（电工理论与新技术专业论文）小波变换快速算法及其硬件实现的研究.pdf

尘鎏耋堡堡堡塞壅垒苎堡丝童垩墼至窒 a b s t r a c t a so n eo ft h em o s t i m p o r t a n ts i g n a lp r o c e s s i n g t o o l r a i s i n g a f t e rf o u r i e r t r a n s f o r m ，w a v e l e tt r a n s f o r mh a sd r a w nm o r ea n dm o r ea t t e n t i o nr e c e n t l y i to v e r c o m e st h e d i s a d v a n t a g e s ，w h i c ht h ef o u r i e rt r a n s f o r ma n ds h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r mh a v e ，t h a tt h e t i m e - f r e q u e n c y w i n d o wi sf i x e da n dh a sn o a d a p t a b i l i t y a n di sn o ts u i t a b l ef o r m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i sa n dt r a n s i e n tp r o c e s si ti sa ne f f i c i e n tw a yt od e a lw i t hi n s t a b l e s i g n a le s p e c i a l l y f o r s i g n a l s i nw h i c hh i g h f r e q u e n c ye l e m e n tl a s t s h o r tt i m ea n dl o w f r e q u e n c ye l e m e n tl a s tt o n gt i m ei t c a nb el o c a l i z e db o t hi nt i m ed o m a i na n df r e q u e n c y d o m a i na n di sw e l lk n o w na s m a t h e m a t i c a lm i c r o s c o p e i th a sg r e a ts i g n i f i c a n c ef o rt h e d e v e l o p m e n to fw a v e l e tt r a n s f o r mt o d or e s e a r c ho nt h ef a s t a l g o r i t h m a n dh a r d w a r e i m p l e m e n t a t i o nc i r c u i te i t h e ri nt h e o r yo ri np r a c t i c e s t a r t i n gw i t ht h ed e f i n i t i o no fw a v e l e tt r a n s f o r ma n dt h e o r yo fm u l t i r e s o l u t i o n ，an e w f a s ta l g o r i t h mb a s e do na r i t h m e t i cf o u r i e rt r a n s f o r m ( a f ni s p u tf o r w a r da f t e ra n a l y z i n g v a r i o u sw a v e l e tt r a n s f o r mf a s t a l g o r i t h m s a sm u l t i p l i c a t i o n so fc o m p u t i n gd f t a r ej u s t o ( n ) a n dt h et i m en e e d e dc a nb er e d u c e d9 0 t h r o u g ha f t e s p e c i a l l yf o rt h el e n g t ho f l a r g ep r i m e f a c t o ro rp r i m e l e n g t h i t s e l e o nt h eo t h e r h a n d ，t h e d e s c o n s t r u c t i o na n d c o n s t r u c t i o na l g o r i t h mo fm a l l a tc a nb ec o m p u t e db yd f t , a n ds ob r e a kan