（应用数学专业论文）ρ～混合误差下回归函数的非参数估计.pdf

摘要 非参数回归模型是在二十世纪七十年代发展起来的一个重要统计模型，由于模型中 回归函数形式的任意性以及对随机变量( x ，】，) 的分布限制较少，因而在实际问题中有广 泛应用。在过去的几十年里，许多学者对它进行了研究，取得了大量的成果。在已有文 献的基础上，本文在p 混合误差情形下研究了固定设计非参数回归模型的权函数估计和 小波估计的大样本性质。本文主要内容安排如下： 首先，本文对回归模型的历史背景及研究发展现状做了简单介绍，重点介绍了非参 数回归模型的估计的研究现状，并介绍了小波方法的历史背景。 其次，对非参数回归模型 y = g ( t i ) + e j ，f - 1 ，2 ，n 其中f f 0 , 1 ，f = 1 ，2 ，行为固定设计点列，回归函数g ( ) 为某未知函数，随机误差列 o ，i = 1 ，2 ，n ) 为p 混合序列，满足e ( 乞) = 0 ，e ( 彳) = o r 2 0 0 ，f = 1 ，2 ，以。我们首先 讨论了乃混合序列加权和的强收敛性，并获得了模型的权函数估计的强相合性。 最后，对上述模型，在误差序列为同分布p 混合序列和不同分布p 混合序列的情形 下，讨论了回归函数小波估计的大样本性质，在适当的条件下得到了小波估计的渐近无 偏性，均方相合性，强相合性及渐近正态性。 关键词 p 混合，权函数估计，小波估计，强相合性，渐近正态性 a b s t r a c t n o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e li sa ni m p o r t a n ts t a t i s t i c a lm o d e lw h i c hw a sd e v e l o p e d i nt h e19 7 0 s i ti sw i d e l yu s e di np r a c t i c a lp r o b l e m s ，a st h ef o r mo ft h er e g r e s s i o nf u n c t i o ni n t h en o n p a r a m e t r i cm o d e li sf r e ea n dt h el i m i t st or a n d o mv a r i a b l e ( x ，聊a r ef e w e r i nt h e p a s ts e v e r a ld e c a d e s ，m a n yr e s e a r c h e r sh a v es t u d i e di t ，a n do b t a i n e dal a r g en u m b e ro f r e s u l t s b a s e do nt h ee x i s t i n gp a p e r s ，t h i sp a p e rs t u d i e dt h el a r g es a m p l ep r o p e r t i e so fw e i g h t e d f u n c t i o ne s t i m a t o ra n dw a v e l e te s t i m a t o ro ff i x e dd e s i g nn o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e l u n d e r 移m i x i n ge l l o r s 。t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： f i r s t l y , t h i sp a p e rg a v eab r i e fi n t r o d u c t i o na b o u tt h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dc u r r e n t s i t u a t i o no fd e v e l o p m e n to fr e g r e s s i o nm o d e l ，e s p e c i a l l yi n t r o d u c e dt h ec u r r e n ts i t u a t i o no f t h ee s t i m a t i o no fn o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e