这就是所谓的多分辨分析 m r a 。它是1 9 8 6 年前后由s m a l l a t 和y m e y e r 共同创造的。 定义2 s 我们称满足下列条件的上2 ( 一m ，+ 。) 中的一列子空间 ，及一个函 数妒0 ) 为一个正交m r a ： ( 1 ) 巧m w z ( 2 ) 丸) 巧厂( 2 r ) 巧+ 1 ( 3 ) nv ，= o ) j e z ( 4 ) u 在三2 ( o 。，佃) 中稠密。 j e z ( 5 ) 妒( f ) 、且和( ，一n ) 一是的标准正交基。 称p ( f ) 为此m r a 的尺度函数。 从巧巧柑，可得巧“2 巧。彬即嘭是_ 在巧。中的正交补空间。巧称为 尺度函数空间，彬称为小波函数空间。 注：若把( 5 ) 减弱为( 5 ) ：存在g g ) 使 g o j i ) 女构成了的r i e s z 基, ， 我们仍然称满足( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 、( 4 ) 、( 5 ) 的闭子空间的增加簇为一个m r a 正交尺度函数应满足如下要求： 1 妒( r ) = 1 ，即尺度函数是一个平均函数。 2 1 i o ( t ) l i = 1 ，即尺度函数是范数为1 的规范化函数。 3 朋一( t ) d t = 0 。 4 e 删( t ) d t = 0 。 5 伊( ，) ：i 伊( 2 ，胛) 。因伊( r ) 巧，且( 2 ；妒( 2 f 一”) 。：是k 的 基。这就是双尺度差分方程，吃称为尺度系数。 浙江大学硕士学位论文 6 尺度函数与小波彼此有关联： 矿( f ) = 2 邑o ( 2 t 一胛) ”e z 式中2 是归一化因子。g 。是由尺度系数h 。导出的系数，称为小波 系数 二维多分辨分析： 命题：设 _ ) 属是l 2 ( r ) 的一个多分辨分析，则 吁：= o ) 胆是上2 ( 足2 ) 的 一个多分辨分析。其中符号0 表示张量积。 设妒( x ) 是一个多分辨分析 ) 脚所对应的一维尺度函数，y ( x ) 是相应于 妒( x ) 的小波函数。由于二维空间的可分离性，二维多分辨分析 _ ) 脚相应地 有二维尺度函数 妒( x ，y ) = 妒( x ) 妒( y ) 因此，可分离二维矢量子空间矿? 具有如下的规范正交基： 2 妒j ( 工一2 。门，y 一2 j m ) ( 。，。) z = 2 妒( x 一2 j ) 妒( y 一2 j 卅) ( 。) z 相应于妒( x ，y ) 的小波函数有三个： y 1 “，y ) = 妒( x ) ( y ) y2 ( z ，y ) = 矿( x ) 妒( y ) y 3 ( x ，y ) = 矿( 工) 妒( y ) 设吁在吆。中的正交补子空间为昨，则盱的规范正交基为： 2 j g ( x 一2 。n ，y 一2 。卅) = 2 j6 p j ( x - 2 。疗) 矿j ( y - 2 川) 2 j y j ( x 一2 ，y - 2 。m ) = 2 j 妒， 一2 盯) 妒( y 一2 m ) 2 j y ；( x 一2 聆，y 一2 肌) = 2 s 妒j ( x 2 4 小波的基本性质【3 】 2 4 1 紧支性、衰减性、光滑性 2 。n ) g t ( y 一2 珊) k 州 若函数y ( f ) 在区间【a , b 】外恒为零，则称该函数紧支在这个区间上，具有 浙江失学硕士学位论文 该援质戆小波称为紧支撑小渡。爨然支集愈窄小波豹嚣都纯耗力藏愈强。若 不是紧支撑，则希耀有快速衰减憔( 当i t i 呻+ o 。时小波函数趋子零，这称为 衰减性) 。函数在某一点或巢一区间k 一1 阶导数连续，但第k 阶导数不连续( k 为任意叁然数) 则称该函数在这一点或这一区闯k 一1 除光潺，k 一1 除光潺懿 函数其傅里叶变换趋向于零的速度为0 ( 1 1 w i k + 1 ) 。在实际应用中为分析和计 算的方便要求小波函数具肖一定鹩光滑性，但这却与紧支性或快速衰减性相 矛膳，而且一个函数也不能在时域和频域同时紧支，就是说不熊希望在时域 和频域同时获得最好的局部化能力。为达到在时域和频域都有满意的局部化 能力，只能褒光1 擐馕毅紧支性或襄囊减性之阗进行平磐。 2 4 。2小波基函数的时频蜜 窗函数的时频衡面积刻画了它的时频局部化熊力，在滤波应用中往往需 要了解窗醋数的对、频窗的中心位嚣。