（概率论与数理统计专业论文）几个新的重尾族上随机变量和的大偏差.pdf

摘要 由于重尾分布族在应用概率领域中的广泛应用，人们对其的研究已经有多年的历 史，重尾分布族的大偏差问题更是得到了众多学者的深入研究，k l 也p p e l b e r g ( 1 9 9 7 ) ( 文 献 1 ) 得到了如下的大偏差结果： 假设f e r 矿( 一o ，一卢) ，对某( 1 0 使得 ( 0 - 1 ) e ( 1 + e ) ( 。) 丑( 砷 ( 1 + 5 ) ( 曲) o ( t + o 。) ( o - 2 ) 则对任意固定的7 0 ，有 舰晶f 竽群一，卜o _ o 。兰7 ( ) l 【纠，【z j p ( s ( t ) 一p ( t ) 。) 一a ( t ) f ( z ) ，( t o 。) 对于z ( t ) 一致成立。 文献f 2 1 推广了上面的结论，指出当f g 时，若( 0 1 ) ，( o 一2 ) 成立，则同样的结果 也成立，其中g 族是一个比e r y 族更大的熏尾了类。 本文定义了两个新的重尾予族g 和e ，其中新类g 包括了g 族，p a r e t o 分布 族，l o g n o r m “分布族等，e 族包括g 族及w j i b u l l 分布等，并得到了如下的结果： 1 假设f g ，则有 撬、殷。j 坠蔫户 ”_ 。撕三7 n 7 0 l z j 几个新的重尾族上随机变量和的大偏差 1 e p ( 又一e 又 z ) 扎f ( 。) ， 礼o 。 对于i 1 n 一致成立。 2 假设f g ，虫果( o 1 ) ，( o 一2 ) 成立，则对任意，y o 。蛾高l 掣器掣 1 e p ( s ( ) 一芦( ) 。) 一a ( ) 户( z ) ， t 。 对于 五7 a ( t ) 一致成立。 3 假设f e ，则存在卢，o z ) 一n f ( z ) ， n _ 。o 对于护7 n 一致成立。 4 假设f e ，如果( o 一1 ) ，( 0 2 ) 成立，则存在卢，0 z ) 一a ( ) 户( z ) ( t o o ) 对于护( ) 一致成立。 关键词：重尾分布大偏差破产概率随机和 a b s t r a c t s i n c eh e a v y t a i l e dd i 8 t r i b u t i o nc l a s sh a si m p o r t a n tf u n c t i o nt o w a r da p p l i c a t i o n p r o b a b i l i t y 矗e l d s ，p e 叩1 eh a v er e s e a r c h e di tf 打m a n yy e a r s ，m a n ys c h o l a r sd e 印l ys t u d _ i e dt h el a r g ed e v i a t i o n sf o rh e a y t a i k dr a n d o mv 缸i a b l e s k l 如p e l b e r g ( 1 9 9 7 ) g o tl a r g e d e v l a t i o nr e s u l ta sf o h o w s ： s u p p o s ef e r 矿( 一a ，一卢) ，( 1 z ) ( t ) f ( 。) ，a s t + o 。h o l d su i l i f o r m l y f o r $ 7 ( t ) i t i ss h o w ni n 2 t h a t ，s u p p o s ef g ，w h i c hi sab i g g e rc l a s st h a ne r y ，a s s u m e ( 0 1 ) a n d ( o 2 ) a r es a t i 曲e d ，t h es a m er e s u l ti sa l s or 坛h t i nt h ep r e s e n tp a p e r 怕d e f l n e dt 、帕n e wc 1 8 s s e 8w h i c hn 啦e dga n d e gi n c