e wp a t hb y c o n n e c t i n ga f t a n dm a l l a ta l g o r i t h m ac o n t i n u o u sa n dad i s c r e t eh a r d w a r e i m p l e m e n t a t i o n c i r c u i t sa r ea l s o p r o p o s e d c o m b i n i n gw i t hl o g a r i t h m i c c i r c u i tf i l t e ra n d p a r a l l e lp i p e l i n ei t i sc h a r a c t e r i s i z e d b y s i m p l es t r u c t u r e ，f a s ts p e e d ，s m a l l d i s t o r t i o na n d l a r g ed y n a m i cr a n g e f o rc o n t i n u o u s h a r d w a r ei m p l e m e n t a t i o nc i r c u i tf o rd i s c r e t eh a r d w a r ei m p l e m e n t a t i o nc i r c u i t ，i th a ss i n g l e p h a s ec l o c k ，s m a l lg a t ed e l a yt i m e i na d d i t i o n , c o d i n ga l g o r i t h mi sa l s oa d o p t e d t oc u td o w n t h ea m o u n to f a d d e r s ( s u b t r a c t e r s ) a n dr e g i s t e r sf o r t h ep u r p o s eo fb e t t e rc o m p u t i n gw a v e l e t t r a n s f o r m k e y w o r d s ：w a v e l e t t r a n s f o r m ；a f t ；l o g a r i t h m i cc i r c u i t ；p a r a l l e lp i p e l i n e 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名：毛鏖争 日期：工”午年万月，7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以烙本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名： 导师签名： 乏鏖牮日期：加争年声月四日 日期：竹年月，夕日 硕士学位论文 1 1 选题的背景和意义 第1 章绪论 在我们的周围，每天都有大量的信号需要我们进行分析，例如我们说话的声 音、机器的振动、金融变化数据、地震信号、音乐信号、医疗图像等。相当多的 信号需要进行有效的编码、压缩、消噪、重建、建模和特征提取。因此，人们一 直在努力寻找各种有效的信号处理方法。 众所周知，自从1 8 2 2 年傅里叶( f o u r i e r ) 发表“热传导解析理论”以来，傅 里叶变换一直是信号处理领域中应用最广泛的一种分析手段。傅里叶变换的基本 思想是将信号分解成一系列不同频率的连续正弦波的叠加，或者从另外一个角度 来说是将信号从时间域转换到频率域。 对于许多情况，傅里叶分析是能够很好地满足分析要求的，但是傅里叶变换 有一个严重的不足，那就是在做变换时丢掉了时间信息，无法根据傅里叶变换的 结果判断一个特定的信号是在什么时候发生的。也就是说，傅里叶变换只是一种 纯频域的分析方法，它在颓域里的定位是完全准确的( 即频域分辨率最高) ，而在 时域无任何定位( 或无分辨能力) 。 如果要分析的信号是一种平稳信号，这一点也许不是很重要。然而实际中， 大多数信号均含有大量的非稳态成分，例如偏移、趋势、突变、事件的起始与终 止等情况，而这些情况往往是相当重要的，反映了信号的重要特征。例如，常见 的音乐信号，在不同时间演奏不同音符；语音信号，在不同时间对应不同音节； 探地信号，在目标出现的位置对应一个回波信号等。它们的频域特性都随时间变 化而变化。对这一类时变信号进行分析，通常需要提取某一时间段( 或瞬间) 的 频域信息或某一频率段所对应的时间信息。因此，需要寻求一种具有一定的时间 和频率分辨率的基函数来分析时变信号。 为了研究信号在局部时间范围的频域特性，1 9 4 6 年g a b o r 提出了著名的g a b o r 变换，之后进一步发展成为短时傅里叶交换( s h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ， 简称s t f t ，又称为加窗傅里叶变换) 。