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非线性数学期望的性质 摘要 自然科学和社会科学中存在着很多不确定现象不能用线性数学 期望来精确描述的。例如经济理论中如何度量不确定环境下人们的偏 好问题，最常用的方法是期望效用法，但是自从a l l a i s 悖论和e l l s b e r g 悖论提出后，期望效用方法受到了有力的挑战，而数学期望的线性性 是导致悖论的重要原因之一。研究者们尝试使用非线性数学期望来处 理这些问题。 从上世纪9 0 年代开始，基于倒向微分方程的g 期望及其相关性 质得到了广大的发展，解决了各个领域的很多现实问题。在金融经济 学中已有的一个著名模型正好就是一个倒向随机微分方程，而获诺贝 尔经济学奖的b l a c k - s c h o i c s 公式则是这个方程的解。这个公式每天 都被用来计算数十亿乃至数百亿美元的风险金融资产的价格，而关于 倒向微分方程以及g - 期望的理论研究成果可以用来求解更一般和更 复杂的情况下的风险金融资产价格，目前已被公认为研究金融市场的 衍生证券定价理论的基础工具。 本文介绍了适用于动态模型的非线性条件数学期望已有的一些 性质，如生成元g 满足超齐次可加性时，g 一期望满足j e n s e n 不等式、 f 一期望“】满足超齐次性并且满足常数可加性时，f - 期望也满足j e n s e n 不等式；生成元g 满足关于z 是线性的或者g - 期望是共单调可加时， g 一期望可以表示成c h o q u e t 积分的形式。 另外还独立地讨论了条件f 期望的共单调可加性。 j i a n g ( 2 0 0 6 【1 9 】) 讨论了当g 一期望满足共单调可加性以及次( 超) 可加 性时，条件g 期望也满足共单调可加性。本文简化了该定理的证明， 并且将此性质推广到更一般的条件f 期望中去，证明了当f 期望满 足共单调可加性以及次( 超) 可加性时，条件f 期望也满足共单调可 加性。该性质在金融市场有实际的应用，体现了未定权益初始价格满 足一定条件时，可以得到到期日之前的任何时刻仍然有此关系。同时 本论文还对w a n g ( 2 0 0 0 ， 3 0 1 ) q h 所定义的风险贴现值h ( x ，口) 提出定义 条件期望的新想法。 关键词：g - 期望，条件g 一期望，f 一期望，条件f 一期望，共单调可加性。 c h a r a c t e r so fn o n - l i n e a re x p e c t a t i o n a b s t r a c t t h e r ea r em a n yu n c e r t a i n t i e si nn a t u r es o c i e t ya n ds o c i a ls o c i e t yt h a t c a n tb em e a s u r e db yl i n e a re x p e c t a t i o n s u c ha sh o wt om e a s u r ep e o p l e s p r e f e r e n c ei nu n c e r t a i ne n v i r o n m e n t ，ac o m m o nm e t h o di su s i n gu t i l i t y f u n c t i o n b u t 勰a l l a l sd i s o b l i g ea n de l l s d e r gd i s o b l i g ew e r er a i s e d t h i s m e t h o dw a sc h a l l e n g e d l i n e a r i t yo fc l a s s i ce x p e c t a t i o nw a so n eo fm o s t i m p o r t a n tr e a s o no ft h e s ed i s o b l i g e s s oe x p e r t st r i e dt od e a lw i t ht h e s e p r o b l e m sw i t hn o n l i n e a re x p e c t a t i o n f r o m9 0 sl a s tc e n t u r y , g - e x p e c t a t i o nb a s e do nb s d ea n di t sc h a r a c t e r s h a db e e nd e v e l o p e dq u i c k l y ，t h e s er e s u l t ss o l v e dm a n yq u e