（固体力学专业论文）耦合非线性系统的复杂动力学行为分析.pdf

江苏大学硕士研究生学位论文 摘要 高维耦合非线性系统的分岔和混沌，是当前国际上非线性动力系统的前沿 课题之一本文在已经取得的成果基础上，针对非线性系统中的若干问题，运用 现代非线性分析方法，探讨系统复杂性的机理，分析物理参数和初始条件等各种 因素对系统动力学行为的影响，进而揭示其复杂运动的本质，为解决实际工程系 统中遇到的问题如非线性建模、参数识别和故障诊断等等，提供理论基础 本文首先分析了已具有静变形的受周期参数激励作用的浅拱在内共振条件 下的动力学行为根据解的稳定性判据，得到了物理参数平面上浅拱的定常运动 分布情况，结合数值方法，详细分析了系统在各个区域内特别是在复杂动力学行 为区域内的特性，指出了系统通向混沌的过程 其次在浅拱系统中构造o ：1 内共振条件，根据k o v a c i c 和w i g g i n s 提出的全 局扰动方法，详细分析了异宿轨分岔，在扰动系统中考虑了二次项开折参数的作 用，通过计算高维m e l n i k o v 函数，给出了s i l n i k o v 型同宿轨道产生s m a l e 马蹄 意义下混沌的必要条件，发现了更为丰富的分岔方式 第三，探讨了在工程中一类常见的三摆力学模型，综合考虑非线性阻尼的影 响，运用中心流形定理和向量场范式理论，分析了系统特征方程具有三对非内共 振纯虚根的退化情形时的定常解及其稳定性，发现了零解向高维环面解的两种不 同演化方式 另外，运用数值方法分别验证了三种不同模型中理论分析的可靠性和有效 性，最后总结了本文所取得的一些有意义结果，同时指出了存在的不足和今后工 作的方向 关键词：内共振，定常解，摄动方法，分岔，混沌，浅拱，三摆 江苏大学硕士研究生学位论文 a b s 眦c t t h ed y n a m i c a la n a l y s i so fh i g hd i m e n s i o n a lc o u p l e dn o n l i n e a rs y s t e m si so n eo f t h ef r o n t i e rp r o b l e m si nt h es t u d yo fn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m s b a s e do nt h e r e s u l t sw e v eo b t a i n e d ，t h em e c h a n i s mo ft h ec o m p l e x i t yi sd i s c u s s e db ya p p l y i n gt h e m o d e mn o n l i n e a ra n a l y t i c a lm e t h o d st ot h es y s t e m s t h ed e t a i l so ft h ei n f l u e n c eo n t h ed y n a m i c a lb e h a v i o rc a u s e db yt h ep h y s i c a lp a r a m e t e r sa n dt h ei n i t i a lc o n d i t i o n s a r ea l s oe x p l o r e di nt h i st h e s i si no r d e rt or e v e a lt h eq u a l i t yo ft h ec o m p l e x i t y , w h i c h m a yp r o v i d et h et h e o r e t i c a lb a s e m e n tf o rs o l v i n gp r a c t i c a le n g i n e e r i n gp r o b l e m s ，s u c h a sn o n l i n e a rm o d e l i n g ，p a r a m e t r i c a li d e n t i f i c a t i o na n df a i l u r ed i a g n o s e f i r s t l y , t h ed y n a m i c a lb e h a v i o r so ft h es h a l l o wa r c h ，p o s s e s s i n gi n i t i a l s t a t i c d e f o r m a t i o n 、析t 1 1 p e r i o d i cp a r a m e t r i ce x c i t a t i o n , u n d e rt h e i n t e r n a lr e s o n a n c e c i r c u m s t a n c ea r ea n a l y z e di nt h i st h e s i s a c c o r d i n gt