l u d e s c i a s 8c ，p a r e t od i s t r i b u t i o na n dl o g n o r m a ld i s t r i b u t i o ne t c ，ei n c l u d e sg a n dw e i b u l l d i s t r i b u t i o ne t c ，a n dg o tt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： 1 s u p p o s ef g ，t h e nf o ra r l y 矗x e d1 o ， e 整茅一卜n f ( z 1i p ( - 一e s ； z ) n f ( z ) ，o sn _ 。 h 0 1 d su n i f o r m l yf o 。i27 礼 2 s u p p o s ef g ，i f ( o - 1 ) ，( 0 2 ) a r es a t i s 6 e d ，t h e nf o ra n y 矗x e d7 o 憋、高| 型群 。- 。v ，i ! ( ) i a ( ) 一( 。) i e p ( s ( ) 一肛( f ) z ) 一a ( ) f ( z ) ，a s o 。h o l d su n i f o r m l yf o r 、蕃7 a ( ) 儿i 嚣 撬 些尘堑堕重星堕圭堕垫堑兰翌堑垄堡垄 3 s u p p o s ef e ，t h e r ee x i s t s 卢，0 l礼，。旧)1 p ( 品一旦 z ) 户( 。) ， _ o 。 h o l d su n i f b r m l yf o rz 口7 礼 4 s u p p 0 8 ef e ，i f ( 0 一1 ) ，( o 一2 ) a r es a t i s 6 e d ，t h e nt h e r ee x i s t s 卢，o z ) a ( t ) f ( z ) ( t _ o 。) h 0 1 d su n i f o r 瑚】yf 打z 口7 a ( t ) k e yw o r d s ：h e a v y - t a i l e dd i s t r i b u t i o n ；1 a r g ed e v i a t i o n s ；r u i np r o b a b i l i t y ：r a n d o ms u m s 1 v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 荆立论文作者签名：铆睡乳签字日期：砂年歹月扩日 l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解粉 有关保留、使用学位论文的规定 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授褂以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者始研晦缸导师签名 签字日期 餐所 i 电话 邮编 趁r磷小 l 引言 1 引言 1 1保险与概率统计的关系 人类社会生活中经常要面对疾病、 险。科学技术的发展和生活水平的提高 死亡、意外事故和自然灾害等方面的风 不断增强着人类抵御风险的能力。但是 灾变是不可能根本避免的。保险的基本原理是将众多投保人的保费集中到承保 人处，当风险发生后，由承保人承担损失。这种机制使投保人通过付出少量且 固定的保费，将大量的不确定的损失转移到承保人或保险公司身上；承保人利用 保费收入一方面保证赔偿的正常进行，另一方面，通过分析与计算来合理调配 资金，提高保险基金的投资效益，最终使投保人和承保人都有收获。既然保险 承保的对象是不确定的损失，那么，承保人是在如何保证投保人利益的基础上保 持自身的经营稳定性，并获得一定的利润呢? 除了一般的经营原则外，保险企 业的经营中有个很独特的经营原则，就是以数学特别是概率统计中的某些原理和 方法为经营基础，具体表现在对投保风险的定量统计分析和预测、根据一定的 原则进行保费计算、对索赔和投资的定量分析等方面。 