其基本思路是给信号加一个小窗，信号的傅 里叶变换主要集中在对小窗内的信号进行变换，因此可以反映出信号的局部特征， s t f t 已在许多领域获得了广泛的应用。但由于s t f t 的定义决定了其窗函数的大小 和形状均与时间和频率无关而保持固定不变，这对于分析时变信号来说是不利的。 高频信号一般持续时间很短，而低频信号持续时间较长。因此，我们期望对于高 频信号采用小时间窗，对于低频信号刚采用大时间窗进行分析。在进行信号分析 时，这种变时间窗的要求同s t f t 的固定时窗的特性是相矛盾的，这表明s t f t 在 小波变换快速算法及硬件实现的研究 处理这一类问题时已无能为力了。以上g a b o r 变换的不足之处恰恰是小波变换的 特长所在。 小波变换是8 0 年代后期迅速发展起来的新兴学科和信号分析方法。它是继傅 里叶变换后的重大突变。它克服了f o u r i e r 变换和短时傅里叶变换的时一频窗口 大小固定不变、窗口没有适应性、不适合于分析多尺度信号和突变过程的缺点， 具有时域和频域局部化的特点，特别适合分析含有长持续时间低频分量和短持续 时间高频分量的信号，因而有“数学显微镜”的美称，是目前分析非平稳信号的 强有力的工具。其特点主要表现在以下三个方面： 1 ) 有多分辨率( m u t t i r e s o l u t i o n ) ，也叫多尺度的特点，可以由粗及精地逐步观 察信号； ，、 2 ) 可以看成用基本频率特性为i f ，t w ) 的带通滤波器在不同尺度下对信号滤波，并且 品质因数恒定； 3 ) 适当地选择基小波，使妒w 在时域上为有限支撑，y j 在频域上也比较集中， 就可以使小波变换在时、频域都具有表征信号局部特征的能力，因此有利于检 测信号的瞬态或奇异点。 目前，小波变换的应用范围很广“3 ”，如信号的瞬态分析、图像的边沿分析、 图像处理、数据压缩、分形信号分析等方面。 随着科技的发展，在一些领域中，待分析处理的信号一般都含有大量数据， 并且在很多场合下，都要求对信号进行实时处理。例如在航天领域中，地面要及 时处理太空飞船传回的大量数据，随后发出控制指令。 采用直接算法用小波变换处理信号需要较大内存、耗时也较长，不利于信号 的实时处理，所以我们必须寻求快速算法来处理数据。实践证明：选用优良算法 能节省时间和提高效率2 0 5 0 ，甚至能达到9 0 以上。另外，硬件电路是实现算 法的载体，是处理数据的通道，没有它的话，小波变换便只有理论意义，无法真 正应用到工程实践中去。所以，我们还必须设计出与这些算法相对应的硬件电路。 国外在小波变换领域已走在了前列，并己设计出了芯片。我国要想在2 1 世纪全面 实现现代化，抢占战略制高点，就必须在这一科研前沿领域迎头赶上，缩小与发 达国家之间的差距。这一艰巨的历史使命就落在了我们科研工作者的肩上了。 由此看来，研究小波变换快速算法及其硬件实现至少有以下四点理论和现实 意义： 1 ) 能推动小波变换理论的发展，从而为其进一步扩大应用领域筑下坚实的基础； 2 ) 进一步提高小波变换的效率，节省时间，实现信号的实时处理； 3 ) 简化小波变换的硬件电路，降低成本，使小波变换能得到推广和普及； 4 ) 提高我国在这一领域的科研实力，缩小与其它国家之间的差距。 2 硕士学位论文 1 2 论文的内容及其安排 本文是国家自然科学基金( 5 0 2 7 7 0 1 0 ) 项目子课题。该论文是按照由算法到 硬件电路的顺序来叙述的，但将侧重点放在了算法上，从总体上可分为四章。第 一章是绪论，概述论文选题的背景和意义以及文章的组织顺序；第二章主要阐述 了小波变换的理论，首先给出了小波变换的定义和性质，然后对多分辨分析的特 点进行了分析，为第三章和第四章打下理论基础；第三章在分析现有各种小波快 速算法优缺点的同时，提出了另外一种小波快速算法一基于算术傅里叶变换的小 波快速算法。每一种算法都给出了详细的推导过程及算法步骤。在本章的最后， 还对几种算法进行了m a t t a b 程序仿真，并给出了仿真波形，实践证明这几种算法 是正确、快速和高效的；第四章首先介绍了对数域电路的发展历史及其性质，在 分析目前已有的小波变换硬件电路的基础上，提出了一种连续小波变换的硬件实 现电路和一种离散小波变换的硬件实现电路。连续小波变换硬件电路只给出了其 电路框图，而离散小波变换的硬件电路除了给出其电路框图外，还进行了仿真分 析，结果证明所设计的电路是确实可行的。 小波变换快速算法及硬件实现的研究 第2 章小波变换的基本原理 2 1 连续小波变换的基本原理 2 1 1 连续小波变换的定义 设x ( f ) 是平方可积函数，即z o ) er ) ，y ( f ) 是被称为基本小波或母小波 ( m o t h e rw a v e l e t ) 函数。则 呱o ，) ： p o 弦+ f 尘! 饥 ( 2 1 ) 吖c 。“ ( 2 i ) 式称为x o ) 的连续小波变换( c w t ) 。式中d 是尺度因子( 。 0 ) ，f 反映 位移，其值可正可负。