ot h es t a b i l i t yc r i t e r i a , t h e p h y s i c a lp a r a m e t r i cs p a c ei sd i v i d e di n t od i f f e r e n tr e g i o n s ，a s s o c i a t e d 谢t hd i f f e r e n t t y p e so fs t e a d ys t a t es o l u t i o n s ，w h i c ha r ep r o v e db ye m p l o y i n gn u m e r i c a lm e t h o d s a r o u t et oc h a o si sf o u n di nt h ee v o l v i n gp r o c e s so ft h em o v e m e n t so ft h es y s t e m s e c o n d l y , t h e0 ：1i n t e m a lr e s o n a n tc a s ei nt h es h a l l o wa r c hs y s t e mi st a k e n i n t o c o n s i d e r a t i o n t h eh e t e r c l i n i co r b i tb i f u r c a t i o n sa r es t u d i e di nd e t a i lb ya p p l y i n gt h e g l o b a lp e r t u r b a t i o nm e t h o dd e v e l o p e db yk o v a c i ca n dw i g g i n s t h ee f f e c tc a u s e db y t h eu n f o l d i n gp a r a m e t e r so ft h es e c o n do r d e ri nt h ep e r t u r b e ds y s t e ma r ec o n s i d e r e d w h i l ec o m p u t i n gt h eh i g hd i m e n s i o n a lm e l n i k o vf u n c t i o n t h en e c e s s a r yc o n d i t i o n s o ft h ec h a o sb r e a k o u ti ns i l n i k o vt y p eh o m o c l i n i co r b i t sw i t hs m a l e sd e f i n i t i o na r e o b t a i n e d ，t o g e t h e rw i t hm o r ew a y so fb i f u r c a t i o n t h i r d l y , au n i v e r s a lt r i p l em e c h a n i c a lm o d e li ne n g i n e e d n gp r o b l e mi sd i s c u s s e d i nt h i st h e s i s c o n s i d e r i n gt h ei n f l u e n c eo ft h en o n l i n e a rd a m p i n g ，t h ed i f f e r e n ts t e a d y s t a t es o l u t i o n sa n dt h e i rs t a b i l i t ya r ea n a l y z e da f t e ra p p l y i n gw i t ht h ec e n t e rm a n i f o l d i l - 江苏大学硕士研究生学位论文 t h e o r e ma n dt h en o r m a lf o r mt h e o r yo ft h ev e c t o rf i e l d sw h o s ec h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a lh a st h r e ep a i r so fp u r ei m a g i n ee i g e n v a l u e sw i t h o u tr e s o n a n c e t w o d i f f e r e n te v o l v i n gw a y sf r o me q u i l i b r i u mt oh i g hd i m e n s i o nt o r u sa r ep o i n t e do u t i n a d d i t i o n ，t h en u m e r i c a lm e t h o d