（应用数学专业论文）具有转股通知期的可赎回可转换债券的定价.pdf

摘要 摘要 本文应用b l a c k s c h o l e s 期权定价理论，在市场无套利假设下，通 过一对冲原理，建立了具有转股通知期的可赎回可转换债券的数学模 型，它是一个自由边界问题基于这一模型，应用偏微分方程方法研 究了具有转股通知期的可赎回可转换债券的定价主要工作为： 一、利用惩罚函数法、s c h a u d e r 不动点定理和极值原理证明其解的 存在性和唯一性 二、讨论了可转债价格对参数的依赖关系，证明了可转债价格关 于时间和股价单调增加，关于利率单调减小 三、研究了最佳转股边界的性质，得到的主要结果是：最佳转股 边界关于时闻单调增加且连续，且与圆购边界相交最优转股边界与 回购边界相交的时间，具有以下性质： 1 ) 当e r k l1 了焉a 时，在到期隧最优转股边界与回购边界相交， 持有者转换策略为：当股价小于最优转股价格应继续持有，当股价超 过最优转股价时应转股； ( 2 ) 当c 膳( 卜刁青弱j ，t t o 时，持有者转换策略为：当s 磐o ，继续 持有，当s = i k 扩。时，持有者转股 四、分析了转股通知期对可转债价格和自由边界性质的影响，发现 转股公告期导致可转债价格关于股价增速减小，最优转股价格增大； 对可转债价格关于时间和利率的依赖关系，以及最优转股边界与回购 边界相交的时间没有影响。 关键词：可赎回可转换公司债券；转股通知期；自由边界 a b s t a c t a b s t r a c t t h i sd e s e r t a t i o ni sb a s e do nb l a c k - s c h o l s eo p t i o np r i c i n gm o d e l u n d e rt h e a s s u m p t i o no fn o a r b i t r a g e w ee s t a b l i s ht h em a t h e m a t i c a lm o d e lc a l l a b l ec o n v e r t i b l e b o n d sw i t hc o n v e r s i o nw a r n i n gt i m er e q u i r e m e n tb yh e d g i n gp r i n c i p l e ，w h i c hi saf r e e b o u n d a r yp r o b l e m t h em a i nr e s u l t sa sf o l l o w e s ： f i r s t ，w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n so ft h ef r e eb o u n d a r y p r o b l e m ，谢也t h et e c h n i q u eo fp e n a l t yf u n 文i o n ，s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e ma n dt h e m a x i m u m p r i n c i p l e s e c o n d , w ed i s c u s st h ei m p a c to f p a r a m e t e ro nt h ec o n v e r t i b l eb o n d sp r i c e a n d w ea l s op r o v et h a tt h ep r i c eo fc o n v e r t i b l eb o n d si n c r e a s e sw i t hs t o c kp r i c ea n d t i m e ， d e c r e a s e sw i t hi n t e r e s tr a t e 。 t h i r d ，w es t u d yt h ep r o p e r t i e so fo p t i m a lc o n v e r s i o nb o u n d a r y a sr e s u l t st h e o p t i m a lc o n v e r s i o nb o u n d a r ya l ec o n t i n o u sa n dm o n o t o n i ci n c r e a s i n gw i t ht i m e ，a n d i n t e r s e c t c a l l i n gb o u n d a r ya tt o ( 0 ，r ) w ed e t e r m i n et o ( 0 ，z 】： ( 1 ) hn 膈r 赢) ，t h 髓幻钉t h e s t r a t e g yo fb o n