s t i o n si n d i f f e r e n tf i e l d s af a m o u sm o d e li nf i n a n c i a lc a l l e db l a c k s c h o i e sf o r m u l a i st h ea n s w e ro fab s d e i tw a sv e r yi m p o r t a n ti na s s e sp r i c i n g ，a n dw a s u s e df o rc a l c u l a t i n gt h ep r i c eo fa s s e t s a n dg - e x p e c t a t i o nb a s e do n b s d ea n di t sc h a r a c t e r sa r eu s e dm o r ew i d e l y t h i sa r t i c l ei n t r o d u c e st h ec h a r a c t e r so fc o n d i t i o ne x p e c t a t i o nw h i c h w a su s e df o rd y n a m i cm o d e l s s u c ha s ，w h e ngi ss u p e r h o m o g e n e o u s g - e x p e c t a t i o n s a t i s f i e sj e n s e n s i n e q u a l i t y ；w h e nf - e x p e c t a t i o n i s s u p e r h o m o g e n e o u sa n dc o n s t a n ta d d i t i v e , f e x p e c t a t i o ns a t i s f i e sj e n s e n s i n e q u a l i t yt o o ；w h e ngi sl i n e a rw i t hz o r s a t i s f i e st h ep r o p e r t yo f c o m o n o t i c a d d i t i v i t y , g e x p e c t a t i o n c a nb e r e p r e s e n t e db yc h o q u e t i n t e g r a l i na d d i t i o n ，t h i sa r t i c l ed i c u s s e dc o n d i t i o nf e x p e c t a t i o n sp r o p e r t yo f c o m o n o t i c a d d i t i v i t y j i a n g ( 2 0 0 6 ， 1 9 】) h a sp r o v e d t h a tc o n d i t i o n g - e x p e c t a t i o n s a t i s f i e st h ep r o p e r t yo fc o m o n o t i ca d d i t i v i t yw h e n g - e x p e c t a t i o n s a t i s f i e st h es a m e p r o p e r t y a n di ss u b a d d i t i v eo r s u p e r s d d i t i v e i nt h i sa r t i c l e ，ir e d u c et h ep r o o f o f t h et h e o r e m a n de x t e n d i tt oc o n d i t i o nf - e x p e c t a t i o n ，p r o v et h a tc o n d i t i o nf - e x p e c t a t i o ns a t i s f i e s t h ep r o p e r t yo fc o m o n o t i ca d d i t i v i t yw h e nf e x p e c t a t i o ns a t i s f i e st h e s a m ep r o p e r t yo fa n di ss u b a d d i t i v eo rs u p e r s d d i t i v e t h i sp r o p e r t yi s u s e f u li nf i n a n c i a l i tm e a n st h