（课程与教学论专业论文）高中数学课程中的算法研究.pdf

摘要 普通高中数学课程标准( 实验) ( 2 0 0 3 4 ) ( 以下简称标准) 把“算法初步” 列入了必修课程的5 个模块中的数学3 ，算法成为课程中新增加的内容。然而，笔者通 过问卷与访谈调查发现目前高中在职数学教师对算法及算法教学的认识和准备情况不 够理想。具体主要存在以下一些问题：1 对算法概念认识不够清晰：2 对新课程中的 算法内容不够熟悉；3 对算法进入高中数学课程的必要性产生怀疑，可行性表示担心。 为此，本文先是阐述了算法的概念及其特征，即“( 广义的) 算法是指进行某一工 作的过程方法”与“( 狭义的) 指数学意义的算法，是为解决某一类问题，通过有限构 造出来的，用数学形式表示的，明确和有效的程序或步骤”，一个算法具有完整性、有 限性、确定性、序列性、可操作性及通用性等特征；接着围绕新课程“以学生发展为 本”的理念，站在学生的角度分析了高中数学课程引入算法的必要性及可行性；在对 高中数学课程中的算法内容作了较详细地分析之后，又对算法的内容设置及教师有关 算法的准备进行了再思考，并提出了自己的一些看法；最后给出了几个有待进一步研 究的有关算法教学的问题。 关键词：高中数学：课程：算法；程序；知识准备 a b s t r a c t ”o f d i n a f yh i 曲s c h 0 0 l m a t l l e m a t i c sc u r i i 皿l u m s t 狮d a r d ( e x p e r i m e t a l ) ”( 2 0 0 3 4 ) e r e i l l a f i e rr e f c e dt o 鸹t h c ”s t 卸d a r d ”) n t a i l l s ”a 1 9 0 i i t h m sp r c l i m i n a r y ”，i t si nt h e c u r i i c u l 岫o ff em o d u l e si nm a t h e m a t i c s3 ，蛔r i t l l mb e c o m e sn e wa d d i t i o 璐t 0t h e c u r r i c u l u m h o w e v c r ，t h ea u t h o r sf o u n dt h r o u 曲q u e s t j o 妯a n s 壮di n t e r v i e w st h a tt l l e a w a r e e s s 锄dp r 印a r c d n e s so na l g o r i t h m sa i l da l g o r i t h l st e a c h i n go ft h eh i 曲s c h 0 0 lm a t 王l t e a d 嵋r si n s e n ，i c ci sn o ti d e a lc u n - e n y t h ef o l l o w i i l gp m b l e m sa r ee x i s tp 酊m 撕l y ：1 t h e a w a f e n e s sa b o u tt l l ec o n c e p to fa l g o r i t l l mi s 蚰d e 盯；2 n o tf a m i l i a rw i t l it l i ea l 鲥t h l i nt h e n e wc u r f i c u l 嘲；3 t l l ea w a 姗e s so ft h en e c e 豁i t ya n df c a s i b i l i t ya b o u ta l g o i i t h i ni sn o ts o 群 o d t h e r e f o r c ，t l l i sa n i d ee l a b o r a t e st l l ec o n c 印t 锄dt l l ec h a r a d e r i s t i co fa l g o d t h | 眦6 r s t ， ”( g e n e r a l i z e d ) t l l ea l g o r i t h mi st h ep f o c e 蟠o rm e t l l o do fc a 盯y j n g m ew o r k ”柚d ”( 趾r o ws e n s c ) i st h ea l g o 酊t l l mi nm a m e m a t i c s ，i t st h ee x p l i d te 蚯c a d o u sp l o c e d u r co rt l l e s t e pf o rs o l v i n gs o m eh n do fp r o b l 啪，w h i c hi ss t n l c l l 玳d b yl i m i t e ds t c p s ，e x p r c s s e dw i n l t h em a t h 锄a t i c a lf o m a l i s