计数型累积和控制图的原理与应用研究优秀毕业论文 参考文献 可复制黏贴.pdf

北京机械工业学院 硕士学位论文 计数型累积和控制图的原理与应用研究 姓名：孟祥新 申请学位级别：硕士 专业：管理科学与工程 指导教师：廖永平 2000.4.10 堡主兰垡堕苎 计数型累积和控制图的原理与应用研究 摘要 累积和控制图的提出已有四十多年的时间了，关于它的标准已有i s 0 t r 7 8 7 1 ：1 9 9 7 ( e ) 、b s5 7 0 3 8 0 、g b4 8 8 7 一1 9 8 5 等等。虽然理论和实践表明其相 对于休哈特图有优越性，但是在国内外的应用却一直不如休图那样普及。在众 多的质量管理、统计过程控制( s p c ) 商业软件包中，也没有涉及到累积和图的 应用。 论文的前面部分简单介绍了累积和图的起源，并对均值累积和图、二项变 量累积和图及泊松累积和图的构造和使用的数学原理进行了完整的归纳和详尽 的阐述。 关于计数型累积和图平均链长的计算，论文总结了国内外两种成熟的算法， 即“经典法”和马尔可夫链方法，并编写了相应的计算机程序对于两种算法。 作者证明其在本质上足一致的，实际运算结果也表明了这一点。论文还对计数 型累积和方案的设计进行了讨论。 在计算平均链长的基础上，论文对计数型累积和图与常规控制图进行了对 比和分析，总结了累积和图的优缺点。此外，论文简单介绍了对标准累积和图 的两种改进方法：联合休哈特一累积和图、快速初始响应累积和方案。 最后，论文对实际中累积和图的使用细节作了介绍，结合作者在山东鲁能 银光电力设备有限公司的实践，给出了应用实例，并用s u a lc + + 和a c s s 数据库语言编写了累积和图的实用程序，很好地实现了过程抽样的数据库管理 和累积和的自动绘图。 关键词累积和控制图、休哈特控制图、平均链长、序贯概率比检验 一 堡主堂垡堡塞 - _ _ _ - _ - _ _ 一。 t h ep n c i p l ea n da p p l i c a t i o nr e s e a r c h o f t h ec o u n t e dd a t ac u s u mc o n t r o lc h a r t s a b s t r a c t t h ec u m u l a t i v es u i l lc o n 仃o lc h a r t s ( c u s u mc h a r t s ) h a v eb e e nd e v e l o p e df o rm o r e t h a l l4 0 y e a r s a b o u t t l l es t a n d a r d s ，t l e r ca r ei s o 厂r r7 8 7 1 ：1 9 9 7 ( e ) ，g b4 8 8 7 1 9 8 5 a n db s5 7 0 3 8 0 ，e t c a l t l l o u g hm et h e o r ya n dp m c t i c eh a v es h o 、1 t h a tt h e c u s u mc h a n sa r es u p c r i o rt o 也es h e w a nc o n t r o lc h a f t s ，t h el a t t e ra r el l i l d o u b t e d l y c h em o r e p o p u i a r o f 出e “v oc o m m o n p r o c e d u r ew h i c h a r ea 阱，r o p r i a c ef o rm ep m c e s s t e s ta i i dc o n 仃0 1 w 色h a v es e c nn o a p p l i c a t i o n si nc o m m e r c i a lq u a l 时m a i l a g e m e n t a i l d s p c s o r 、憾p a c k a g e s a tt h ef b n t p a r to f m et l l c s i s ，m ea u 血o rs i n 巾i yi n t r o d u c e t h eo r i g i no f t h ec u s u m p r o c e d i l r e ，a n dc o m p l e t e l ys 啪m a r i z et 1 1 e m a m e m a t i c a lp r i n c i p l e 印p l i e dt o t h e c o n s 咖c t i o n 锄d a p p i i c a t i o no f t h ec u s u mc h a n sf o rm e a l l s ，b i n o m i a lv a r i a b l ea 1 1 d p d i s s o