ep r i c e so fc o n t i n g e n tc l a i ms a t i s f yt h e p r o p e r t ya tt i m etb e f o r etw h e nt h e ys a t i s f yt h ep r o p e r t ya tt i m e0 i n a d d i t i o nt h i sa r t i c l er a i s e san e wi d e aa b o u td e f i n i n gc o n d i t i o n e x p e c t a t i o no f r i s kp r e m i u mh ( x ，口) d e f i n e di nw a n g ( 2 0 0 0 ，【3 0 】) k e y w o r d s ：g - e x p e c t a t i o n ，c o n d i t i o ng - e x p e c t a t i o n ，f - e x p e c t a t i o n ， c o n d i t i o nf - e x p e c t a t i o n ，c o m o n o t i ca d d i t i v i t y 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京邮电大学或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：礁冶楚 本人签名： 避冶煎日期：型2 ：三丛 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即： 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学。学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借 阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 本人签名： 导师签名： 日期：砬芝。f e l 期：竺! z ：主：正 第一章绪论 第一章绪论 1 1非线性数学期望提出的背景 线性数学期望在自然科学、社会科学以及生命科学等领域中有着广泛的应 用，可以说到目前为止，对不确定现象( 特别是随即现象) 的基本研究都是以线 性数学期望作为基本的工具。但是，随着科学的发展，人们也发现自然科学和社 会科学中很多不确定现象( 这些现象的特点是人们视线无法预知其概率分布，这 种现象称为模糊现象) 是不能用线性数学期望来精确描述的，这反映在一些不具 有可加性或者不具有重复性的不确定现象。对于这类不确定现象，人们是很难用 具有可加性的数学期望来描述的。 例如经济理论中有一个重要的课题：如何度量不确定环境下人们的偏好问 题，最常用的方法是v o n n e u m a n n 提出的期望效用( e x p e c t e du t i l i t y ) 法。但是 自从著名的a l l a i s 悖论和e l l s b e r g 悖论提出后，v o n n e u m a n n 的期望效用方法受 到了有力的挑战，而经济学家发现数学期望的线性性是导致a l l a i s 悖论和 e l l s b e r g 的重要原因之一，因为v o n n e u m a n n 的期望效用方法无法度量人们的不 确定厌恶。另外，实验证明：物理学中波能的传播和量子力学中有些能量的传播 不具有可加性。正是基于以上原因，经济学家们正在寻找一种既能保持经典数学 期望的某些性质又能反映不确定厌恶的数学工具来描述偏好问题，一些学者试图 使用非线性数学期望来处理一些问题。 近年来，对这一课题的研究已经取得一些进展。经济学家们发现用容度 ( c a p a c i t y ) 定义的期望效用( c a p a c i t ye x p e c t e du t i l i t y ) 可以解释a l l a i s 悖论和 e l l s b e r g 悖论，并且用它可以度量人们的某些不确定厌恶。然而，如何用容度定 义条件容度期望( c o n d i t i o n a lc a p a c i t ye x p e c t a t i o n ) 是当前摆在经济学家面前的 一大难题，这个难题的存在使得用容度定义的容度期望效用函数无法用来描述动 态经济模型。这些研究基本上局限于静态，没有解决动态相容的问题，所以得到 的结果远不能与线性情况相媲美。 1 2 g - 期望的提出、发展和应用 p e n g ( 1 9 9 7 ，【6 】) 首次引入一般意义下的动态相容性的非线性期望，彭称它为 g 期望，该期望基于倒向随机微分方程( b s d e ) 。