m ”t h ec h a r a d e r i s t i co fa na l g o f i t h m n t a i n si n t e 鲥t y ，f i n i t e ， d c t 锄i l l i s m ，s e q u e n c e ，f c a s i b i l i t y ，v e r s a t i l i t y 锄ds oo n t 1 l e na i l a l y z c st h en e c c s s i t y 蛆dt h e f c a s i b i l i t y 枇u tt h ea 1 9 0 i i t l l 1i nt l l el l i g hs c h o o lm a i h e m a t i c sc u h i c l l l u ms t 趾d i l l gj nt h e s t i l d e n t s 锄g l e 锄d 轴r r o u n d i l l g ”也ed e v e l o p m e n to ft h es t u d e n ti st h eo e n 仃a li d e a ”a f t e r 跚a l y z i n gt h ea l g o 删咖c o n t e n t i nt h el l i g i ls c h 0 0 1m a t h e m a t i c sc 毗j c u l u mp a n i c l l l a r l y ， p o n d e r st h e 鹤t 曲l i s l l i i l e n to ft h ea l g o r i t l l l n n t e m 柚dt l l et e a c h e r r sp r e p a r a t i o na b o u tt l l e a 1 9 0 f i t h m ，孤dp m p o s e da u t h 0 i ss o m ev i e w s f i l l a l l yp o i n to u ts o m ep r o b l 锄sa b o u t t h e a l g o r i t l l mt e a c l l i n gf o rf u r t h ”s e a r c h k e yw o r d s ： h i g l l s c h o o l m a t h e m a c s ；c l i 玎i c i l l 啪；g o r i t h m ；p r o c e d u r c s ； k n o w l e d g ep r e p a r a t i o n i i 独翎性声爨 本人声明所呈交的学 靛论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成巢。据我赝知，除了文中特澍加以标注和致谢的地 方癸，淦文中不包含荬 i 蠡入爨经发表鬣撰写遘靛霹究袋果，遣不包含 为获得东北j i 爵i 范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的榜耕。 与我一同i 推的网志对本研究所傲豹任何贡献均已猩论文中悸了明 确豹谖嚷并表示谢意。 学位论文作者签名：整矗五丝网期：彪：，! 生 学位论文版权使用授权书 零学位论文作者完全了瓣东北师范大学有关保鍪、使用学位论文 豹援寇，帮：寒l 簿范大学蠢较露整著猫霆家畜关部门或瓤麴送交攀 位论文的复印件和磁盘，允许论文被套瀚和借阅。本人授权东北师范 大学可以将学位论文豹全部溅部分内容编入套关数据艨进行检索，研 戳采用影印、绦印或其它复螽手段保存、汇编学位论文。 ( 糅密豹学位论文奁解密螽遥蘑零授权书 学位论文作者签名： 隧羯： 学位论文馋者毕监后去惫： 工 睾荤位： 通讯地址： 攒母教膝签名：l l 虽至 嚣麓： 壁叁王：i 生 龟话： 邮编： 趱 1 问题的提出 标准在数学3 中设置了“算法初步”，算法成为“双基”中新增加的内容。 算法进入基础数学教育，既有利于继承和发扬我国古代数学的优良传统，也是为了 适应现代信息化社会需要。 然而，目前我国高中在职数学教师对数学课程增加“算法”的知识准备与心理准备 情况不容乐观。在一项名为“数学教师职业发展需要调查”中显示，有6 0 的在职数学 教师对新课程中算法内容“不熟悉，没有信心教学”，只有4 0 的教师表示“熟悉，有信 心教学”。同样的调查在师范大学数学系学生中也不容乐观，相应的数据分别为3 6 和 6 4 。“1 笔者也曾就算法教与学现状对长春市某重点高中的数学教师进行调查，旨在弄清 当前高中数学教师是否做好迎接新课程中“算法”的准备。调查采取问卷与访谈相结合 的方式( 问卷见附录一) 。为了反映问题的普遍性，调查对象大致在高中三个年级平均 选取。结果发现：( 1 ) 被调查教师多数对“算法”的概念与本质理解不清晰。( 2 ) 多数被 调查教师( 8 5 ) 认为“算法”课程有改革的必要，然而对于该怎么改却没有较统一意 见。( 3 ) 部分被调查教师对当前算法课程改革的可行性表示担心。