（电磁场与微波技术专业论文）mrtd及其改进算法在目标电磁散射中的应用.pdf

摘要 本论文的研究内容围绕时域有限差分方法( f i ) t d ) 的改进算法一时域多分辨 分析( m r n ) ) 算法展开。本文对f d t d 方法的历史，现状和不足进行了阐述，在 f d t d 算法中，需满足两个固有的物理限制：数值稳定性和色散误差，其中为减 小色散误差，需要较为精细的网格单元，通常耍小于波长的1 1 0 ，但这样会消耗 更多的计算内存和计算时间。 正因为此使得传统f d t d 在计算过程中效率不高，针对这个问题，本论文系 统研究了m r t d 方法。对m r t d 方法的基本理论以及一些关键技术进行了细致 推导。数值实验显示该方法可接近于n y q u i s t 采用定理极限，具有更为优秀的数 值色散性质，可用比f d t d 少得多的网格数来模拟电磁结构，从而达到与f d t d 相同得计算精度。m r t d 算法中连接边界和入射波的加入是较之f d t d 困难的 一部分，因为展开系数并非单个，在场量重构方面也很复杂。为克服传统m r t d 方法中基函数存在着非局部性的缺点，本文中提出了在源的加入上采用了纯散射 场方法，并计算二维、三维目标的雷达散射截面，计算结果与f d t d 吻合很好。 传统的m r t d 方法在时间导数的离算上仍采用二阶中心差分，为得到更好的 稳定性和数值色散性，以及高精度的要求，本文将r u n g e k u t t a 方法用于m r t d 算法中得到r k - m r t d 算法，实现了时间上和空间的高阶展开，详细推导了该方 法的计算过程，并分析了稳定性和收敛性，证明了该方法有较高的精度。 基于显式差分格式的m r t d 方法时间步长的选取受到c o u r a n t 稳定条件的限 制，当计算区域中存在精细结构时，其时间步长将很小，使得传统的m r t d 方 法的计算时间明显的增加。最近提出了一种交变方向隐式时域有限差分 ( a d v f o t d ) 方法来求解麦克斯韦方程，本文结合这一方法提出了a d i m r t d 方 法。建立了以d a u b e c h i e s 小波尺度函数为基函数的a d i m r t d 算法场量的迭代 方程，针对其中的关键技术如吸收边界条件和连接边界条件进行了研究，并利用 改进后的快速算法? 广义追赶法”对涉及的分块二对角矩阵方程进行高效求解。 最后分析了其数值色散特性，且与传统的f d t d 算法进行了比较；证明了其无 条件时间稳定特性，并通过计算实例论证了该方法的无条件时间稳定性和优秀的 数值色散特性。 关键词：时域有限差分法时域多分辨分析方法r u n g e - k u t t a 方法交替方向隐 式技术雷达散射截面 a b s t r a c t t h i sp a p e rf o c u s e do nt h ei m p r o v e da l g o r i t h mo ff i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n f f d t d ) m e t h o d ，w h i c hi sn a m e dm u l t i - r e s o l u t i o nt i m ed o m m n ( m r t d ) t h eh i s t o r y , a c t u a l i t ya n dd i s a d v a n t a g e so ft h ef d t ds c h e m ea r ei n t r o d u c e d i ti sf o u n dt h a tt h e t r a d i t i o n a lf d t da l g o r i t h mh a sb e e nl i m i t e db yt w op h y s i c a ll i m i t a t i o n s ：n u m e r i c a l d i s p e r s i o na n ds t a b i l i t y i no r d e rt or e d u c et h en u m e r i c a ld i s p e r s i o n , m o r ef i n eg r i d s a r er e q u i r e d i no t h e r 、o r d s ，e a c h 班ds i z em u s tb es m a l l e rt h a no l l et e n t hw a v e l e n g t h ， w h i c hc a u s c sm o r ec o m p u t e rm e m o r ya n dl o n gc p ut i m er e q u i r e d i ti st h eg r i d sc o n s t r a i n tc o n d i t i o n st h a ti n f l u e n c et h ee f f i c i e n c yo fc o n v e n t i o n a l f d