d h o l d e ri s ：i f s t o c kp r i c ei sl e s st h a no p t i m a lc o n v e r s i o np r i c e ，a n dt h e nb o n d h o l d e rc o n t i n u e st o k e e ph i sb o n d si nh a n d s ，a n di fs t o c kp r i c ei sm o r et h a no p t i m a lc o n v e r s i o np r i c e ，t h e n b o n d h o l d e rc o n v e r t sh i sb o n d st ot h es t o c ko ft h ef i r m ( 2 ) i f c t o ，t h es t r a t e g yo f b o n d h o l d e ri s ：i f s 辱扩o ，t h e nb o n d h o l d e r c o n t i n u e st ok e e ph i sb o n d si nh a n d ，a n di fs = 菩印，t h e nb o n d h o l d e rc o n v e r t sh i s b o n d st ot h es t o c ko ft h ef i r m f o u r t h ，w es t u d yt h a tt h ei m p a c to fw a r n i n gt i m eo nb o n d h o l d e r so p t i m a lc o n v e r s i o np o l i c i e sa n dc o n v e r t i b l eb o n d s p r i c e w eo b t a i nt h a tt h ew a r n i n gt i m ew i l ll e a d t oa c c e r l a t i o no ft h ec o n v e r t i b l eb o n d sp r i c ew i t hs t o c kd e c r e a s i n ga n dc o n v e r t i b l e b o n d sp r i c ei n c r e a s i n g 。t h ew a m i n gt i m eh a sn oi n f l u e n c eo nt h er e l a t i o nc o n v e r t i b l e 2 b o n d sp r i c ew i t hi n t e r e s tr a t e s ，t h et i m ef o rt h ei n t e r s e c t i o no fc o n v e r s i o na n dc a l l i n g b o u n d a r y k e v o r d s ：c a l l a b l ec o n v e r t i b l eb o n d s ，c o n v e r s i o nw a r n i n gt i m e ，f r e eb o u n d a r y p r o b l e m 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果，均 在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和厦门大学研究生学 术活动规范( 试行) 。 另外，该学位论文为( 国家自然科学基金：1 0 6 7 1 1 0 3 ) 课题( 组) 的研究成果，获得(该) 课题( 组) 经费或实验室的资助，在 ( 莆圈学院应用数学重点) 实验室完成。( 请在以上括号内填写课 题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特 别声明。) 声明人( 签名) ：孝乏建 6 每6 只6 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦门大学根据中华人民共和国学位条例暂行实施办 法等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交 学位论文( 包括纸质版和电子版) ，允许学位论文进入厦门大学图书 馆及其数据库被查阅、借阅。本人同意厦f _ 】大学将学位论文加入全国 博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和 摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于： () 1 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文， 于年月园解密，解密后适用上述授权。 () 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打“ 或填上相应内容。保密学位论文 应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密 委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权。) 声 y j a ( 签名) ：考支跨 如? 年多月多固 第章引言 4 第一章引言 1 1研究背景及其意义 可转换公司债券是一种介于股票和债券之间的金融产品它赋予 持有人在发债后一定时间内，可以选择持有至债券到期，要求公司还 本付息；也可选择在约定的时间内转换成股票，享受股利分配或资本 增值通常简称可转债 可转债定价的理论基础主要是1 9 7 3 年和1 9 7 4 年的三篇关于期权及 公司债券定价的学术论文( b l a c k 和s c h o l e s ，1 9 7 3 t 1 1 ；m e r t o n ，1 9 7 3 t 2 ，1 9 7 4 p 1 ) b l a c k s c h o l e s m e r t o n 定价理论的思路是：基于市场无套利假设，通过一 对冲原理，把人们引入风险中性世界，使得所有风险资产具有相同的 期望回报率一无风险利率，给出一个独立予个人偏好的”公平价格”。 可转债的定价模型，取决于原生资产股价的演化模型，而股价的演化 可通过一个随机微分方程描述，从而在此基础上，作势它的衍生物一可 转债的价格是一个自由边界问题，可利用偏微分方程理论对可转债价 格展开研究 作为一种新型的金融衍生工具，可转债兼具筹资和避险双重功能， 比单纯的筹资工具( 如股票、债券等) 和单纯的避险工具( 如期货、期权 等) 更具优势1 8 4 3 年美国n e wy o r ke r i e 铁道公司发行第一张可转换公 司债券，此后1 0 0 多年，可转债没有得到市场的认同和重视，直到2 0 世 纪7 0 年代，美国经济极度通货膨胀使得债券投资入开始寻找新的投资 工具，可转债由此进入人们的视野，并在此后3 0 年在全球迅速发展起 来，巴经成为冒际资本市场广为使用的融资和投资工具2 0 0 0 年、2 0 0 1 年美国新发行可转债规模分别达6 0 0 亿美元与1 0 5 0 亿美元，而2 0 0 2 年 春季美国新发行可转债规模达2 7 0 0 亿美元，超过前5 年同期发行总和 的两倍在欧洲，可转债规模从1 9 9 0 年的8 1 亿美元增长到1 9 9 5 年的 1 4 0 亿美元，预计2 0 0 4 年将达到8 0 0 亿美元。据估计，2 0 0 4 年底全球可 第一章引言 5 转债规模将超过5 0 0 0 亿美元( 数据引囱s c h u l t z ，2 0 0 2 ) 4 1 在我国，可转债 也已成为上市公司一种新的常规再融资方式自1 9 9 2 年的第只可转 债深圳宝安转债) 发行至2 0 0 4 年9 胃2 7 日，我国已有3 5 家公司发行可 转债截至2 0 0 4 年1 2 月2 1 日，可转债的市值规模约为3 5 1 亿元( 数据 弓| 自【5 1 ) 。因此，在当前背景下，对可转债进行定价研究，有很重要的意 义对发行者来说，准确的定价关系到可转债是否能够顺利发行和转 换。对投资者来说，准确的定价关系到其能否正确的制定投资策略和 获得收益 l 。2 可转换债券的主要特点 一、可转债的融资优势 ( 1 ) 灵活的融资方式：一是企业发行可转债，较少的受管理部f j 的 法规制约；二是对不同的发行条款搭配组合，可以产生多种多样的可 转债，满足不同发行者和投资者的需求 ( 2 ) 财务优势：投资者长期持有可转债，并转换成股票，债券转为 股权，发行公司获得永久性资本，可降低发行公司负债比率 ( 3 ) 缓解股权稀释：发行可转债可以延迟当前低价股权融资，可转 债的逐步转股可以减缓对现有每股业绩的稀释，避免股票市价的波动 ( 4 ) 较低的融资成本优势：由于投资者愿意为未来获得有利的股价 上涨丽付出代价，因此，可转债的发行者能够以相对于普通债券较低 的利率发行可转债 ( 5 ) 具有避税功能：可转债利息可以作为企业的财务费用，而股票 红利则不可以，所以适当运用可转换公司债券可起到节约税收的效果 ( 6 ) 较高的发行价格：发行人可以通过发行可转债获得比直接发行 股票更高的价格发行。 ( 7 ) 对投资者具有吸引力：可转债兼有债券、期权和股票的三种金 融产品的部分特点，可以满足这三方萄的潜在投资者的要求，投资者 来源较广 二、可转债的基本条款 第一章引言 6 可转债条款，主要包括票面值、票面利率、标的股票、期限、转换 比率、转股价格、赎回条款下面我们将逐款说明 ( | ) 面值：我国可转债面值是1 0 0 元，最小交易单位是1 0 0 0 元。