为了能进一步说明问 题，笔者又作了第二次调查。调查对象是厦门市1 1 位于2 0 0 5 年夏天来东北师大数学与 统计学院进修的高中数学教师，其中最长的有2 1 年教龄，最短的也有6 年教龄，所在 的学校分别属省重点、市重点、区重点及非重点不等，人数虽少，却有较强的普遍性。 调查同样采取问卷与访谈相结合的方式( 问卷见附录二) 。问题设置相对第一次调查稍 有变化，更强调调查教师对新课程中“算法”的认识情况。结果与第一次相比有新的发 现：( 1 ) 放调查者对新课程中具体包含那些算法内容普遍不太熟悉。( 2 ) 对于算法的教 学方式，被调查者也不能给出较为一致的意见。这些都说明，当前高中在职数学教师对 “算法”的准备情况是较差的。这对数学课程的顺利实施显然不利。 国内对于基础数学教育中的算法研究，目前处于刚刚起步阶段。随着“算法”进入 高中数学课程，人们已经意识到它的重要性。但是对于诸如“我们要教给学生什么样的 算法知识怎么教”等具体问题，还是不甚了解。目前对于算法教学缺少系统地、整 体的研究，人们只是对算法的概念，算法的教育价值，算法的学习意义，算法的思维方 式等问题分别作了一些探讨与思考。所以我们迫切需要有更多的关于算法教学的研究来 指导即将到来的教学实践。 2 算法的概念及其特征 在对高中数学课程中的算法进行研究之前，有必要先认识一下算法。 什么是算法? 古今中外的学者对其有不尽相同的解释。在明确什么是算法之前，我 们先来探讨一下算法( 作为一种数学思想方法，而不是名词本身) 的起源及发展。 可以说算法作为一种数学思想方法的出现远远比它作为个名词的产生要早的多。 早在数学的发展处在萌芽时期，为了计数的需要产生了记数，从而使得数的计算成为可 能。我们知道，任何一种计算都是要按照定的规则来执行的，这些规则就可以看成是 一些简单的算法。后来随着社会的发展，人们对计算的要求越来越高，算法也变得越来 越复杂。例如早在两千多年前就出现了求两个整数的最大公约数的欧几里德算法，我国 古代的秦九韶算法至今普遍用于研究高次方程的根的问题。计算机出现以后，人们利用 其计算精度高、运算速度快等特点，开发了许多基于计算机的算法，这样解决某一类问 题就有了多种途径，进一步激励人们去寻找更加有效的算法，从而把算法研究引向深入。 现代名词“算法”( a l g o r i t l l l ，a l g o r i s m ) 起源于印度，然后传到阿拉伯，其后又在欧 洲得到普及的个词，来自阿拉伯数学家花拉子密( m k h o w a r i 2 l i ) 的谐音。0 3 关于算法的概念，常见有以下几种理解： ( 1 ) “对一个问题的算法就是解决该问题的程序步骤的一个概要说明。这程序步 骤必须是确定的一各步骤的本质和次序被明确清楚地加以描述，有效的该程序步骤 给出这一问题的正确解，有限的该次序在有限步之后终止。”0 1 ( 2 ) “所谓算法就是解决某一特定问题或一类问题的过程。”“1 ( 3 ) 高中数学课程标准( 实验) 解读认为“机械地按照某种确定的步骤行事， 通过系列简单计算操作，完成复杂计算的过程，被人们称为算法过程。”又指出 “现代意义上的算法通常是指可用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些 程序或步骤必须是明确和有效的，且能在有限步内完成。”“1 ( 4 ) “把进行某一工作的方法和步骤称为算法。”1 ( 5 ) “( 算法) 是指为解决给定问题而需执行者去一步一步实施有穷操作过程的描述。 或一个算法是求解个问题所需步骤的提纲，是对解题过程的抽象和精确描述。川7 3 ( 6 ) “在现代，算法是由基本运算及规定的运算顺序所构成次数有限的求解数学问 题的步骤。它由解题所需的一系列规定好的规则，方法及程序，或一连串固定的，一劳 永逸的运算或( 判定命题真假的) 推理组成。它是解题方案精确，完整地描述。”。1 ( 7 ) 日本在选修教材中对算法定义如下：“对各种各样的问题，获得解答过程中的一 系列步骤，对这些步骤进行整理、归纳所得出的内容就是算法。利用计算机解决问题的 算法，一定要做到计算机能够实现。”w 算法是一个不加定义的概念，不同的人有不同的理解。般地，我们可以从广义与 2 狭义两个层面去认识算法。从广义上看，算法是指进行某一工作的过程方法。比如菜谱 是做菜的算法，产品说明书是产品使用的算法。从狭义上看，是指数学意义的算法，即 为解决某一类问题，通过有限构造出来的，用数学形式表示的，明确和有效的程序或步 骤。值得一提的是，不是所有的算法都能用数学形式表示，比如有经验的厨师在做菜时 “加少许酱油”就不能用精确的数学形式表示。我们在数学中提到的算法通常指的是狭 义的算法。 为了更好地理解算法概念，需要了解算法的特征。 一个算法具有以下特征： ( 1 ) 完整性：完整性就是说该算法是否涵盖问题的所有范围，是否包括它所涉及的 每一种情况。 ( 2 ) 有穷性：每一个算法都能在有穷步操作之后而告结束，要么提示错误，要么得 出结果。 ( 3 ) 确定性：是指算法的每一步操作其顺序内容都必须精当确切、唯一确定，而不 得有任何歧义。 ( 4 ) 序列性：每一个算法都是根据一定的次序将各步骤有条不紊地连结，使得在执 行一个算法时，每一时刻都知道下一时刻( 或每一步都知道下一步) 该怎么办。 ( 5 ) 可操作性：算法的各步操作都必须是可执行的，无论是计算机操作还是人工纸 笔计算。 ( 6 ) 通用性：一个算法不仅适用于某一特定问题，而且应该适用于解决一整类问题。 3 3 高中数学课程引入算法的必要性 高中数学课程中引入算法的内容，的确让很多人感到突然。相关调查显示仍有一部 分人认为高中数学课程中引入算法没有必要或者必要性不大，其实不然。无论从社会发 展需要的角度，还是从其自身所具有的文化、教育价值来看，算法都是很有必要的。 3 1 社会发展需要 1 9 8 2 年，由柯克克罗夫特( w h c o c k c r o f t ) 博士为首的英国国家教学委员会发表了 题为“数学算数”的报告，习惯被称为c o c k c r o f t 报告。该报告的问世标志英国乃至 世界数学教育研究的重要进展。其核心内容是：数学教育的根本目的是为了满足学生今 后成人生活，就业和进一步学习的需要。那么学校数学课程应该具体设置哪些课程 内容也应该取决于以上三种需要。 算法是中国古代数学的优良传统。九章算术以及刘徽开创了中国传统数学构造 性和机械化的算法模式。这种以算为主，以术为法的算法体系同古希腊以原本为代 表的逻辑演绎和公理化体系异其旨趣，在数学历史发展的进程中交相辉映。源于西方的 公理化思想和源于中国的机械化思想对数学的发展都发挥了巨大作用，理应兼收并蓄。 随着现代计算机技术的发展，数学机械化越来越受到人们重视。现代计算机所需的 数学方式方法，正与九章算术中传统的方法体系相符合。计算机科学是算法的科学， 以算法为核心的机械化思想既传统，又前瞻。现代计算机算法给数学带来了无限生机， 吴文俊先生所作的数学机械化工作就是一个很好的说明。“另外，教育有一个明显的目 的就是为进一步学习做准备，学生通过算法的学习为进一步学习计算机程序打下了坚实 的基础。所以算法进入高中数学课程，完全是顺应社会发展的，很有必要。 3 2 算法的文化价值 “社会文化传统作为一种历史的积淀必然具有社会传承性，这种社会传承性也伴随 着数学课程的发展，并随时对它施以影响。”1 2 0 世纪8 0 年代，涌现出了一股从人类学 角度研究数学的热潮。“民俗数学( e t h n o m a t h e m a t i c s ) ”和“数学文化( m a t h 锄a t i c s c u l t u r e ) ”已经被广泛认可。0 2 1 所谓“民俗数学”就是具有民族、地域特征及一定文化传 统特征的数学。“数学文化的核心内容应是数学的语言，数学的思维方式和价值取向。” “。不同的国家和地区由于长期受各自不同的数学文化传统的影响，形成带有民族、地域 特征的不同的思维特征和价值取向。换句话说，也就是产生了数学文化的差异性。 中国和西方的数学文化就有很大的差异性。九章算术是我国数学方面流传至今 最早也是最重要的一部经典著作。九章算术及刘徽开创了中国传统数学构造性和机 械化的算法模式。它和以古希腊欧几里德的几何原本为代表的逻辑演绎和公理化体 系分别代表着两种不同的思维方式：前者突出表现数学的实用性、计算性、归纳性及模 型化的特点；后者却是一种演绎的、抽象化的、公理化的思维创造体。不仅如此，中西 文化中的数学价值观念也截然不同：前者是技艺实用，后者是理性思辨。 “一部数学的发展史，是以上两种思维方式和两种价值取向遥相呼应、相互消长的 历史。”。”对于两种思维方式与价值取向谁优谁劣，在这里不作探讨。需要关注的是， 我们在设计数学课程时，不得不考虑到数学文化的影响。九章算术分为方田、粟米、 衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九章，采用问题集的形式，有问( 题 目) 、答( 答案) 、术( 解题方法) ，共2 4 6 问、2 0 2 术。它包含的计算方法是当时世界领 先的，有的至今仍发挥巨大作用。九章算术及其后世产生的如数学九章测圆海 镜益古演段详解九章算法日用算法杨辉算法算学启蒙和四元玉鉴 等这样的数学名著都蕴含着丰富的算法思想。“数学课程改革必须在传统与现代之间取 得一种平衡，即数学课程内容必须全面更新，适应社会发展的需要，但又必须根植于民 族文化传统之中。”“所以算法内容进入高中课程，既有利于继承和发扬我国的数学文 化传统，也有利于开发和提高我国国民的智力与民族素质。 3 3 算法的教育价值 人类解决任何问题的思维方式归根结底无非是两大类：推理方式与算法方式。以推 理方式为主导的公理系统思维方法是人们司空见惯、习以为常的，人们总认为它理所当 然、细密严谨、确实高雅，例如任何一个代数或几何问题的证明过程方式，常见的欧几 里德公理系统等。而以算法方式为主导的算法构造思维方式，人们易误认为它理所欠然、 不够严密、有失高雅，例如任何一个产品的生产过程方式，食品的加工过程，计算机解 决问题的过程方式等。人们对算法的偏见导致了对算法教育价值的忽视。