随着概率统计在理论上不断完善、在应用中逐渐成熟，出现了一个结合数 学、统计学、保险学和金融学等多种学科的崭新交叉学科精算学。精算学以现 代数学和统计学为基础，对保险经营中的某些问题进行定量化的分析和研究， 为保险公司进行科学的决策和提高管理水平提供依据和方法，它成为保险公司在 激烈竞争的市场环境中得以生存和发展的重要环节。保险精算一般由寿险精算 和非寿险精算或意外险精算组成。非寿险一般指人身意外伤害保险、财产保险、 医疗保险和责任保险等。相对于以人的生存或死亡为唯一损失的人寿保险，显 得风险种类繁多、影响风险发生的因素多及索赔方式复杂，这时保险业务知识 和统计分析方法是融合在一起的。 非寿险精算的研究问题主要包括费率厘定、损失分布估计等。索赔频 数f c l a i mn u m b e r ) 和索赔额( c l a i ms i z e ) 是影响费率的两个主要方面。损失分 布估计与一般的统计估计问题有类似之处，即包括分布拟合与参数估计两大类问 题。而常见的分布有：威布尔( w e i b u l l ) 分布、伽玛( g a m m a ) 分布、布尔( b u r r ) 1 几个新的重尾族上随机变量和的大偏差 分布、对数正态( 1 0 9 n o r m a l ) 分布、帕累托( p a r e t o ) 分布和b e t a 分布等。 保险风险模型主要由总索赔额模型和破产理论两部分组成。它的一个基本模 型就是经典的更新风险模型( r e n e w a ir i s km o d e l ) ，该模型的基本结构如下： 1 ：单个索赔额( c l a i ms i z e ) 序列 ，n 1 ) 是一个独立同分布的非负随机 变量序列，具有一个共同的分布f 和一个有限的期望弘= e x ，。 2 ：索赔时间间隔( i n t e r _ a r r i v a l ) ( k ，礼1 ) 也是一列独立同分布的非负随机 变量序列，具有共同的期望且独立于 j 乙，竹1 ) 。 3 ：在时间段 o ，t 发生的理赔次数( t ) = s u p n 1 ：t ) ，o ，其 中矗= 翟lk ，n 三1 ，被称为理赔时刻。 4 ：到时刻t 为止的理赔总额过程 s ( t ) ，t2o 定义为s ( t ) = 答五，t 兰 o 。 破产理论是研究经营者的经营状况的理论和方法。一般首先建立经营者的资 本剩余量( s u r p l u s ) 模型u ( t ) = 。+ 保费收入- 总索赔。u ( t ) 表示t 时刻的资本 剩余量，。为原始准备金，若保费收入可以简化为以固定的比率( 常数c ) 增加， 则( 亡) = 。+ c 亡一s ( 1 ) 。记丁= i n 杖，u ( ) 0 ( u ( t ) 1 ( 正则 变量族) 时，对每个固定的7 0 ，对z2 ，竹一致成立： p ( & 一e 艮 z ) p ( m a x ( x 1 ，x 。) o ) 一n f ( 。) ，礼 c l i n e 和h s i n g ( 1 9 9 1 ) ( 文献f i o j ) 将此精确大偏差的结果推广了p e r r ( 一，卢) 族的情形，随后k 1 西p p e l b e r g ( 文献 1 】) 进一步处理了随机和 的情形，苏淳、唐启鹤等( 2 0 0 1 ) ( 文献 1 1 ) 又将i ( 1 赴p p e l b e r g 的结论作了较大的 改进，得到如下结果： 假设f e r y ( 一q ，一口) ，对某( 1 o ，有 e ( ( ( t ) ) 球五帅) ( 1 卅坤) ) ) = o ( a ( t ) ) 则对任意固定的7 o ，有 1 e 溉裴。f 型群一卜a ( t ) f ( z ) 1 l 。 p ( s ( ) 一( t ) 。) 一a ( t ) f 0 ) ，0 。) 对于z 7 a ( ) 一致成立。 文献 2 j 将精确大偏差的结果推广到g 族上去，得到如下结果； 假设f g ，更新计数过程 ( ) ，o ) 满足 ( ) a ( t ) 且对任何固定的6 o 和某一个小的e = e ( d ) o 使得 e ( 1 + e ) ( ( e ( i 十d ) n ) ) o ( 。) 