sa r eu s e dt ov e r i f yt h er e l i a b i l i t y a n d e f f e c t i v e n e s so ft h et h e o r e t i c a la n a l y s i so ft h et h r e ed i f f e r e n tm o d e l sr e s p e c t i v e l ya n d s o m em e a n i n g f u lr e s u l t sa r es u m m a r i z e di nt h ee n do ft h i st h e s i s a l s os o m ee x i s t i n g p r o b l e m sa sw e l la st h ef u t u r ew o r k a r ep o i n t e do u t k e yw o r d s ：i n t e r n a lr e s o n a n c e ，s t e a d ys t a t es o l u t i o n s ，p e r t u r b a t i o nm e t h o d s ， b i f u r c a t i o n ，c h a o s ，s h a l l o wa r c h ，t r i p l ep e n d u l u m - 1 1 1 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密囱。 学位论文作者签名： j 锄毕年弓月l7 日 指导教师签名：苹勃嗣曼 2 。口牛午引弓丫日 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：与p 勇 日期：沁y 年；月门e l 江苏大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 1 1 引言 自上世纪六十年代混沌现象被揭示以来，有关非线性系统复杂性的探讨一 直是最活跃的课题之一【1 。3 1 混沌的发现，不仅极大地丰富了我们对事物演变过 程的认识，也使许多长期以来无法解决的复杂现象如湍流等的探索找到了可能 的途径非线性动力系统的研究已经引起了诸如力学、物理学、数学、化学和 生物学等等各个领域的科技工作者的广泛关注，成为当前科学探索中的热点之 一与此同时，有关非线性系统复杂行为的共性研究已形成了_ l , - j 新的学科， 即非线性动力学【4 - 1 1 1 最近三十年来，非线性动力学无论在理论上还是在应用上都取得了很大进 展【1 2 】随着现代数学的应用和计算机技术的发展，各种各样的方法和理论， 诸如奇异性理论【1 5 】、高阶m e l n i k o v 方法【1 6 1 、分岔和混沌理论的日渐成熟【1 7 】， 越来越多的如混沌同步、能量饱和等现象被揭示出来，同时非线性理论也被日 益广泛地应用于解决实际工程问题，如混沌控制、非线性时间序列分析和混沌 保密通信与信息技术【i s , 1 9 等等。 然而，由于非线性问题的复杂性，以及缺乏行之有效的分析工具，有关非 线性的研究还正处在发展阶段，特别地对于高维非线性系统的深入研究还很不 充分 高维非线性系统不仅具有广泛的工程应用背景而且由于可能存在着各种 不同的共振形式，诸如内共振、组合共振等导致系统不同模态之间的相互作用， 产生许多复杂的动力学现象，引起了各国学者的高度重视我国力学学科“十 五 发展规划也把高维非线性系统的全局分岔和混沌动力学列为重点研究的内 容之一【2 因此对高维非线性动力系统的深入研究是非常重要和迫切的，这不 仅是非线性动力系统理论发展的需要，更是运用该理论指导解决实际工程系统 问题的需要 江苏大学硕士研究生学位论文 本论文正是基于这样的背景，在已经取得的成果基础上，运用现代非线性 理论【5 , 8 , 1 3 , 1 4 , 1 6 】，分析高维耦合非线性系统复杂动力学行为，探讨系统复杂性的 机理，分析物理参数和初始条件等各种因素对动力学行为的影响，进而揭示其 复杂运动的本质，为解决实际工程系统中遇到的问题如非线性建模、参数识别 和故障诊断等等提供理论基础 1 2 耦合非线性动力系统的研究概况 由于高维非线性系统的复杂性，目前尚缺乏理想的分析工具，特别是有效 的降维方法，只是在有限自由度系统范围内取得了一定的进展，特别是对两自 由度非线性系统，已有较为深入的研究，本节中作一简要介绍 首先在非线性模态相互作用理论的运用方面a m a c c a r i 研究了两自由度耦 合非线性v a nd e rp o l 方程同时具有主共振和l ：l 内共振条件下的动力学行为， 发展了a p 渐进摄动方法，发现随着激励参数值的增加，振动周期将趋向无 限，发现了无限周期分岔现象【2 2 之6 1 w k l e e 和h d p a r k 研究了两自由度弱非 线性耦合谐波激励弹簧摆系统在内共振条件劬：国：= 2 ：l 情况下，计算最大 l y a p u n