我们令虬，o ) ： i f ，f 尘三1 ，并将内积引入连续小波变换的 叫口“ 定义中，则( 2 1 ) 式变为： w t ( a ，f ) = ( x y 。，o ( 2 2 ) 当妒o ) 关于t = 0 对称时，( 2 2 ) 式还可进一步表示成卷积的形式，即 胛：( ，r ) = ( x ，o = z ( f ) + y 。 ( 2 3 ) ( a )( b ) 图2 1 ( a ) 小波的位移与伸缩 ( b ) 不同a 值下小波分析区间的变化( 实线代表分析小波的持续时间，即分析 区间) 如果妒o ) 不关于f = 0 对称，则这样表示在计算方法上没有本质的区别。从图 2 1 中我们可以看出尺度因子的作用是将基本小波妒o ) 作伸缩，口愈大 y ( 加 宽，幅度愈小，但波的形状保持不变，并且由于虬。o ) 中因子 的作用，使得不 同口值下妒。，o ) 的能量保持相等。 我们还可以将( 2 1 ) 式表示成频域表达式 4 硕士学位论文 胛j q ，r ) = 罢p 白p 。0 - ”d c o ( 2 4 ) 上7 l 由( 2 4 ) 式，我们可以看出 1 ) 用不同尺度作小波变换大致相当于用一组带通滤波器对信号进行处理，如果 甲) 是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换便具有了表征待分析信号 x b l 频域上局部性质的目的。 2 ) 采用不同a 值作处理时，各甲仁珊) 的中心频率和带宽都不相同，但是品质因数 ( 等于中心频率带宽) 却不变。 把图2 1 和图2 2 结合起来，小波变换在时一频平面上的基本分析单元 时域( a )频域( b ) 图2 2 典型小波函数的分析特点 ( a ) 尺度变化的影响；( b ) 基本分析单元的特点 具有图2 2 所示的特点。当a 值较小时，时轴上观察范围小，而在频域上相当于 用较高频率作分辨率较高的分析，即用高频小波作细致观察。当a 值较大时，时轴 上观察范围较大，而在频域上相当于用低频小波作概貌观察。分析频率有高有低， 但在各分析频段内的品质因数国保持不变。 2 1 2 连续小波变换的性质 由于小波变换对工( f ) 而言是以妒o ) 为核函数的线性变换，因此不难证明它具有 以下特性( 证明略) 。 性质1 线性叠加性 若暇q ，r ) = c 胛b ( f ) 】，叨j g ，r ) = c 叨1 【y ( f ) 】，z o ) = 乜x o ) + t ：y ( f ) ，则有 玎互q ，f ) = t 玎互0 ，f ) + 如耳乃g ，r ) 性质2 时移性质 小波变换快速算法及硬件实现的研究 若w t x ( a ，r ) = c 胛b ( f ) 】，则c 胛k o 一“) 】= w t x ( a ，r - t 。) ，也就是说x o ) 的时移对应 于w t 的f 移。 性质3 尺度变换 若c 胛俐= f f t x ( a 力硎c 阳 _ 厕) ，其中 此性质表明：当信号x ( f ) 作某一倍数伸缩时，其小波变换将在4 ，f 两轴上作同一比 例的伸缩，但是不发生失真变形。这是使小波变换成为“数学显微镜”的重要依 据。 r 陛质4 交叉项的性质 设z o ) = x 1 0 ) + x 。o ) ，贝 暇0 ，r 】2 = i 呱0 ，r 】2 + 1 w r x ：0 r 】2 + 2 l 暇。0 ，r 1 暇：( a ，z - 松缸一0 x 2 ) 式中以，以：分别是w t x , a ，r ) 、暇：如，f ) 的幅角。 性质5 内积定理( m o y a l 定理) 设c w t x 。o ) = 嘿0 ，r ) ，c w t x ：o ) = 暇，a ，r ) ，则有 ( 嘎b r l 呢如) ) = c 廖。m ：叭式中q ：f 学如 2 1 3 小波变换的反演及对基本小波的要求 任何变换只有存在反变换才有实际意义，例如傅氏变换和拉氏变换，由于反变 换的存在使得信号能得以被还原。小波变换同样存在着反变换，我们称( 2 5 ) 式 为小波变换的反演式。 删= 击f 窘嘎砂撕，其螺= f 掣如 ( 2 s ) 虽然小波变换没有一个固定的核函数，但并不是任何函数都可以作小波变换的 母小波，为了保证小波反变换的存在，并使小波变换表现出良好的时频域局部性 能，满足一定的冗余性要求，小波变换的母小波还要满足以下条件。 条件1 容许条件( a d m i s s i b l ec o n d i t i o i l ) c v ：c 。隧如 ( 2 6 ) 只有当( 2 6 ) 式成立时，小波变换的反演才存在，这样小波变换才有实际意义。由 ( 2 6 ) 式还可得出以下推论： v 0 = o ) = 陟o ) 出= 0 ，即甲) 必须具有带通性质， 且妒( r ) 是有正负振荡的波形，使得其平均值为0 ，这便是它称之为“小波”的原因。 条件2 能量的比例性 由m o y a l 定理可以推出一个类似于巴塞瓦定理的关系，即小波变换幅度的平方 6 硕士学位论文 的积分和信号的能量成正比。 