t d t os o l v et h ep r o b l e m ，w es t u d yt h em r t ds c h e m ei nd e t a i l ，a n dd e r i v et h e b a s i se q u a t i o n sf r o mt h eo d # n f lm a x w e l l se q u a t i o n s t h en u m e r i c a le x p e r i m e n t s s h o wt h a tt h em e t h o dc a l la p p r o a c ht h el i m i t a t i o no ft h en y q u i s t ss a m p l i n gt h e o r e m a n dp o s s e s s e sab e t t e rn u m e r i c a ld i s p e r s i o n i na d d i t i o n , i tc a l lo b t a i nt h es a m e a c c u r a c ya st h a to ft h ef d t dm e t h o dw i t hm u c hf e w e rg r i d sf o rs i m u l a t i n gt h e e l e c t r o m a g n e t i cs t r u c t u r e s c o m p a r e dw i t ht h e f d t ds c h e m e , t h ec o n n e c t i o n b o u n d a r ya n di n c i d e n tp l a n ew a v ea r ed i f f i c u l tf o rm r t d ，s i n c et h en u m b e ro ft h e c o e f f i c i e n t su s e di nm r t da r em u c hm o r et h a nf d t d i no r d e rt oo v e r c o m et h e d i f f i c u l t i e st h a ta r i s eb e c a u s eo ft h en o n l o c a l i z e dc h a r a c t e r i s t i c so ft h es c a l i n ga n d w a v e l e tb a s i sf u n c t i o n st h a te m p l o y e di nt h em r t ds c h e m e ，t h ep u r es c a t t e r e df i e l d f o r m u l a t i o ni sa d o p t e d r a d a rc r o s ss e c t i o n 限c s ) o ft h et w o - d i m e n s i o n a l ( 2 一d ) a n d t h r e e d i m e n s i o n a l ( 3 一d ) o b j e c t sa r ec o m p u t e d ，a n dt h e n u m e r i c a lr e s u l t sa r e c o m p a r e dw i t ht h et r a d i t i o n a lf d t dm e t h o d i ti ss h o w nt h a t t h ec o m p u t a t i o n a l r e s o u r c ei sr e d u c e dd r a s t i c a l l yw i t h o u ts a c r i f i c i n gm u c ha c c u r a c y t h et r a d i t i o n a lm r t ds c h e m es t i l lu s e ds e c o n do r d e rc e n t e r e dd i f i e f e n c ei nt h e t i m e i no r d e rt og e th i g h e rp r e c i s i o n ，t h er u n g e k u t t as c h e m ei sa p p l i e dt ot h e m r t dm e t h o d t h eb a s a lr k - m r t de q u a t i o n sa r ed e r i v e da n dt h es t a b i l i t y , d i s p e r s i o na n dc o n v e r g e n c ea r ed i s c u s s e d ，w h i c hv e r i f i e st h a tt h em e t h o dh a sb e t t e r p r e c i s i o n i i i b a s e