则对任意固定的1 o ，有 舰蕊f 塑群一i _ o l _ e p ( s ( ) 一p ( t ) z ) 一a ( t ) 声( z ) ，( f o o ) 对于z 7 a ( ) 一致成立。 本文的2 ，3 两节主要研究的是索焙额过程s ( t ) 的大偏差( p r e c i s el a r g e d e v i a t i o n ) 问题，通过定义两个新的重尾子类g 和e ，他们不但包括c 族，还 包括了我们非常感兴趣的w e i b u l l 分布，l o g n o r m a l 分布等实际应用中很重要的 3 几个新的重尾族上随机变量和的大偏差 分布族，并得到了相似的大偏差结果，从而改进与推广了原有的结论。在第4 节里，利用破产概率与一类带正跳的l e v y 过程的极值分布的密切关系，给出了 此极值分布关于破产概率的一个表达式。 1 2几个重要的重尾子类 在本节中，如无特别申明则恒设x 为一个非负实值随机变量( r v ) ，其分布 函数( d t f ) 记为f ( z ) = 尸( x z ) ，尾分布记为f ( z ) = 1 一f ( z ) = 尸( x 芝z ) 。 假定户( o ) = 1 ，同时对任意z o 有f ( z ) o ，并假定 o 0 ，使得对0 t l 成立 i 嬲p 筹 l ，有 ，弋骢群错剑嬲p 错汀。 其中和卢是常量且满足l o ) 6 族：我们称f 是强亚指数的( 记成f s ) 如果f s ，且 对于t i l 】o 。1 一致成立。 墨! 墨盟一9 溉 瓤r 纠 5 几个新的重尾族上随机变量和的大偏差 2g 族上部分和与随机和的大偏差 2 1新的重尾子类g 在本文中，恒设 ，n 之1 ) 是非负独立同分布的随机变量序列，有一 个共同的重尾分布函数f 。 ( ) ，t o ) 是一个非退化的整值计数过程， 和( j ，n ，礼l 独立。通篇我们假设a ( f ) = e ( t ) 一o 。，( 当一o 。) ，进一 步，我们假设“= e x l o 。，记 p ( ) = e s ( t ) = p a ( t )( t2o ) 定义2 。1 ：g = f ，且l i m 。旦蒜产= l 引理2 1 ：对任意的1 z 。，有髭碧c 0 + 1 ，又因为 f f o )l 。墨。端币面一“。 令c = 而币亡i 丽，则对任意的岱o 有声( 2 z ) 之c 尹( z ) 因此f & 。 出文 献 2 中的引理3 知e 月ycgc ( dn 工) c & cs 。 ( 2 ) 假设f c ，因为g s 我们只需证明 拽等铲= ， ( 2 _ ，) s2g 族上部分和与随机和的大偏差 由f g ，对任意的e 0 ，当x 充分大时，有 则 f ( ( 1 + e ) z ) ，f 扣+ 压) ，f ( ( 1 一e ) z ) f ( 。) 。 f ( 茁) _ 二 f ( z ) ，= 船- 呱群掣s - 鹳掣亟簧笋 鲫嬲p 笋嘧i 黧p 肆铲= ， ( 2 _ 。) 由( 2 1 ) 式成立知引理2 1 证毕。 当f 为l o g n o r m a l 分布，密度函数为f ( x ) = ! j 三i ，有f 岳d ，则f 岳g ， 但我们能证明f g ，这表明g 是一个比c 更大的类，因为： 撬等铲= 舰等铲= 舰e 掣 舰( 1 0 9 z ) 2 一( 1 。g 扛+ 缸) ) 2 = o 则( 2 1 ) 式成立，由文献 1 2 知f & ，则f g 。 当f 是p a r e t o 分布，尾分布为f ( z ) = ( ：) 。，其中f o ，q o ，显 然f g ，四f g 。 2 2 定理及其证明 定理2 1 ：假设f g ，则有 1 e l l ms u d “_ + 。扣刍 p ( & 一e & z ) n f ( 。) p ( & 一e 品 茁) 礼f ( z ) ， n _ 。 对于i 7 n 一致成立，其中，y 为任一正数。 7 ( 2 3 ) 几个新的重尾族上随机变量和的大偏差 证明定理2 ，1 之前先引入下面的引理，假设 f ，岛，n 1 ) 是独立同分布的随 机变量，有共同的分布函数f 及负的期望，i e 引= 口，由文献 1 2 得到下面的结 论。 