nv a r i a b i e a b o u tt h ec a l c u l a t m go ft h ea v e r a g ei h nl e n 垂h ( a r l s ) o ft i l ec o u n t e dd a t a c u s u m p r o c e d u r e ，t w om a t u r ea l g o r i m m s ，t h ec l a s s i c a i m e t h o da n dt h em a r k o v c h a i nm 劬o d ，a r eg e n e r a l i z e d 协t h et l l e s i s ，a i l dr c s p e c t i v ec o d ei sd e v e l o p e d f o rm e t w o a 1 9 0 r i t h i n s ，t h ea u m o rp r o v e 山a tt l l e ya r es 锄e i nt h ee s s e n c e ，蛐dt h ec a l c u l a t i n g r e s u l t sa l s os h o wt h i sp o i n tn e d e s i g no f m e c o u n t e dd a t ac u s u ms c h e m e si sa l s o d i s c u s s e dc o m m o n l y 0 nm eb a s i so ft h ea r l s ，c o m p a r i s o nb e t w e e nt l l ec o 删e dd a t ac u s u mc h a n s a n dm ec o n v e n t i o n a ic 王l a n si sm a d e ，t 1 1 ea d v 觚t a g e sa 1 1 dt l l ed e f e c t so ft h cc u s u m p m c c d u r ea r ec o n c l u d e d a st h er e f i n e r n c m st ot h es t a i l d a r dc u s u mp r o c e d u r e ，t h e c 咖b i n e ds h e w a r ta n dc u s u mc h a n sa 1 1 dt l l e 缸ti n i t i a lr e s p o n s e ( f i r ) c u s u m s c h e m ea r er e c o m m e n d e d f i n a l l y ，t l l ea p p l i c a t i o np r o c e d u r eo ft l l e c u s u mc h a n si si n t m d u c e d ，a n da n p r a c t i c a le x a r n p l ei sp r e s e n t e do nt 1 1 eb a s i so fm ea u t h o r sp r a c t i c ei ns h a n d o n g l u i l e n gy i n g u a r i g e l e c 喇c e q u i p m e n tc o m ，l t d b y s l l a l c + + a n da c c c s s d a t a b a s el a f l 昏l a g e ，t l l ea u t l l o rd e s i g na nu s e 血lp r o g r 锄f o rt h ea p p l i c a t i o no ft h e c u s u mc h a n st op e r f b c t l yc a r r yo u tt h em a l l a g e m e n to ft 1 1 ep m c e s ss 锄p l j n gr e c o r d d a t a b 站ea i l dm e a u t o m a t i c a l l yp l o m n g o f t l l ec u s u m s i i 硕士学位论文 k e y w o r d st h ec u s u mc o n t r o ic h a r t s ，t h es h e w a r tc o n t m lc h a n s ，t h ea v e r a g e m n l e n g t h s ，t h es e q u e n t i a lp r o b a b i l i t yr a t i ot e s t - 儿j 一 硕士学位论文 绪论 ( 一) 累积和理论的起源与发展及国内外研究现状 统计过程控制( s p c ) 理论源于上世纪二十年代美国的贝尔电话实验室( b c i l t c l e p h o n el a b o r a t o r y ) 。