do ne x p l i c i td i f f e r e n c e ，t h et i m es t e po fm r t di sl i m i t e db yt h ec o u r a n t c o n d i t i o n ，w h e nt h e r ea l ef i n es t r u c t u r e si nc o m p u t a t i o na r e a , t h es m a l l e rs t e p sa r e n e e d e d ，w h i c hw i l lm a k el o n gt i m et oc o m p u t e r r e c e n t l y , a d i f d t di su s e dt os o l v e t h em a x w e l l se q u a t i o n s t h eo t h e rm e t h o da d i - m r t dw a sa d v a n c e d w ed e r i v e d t h eg e n e r a la d i m r t de q u a t i o n sa n dd i s c u s st h ek e yt e c h n i q u e ss u c h a st h e a b s o r b i n ga n db o u n d a r yc o n d i t i o n f i n a l l yt h en u m e r i c a ld i s p e r s i o nw a sa n a l y z e da n d c o m p a r e dw i t h t h ec o n v e n t i o n a lf d t da n dm r t d t h er e s u l t ss h o wt h a tt h e a l g o r i t h mp r o v i d e di s n o n - c o n d i t i o n a ls t a b l ea n d p r e s e n t sd e s i r a b l en u m e r i c a l d i s p e r s i o n k e yw o r d s ：f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ( f i ) t d ) ，m u l t i - r e s o l u t i o nt i m ed o m a i n ( m r t d ) ,r u n g e k u t t as c h e m e ，a l t e r n a t i n gd i r e c t i o n i m p l i c i t t e c h n i q u e ，r a d a rs c a t t e r i n gc r o s ss e c t i o n ( r c s ) 插图列表 图2 - 1s m r t d 对应的网络结构 图2 2w y - m r t d 对应的网络结构 图3 - 1 各阶r k - m r t d 方法的脉冲传播过程 图3 2 各方法的数值色散比较 图3 - 3 高斯脉冲电场传播过程的解析解和数值解比较2 6 图3 _ 4 无限长方柱的r c s 比较 图4 1 散射计算时m r t d 算法区域的划分 图4 2p m l 边界参数设置 图4 - 3 计算区域划分 图4 - 4 双倍网格宽度的m r t d 反射系数 图4 5 单个方柱的雷达散射截面 图4 6 四个尺寸相同方柱的坐标 3 3 3 4 图4 7 四个方柱的雷达散射截面图。 图4 8 介质球e 面雷达散射截面比较 图4 _ 9 导体立方体e 面雷达散射截面比较 3 5 图4 - - 1 0 导体立方体h 面雷达散射截面比较3 7 图5 1 无耗介质板的反射系数和透射系数随频率的变化4 3 图5 - 2 空腔中t 在点( 5 ，1 0 j 0 ) 的频谱 4 4 图6 - 1f d t d 、m r t d 数值相速 ，与c 之比随a ；t 的变化5 4 图6 - 2 色散曲线图 图6 3 a d i m r t d 与f d t d 方法的数值色散误差随c f l n 取值的变化图5 5 图6 - 4 a d i m r t d 方法的数值色散误差比 图6 5 a d i m r t d 方法的数值误差随每波长单元数的变化图5 6 图6 - 6 采用不同d a u b e c h i e s 小波尺度函数基展开的数值色散误差比较5 6 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得美f j 长天弘其他教育机构 已在论文中作了明确的说明并南示谢意。 张胡鳓期：川年毕咧目 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了嗽博碡有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权訇熔本；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存，汇编学位论文。 