作为窗函数，小液函数的时窗中心和 半後定义为： f = r f f 妒( f ) i 2 旃州洲；， ：味一唰2 麝 ”1 1 i i ：， 频窑的中心秘半径恩样定义。这样相应的连续小波蘧数农踺耀一频辜袒平瑟 上的矩形时频窗可以得到为 洚+ 罐+ 一跳；，b + a t + + 融f 】【w + a a 。a ，w a + 。，群】 窗嚣积楚4 ，。可见连续小波函数滋塞口露积与基本小波涎数的鬻口 面积相同，小的时频窗面积有好的局部化能力。窗的形状随着参数的变化而 变亿，参数辟交丈，对窑交宠，菝密交窜，适于分耩低频信愚；参数a 交小， 适于检测高频信息，很适合于时频分析。 2 4 3小波的消失矩 如果小波函数妒( t ) 对所有的0 s ，m 满足 e t 7 妒p ) 毋= o 1 8 浙江大学硕士学位论文 则称它具有m 阶消失矩。另外若设 y j , k ( f ) 卅。：构成r ( r ) 的标准基，则小波 函数y ( f ) 满足 y ( f ) c “1 ( r ) 且n f r l y ( r ) i d t 栅 也称它有m 阶消失矩。由定义可知小波的消失矩主要用来检测高阶导数不连 续的信号，消失矩越高，光滑性就越好，频域的局部化能力就越强，这也是 改善小波频域局部化能力的一个途径，也反映了小波对信号奇异性检测的能 力的强弱。 2 4 4对称性及线性相位 具有线性相位或至少有广义线性相位的小波函数可以避免对信号进行分 析和重构时的相位失真，这是刻画小波性能的一个主要特征。 令y ( f ) l 2 ( 月) ，若它的傅里叶变换几乎处处满足矿( w ) = i 妒( w ) | p 一， a 为常数，与w 无关，则称其有线性相位。类似地若 6 ( w ) = ( w ) e 1 ”， 几乎处处，( w ) 为实值函数，口，b 为常数，则称其具有广义线性相位。其中 口称为妒( w ) 的相位。y ( f ) r ( r ) 至少有广义线性相位当且仅当e i b ( ，) 满足 e t b y ( 口+ t ) = e i b v ( a 一，) 称| 5 f ，( f ) 关于日斜对称。当y ( f ) 为实值函数时，定义又为 p ( 口+ t ) = y ( 4 一t )( 对称性) y ( d + r ) = 一y ( a f ) ( 反对称性) 即一个实值函数具有至少有广义线性相位当且仅当关于它的相位是对称或反 对称的。应该注意对称或反对称在检测信号的奇异性时的表现是不同的，对 边缘跳变的异常信号反对称小波的变换在该处呈现最大值而对称小波呈现过 零值，对峰值跳变的异常信号正好相反，因此实际使用中边缘检测应选用反 对称小波函数，而峰值检测应选用对称小波函数。 9 浙江犬学硕士学位论文 第三章分形和多重分形 分形和多重分形的概念正在越来越多地被应用到科学的各个领域中，它 们寇本质上獾逑了簿象静鬟杂往霸鸯辐叛烂。分形和多重分形是不依赖予足 度的自相似的一个自然结果。单一的分形缎数不能完全刻画信号的特征，已 有翻子表明许多视觉差剐搬大的图像却具谢十分鞫儆的分形维数。实际上通 过计算分形维数无法区分单一分形榘和多震分形黛。为了获碍对一个分形更 详细的描述，需增加能刻画不同分形子集的参数，因此要引入多羹分形理论。 本蕈主要余缨分形懿基本理论，多霪分形的有关援念及煞蒺，著运弱多蘩分 形方法对图像进行分析。 3 1 分形的基本理论 3 1 1 分形理论的基本概念 ( 一) 分形 分形几何学是内m a n d e l b r o t 4 首先提出并发屣为系统理论，m a n d e l b r o t 在稀究英莺海岸线瀚复杂逡器时敷现，在不阂院铡豹逮鬻上会溺懑不同酌海 岸线长度，这正是欧几里德几何无法解释的。在研究中，他将测景长度与放 大玩倒( 尺度) 分剐取对数，所对应的二维坐标点存在一种线性关系，此线 性关系可用一个定爨参数。称分形缎数来描述。由此，m a n d e l b r o t 避一步发展 了分形几何理论，可以产生许多分形集图形和曲线，如m a n d e l b r o t 集、c a n t o r 集、k o c h 麴线、s i e r p i n s k i 遮毯等，还霹援述复杂对象懿足露特性。与默氏 几何比较，分形几何主要有以下特点：1 ) 描述对缘虽然很复杂、不规则，但 不瓣尺度上有巍鄹稳或楣簌往。2 ) 欧氏死餐其鸯标度，淫怒静分形其有无 限的几何标度，而无特征长度。3 ) 欧氏几何描述特征是整数维，而具有分 形的复杂曲线，萁分形维数是大予l 的非熬数，其有分形的表面，其分形维数 是大于2 的非整数。 