经过研究，休哈特博士提出了过程控制理论及监控过程 的工具一控制图。此后休哈特控制图获得了广泛应用，并取得了巨大的经济效 益。休哈特控制图的缺点是只利用了过程当前点子的信息，而没有充分利用整 个样本点子的信息，放对过程的小变动，譬如小于1 0 盯的变动，不够灵敏。为 此。1 9 5 4 年佩基( e s p a g e ) 1 2 i j 最早应用序贯分析原理，提出了累积和控制图( 简 称累积和图下同) 。它可以将一系列样本点子的微弱信息累积起来，所以对过 程的小变动灵敏。随后英国和美国的一些数理统计专家如w d e 啪口“、 k w k e 唧【2 7 】、n l j o l l l l s o n & f c l e o n e f 2 5 等先后对其进行了研究，使其理论得 到更进一步的补充和完善。研究的范围也不断拓宽，从最初的计量型到计数型， 从其数学原理到平均链长的分析和计算，从标准累积和方案到改进的累积和方 法如快速初始响应( f a s ti n i t i a lr e p o n s e ，f i r ) 累积和、联合休哈特一累积和控制 方案及稳健性累积和，等等。国外对累积和技术的理论和应用研究一直没有停 止过，近年来又有新的成果出现，如b o u r k e ( 1 9 9 1 ) 提出了基于连续合格品数 的c u s u m 控制图；k 蛐i n s k y 等( b e i l l l e y a n ，d a v i sa n db u r k e ，1 9 9 2 ) 分析了基 于几何分布的控制图；q u s e n b e 吖( 1 9 9 5 ) 提出了控制过程方差的c u s u mq 控 制图，。在累积和图的标准方面，国际标准化组织( i s o ) 于1 9 9 7 年发布了i s 0 t r7 8 7 l ：1 9 9 7 ( e ) 1 1 世界上一些发达国家如日本、英国、美国，包括前苏联， 都先后在7 0 或8 0 年代制订了累积和图的国家标准。国内对累积和理论的研究 耍晚得多，大约是从上世纪八十年代初期开始。王淑君、蒋鸿章、史晓星等人 先后发表了对累积和技术的研究成果。在此基础上，我国于1 9 8 5 年制订了计数 型累积和图的国家标准，即g b 4 8 8 7 1 9 8 5 f l “，该标准的主要起草人是蒋鸿章。 近年来国内对累积和理论的研究又有新的发展，如孙静、张公绪“州( 1 9 9 8 ) 发表 了 ，文中以连续不合格品数 为控制对象，设计了几何c u s u m 控制图，对接近零不合格品的高质量过程的 控制进行了研究：崔恒建 6 3 ( 1 9 9 7 ) 发表了 ，对用于监控过程离散特性变化的累积和理论作了研究。 第l 页共5 5 页 硕士学位论文 ( 二) 国内外应用状况 累积和技术虽然于1 9 5 4 年提出但是得到广泛应用却是在5 0 年代末期以 后，当时主要是集中在英、美等少数国家。随着理论的不断成熟和完善，累积 和图在过程控制中获得了良好的应用，并在实践中证明了它的有效性。例如美 国的摩托罗拉公司于1 9 9 4 年开始在位于亚里桑那州菲尼克斯城的传感器生产厂 应用泊松累积和技术p 6 】，由于比较成功、有效，随后被引入到公司在韩国的传 感器生产部。我国虽然在八十年代初期就开始了对累积和理论的研究，而且于 1 9 8 5 年制订了计数型累积和图的国家标准，但在应用方面却几乎是一片空白， 这实在是一个很大的遗憾。 ( 三) 课题的目的和内容 累积和技术是j s 0 9 0 0 0 族标准中推荐使用的统计技术“。周常规控制图相 比。累积和图也有自身的优势。但是在实际应用中前者却没有后者那样普及。 在国外的一些文献资料中，虽然也能见到有关累积和图应用方面的一些文章， 却少之又少。而在国内，或许是由于所查资料有限，迄今为止仍没有见到一篇 有关累积和图在实际中的应用方面的文章。在国内外众多的质量管理和数理统 计应用方面的商业软件包中，也没有涉及到累积和图的应用。鉴于此，作者对 累积和图( 主要是计数型累积和图) 的应用进行了研究，并结合目前先进的计 算机编程技术，开发了一个实用的累积和图应用程序，以取代部分手工计算和 绘图提高工作效率。 另外，本文也对累积和图的数学原理进行了理论研究和总结；对于国内外 计算计数型累积和图平均链长的理论和方法进行了总结，归纳出两种成熟的算 法，并编写了相应的计算机程序，从而使链长计算变得省时省力，为累积和控 制方案的选择提供了便利：在计算平均链长的基础上对累积和图与休哈特图进 行了比较，并推荐了对标准累积和的两种改进方法。 第2 页 基舄页 一一一 堡主堂垡堡奎 一 第一章曩积和图概论 本文准备展开讨论的这类累积和控制图( c 啪u j a d v es 啪c 0 n 的jc h a n s ，简 记为c u s u mc 1 l a n s 或c s c c ) 用于过程检验和过程控制，在图上绘制的是观 测值或其函数的累积和。