l ，a n da l s oi n t r o d u c e dt h eh i s t o r i c a l b a c k g r o u n do fw a v e l e tm e t h o d s e c o n d l y , c o n s i d e rn o n - p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e l ： y = g ( t i ) + 岛，i = 1 ，2 ，刀 w h e r e 【o ，1 】，i = 1 ，2 ，刀a l ef i x e dd e s i g np o i n t s ，r e g r e s s i o n f u n c t i o n g ( ) i sa n u n k n o w nf u n c t i o n ，r a n d o me r r o rs e q u e n c e 俺，i = 1 ，2 ，刀 i spm i x i n gw h i c hs a t i s f i e d e ( 岛) = 0 ，e ( ) = 盯2 g = 0 ， 则称 以 依概率收敛于x ，简记为以与x 。 定义3 1 设 x ，；订 - 1 1 为三p = x ；x 是随机变量，r e i x r 0 ，eik1 2 ” 0 0 ，刀1 ，令 以= 瓯，= 玩心，尻= 蠢 驰) = 以方荟n 嘞) 功 1 如果 西北大学硕士学位论文 勇b 么c ( x ) 与( x ) 。 b o r e l c a n t e l l i 引理f 1 2 】 -0一 巧卜i ef 互一以r - - + 0 ( i ) 设 4 ) 为随机事件序列，若满足p ( 4 ) ，则有 尸 l i m 4 ) = 0 ， n p l i m 4 ) = 1 月 ( i i ) 若( 4 ) 为相互独立的随机事件序列，则p ( 4 ) = 成立的充分必要条件为 p l i m a ) = 1 ，p l i m 以) = 0 2 1 2 矩不等式、概率与矩间的不等式 l ( c ，不等式) ex + y 1 7 c r ( exi ，+ el 】，1 7 ) ，其中c r = 1 ，若o x e ixl ，厶7 2 1 3p 混合序列 设随机变量序列 置；f ) 定义在概率空间( q ，p ) 上，b = 盯( 置；f sc ) 为o r 域，在中给定 3 r 域f ，尺，令 p ( f ，足) = s u p l c o r r ( x ，y ) l ；x 厶( f ) ，y 厶俾) 其中c o r r ( x ，y ) ：与窖黑为相关系数，b r a d l e y 【1 3 引入如下的相依系数：对七o ， 肠r 朋饧，】， 一。 第二章 p 混合误差下回归权函数估计的强相合性 令 声( 尼) = s u p p ( f j ，辱) ；有限子集s ，tcn ，d i s t ( s ，即k ) ( 2 3 ) 显然0 p ( 露+ 1 ) p ( 尼) 1 ，且p ( o ) = 1 。 定义对随机变量序列 五；f 册，若存在k n ，使p ( 后) l ，则称 置；f 是p 混 合序列。 显然，若 置；f n ) 为独立随机变量序列，则有声( 七) = 0 1 ，v k n ，所以独立随 机变量序列是卢混合序列的特殊情形，p 混合序列是独立随机变量序列的推广，它不要 求随机变量之间独立，只是要求渐近独立，即要求对距离大于等于k 的任意两个有限集 合之间的相关系数小于1 ，这种相依要求很弱。由西混合序列的定义可知它与一般的p 混 合相类似，但并不相同，互不包含。首先，在通常的p 混合的定义混合系数p ( n ) 中，( 2 3 ) 式中的s ，r 分别是 1 ，尼】和【栉+ 后，o o 中的子集；其次，p 混合中只要求存在某一个k n ， 满足声( 七) o o i = l ( i i ) 1 。( x ) l - 1 f l ( i i i ) i ， o i = i 引理2 1 2 h 设 置，i ) 为任意的随机变量序列，如果存在某个随机变量x ，使对 v x o 及i l ，有 尸( i 置i x ) c p ( i x i x ) 则对即 0 ，v t 0 ，有 e i x , i ，m 陋) t ) ) 1 0 两北大学硕上学位论文 引理2 2 设 置，f 1 为p - 混合同分布序列，0 口1 ， 瓯= o ，e l r 剐 其中avb = m a x ( a ，b ) 。 则 口。，l c n 一。