其实一个好的 算法它是概括的、精确的、严密的，如果在它的整个过程中的任何一个步骤出现纰漏都 将导致算法的失败。所以算法学习在培养人的逻辑思维能力方面，并不逊色于逻辑推理。 3 3 1 有助于培养学生良好的思维习惯 算法具有完整性和序列性的特征。完整性就是说该算法是否涵盖问题的所有范围， 是否包括它所涉及的每一种情况。构造一个算法应该是周全考虑的过程。就像是要上某 地旅游，准备行李时，应该先了解一下该地的气候、地理环境、风土人情等，预测可能 发生的以外，然后再决定应该带什么，不应该带什么。序列性则是指每一个算法都是根 据一定的次序将各步骤有条不紊地连结，使得在执行一个算法时，每一时刻都知道下一 时刻( 或每一步都知道下一步) 该怎么办。这种思维的条理性是决定能否解决问题的一 个重要因素。比如做一道数学题，要么是从题设入手，由因导果；要么从结论入手，执 果索因；有时也需从两头入手。但无论是采取哪一种方式，都应该一步一步有条不紊地 往下推理，而不能像无头蝇一般东碰西撞。 经历算法的学习过程有利于培养人们严密的、条理的思维习惯，这对人们的生产、 生活和学习都是有积极意义的。 一个有意义的算法最终可能要在计算机上进行操作。虽然计算机的计算速度很快， 但毕竟有限，所以为了节省运算次数，就要求我们在设计一个算法之时，不能只满足于 该算法能够得出结果，而应该进行不断地反省思考，也就是要进行算法的优化设计。经 历这样的学习过程，有助于养成反思的习惯。在这个高速运转的信息社会，时间与精力 显得非常宝贵。人们在进行各项工作时都追求高效率，力求事半功倍，那么事前对方案 进行反思就显得尤为重要。 3 3 2 有助于培养学生逻辑思维能力 我们常常说数学是思维的体操，能够训练学生的思维能力。算法作为数学的一个基 本内容，在培养学生的逻辑思维能力上也能够发挥重要的作用。算法是解题方法的精确 描述。算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有高度抽象性、概括性、 和精确性。因此将解决具体问题的方法整理成算法的过程是一个条理化、精确化和逻辑 化的过程，有利于培养学生的逻辑思维能力。 一个算法必须是精确的，不同的人( 或不同的计算机) 按照规定的步骤，一步一步 执行，都能得出相同的结果。这样的事实表面上反映出算法机械性的特点，而掩盖了算 法与逻辑思维的关联。其实构造一个有效算法的过程是一个思维整理的过程，是一个精 确化、条理化的过程，需要很强的逻辑思维能力。比如说下面的例子： 例3 1 ；构造一个算法，让计算机来解关于x 的方程a x + b = o ，其中参数a b 由键盘任意输入， 让计算机输出结果。 我们能武断地下结论让计算机输出“x = - b ，a ”就可以了吗? 显然不对。因为当a = 0 时，这种输出 就出现错误。所以我们需要分情况讨论： ( 1 ) 输入a b ； ( 2 ) 若a o ，则输出“x = b a ”； ( 3 ) 若a = 0 ，f i ) 若b = 0 ，则输出“全体实数”： ( i i ) 若b o ，则输出“方程无实数解”。 这只是一个简单的例子，尚且需要经过仔细的推敲，所以算法学习有助于培养学生 的逻辑思维能力。 3 3 3 有助于发展学生的数学应用意识和实践能力 2 0 世纪8 0 年代以后，国际数学教育改革的三大趋势是：“大众数学”，“解决问题”， “服务性学科( 或数学应用) ”。究其实质都是强调了数学的应用。“大众数学”的教育 目的是：以单纯升学为目的转向为成人生活，就业需要与进一步学习相结合。为此，传 统的经典的理论化的数学内容必须有部分转向应用性的数学知识。培养学生的数学应用 意识与实践能力是我国数学课程标准的一个特点。 算法，顾名思义就是“算”的方法，其原本就是为解决实际问题而产生的。如九 章算术中的“方田”与“粟米”章，就是解决一些土地测算、和谷物交换问题的。离 开了问题，算法就失去了它的主要意义。“算法是计算机科学的基础”，计算机完成任何 一项任务都需要算法( 当然这里指的是用程序设计语言来描述的算法) 。同样，一个算 法最终的价值体现是通过计算机操作并最终得出结果，所以在学习算法时最好能够实际 上机操作，一方面体会算法的实用价值，另一方面实践能力得到提高。 算法作为实用性数学的代表，把它放入高中数学课程，能够向学生充分展现数学的 应用性。而传统数学教育中存在着一个比较突出的问题就是：忽视数学的应用，忽视数 学与其它学科以及与日常生活的联系，忽视培养学生鼹应用意识。早在2 0 世纪4 0 年代， 国际著名的数学家柯朗曾经十分尖锐地批评过数学教育中的这个问题。他指出：“两千 年来，掌握一定瓣数学知识已被视为每个受教育者必须具备的智力。数学在教霄中的这 种特殊地位，今天正在出现严重的危机。不幸的是，数学教育工作者对此应负责任。数 学豹教学逐渐流于无意义的单纯演算习题的诩练。闲然这可以发袋形式演算能力，僵却 无助于对数学的真正理解，无助于提高独立思考能力。忽视应用，忽视数学与其它 领域之间的联系，这种状况丝毫不能说明形式化方针是正确的；相反，在重视智力训练 的人们中必然激起强烈的反感。