倒向随机微分方程解决了现 第一章绪论 实社会中存在的一类问题，即在随机或不确定的环境里如何使系统达到一个预期 将要实现的目标? 为达到此目标需要具备什么样的条件? 应该采取什么样的策 略? 如何建立该类问题的数学模型? 1 9 9 0 年，我国数学家彭实戈和法国学者p a r d o u x 发表了“倒向随机微分方 程的适应解”一文，提出了倒向随机微分方程的一般形式并证明了作为理论基础 的“解的存在唯一性定理”。在金融经济学中已有的一个著名模型正好就是一个 倒向随机微分方程，而获诺贝尔经济学奖的b l a c k s c h o i c s 公式则是这个方程的 解。这个公式每天都被用来计算数十亿乃至数百亿美元的风险金融资产的价格， 而关于倒向微分方程以及g 期望的理论研究成果可以用来求解更一般和更复杂 的情况下的风险金融资产价格，目前已被公认为研究金融市场的衍生证券定价理 论的基础工具。 彭所定义的g 期望保持了经典数学期望除了线性性外的几乎一切性质。以 g 期望为基础，还相应地引入条件g 期望和g 鞅的概念。自从g 期望的概念 提出以来，l e n g ( 1 9 9 7 ，【6 】) 、p e n g ( 2 0 0 3 ，【8 】) 、p e n g ( 2 0 0 3 ，【8 】) 、j c h e n ( 1 9 9 9 ，【2 4 】) ， l j i a n g ( 2 0 0 4 ， 2 3 1 ) 等研究了g 一期望的很多性质，并得到了很多有趣的结果。例如： y h u ( 2 0 0 5 ， 1 7 】) 讨论了g - 期望的j e n s e n 不等式关于一元函数成立的充分必要条 件是生成元g 满足超齐次性；白山，江龙等人在1 2 2 中对具有共单调可加性的g 期望进行研究，并得到了生成元g 的许多重要性质；l j i a n g ( 2 0 0 6 ，【1 9 】) 论证了 g - 期望具有共单调可加性以及次( 超) 可加性时，条件g 期望也具有共单调可加 性；zc h e r t ( 2 0 0 2 ， 2 0 】) 讨论了在生成元g 满足关于z 是线性的情况下，争期望可 以表示成c h o q u e t 积分的形式。e r o s a z z a ( 2 0 0 6 ， 2 5 1 ) 描述了用g - 期望来度量不确 定风险。 这些非线性期望的研究结果不仅为非线性随机分析的建立奠定了基础，而 且也为经济理论的研究提供了强有力的工具。其在定义不确定条件下的效用函数 和不完备金融市场中未定权益定价方面有重要的应用。 1 3一般的非线性数学期望 基于g 一期望有很多很好的性质，可是这些性质一般都对生成元g 有一定的 要求，对于不确定现象的度量要求能定义出更一股的非线性数学期望。目前一般 非线性数学期望的一般定义就是一个保单调性和保常性的算子。 在一般的假设条件下，c o q u e t 等( 2 0 0 2 ，【4 】) 引入f 一期望和条件f - 期望的概 念，得到f 期望的一些基本性质。在布朗运动完备自然流下，p e n g ( 1 9 9 7 ，【6 】) 引入的g - 期望，就是一类典型的f ) _ 期望。对于g - 期望已有的一些性质，研究者 们考虑用类似的方法推广到f 期望中。y h u ( 2 0 0 5 ，【1 7 】) 讨论了f - 期望s 【】满足超 齐次性并且满足常数可加性时，f 期望满足j e n s e n 不等式，比g 期望多满足常 数可加性条件。本文参考j i a n g ( 2 0 0 6 ，( 1 9 】) 所讨论的争期望的共单调可加性，在简 化证明的基础上，将该定理推广到更一般条件f 期望中去，证明了当f 期望满 第一章绪论 足共单调可加性以及次( 超) 可加性时，条件f 期望也满足共单调可加性。 目前，一般非线性数学期望的理论研究就还在初始阶段，还有很多性质尚 待研究。 第二章基本理论 第二章基本理论 2 1 g 期望的一些基本概念 为了讨论问题的方便，我们作如下假设： 设 w 。) 。是定义在概率空间( g f ， f t ) 。，p ) 上的标准布朗运动，其中，f t 是 由布朗运动生成的流： f t # 仃 w 。：s 【0 ，t 】 v n ，0 t t 其中n 是f l 零测集，t o 是给定的实数。 本文概率空间总取做( q f t ，p ) ，考虑的过程时间t a o ，t 】。对于任意的 0 t t ，令l 2 r ( q ，f t ，p ) 表示e 一可测空间，使得幔) 。玎可测随机过程矿满足 e r i 2 ( s ) | d s o ，v y l ，y 2 r ，z l ，z 2 r d ， i g ( t ，y i ，z 1 ) 一g ( y 2 ，z 2 ) 喀c o i y l y 2 i + iz l z 2 l 第二章基本理论 通过下面的例子可以看一下g - 期望的非线性性。 