境外 可转债由于通常在柜台交易系统进行交易，最小交易单位通常较高 2 ) 票面利率：它给予投资者一个最低收益保证，但通常低于与普 通债券和银行利率，以反映可转债期权的价值 螺丝条款：是可转债特有的一种条款它规定可转债持有人若在 第一个赎回日到来前自愿转股，则将无法获得应计利息 ( 3 ) 标的股票：它是可转债的标的物，即可转债可以转换成的那种 股票 ( 4 ) 期限 1 ) 债券期限 可转债发行公司通常根据自己的偿债计划、偿债能力以及股权扩 张的步伐来制定可转债的期限+ 2 ) 转股期 转股期是指可转债转换为股份的起始日至截至醺的期间 ( 5 ) 转换比率：每份可转债可转换成标的股票的数量转换比率在 可转债发行时已经约定好的，除非有股票分红或股票分拆时，为了使 公司价值为常数而改变 ( 6 ) 转股价格：转股价格是指可转债转换为每股股票所支付的价 格其与转股比率的关系是： 转股价格= ( 单位可转债的面值) 转换比率 ( 7 ) 赎回条款： 赎回是指在一定条件下公司按事先约定的价格买圆未转股的可转 债赎回条款的主要目的是降低发行公司的发行成本，避免因市场利 率下降而给皇己造成利率损失，同时也处于加速转股过程、减轻财务 压力的考虑通常该条款可以起到保护发行公司和原有股东的权益的 作用。赎回实质上是买权，是赋予发行公司的一种权利，发行公司可 第一章引言 以根据市场的变化而选择是番行使这种权利 7 赎回条款一般包括以下几个要素： 1 ) 赎回保护期这是指可转债从发行日至第一次赎回日的期间 2 ) 赎回时间。赎隧保护期过后，便是赎回期。按照赎回时间的不 同，赎回方式可以分为定时赎回和不定时赎回定时赎回是指公司按 事先约定的时闻和价格买回来转股的可转换公司债券；不定时赎回是 指公司根据标的股票价格的难势按事先的约定以一定价格买回未转股 的可转债 3 ) 赎回条件在标的股票的价格发生某种变化时，发行公司可以行 使赎回权利这是赎回条款中最重要的要素按照赎回条件的不同， 赎回可以分为无条件赎回( 嚣硬赎回) 和有条件赎回( g p 软赎回) 无条件 赎回是指公司在赎回期内按事先约定的价格买回未转股的可转换公司 债券，它通常和定时赎回有关；有条件赎回是指在标的股票价格上涨 到一定幅度( 如1 3 0 ) ，并且维持了一段时间之后，公司按事先约定的 价格买回未转股的可转债，它通常和不定时赎固有关 4 ) 赎回价格赎回价格是事先约定的，它一般为可转债面值的1 0 3 对予定时赎回，其赎隧价一般逐年递减，而对于不定时赎回，通常赎 回价格除利息外是固定的 一旦公司发出赎回通知，可转债持有者必须立即在转股或卖出可 转债之间作出选择，菠常情况下，可转债持有者会选择转股 以上条款说明，部分引崮网 l 。3 可转换债券定价理论概述 b l a c k s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 的期权定价理论发表前，可转债的理论研究主要 集中在可转愤基本概念的建立、转换价格的确定与调整方法等方面。大 部分工作仅限于对可转债价值特征的大致刻画上，研究的基本思路是； 首先设定未来某个时点可转债的价值等于它的投资价值i v ( i n v e s t m e n t 第一章引言8 v a l u e ) 与转换价值c v ( c o n v e r t i b l ev a l u e ) 的极大值，即m a x ( i v , c v ) ，然后贴 现这个值作为可转债的价值 最早将b l a c k s c h o l e s 期权定价理论运用予可转债定价问题的是歉。 g e r s o l l ( 1 9 7 7 a ) f t l ，( 1 9 7 7 b ) t s j 和b r e n n a n & s c h w a r t z ( 1 9 7 7 ) t 9 1 在他们的定价模 型中，可转债的价值以公司价值为基础变量，假定公司价值的变化服从 几何布朗运动，然后运用b l a c k 。s c h o l e s 期权定价方法，采用风险对冲与 风险中性技术导出可转债满足的偏微分方程，再利用无套利假设根据 可转换债券的条款如转换条款、赎回条款等确定可转债的最优转换、 赎回策略，由此确定偏微分方程的边界条件，最后利用微分方程的数 值解法计算可转债的价值b r e n n a n & s c h w a r t z ( 1 9 8 0 ) 1 娜在他们的模型中 加入了随机利率他们得到的结论是：随机利率期限结构对可转债价 格的影响是如此之小，以至于对实证结果来说可以忽略不计。 