“”1 面算法的学习注整数学的应用，注重与计算极技术蛇 联系，算法解决的有很大一部分是日常生活中的例子，所以算法学习有助于发展学生的 数学应用意识和实践能力。 3 3 4 帮助学生理解构造性数学 算法是一般意义上解决闻题策略豹具体化，都有限递i 臼构造和有限稚递i 臼构造，这 两点恰恰构成了算法的核心。利用算法解决问题，就是个构造的过程。 构造性地解决数学问题不仅是重要的解决数学问题的方法，在数学曾学上也有着重 要的意义。构造性数学是一个重要的数学哲学学派童觉主义学派所认同的，他们只承认 构造出来的数学。数学的哲学问题包括数学理论的真理性标准问题、数学对象的本体论 解释、纯数学研究对象的客瑷性翔题等等。对上述阉题的硬究，由于数学家销、哲学家 们的数学观或哲学观的差异，逐步形成了不同学派，主要有以罗素( r u s s e u ，1 8 7 2 1 9 7 0 ) 为首的逻辑主义学派；良哥德尔( g 确。l ，1 9 。1 9 7 8 ) 为首的直觉主义学派；戳希尔伯特 ( h i l b c n ，1 8 6 2 1 9 4 3 ) 为首的形式主义学派。上述学派互相争论、互相批判，他们对数 学基础论的研究曾越过积极的作用。 直觉主义学派的另一代表人物荷兰数学家农劳威尔( b f o w e r ，1 8 8 1 1 9 6 6 ) ，在1 9 0 9 年发表其名著数学基础，系统地阐述了其赢觉主义观点。直觉主义的观点认为：数 学必须能构造。蝗们认为数学的存在性帮霹构造性是阉义的，因为切数学概念和方法 都是可以构造的。所谓构造性，就是只承认按一定步骤能够定义的概念和能够实现的方 法楚可信和有效豹，所以构造性亦帮能行性。魄如求两个鑫然数咖的簸大公约数池 阿用欧几里德辗转相除法或九帮算术所载的“约分术”( 或称更相减损术) 在有限 步骤内实现，像这样的方法称为可行性的或构造性的方法。 直觉主义者排斥古典数学中的非构选性内容。例如： 例3 2 ：考虑圆周率万一3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 7 9 8 9 3 用f ( n ) 表示第栉位小数前出现5 的个数，则 f ( 1 ) = o ，2 ) = 0 ，f ( 3 ) = o - f ( 4 ) ：l ，f ( 5 净1 ，f ( 6 ) = l ，f ( 伊l ，f ( 8 ) = 2 ，f ( 9 ) = 2 ，1 = 3 那么闻：不等式 f ( n ) n l 2 是否对于v n 都成立? 吉典数学认为，上述答案要么肯定，要么否定，二者必艨其一。而矗觉主义者：由于鼬vn 不 能在有限步骤内得出，故上述问题不能回答。 直觉主义派认为，传统逻辑起源于脊限集，若忽视这个限制，并把它用到无穷集合， 是产生数学悖论的主要原嚣；直擞主义者出于“存在必然被构造的要求”，反对“实纛 7 穷”，支持“潜无穷”。 直觉主义关于能行性的研究有重大意义。在使用电子计算机时，尤其应该注意能行 性。但为了排除悖论，他们只承认最保险的数学，而扬弃了许多合理因素。特别是涉及 无穷方面的数学，被他们丢弃更多，使得数学范围大大缩小，不利于数学的发展。 算法有一个很重要的特点就是有限步操作之后必须结束，这一点毫无疑问是深受直 觉主义学派认同的。算法内容进入高中数学课程，教师就可以以其为切入点，向学生简 单地介绍构造性数学和直觉主义学派的有关知识，帮助学生更好地理解构造性数学，树 立正确的数学观。 4 高中数学课程引入算法的可行性 “中学数学教育改革的主要动因为数学教育中的思想观念、课程结构及内容、教学 方法等已不适应学生全面发展的需要，不适应数学和科学发展水平，不能满足当代及未 来社会发展的需求。“”1 其中提到数学课程应该适应学生全面发展的需要。标准指出 我国高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高 作为未来公民所必需的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。可以看出，课程 改革是以促进人( 即学生) 的发展为目的的。所以在讨论高中数学课程引入算法的可行 性时，必然主要站在学生的角度，考察学生是否具备学习算法知识的心理与认知水平， 是否存在某些学习算法知识的障碍，而不是把注意力集中在教师身上，过分强调教师自 身对算法的准备。当然后一点也是决定课程实施能否顺利进行的关键，但我们不能这样 认为，若某一内容教师感觉太陌生，教起来会有困难，则应该舍弃它。否则，课程改革 就不存在。 4 1 学生具备学习算法的心理条件 美国心理学家奥苏贝尔提出有意义学习理论。有意义学习就是个体从无意义到获得 意义的过程，这种获得的意义又叫心理意义。奥苏贝尔认为心理意义的获得必须满足下 列条件：学习材料本身具有逻辑意义( 外部条件) ；学习者认知材料中具有同化新 材料的适当基础，即是有必要的起点能力( 外部条件) ；学习者必须具有有意义学习 的意向，即积极地将新旧知识关联的倾向( 情感或态度因素等内部条件) 。