例2 1 1 如果f l 2 ( q ，f t ，p ) ，g ( y ，z t ) = 。iz l ，其中：弘。) 在【0 ，叼上连续，则 ( i ) g - 期望占。【翱： i e 善】，= 0 厶 f 】= i i l f q e r e 【f 】， 0 ( i i ) 条件g - 期望： i e 【f if t 】，声= 0 巳【引f t 】= e s s i n f 啦p e l fif , i ，a 0 ( i i i ) g - 概率： l p ( a ) ，= 0 l 【a 】= e s s i n f o , p q ， 0 【e s s s u p q e p q ， 磊) 0 ，则有 占。 石】 叫彘】 性质3 1 2 ( i ) 如果善是f 可测的，则毛【善if i 】- 善； ( i i ) 占。 占。 f lf t 】= f 】； ( i i i ) 对任意固定时间f 和盯t ，有占g 占g 孝if f 】i 巳 = 占g 孝if f 。】； ( i v ) 如果磊参，a s ，则有毛畴lf t 】毛【彘lf t 】； 若另外还满足p 皤 参) o ，则p ( 气 参lf i 】 f 。【彘lf t 】) 0 ； ( v ) 对于任意b 仨f t ，f 。【孝1 ef t l = l e s 。【善if t 】。 引理3 1 1 ( 比较定理) 设y t ，一y 。l 2 ( q ，f t ，p ) ，g ，；满足方程( 2 1 1 ) ，如果 ( y 。，z 。) ，( - 。，三。) ，t 【o ，t 】分别是下列两个b s d e 的解 堑章g - 期望以及条件g - 期望 y。=y。+f，z。)(1sfdby g ( sy z f l b 。，t 【o t 】 t = y t + j，z 。) ( 1 s j 1 。，【o t 】 一y。=一t+f虱s，-i，三。)ds一z,dby y z , d b 。，t 【o t 】t 2 t + jg ( s ，y i ，z - ) d s 一 。，【o t 】 ( i ) 如果y t _ t ，g ( s ，y 。，z 。) 虱s ，一y 。，一z 。) ，a s ，a c 则有y t ；。，a ，a c 。 ( i i ) 进一步地，如果假设p m i t ) o ，那么p 饥 歹。) o ，特别地y 。 - o 。 性质( 3 1 3 3 1 4 ) 源于c o q u e t ( 2 0 0 2 ，【4 】) 。 性质3 1 3 若函数g ( m ，t , y , z ) ：f 2 x 0 , t x r x r 4h r 满足方程( 2 1 1 ) ，则对于 0 s 善1 ，对任意随机变量x l 2 c q f t ，p ) 存在常数c ，满足下式： i 毛【x 】阵c ，| i x 证明：可由g i r s 枷v 定理证得。 将占。【x 】表示成倒向随机微分方程解的形式，即 毛 x l = y 。= x + r g ( s ，y ：，z 。) d s r z , d b 。 = x r z , d w , 其中 w t = - j 半桃 根据g i r s a n o v 定理，w 是q - 布朗运动，q 是( q f t ，p ) 上的概率侧度定义如下： l # 石d q = e x p f 掣a s 一扣半1 2 蛾 因为l 是l q d 0 0 ，由h o l d e r 不等式可知 l 钳x 】i _ i e q ( x ) i - i e ( l x ) i 刮圳丝i i x k 结论得证。 引理3 1 2 若函数g ( ，t ，y ，z ) ：f l x 0 , t x r x r 。卜r 满足方程( 2 1 1 ) ，则 巳睹+ ，7 if l 】- 占g 曙i f , l + e ，r l 2 ( q ，f t ，p ) 第三章g - 期望以及条件g - 期望 当且仅当g 与y 不相关。 上述引理的证明详见b r i a n d ( 2 0 0 0 ，【2 】) 。 当g = fz l 时，我们令9 4 【x 】；s 。i x ，当g = 一z iz i 时，我们令 占一9 x l ；s 。 x l 。有 v c o ，占” c x if t 】_ c 占4 i x if t 】 v c ) 占。【善】+ 巳【叩】，善，7 l 2 ( 【x f t ，p ) 那么，毛【1f t 】也满足次( 超) 可加性，t i p v t 【o ，t 】 巳瞪+ 叩if t 】s ( 萄巳醋ff i j + 印f e 】，参叩l 2 ( g f t ，p ) 证明：只证明结论的次可加性，超可加性可以类似证明。 