以上模型都是基于公司价值运动的模型，而公司价值很难度量， 不易刻蕃，为了克服这个闻题，m c c o n n e l l s c h w a r t z ( 1 9 8 6 ) 1 1 】首次建立 了基于公司股票价格运动的定价模型，这是可转债定价研究的一个重 大突破因为股票价格数据可以直接从市场获得，并且股价的运动过 程也比较容易刻画g o l d m a ns a c h s ( 1 9 9 4 ) 1 2 】利用股价运动的二叉树模型 来计算可转债的理论价格，考虑了可转债的信用风险，采用经过信用 风险调整的贴现率，相对于m c c o n n e l l & s c h w a r t z ( 1 9 8 6 ) 推进了一步 t s i v e r i o t i s & f e r n a n d e s ( 1 9 9 8 ) 1 3 】在高盛模型g o l d m a ns a c h s ( 1 9 9 4 ) 的基 础上提出带有外生性的信用利差模型，提出了新的观点：把可转债的 价值分成两个部分，即股权价值和纯债券价值，而且这两个部分受到 不同的违约风险股权部分由于发行者一直麓够交易自己的股票，因 此，他的违约风险为零；债券部分由于票息支付、本金偿还取决于发 行者能够剩用的现金数量，从而导致了信用风险 i n g e r s o l l ( 1 9 7 7 a ) 1 7 中得到结论，转换价值超过回购价格时，发行公 司应立基i 圈购可转债，而i n g e r s o l l ( 1 9 7 7 b ) t 8 】通过研究1 9 6 8 年到1 9 7 5 年酌 市场数据发现，实际上发行公司直到转换价值超过回购价格4 3 9 时 才回败对这种回赡延时现象有不同的解释。i n g e r s o l l ( 1 9 7 7 b ) 认为赎回 第一章引言 9 公告期是重要的影响因素赎回公告期( n o t i c e p 谢o a ) 是指，发行公司赎 回前给持有者的一个公告期( 比如3 0 天) ，让持有者决定是接受回购还 是选择转股。b u t l e r , a ( 2 0 0 2 ) 1 4 认为发行公司回购时，持有者失去转股 权和债券的直接价值同时收到股票和看跌期权，发行公司的回购策略 是使 认股期权价值+ 债券的直接价值一股票价值一看跌期权 最小，结合期权看涨看跌平价公式，分别得到具有公告期和没有公告期 的最优回购价格解析式发现公告期越长，回购价格越高g r a u ，f o r s y t h a n dv e t z a l ，k & ( 2 0 0 3 ) 1 1 5 1 利用p d e 数值方法，通过对o ，1 萄和? & f 3 】两 种信用风险模型的计算表明，一般情况下，没有公告期的回购价格比 有公告的回购价格要高，但是，若公告期内有息票支付时会更低。基于 b u t l e r , a ( 2 0 0 2 ) 的最优回购策略模型，a l t i n t i g ，z a & b u t l e r , a ( 2 0 0 5 ) t 1 7 】 利用1 9 8 6 到2 0 0 0 年的市场回购数据研究公告期的影响，考虑公告期 后，他们的理论价格比实际回购价格高出3 4 7 d a ir a i n & k w o k , yk ( 2 0 0 5 ) 0 s 在没有违约风险、零息票、常利率和红利连续支付的假设下， 建立了具有赎回公告期可赎回可转换债券的变分模型，结合理论分析 和数值计算考察了到期时间、公告期、回购l 介格和红利对可转债回购 和转换策略的影响，以及回购和转换策略的相互影响 我们认为持有者转股前，有转股通知期( c o n v e r s i o nw a r n i n gt i m e ) 也是 合理的原因有三：第一，如果可转债持有者不是公司原有股东，可转 债转股后公司的控制权可能有所改变，转股前有通知期，原有股东可 提前提高持般比例，防止控制权转移；第二，在给定公司业绩的情况 下，转股导致发行在外的股票数量增多，致使该公司每股业绩受到一 定程度的稀释，加入通知期，发行公司可采取措施稳定股价；第三，可 转债利息可以当作财务费用，而红利却不可以，因此转股也使得公司 应税剥润增加并承担更多的红利，有通知期发行公司好做财务预算。 因此本文打算对具有转股通知期的可赎回可转换债券进行定价研究 第一章引言 1 4 本文的主要研究内容及研究方法 国内外学者对可转债的定价研究，主要集中在模型建立和数值方 法求解，而从理论上讨论模型解的存在性、正则性和实施边界性质的 工作还较少，有必要从理论上讨论这些闻题，为数值计算提供理论依 据近年国内学者易法槐等就金融衍生产品定价模型中的自由边界问 题做了大量的工作在可转债方面，f a h u a iy i & z h o uy a n g ( 2 0 0 8 ) t 1 9 】证明 了没有转股通知期的可赎回可转债定价模型的解的存在性和唯一性， 并从理论上讨论了自由边界的单调性、光滑性和形态 本文在f a h u a iy i & z h o uy a n g ( 2 0 0 8 ) 1 9 工作的基础上，假设市场无套 利，通过一对冲技术，根据可赎回可转换债券合约中，加入转股通知 期条款后，可转债在转股通知发出后，可转债变为一份到期时间等于 