有： 引理2 2 ：假设f & 及e 0 ，则存在茹l 使得对任意的n 1 及z z 1 p 思誉喜& 捌半广。m 下面开始证明定理2 1 ： ( 2 4 ) 对于任意固定的1 0 ，存在d ，使得7 j o ，令6 = 灿+ 6 ，霹= 五一6 则取? ( z ) = p ( f z ) = f ( z + 6 ) ，及厥：s 丰。 由( 2 4 ) 式知对于任意固定的e o ，存在珈 0 ，使得对任意的n2l 及2 o ，有 p ( 叉一舰2 ) 墨p ( 理蓦( & 一觇) 可) 半厂m + 6 ) a u s ( 1 + e ) n p ( )( 2 5 ) 由1 i h k _ + o 。帮= 1 ，则对于任意固定的e o ，存在。，当z 茁。时，有 户( z ) ( 1 + e ) 尹( z + 、固 则当n 充分大时，对于缸，y 佗有 z 一巧礼z o ( 。一巧礼) 1 2 三6 礼 8 2 g 族上部分和与随机和的大偏差 令z = f + 跏，代入( 2 5 ) 式，当n 充分大时，对于、，伍7 礼有 另一方面有： p ( 一e 。s j 。) 曼( 1 + e ) 佗f ( z d 佗) ( 1 + e ) 2 佗f ( z d 佗+ ( z d 佗) 1 2 ) ( 1 + e ) 2 佗f ( z ) 尸( 又一e 叉 口) p ( s n e 晶 石，恐臻五z + 撕+ p ) e & z ，磁 z + 面+ p ) ( 2 6 ) 一 p ( & 一e & z ，五 。+ 以+ p ，玛 z + 缸+ 弘) 1 墨l ( 一1 ) p 一撕) ) 一佗f ( z ) ) ( 2 7 ) 由( 2 6 ) 及( 2 7 ) 有， 嚣一堕蒜掣一怿“+ l ，一警j 十篙。箐卜( ( 川卜伺+ 嚣。州 由f g 及e x l n“。z ； “( 2 8 ) 概恝。卜p ( 岛- l ( 仡一1 ) 肛一缸) ( 2 9 ) f ( 。+ 撕+ 芦) 再i 广一 1 山， 9 f 2 1 0 1 又 p 。m 一 0 舰 些尘堑塑重墨茎圭堕垫壅墨塑竺奎堡重 由( 2 8 ) ，( 2 - 9 ) 及( 2 1 0 ) 有 尸( & 一e 品 z ) 一亿矿( 。) ，( n o 。) 对于面，y 礼一致成立，定理2 1 证毕。 定理2 2 ：假设f g ，如果 ( t ) ，t o ) 满足 错与斗。) 且对任何固定的6 o 和某一个小的e = e ( 6 ) o 使得 则对任意7 0 1 e e ( 1 + e ) ( 。) 五( t ) ( 1 + d ) ( t ) ) o ， ( t o o ) 腮高f 掣湍掣 0 尸( s ( ) 一卢( t ) z ) 一a ( t ) 户( z ) ，t o o 对于五( t ) 一致成立。 证明定理22 之前先引入下面的引理 引理2 3 ：假设f g 及( 2 1 1 ) 式成立，则对任意固定的7 0 有 ( 2 一1 2 ) ( 2 - 1 3 ) p ( ( ) = ) p ( 最一p ( t ) z ) 一a ( t ) 户( z ) ，( t - o 。) ( 2 一1 4 ) 对于i 7 a ( t ) 一致成立，其中e ( t ) _ o ( 当t _ 。) 证明：由f g 及定理2 1 知 p ( & 一e & 。) 一礼f ( 。) ，( 他_ 。) 1 0 2 g 族上部分和与随机和的大偏差 对于以7 n 一致成立，其中7 是任意固定的常量。 由i a a ( t ) i e ( t ) a ( t ) 及e ( ) _ o ，( 当t 斗) ，因此 a ( t ) 一，0 - o 。) 对任意固定的，y 0 及t 充分大时，存在7 7 o 使得对、，伍，y a ( t ) 有， 则 7 叫七刈啪肛嘶( 一半) 生竺二! ! 二鲨! 幽 户( z ) f ( ( 。一( 七一a ( t ) ) 肛) + ( z 一( 七一a ( ) ) p ) 1 2 ) f ( ( z 一( 一a 0 ) ) 卢) + ( z 一( 七一a ( t ) ) 肛) 1 2 ) 。 