一2 5 ，0 2 ) e lz a n ，兄1 9 z e i ，兄，1 9 + ( e ( 兄。) 2 ) 非 第二章 p 混合误差下回归权函数估计的强相合性 汀5 q 一8 | o 订e q 净 由q 的取法知，- 6 q 一别口 - 1 ，- o q 2 6 2 ) 刀一j ) 芝1 j v 口ej 五i i ar - a 0 - f = l f ；l n - a - a 口_ 0 引理2 3m 1 设 置；f ) 为p 混合序列，x 0 ( b ) ，y 厶( 辱) ，p ，q l ， 三+ 一1 ：1 ，d 括f ( s ，丁) 七，贝0 pq 则有 e x y e x e y 库4 p ( k ) 川i ixl l p i iy 引理2 4 2 3 1 设 置；，) 为声混合序列，e x i = 0 ，ei 1 9 o o ，q 2 ，p 0 ) l ， 则存在仅依赖于p ( ) 和q 的正常数c ，使v n 1 有 e l & r sc e e i 五卜( e ( 五) 2 ) 非) 引理2 5 2 4 1 设 x i ；i ) 为p 混合序列，p ，q 为两个j 下整数，记 ( i - i x p + q ) + p 仇=一，( 1 ，尼) ， 卢( ，一l x p + q ) + l 1 2 e 长厶= 亘 2 蠢 。汹 ，l + 、， j 一z “ 叮 墨靠 e 。汹 墨 。m i i 记 西北大学硕十学位论文 k女 e e x p ( i t y , q , ) - 兀e e x p ( i t r h ) 1 c t p ( g ) l 2 慨1 1 2 引理2 6 设 置，i 1 ) 为p - 混合序列，0 口1 ，e x i = 0 ，若存在某个随机变量x ， ex 1 2 v ( 1 刚 使耻舱蝻刚啡郴刎 则 其中a v b = m a x ( a ，b ) 。 则 a 。胚c n 一”，0 万 0 括l 正= 口。，置j o o ，刀专。 i = l 本引理减弱了文献 1 5 中对矩的要求，【1 5 中( 2 7 ) 式为ei 翰p x ， q _ 。删 = 、，以 誓，i 、 p 。删 第二章 p 混合误差下同归权函数估计的强相合性 再证z 2 坚专o ，刀专，取g m a x ( 2 ，1 8 ，2 o ) ，由引理2 1 ，m a r k o v 不等式及c ， 不等式和( 2 7 ) ( 2 9 ) 式，有 尸( j n 只，i 6 1 2 ) el 窆a ，元，i e 窆ei ，只，i - + ( 窆e ( 只i ) 2 ) 们 i = 1 i = 1，- li = 1 一h z e i ，工1 9i ( ia ，墨i n 占+ 口) + 咒一鲫7 2 汀6 q 一抽+ 疗6 q 汀1 t 。ex 串。+ 汀9 q f 2 f = i n - , y q 一6 扣+ r l - s q 一5 沁+ n - o q 2 由q 的取法，- s q - 酬口 - 1 ，- o q 2 e 2 ) n 一5 ) = ek x l 忙 o n ，x1 1 帅i ( ia ，xl n 一万) l = 1 扣l ia n ，j l 口e xl 甩巧h 刀。劬一0 扛l 2 3 主要结果及证明 定理2 1 设模型( 2 1 ) 中g ( 石) 的估计由( 2 2 ) 式定义，且随机误差 量 为声混合 1 4 西北大学硕士学位论文 同分布序列，e c , - - 0 ，e l q l 2 v ( o o ，o a l ，权函数( 石) 满足( i ) ( i i i ) 式，且 有 k ( x ) l 锄吨2 占，0 5 口) + i ，( 力f | g ) 一g o o l ，( | l 五- x i t a ) f _ l 互= 1w , ( x ) l l g ( x , ) - g ( x ) i i ( 1 l x , - x i i - - - a ) 第二章 p 混合误差下回归权函数估计的强相合性 互= 1 9 ( x ) i i w ，( x ) - l l i = 1 由g ( x ) 在a 上有界及( i ) ，( i i i ) 式，得 五一0 ，互专0 ，n j 。 因为x 为g ( x ) 的连续点，故对v 占 0 ，j 万 0 ，当i i 一一x l l 万时，ig ( x ) 一g ( x ) i 占。 取0 a 万，则乃c c ，由占的任意性，互寸0 ，7 1 一。 故 证毕。 e g 。