转股通知期的欧式期权的特点，再依据赎回条款和转股条款，建立了 具有转股通知期可赎回可转换债券定价的数学模型，并给定定价模型 的定解条件它是一个倒向抛物型自豳边界问题讨论的主要困难是； 对有具有转殷通知期的可转债定价模型，如何给定定解条件；转股通 知期对可转债价格和最优转股边界即自由边界性质的影响；自由边界 性态的刻画 首先我们利用惩罚函数法、s c h a u d e r 不动点定理和极值原理证明 了定价模型解的存在性和唯一性，然后应用极值原理讨论了可转债价 格对参数( 股价、时间和利率) 的依赖关系，证明了可转债价格关于时 间和股价单调增加，关于利率单调减小根据可转债价格的性质，详 细刻画了自由边界的形态，得到的主要结果是：最优转股边界关于时 间单调上升且连续，最后最优转股边界与回购边界相交应用连续函 数的介值定理，得到最优转殷边界与圈贿边界相交的时闻，具有以下 性质： ，、 ( 1 ) 当e r k l1 一百a 时，在到期日最优转股边晃与回赡边界相交， 、r 影| 零| 持有者转换策略为：当股价小于最优转股价格应继续持有，当股价超 过最优转股价时应转般； 1 0 第一章引言 ( 2 ) 当c t o 时，持有者转换策略为：当s x e q 7 0 ，继续持有，当s = 等o 时，持有者转股 这个结果与 1 9 1 相比，我们更加准确的刻画了自由边界的形态， 求出到期霉前，转股边界首次与回购边界相交所需的条件，及榴交时 刻所满足的方程 1 9 1 没有给出到期日前转股边界首次与回购边界相 交所需的条件。 本文最后分析了转股通知期对可转债价格和自由边界性质的影响， 发现转股公告期导致可转债价格关予股价增速减小，最优转股价格增 大；对可转债价格关于时间和利率依赖关系，以及最优转股边界与回 购边界相交的时间没有影响 本文内容安排：第二章，建立了具有转股通知期的可转换债券的 定价模型，它是一个倒向抛物型自由边界问题首先，我们通过变量 变换，将有界区域上的倒向问题转化为半无界的初边值问题，再利用 惩罚函数法将变分问题化为惩罚问题这个惩罚问题是一个二阶非线 性抛物型方程的定解问题。对于半无解的非线性抛物型定解问题，我 们通过紧性方法用有界区域上的解来逼近关于有界区域上的定解问 题的左边界条件，我躺是根据可转债价格的性质，解在左边界等于可 转债的直接价值来给定的，再应用s c h a u d e r 不动点定理及极值原理证 明了有解区域上解的存在性和唯一性。最后证暖了惩罚问题的解收敛 于变分问题的解 第三章，主要应用极值原理讨论了可转债价格对参数( 股价、时间 和利率) 的依赖关系，然后分析最优转股边界的性质，它是一条关于时 间单调上升且连续的曲线，最后与回购边界相交我们还分析了转股 通知期对可转债价格和转股边界的影响 第二章具有转股通知期的可赎回可转换债券的定价模型 1 2 第二章具有转股通知期的可赎回可转换债券的定价模型 2 1具有转股通知期的可赎回可转换债券定价模型的建立 模型假设： ( a ) 市场为有效的无摩擦市场，有两种资产：风险资产和无风险资 产 ( b ) 股票价格遵循几何b r o w n 运动，即 譬烹p 一) d r + o d w t q ) a t o c i w t了烹扩一 其中，表示无风险利率( 常数) ，q 表示股票红利( 常数) ，并设q ， 是波动率( 常数) d w t 标准b r o w n 运动，e ( d 彬) = 0 ，v a r ( d w t ) 慧d t ( e ) 不支付交易费用和税收。 ( d ) 市场不存在套利机会 ( e ) 发行公司可赎回，约定按价格赎回持有者转换有转股通知 期：即合约规定，持有人在决定转换以前要有一个通知期，在通知发 出以后，持有入不得改变注意，即在任何情况下，在通知到期e l ，持有 人必须按合约规定转换成股票 符号说明： v ( s ，玲可转债价格，妊可转债面值，y 转换比率， t 时间，r 到期日，f 燃r 一国j 期剩余时间。 构造投资组合露= 矿一a s 则 d z r 燃d v + c m h ( d s 十q s d t ) 然( 警+ 譬s 2 塞冲十箬劣+ c d t - a ( d s + q s d t ) 根据市场无套利假设，有 栅= r n d t = 攻v a s ) d r 第二章具有转股通知期的可赎回可转换债券的定价模型1 3 取一繁，可得 瓦o v + j 0 - 2 s 2 豢+ 妒一拶箬一，y + c = o 通知期期间可转债的定价模型： 设通知期为铂，持有入t 时刻决定实葱，在t + ? o ) 时刻收益= 7 s 郴，十丁) ( 0 r 功) 表示可转债在通知期期间的价格根据螺丝条 款，通知期期间可转债无债患，即c 0 那么v ( s ，f + ? ) 适合 i 百o q v 十了0 - 2 。2 孬0 q 2v + ( r - q ) s 州= u 亿1 ) 解得： v ( s ，t + t ) = y s 矿孵。