b a l a r d 称这种绘制累积和的方法是对“经典方法的一 个根本改变”【2 4 】。通过追溯对最早的休哈特图的种种改进，可以揭示累积和图 与休哈特图的密切联系。 过程检验对于不同的人有不同的理解。p a g e l 2 ”认为，过程检验的主要目的 是提供信息，或者标明过程正按照指定方式运行，或者当过程偏离时迅速发出 警告以便采取行动。行动的方式可能有多种，它可以是纠正活动，也可能是对 质量恶化原因的分析调查。在许多应用中，要求检验信息能指示采取何种行动。 特殊地，可能要求检验信息给出已发生的偏离规定值的估计。如果始终根据这 样一种估计来调节过程，过程检验方案就象一个伺服系统在管理控制着过程， 于是方案就变成了过程控制方案。 除了这个主要目的，过程检验方案在检查过程历史方面也有重要应用。人 们希望根据过程信息能够及时迅速地识别故障以便查明其中的原因。另一方面， 对于任何明显的过程改善，过程信息也应该同样能引起人们的注意以便弄清其 中的原因。了解如何避免质量恶化以及如何维持过程改善都同样值得关注。尽 管人们通常把避免质量恶化作为主要目标，但是维持质量改善也同样重要。如 果过程信息的表现方法反映不出已发生的质量改善并能使之维持，这种方法也 难以让人接受。 早在上世纪2 0 年代，贝尔电话实验室就成立了以体哈特( w a s c h w a n ) 为 学术领导人的过程控制研究组以及以道奇( h f d o d g e ) 为学术领导人的产品控制 研究组。经过研究，休哈特提出了过程控制理论以及监控过程的工具一控制图。 世界上第一张控制图是在1 9 2 4 年5 月1 6 日提出的p 控制图。 在佩基( e s p a g e ) 于1 9 5 4 年提出累积和图的前三十年间川，用于过程检验 的控制图的类型基本上是休哈特提出的那一类，其间也有一些改进和完善。在 这些图上，每个样本的结果作为点子绘在图上，给出的规则也很容易理解和说 明在最初的休哈特图上提供了行动界限，当点子落在界限外面时，就需要采 取有助于过程改善的行动。很明显，根据这样的一个简单规则，样本被分成了 “好”或“坏”两类。落在行动界限内的点子被认为是“好”的，它表明过程 第3 页 共5 5 页 硕士学位论文 正常，并应保持连续，而不必特别注意或中断过程；而落在行动界限之外的点 子被认为是“坏”的，表示过程异常，并应采取纠正行动。对于这样一种过程 检验方案，使用的要点是在样本大小确定后决定行动界限位置，通常是采用3 盯 限作为其位置。例如，欲控制的过程目标均值为，当样本大小为n 时，则行动 界限为爿3 如。这意味着当过程均值保持不变时，样本均值落在行动限外 的概率为o 0 0 2 7 ，即平均经过3 7 0 个样本点子才有一个落到界外，这说明控制 图表现生产过程稳定状态的能力是很强的。休哈特图对于大量生产过程的控制 所做出的贡献无疑是巨大的，它也给其它不同领域的使用者带来了经济上的节 约。 实际应用中由于过程的特点和要求不周，控制界限在不同位置时产生的费 用和带来的经济收益也不同。因此3 盯限不应当成为教条，而应该根据具体情况 选择和调整控制界限。同时设计方案时也要考虑样本容量和抽样间隔时间，因 为它们对由于控制图的两类错误所造成的费用和损失都有影响。在规定的样本 容量和抽样间隔条件下，行动采取前已生产的产品数量与已检验的产品数量成 比例。 为了评估过程检验方案的统计特性，需要了解在检验规则发现质量恶化前 过程产出的分布情况，据此可以对任何具体的情形下所造成的费用进行详细的 研究，这无疑是麻烦的。但是如果对检验方案进行一般性的比较，简单一些的 标准更可取。这样的一仓标准便是平均链长( a v e r a g er ml e n g t h ，简记为a r l ) 函数。 定义：当质量特性保持不变时，过程检验方案的平均链长是从开始到显示 信号发生前的抽验样本数的期望值。显然，a r l 是质量参数口的函数。 当产品质量满意时，可以根据a r l 值对检验方案因给出错误警报( 即第一 类错误国造成的停工损失费用进行衡量。另一方面，对于一贯差的产品质量。 a r l 值是对由于未能及时报警( 即第二类错误) 导致纠正行动延迟从而产出不 合格产品数量的一个估计。 为改善检验方案的性能，对最初的休哈特方案进行了改进。当质量严重恶 化时，检验方案能迅速发出信号，对于任何轻微的然而持久的恶化，方案也应 该很快引起人们的注意。轻微的质量恶化在休哈特图上可能表现为一系列点子 持续偏离目标值，但不会越出控制限外。于是带警戒限的休哈特图被提出。警 戒限位于控制限内，一般是在2 盯限位置处。对于均值来说，警戒限为 1 9 6 n 。使用的规则为“如果最后胛个点子中有t 个点子落在警戒限和行 动限之间。就需要对过程进行调查”。和最初的休哈特方案相比，这种方案的平 均链长函数在图上要陡峭一些。