o v 指数确定了系统具有混沌动力学行为【2 j w a r m i n s k i 和g l i t a k 研 究了通过线性弹簧作用将两自由度v a nd e rp o l 振子耦合在一起的系统，通过周 期性地改变刚度系数值，发现该参数激励下系统具有超混沌现象【2 8 】w l e e 和 c k i m 运用模态相互作用的方法，研究了耗散动力系统简支梁在1 ：3 内共振 条件下具有的跳跃现象，运用胞映射法有效地分析了该系统地混沌现象，得到 了吸引域【2 9 1 我们最近在两自由度参数激励耦合v a nd e rp o l 振子的研究中发现 对于相同的物理参数存在不同的混沌吸引子和混沌调幅现象，并且系统可以通 过倍周期分岔和环面破裂走向混沌【4 6 , 6 4 , 6 5 】 其次，在内共振系统的全局分岔方面k o v a c i c 和w i g g i n s 等人结合几何奇 异摄动，不变流形分层理论及高维m e l n i k o v 方法分析了s i l n i k o v 类型同宿环的 必要条件，该文献在研究高维系统全局分岔方面具有重要意义【4 7 ，4 8 1 ；s r i n a m a c h c h i v a y a 和d o y l e ，t i em a l h o t r a 等人将系统处理为h a m i l t o n 小扰动，计 江苏大学硕士研究生学位论文 算高维m e l n i k o v 函数得到了系统产生混沌的门槛值；m a l h o t r a 和s r i n a r n a c h c h i v a y a 进一步给出了1 ：l 内共振可逆系统具体的计算公式【4 9 1 z c f e n g 和k m l i e w 研究了参数激励0 ：1 内共振系统即系统特征方程中具有一个零根 和一对纯虚根情形时同宿轨道全局分岔，发现了系统通过s i l n i k o v 同宿轨道分 岔走向混沌的机制【5 4 1 张伟等人在上述一般理论发展的基础上，分别针对薄板、 减震器和弹性支座简支梁在0 ：1 内共振条件下系统的全局分岔现象，为了分析 方便，作者忽略了二次项开折参数的作用，发现在这些系统中都将产生s i l n i k o v 同宿轨分岔而进入混沌的现象，并且给出了数值模拟结梨5 0 巧3 1 第三，在几类典型非线性振动系统及三自由度系统中k o u e n n o u n 等在弱 耦合非线性阻尼概周期激励m a t h i e u 方程中，运用双多尺度法分析了在主参数 共振条件下的动力学特性【3 ，探讨了概周期解失稳后的行为s z o u n e s 等在上 述同样的系统中引入了l i e 变换，分析了该系统在共振情况下的全局动力学行 i f ；3 3 2 1 r r a n d 等还在其它一系列文献中【3 0 刁5 】分别对于非线性m a t h i e u 给予了 详细的分析，但是所有的这些分析都是局限于单自由度的系统中，而对于在两 自由度非线性m a t h i e u 和共振激励方程中的结果还是不多见，并且对于多频激 励非线性m a t h i e u 方程分岔过程的理论分析还不是很完善，仅是针对特殊情形， 揭示了部分现象【3 6 1 d d q u i n m 研究了由于不平衡块在受定常扭矩时建立的三 自由度模型，分析了该系统的共振现象，运用m e l n i k o v 方法和奇异摄动理论方 法，分析了同宿轨走向混沌的过程【3 刀在三自由度系统非线性动力学方面的研 究还有待深入 总之，对于高维耦合非线性系统的研究尚处在起步阶段，其复杂动力学行 为的认识还很不充分本论文将在已有工作的基础上，利用现代非线性分析方 法，如规范形理论，奇异性理论，分岔和混沌理论，分析高维特别是内共振非 线性耦合动力系统在不同条件下的复杂动力学行为，从而揭示导致耦合高维非 线性动力系统的复杂运动的机理 1 3 本课题组已取得的相关主要成果 江苏大学硕士研究生学位论文 1 详细分析了周期激励浅拱在l ：2 内共振条件下的分岔特性【4 2 4 5 1 按系统 的运动形式将整个参数平面分成不同的区域，得到了物理参数平面上浅 拱定常运动的分布情况指出了当周期激励浅拱具有初始静变形时，系 统的一阶模态和二阶模态会产生内共振，两共振模态之间会产生相互作 用，能量会在其低阶模态之间相互传递，并指出在浅拱系统中存在倍周 期分岔和周期三窗口等通向混沌的道路 2 运用解析与数值的方法，详细研究了复摆的复杂动力学行为【5 7 击o 】分析 了典型的四种退化情况，即系统线性部分特征值为两个零根、一个零根 和一对纯虚根、两对非内共振纯虚根和l ：1 内共振纯虚根等，运用中心 流形定理和向量场范式理论对原系统进行简化，得到了不同的定常解， 并且运用数值分析方法验证了这一预测的可靠性对复摆余维二情形 的分岔和混沌途径的讨论已经较为完善 3 结合中心流形和规范型理论，简化了规范型系数的计算过程，并且根 据提出的计算方法编制了相应的计算机m a p l e 符号推导程序【6 0 击3 1 本文 中就规范型系数及其相应的近恒等非线性变换的计算就是主要根据这 