( 工) 一g ( 石) 一0 ，n o o 定理2 2 设模型( 2 1 ) 中g ( 功的估计由( 2 2 ) 式定义，且随机误差 q ) 为声混合 序列，o a _ l ，e 毛= o ，若存在某个随机变量x ，e l x l 2 枷 o 及f 1 ， 有 e ( 1 s , i z x ) _ c p ( i x l z x ) 权函数，( x ) 满足( i ) 一( i i i ) 式，且有 i ，( x ) l - - o , 吨屯艿，o 占 a 2 ， 则对v x c ( g ) ， 皖( x ) 凸一，钞0 邑( 力坠一g ( z ) ，疗一o o 证明利用引理2 6 ，采用和定理2 1 相同的证法，可得定理成立。 小结本章首先研究了p 混合序列加权和的强收敛性，改进了文献 1 5 ，2 0 对矩的要 求，其次研究了固定设计下非参数回归模型( 2 1 ) 在误差序列为p 混合同分布序列及 不同分布p 混合序列时，回归函数权函数估计( 2 2 ) 的大样本性质，并在一定的条件 下得到了权函数估计的强相合性。 1 6 西北大学硕士学位论文 第三章同分布p 混合误差下回归函数的小波估计 考虑固定设计f 的非参数回归模型： y = g ( t f ) + 岛，i = 1 ，2 ，刀 ( 3 1 ) 其中彳是r 中的一个紧集，固定设计点列，f 2 ，t n a ，g ( ) 是彳上的有界实值未知函 数， 8 i ；i = l ，2 ，甩) 为随机误差序列，且e ( 毛) = 0 ，e ( 孑) = 盯2 3 2 ，( 即j i 雪( w ) 1 2 ( 1 + w ) 。d w o o ，其中雪是g 的f o u r i e r 变换) 且g ( ) 满足1 阶l i p s c h i t z 条件。 ( 彳3 ) m l f a s x 。is i - - s i li = o ( n 一1 ) 。 ( a 4 ) ( i ) 2 胁= o ( n 怕) ，( i i ) 2 2 ”厶专0 。 ( 4 5 ) 2 3 ”厶哼0 0 。 ( 彳6 ) 存在正整数p 皋p ( ，z ) ，g ：= g ( 刀) ，使对充分大的，? ，有p + g 聆，q p 一1sc ， 且当n 一时 ( i ) ：笔2 m 寸o ；( i i ) p ；专0 ；( i i i ) k p p ( q ) 啦( 2 m 厶) 啦哼o 。 p + q 以 。 假定条件( 彳1 ) 一( 彳4 ) 是讨论小波估计的一般性条件，具体见文献【1 】， 6 1 0 】。条件 ( 彳5 ) ，( a 6 ) 满足是容易验证的，见文献 9 】。 引埋3 i 当( a d 一( 彳3 ) 成立时，有 ( i ) s u pf i 已( f ，s ) i 凼 c ； ( i i ) l 已( f ，s ) 出i - 0 ( 2 ”n ) ： 喜i j l 啪凼陋； 善n ( e e 化蛐) 2 咧2 m 胁 ( i i i ) fe m ( t ，j ) g ( j ) d s = g o ) + 0 ( 2 一“) 。 ( i ) ，( i i ) 和( i i i ) 的证明见文献f 2 5 1 ，f 7 ，9 1 ，1 1 。 西北大学硕士学位论文 则 引理3 2 脚1 设 置；f 1 为p 混合同分布序列，o a 1 ， e x l = 0 ，e l 五p 0 0 ， a n f 峰c n 一卅2 一艿，0 万 0 乙= a i x i o 黜，o 专o o ) 3 2 回归函数小波估计的强相合性 定理3 1 当条件( 彳1 ) 一( 彳4 ) 成立时，在模型( 3 1 ) 中若随机误差列俺；f - 1 ，2 以 为 p 混合序列，且融= 0 ，i = 1 ，2 ，刀，则 坛( t ) - g ( t ) = 0 ( 2 叫) + d ( 珂一) 证明跪哪m ( 喜zl 啪妒酏) 2 g ( ) l 已( f ，j ) a s g ( f ) i = 1 i 喜g ( ) l 色o 出一喜l 瓦( ) g 。) d s l + i 喜耻一郎肛酬 纠喜丘i g ( ) 一g ( 圳巳o ，j ) a s l + i 善nl 已o g ( s ) 凼一g o ) i = i i + 1 2 由条件( 彳2 ) ，引理3 1 ( i i ) 得 由引理3 1 ( i i i ) 得 综上，有 so ( n 一) 厶= 0 ( 2 叫) 互雪。o ) 一g o ) = 0 ( 2 一”) + d ( ，l 。1 ) 第三章同分布p 混合误差下回归函数的小波估计 定理证毕。 定理3 2 当假定条件( 彳1 ) 一似4 ) 成立时，在模型( 3 1 ) 中如果随机误差列 t ；待1 ，2 ，z ) 为p 混合同分布序列，o 口l ，如= o ，eqi 珈 ，号一。