还有些类型的规则利用了图上的一系列连续 第4 页 共”页 硕士一堂垡笙圣一 _ 一一一 点子的信息，提法为“如果图上的女个连续点子落在控制限外，则采取行动”。 相对于仅利用单个样本点子的规则，这一类规则有一定的优势，在实际应用中， 当检测大的变化时这类规则需要的样本数量少一些。较之利用单个样本点子的 规则，利用固定数目样本的规则在图上包含了更多的信息。在对休哈特图的改 进和发展中，人们自然想到了根据所有样本数据而不仅仅是其中的几个。 接下来的一步，在w a l d 提出用于假设检验的序贯方法后，便突破了决策时 仅考虑固定数目样本的限制。同时，人们希望方案能考虑点子在图形上的实际 位置而不仅仅是将其分类成落在图形上的哪一部分。累积和图确实具备了这些 特性。为了用最简单的方式来说明这点，仅考虑控制过程均值单侧偏移的情况。 实际中欲控制的情形可能是不合格品的比例，也或者是给定大小的样本的变化 范围。有时也需要了解质量改善的些情况，但是在此只考虑质量恶化的情形。 假定欲控制的总体均值目标为舫在检验过程中令顺次取得的样本值为一， 令品= 罗( 一世) ，以此为纵坐标，以样本数为横坐标绘图。此处k 是与有 百 关的一个“参考值“。对于高的质量水平，图形的轨迹是下降的( 或保持水平) ， 而当质量变坏时图形轨迹向上。在此，先取足= ，足值的选择将在后面的部分 进行讨论。自然，只需要每次把偏离参考值足的偏移量加到最后记录的点子上 去就行了。根据这张图，立刻便得到了样本均值的变化情况，而我们要做的也 仅仅是观察图上各样本点子之间连线的斜率变化情况。对于比目标值大的偏移， 霈要了解图上累积和轨迹何时发生了向上的转折。对此，最简单的行动规则是， “相对于前面的最低的样本点子，如果当前的样本点子高出某一固定值日，则 采取行动”。这样的规则考虑到了偏移量的大小，而且也使得总体均值最近的变 化趋势变得清楚、明显。 1 2 曩积和控制图 实际中，累积和图的使用和一般控制图的使用方式非常相似，所不同的只 是所采用的规则以及在图上的可视化表现形式。在纸上绘制累积和时，如果不 能选择适当的作图方法，就有可能造成纸的浪费，同时也会给作圈带来不便。 对于单侧累积和图，这个问题可以简单避免。假设欲检测的是过程参数( 比如 均值) 正向的偏移。在图上绘制& = ( 一k ) ，则如果过程均值超过k 值 扣l 累积和晶在图上的轨迹是向上的。对于任何负方向的增加值，即z 一k 0 ，以 及图上累积和轨迹向下的部分，几乎不会对过程均值的增加发出指示信号。所 以只要累积和轨迹保持向下的趋势，便可以对过程均值满意，而这时实际上是 第5 页共5 5 页 硕士学位论文 没有必要使累积和变成越来越大的负数。如果最初的累积和爵= o ，只要晶是正 值便把它绘在图上，并当& 超过某一值日时便采取行动，而当& 0 时，则在 零处重新开始新的累积和。这种绘制累积和的规则与重复应用w 甜d 序贯检验的 规则等效。其中每个w a j d 检验的两侧界限分别为o 和圩，且其开始点总是 在接收边界处。重复应用此序贯检验，直到在上边界处结束并采取合适的行动。 另一个要确定的值是日。当累积和轨迹超过此值时便需要采取行动。如果 过程在目标状态下以及所有可能的偏离状态下的统计模型是已知的，那么就能 够从数学上导出h 的最优值。实际中完全了解过程所有状态的情况是很少见的， 作为替代，如果不能确定h 的最佳值，找出比较满意的日值也就可以了。当然， 一个值肯定满足不了各种应用需要，可以根据平均链长函数来确定适当的方 案。例如，当过程受控且各样本独立，3 盯限的休哈特图的平均链长为3 7 0 ，这 相应于平均每经过3 7 0 个样本过程才发生一次不必要的中断。 用于检验双侧偏移的累积和图需要考虑过程在向上或向下两个方向的偏 移。p a g c 1 最初建议同时应用两个单侧方案，个检测过程向上的偏移，另一 个检测过程向下的偏移，但是在计算平均链长时有不小的困难。b a i l a r d 提出了 v 形模板方案。 m 把累积和蜀= ( 而一k ) 绘在图上，在图上放置一角度为2 口的v 形模板， 百 其顶点距目前的点子距离为d ，并使模板的轴保持水平。如果图上所有的累积 和轨迹都是可见的。则保持过程连续而没有必要中断它。如果部分累积和轨迹 在模板的下边界处消失，则意味着过程均值是下降的并低于目标值。两个参数 口和d 给出了模板的形状和位置，通过选择口值、d 值，可以得到需要的方案。 累积和图比一般的休哈特图敏感得多。特别是对于过程中等程度的偏移。 例如，对于当过程保持其目标值时a r l 值相同的累积和方案与休哈特方案，在 过程偏离其目标值一倍标准偏差左右时。累积和方案的a r l 值可以达到休哈特 方案的四分之一1 2 ”。对于需要精密控制的过程，这种敏感性是一个优点：但是 对于那些允许小的偏移存在的过程，这种敏感便成了缺点。关于累积和图的优 缺点将在后面的部分进一步讨论。 