（应用数学专业论文）基于var风险控制的log最优资产组合模型.pdf

摘要 本文考虑金融市场中的动态资产组合问题，以倍率风险函数作 为收益指标，风险价值( v 水) 控制函数为风险指标，建立了基于v a r 风险控制下的单周期动态l o g 最优资产组合模型，另外，应用动态规 划方法建立了基于v a r 风险控制下的多期动态l o g 最优资产组合模 型，分析了模型的性质并证明了模型最优解的存在唯一性。应用遗传 算法对两个模型分别进行了实证研究，并结合单周期和多周期两种情 形进行比较分析，得出了在v a r 风险和收益方面多期模型均要优于单 周期模型的结论。 关键词：v a r ；风险控制；组合模型 i v a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l yd i s c u s s e s t h ed y n a m i cp o r t f o l i oo ff i n a n c i a l m a r k e t s a s i n g l e c y c l ed y n a m i cl o g o p t i m a lp o r t f o l i o m o d e l w a s e s t a b l i s h e db yt a k i n gm a g n i f i c a t i o n r i s kf u n c t i o na st h er e v e n u et a r g e t ， v a l u ea tr i s k ( v a r ) c o n t r o lf u n c t i o na st h er i s ki n d i c a t o r s b e s i d e s ，a m u l t i - c y c l ed y n a m i cl o g o p t i m a lp o r t f o l i om o d e lb a s e do n ( v a r ) r i s k c o n t r o lw a sa l s os e tu pb ya p p l y i n gd y n a m i cp r o g r a m m i n gm e t h o d s ， w h i c ha n a l y z e st h en a t u r eo ft h em o d e la n dp r o v e st h eu n i q u ee x i s t e n c e o ft h em o d e l so p t i m a ls o l u t i o n s e m p i r i c a ls t u d ya b o u tt h et w om o d e l s h a sb e e nd o n er e s p e c t i v e l y a tl a s t ，ac o n c l u s i o nw i l lb em a d et h a t m u l t i c y c l em o d e la r es u p e r i o rt os i n g l e c y c l em o d e li n t e r m so ft h e v a rr i s ka n dr e t u m s b yc o m p a r i n g a n da n a l y z i n g s i n g l e c y c l e a n d m u l t i c y c l em o d e l s k e yw o r d s ：v a r ；r i s kc o n t r o l ；p o r t f o l i om o d e l v 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立 进行研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的 成果、数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内 容外，不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对 本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：z 曼受 日 1 1 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归 属兰州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定， 同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版， 允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和 汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相 关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：互通导师签名：邋日 期：魂血擎 1 引言 现代资产组合理论主要研究投资者在权衡收益与风险的基础上 实现期望效用最大化的方法，以及由此对整个资本市场产生的影响。 