学位论文作者毕业去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 第一章绪论 第一章绪论 1 1 电磁场时域数值计算方法概论 在应用电磁学领域，对各种电磁现象和电磁特性的研究方法主要分为解析方 法和数值方法。解析方法只能对一些简单的电磁问题进行分析，又存在较大的局 限性。在数值计算方法中通常又分为从m a x w e l l 积分方程出发的频域方法和微分 方程出发的时域方法两大类法。在这两个领域都发展出了很成熟的计算方法，如： 频域方法有矩量法( m o m ) 、有限元方法( f e m ) 等；时域方法有时域有限差分法 ( f d t d ) 等。自从计算电磁学作为一门学科问世以来，频域方法一直占据着主导 地位。但是，随着研究的深入，面对的问题越来越复杂，而且分析对象的复杂性 不仅表现在外形上，还可能包括多种材料成分和许多精细的孔、缝、腔等结构。 对于这些问题频域的方法往往显得笨拙，有时甚至无能为力。频域技术的局限性 和分析问题的复杂性构成了当代工程电磁学的一大矛盾，这一矛盾和技术不断进 步的需求推动了时域技术的发展和应用。以计算机硬件技术的迅猛发展为契机， 人们逐步具有了直接在时域对具有宽频带特性的瞬态电磁场进行计算和分析的 能力，从而能更深刻、更直观地理解物理量和物理现象。 时域数值技术的一个突出优点是可以给出关于问题空间的丰富的时域信息， 而且经过简单的时频变换，即可得到宽带范围的频域信息，相对频域方法只能处 理点频和窄带问题而显著地节约了计算量。目前，时域数值算法已经成为主要流 派，具有优势和特色的新颖时域算法层出不穷。最近几十年，是电磁场技术蓬勃 发展的时期，各具优势和特色的新颖算法层出不穷。在经历了理论和实践两方面 检验的基础上，一些有生命力的时域算法逐步被推广应用。 本论文主要应用m r t d 方法，并研究r k - m r t d 方法及其它们在目标电磁散 射中的应用。 1 1 1 时域有限差分法0 丁d t d ) 现状及发展 时域有限差分方法( m t d ) 1 1 堤电磁场数值计算中一种有效的方法。f d t d 算 法的迭代公式是在包括时间在内的四维空间中，对m a x w e l l 旋度方程对应的微分 m r t d 及其改进算法在目标电磁散射中的应用 方程进行- - 阶中心差分近似得到的【1 1 1 3 1 1 4 1 。用该方法解决任何问题均按初值问题 处理，依时间步进行迭代计算，在每一个时间步交替地计算空间每一个离散点的 电场和磁场。作为一种时域方法，f d t d 模拟只要一次运行，就可以得到一定带 宽频率成份的所有信息。而频域方法则需要各个频率点逐个计算。f d t d 方法能 够使用多种形式的网格( 包括曲线坐标系、非正交坐标系等) ，为分析模拟非均 匀介质以及复杂系统中的场和波分布特性提供了极大的方便。f d t d 方法中每个 网格上的场量只与相邻网格的场量及上一个时间步的值有关，这个特点及其适合 并行算法的处理，符合了计算电磁方法的未来发展趋势。f d t d 经过了三十多年 的发展已成为一种比成熟的数值方法。以下简单的回顾这种方法： k s 【2 】于1 9 6 6 年首次提出了时域有限差分法( f d t d ) ，并用来处理电磁传 播和反射问题。其用于计算建模的网格单元也称之为y e e 元胞。 t a y l o r l 3 j 等于1 9 6 9 年用f d t d 分析非均匀介质体的电磁散射，提出用吸收边 界来吸收外向行波，吸收边界采用的是简单的插值，而不再是y e e 采用的将边界 设置成良导体的硬边界。 t a f l o v e l 4 1 等于1 9 7 5 年讨论了数值稳定性条件，和时谐场情况的近一远场外 推。 m u r 5 1 于1 9 8 1 年提出了一种新的吸收边界条件即m u r 吸收边界，这是一种十 分有效的吸收边界条件，获得了广泛应用。 u m a s h a n k a r 和t a f l o v e | 6 1 用f d t d 计算目标雷达散射截面( r c s ) ，提出将f d t d 划分成总场区和散射场区，并提出连接边界条件，该条件是散射计算中入射波设 置的一种简便有效方法。 m e i l 8 j 于1 9 8 4 年提出了共形网格技术；k a s h e r 和y e e i t i 于1 9 8 7 年提出了亚网 格技术。 y c e l 9 l 等提出三维f d t d 时域近远场外推方法，随后h e b b c r s l l 0 】等提出二维 时域外推。 b e r e n g c r i u l 提出将m a x w e l l 方程扩展为场分量分裂形式，并构成完全匹配 ( p m l ) 作为一种全新的吸收边界，其具有吸收效果好，适合并行计算。其后， c h e w 1 2 j 和g e d n e y ( 1 3 1 各自以此为基础给出了两种差分形式。 最近发展的隐式差分a d i f d t d 方法f 1 4 1 1 1 5 l 又进一步摆脱了时间步长的限制， 2 第一章绪论 使得f d t d 的实用性进一步增强。 