第6 页 麸鲐页 堡主兰堡笙塞 第二章累积和图构造和使用的数学原理 休哈特控制图对大偏移的检出力很高，比如当过程均值偏移3 盯时，平均 只需2 个点子就可发出失控信号。但休哈特图对小偏移的检出力却很低，比如 当过程均值偏移1 仃时，平均要4 4 个点子才能发出失控信号。为了克服这一缺 点，p a g e ( 1 9 5 4 ) 1 2 1 1 设计出了一种累积和控制图。累积和图利用了历次数据的累 积效应所以对过程均值的小偏移比较敏感。使用累积和图可以迅速检出过程 异常，确定偏移大小和找到发生变异的位置。适于监控过程突然变化和对过程 进行精密控制。本章将对均值累积和图、二项变量累积和图和泊松累积和图的 构造和使用的数学原理逐一介绍口”。 2 1累积和控制图基本方法 实际中使用累积和技术有两种方法：v 形模板法及列表法。分别建立在下 面两种判定规则之上。 ( 1 ) ，一7 日+ 肌f 及0 r 力一日一m f ( 2 ) ，一k ) 日及p ，一托) 一日 这里z 为样本序列( 卢l ，2 ，聊) ，丁为目标值，为模板法及列表法 的判定距，f 为v 形模板臂的斜率，k 、局为列表法的参考值，k = r + f ，局2 r f 。 2 1 1v 形模板法 设过程质量特性x n ( 弘一) 。依此取得的大小为 的样本的均值为x ，t f = 1 ， 2 ，。显然，孑，n ( 舫竺：) 。要求监控过程均值的变化，希望稳定在 ” 目标值肺附近。当由肺偏移到“= 肌+ 占盯i 时，控制图能尽快发出失控信 号。 累积和图中的横轴表示样本序号m ，纵轴表示控制变量( 如样本均值) 与 目标值的偏差的累积和： 第7 页共 页 堡主堂篁堡塞 一 晶= ( 石一鳓) 将点，晶) 描在图上，即得累积和的轨迹。易见，当过程围绕目标值风 波动时，轨迹应与水平线风基本重合；当过程呈正偏移时，轨迹会向上倾斜： 反之向下倾斜。 如何对过程作出判断? 累积和图没有固定的控制限，而是使用一种v 形模 板。v 形模板的形状由两介参数d 、口决定，如图2 1 所示。d 称为前置距离， 表示v 形模板基点p 至顶点o 之间的样本数；口称为v 形半角，表示模板两 边之间夹角的一半。d 、口按下列公式计算： 拈署t 细”僖鲁 ：卜 一 册i o x ： 、 v i d 口r 、 ；”，夕7 ，7 7 l 图2 1 其中，口为第一类错误概率，6 盯i 为可允许的临界偏移量，a 2 口盯i 为尺度因子， 表示横轴上一个刻度相当于纵轴上a 个刻度，通常a 取l 盯亨至2 仃孑之间的值。 v 形模板的形状也可用另外两个参数、k 决定。称为判定距，k 称为 参考值，按下列公式计算 h 2 手肛等 易见，两组参数之间存在如下关系： = 珊t g 口，k = a t g 口 由参数d 、护的值，可作出v 形模板。为简单计，利用从k 来构造。在 第8 页共5 5 页 硕士学位论文 图2 1 坐标系中，于横轴上任取1 0 个样本间隔长的一个线段，线段两端分别作 垂线，左边垂线的上、下各截取长日+ l o k 得u 、l 两点，右边垂线的上、 下各截取长得u 、l 两点，连接u 、l + 和u 、l ，则u u l l 。即为所要的v 形模板截口。使用时常用透明材料将所画图形制成专用模板。 判断过程的方法为：将v 形模板置于图上，使模板的基点p 与刚画出的点 渤，) 重合。如果以前所描各点中有点碰上或超出v 形模板，则判断过程 出现异常。碰上或超出边界的点( ，& ) 可能是过程发生变化的起点。在这一间 隔内，过程均值的估计值为： 二：胁十墅曼 ，竹一r 2 1 2 列表计算法 这里需要计算两个累积和： s 。= ( 石一足。) ，s 神，= ( 石一足：) 其中，j ( ，= 肺+ k ，局= 胁k 。用来发现向上的偏移，晶也用来发现向 下的偏移。这两个和可列表依次计算。但需注意，当& 。 o 时，要令其为零。将& 和吒的绝对值和作比较：当i 黑i 圩 时，便判断过程有了向上的偏移：当1 瓯。1 日时，则判断过程出现了向下偏 移。 2 2 序贯概率比检验 累积和图的理论基于近代序贯分析原理。序贯概率比检验( t h es e q u e n t i a l p r o b a b i l i t vr a t i ot e s t ，简记为s p r - t ) 是w a i d 于1 9 4 7 年提出的，它被用于许多 统计问题。为说明s p r t 如何用于累积和图，在此对s p r t 作简单介绍。 为判别变量x 分布的两种假设h 0 、h 。，设x 。，为一组随机样本， 当h ，或h 。为真时观测到x ，而，靠的概率的似然比( 比值l 。几。) ( j ) 如果l 。l m ( 卜回，则接受h 0 ( i i ) 如果l 。l 。卅( 卜肋口，则接受h 。 ( i i i ) 如果( 卜a ) 0 ) 进行判别，则情况会更加复 杂。加m i t a g e 提出了一套可操作的方法来实现这种判别，即近似应用两个序 贯概率比检验，一个判别h 。和h 。