m a r k o w i t z n l 于1 9 5 2 年最早提出了关于单周期资产组合选择理论的均 值一方差方法，是金融投资定量化研究的开端，成为现代金融投资理 论的核心基础。由于单周期模型忽略了资产收益的时变性以及未来不 确定性因素等的影响，具有较大的风险，m o s s i n 瞳3 ，s a m u e l s o n 1 等将 其推广到多期的情形，通过最大化终端财富或多周期消费的期望效用 来建立多周期最优资产组合选择模型，所有这些使得将资产组合选择 的静态行为向动态行为拓展成为必然趋势，将单周期模型扩展到多周 期也就成为了现代资产组合投资理论研究的重要内容。 对于风险度量标准，m a o n l 等讨论了均值一下半方差模型，k o n n o 3 等研究了用期望绝对离差来衡量资产组合的风险，建立了资产组合选 择的均值一绝对离差模型，简化了投资组合的计算。c a i 旧1 等用资产组 合中各项资产收益的最大期望绝对偏差来度量风险，建立了线性规划 模型，并且给出了解析解，为多周期资产组合优化问题提供了分析基 础。2 0 世纪9 0 年代发展起来的v a r 风险度量方法，近年来在实践中 已成为度量和控制风险的标准工具，它是当今国际上最流行的金融风 险管理方法之一。 近2 0 年来，在经济全球化和金融自由化等因素的影响下，金融 市场呈现出前所未有的波动性，金融市场风险成为金融机构和个人投 资者关注的焦点。单周期投资者由于不能随着时间变化而对市场实际 变化做出灵活的调整，投资决策缺乏效率，为了避免高风险低收益的 情形，就需要做多周期的动态投资决策。对于长期投资者来说，多周 期资产组合在风险调整等方面要优于单周期资产组合。 本文首先给出了基本概念及符号说明，然后，根据在每个投资周 期投资者必须选择可能的风险资产，使得逐期的财富最大，用动态规 划方法建立了基于v a r 风险控制下多期动态l o g - 最优资产组合模型， 分析了模型的性质并证明了模型最优解的存在性和唯一性。最后，在 此基础上结合中国证券市场中的实际数据进行了实证研究，应用遗传 算法求出了该模型的近似最优解，并结合单周期情形进行了比较分 析。得出了在不同的v a r 风险和置信水平下，该模型均要优于单周期 模型的结论，通过实例分析，从实证的角度说明了该模型的合理性和 可行性。 2 基本概念、原理及符号说明 2 1v a r 的基本原理与分析 定义1 n 3 l v a r ，即“风险价值 ，其内涵足在市场正常波动情 形下，在一定的持有期于和一定置信水平口内，某一金融工具或资 产组合在未来资产价格波动下所面临的最大的潜在损失额。统计学表 达式为： p ( a p 一v a r ) = 口 其0 7 a p 是指在一定的时期t 内某种资产组合市场价值的变化( 损失 额) ，v a r 表示给定置信水平口下的在险价值，口为给定的置信水平。 从上面的定义中我们可以看出，v a r 有三个要素：资产组合的持 有期、数据采集期间及置信水平，这三个要素对v a r 的计算及应用都 起着重要的作用。 为计算v a r 值，我们首先假设资产组合的初始价值为，r 为 其在设定的全部持有期内的回报率，则该投资组合的期末价值为 w = w o o + r ) 。由于各种随机因素的存在，回报率r 可以看为一随机变 量，其年度均值和方差分别设为和仃，在给定的置信水平口下，期 末资产组合的最低值为w + = w o ( 1 + 尺+ ) ，其中r + 为相应的最低收益率， 贝i j ： v a r = e ( ) 一w ：e ( ( 1 + r ) ) 一w o ( 1 + r ) ：一w o ( r + 一) 1 6 3 若假设投资组合的回报率r 的概率密度函数为f ( r ) ，由v a r 的 定义，则有 口= f 厂( 尺) 搬 或1 一口= f ：f ( r ) d r 即组合价值低于w 的概率为1 一口。 可见，如果能求出某置信水平口下的w + 或r + ，即可求出某投资 组合在该置信水平下的v a r 值。 设资产组合的价值r 服从正态分布，! 兰坐服从标准正态分布，c 为标准正态分布相应的分位数，则： l - a = 缈( s ) d 占 其中妒( 占) 为标准正态分布密度函数。 i 妇p ( r 5 0 ) ，在风险资产收益率的分布服从正态分布的情况下，由 w r = 1 ( 口) 一e ( 瓦) ，则的v a r 风险控制函数可定义为： y ( 缈) = 吒一1 ( a ) - e ( 2 - r ) 其中2 = v a r x p 】= 历历，国( c o o ，历，) ，为j 的协方差矩阵，( x ) 为正 态分布函数。 