瓤r - 二 由、历7 ( t ) 则， 堕二差业监三是磐斗o o - + 。) 互一( t ) ”7 ( t - 。) 坠铲塑铲笋一心一)f ( z ) 一 f ( z ) 一 f ( 。) 。 p ( 巩一( t ) z ) = p ( 最一e s 。一( 七一a ( ) ) 口) 七尹( z ( 血一a ( ) ) “) 一a ( t ) 户( z )( t 一。)( 2 1 5 ) 对于、，石 ，a ( t ) 一致成立，其中自 ( 1 一e ( t ) ) a ( t ) ，( 1 + e ( ) ) a ( ) j 。 几个新的重尾族上随机变量和的大偏差 则对任意的e 0 规高i 坠幽趔器茅型。+ 、i 兰7 ( t ) l 【叫，i z j s 熙高l 。m 删) | 警 ( t ) 【! e ( t ) ( ) 儿、。，1 、山j + 觇l 。意啡，州叫一l s e 墨恶p ( 1 ( ) 一a ( t ) j 茎e ( t ) a ( t ) ) + 墨恐l p ( 1 ( t ) 一a 0 ) 。) p ( ( ) = 后) 一a ( t ) f ( z ) ff - ，。) 对于 i ( t ) 一致成立，引理23 证毕。 引理2 4 ：假设f g 及( 2 1 1 ) 式成立，则对任意固定的7 0 及0 z ) = o ( a ( t ) 户( 。) ) ( 2 1 6 ) ( 1 + e ( ) ) ( ) o ，存在珈，当z 茁。 时，有 p ( 茁) 冬( 1 + e ) f ( z + 、压) 当t 足够大时，o z j ( 1 + e ( t ) ) ( t ) z 却冲) ) p ( 错1 + e ( t ) ) ( 1 + e ) ( 1 删婶网z 却冲) ) 尸( 错1 + c ( ) ) ( 1 + e ) 2 ( 1 删琊) 声( 卫嘶坤) + ( ( z 却坍) p ( 锵1 + e ( t ) ) 刚瑚- 删砟p ( 等 1 + m ) ) 其中【x 表示x 的整数部分，引理2 4 证毕。 引理2 5 ：假设f g 及( 2 1 1 ) 式成立，则对任意固定的7 o ，有 _ p ( ( t ) = ) p ( 鼠一p ( t ) z ) = 。( a ( ) f ( z ) ) ，( t _ 。) ( 2 1 7 ) 七 。) 帅砟) ) p ( 错 o 及o 。) = p ( ) = 女) 一p ( 鼠一肛 ) z ) ( 2 1 9 ) ；o 为了证明定理2 2 ，只需证明 p ( ( t ) = 七) p ( & 一“( t ) z ) 一o q ( t ) 卢( z ) ) ，( t _ 。o ) ( 2 2 0 ) ( i + d ) ( ) 对于v 压7 a ( # ) 一致成立，其中 为任一正数。 由f gcs 则对任意的e o 存在免( e ) 使得 亏”+ ( z ) sk ( ) ( 1 + e ) ”户( z ) ，( 0sz z ) 凫 ( i + 引a ( ) s ( )p ( ( ) = ) ( 1 + e ) f 扛+ 弘( t ) ) 女 ( 1 + 6 ) ( t ) s( e ) p ( | ( t ) = ) ( 1 + e ) 。f ( z ) k ( 1 + 6 ) ( t ) = k ( e ) f ( z ) e ( 1 + e ) 。( 。，( ( ) ( 1 + d ) a ( ) ) = o ( a n ) f ( z ) ) ，( t _ o o ) 定理2 2 证毕。 1 4 53 e 族上部分和与随机和的大偏差 3e 族上部分和与随机和的大偏差 3 1新的重尾子类e 定义3 1 e = f ：f 只，且存在卢：o 0 ，血 o 、 ( ! ! e ! = ! 1 51 j ! = f ! ! f ! ! ! ! = ! ! ! ! ：马琶e 协2 三孽巴( ( 1 。g 。一l 。g ) 2 一( 1 。g ( 。+ z 卢) 一l 。g 。) 2 ) = o 则( 3 一1 ) 式成立，由文献 1 2 】知f 只，则f e a 当f 是w j i b u l l 分布，尾分布为户( 。) = e “。