定义映射岛【翱= 巳睹+ 们一气【们，因为占。【】是f 一期望，那么占。【】也是f 期望，他 在条件f t 下的f - 期望是 岛【善if t 】= 占。【孝+ ，7 if t 卜占。【叩if t 】( 3 2 1 ) 这在下一章一般非线性期望中有详细的证明，详见引理( 4 2 2 ) 因为。【】满足次可加性，因此有 第三章g 期望以及条件g _ 期望 也就是 即 因此有对于v t o ，t 】， 占g 【f + 叩】f g 孝】+ 毛【刁】 s ， 善】= 毛【f + 叩卜毛【刁】占g i f 占口 f 占g 善1 g ，【孝lf t 】& 【善if t 】 此结论也在下一章给出了证明，详见引理( 4 2 3 ) 。 将等式( 3 2 1 ) 带入，可得 气管+ 刁lf i 】一毛晰if i 】占。【f lf t 】 也就是我们要证明的不等式 占g 【善+ 印if l 】占g 孝ff t 】+ 占g 【，7 if t 】 引理3 2 。2 如果g 函数对于( y ，z ) 是凸函数( 或者凹函数) ，那么对于任意的 孝，i l 2 ( q f t ，p ) ，v t 【o ，t 】有 占。 善+ ，7 if t 】( ) 龟【f if t 】+ 毛【，7 if l 】 该引理的证明可参见 p e n 9 1 9 9 7 ，6 】。 3 3共单调可加性 下面的定理源于l j i a n g ( 2 0 0 6 ， 1 9 】) 。下面的证明对他的证明进行了简化。 定理3 3 1 如果& 【】具有共单调可加性，并且具有次( 超) 可加性，则条件g - 期望f 。【| f t 】也具有共单调可加性。 证明：假定占。 】具有共单调可加性，并且具有次可加性，超可加性的证明过程类 似。 我们首先证明f 。【if t 】具有次( 超) 可加性，即对于任意的孝，j 7 l 2 ( q f t ，p ) ， v t 【o , t 】，有 巳 f + 叩ff t 】占。【善if i 】+ 毛 ，7 lf i 】，摅 毛 】显然是f 期望，根据上面的定理可得上式成立。 其次，我们考虑任意的共单调可加的随机变量善，叩l 2 ( q ，f t ，p ) ， 如果勿0 ，我们证明 毛眵+ ，7 if t 】= 巳眵i f , + e s r if t 】，a s v t 【o ，t 】 令集合b # 巳眵+ ，7 lf t 】 0 ，则有 l b s g f + ，7 if t 】s l s e l 【f if t 】+ 毛【玎if t 】，酗一t o ，t 】 同时 p ( i b 占l 孝+ ，7 if l 】 o a 勘t o ，t 】 由争期望的严格单调性可知 巳【1 8 & 譬+ j 7 tf t 】j 龟f l b 巳瞥if i j + l b 毛研e 】j( 3 3 1 ) 因为六，7 共单调，且勿o ，我们有1 。参l 。，7 也是共单调的，由& 的共单调可 加性以及其他常规性质可得，等式( 3 3 1 ) 的左边可变换为： 巳 1 s 巳【f + 刁lf t 】= 巳【巳 1 b ( f + 叩) if t 】 = 钳l a 偌- i - ，7 ) 】 = 巳【l b 善】+ 毛 1 b ，7 】 而根据占。【的次可加性，我们可以将等式( 3 3 1 ) 的右边可变换为： 占g 【l b 巳【善lf t 】+ f 。【叩if l 】占；【1 n 占。 孝lf t 】+ 巳【l 。e , c r if t 】 = e s 1 n f lf t 】+ & 【l 。叩if t 】 将( 3 3 1 ) 左右两边的化简结果代入，即 巳【l b f lf i 】+ 巳【l b 叩if 】 毛【1 b f if t 】+ p 。 1 b 刁lf t 】 产生矛盾，因此我们证明了p ( b ) = 0 ，也就说勿o 时，占。hf t 】共单调可加性成 立。 第三章g - 期望以及条件分期望 接着考虑善，r 有界的情况下，也有 毛【善+ r if i 】= s g 【善i f ：】+ 占g 叩if ：】，a s v t o ，t 】 因为f ，叩有界，所以必然存在一个正常数c ，使得孝+ c 0 ，玎+ c 0 ，很显然 善+ c ，7 + c 是共单调的，因为g 与y 无关，根据引理( 3 1 2 ) 以及上一步的结论， s g 【善+ 踞if t 】= e g f + 叩+ 2 c if t 卜2 c = s 。 善+ c if l 】+ 龟 玎+ c if t 卜2 c = s g 善if t 】+ c + 占g 玎if t 】+ c 一2 c = 毛 善if t 】+ s g r if t 】，a s v t o ，t 】 最后，我们证明无界的情况。 对于任意的正整数1 1 ，令 磊：= ( 善a n ) v ( 一n ) ；r 。