f d t d 由于有上述诸多优点，已被广泛应用于很多领域。早期f d t d 还主要 用于电磁散射问题，接着被用于生物电磁学1 1 6 l 和电磁热学，接着又被用于微波电 路【堋，然后又被用于天线辐射问题。 然而尽管f d t d 有上述这些优点，却有很多限制，如实际的电磁场媒质建 模问题就要求巨大的计算容量，这就需要较高的计算机资源，原因就是f d t d 的计算效率还不够高。为了保证色散误差足够小，空间网格尺寸必须足够小( 通 常每个波长取1 0 2 0 个网格单元) ，这就使得f d t d 在计算电大尺寸目标时受 到限制，于是需要寻求更具优势的计算方法。 1 1 2 时域多分辨方法( m r t d ) 的引出 矩量法1 1 8 l 是解决积分方程和微分方程的强有力的数学技术之一，甚至矩量 法是积分方程数值分析的标准工具，它也成功地应用在微分方程的数值分析之 中。并且论证y e e 的f d t d 是场量基于脉冲函数展开【1 9 1 。由于矩量法可以用任 意的正交基函数展开，选择一个更加合适的基，例如小波或尺度函数，将会导出 传统矩量法不可比拟的时域方法。 小波分析l 刎是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应 用十分广泛的双重意义。多分辨分析( m r a ) 即是以尺度函数和小波函数为完备基 函数的分析方法。近年来，基于小波基的数值分析方法研究电磁波的传播特性引 起了学者的广泛兴趣，将多分辨分析应用到m a x w e l l 方程就得到了多分辨时域有 限差分( m u l t i r e s o l u t i o nt u n ed o m a i n ，m r t d ) ，同时表现了许多优点【2 1 1 。时域多 分辨分析数值近似程度很高，采用空间抽样间隔可达到奈奎斯特( n y q u i s t ) 抽样极 刚2 1 l ，由于场量采用非局域性的尺度和小波函数展开( 如b a t t l e - l e m a r i e 和 d a u b e c h i e s ) ，计算空间某一点的系数时，必须考虑周围的许多项的系数。 y w c h e o n g 、m f u j i i 和w o l f g a n g j r h o e f e r 等人【竭 2 3 1i 矧推导了 w a v e l e t g a l e r k i n 法在均匀介质中基于紧支撑的d a u b e c h i e s 基函数的电磁问题， 将计算公式进行简化以及缩短了相关系数的长度，为电磁学时域数值的发展提供 了强有力的技术，具有广阔的发展前景。 在本文中讨论了采用尺度函数和小波函数为完备正交基函数的多分辨方法 3 m r t d 及其改进算法在目标电磁教射中的应用 并采用g a l e r k i n 离散方法【捌陋1 1 2 6 1 ，得到了一种新的时域多分辨方法( m r t d ) 。具 体的导出和实现将在文中相应部分阐述。 1 1 3m r t d 特点和发展现状 m r t d 方法仍然将计算空间分成与f d t d 方法相似的空间网格，将时变场量 利用尺度变换和小波变换，采用g a l e r k i n 离散方法进行展开【矧。在所需精度较低 时，为节省内存，利用尺度函数将场量展开；当需要了解突变的高频场，或要求 结果的精度较高时，则将场量在尺度函数和小波函数共同展开。 f d t d 与m r t d 区别在于基函数选取的不同，f d t d 可看成是m r t d 中基 函数选取为h a r t 函数的一个特例1 2 7 。m r t d 方法基于尺度函数或尺度函数和小 波函数的复合，能向可变网格方向发剧捌。如何根据具体问题选择合适的尺度函 数与小波函数对场量进行展开，是应用m r t d 方法时需要解决的主要问题。与 f d t d 相比，m r t d 显示出良好的线性色散特性，与精确解十分接近，便于对计 算结果的色散特性进行评估【2 8 l 。目前，m r t d 方法的主要缺点是无论如何选择 它的展开基底，其时间稳定性条件( e p 空间步长与时间步长的关系) 比f d i d 方 法都要苛刻，可以说是“以时间换取空间”。最近提出的利用g d i f d t d 方法的核 心思想，得到了隐式多分辨率分析时域计算方法( a d i m r t d ) 2 9 1 4 1 f 1 5 l ，这在一定 程度摆脱了时间稳定性条件的限制。 虽然m r t d 算法计算大目标可以以几何级数的量级节省计算机内存，但由于 其基函数互相有重叠，导致了边界条件的复杂性。m r t d 的p m l f 删1 3 1 】1 3 2 1 边界 条件有待于进一步的研究。舳从算法提出到边界条件完善走过了很长的路 程，m r i d 算法的完全匹配边界条件的研究必然极富挑战性，有重大的理论价值。 根据具体问题所要求的精度以及计算资源等情况，选择适当的算法，才能充分发 挥各自优势。