定义3 r m 记投资风险不超过r 的资产组合的全体为耳= 国b i y ( 国) ， ， 其中b = 彩尺卅1e o j = l ，缈o ，p = ( 1 ，1 ，l ，1 ) ) 为全体资产组合集。 定义4 3 ( 倍率风险函数) 定义有风险控制的l o g 一最优投资收益 形( r ，f ) _ m a 易xw ( c o ，f ) _ m 甜a 缉x e l 、l 。g o + c o x ) 为倍率风险函数。其中f ( x ) 为收益率向量x 的联合分布函数。其 直观意义是在风险水平不超过r 的资产组合中能达到的l o g 最优投资 收益。 2 3 遗传算法 2 3 1 遗传算法及其特点 遗传算法n 7 1 ( g e n e t i ca l g o r i t h m ) 是由美国的j h 0 1 l a n d 教授于 1 9 7 5 年在他颇有影响的专著自然界和人工系统的适应性中首先提 出的，其最初的目的是研究自然系统的自适应行为，并设计具有白适 应功能的软件系统。它是遵循优胜劣汰、适者生存的法则，在寻优过 程中有用的保留，无用的则剔除，是模拟自然界生物遗传进化机制的 一种算法。在科学和生产实践中表现为在所有可能的解决方法中找出 最符合该问题所要求的条件的解决方法，也就是找出一个最优解。 遗传算法的特点： ( 1 ) 群体搜索，易于并行化处理； ( 2 ) 不是盲目穷举，而是启发式搜索； ( 3 ) 适应度函数不受连续、可微等条件的约束，适用范罔很广； ( 4 ) 不会落入局部较优的陷阱，能在许多局部较优中找到全局最优 点，是一种全局最优化方法。 2 3 2 遗传算法原理 在自然界，由于组成生物群体中各个体之间的差异，对所处环境 有不同的适应和生存能力，遵照自然界生物遗传进化的基本原则，优 胜劣汰、适者生存，将要淘汰那些最劣个体，通过交配将父代优秀的 染色体和基因遗传给子代，通过染色体核基因的重新组合产生生命力 更强的新的个体与由它们组成的新群体。在特定的条件下，基因会发 生突变，产生新基因和生命力更强的新个体，但突变是非遗传的，随 着个体不断更新，群体不断朝着最优方向进化。遗传算法是真实模拟 自然界生物遗传进化机制进行寻优的，在此概率搜索算法中，被研究 体系的相应曲面看作为一个群体，曲面上的每一个点作为群体中的一 个个体，个体用多维向量或矩阵来描述，组成矩阵和向量的参数相应 于生物种组成染色体的基因，染色体用固定长度的二进制数串表述， 通过交换、突变等遗传操作，在参数的一定范围内进行随机搜索，不 断改善数据结构，构造出不同的向量，相当于得到了被研究的不同的 解，目标函数值较优的点被保留，目标函数值较差的点被淘汰，通过 遗传操作在许多局部较优中找到全局最优点n 引。 遗传算法原理简单地可概括为模拟自然选择和自然遗传过程中 发生的繁殖、交叉和基因突变现象，在每次迭代中都保留一组候选解， 并按某种指标从解群中选取较优的个体，利用遗传算子( 选择、交叉 和变异) 对这些个体进行组合，产生新一代的候选解群，重复此过程， 直到满足某种收敛指标为止。 遗传算法是一种迭代算法n7 | ，它在每一次迭代时都有一组解，这 组解最初是随机生成的，在每次迭代时又有一组新的解由模拟进化和 继承的遗传操作生成，每个解都有一目标函数给与评判，一次迭代成 为一代。遗传算法主要步骤如下： ( 1 ) 初始化，即随机产生一个确定长度的特征串群体； ( 2 ) 基于适度函数对特征串进行评价； ( 3 ) 应用一组遗传操作生成一个新的特征串群体； ( 4 ) 重复步骤( 2 ) 和( 3 ) 直至结果收敛。 遗传算法本质上是对染色体模式所进行的一系列运算，即通过选 择算子将当前种群中的优良模式遗传到下一代种群中，利用交叉算子 进行模式重组，利用变异算子进行模式突变，通过这些遗传操作，模 式逐步向较好的方向进化，最终得到问题的最优解。 遗传算法广泛应用于组合优化、函数优化、自动控制、生产调度 问题、图像处理、机器学习、人工生命、数据挖掘、遗传编程等各个 领域，尤其在组合优化问题上取得了成功的应用。 3 模型构建 3 1 单周期v a r 风险控制下的l o g 一最优资产组合模型 假设资本市场没有交易成本，没有税收，资产具有无限可分性， 不允许借贷和卖空。考虑在一个平稳市场上，投资者有单位原始资金， 不妨设为1 。投资者购买1 种无风险资产和m 种风险资产，第i 种证 ，” 券的收益率为置，投资比例为缈= ( ，q ，l ，) ，其中哆= 1 ， j = o 哆o 。则在投资期未连本带利可能得到l + 国7 x ：1 + 兰q _ 。资产组合 的收益率用名表示，则名：芝q 置。基于v a r 风险控制函数，投资周 t = o 期投资风险不超过r 的全体资产组合集为：e = 缈b i y ( 缈) r 。因此， 基于v a r 风险控制下单周期l o g 最优资产组合模型为： ( 足) ： m a x e ( 1 0 9 ( 1 + o y x ) ) s 7 坎妫r ， 哆= l ，哆o = 0 当风险资产收益率服从正态分布的时，v ( c o ) = g m 。