：= ( 玎 n ) v ( 一n ) ； ( 3 3 2 ) 因为孝，叩共单调，则靠，节。也是共单调的。因为矗，叩n 是有界的，所以有 占g 【六+ r 。if l 】= 占g 【彘if t 】+ 占g 刁。if t 】，a s v t 【o ，t 】 ( 3 3 3 ) 因为 i 六嘲善i , i 叩。圈玎l ，a s n = 1 ，2 ， 由l e b e s g u e 有限收敛定理得 善= l 2 一熙六，叩= l 2 一熙叩。，f + 叩= l 2 一熙( 六+ ，7 。) 凼为 占g 睹if c 】= l i r a 毛【善nlf t 】，a s ，v te 0 , t 】； f s m if l 】2 熟毛帆if i 】a , s ，v t 【o ，t 】； 占g 善+ 叩if t 】- 。l i 。r a 毛喙+ r 。1f i 】，a s ，v t 【o ，t 】； 将上面的式子代入方程( 3 3 3 ) ，可得 f | 睹+ 叩lf t l = g 【善if t 】+ s g 叩i f ：】，a s v t o ，t 】 至此，定理得以证明。 令t ( q ，f t ，p ) 表示l 2 ( q ，f t ，p ) 中所有非负的随机变量，相应的t ( q 耳，p ) 表示 l 2 ( g f t ，p ) 中所有非正的随机变量。 笙三兰窆塑望坠墨查堡窆塑望 下面的引理源于zc h e r t ( 2 0 0 2 ， 2 0 1 ) 。 引理3 3 1 假设g 是一个凸函数( 凹函数) ，如果巳【】在 e ( q ，f t ，p ) ( t ( q ，f t ，p ) ) 上是共单调可加的，那么v t o ，t 】，占。 lf i 】也在 e ( q ，f t ，p ) ( t ( q f t ，p ) ) 上共单调可加。 证明：我们主要证明在t ( q ，f t ，p ) 成立，t ( q ，f t ，p ) 的证明方法类似。 因为已知占。 】在t ( q ，f t ，p ) 上是共单调可加的，即对于任意的 善，7 l 2 ( q f t ，p ) ，如果善，r 共单调可加，则 g 。【善+ ，7 】= 巳【f 】+ 巳【玎】 我们需要证明的是 。【参+ 玎if t 】= 巳【善lf i 】+ 占。【叩if t 】，v t 【o ，t 】 ( 3 3 4 ) 第一步，假设g 是凸函数，由前面的引理可得 占g 【善+ 玎if t 】占。【善if l 】+ 巳【玎if t 】，v t 【o ，t 】 ( 3 3 5 ) 若方程( 3 3 4 ) 不成立，那么必然存在着t 【o ，t 】，使得 p ( c a ：巳【善+ 吁lf t 】 0 令 a = 国：占。【善+ ，7 if t 】 0 ) 则 l s g 善+ ，7 l f ：】 1 f l f lf t 】+ l 占s 【，7 i f ：】 将上式左右两边取g - 期望，根据严格比较定理，见( p e n 9 1 9 9 7 ，zz ) ，得到下式 巳【l 巳够+ 叩lf l 】 0 , v t e 0 , t ； ( i i ) 如果；= 1 2 z 坼柳，则有p x 2 ( ( a ，t ) ：z 。( 砷 o ，其中2 是【o ，叨上的 l e b e s q u e 测度。 证明： ( i ) 注意函数f = l w t 鄙是单调递增函数，根据引理( 3 2 1 ) ， z 。- - o , u ，y t 【o t 】，因此，b s d e ( 3 4 i ) 实际上是一个线性的b s d e 。 y 。= 1 ( 删+ f 鳃d s r z 。a w , 令 面t = w t - - 以d 3 则 y t = l ) 一f z 。d 丽。 令q 为一概率测度定义如下： 器= c x p 三从d s + “d w i ) ( 3 4 2 ) 由c r i r s a n o v 定理可知， w 。) 峨是q 布朗运动。 对方程( 3 4 2 ) 两边取条件期望e q hf t 】，由m a r k o v 性质得 第三章g - 期望以及条件争期望 y t = e q 【1 w t ：1 ) if l 】 2 e q 1 阳以出 i f t 】 2 e q 1 碱外陋_ i ) 闻 2 e q 1 _ t 励沁面。 l 盯( w t ) 】 因为盯( w | ；s t ) = a ( 一w i s t ) ，因此 y t2 e q 1 晰御胁盯( w t ) 】 注意到一w ，一一w 。与一w 。是不相关的，因此有 y t5 e q 【l - t 飘必山儿面 因为有一w t 一一w 。n ( o ，t t ) ，因此 y t = j = n 出山妒( x ) d s i 其中p ( x ) 是正态分布n ( o ，1 - t ) 的密度函数。 