m r i m 未来的发展趋势，至少表现在以下5 个方面i 笠l 【 2 s l i z r l ： n ) 提高计算精度的同时，保持算法的稳定性； 圆边界问题的处理和介质的处理； 0 ) 增强计算电大尺寸对象的能力； ( 4 ) 为高效地解决复杂研究对象的建模问题，自适应、智能化的建模技术会更 多地出现在包括时域算法在内的各种算法中； 4 第一章绪论 ( 5 ) 在算法理论愈发复杂化的同时，为方便应用，利用电磁场时域算法编制的 成熟商业软件会不断涌现。 总之，时域数值技术，包括m r t d ，具有多种优点的方法在电磁场数值计算 领域的地位和作甩正在迅速提高，成为热门的研究方向，展现了蓬勃的生命力和 广阔的应用前景。 1 2 本文的主要工作和内容安排 电磁场时域数值计算方法的地位和作用正在迅速提高。但是f d t d 虽然应用 广泛但同时具有一些自身无法克服的缺点，如前所述的诸如不能计算电大尺寸的 问题，色散问题等等。寻求新的计算方法是必要的。而时域多分辨方法( m r t d ) 在小波矩量法的基础上结合小波多分辨分析，并运用f d t d 的各种技术发展而 成。相比较而言m r t d 具有一些天然的优势，在前述问题上均有不同程度的改 善。并且m r t d 与f d t d 有着一些必然的联系，本文在了解f d t d 的基础上 探讨m r t d 的各种实际问题，基本出发点是立足f d t d ，发展m r i d 。目前国 内的m r t d 的研究还处于萌芽状态。从这个现状出发，补充与完善m r t d 理 论，建立初步的迭代公式，运用简单模型得到最基本的计算结果，并与f d t d 结 果进行比较等初步分析是本文的主要目标。 本文的内容安排： 第一章简单介绍了目前时域数值方法的发展背景和现状。f d t d 方法发展成 熟，但其固有缺陷限制了其发展，如电大尺寸问题消耗计算资源等。m r t d 较 之f d t d 在数学理论上具有天然的优势，成为发展必然。文中还介绍了m r t d 算法的产生背景和目前的发展现状。 第二章讨论了m r t d 的数学理论基础一小波分析，其中包括了多分辨分 析：并详细的推导了m r t d 算法的迭代公式。小波是当前数学界的发展热门， 小波基函数的固有属性成为其作为电磁场数值计算采样基和展开基的优势所在， 包括正交性，紧支撑性，多分辨性等。文中分别介绍了小波的各种性质及这些性 质在电磁场数值计算中的作用，并给出t 4 , 波分解与重构的方法，这正是m r t d 算法建立的基础。 第三章讨论了m r t d 算法的改进算法r u n g e - k u t t am r t d ( r k - m r t d ) 算法。 5 m r t d 及其改进算法在目标电磁散射中的应用 文中介绍了如何利用r u n g e k u t t a 方法实现时间的高阶离算，对r k - m r t d 方法 的基本理论以及一些关键技术进行了细致推导，并给出了一维脉冲波传播算例， 结果表明当采用四阶r u n g e k u t t a 方法时与精确解很好的吻合。 第四章讨论了作为一种时域算法所必须要解决的问题，包括计算区域的划 分，吸收边界的设置，连接边界的设置和入射波的加入。文中还给出了高斯脉冲 平面波入射介质板的反射系数频域谱对比，通过具体算例清楚地表明了m r t d 算法较之f d t d 算法在扩大网格上的优势。 第五章将交替隐式技术( a d i ) 应用到m r t d 算法中即a d i m r t d 方法。推 导了该方法的迭代更新方程和具体解决电磁场数值计算问题的步骤。文中给出了 详尽的理论推导公式，并做了说明。 第六章对m r t d 算法和a d i m r t d 算法的稳定性和数值色散情况作了详细 的推导和论证。并将计算结果与f d t d 方法进行了比较分析。 最后主要工作总结，以及展望。 6 第二章多分辨分析及m r t d 算法 第二章多分辨分析及m r t d 算法 2 1 多分辨分析 小波理论成为数学、物理研究者以及工程师在研究各个学科领域中一门有兴 趣的学科。小波函数相对与传统的正交函数有许多明显的优点。小波变换是一种 信号的时间一尺度( 时间一频率) 分析方法，它具有多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ) 的特点，丽且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口 大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方 法。 小波函数和尺度函数在近似一个紧支撑框架的场信号时具有很好的局部特 性。在分析电磁场时用多尺度分析( m r a ) 理论，在低分辨率的场域利用尺度函数 展开，并在改变快速和显著的场域处加入小波函数。基于利用小波函数和尺度函 数分析电磁场问题被证明是非常有效的。 2 1 1小波变换和离散小波变换 将任意l 2 僻) 空间中的函数f ( x ) 在小波基下进行展开，称这种展开为函数 ，( 力的连续小波变换( c w t ) ，其表达式为： 啦沪挑一，o 面r 南姜，o 万譬皿 ( 2 1 ) 五 v p l 一 由c w t 的定义可知，小波变换同傅立叶变换一样，都是一种积分变换。然而 不同的是，小波基具有尺度a ，平移b 两个参数，因此将函数在小波基下展开， 就意味着将一个时间函数投影到二维的时间尺度相平面上。