些已有的基础，编制适合本文的输入文件，对原系统进行简化，得到规 范型，进而深入分析高维系统的动力学行为 1 4 本论文的主要内容 本论文运用现代非线性分析方法，探讨了耦合非线性系统的分岔与混沌动 力学行为，分析物理参数和初始条件等各种因素对动力学行为的影响，揭示其 本质论文的内容安排如下： 第一章为绪论，阐述了本论文的选题背景，介绍了目前耦合非线性动力系 统的研究概况和研究意义，简要介绍了本课题组已经取得的与本文相关的部分 成果 第二章分析了已具有静变形的受周期参数激励作用下浅拱在1 ：1 内共振条 件下的动力学行为得到了参数平面上的转迁集，结合数值方法，详细分析了 江苏大学硕士研究生学位论文 系统在不同参数空间内的特性，指出了系统通向混沌的过程 第三章分析了周期参数激励浅拱在0 ：l 内共振条件下的全局分岔过程运 用规范型理论及现有的关于规范型系数的简便计算程序，得到了系统产生余维 三退化时的范式根据k o v a c i c 和w i g g i n s 提出的全局扰动方法，在浅拱这一 两自由度系统中详细分析了异宿轨分岔，通过计算高维m e l n i k o v 函数，给出了 s i l n i k o v 型同宿轨道产生s m a l e 马蹄意义下混沌的必要条件 第四章探讨了在工程中一类常见的三摆力学模型，综合考虑非线性阻尼的 影响，针对特征方程具有三对非内共振纯虚根时的退化情形，运用中心流形定 理和范式理论进一步简化系统，根据定常解及其稳定性判定准则，得到了不同 的定常解和转迁集，在理论上分析了分岔过程，指出零解向高维环面解的不同 演化方式最后选取参数从数值上验证了理论分析的可靠性 最后总结了本文中所取得的结果，同时指出了存在的不足，提出了今后继 续工作的方向 江苏大学硕士研究生学位论文 第二章内共振周期外激浅拱的动力学分析 2 1 引言 在非线性耦合系统中运用模态相互作用进行动态特性的研究已经取得了诸 多成果 3 8 - 4 1 】周期激励浅拱具有初静变形时，系统的一阶模态和二阶模态会产 生内共振，两共振模态之间会产生相互作用，系统的能量会在其低阶和高阶模 态之间相互传递【4 2 4 5 1 文【4 6 1 分析了耦合v a nd e rp o l 振子系统的分岔过程，指出 系统存在两条通向混沌的道路：倍周期分岔和环面破裂在这些工作中，其分 析大都是基于o ( e ) 的一次近似的，而在本文的分析过程中，同时考虑到o ( s 2 ) ， 得到了1 ：1 内共振条件下系统的分岔特性，进而按系统的运动形式将整个参数 平面划分成不同的区域，得到了物理参数平面上浅拱的定常运动分布情况，结 合数值分析方法详细分析了系统的动力学特性，指出在复杂运动区域内，系统 会由环面倍化走向混沌的道路 2 2 运动模型及平均方程 考虑图2 1 所示的周期激励浅拱，其一、二阶模态下的一般动力学方程为( 具 体推导方程参见文献【3 8 4 0 】) ： 么习蒜t x w ( x ，) 一 一 图2 1 浅拱模型图 f i g u r e2 1m o d e lo f t h es h a l l o wa r c h 江苏大学硕士研究生学位论文 筹嚣一2 i + b 3q 冀2 蒜cqq 麓+ 3 c 4 窖q + 2 d 3 露q ；q 黧+ 3 d 嚣qq 荔4 d 嚣q 0 声， 季2 + 历口2 + 2 +3l2；24i ；+5 ；= 、。 其中，a j ，岛，q ，反为依赖于物理系统的不变系数，届，厦为阻尼系数 届= 历l ，2 2 , c l - - , f l ：7 i ，c 3 - - d ；e , 3 ：, c 4 = 留4 ，d l = 6 2 d l , d 32 占d 3 ( 2 2 ) d 4 = 8 2 d 4 ，d 5 。o e 2 d 5 ，p = a l ， 、。 贝l j ( 2 1 ) 口- - j 写为： 百l + 2 b l q l + 占( 4 宣l + 3 c l q ；+ c a q ；一q , t c o s f f ) + 6 2 ( 4 d l q ? + 2 d 3 q i q ；+ 幺g ；) = 0 、 口2 + 2 b 3 q 2 + 占( 色香2 + 3 c 3 q l q 2 + 3 c 4 9 ；) + 占2 ( 2 d 3 q ；q 2 + 3 d 4 q l q ；+ 4 d s q ；) = o ”。 为了分析系统1 ：1 内共振条件及1 ：2 参数共振双重条件下的动力学行为，引 入调协参数仃l ，0 2 ，令： 设解为： 且设： 2 岛= 砰= 丢厂2 一留。，2 以= 彳= 丢厂2 一阳： ( 2 4 ) 口，= 口，c 。