，其中 ，= 1 1 1 觚号碱o p 1 ，o 万 叫2 ，则 季。( f ) 寸g ( t ) a s 证明季。( t ) - g ( t ) = g 。( f ) 一e 岔。( f ) + e 誊。( t ) - g ( t ) 由定理3 1 ，犀。( t ) - g ( t ) _ 0 ，故只需证明g n ( f ) 一磁。( f ) 专0 c 1 s 即 善n 毛l 啪，s ) d s - 。以鼠 由引理3 2 知仅需证明( 1 ) ll 已( ，s i 锄占，( 2 善n ( le o ，s ) 凼) 2 凸习 由引理3 1 ( i i ) 知，式( 1 ) ( 2 ) 成立。定理证毕。 定理3 3 当假定条件( 彳1 ) - ( a 4 ) 成立时，在模型( 3 1 ) 中若随机误差列幢；江1 ，2 ，1 ) 为p 混合平稳序列，且石( 0 o o ，则 七= ， ， 所 哳( 色( f ) ) = d ( 二) 证明纥，( 包( 功= e ( 喜岛l 已p 一出) 2 = n 耐( l 乞o ，s ) 出) 2 + 2 e ( q o ) 丘e ，s ) d sf s ，e , ( t ，j ) a s i = l l 盈 j n 彩喜( i i 瓦2 + 厶 ( 3 3 ) 厶鸵三p ( j 一，) ( 骈) 啦( 喇) 啦li i f 邑( ，j ) d s 工e m ( t ，j ) 西i l 鲥 j s n = 2 仃2 善n - ip ( 善n - kl 民( 柚胁l 。乜化s ) 凼i 西北丈学硕士学位论文 由此及( 3 3 ) 式得 定理证毕。 盯2 善n - i 声( 七) 差i = 1f - l ( l e ( 柚) 幽) 2 + ( l 。已( 柚岫) 2 彰善n - i 触) 喜( l 啪一埘鲫( 争 v a r ( g n ( ，) ) = d ( 二) 肼 刀 定理3 4 当假定条件( 彳1 ) - ( 彳4 ) 成立时，在模型( 3 1 ) 中若随机误差列 q ；汪l ，2 疗) 为p 混合平稳序列，且p ( 七) ，则 七= i e i 雪。o ) 一g o ) 1 2 专o 证明由e 不等式 e i 客，o ) 一g o ) 1 2 = e l 宫，p ) 一e g n 0 ) + e g n o ) 一g ( f ) 1 2 c ，( e i 或( f ) 一e 雪。o ) 1 2 + i e 包o ) 一g ( t ) 1 2 ) = c r ( 砌，( 色( f ) ) + i 跪( t ) - g ( t ) 1 2 ) 由定理3 1 ，3 3 得 ， 所 v a r ( l ( t ) ) = d ( 生) ，i 跪( t ) - g ( t ) 1 2 - - - 0 ( 2 ) 2 + d ( 刀。1 ) 2 n 由此及条件4 ) e i 包( t ) - g ( t ) 1 2 专0 定理证毕。 小结本节在一定的条件下证明了固定设计下非参数回归模型( 3 1 ) 在误差序列为 p 混合同分布序列时，回归函数小波估计( 3 2 ) 的渐近无偏性，强相合性，均方相合 性等大样本性质，并得到了小波估计方差的数量级为d ( 二) 。 ，、j 拜 刀 3 3 回归函数小波估计的渐近正态性 定理3 5 当假定条件( 彳1 ) 一( 么6 ) 成立时，在模型( 3 1 ) 中若随机误差列 乞；江1 ，2 n ) 第三章 同分布p 混合误差下回归函数的小波估计 为声混合同分布序列，且e l q1 2 2 占) p ( 1 i s ) + 尸( i i g ) 掣+ 掣专o 由占的任意性知，( 3 4 ) 式成立。 则 r 。= c o v ( y 。，) ，则 l s f ，甜 2 = e ( ) 2 - 2 f 。，e ( 霹) = 1 ， e ( 爰) 2 = e 最一( + ) 2 = 1 + e ( + ) 2 2 e e ( + ) ( 3 7 ) e ( ) 2 - ii = ie ( s _ ：+ ) 2 2 e 最( + ) 卜o ( 3 8 ) k l + p 一1k j + p i 听2 l g 敛。= 南 幻 l 已( f ，s ) 凼l 已( f ，s ) 凼i c 。v ( 毛，q ) c 。