r 窘暇( 4 ，r 胁= q 肚0 1 2 d t 条件3 正规性条件( r e g u l a r it yc o n d i t i o n ) 为了在频域上有较好的局域性，要求呢口，f ) 随a 的减小而迅速减小， 容许条件的母小波作进一步的限制。即满足正规性条件 p 妒o 如= 0 ，p = 1 h ，且月越大越好，或者 甲( w ) = 珊”1 k 白) ，0 = o ) 0 ，n 越大越好 条件4 重建核与重建核方程 重建核方程是小波变换的另一重要性质，它说明小波变换的冗余性。 ( 2 7 ) 需对满足 ( 2 8 ) w t ，( a 。，f o ) = r 了d a 呱( 口，r k ( 口0 ，d ，r p r ( 2 9 ) 式中k ，0 ，口，r ) = c ，( 虬， y 。( f ) ) ，称为重建核，( 2 9 ) 式称为重建核方程，它 说明： 1 ) 正如容许条件指出并不是任意时间函数丸) 都可以充当母小波p o ) 一样，从 口一f 域看也不是任意p ( a ，f ) 都可以作暇( 口，f ) ，它必须满足重建核方程。如 果把( 2 9 ) 中的呢0 ，f ) 取为任意r ( a ，f ) 代入计算，其结果未必恰为r ( a 。，如) ， 换句话说，小波变换的可逆性是不可交换的。 2 ) k ，反映的是l l c ，。和妒。的相关性。当a = t 0r = f 。时世，最大； 当 k ，= 占t 一，a - t 2 。) ，口一f 半平面内各点的小波变换值互不相关，小波变换所 含信息才没有冗余，这就要求不同尺度及不同位移的小波相互正交。不过，当 a ，f 是连续变量时这一要求很难达到，因此，x ( ，) 经小波变换后信息总是有冗 余的。 2 2 多分辨分析( 猢u i t ir o s o | u t i o na n a i y s i s ) 前面我们提到当尺度a 较大时视野宽但分辨率较低，可以作概貌观察；当尺 度a 较小是时视野窄而分辨率高，可以作细节观察，但不同a 值下分析的品质因 数却保持不变，这种对事物由粗及精的逐级分析称为多分辨分析。下面，我们将 从理想滤波器组”“”的二分树结构出发对多分辨分析做详细说明。 2 2 1 蠹昆波器组韵二分树结构 当信号的采样率满足n y q u i s t 要求时，归一频带必将限制在一石+ 石之间。此 时可分别用理想低通与理想高通滤波器凰与日将它分解成( 对正频率部分而言) 频带在0 昙的低频部分和频带在鲁石的高频部分，分别反映信号的概貌和细节， 7 小波变换快速算法及硬件实现的研究 处理后两路输出必定正交( 因为频带不交叠) ，而且由于两种输出的带宽均减半， 因此采样率可以减半而不致引起信息的丢失( 带通信号的采样率决定于其带宽， 而不是决定于其频率上限) 。这就是图3 5 中在滤波后引入“二抽取”环节( 图中 用+ 2 表示) 的原因。所谓二抽取就是将输入序列每隔一个输出一次，组成长度减 半的新序列。类似的过程对每次分解后的低频部分可再重复进行下去，即每一级 分解把该级输入信号分解成一个低频的粗略逼近( 概貌) 和一个高频的细节部分。 而且每级输出采样率都可以再减半。这样就将原始信号x “) 进行了多分辨率分解。 我们把原始信号x 0 ) 占据的总频带0 万定义为空间，经第一级分解后被 划分成两个子空间：低频的虬l o 号j 和高频l 号z j 。经第二级分解后巧又被剖 分成低频的k c o “； 和高频的【三三j ，依此类推。这种树形分解有以下优点： 1 ) 各带通空间形，的恒q 性。由上面可以看出，彤空间的中心频率为 z ，带宽为 z 一号= 三2 ：空间的中心频率为；石，较减半，其频带为三一号= 三，也较彬 减半可见各矽，的品质因数是相同的。 2 ) 各级滤波器的一致性。各级低通滤波器0 和高通滤波器日，是一样的。这是因 为前一级输出被二抽取，使得采样率得以减半，而滤波器是根据归一频率进 行设计的。例如，第一级的风的真实频带是0 熹( e 是采样周期) ，其归一 厶cs 频率是o 詈，第二级h o 的真实频带虽是0 砉，但采样率变为2 瓦，所以归 一频率仍是0 兰 2 3 ) 树形分解的计算量小。设第一级的计算量为“，则以后各级由于样本数目减半 而计算量减半，因此总的计算量c = c o + 寺c 。+ c o + 2 c 。 二分树结构也有缺点：分辨率级数越多，输出的延迟越长。 信号的重建是信号分解的逆过程，如图3 6 所示，其希2 表示二插值，瓯和 g 分别是低通重建滤波器和高通重建滤波器。首先对接收的信号进行一i 插值，以 恢复二抽取前的信号长度，然后作相应的低通或带通滤波，以平滑补零后的波形， 消除补零后得到的镜像谱，再进行求和，以恢复信号，在逐级的重建的过程中实 现了对信号由粗及精的观察。 硕士学位论文 2 2 2 多分辨分析 设x ( f ) f ) ，由二分树分解，可产生一系列子空间，k ，和，这 些子空间之间有以下性质。 性质1e j 是一个嵌套序列，即v o ，k3 。； 性质2 所有的并在r 也) 是稠密的，即c l o s f ( u 1 ) = r ) ； 性质3 所有的交是零元素，即n 巧= o ； 性质4 二尺度伸缩性。