且由于小波基本身所 具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。从 形式上可以看出，函数的小波变换彤扣，6 ) 数值表明的本质是原来的函数或者信 号f ( x ) 在x - f 点附近按饥j ( 功进行加权的平均，体现的是以妒。o ) 为标准的 ，g ) 快慢交化情况这样，参数b 表示分析的时间中心或时间点，丽参数a 体现 7 m r t d 及其改进算法在目标电磁散射中的应用 的是以z - b 为中心的附近范围的大小。因此，当6 固定不变时，小波变换彬 ，6 ) 体现的是原来的函数或信号，在x - b 点附近随着分析和观察的范围逐渐变化 所表现出来的变化。换句话说，小波变换就是用具有相同形状、不同带宽和主频 的滤波器对信号f ( x 1 进行滤波，它能将各种交织在一起的不同频率组成的混合 信号分解成不同频率的块信号。改变平移参数b ，可以选取对信号f ( x ) 进行分析 的区域；改变尺度参数a ，将会影响对信号f ( x 1 的时间分辨率和频率分辨率。 上面介绍了小波变换彤0 ，6 ) 。这种连续依赖于参数口，b 的变化主要用于理论 分析和论证。在实际问题及数值计算中更重要的是其离散形式，也就是取定 a o 一2 、b o - 1 ，定义： 谚。o ) - a o ”妒( a g x n b o ) ，m 、以z( 2 2 ) 这时 ) k 。构成空间r 僻) 的一组标准正交基，亦即 f o 厨融- 去淼磊叫 ( 2 - s ) 对于，o ) r ( 一m ，+ m ) ，相应的离散小波变换为： c f ( m , ) 一c ，o 瓣m 、栉e z ( 2 - 4 ) 这种由一个函数的平移和伸缩所构成的正交基和展开式，当然是非常有用的。 2 1 2 多分辨分析 m e y e r 于1 9 8 6 年创造性的构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸 缩与平移构成r ( r ) 的规范正交基，才使小波得到真正的发展。1 9 8 8 年s m a l l a t 在构造正交小波基时提出了多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 的概念，从空 间的概念上形象的说明了小波的多分辨分析特性，将此之前的所有正交小波基的 构造法统一起来，给出正交小波函数的构造方法以及正交小波变换的快速算法， 即m a l l a t 算法。下面给出多分辨分析的基本概念。 定义：空间工2 俾j 中的多分辨分析是指r 俾) 中满足如下条件的一个空间序列 8 第二章多分辨分析及m r t d 算法 形k ： 逼近性：n 巧一 o ) ；u 在r ( 一m ，+ * ) 中稠密，即u 巧= 1 3 ( - * ，+ * ) 肛忙 胆 伸缩性：f ( t ) e v j 一，亿) 屹。；伸缩性体现了尺度的变化，逼近正交小 波函数的变化和空间的变化的一致性。 平移不变性：对任意的七z ，有咖( 2 - m f ) 9 办( 2 叫2 t - k ) e v 单调性：kc 巧+ 。，对任意的，z ( 重) r i e s z 基存在性：存在妒o ) ，使得静( 2 - m t k l 七z ) ) 构成r i e s z 基。 满足以上条件的 妒 一七) 。，是的一个r i e s z 基。巧一 o ) ) 为一个多 分辨分析。 再引入闭子空间集，j e z ，巧。- 巧o ，上，妒肚o ) 是 彬，j e z 中的一组标准正交基。它的平移伸缩系为： 妒j j ) 一2 7 2 妒( 2 x - k ) ( 2 - 5 ) 妒( x ) 妒o ) 之间的关系由双尺度方程来决定。 为满足正交性：g k 一( 一矿 t 妒o ) 妒o ) 被分别称为尺度函数与小波函数很 显然有 。- o o + ，o + ：o o 既，( 五，j 2 - z ；j ts 厶) ( 2 。6 ) 相应的形q f i ( r ) ，q j 一弓。一弓，r ( r ) 2 g 睨对于一个函数 ，o ) r 僻) ，厂o ) 在多分辨分析 下可以近似的表示为： f ( x ) a j ( x ) - c j 竹 o ) ( 2 7 ) 其中系数c 肼一( ，o ) ，或) ，是函数在j 水平下的多尺度采样系数，或是竹 的 对偶函数。则上式的截断误差为0 ，o ) 一j 4 j f ；) l l - c 2 - ，c 为一个只与基函数相 关的正的常数。而f , ( x ) d x l l ，故 p ， 皿。尸妒( 2 k 七2 ( 2 - 8 ) 9 l 为积分区间。那么， o 冲- 2 _ 小艺气 由小波分析原理， 我们可以看到这样一个事实： ( 2 - 9 ) f ，。皿巧m 薹c i t - + 1 ) 胆薹q 一”- + 2 ) 胆薹c 心( 2 - 。) 即，o ) 的积分可以表示为一维多尺度采样系数的线性迭叠加。同理可以得到多 维的积分算法。 2 1 3 尺度函数的构造 从的r i e 配基出发，经过规范正交化构造出的规范正交基和o 一女) ) 。， 称矿( d 为尺度函数。 