1 ( 口) 一e ( 2 p ) ， 模型为： ( 耳) ： m a x e ( 1 0 9 ( 1 + c o x ) ) 砒一( 叻一以而) ， 哆= 1 ，哆o j = o 3 2 多周期v a r 风险控制下的l o g 最优资产组合模型 假设资本市场没有交易成本，没有税收，资产具有无限可分性， 不允许借贷和卖空。考虑在一个平稳市场上，投资者有单位原始资金， 不妨设为1 ，第i 个周期的l o g 一最优资产组合西的选择只依赖于市场 过去的历史x 0 ，x 1 ，x i - l 而与未来的价格无关，在第i 个周期按资 产组合q = ( q o ，q l ，l ，) 7 投资到1 种无风险资产和m 种风险资产， 其中o ，刍q ， 到这个周期之未连本带得得到 l + c o , 置= 1 + 。如果在每个周期未投资者既不增加资产，也不减 少资金，而是把这些资金再以资产组合i + l 继续投资，投资者可以 在每个周期初重新调整资产组合，设x f + l = ( x f + l 0 ，x f + 1 1 ，l ，x f + 1 研) 为第i + 1 个周期的收益向量，则到第n 个周期期末投资者拥有的资金 累计( 即第n + 1 个周期的初始投资资金) 有s 川= n ( 1 + 缈，x ，) ，取对 数后得l 。g 一收益l 。g 瓯+ 。= 喜l 。g ( 1 + 置) 。记西为第i 个周期达到 躐e l 。g ( 1 + 彩y x f ) ) 的l 。g 一最优资产组合， 并记l 。g “= ：，i o g ( 1 + c o , ”置) 。 那么，基于v a r 风险控制函数，在第i 个投资周期投资风险不超 过r 的全体资产组合集为：e ，= q ei y ( q ) ， ( i = l ，l ，甩) ，即 黔 y ( q ) ，。投资者的投资资金动态过程为： s + l = s ( 1 + q 一l ， ( i = 1 , l ，刀，s i = 1 ) ，即 l o g s , + l = l o g s l + l o g ( 1 + c o , 置l ，i = 1 , l ，聆( s i = 1 ) 在风险资产的收益服从正态分布的假设下，基于v a r 风险控制下 的多周期动态l o g - 最优资产组合模型为： ( 一： m a x e ( 1 0 9 s + 1 ) 豇l o g s , + l = l o g s ，+ l o g ( 1 + 哆7 ) ，哆= 1 ，7 = 0 瑚m 舢a x ，胛 h 哆) ) ，s = i ，f = 1 ，2 ，l ，聆 3 3 模型的性质 性质1 问题( p ) 的最优解对应的投资收益是l o gs 。+ 。，当且仅当哆= 西 ( i = 1 ，2 ，n ) ，其中研为第i 个投资周期的最优投资决策。 证明问题( p ) 最优解唯一性的证明见定理3 。设l o g s , * ( i = 1 ，2 ， n + 1 ) 为最优解对应的各个投资周期的最优投资收益。用反证法，不妨 设缈，缈：( 1 刀一1 ) 为第 1个非最优值， l 。g + t = l 。g 譬+ 茎l 。g ( 1 + 魄五) ，则因巧是对应的最优解，在 晋翳 y ( 哆) ) ，的前提下，有 l o g s ；十。= l o g s ；+ l o g ( 1 十谚一) l o g s j + l o g ( 1 + 哆一) 类推可得到： l o g s ；+ l o g ( 1 + 成鼍) l o g s ；+ 1 0 9 ( 1 + 哆k ) k = | 。 k ；i 、。 这与l 。g s ：+ i = l o g 譬+ 苔l 。g ( 1 + 哆7 一) 是最优的矛盾，所以原命题成立。 定理1 - e r r ；, = m a x e l 。g ( 1 + 哆置) ， 、， 证明 贝i j 有e ( 1 0 9 s , ：) - - e w , 。e ( 1 0 9 & ) 。 b l e ( ，。g 刚= m a x e ( 1 0 9 s ) = 帆m 城a x 喜e ( 1 0 9 ( ，叫置) ) = 喜糟e ( 。g ( ，叫z ) ) = 喜彬+ 而善n 彬e ( 1 0 9 s ) ，所以结论成立。 定理2 设是在平稳市场 中由一列动态1 0 9 一最优资产组合得 到的收益，s n 是任意其他理性投资策略得到的收益，则 l i m s u p ! l 。g 鲁o 以概率1 成立。 证明对问题( p ) 反复运用有约束最大值问题的k u h n - t u c k e r 条件可 得e ( 蚤 ，利用m a r k o v 不等式可得尸c 最 乙研，= p ( 蚤 乙 塑n，无穷多次发生 _ 0 。这意 i6 味着对几乎每一个投咨序列，都存存一个n ，仲得当n n 时， 三l 。g 鲁 5 0 ，且风险资产收益向量的协方差矩阵正定 时，基于v a r 风险控制下动态l o g - 最优资产组合模型的可行解集b r 为有界闭凸集。 证明由定义3 可知b r 有界，由于y ( 国) 关于缈连续，所以b r 为闭集。 下面证明色的凸性。 