若撕) _ ，则z ( 訇e 巧。x ( 2 ，) 一“ 性质5 巧和的正交性，即巧上哆，此时还有巧一= 一o ，将此式展开有 = o o 鸭o o o _ 我们可以由前面二分树结构分解结果的频带分析直接得出上式。 性质6 若x ( t ) v j ，则j ( ，一t ) ，反之也成立。 设e 是r 忸) 的闭子空间序列，如果” 满足上述性质中除性质5 的所有性 质，且存在一个函数妒( f ) v o ，使得其整数移位集合 加一t ) ) 是中的归一化正交 基，则称耽 形成一个( 二进) 多分辨分析。这时，还称必) 是尺度函数。 为了以后讲述m a l l a t 算法的方便，需对多分辨分析的各子空间的结构作进一 步分析。记妒m ( f ) = 2 一j 妒( 2 。卜女) 。 1 ) 子空间矿 由于移o 一七) 是上的归一化正交基，故下式成立： ( 妒( f 一七) ，e 一七= 万k 一七) 推广到旷空间，我们有： ( 九n 妒。( ，= 弘一i 庐( 2 一，f 一豇) 2 一i ( 2 一七匆 = ( 妒( f t l 庐t 一七= 艿妊一k 1 ) ( r = 2 - j f ) ( 2 1 0 ) 若x ( f ) ，只趣) 代表撕) 在v j 上的投影，则： p a o = 绯e ) x f 是线性组合系数，把上式两边对妒。o ) 作内积，由( 2 1 0 ) 式的正交归一性便得： 叫= ( p ，x ( r ) ；i i 。母= x ( f ) 。如 ( 2 1 1 ) p ，x o ) 称为x ( f ) 在中j 的平滑逼近，也就是如) 在分辨率j 下的概貌，称为并在 分辨率j 下的离散逼近。 2 ) 子空间+ l 运用和上面相似的步骤可知子空间0 的结论可以推广到+ ，故有： x ( ) = k o ) 9 小波变换快速算法及硬件实现的研究 x 。j “= ( z o l 卉m o ) ) ( 2 1 2 ) 同样的，p 。x ( f ) 称为了( r ) 在分辨率( j + 1 ) 下的概貌，x 称为x ( ，) 在分辨率( j + 1 ) 下 的离散逼近。 3 ) 子空间 与子空间k 一样，同样也能在子空间中找到一个带通函数( f ) ，其整数位 移构成中的归一正交基，即( y o k l y ( f k ) ) = 占证一k 。) 且p ( f = 0 。记 y 。p ) = 2 一j 矿( 2 一，f 一) 。我们可证明渺( 川k o ) 是+ ，中的归一正交基，因此+ ，中的 任意函数可表示成它的线性组合。设d 。x o ) 代表工o ) 在。中的投影，即 d i + 。x o ) = 酬“( 川m ( f ) 且权重： d f “= d j + ，x ( f l 妒( 川如o = 工( f l p ( 川k ( f ) ) ( 2 1 3 ) 所以 只工( r ) = 只+ 。4 0 + d j 。x ( t )( 因为巧= + 。o + ) 或者d j 。4 0 = 只工o ) 一p f + 。x o ) 也就是说d j + 。x o ) 反映的是一、巧+ 。相邻两级平滑逼近之差，反映这两级逼近 之间的细节差异，称d j + 。x o ) 为分辨率j + 1 下的细节函数，州“是分辨率j + 1 下的 离散细节。注意( 2 1 3 ) 式实际上就是当a = 2 j “下的小波级数w t , 0 + 1 ，女) ，p o ) 是 具有带通特性的小波函数，这样便把多分辨分析和小波变换联系起来了。 2 2 3 二尺度差分方程 二尺度差分方程是空间逐级二剖分赋予o ) 、y ( f ) 的最基本性质，它反映的是 任意两相邻空间剖分巧、_ + ，和+ ，间基函数啦o ) 、政川k o ) 和矿“+ 。k ( f ) 之间的内在 联系。由于( f ) 是巧空间的归一正交基，3 巧+ 1 ，所以妒【川e ) 和y e ) 可由咖。o ) 表示。 币爿= 压孙( 古一七) 少( 击 = 压净b 一0 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 。1 4 ) 、( 2 1 5 ) 两式就是二尺度差分方程，其中。、h 。是线性组合系数，它们 可以如下求得： = ( 九帅o l 颤o ) ) = 廿号妒( 专粕陆一t 卅 l o 硕士学位论文 类似的可得： = 击孵弦一咖 = 氟。o l 九o = ( 。( f l o ) ) 可以看出，h o 。、h 。与分辨率无关。作为特例，当j = l 时，( 2 1 4 ) 和( 2 变成： ( 兰 = 压莩喇) y ( 宁压莩) 2 3 小波级数与小波框架理论 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) i 5 ) 两式 2 3 1 小波级数( 也称为离散栅格上的小波变换) 前面我们说过，一维信号母) 作小波变换后成为二维的嘎k ，r ) 后信息总是有 冗余的。