吖) 特别当r = 0 时，v ( s ，0 = y s e m 通知期之前可转债的定价模型： 当三俗g q r o 时，发行者回购，但持有者选择转股，有 v ( s ，f ) = 俗矿m ，s 兰砂，0 7 0 其中l o y = 面o v + 譬s 2 豢+ 驴一g ) s 箬一r v 发行者回购的必要条件：回购价格的利息小于债息，即腿 c 我们假设q r ，于是若c q y s e - q 7 0 ，有c q y s e - q ：o q k r k , 发行 者不会回购，持有者可能转股当y s e - q 7 。= k ，发行者实施回购 因此v ( s ，0 是如下变分问题的解 一l o v = c ，y s e q r o v 岛 v = y s ? 岱，磅u r v ( s ，即= 墨0 s 冬o 氓等矛，d = k 0 t r 其中c q y s e q r o ，q ，并且t k - - ，l n 幽“r 4 i 当s = 0 时，由f i c h e r a 定理，不给边界条件，且此时可转债价值等 于其直接价值，即 v ( 0 ，t 一0 黧肛? 一磅+ f ( 1 一e - r ( t - t ) ) ， 并且当股价跌倒一定幅度后，可转债价值都等于其直接价值，不再下 跌 注：当t k _ ，l nq ( r r k 幽w ，s = s 时，其中s = 芳羽，计算可证 v ( o ，t 力y s ，咖= = 疗 于是当s c v ( x ，o ) - - k y 矿q r o ， k 1 - ) q r y = y 矿卿，戗f ) f i r o o x q r o + 锄等 v ( q r o + 加等，7 ) = k 0 r ， q 歹= ( - o o x o ) ，膑( z ) 0 ， 考虑问题( 2 4 ) 的惩罚问题 郴。，且l i m f l e ( t ) = e - - * 0 i ，一 因为q r 无界，我们应用有界区域 q ，考虑问题 7 ) f i r o o x q r o + 加等 0 丁 0 t 0 ( 2 6 ) q 孕= ( 一心，q r o + 加等) ( o ，r ) 来逼近 、， ， 墨 矿 哆 炒 蛩 一 砭篷 p 巍 毒薹州 西小啊 第二章具有转股通知期的可赎阿可转换债券的定价模型 1 6 五v + p e ( v y 扩旷o ) = c ， v ( x ，0 ) = 墨 v ( 一r ，丁) 嚣k e - 玎+ ；( 1 一e - ) ， v ( q r o + 扔等，7 ) = k 1 ) q ； - r x q c 。十觑等 0 1 _ t 0 r t 引理2 1 ：对固定的e ，r ，问题( 2 7 ) 存在唯一的解v = v f ，拧蠢昨 ；) ， 1 p + o o 证明记嚣= c ( q - - r r ) p = ，引v o ，贝i d 是艿中闭凸集，v 甜d 定义 映射v = 只材) 使得v 是下面线性方程的解 “丁) q 李 一天 x q r o + i n 事 0 丁 t 0 丁 0 ，使得i iu j 蹙m = l ，2 ，由( 2 9 ) “v jb 竖c ，勰1 ，2 因而存在 吩；的子列，不妨仍记为 碜 ，及可晖j 国拳) ，有 在方程 在嘭1 1 ( q 拿) 中， 在c ( 群) 中， v ，。v 、j _ l v j = e 一髌( 唧一y 矿咖) ，伍丁) q 拿 印。，o ) = 墨一只 x 矿o + l n 等 ( 2 1 0 ) 巧( 一r ，丁) = k e - 一+ c ( 1 一e - ) ，0 了 丁 v a q r o + 加等，f ) = 鬣0 f f 中令歹_ o o ，有 历= c 一展( “一7 ，矿o ) ， 9 ( x ，0 ) = 茂 丁) l q 拳 一只 x 矿o + i n 等 。1 1 ) 议一r ，丁) = k e - 玎+ i ( 1 一e - ，r ) ，0 丁 z 每( q r o + 加等，) = 挺 由方程( 2 8 ) 解的唯一性，有 ( 3 ) 成立。 影= v = 芦掰 o 丁 v 2 则 设v 1 ，v 2 是方程( 2 7 ) 的两个不同解，令w = v t 一晚，不妨设 | l w 镤( 渺= 0 ，& ? ) gq ； 气 【1 4 k x , t ) = 0 ，丁) 如q 孕 由极值原理w = 0 ，矛盾，解唯一 引理2 2 ：问题( 2 7 ) 的解v = 飞胄满足如下估计： 展( 0 ) 展( 垤。r y e a - - 矿o ) g0 y 广咖v e 。武k 佗1 2 ) f 2 1 3 ) 证明记f d = 展( 垤，置一，扩咖) ，只需要证明f 丁) 有下界，设p 是 “而d 的极小值 假若p = f ，1 - ) ，p 茎0 ，p 反( o ) ，则f ( r ，r ) 岳如( q ；) ，不然，若 鬏茗，矿) 彩( 衅) 我们来计算f ( r ，f ) 在q 擘的抛物边界上的值 在初始时捌，毒 ，0 ) = 反一矿蚋) 0 在左边界，当r 充分大时，显然有( k e - 一+ ；( 卜e - - ) ) 一y e - r - q 7 。