因此 z 。= 盖b 。训一r 腑- - t ) o 即z t o a 且，t 【o ，t 】o ( i i ) 对于给定的善= i 2 ：w r 拼，我们假设( i i ) 不成立，则有z 。o , a s 这表明 b s d e ( 3 4 1 ) 实际上是一个线性的b s d e 。 y 。- 1 ：剐+ r 肥d s r z , d w 即 y t = 1 1 2 2 w t 揶一lz , d w ， 其中面t = w i f 从d s 。 类似( i ) ，令 石d q = 唧 _ 三肛d s + “d w | 第三章g 期望以及条件g 期望 应用c r i r s a l l o v 定理， w t b 是q - 布朗运动。 对方程( 3 4 3 ) 两边进行条件期望e q if t 】，由于盯( w i s t ) = 盯( 面。；s t ) ，有 y 。= e q 1 2 2 w f 2 l ，if t 】 = e q 【1 1 2 以如两：- t 一_ t 孙以血一_ t ) i f t 】 5 e q 【1 i ：以血- - t ：- t 一- l 扑c 岫一_ l i 盯( w t ) 】 = e q 【1 2 以d 一识：_ t 一- l 扑e 岫百。，】i h - _ 。 因为有一w t 一一w 。n ( 0 ，t t ) ，因此 y 。= 嚣嗽) d s i h - _ i 其中烈x ) 是正态分布n ( 0 ，1 - t ) 的密度函数。 因此 z 。= 鲁i 。- _ 。= 伊( 1 _ r 。d s 一面t ) 一妒( 2 一f , d s 一面t ) ：南唧卜喾2 ( t卜南2 4 2 州t 唧卜等2 ( t ， 2 万( t t ) 一t ) 一t ) 、 一t ) 7 由此，司以很各易得出 ( i ) 当面。 o t 【o ，t 】； ( i 0 当面。 i 3 一r 。d s 时，z 。 0 ) o ，p ( z t 0 ，i l $ av t 【0 , t 】 ( 3 4 4 ) 因此，有p g ( ( c o ，t ) ：z ( 国) 0 ，产生矛盾，因而结论得证。 下面我们考虑当g 函数为g ( t ，y , z ) = 从i z i 时的情况。显然有， 以0 ，t 【o t 】则g 是凸函数，a 。s o ，t 【o ，t 贝i jg 是凹函数。 第三章g 一期望以及条件g 期望 引理3 4 4 若从0 在【o ，t a s i 奎续，同时g ( z ，t ) = 肌i z i 。则存在随机变量 f l 2 ( n ，f t ，p ) 使得s 。【翻不能表示成c h o q u e t 期望。 证明：假设该引理的结论不成立，那么对于任意的善l 2 ( d ，f t ，p ) ，必有占。【朗 能表示成c h o q u c t 期望的形式。再根据引理( 3 4 1 ) 知，f 。【绷在l 2 ( q ，f t ，p ) 上共 线性可加。 令( y ，z ) ，i = 1 , 2 是下面的倒向微分方程( b s d e ) 的解 y t = + lh i i z d s - lz , d w 。i = 1 ，2 其中轰= l t w t 螂，邑= 1 m w t 锄，我们很容易看出，磊，磊是正的共单调。根据引理 ( 3 3 1 ) 可知，对- 于- v t o ，t 】，占。【if c 】对于磊，最也是可加的，即 巳 点+ 磊if t 】- o 【磊if t 】+ 气【彘if i 】 ( 3 4 5 ) 设( y ，z ) 是倒向微分方程b s d e 的解，则： ；。= ( 磊+ 磊) + r 以医l a s 一r 三。a w 可以将方程( 3 4 5 ) 写成下面的形式 ；。= y ：+ y ；，v t 【o ，t 】 设 是由半鞅x 以及布朗运动w 合成的有限变量过程，则 t = t y lw t + t ，v t e o ，t 】 但是 一z t 净，z i = 半彳t = 华 所以 z t = z ：+ z ；，a s ，t o ，t 】 另夕 ，根据y 。= y ：+ y ：，a s ，t 【o ，t 】，即 ( 轰+ 彘) + 以i 三舳一r i 。d w , = 砉( 磊+ m 引id s r z ：d w i ) 我们可以得到， 第三章g - 期望以及条件g _ 期望 tiz ：+ z ：i _ 。ig ：i + 。iz ：l ，a 矗，t 【o ，t 】 因为肛0 ，化简上式得 i z ：+ z ：l = lz ：i + ig ；i ，a s ，t 【o ，t 】 ( 3 4 6 ) 而我们显然知道，上面的不等式只有在z ：z ；0 时才成立。 根据引理( 3 4 3 ) ，z l