，另一个判别 1 。和h 掣 第1 0 页共5 5 页 硕士学位论文 图2 3 表示了在节的情况下联合检验的图形界限。 喜只1 k 7 h t 夕 接受h 。 p 一_ 8 一， k d 争 图2 3 序贯概率比检验图 2 3 均值的累积和控制图 2 3 1 原理 如果要控制的过程质量特性值为正态变量，要求检验过程均值由硒移位到 “= 硒+ 巧矗( 万 o ) 的改变。设该变量分布的标准偏差盯为已知。令样本大小 为一，顺序取得的样本均值为工，( f = 1 ，小) 。 令 o ；= d | 。6 j = 6 熟知x 的密度函数为 瓜= 去e 专。川2 h 对h 。的似然比 第1 l 页 共5 5 页 堡主兰垡笙苎一 ：e x p f - 击芝晡一风一占盯；) 2 一( ；，一心) 2 】) l o z 仃：= l 坐 a 旷占叫2 _ ( _ 确) 2 】 l n 警 简化司得 一嘉喜万嘶嗍一扣妒n 半 圭和确一扣炉砉n 半 若将去j 。巳项移到右边，可得 圭静嗍，手- n 半+ 扣 故检验过程均值的决策准则为： 若 圭缸嘶一扣炉古n 半 成立，则认为过程异常已经发生。 或者，若 圭和确，专n 半+ 扣 成立，则认为过程异常已经发生。 公式( 2 6 ) 决策准则可用( _ ，一k ) 的累积和来表达， 令 品2 0 聍考善o t ) 那么公式( 2 6 ) 可改写为： f 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 第1 2 页共5 5 页 硕主堂篁笙壅一 _ _ _ _ 一 一 若 配丢l n 坐 ( 2 8 ) 成立，则认为过程异常已经发生，此即为应用列表法的决策规则。 此时检验方案参数为： k = “o + 去6 j d ； ：土l n 坐 6口 公式( 2 7 ) 决策准则可用( z 一心) 的累积和来表达， 令 蜀= 0 圭扣嗍， 那么公式( 2 7 ) 可改写为： 若 爵+ 手h 警+ 扣 q 母 成立，则认为过程异常已经发生，此即为应用v 形模板下界限的决策准则，如 图2 4 所示。 o 图2 4v 形模板下界限示图 模板检验方案的参数口，d 的公式是： 因为 t a l l 口；三j 1 ，t a i l 曰：h j 2 ：三l n 业 d 圳鼬目旁n 警 第1 3 页 共5 5 页 堡圭堂堡垒壅 口= a r c 恤( 引 由于l i l 生竺，当一o 则l n 上竺兰：一1 n 口。 口 口 足= 。+ 圭万仃； ：一三l n 口 万 扣砉眦 护= 一( 引 所以给定口，占，硒，盯：， ( 2 1 0 ) ( 21 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 若给定口值以及要检验的过程异常时的移位量如j 按公式( 2 一l1 ) 、( 2 1 2 ) 、 ( 2 1 3 ) 可得，d ，口之对应值，其中足可由公式( 2 1 0 ) 直接计算得到。 若要控制过程均值的向下移位，即要检验出的过程异常水平为 一。= 。一曲，可令6 = 一占，l ，代入公式( 2 - 8 ) 、( 2 9 ) ，同样可得相应的决策 准则及检验方案的参数。 2 3 2 累积和图尺度系数 公式( 2 1 2 ) 、( 2 1 3 ) 给出了模板的尺寸。此类模板水平与垂直的单位刻度 相同。然而，如果垂直尺度改变或累积和不被盯= 除，则角度口必须进行相应 的改变，前置距离d 不会改变。图2 5 演示了此种情况下的三种情形，即 ( a ) 州，具有同样的单位坐标尺度 最2 妄善( - ，一风) ( b ) 肌，瓯的比例尺度为a 个单位的纵坐标等于一个单位的横坐标 ( c ) m ，y 。的比例尺度为a 个单位的纵坐标相当于一个单位的横坐标，此处 y 。= ( ；，一硒) 实际中更常使用的是( c ) 所表示的尺度。三种情形下的模板尺寸公式及各自的图 形如下。 第1 4 页 共5 5 页 堡一主堂堡堡壅- _ 一 瓦 3 2 1 o d ：一冬l n 口 万。 口= a r c t n ( 2 ) 社拉嘉l 眦 目= a r c 恤( t 2 a ) 图2 5 均值累积和图的尺度系数 2 4 二项变量的累积和控制图 2 4 1 样本容量为l 时的累积和图 小扣舌l n 口 口+ = 8 r c 协( 2 ) ( b ) 在标准p 圈上所绘点子的纵坐标通常被看作是二项分布变量的观测值。假 定，；( j = 1 ，2 ，) 是独立随机变量，当样本容量为1 时其分布为 尸，扭j - i - ，户，k 产o ) = l p ( o 1 ) 对比假设h 。：p = j 口。和h 。：p ：p t ( 冲一、) ，s p r t 的继续检验区为 第1 5 页共”页 2窆 硕主堂垡堡苎 一一 ( 2 1 4 ) n 半 缸n 器瑞圳n 鲁“半 江 所以，如果绘点渤，晶) ，瓯2 ， 式 l n 上卫+ m l n 生生 踮者 p o ( 1 一a ) 继续检验区和接受h 区之间的界线有等 ( 2 1 6 ) l n 生生 州盎 1 7 ) p o ( 1 一p i ) 成立，则认为过程异常发生。