因为口 5 0 ，故一1 ( 口) o 。v q ，哆耳，ae o ，1 】，应用c a u c h y s c h w a r z 不等式有 姻+ ( 1 _ 锄j = 咿1 g 州 五q + ( 1 一彳她】7 【无q + ( 1 一彳) q 】一点f 彳倒+ ( 1 一彳她】 = 痧1 ( 刮牙q 7 翻+ 础1 一确+ ( 1 一舻q 一剧 姻+ ( 1 一碱】 咿1 训名q 7 翻+ 矾1 一州q 7 翻哆7 + ( 1 - a ) 2 赵觋一科 翻+ ( 1 一锄】 圳阿鬲+ ( 1 _ 抓夏 一锄川一句聃 = 似倒) + ( 1 一神坎) 尸 所以为凸集。证毕。 引理1n 们非空凸集上的严格凸函数一定有唯一的最小值。 引理2 3 令形( 缈) = e l o g o + c o x ) ，则形( 缈) 为严格门函数。 定理3 当风险资产收益率向量的协方差矩阵正定时，基于v a r 风险 控制下多期动态l o g - 最优资产组合模型的最优解存在且唯一。 1 4 证明由引理2 可知w ( c o ) 为严格凹函数，则一形( 缈) 为严格r 5 函数。而优 化目标函数可化为等价形式m i n _ e ( 瓯+ 。i 船 y ( q ) ) r ) ) ，且由性质2 知e 为有界闭凸集，且i 母i o ，由引理1 可知基于v a r 风险控制下多期 动态1 0 9 一最优资产组合模型的最优解存在且唯一。 4 模型应用及分析 4 1 单周期模型的数值模拟 假设资产组合由现金存款、企业债券和股票三种资产构成。基于 v a r 风险控制下单周期l o g - 最优资产组合足一个有非线性约束的最 优化问题，我们假定在投资周期中投资者必须选择可能的风险资产， 则关于v a r 的不等式约束变为等式约束，模型化为： ( 耳) ： m a x e ( 1 0 9 ( 1 + c o x ) ) j 7 咋一( 叻一以昂) = ， 哆= 1 ，哆o j = 0 这是一个有线性约束的最优化问题，我们可以应用遗传算法来求 解。现金资产收益率用3 个月定期存款利率来度量，再选取2 0 0 8 年 1 0 月2 8 日至2 0 0 9 年7 月8 日企债指数和上证5 0 指数的收盘价估计 债券和股票的收益率。可求得投资周期的收益率为： 表4 - 1 投资周期的收益率 现金存款债券 股票 周期收益率 0 0 1 2 6 2 50 0 4 6 9 2 0 6 9 4 4 8 协方差矩酰( 三粼嚣一言篙并 硎臌用舭肥 遗传算法工具箱来求解模型，算法迭代次数设为5 0 0 0 ，停止准则的 停滞代数和停滞时间都设为i n f 。该工具箱搜索的是目标函数的最小 值，故算法中的目标函数取模型中目标函数的相反数。变量个数为3 个，分别设为x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( 3 ) ，且满足等式x ( 1 ) + x ( 2 ) + x ( 3 ) = 1 。 应用惩罚函数法把这些等式约束和v a r 约束直接代入目标函数中，惩 罚函数值设为1 0 8 。分别对于不同的v a r 风险水平和置信水平口进行 计算，得到的最优资产组合如表所示： 表4 - 2 周期最优资产组合及l o g 一最优收益 周期l o g 一最优 v a r 口 存款企债股票 收益 o 9 0 0 0 3 7 0 0 0 0 10 9 9 6 30 5 2 5 8 9 o 9 50 0 0 0 20 0 0 0 40 9 9 9 4 0 5 2 7 1 4 0 0 6 0 9 70 0 0 0 1o 0 0 1 30 9 9 8 60 5 2 6 8 4 0 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 9 9 9 90 5 2 7 3 4 0 90 0 0 4 40 0 0 0 5 0 9 9 5 l0 5 2 5 4 1 0 9 50 0 3 6 30 0 7 1 30 8 9 2 30 4 8 4 5 8 o 0 3 o 9 7 0 1 2 0 80 1 0 7 4 0 7 7 1 80 4 3 3 4 5 o 9 90 1 2 8 50 2 5 5 1 0 6 1 6 50 3 6 5 8 5 o 90 2 3 1 6o 1 6 4 80 6 0 3 6 0 3 5 7 5 7 o 9 5o 4 1 2 20 1 3 5 70 4 5 2o 2 8 1 7 7 0 0 1 5 0 9 70 2 7 0 10 3 3 8 70 3 9 1 1 0 2 5 5 3 5 o 9 90 4 1 0 30 2 7 7 20 3 1 2 5o 2 1 1 2 4 o 90 1 9 4 40 7 1 30 0 9 2 70 0 9 5 5 7 o 9 50 2 0 4 30 7 3 4 l o 0 6 1 50 0 7 6 7 2 0 0 0 2 0 9 70 2 4 0 80 7 0 1 50 0 5 7 80 0 7 3 3 4 0 9 9 0 3 5 5 2 0 6 0 8 0 0 3 6 80 0 5 6 9 2 由表4 - 2 可以看出： ( 1 ) 在相同的置信水平口下，v a r 值越小，即风险越小，更多的资 金将分配到风险最小的现金存款和债券上，这正体现了高收益总是伴 随高风险的金融学原理。 ( 2 ) 在相同的v a r 值的情况下，随着置信水平口的提高，即风险减 小，更多的资金投资到风险较小，收益率较低的现金存款和债券中。 ( 3 ) v a r 值非常大时，即相当于不考虑风险要求，则各个周期的资 金都将投资到收益率最高，风险最大的股票中。随着v a r 值的减小， 对风险较小的现金存款和债券的投资比例也不断提高。 ( 4 ) v a r 值越小，最优资产组合在各种资产上的投资份额变化幅度 越大，这与风险越小，获得收益减小的速度也越快这一事实相符合。 4 2 多周期模型的数值模拟及与单周期情形的比较分析 基于v a r 风险控制下多期动态l o g - 最优资产组合是一个有非线 性约束的最优化问题，可以引入遗传算法来求解，与传统的优化算法 相比，该算法并不要求函数具有光滑、凸性、连续性等性质，不容易 陷入局部最优，具有较好的全局最优性。 假设资产组合由现金存款、企业债券和股票三种资产构成，由于 现金存款风险极低，作为无风险资产，企业债券和股票作为风险资产。 一般情况下，现金存款的收益率低于企业债券，企业债券的收益率又 低于股票的收益率，而在风险性方面，现金存款、企业债券和股票的 风险是依次增大的，这正体现了高收益、高风险的原则。设投资周期 为3 个，在给定v a r 风险的情况下，每个周期投资者必须选择可能的 风险资产，则关于v a r 的不等式约束变为等式约束，模型化为： m a x e ( 1 0 9 s 4 ) s j 1 0 9 s , “= l o g s _ f + l o g ( 1 + q o x i o + q l x i l + q 2 x i 2 ) 2 中。( 功一e ( 磊) = 厂，q = l j - - 0 s = 1 ，c 0 0 o i = 1 ，2 ，3 现金资产收益率用3 个月定期存款利率来度量，再选取2 0 0 8 年 1 0 月2 8 日至2 0 0 9 年7 月8 日企债指数和上证5 0 指数的收盘价估计 债券和股票的收益率。计划期为3 个投资周期，每个周期大约为3 个 月，各个周期的收益率及单周期( 总体) 收益率见表1 。 表4 3 各个周期的收益率及单周期收益率 第一个周期第二个周期第三个周期单周期收益率 现会存款 0 0 0 4 2 7 50 0 0 4 2 7 50 0 0 4 2 7 5o 0 1 2 6 2 5 债券 o 0 3 1 3 40 0 1 3 4 10 0 0 2 1 6 90 0 4 6 9 2 股票0 2 4 7 7 00 1 4 3 0 30 3 0 3 7 50 6 9 4 4 8 三个周期的风险资产收益的协方差矩阵和单周期协方差矩阵依次为： f ，2 7 6 3 2 2 1 0 - 6 - 9 2 2 7 0 3 x 1 0 - 6 、i f 1 4 0 8 8 3 1 c r 6 4 4 7 3 3 3 1 0 r 6 i - 9 2 2 7 0 3 x 1 0 - 6 0 0 0 0 7 4 4 5 4 9ji - 4 4 7 3 3 3 x 1 0 巧o 9 8 j f ，o ，6 2 1 6 6 7 x 1 0 - 6 1 8 2 7 4 8 x 1 0 - 6 、1f ，1 6 0 0 6 1 x 1 0 6 - 5 6 3 7 9 2 x 1 0 - 61 i 一1 8 2 7 4 8x l0 - 6 0 0 0 0 2 4 9 6 4 2 i - 5 6 3 7 9 2x 10 - 6 0 0 0 0 516 0 4j 在不同的置信水平下各个周期的最大v a r 风险见表4 - 3 ： 表4 - 4 各个周期的最大v a r 风险 最大v a r 风险 口 周期一周期二周期三单周期 o 9 9 0 0 6 0 l0 0 4 8 40 0 3 6 50 0 4 9 2 o 9 50 0 4 1 5 0 0 3 3 50 0 2 0 9 0 0 3 3 7 o 9 0o 0 3 1 6 0 0 2 5 5 0 0 15 20 0 2 5 4 由表4 - 2 可以看出： ( 1 ) 在相同的置信水平下，各个周期的最大v a r 风险值都不相同， 且单周期的最大v a r 风险值稍大于各个周期最大v a r 风险值的平均 数，这说明如果将这个单周期投资分为多个子刷期来考虑投资决策， 则可以根据各个子周期的最大v a r 值相应地改变投资份额，以更好地 分散风险，从而可获取更大的收益。所以多周期的最优投资策略要优 于单周期最优投资策略，投资者不应该在某个较长的时期内保持投资 比例不变，而应该根据风险的变化及时调整资产投资比例。 ( 2 ) 当置信水平减小时，各周期相应的最大v a r 风险值也减少，这 并不矛盾。因为置信水平减小时，要求的把握程度减小，风险增加， 故最大v a r 风险值会减少。