；邑k t 薹+ p - y 荟+ p - 1 il 既( ) 凼p ( y 一训i e1 1 2 l lq 忆 l 耻凼i 善kk j ；+ p - 1 弛训 c 善nl 己( ) 凼焉p ( ) c 声( ) 专o ( g - o o ) 由( 3 8 ) ，( 3 9 ) 式知 e ( 爰) 2 - + i ，s ：一1 2 3 - ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) j乙乙 兰吨 嘞蛐 一l 抄嘞 h 脚 c 一 第三章 同分布p 混合误差下回归函数的小波估计 为了建立的渐近正态性，假设 ；聊= 1 ，2 ，尼 是独立随机变量序列，且和 y n m ( m = l ，2 ，k ) 有相同的分布，则有 e r l m = 0 ，v a r ( r l , 。) = v a r ( y 。) 令乙= 晶，m = l ，2 ，k ，则 乙。；研= 1 ，2 ，七 是独立的，且 k e 乙= o ，v a r ( t ) = 1 m = l 用九( f ) 表示随机变i x 的特征函数，则有 ，2 矽。 ( 力一e 2 i y n m m = l qe e x p ( 豇壹儿。) 一卉e e x p ( 幻) i + i 卉e e x p ( 幻，删) 一p 一导l qe e ) 【p ( 打儿。) 一兀e e x p ( u y ) i + j 兀e e x p ( 豇乙) 一p 一了j _ 厶+ 厶 ( 3 1 1 ) 由引理2 5 ，引理3 1 ( i i ) 和条件( a 6 ) ( i i i ) 得 厶 o o ( 3 1 3 ) 由引理3 1 ，2 4 ，定理3 3 和条件( 彳6 ) 圭ei 此。1 2 + 8 c 圭l 笠1 乙，z + 占+ ( k 。+ p - i zei e z f 1 2 ) 半lei 此。l c l 乙，2 村+ ( ，1 2 ) 2 l m = im = ll ，z ki z 七用 j 西北大学硕士学位论文 c 啦m 蜘，盯2 + 8 + 阻驰，幽鼎 c 啦刊勘，幽耐 c 酽t i e t , 薹, , + p - 协水l 吼 1 - ，凼州 鲫p 孔驰蛐l ，、m c ( p z ) 占2 0 ( 3 1 4 ) 刀 定理3 6 当假定条件( 彳1 ) - ( 彳6 ) 成立时，且 岛) 满足定理3 5 中的所有条件，则 1 雪。0 ) 一g o ) ) 专( 0 ，1 ) ，t e o ，1 】，刀专 证明 1 诧( f ) 一g ( f ) = 昕1 色o ) 一e 色( f ) ) + 1 e ：色( f ) 一g o ) ) ( 3 1 5 ) 由定理3 5 知1 值。( f ) 一磁。( f ) ) 山( o ，1 ) ，故只需要证明 1 露。o ) 一g o ) 0 ( 3 1 6 ) 即可。由定理3 1 有 磁。( t ) - g ( t ) = 0 ( 2 ”) + d q 1 ) j 历 再由定理3 3 及条件l o o 得 定理证毕。 1 跪( f ) 一g ( f ) ) = d ( 届歹) + d ( 1 面) 一。 小结本节在一定的条件下证明了固定设计下非参数回归模型( 3 1 ) 在误差序列为 声混合同分布序列时，回归函数小波估计( 3 2 ) 的渐近正态性，且得到小波估计( 3 2 ) 具有渐近正态性所需的条件是比较一般且可实现的，见文献 9 。 第p q 章不同分布p 混合误差下回归函数的小波估计 第四章不同分布声混合误差下回归函数的小波估计 第三章在误差为p 混合同分布序列下讨论了固定设计下非参数回归模型： y = g ( t f ) + q ，f = l ，2 ，靠 ( 4 1 ) 的渐近无偏性，强相合性，均方相合性及渐近正态性。在很多实际问题中，误差序列是 不同分布的，因此，本章将在一类误差为不同分布p 混合序列下，研究固定设计下非参 数回归模型( 4 1 ) 的小波估计的一些大样本性质，在一定的条件下，得到了和第三章相 同的结果。 4 1 假定 基本假定条件 ( 彳1 ) 刻度函数矽( - ) 是r 正则且具有紧支撑，满足1 阶l i p s c h i t z 条件，并有 i 矽( f ) 一l | - d ( f ) ，f - - 4 o o 其中矽为的f o u r i e r 变换。 ( 彳2 ) g ( ) h 7 ，v 3 2 ，( 即f l 重( w ) 1 2 ( 1 + 们”d w o o ，其中雪是g 的f o u r i e r 变换) r g ( ) 满足1 阶l i p s c h i t z 条件。 ( a 3 ) m 警l s , - s i ti _ o ( n q ) 。 ( a 4 ) ( i ) 2 m = o ( n 怕) ，( i i ) 2 2 ”n 一0 。 ( a 5