浙江大学硕士学位论文 分数布朗运动 定义3 1 设满足0 日 1 ，b o 为任意实数，若随机函数满足 b h ( 0 ，w ) = b o 蹦) 2 高悱叫。“秕 w ) + f r 饥w ) ) 则称b h ( f ，w ) 为分数布朗运动( f b m ) 。其中日为分形参数，h = 1 2 时 巩( ，w ) 为普通布朗运动，w 为样本空间q 的样本。分数布朗运动是一种分形 模型，可以很好的描述分形信号，它是连续不可导的一种非平稳随机过程， 对尺度变化具有相c a l f 。f b m 的增量是平稳的零均值g a u s s i a n 随机过程。 定义3 2 设b h ( x ) 为一高斯随机场，对于0 h 1 ，若满足 弓 学 y 卜力 b ， 则称b n ( x ) 为f b r 场( 分数布朗随机场) 。其中只( ) 表示概率测度；表示 范数；h 为h u r s t 分形指数，f ( y ) 为高斯分布函数。 对( 3 1 ) 式取数学期望， 有 硎聃+ f ) - b m 口= 硎y 肛赤酬出旷“ ( 3 2 ) 分形参数 分形维数f d ( f r a c t a ld i m e n s i o n ) ，可由下式通过h u r s t 指数得到，也有其 它许多估计方法( 见下节) f d = d + i h ，h 参数的估计有时域法和频域法， d 是拓扑维，对可求长的光滑曲线d = i ；对f b r 表面d = 2 ；f d 是描述分形 的主要参数，一般的，当不规则曲线的f d 大于l 或纹理表面的f d 大于2 时，认为它们具有分形性。增量标准差口，也由( 3 2 ) 式得出。无标 度区( s 。，占) ，理想分形满足( 3 2 ) 式，具有无限标度：对于实际图像， 由于量化效应和模型的差异，只有一段尺度空间使( 3 1 ) 满足线性关系，称 浙江大学硕士学位论文 为无标度区。实际图像越接近理想分形，其无标度区间越大，即e 。的 值越大。在此区间，可用线性回归方法估计h 值。 3 1 2分形维数的估计法 分形维数的估计有许多方法 5 ，比较实用的从速度和精度考虑，有以下 几种： 1 ) 数盒子法： 对于分形曲线，用可变尺度沿曲线度量长度所需v ( s ) 次， n ( c ) 是随s 而变的，分形维数由下式确定 。= - 睁( 鬻b 为求( s ) ，在计算时以不同尺寸的网状栅格覆于曲线上，为格子大小，然 后计算求得与曲线相交的格子数，即n ( 6 ) 。最后利用双对数曲线估计分形维 数值。 同理，对于分形纹理曲面，它被包容在三维空间中，因此用小立方体来 代替网状栅格，同样取不同尺寸的立方体覆盖于曲面上，可得到与尺寸占对 应的小立方体总数n ( 6 ) ，进而求得分形表面的分形维数值。 2 ) 功率谱法： 对图像先作傅氏变换成为频谱图，其功率谱为lp ( w ) 1 2 ，而频 率半径为r = 【，2 + v2 ，作出功率谱与频率半径的双对数图，根据线性回归 法求取分形维数值。 3 ) 地毯覆盖法：设分形表面为g ( f ，- ，) ，形象地用厚度为2 占的地毯覆盖，则 毯的上表面点集为。( f ) ，下表面点集为以( f ，) ，初始状态为 t o ( f ，j ) = b o ( f ，) = g ( i ，) ，当厚度占= 1 , 2 ，j ，3 ，变化时， e ( ，) 2 m 瓢( ，) + 1 ，( n 疑t s - i ( 删，竹) ) 以( ，_ ，) = m a x 6 “( ，) 一1 ( 娶髂6 “( m ，胛) ) 浙江大学硕士学位论文 其中s 为点( f ，j ) 邻域点集，则在尺度s 下，毯的面积 4 ( 占) = 眨( f 。( f ，) 一6 。( f ，j ) ) 2 s r ，j 在近来实际的工程应用中，研究者们针对一些分形维数的定义，也提出 了许多关于分形维数计算的方法，如谢和平【3 0 等人提出的修正盒计数维数、 填隙维数、两脚规维数等。又如在图像处理方面还有g a n g e p a i n 等的计网格 元法( r e t i c u l a rc e l lc o u n t i n g ) 、k e l l e r 等的基于概率的估算法、基于分形布 朗运动自相似模型的估计法【6 及s a r k a r 等的微分计盒法( d i f f e r e n t i a lb o x c o u n t i n g ，d b c ) 等。其中d b c 法和基于分形布朗运动自相似模型的估计方 法覆盖了图像f d 较大的动态范围，但是这两种方法