说明了我们在进行投资决策时，应该结合 置信水平与最大v a r 风险来考虑。 我们使用m a t l a b 遗传算法工具箱来求解模型，算法迭代次数设 为3 5 0 0 ，停止准则的停滞代数和停滞时间都设为i n f 。该工具箱搜索 的是目标函数的最小值，故算法中的目标函数取模型中目标函数的相 2 0 反数。变量个数为9 个，分别设为x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( 9 ) ，且满足 等式x ( i ) + x ( i + 1 ) + x ( i + 2 ) = 1 ( i = 1 ，4 ，7 ) 。应用惩罚函数法把这 些等式约束和v a r 约束直接代入目标函数中，惩罚函数值设为1 0 5 。 分别对于不同的v a r 风险水平和置信水平口进行计算，得到的最优资 产组合如表4 5 和表4 - 6 所示( 其中表4 - 5 中对应的l o g 一最优收益 在表4 6 最后一列中) 。 表4 - 5 多周期最优资产组合 第一个周期第二个周期 第三个周期 v a r 口 存款企债股票存款企债股票存款企债 股票 o 90 0 0 2 90 0 0 0 30 9 9 7 20 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 9 9 9 80 0 0 0 l0 0 0 0 4 0 9 9 9 6 o 9 50 0 0 0 50 0 0 0 90 9 9 8 0 0 0 0 0 60 0 0 0 40 9 9 9 8 0 0 0 0 6 0 0 0 0 3 0 9 9 9 0 0 0 6 o 9 7o 0 0 1 2 0 0 0 0 60 9 9 9 1 0 0 0 0 l0 0 0 0 0 0 9 9 9 9 0 0 0 0 90 0 0 0 10 9 9 9 1 0 9 90 0 0 0 70 0 0 2 40 9 9 6 9 0 0 0 0 40 0 0 2 50 9 9 7 lo 0 0 1 2 0 0 0 0 80 9 9 9 1 o 90 0 2 2 3 0 0 3 4 00 9 4 3 70 0 0 3 20 0 0 5o 9 9 1 8 0 0 0 0 2 0 0 0 0 40 9 9 9 5 0 9 5o 2 2 1 80 0 5 2 8 0 7 2 5 40 0 4 7 0 0 0 4 8 90 9 0 4 10 0 0 5 70 0 0 1 10 9 9 3 3 o 0 3 o 9 70 2 0 8 50 1 6 3 70 6 2 7 7 0 0 6 0 2 0 1 5 9 80 7 8 0 l0 0 0 0 2 0 0 0 4 80 9 9 4 9 o 9 9o 3 17 l0 1 8 2 2 0 5 0 0 7 0 0 5 l l0 3 2 0 6 0 6 2 7 3 0 0 4 3 5 0 0 0 1 60 9 5 4 9 o 90 4 8 4 90 0 3 5 30 4 7 9 8 o 1 6 6 5 0 2 4 3 6 0 5 9 0 00 0 0 5 5 0 0 0 0 6 0 9 9 3 9 0 9 50 5 7 7 90 0 6 0 2 o 3 6 1 90 0 0 6 50 5 3 60 4 5 7 6o 1 9 3 10 0 8 6 20 7 2 0 7 0 0 1 5 o 9 70 2 8 2 20 3 9 3 6 0 3 2 4 30 3 4 8 3 0 2 5 7 3 0 3 9 4 50 3 4 0 40 0 4 5 5 0 6 1 4 2 0 9 90 1 6 110 5 8 2 60 2 5 6 30 1 3 6 8 0 5 4 4 5 0 3 1 8 8 0 4 3 7 50 0 8 6 8 0 4 7 5 7 0 90 2 9 6 2 0 6 3 4 90 0 6 8 90 6 0 5 2 0 3 1 2 9 o 0 8 1 9 0 0 1 7 2 0 0 0 0 2 0 9 8 2 7 0 9 50 3 3 3 8 0 6 2 0 2 0 0 4 6 00 6 2 8 10 3 0 6 9 0 0 6 5 00 2 7 9 10 0 0 2 9 0 7 1 8 0 0 0 0 2 0 9 70 3 ll70 6 4 4 90 0 4 3 40 7 1 3 9 0 2 3 0 5 0 0 5 5 6 0 3 0 0 0 0 0 8 7 8o 6 1 2 2 o 9 90 4 9 4 10 4 7 6 50 0 2 9 50 2 2 1 8 0 7 5 1 6 0 0 2 6 6 0 8 7 7 40 0 5 6 4 0 0 6 6 2 图4 - 1 图4 2 多周期最优l o g 一收益( v a r = o 0 0 2 ，a = o 9 5 ) u 石 裙：。、。 ” j、7i “”j 。? 。