0 ， 那么 参卜r ，丁) = f l , ( ( k e - ，r + - c ，( 1 一e - 疗) ) 一y e - r - q , - o ) 成( o ) 在右边界， f ( ( q r o + l n 霜x ，1 - ) = 展衅一目= f i 。( 0 ) ， 可以推出睢= 鼬，下+ ) 成( o ) ，矛盾 另一方面，若 + ，丁+ ) 蹲，由于f i e ( t ) 关于t 是单调增函数，那么 尺一y e r - q 。o 也在，丁) 处达到负的极小值，由极值原理 及( 2 7 ) l ( v e , r 一7 矿卿) k ，) 0 f x 4 ，7 + ) = c - l v , , 矗l f r ) c l ( y d - q o ) b e ，r ) = e 一，一矿。艺c r k = f i ( 0 ) 墨童墨煎箜墼望麴塑塑旦壁匣亘壁垫焦鲞塑室鲍楚型 1 9 ( 2 1 2 ) 得证 若圪r 0 时，群( 力= 0 ，于是当一o o t 时膑( ，) = 展( o ) ，与 觋脚= k = 矛盾故r e 露y 矿霸 记w = 胄k f l 耽搿c r k 一绥( 霄一心，卿) 基c r k - f i e ( o ) = 0 ，r ) q 李 2 咄o ) = k k = 0 ，- r x 扩o + 扬等 i 以一r ，r ) = 肫州+ ；( 1 一e - 玎卜k = ( ；一k ) 0 一e - ) 0 ，0 f r 1w ( q r o + 肠等，r ) = k k = 0 ，0 o ，v f 睇j q 拿) - i ! i o , q ：首先证明，当r 一+ o o 时，问题( 2 7 ) f l v e , r + 展( 魄冀一y ，饷) = 0 ， 穆q 季 k 淀o ，o ) 嚣kr 戈 矿。十触笋 lv t 壤( 一r ，f ) = k e - 一十；( 1 一) ，0 彳 r i 魄，a ( q r o + 加等，丁) = 墨0 f 0 ，在对角线上考虑 勰 ，当m _ 在方程 在嘭，1 ( q 李) 上，删一k 在邵_ - - - 2 r 7 ) 上，v 州( r a ) 一唯 l v ( m ，) ，+ 芦。( 锻一y e x - o ) = 0 ， 蚓( x ，o ) = k 7 ) q 罗 一m x 矿o + 锄等 v ( m ) t 一班，丁) = k e - r r + ；( 1 一e - ) ，0 r 丁 谑篇( 矿o + 扬等，0 = k 0 o 1 1v , k 岫鳓sc ( c - 与e 无关) 那么存在 嗨 子列，不妨仍记为 魄) ，有 在哪j ；) 中，一v 在三魄c 中令0 ，则有 由于r 是任意的，故 在( 2 1 5 ) 中令鲰_ 0 有 l v c ，7 ) q 多 l v 艺e ，( 薹7 ) f r 下匿证当y y e r - q 7 。时，l v = c 事实上， v y ，帅 对v ( x + ，丁+ ) f i x , r ) l v y 扩咖 ，有 v ( x + ，r ) y 矿鳓 第二章具有转股通知期的可赎回可转换债券的定价模型 2 2 因此存在艿 0 及，矿) 的领域配当鲰充分小时 因此，当咏叶0 魄 y 旷卿+ 文“丁) u 0 氏o y 矿秽8 ) 氏$ ) 叶0 又魄+ 段( 嗨一) ，矿矿o ) = c ，那么在点( 矿，r ) 唯一眭的证明 设v 1 ，v 2 l v = c ，( x ，了) u 是方程( 2 4 ) 的两个不同解，记n 嚣f r ) l v l 1 _ ) 屹丁) ) 非 空，则当国丁) n 时 因此 那么 v i v 2 ) ，扩帅 似丁) n l v l = e l v 2 c ：兰。芝：主笺 由极值原理，v l v 2 篷0 ，“丁) ，与的定义矛盾 ( 2 1 7 ) 第三章可转换债券价格及最优转股边界的性质 2 3 第三章可转换债券价格及最优转股边界的性质 3 1可转换债券价格的性质 当一o o x 一r o ，其中凰鬻g r o + ，? c ，讧五丁) 嚣k e - ，r + ；( 1 一e - h ) 当一r x 嘶+ 跏等时，由于l v = c m v y 矿矿。) 0 ，结合问题 ( 2 7 ) ，于是有 辑丁) q ；。 一r x q r o + 加等 0 r t 0 t t 由极催原理当7 ) q 笋时，啦丁) k e - 玎+ ；( 1 一e - 玎) 根据定理( 2 3 ) ，“x r ) k ，因此对任意一o o x q r o + 觑等都有 裕玎+ c 。0 一矿) 呕丁) k ， 对闻题( 2 。6 ) 可以应用极值