s ( 三弦+ g ) ，孽，= 一三a , r s i n ( 2 + 只) ( f = 1 ，2 ) ， ( 2 5 ) e l = 3 c l ，e 2 = c 3 , e 3 = 4 d l ，e 4 = 2 d 3 ，e 5 = d 4 ，e 6 = 3 c 4 ，e 7 = 4 d 5 ，e 5 = e 7 = 0 ( 2 6 ) 由平均法可得： 驴 粤一势2 寸占2 e 4 a l a ； 柏斗了o l a i 当2 7 破小2 q 反= d 掣c o s 2 bfo i l 7 jl 妒 一矧 e 4 口? a 2 4 7 鸸= 占 - 等h 咖刮 3 e 3 口卜 一十 e 4 a 噍t a 2 + 兰型 4 y2 y4 y s i n c 却2 ) e 4 口? 口2 4 2 c o s ( 2 0 l埘z ) + 警 - 7 - c o s ( 2 t 9 1 - 2 0 2 ) 。2 7 ， 江苏大学硕士研究生学位论文 将平均方程化到直角坐标系中，令： 将( 2 8 ) 代入( 2 7 ) 有 “，= a fc o s 8 f ，v f = a fs i n e ，( i = 1 ，2 ) ( 2 8 ) 炉s 降一扣一丹占2 _ 等一等一等一等一等 驴 一等一芳一等 等+ 等+ 等+ 等+ 鼍纠泣9 ， 咖愕v 2 0 27 1 小2 _ 等一等一等 呼怯1 疋一铡 半+ 等+ 等 一阶自治常微分方程组( 2 7 ) 和( 2 9 ) 代表了原系统( 2 3 ) 中幅值与相位变化 关系的方程，并且原系统的解可以由( 2 11 ) 式来近似表示，并原系统( 2 3 ) 在变换 ( 五妄) 专( 一x ，d 俄x ) s r f l ( y , 去) 一( 一弘一下是保持不变的；系统( 2 9 ) 在变换 ( 甜i ，v 1 ) 一( 一“l ，一v 1 ) 和( “2 ，1 ，2 ) j ( - u 2 ，一1 ，2 ) 下形式也不变，保持原系统的z 20z 2 对称性 2 3 定常解及稳定性分析 2 3 1 定常解与分岔讨论 我们在考虑系统的分岔过程及稳定性时，主要针对( 2 7 ) 和( 2 9 ) 两式进行理 论性分析，而后在下一部分选择适当参数作出相应的数值分析来证明本节中的 分析结果首先，我们分析系统的定常解及其分岔过程 考虑( 2 7 ) 式的定常解，令西。= 西：= 反= 幺= 0 ，有以下几种情况： ( 1 ) 平凡解 ( 口l = 0 ，a 2 = o ) ； ( 2 1 0 ) ( 2 ) 单模态运动定常解( a 。0 ，a 2 = 0 ) 江苏大学硕士研究生学位论文 口丝生磐幽或口卜塾尘年箜兰：垡! ( 2 1 。) s e l 占3 e 1 占 t a n 2 8 l = ( 3 ) 复合模态运动定常解( 口l 0 ，a 2 0 ) 复合模态运动定常解口。，a 2 满足下列方程组： 一粤一芳s ；n 2 b + 等s i n c 2 栌。 上2 2 c ? 缒4 7 + 丛2 7 + 盟4 7c o s 捌2 ) = 。伍 y 1 、1。 、 一鲁+ 等s i n ( _ 2 幺枷：) - 0 号+ 等+ 等c o s c 2 咖。 为求出系统的非零幅值a 。，a ：，我们可以先由( 2 1 2 ) 式的下边两式中根据三角函 数性质解得口l 需要满足代数方程： 并且可以求得 篱斗爨翎，降+ 鲁 2 + ( 一等+ 等+ 割2 = ( 豺一 s i n ( 2 幺一2 岛) ：一掣， 貔4 a i c 。s ( 2 0 1 2 0 2 ) ：墨一2 ， 8 e i q i 再将其代回前边的两式中，运用相同方法即可求得口2 、s i n 2 幺和c o s 2 幺的值 2 3 2 稳定性分析 得到了系统的定常解后，我们运用【4 5 1 提供的分析方法，讨论定常解的稳定 江苏大学硕士研究生学位论文 性，并由其失稳条件定义系统的转迁集 为分析定常解的稳定性，考虑( 2 9 ) 式中，令： p = ( ”l ，v i ，甜2 ，1 ，2 ) 7 ，p o = ( 材l o ，h o ，”2 0 ，v 2 0 ) 7 ， ( 2 。1 4 ) p o 为定常解由( 2 9 ) 式有p 7 = 日( p ) ，令p = p o + g ，其中，p o 为( 2 9 ) 式的定常 解，即聊护。，将p 代坤式，根据一次近似原则削= ( 期p 。凡g ，其 审 川铲阻凡= a 1 1口1 2 a 2 1a 2 2 a 3 1a 3 2 口4 ia 4 2 口1 3口1 4 a 2 3a 2 4 a 3 3a 3 4 a 4 3口“ ( 2 1 5 ) 式( 2 1 5 ) 中a o ( f _ 1 ，2 ，3 ，4 ，= 1 ，2 ，3 ，4 ) 根据不同的定常解情况有不同的表达式且较 为复杂，当取风；( “。，1 ，酣：。，v ：。) f 时的一般表达式列在本文的附录a 中下面 针对不同的定常解，分别讨论其j a c o b i a n 矩阵，计算它们的特征多项式，根据 r o u t h h u r w i t z 准则判定稳定性 ( 1 ) 对于平凡解( a 。= 0 ，口：= o ) ，即系统的一、二阶模态振幅为零，对外界特 征表现为静止考虑( 2 1 5 ) 式，其j a c o b i a n 矩阵，的特征值方程为 置：+ 4 ，：+ 丢砰一! 二生! l 乏掣= 。 名4 + 。