、 ，l 瑗 0 6 2 0 2 0 6 2 81 一 o 6 _ _ - 一 一 0 4 l0 0 1 ) 0 i ，o 一 0 3 0 0 2 7 9 1 t 山 - 一 0 2 卜o f 0 6 5 o 0 0 2 9 0 0 4 6 - u 篇一个菠责周期第二个投资剧期第三个投资刷期 投资决策 | | | | 图4 - 4 多周期最优l o g 一收益( v a r = o 0 3 ，a = o 9 5 ) ：鲨8 二= _ i + ：) 哇7 订。4 ： 第个投资周期 第二个投资周期第二个投资周期 投资决策 由表4 5 和图4 1 图4 - 4 可以看出： ( 1 ) 在相同的置信水平口下，随着各周期v a r 值的减小，即风险减 小，更多的资金将分配到风险更小的现金存款和债券上，体现了高收 益总是伴随高风险的金融学原理。 ( 2 ) 在相同的v a r 值的情况下，随着各周期置信水平口的提高，即 风险减小，更多的资金投资到风险较小，收益率较低的现金存款和债 券中。 ( 3 ) v a r 值很大时，即相当于不考虑风险要求，各个周期的资金都 将投资到收益率高，风险较大的股票中。随着v a r 值的减小，对风险 较小的现金存款和债券的投资比例也不断提高。 ( 4 ) v a r 值越小，最优资产组合在各种资产上的投资份额变化幅度 越大，这与风险越小，获得收益减小的速度也越快这一事实相符合。 ( 5 ) 由表1 知第三个周期中债券的收益率小于无风险的现金存款的 收益率，对债券的投资是不理性的，故在这个周期中，最优资产组合 对债券的投资份额极少。 ，1 l o o o o 一 一 嚣釜 一 表4 6 单周期l o g 一最优收益与多周期l o g - 最优收益 单周期多期 m a r 口 l o g 一最优收益 lo g 一最优收益 0 9 0 5 2 5 8 90 6 1 9 5 8 o 9 5 0 5 2 7 1 40 6 1 9 6 l o 0 6 o 9 70 5 2 6 8 4 0 6 1 9 8 5 o 9 9 0 5 2 7 3 40 6 1 9 1 4 0 9 0 5 2 5 4 10 6 0 8 8 6 0 9 5 0 4 8 4 5 80 5 5 3 5 2 0 0 3 0 9 70 4 3 3 4 50 5 2 17 2 0 9 90 3 6 5 8 50 4 6 8 0 7 o 90 3 5 7 5 70 4 6 3 6 6 0 9 50 2 8 1 7 70 3 5 8 7 8 o 0 1 5 0 9 7 0 2 5 5 3 5o 3 2 1 6 5 o 9 90 2 1l2 40 2 6 8 0 8 o 90 0 9 5 5 7o 3 1 7 1 1 0 9 50 0 7 6 7 20 2 4 5 9 9 0 0 0 2 o 9 70 0 7 3 3 40 2 1 7 5 7 o 9 90 0 5 6 9 20 0 6 2 4 9 图4 - 5 与多周期的l o g 一最优收益比较 o 5 5 3 5 2 0 4 8 4 - 口单周 一多周 o 3 5 8 7 8 0 2 81 - 由表4 6 和图4 5 可知，在相同的v a r 风险值和置信水平条件下， 对应的单周期l o g 一最优收益均小于多周期l o g 一最优收益，充分说明了 多周期的资产组合模型要优于单周期的资产组合模型。另一方面，v a r 风险值越大，收益率越高，置信水平越低，收益率也越高，体现了高 收益率的获得是以降低风险，即以较高v a r 风险值或较低置信水平为 代价，风险的减少意味着牺牲收益。对于不同的投资者，都可以根据 个人偏好选择一个适合于自己的最优资产组合。 5 结论 本文针对金融市场中的动态资产组合问题进行了建模，得到了基 于v a r 风险控制的单周期l o g - 最优资产组合模型和多期动态l o g 一最优 资产组合模型，并证明了模型最优解的存在唯一性。在每个投资周期 投资者必须选择可能的风险资产的情况下，使用遗传算法分别求出了 实证研究模型的近似最优解。分析了v a r 风险和置信水平口对资产组 合和资本增长的影响，并结合单周期与多周期两种情形进行了比较分 析，结果表明基于v a r 风险控制的多周期资产组合模型对于单周期资 产组合模型有明显的改进效果，这对投资者更好地进行风险管理和理 性投资具有重要的意义。 参考文献： 1 】h m a r k o w i t z ，p o r t f o l i os e l e c t i o n j j o u r n a lo f f i n a n c e 1 9 5 2 ，7 ( 1 ) ：7 7 9 1 【2 】j m o s s i o n ，o p t i m a lm u l t i p e r i o dp o r t f o l i op o l i c i e s j j o u r n a lo fb u s i n e s s 19 6 8 ， 4 1 ：2 1 5 2 2 9 【3 】p a s a m u e l s o n ，l i f e t i m e p o r t f o l i o s e l e c t i o n b yd y n a m i c s t o c h a s t i c p r o g r