此即为使用v 形模板的二项变量累积和图决策准 则，模板参数为 l n 坐 赤乓 l n 塑g l a 口= a “岫 l n 生丛 l a l n 鱼! ! 二! ! ! p 0 ( 1 一a ) 式( 2 一1 7 ) 决策准则可用( z ，一女) 来表达。将式( 2 - 1 7 ) 改写为 ；j 1 n 饕l n 业 缸一盎净壶益 ( 2 1 8 ) 第1 6 页共5 5 页 半 严糕 盟麻m 。 生川 堡主堂堡鲨茎 一一 _ - _ _ _ ，_ _ 一一 此即为固定判定界限累积和图决策准则。其中参考值k = h ! 尘 l p l 疆正面 风( 1 一p i ) 决策区 l n l 丝 间肛豳 p o ( 1 一p i ) 当夕一o ，l n l 竺圭一l n 口。所以给定d ，n ，p 。，上面的检验方案参数相 应的变为： 一f 羲 胙矗 l n 旦! ! ! 旦! p o ( 1 一p 1 ) l n 生生 胎蠢盏 p o ( 1 一p i ) 如果需要进行双侧检验，可用类似的方式构造累积和图的参数。 2 4 2 样本容量为时的累积和图 在样本容量为l 的情况下二项变量的v 形模板无须专门的尺度因子。但是 在许多情况下，样本的容量并不为l 。例如，可以取样本的大小为，则样本 2 中的不合格品数为。图上所绘的点子将变为( ，一) ，( 2 ，) ，。 i+ i 注意，样本大小不必完全一致此时横坐标上各样本间长度不等。 如果样本大小为 ，令而为顺序取得的样本中的不合格品数，则 第1 7 页 共5 5 页 堡主堂垡堡壅 p ，( 肛x ) - c 0 p - ( 1 一尸) ”一 ( 0 p 1 ) 对比假设阶p = p 。和h | ：p = p ( 徊”) s p r t 的继续检验区为 卫 n 卜口j 盟区! 上耻= ： c ：蔚( 1 一胁) ” 。坐 口 ( 2 1 9 ) n 半 胁) ，s p i 玎的继续检验区为 鲁“帅l - 鼻t 钞 半 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 竺叁竖! ! 二竺争“竺兰：竺二型 ( 2 - ：6 ) l i 一l 芦o ) 智l n ( i ，o ) 所以，如果在图上画点锄，晶) ，最= ，则继续检验区和接受h 区之 ，一l l 。业 。而南+ 彘赫肌 q 之7 1 一 若轮高高+ 爵斋朋 协：s ， 成立，则认为过程异常发生，此即为使用v 形模板的累积和图决策准则。模板 l n ! 二卫 d ：盟一 l 一硒 口：a r c t 鲫r 丝二丝_ 1 、l n ( “，风) 式( 2 - 2 8 ) 决策准则可用善( _ 一七) 来表达。将式( 2 - 2 8 ) 移项后改写为 黔端，蒜 ( 2 2 9 ) 第2 0 页共 页 堡圭兰垡堡塞 一 _ _ i _ _ _ _ _ _ 一一 l n 业 令肛j 生丑，胙- ，此即为有固定判定界限的累积和图决策准则。 i n ( 1 o )l n ( 声i o ) 由于l n 业，当一o ，则l 。l 竺圭一l n 口。所以给定a ，胁，m ，上面的 口 a 检验方案参数相应的变为： d ：二垫竺 f 一胁 缸a r c 锄c 意志， h ： 二! 呈竺 i n ( “，胁) 足= 些二丝 l n ( p 。，地) 如果需要进行双侧检验，可用类似的方式构造累积和图的参数。 在泊松变量的v 形模板控制方案中，累积和图的横、纵坐标具有相等的刻 度，因而无须专门的尺度因子。 第2 l 页共5 5 页 避主望堡鲨塞一 _ p _ _ 一一 第三章平均链长的计算 对于过程检验方案来说，平均链长曲线是对其有效性的一个非常有意义的 描述方式。体哈特类控制图，如p 图、c 图、并图等其平均链长值的计算并不 十分困滩。佩是确定累积和图的平均链长曲线并不怒一件简单的事情。对于连 续变量，利用计算机求解积分方程或通过仿真，可以得至0 舢u 值。本章将对离 教变量( 圭要是二项、溶松嶷蠢) 豹累积帮方案豹平均镶长计算作介绍鞫分辑。 计数型累积和图平均链长的计算寅嚣抛比较成熟的算法，一种是把检验方案番 作w a j d 序贯概率比检验的序列，通过对其分析得到积分方程，并将其转化为一 组线性代数方程从而用精确解法求褥方稔组的解，该法可以称为“经典法”。 袭辫懿椽准( 港4 s 9 7 8 5 就是稻魏法计算了标准中所提 供的数表；另秽是马尔可夫链方法，该法把梭验方案饕作一个马尔可夫键， 获得链的转移概率矩阵后可以用矩阵的属性来确定所选方案的链长、链长分布 的矩和酉分位点以及链长的精确概率值。经过分析，作者认为马尔可夫链方法 与“经癸法”在本矮上楚穗潮的，运算结莱也证裙7 这一点。褶对予“经蕻法“， 马尔可夫链法能够比较枣易她提供所逡方案的受详缨