引理2 1 3 1 设妒o ) 为k 中的尺度函数，则如o 一七) 。构成规范正交系的充 要条件为 墨胁+ 锄扣( 2 - 1 1 ) 定理2 1 3 2 设形) 睁为r 僻) 的一个m l 认，则存在函数，伊o ) 圪，使 仞0 一七) ) 。构成的规范正交基，且 乒一f ( i g + 2 彻) | 2 - 1 2g 例 ( 2 1 2 ) 取反变换矿磅一【；( 回r ，即可得到上式。根据引理2 3 1 可知妇0 一七) 。为规 范正交系，由m r a 性质，当七历遍全体整数z 时，则静0 一七) 。构成中规范 正交基，即- s p a n 妒( x k ) l 。 推论 一乃) 设 l 屉为l 2 ) 的一个m r a ， 妒 一七) k 。为的规范正 交基，则对任意，z ，有 第二章多分辨分析及m r t d 算法 乃 - 2 7 2 妒( 2 x - k ) 施 ( 2 1 3 ) 为巧的一个规范正交基，即_ - s p a n 2 m 妒( 2 工一七) ，地。 事实上 ( 2 j z 1 5 v ( 2 j x - k ) ，2 m 妒( 2 工一，) ) 2 j ( 妒( 2 x - k ) ，烈2 7 x - 1 ) ) i 2 j f s q ，( 2 工一七) 妒( 2 工一1 ) d x ( 2 1 4 ) 。正伊( 2 7 x 一七) 妒( 2 工一) d ( 2 7 工) 一( 伊( “一七) ，矿o - 1 ) ) 由和o 一七) k 。的规范正交性性即得，又根据m r a 性质，可知竹t o v , 的规范 正交基。 2 1 4 小波函数的构造 构造小波基的全过程总结为 g ( x ) 一矿o ) 一h ( w ) 一g ( 一妒 ) 一妒拈 ( 2 - 1 5 ) 前面介绍了尺度函数妒o ) 的构造，由妒( z ) 可导出传递函数h ( t a ) 满足： h ( o j ) - ；( 2 奶；( ( 2 1 6 ) 实际上，在乃j 中取j - - l k o ( k 。) ，则亿加一去驴暗) k 。c v o ，中有规范 、，二 二 正交基如。一七) ) 一，所以击伊噎) 一；峨妒 一七) ，两边取f o 嘶e r 变换： 击( 面( 孙) ) - ；k ； 冲“( 2 - 1 7 ) 即；( 知) - 秀1 ；e 4 ”) ；( ) 令传递函数h ( ) 一了1 2 争h t 叩m p ，即可得到上 式。 日( 埘) 在信号处理中称为低通滤波器，其中 1 1 m r t d 及其改进算法在目标电磁散射中的应用 k 一饶妒分) ) - 扭厩砸( 2 - 1 8 ) 定理2 1 4 1 ( 日( 叫一g ( ) 由日( 印可导出g ) ( 称为带通滤波器) ： g ( 珊) 一e “日( 吐，+ 玎)( 2 - 1 9 ) 定理2 1 4 2 ( 妒，g 一妒) 设 吒膨为叠僻) 的一个m r a ，记 v o t 。o t 。( 2 - 2 0 ) 则存在妒， ) ) ，使和，o 一七) ) 。为彤，的规范正交基。令妒( x ) = 奴( 及) ，则 矿m 。t 2 胆妒( 2 j x - k ) ，坦为( 回的规范正交基。 事实上，由前面的推导可知谚一。中函数可表示为g ) ；) ，则眵。中函数可 表示她 g 翩r ，因此中函数可表示为十嗤面( 纠上 式为妒( x ) 的频域形式，由定理2 1 4 n - f i 得 、波的时域形式： 妒( x ) - 压荟( 一1 ) i 一1 舡肿( h 一七) ( 2 - 2 1 ) 根据它与k 中伊( z ) 的正交性及m r a 的性质，妒( x ) 的平移函数系伽0 一七) ) 。构 成中的规范正交基，妒( 力称为小波母函数，由它的二进制伸缩函数系 妒肚- 2 m 妒( 2 j 工一量) ) 。 构成小波空间的规范正交基 s p a n 2 m q , ( t x - k ) 。 ( 2 - 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) 由m i 认中 ) 厚的逼近性r 僻) - 奶，可知，在( 1 ) 式中让j ，七遍历全体 整数，则有： 妒2 7 v ( 2 x 一七) 艚 构成r 僻) 的规范正交基( 小波基) ： r 氓) 一s p a n2 7 “q ( 2 i x - k ) ，熘 ( 2 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) 第二章多分辨分祈及m k i d 算法 到此，我们通过m r a ，从k 中的r i e 配基的基函数g ( x ) 出发，一步步构造出 了中的正交小波函数! f ， ) ，并由妒( 力经过整数平移和二进伸缩得到2 假) 的 规范正交基一小波基。 2 。2 基于d a u b e c h i e s 小波的时域多分辨分析 时域有限差分法( f d t d ) 由通用性和瞬态性以及它在计算非均匀介质目标 时，具有矩量法无法比拟的优点，已成为一种解决电磁场问题的有效方法1 1 l 【3 3 1 。 但该方法由于数值色散的影响，在计算过程中需要大量的内存和计算时间。为了 节约计算机资源，提高f d t d