为压缩数据，节省计算量，我们希望能只在一些离散的尺度和位移下计 算小波变换，而又不致丢失信息，为此我们将尺度和位移进行离散化处理，实际 中用得较多的是二进小波变换，令a = 2 ，r = k 2 j , t - o ，将其代入小波变换定义式 ( 2 1 ) ，有 h q ( 2 ，k - 2 。f o ) = 卜( f ) 2 1 y ( 2 。f k t o ) d s = f 砸扮m ( f 枷 ( 2 1 8 ) ( 2 1 8 ) 式是小波级数定义式，其中时间变量并未离散化。与傅里叶级数相比，分 辨率j 与谐波阶次相当。 2 3 2 小渡框架 如果小波级数韵该函数y 业o ) 正交的话，我们可以用多分辨分析理论对原信号进 行重构；当核函数y ，意) 不正交的话，就需要借助数学上所谓的。框架理论”来进 行信号重建。 定义：当由母小波妒( f ) 经伸缩与平移后引出的函数族 妒弦o ) = 2 一；谁- j ! - - _ | ) ，彰肛z tj 具有下列性质时，便称其构成一个小波框架： _ m 1 2 b 缈业) | 2 1 2 = a l l x 旷 则 x o ) 2 专车莩( w 业 妒业o ) 2 去莓莩呱( ，七妒业( f ) ( 2 2 2 对于一般情况，当a 、bl p , 较接近时，作一阶逼近，取 y 业o ) 2 南矿业g ) 所以 x o ) = 妒肿o ) ( 2 2 3 重建误差的大小和a 、b 的值有很大关系，a 、b 越接近，重建误差越小，故希 望建立的框架为紧框架。 2 4 离散序列小波变换 前面所提到的小波级数中，函数原信号工( f ) 和核函数y 。( f ) 中的时间变量t 并未 被离散化。在多分辨分析中，我们定义了x f 与酬，分别是第j 级分辨率下z o ) 的 离散逼近和离散细节。从二尺度差分方程组中得出了两组系数h 。扛。，它们由 ( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 式确定。由此我们这样来定义离散序列的小波变换：首先对原 信号z ( f ) 进行采样得到x k ) ，即z ：，然后以。和 。分别作为滤波器组中低通和高 通滤波器的系数对x ( 七) 进行滤波，依次得到吒1 、d ：、2 、砟，即各级分辨率 硕士学位论文 下的离散逼近和离散细节，我们称离散细节d f 为第j 级分辨率下的离散序列小波 变换。关于离散序列小波变换的具体的电路实现结构，将在下一章讲述m a l f a t 算 法时再详细说明。 2 5 小结 本章从小波变换的定义出发，引出了小波变换的各种性质，并指出虽然小波函 数是无核函数，但不是任何函数都可以充当小波函数的，要想小波变换的反演存 在的话，还必须要求小波函数满足( 2 6 ) 式的容许条件。 将多分辨分析引入小波变换领域后，小波变换便能在时域和频域同时对信号进 行分析。尺度越大，时域窗口越大，在时域的分辨率就越小，而在频域的分辨率 就越大；反之，尺度越小，时域窗口越窄，在时域的分辨率就越大，而在频域的 分辨率就越小，从而使得小波变换有“数学显微镜”的美称。 小波函数如果是正交的，那么我们可以用多分辨分析理论来进行信号重构，但 如果不是正交的话，我们就必须用小波级数与小波框架理论来进行重构。这一点 务必要注意。 除此之外，本章还对离散序列的小波变换进行了简单的说明，为下一章讲述算 法打下理论基础。 小波变换快速算法及硬件实现的研究 第3 章小波变换的快速算法研究 3 1 基于m e i | in 变换的连续小波变换快速算法 近几年来，小波变换在理论和应用上的研究都取得了迅速进展，特别是在信 号处理领域，它突破了f o u r i e r 变换只能对平稳信号进行分析的局限，从而可以 对非平稳信号在时一频域中的全貌和局部化特征进行分析，是对f o u r i e r 变换的 一种拓展，被誉为“数学显微镜”。 对于连续小波变换来说，它可以计算任意尺度、任意位移上的变换系数，但 是需采样的点太多，计算量大而难以实现。因此，研究c w t 的快速实现算法对于 小波变换在各个领域更加广泛、深入的应用有重大意义。 基于m e l l i n “1 变换的连续小波变换快速算法是小波变换快速算法之一。它 利用m e l l i n 变换的特点，对尺度进行几何采样，然后进行插值，可以计算固定时 刻不同尺度下的小波系数，但是当尺度跨度较大时，会引起混叠问题。 3 1 1m e ii in 变换的定义和性质 g e l l i n 变换的原始定义为： m ( z ) = c 。厂1 d x ( 3 1 ) 其中z 为复数。一般情况下，0 ) 为时域上的因果信号s ( t ) z = j 2 矽，r ，则有： m ) = f s o ，正矿1 出= m p 删 并取z 为纯虚数， ( 3 2 ) 其反燹抉为： s e ) = m ，1 2 帮彬 ( 3 3 ) ( 3 1 ) 式定义的变换具有的以下性质对于其在小波变换计算中的应用非常有利。 性质1 m e l l i n 变换与f o u r i e r 变换的联系： 做变量置换：f = i n t ，代入( 3 2 ) 式，得到： m ) = s g 7 2 础d r = 胛b g ) ( 3 4 ) 可见，将s ( f ) 的自变量换为r = i n t ，使之成为s 0 ) ，则m ) 即对应于s ( f ) 的 f o u r i e r 反变换。 