“”现代认知 论强调学习者的原有认知结构的作用和学习材料本身的作用，重视内在的学习动机与学 习活动本身带来的内在强化作用。 4 1 1 学生认知结构中有学习算法的适当基础 “算法”虽然初次进入高中数学课程，但它并不是新生产物。事实上，当我们刚上 小学一年级时就已经接触算法，只不过那时我们还没有意识到加、减、乘、除运算法则 其实就是算法。而算法所包含的的范畴要更大，一切解题方法和解题时用到的规则、法 则、定理、公式等都可以看成是算法或算法的组成部分。数学3 种的“算法初步”较为 系统地给我们介绍了算法的含义，程序框图，基本算法语句等。算法指的是一个完整的， 分成有限个步骤来解决问题的过程，包括输入和输出。为了便于理解，我们把原有算法 内容和新课程中的算法做一个比较，区别是后者被人为的分成了有限个机械的步骤，并 记载下来，而前者即使在人们的意识中把它分了步，但并没有记录。两者在本质上是相 同的，就好像是牛肉罐头加工厂里正待罐装的牛肉和已经罐装好的牛肉，外观不同，味 道一样。比如： 例4 1 ：求解一元二次方程甜2 + 缸+ c 一0 ( 口o ) 9 用以前的解题方法计算一忱若哪岷= 专笋，铲专等：若- o 则z ，= x ：一一丢：若c o ，则方程无实根 而用算法表示则为： 第一步：输入口，6 ，o 第二步：计算a = 6 2 4 口c ； 第三步：判断o 是否成立；若否则至第五步。 第陟若a 咖峨= 警 = 掣；若- o 弧：一丢卸z口“ 第五步：输出x ，或“方程无实根” 用程序框图 1 0 图l 可以赣出新课程中豹算法有的只是我侣原有计算方法的条理纯和结构化，其中蕴含 的数学思维和方法是黼源的。所以作为新知识豹算法和学生滕有认知结构中的算法存在 逻辑上的关联性。只要在教师的合理引导下，学生就能够建立新的算法知识与原有的对 算法认识b 的联系，从丽顺利完成新知识的获得。 4 1 2 学生有主动学习算法翦意向 无论是布鲁纳或奥苏贝尔都强调内部动机对学习者的重要性，建构主义也认为学习 是学习者主动建构的过程。在比较常规的教育下，学生都从小养成一种习惯，那就是在 计算时尽谭能选择最简便的算法。比如：小学生经常傲的简便运算“9 9 7 + 5 2 + l 0 0 3 ”，大 部分学生都能稠用加法交换率这样计算“= ( 9 9 ”l 0 0 3 ) + 5 2 = 2 0 0 0 十5 2 = 2 0 5 2 ”。而且狠有 意思的是一般人( 包括成年人) 在解决计算问题时有很强的开发算法的积极性。如解 “2 7 + 5 6 ”，在大脑中先加“2 0 + 5 0 = 7 0 ”，然后“7 + 6 = 1 3 ”，最届“7 0 + 1 3 = 8 3 ”。另外一些 入霉会这么算“2 5 + 5 0 + 2 + 6 = 7 5 + 8 = 8 3 ”。再如“上街买鱼，苹惫苇价4 2 元斤，一共9 斤8 两要多少钱? ”这时精明的鱼贩予根本就不用掏计算器，而采用心算，他会这么算： “1 0 斤是4 2 元，2 两是8 角4 分，所以一共是4 1 元1 角6 分。”人们这种开发合理算 法的积极性是天生的还是后天的学习过程中莠成的，在这里不作分析，但不管如侮都能 说弱一点，进入高中阶段的学生也窍开发和选择最优算法的积极性。 为了保持学习者学习算法的积极性，在引入算法时应该充分展示算法在解决问题方 面精确和简便的特点，以及它独有的有效性。而不能让学习者产生一种误解，认为这种 结构亿、条理纯驭后懿算法在书写时过于麻烦，及惩不魏原来矫采震的解舔过程来褥更 简洁。比如： 例4 2 ：利用三角形暖积公式s = p ( p 一口) ( p 一6 ) ( p c ) ，其中4 ，6 ，c 为三角形三边， 。! ! ! ! ! ，求一个逑长为5 ，6 ，7 的三蕉形瑟积。 2 高中学生很容易就套公式计算_ p ；9 ，jz 9 4 3 2 6 6 但如果用算法表示则为：第一 步：输入口，6 ，e ； 第二步：计算p 兰! 支坐； z 第三步：计算瑟积s 一p 一8 ) ( p 一6 x p c ) ； 第四步：输出s 的值 程序框图如图2 所示。 这时，教师应该向学生阐明该算法豹优越性体现在计算枧操作上。当三角形的边长 不再是简举豹数字对，当我们需要计算很多个三角形的面积时，入工完成计算最得很难。 而只要把该算法转化成计算机程序语言输入计算机，这时计算就变得简单、快捷，只需 输入三边长，再敲回车键就立即可得结果。 l 开始 j 上 ， 7 输入a b ，c 0 p 一( n + 6 + c ) 2 0 j 一妇( p 一日x p b p c ) 上 输出s 上 【 结束 i 图2 为了更能体现算法的优越性，在介绍算法时应该多举一些不用计算机就不能解决或 难以解决的例子，以体现算法独有的有效性。比如： 4 例4 3 ：用二分法求方程丁一二= o 的误差小于o ，0 0 5 的近似根。 x 其算法描述为： 1 第一步：令， ) = 丁一二= 0 ，误差小于o 0 0 5 确定，屯，使，( ) ，) 1 p r i n t “m = ”：m e n d 若缺少“i = i + 1 ”语句，则会造成死循环；若循环条件变为“i - 1 0 0 ”，则计算的是前 9 9 个正整数的和，输出的结果不会是“s 眦= 5 0 5 0 ”而是“s 啪= 4 9 5 0 ”。 