+ 丢霹+ 等= o 在实际物理系统中，一般设阻尼瓯 0 ，疋 0 ，因此也。均具有负实部：当系统 物理参数满足关系式：丢砰一生垒l 坚等掣= o 时， 7 1 , 2 分别为一个零 根和一个具有负实部的值，导致系统的其中一个z ：对称性破缺产生分岔，由此 我们可以定义系统的第一条转迁集： 江苏大学硕士研究生学位论文 。三砰一丝学- o ， 墨：+ 4 丑，：+ 量：生三l 二兰产一丢砰= 。， 驾，。+磊兄，。+二!至呈翌王三二二皇詈：|；掣：。2_8 二! 坠堑! ! ! 堕罂丝兰：兰堡兰： o ( 2 1 9 ， l 2 ：二! 坠竺：! ! ! 堕2 丝：兰丝乙o ， ( 2 2 0 ) 1 6 y 2 。 ( q 0 ，a 2 0 ) ( 3 ) 对于复合模态解运动( a l 0 ，a 2 0 ) ，考虑( 2 1 5 ) 式，其j a c o b i a n 矩阵厂的 特征值方程可表示为： p ( 2 ) = 力+ 4 名+ 4 名+ 4 名+ 鸽， ( 2 2 1 ) 其中a ，= 4 + 如，方程中的其它系数可以由计算机符号语言m a p l e 推导，因其 表达式过于烦琐，此处从略下面我们根据此特征方程分析系统在复合模态时 的分岔行为 由r o u t h - h u r w i t 2 准则，当( 2 2 1 ) 式中 江苏大学硕士研究生学位论文 a o = d e t ) o ，a i o ，a 2 o ，a 3 o ，a l a 2 呜- ( a o 名+ 彳? ) 0 ( 2 2 2 ) 时，所有的特征值兄均具有负实部，复合模态解稳定当( 2 2 1 ) 中 鸽= 0 , a l o ，4 o ，4 0 ( 2 2 3 ) 时，具有一简单零特征值，复合模态解将产生鞍结分岔而失稳当( 2 2 1 ) 中 鸽 o ，a i o ，a 3 o ，a l a 2 a 3 一( 鸽筲+ 彳? ) = o( 2 2 4 ) 时，将具有一对纯虚特征值，复合模态解将产生h o p f 分岔而失稳 由前面的讨论可知当a 3 = 4 + a s 0 ，于是我们可以根据前述关于( 2 1 ) 式 特征方程的分析定义系统的两条转迁集： l 3 ：a o = 0 ( 彳l 0 ，a 2 0 ，a 3 0 ) ， 厶：a l a s a 3 一( 鸽4 + 彳? ) = 0 ( 4 o ，a i o ，a 3 o ) ( 2 2 6 ) 当系统参数穿越厶时，系统将产生鞍结分岔而失稳，当穿越上4 时，系统将产生 h o p f 分岔，复合模态解失稳产生复杂动力学行为 厶，三：，三3 ，。所表示的这些转迁集将物理参数平面划分为不同的区域，在每 一个区域中其定常解的性质不同，随着参数的变化，从平衡点分岔出单模态解， 当单模态解失稳时产生复合模态解，当复合模态解失稳时，即系统参数选择在 复杂区域内，系统具有十分丰富的动力学行为，由于目前解析方法尚不完善， 为揭示系统的复杂动力学行为，我们下面结合具体例子用数值方法加以说明 2 4 数值分析与讨论 为进一步给出这些分岔转迁集及定常运动分布情况，我们以数值例子加以 分析现取 占= o 0 1 ，= 0 8 ，4 = o 1 ，磊= o 1 ，7 = 1 ，e 3 = 1 ，e 4 = 8 ，e l = 1 ，e 2 = - 1 ，e 6 = 1 ( 2 2 7 ) 图2 2 给出了当仃：= 1 0 时，系统振动幅值a l ，口2 随调谐参数o l 的变化曲线从 图中我们可以清晰的看到当系统参数达到a 点时，单模态运动通过静态分岔产 生复合模态运动，分岔值为o - = 一0 2 7 1 图中a 也是单模态解分岔产生复合 模态解的临界点，只是此时的解不稳定 口l ，口2 1 0 8 6 4 2 o 江苏大学硕士研究生学位论文 o 50 4 0 3 - 0 2- 0 10 00 1 0 20 3 图2 2 系统的幅值响应图( 仃2 = 1 0 ) ( 粗线：稳定解，细线：不稳定解) 2 5 2 0 1 5 吼，o 0 5 o o f i g 2 2r e s p o n s ec u r v eo ft h es y s t e mf o r ( 0 2 。1 o ) ( t h i c kl i n e ：s t a b l es o l u t i o n ，t h i nl i n e ：u n s t a b l es o l u t i o n ) l ， p e s e s 0 6 - 0 5 o 4 o 3 0 2 0 10 0o 10 20 30 4 0 5 0 6 图2 3 ( 盯i 一仃2 ) 参数平面上系统的转迁集 f i g 2 3t r a n s i t i o nb o u n d a r i e so ft h es y s t e mo i lp a r a m e t e rp l a n e ( o i 一吼) 1 3 - 江苏大学硕士研究生学位论文 为了表明调协参数q ，c r 2 对系统响应的影响，图2 3 给出了在( q ，吒) 参数 平面上系统的分岔转迁集这些转迁集将吼一盯：平面划分为四个区域对于系 