性质2 尺度伸缩： 设g o ) = s 匕j ，d 为大于零的常数，m k o ) 】= m o ，l u g ( t ) = m ) ，则： 1 4 硕士学位论文 m ) = 1 ；j 2 n 4 m ) 若令a = e “，则有： m ) = b 止硼m ) 可见时域的尺度伸缩关系在变换域中成为相位因子的乘积关系。 性质3 乘积定理： 设m 。) = m b o ) l m ：) = m b ：o ) 】，则： f s l o - ：o ) f d t = m 。m ；舻) 妒 其中s ：t ) 和m ；) 分别是s ：( f ) 和m ：) 的共轭。 3 1 2 利用m e i ijn 变换计算连续小波变换( c w t ) 根据连续小波变换的定义式( 2 1 ) ： 啊如，r ) 击杪( 等 出 ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 其中x ( f ) r 伍) ，y o ) 为妒o ) 的共轭，f ，f ，4 都是连续变化的。假设趣) 和小波函数 妒( r ) 均具有因果性，做变量替换b = i n t ，代入( 2 1 ) 式有： 暇沁) 2 赤胂+ r ( 争仍 s i ( ) = 工( f + r ) = 舻+ r ) ( f ) 叫( f ) = e b c z s ；o ) 毡( 言) 则由( 3 4 ) 式： m 。c o ) = u s 。( 0 1 = 七6 + r - 2 棚锄= z 盯k g 6 + r ) 】 m ：) = m s ：o ) 】= e 6 p g 6 - 2 班d b = z 盯k 6 y g 6 ) 】 由( 3 5 ) 式： 根据( 3 7 ) 式 m ：) = 砷：( f = a j 2 审m ：舻) 左端= r s 。和b ；o ，4 d t ；丢腓+ 桫( 字 ：而1 暇0 ，r ) 搁一 右端= 帆够) m ：扭坳 ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 小波变换快速算法及硬件实现的研究 = m ) m ：护k 1 2 砰妒 = m ，) m ：k - j 2 4 a # 筇 = f r 阻，渺；) j ( 其中，口= i n n ) 所以有： 鸭( 叩) = 阿刀阻。m ；( 卢) ( 3 1 1 ) 以上结果说明, w t x ( a ，f ) 可以这样来求：首先由( 3 9 ) 、( 3 1 0 ) 两式分别计算x 仁6 + r ) ， e 6 0 6 ) 对b 的i f t ，从而得到m ，) 和m ；) ，将两者相乘后再对m 。m ；) 作 f t ，便可由( 3 1 1 ) 式求得w t x ( a ，f ) 。 3 1 3 算法的计算机实现 为r 在计算利l 上买现上述计舁，需要将( 3 9 ) 一( 3 1 1 ) 式离散化。 把( 3 9 ) 式中的b 按等间隔a b 采样，共取n 点。即令：b = n a b ，r l 0 n1 此时 工g 6 + r ) = x 0 “+ r ) = x ( g “+ r ) ，其中q = e ”。 可见此时是对x o ) 以q 为公比使间隔按几何级数增长来采样，共采样n 点。从而( 3 9 ) 式可近似表示为： 一】，。 m ) = 6 工b ”+ r k 2 卿“ ( 3 1 2 ) 令q = g ”= e ，则6 = 訾，代入( 3 1 2 ) 式得： 蝎( 卢) = 警势垆岫” ( 3 1 3 ) 再令也取n 个离散值：p = 去，尼0 n1 ，则( 3 1 3 ) 式变成： i n u 础) 乩q 陡x ( g ) e l = l n q z 唧b - ”+ f 月，k = 0 一1 ( 3 1 4 ) 式中：m i g ) = m i 1 ，；。a 运用类似的推导过程可以得到： m ：( k ) = i n o i d f t q ”妒( g ”) 】h ，k 0 n1 ( 3 1 5 ) 式中：m 2 0 ) = m ：p 1 f ：。 将( 3 1 4 ) 、( 3 1 5 ) 式代入( 3 1 1 ) 式，求近似积分得： 硕士学位论文 呢h 拈舸隐训似桫m 南。| 面1 k = oji1 土1 ￥ = 阻净卅 对口以a b 为间隔取n 个值：口= n a b ( t i pa = e “= q ”) ，r 0 n1 ，可以得到 呢k g ”，r ) 兰砑q if 台u - i 础雠k 夸 = 鑫d 刀阻取m 删n , k = o n - i ( 3 1 6 ) 将( 3 1 4 ) 一( 3 1 6 ) 式结合在一起写成： t ( = 口”，r ) = g i h q d 刀泗刀k ( g ”+ f ) 】仍f 咄“y g ”沿”= o n 一1 ( 3 17 ) 给定f 值后，按上式计算便可得到n 个离散尺度的小波变换值，其中各尺度