计算机在数学教育中的应用，为我们提供生动的行动表征的可能，便于学生收集基 本的经验和想象，然后基于这些经验与想象有可能形成相应的数学概念建构；另外在计 算机上的活动属于重建构的过程，这些活动需要一定的想象，虽然这些想象不是随意就 能产生，但通过活动能体验这种想象的安全感与深度。不仅如此，学习者通过计算机体 验算法的应用价值，也可能获得算法知识的安全感与信任感，从而对学习者的学习动机 和学习效果产生积极的影响。 4 2 2 算法结合计算机有利于开展发现式学习 发现式学习和体验是相辅相成的。1 学生很难通过纯演绎推理发现数学规律，而更 多地依靠体验。事实上数学的许多定理是通过实验和经验发现的，例如古埃及数学的成 就得益于尼罗河泛滥后对土地的重新测量。 布鲁纳认为学习者在一定情境中，对学习材料的亲身经验和发现的过程才是学习者 最有价值的东西，因此他强调教师应当制定和设计各种方法，开设有利于学生发现、探 究的学习情境。计算机为算法的学习提供了类似的帮助，如果在体验与发现式学习中利 用计算机，学生可以在较短时间内产生许多经验，其间通过影片式的表征方式，将这些 经验相互联系起来。 在体验与发现数学规律时，计算机对于那些难以证明的问题显得更加有效。如以下 这个悬而未决的算术问题： 例4 6 ：“如果某个正整数为偶数，我们将该数除以2 ；如果某个数是奇数，我们将该数乘以3 再加上1 ，得到下一个数”1 许多人进行尝试，并且以不同的正整数开始这个算法活动，最后总是得到4 2 1 这样的循环， 但迄今没有数学家能够证明以任意正整数开始都能得到4 2 1 为最终循环。 分析：事实上，只要在数列中得到了4 ，2 ，1 中的任意一个数，就意味着循环的开始，所以这 里以l 的出现为终止条件制定算法： 程序框图如图5 所示。 程序如下： h l p u ta p r i n ta i - 1 a i = a w h 臼ea ； 1 p r i n ta i 1 6 图5 运行该程序时只需输入一个正整数，就会按照要求生成新的数，一直到出现l 为止，而且输出 的结果是每一步计算生成的数及生成数的个数。比如输入“3 ”，则会输出“3 ，1 0 ，5 ，1 6 ，8 ，4 ，2 ， 1 ，8 ”。利用该程序，学生可以从a = l 起，逐一验证，并把输出结果列成表格。当a 逐渐增大以后， 生成的数可能会越来越多，比如当a ”时，程序会输出2 1 1 项( 即在第2 1 1 项出现1 ) 。 这种验证无疑会激起学生的兴趣。为了更好地为学生开设探索情景可以给学生提供这样一些问 题： 1 在5 0 0 和l o o o 之间是否存在一个数，用这个数开头，以逐渐减少的数列，直到获得1 ，为什 么? 答案：5 1 2 ，因为若要逐渐减少，则1 之前的每一个数都只能是偶数，故只能是2 的幂。 2 在生成的数列中，可不可能存在连续3 个数8 i ，a i + l ，a “：? 为什么? 答案：不存在，因为若a i a “1 ，则a i 必为奇数，a i + 1 = 3 a i + 1 必为偶数，则a i + 2 = a f + 1 ，2 a “1 ，所以不 存在。 3 在每一个数列中，把a i 一1 称为a j 的前位数，为什么5 只有一个前位数1 0 ，而1 0 却有两个前位 数3 和2 0 ? 6 有几个前位数? 那么一个数至多有几个前位数? 你还能得出哪些相关结论? 】7 答案：因为a ；与a h l 的关系如下；a i = 婶l ，2 ( a b l 为偶数，a i 可能为奇，也可能为偶) ；a = 3a j 1 + 1 ( a _ _ 】为奇数，a i 为偶数) 所以要求某个数a i 的前位数，则是求若a i 为奇数，则解方程a i = x ，2 ； 若a i 为偶数，则求方程a i = x 佐或a i = 3 x + 1 的正整数解。所以5 只有1 个前位数1 0 ；而1 0 为偶数，1 0 = x 2 与1 0 = 3 x + 1 都有正整数解，故有两个前位数2 0 和3 ；6 只有一个前位数1 2 ：一个数至多有两个前位 数；还可以得出这样的结论：任何一个正奇数，仅有一个前位数。 通过对这一类问题的探究学习，不仅让学生深切体会算法解决问题的适用性，激发 学生学习算法的兴趣，而且通过对问题本身的思考，加深对数学知识的理解。 1 8 5 高中数学课程中算法内容分析 “数学课程应该是一个拓展的开放的系统。这不仅表现在它的内部拓展性，也表现 在它的外部适应性上。”。2 1 标准区别于以往教学大纲在课程实施上留有一定的弹性 空间。以往的教学大纲规定的内容往往细化到某以教学内容的具体目标，所需要的课时， 甚至是课后习题。这样的课程必然是僵硬的课程，实施起来缺乏灵活性。而标准有 一基本理念“提供多样课程，适应个性选择”，提倡“高中数学课程应为学生提供选择 和发展的空间”，同时“也应给学校和教师留有一定的选择空间”。因此，教师在课程选 择和内容安排上有一定的自由度。 算法内容也是如此。标准中算法