统选择( 2 2 7 ) 所表示的参数值时，通过计算可知( 2 2 1 ) 式的系数 a 3 0 ，a 2 0 ，a o 0 ，因此直线厶在转迁平面中不存在在区域e s ( e q u i l i b r i u m s o l u t i o n ) 中，存在稳定的零平衡解；在区域s m m ( s i n g l em o d em o t i o n ) 中，只 有单模态运动，即a l 0 ，a 2 = 0 ，且单模态运动是稳定的；区域c m m ( c o u p l e d m o d em o t i o n ) 为复合模态运动的稳定区域，即q 0 ，口2 0 ；在区域c m b ( c o m p l e xm o v e m e n tb e h a v i o r ) 中，系统具有复杂动力学行为，我们在下文将给 出系统( 2 1 ) 和( 2 9 ) 进一步的数值解以便揭示系统参数穿越转迁集时所具有 的特性由于系统存在对称性，在所有的数值分析中均取初值 ( “l ，v i o ，, 2 0 ，v 2 0 ) = ( 0 0 1 ，0 0 ，0 0 1 ，0 o ) 另外需要指出的是，仃l = 0 3 9 6 8 直线将与 单模态解失稳曲线、复合模态h o p f 分岔曲线相交于第一象限，于是我们可以 得到复杂运动实际上为一有限的区域 下面，我们在图2 3 所示的每一个区域中分别选择不同参数代入系统( 2 1 ) 和( 2 9 ) ，运用常微分方程中的定步长四阶龙格一库塔方法进行数值计算，以便 验证我们的理论分析结果图2 4 表明，当系统参数取定( q ，吒) = ( - 0 5 , 1 5 ) 时， 即参数位于区域e s 中，数值计算表明零平衡解是稳定的当系统参数位于区域 s m m 中，系统为单模态运动，系统分岔参数选择为( 仃。，盯：) = ( - 0 3 ，2 0 ) 时的数 值模拟结果与理论分析结果是相符合的，由图2 5 所示 ， n 1 0 也0 5 o 删o 也1 5 o o n 4 o 。啦 n 0 - 0 删 - o b 江苏大学硕士研究生学位论文 o 瞄- 0 0 0 4- 0 魄0 ，0 0 00 20 0 0 4 u - 0 o - 0 0 0 4- 00 0 2n o c o0 0 0 20 0 0 40 0 u 2 图2 4 ( 仃l ，仃2 ) = ( - 0 5 ，1 5 ) 时系统( 2 i ) 的相图 f i g 2 4p h a s ep o r t r a i t sf o r ( 仃i ，仃2 ) = ( - 0 5 ，1 5 ) 1 5 江苏大学硕士研究生学位论文 0 2 0 0 1 5 0 1 0 0 0 5 o 0 0 - 0 0 5 - 0 1 0 0 1 5 - 0 2 0 04 u - 0 4- 0 30 20 10 00 10 20 3 u 2 图2 5 ( 0 - l ，0 - 2 ) = ( 一0 3 ，2 0 ) 时系统( 2 1 ) 的相图 f i g 2 5p h a s ep o r t r a i t so f s y s t e m ( 2 1 ) f o r ( 0 - l ，0 2 ) = ( 一0 3 ，2 0 ) 为了分析系统参数取在复杂动力学行为区域时的特性，我们固定0 - = - 0 1 ，以 便观察随着仃：值变化时系统运动特性的变化图2 6 表示当系统参数为 江苏大学硕士研究生学位论文 ( q ，吼) = ( - 0 1 ，2 2 0 ) ，即落在曲线厶和l ，围成的复合模态运动区域时，得到系 统( 2 1 ) 在y = o 截面上的p o i n c a r e 映射为一个极限环，表明运动为准周期的当 c r 2 值分别取1 4 0 5 ，1 4 0 ，1 3 9 5 ，1 3 8 5 时，图2 7 、图2 8 、图2 9 和图2 1 0 所示的p o i n c a r e 映射表明原系统经历了环面倍化进入混沌的过程，图2 1 0 映射 投影点落在截面的有限区域内，形成无明显规律非游荡集，这就表明系统已进 入了混沌 0 吼 图2 6p o i n c a r e 映射y = 0 ，( 仃i ，2 ) = ( 一0 1 ，2 2 0 ) f i g2 6 p o i n c a r em a p p i n go ny = 0 ，( q ，仃2 ) = ( 一o 1 ，2 2 0 ) 2 ， o 4 砭 姐百 江苏大学硕士研究生学位论文 2 o 1 5 1 o 0 5 由l 0 0 d t - 0 ，5 1 0 1 5 2 0 - 2 5 击 4 0246 图2 7 ( 仃l ，仃2 ) = ( - 0 1 ，1 4 0 5 ) 时系统( 2 1 ) 的p o i n c a r e 映射 f i g 2 7p o i n c a r em a po f s y s t e m ( 2 1 ) f o r ( 仃l ，盯2 ) = ( - 0 1 ，1 4 0 5 ) 2 亟口 出 - 1 _ 6- 4024