，z o ，a ( o ，1 ) 显然 1 5 几个新的重尾族上随机变量和的大偏差 f d ，进而f 隹g ，但我们同样能证明f e ，因为 令0 0 ，当n 充分大时，对于护 ( ) 有： 另一方面有 p ( s 竹一e 叉。) ( 1 + e ) 佗f 扛) ( 3 5 ) p ( r e s 。) 尸( r e 叉 z ，罂麓置z + 扩+ 肛) p ( 一e & z ，砥 z + z 4 + 肛) t = 1 一 尸( s e s z ，置 z + 。4 + “，墨 z + 。4 + 肛) l ( 卜+ 躲州) 由f e 及e 五 z ) 一n f ( z ) ，斗。o ) 对于护7 几一致成立，定理3 1 证毕。 定理3 2 ：假设f e ，如果 ( ) ，f o ) 满足 筹与( t 斗。) 且对任何固定的d 0 和某一个小的= e ( d ) o 使得 ( 3 - 9 ) f 3 一l o ) e ( 1 + e ) 。( 。j ( ( ) ) ( 1 + 6 ) ( 。) ) _ o ， ( t - 。)( 3 1 1 ) 礼 墨 良： 。护 印 由 几个新的重尾族上随机变量和的大偏差 则存在卢，o z ) 一a ( t ) 户如) ( t 。) 对于护帕( t ) 一致成立。 先引入如下引理： 引理3 3 ：假设f e 及( 3 1 0 ) 式成立，则对任意固定的7 0 有 p ( ( t ) = ) 尸( s k 一弘( t ) z ) 一a ( t ) f 扛) ，0 。) ( 3 - 1 3 ) i 一a ( t ) i ! e ( t ) ( t ) 对于。4 ( t ) 一致成立，其中e ( ) 上0 ( 当t _ 。o ) 证明：由f e 及定理3 1 知 p ( 一e & 。) n f ( z ) ，( 礼- 。) 对于扩7 亿一致成立，其中7 是任意固定的正数。 由 k a ( ) l e ( t ) a ( t ) 及e ( t ) _ o ，( 当t _ 手o 。) ，因此 a ( t ) 一r ，( t 甘o 。) 对任意固定的7 0 及t 充分大时，存在，y 0 使得对扩，y a ( t ) 有 则 ! 壁二蝗二塑狴2 f ( 。) 1 8 a ( ) 、 七 3e 族上部分和与随机和的大偏差 。) = p ( & 一e 5 ； z 一( 女一a ( t ) ) ) f ( 。一( 一a ( t ) ) 肛) 一a ( f ) f ( z )( t - o 。)( 3 一1 4 ) 对于护7 a ( t ) 一致成立，其中 ( 1 一e ( t ) ) a ( t ) ，( 1 + e ( ) ) a ( ) 。 则对任意的e o 熙溉) | 出趟器茅幽一l 熙溉m 叫意球，删叫鬻一f + 堍l 。意，州刊一， 墨e 墨恐p ( i ( ) 一a ( t ) i f ( t ) a ( t ) ) 十墨恶l p ( i ( f ) 一a ) lse ( t ) a ( ) ) 一l 1 9 些尘堑塑重墨堕圭堕垫壅量翌塑查堕茎 令e 上o 有， p ( 乳一肛( t ) z ) p ( ( t ) = ) a ( t ) f ( z ) ( t _ 。) 对于扩，y 入( t ) 一致成立，引理3 3 证毕。 引理3 4 ：假设f e 及( 3 一1 0 ) 式成立，则对任意固定的7 o 及o z ) = o ( a ) 户扛) ) ，( t 。啪一1 5 ) ( 1 + e ( ) ) ( ) o ，存在z 。，当z z 。 时，有 p ( z ) 茎( 1 + ) 户扛+ z 4 ) 当t 足够大时，o o j ( 1 + e ( t ) ) ( t ) 嘶啡，) - 尸( 筹 俐) s p ( 札m ，一砜驯 z 卸坤) ) p ( 错 删) 钏瑚删雄风川酬圳p ( 锵 州t ) ) s ( 1 + ) 2 ( 1 删孙) f ( z 卸琊) + ( ( z 卸砟炉) p ( 等 1 + e ( ) ) ! ! ：望堕圭塑坌翌皇堕垫翌堕奎堡茎 删) = d ( a ( t ) f ( 。) ) 对于扩，y a ( t ) 一致成立，其中 x 】表示x 的整数部分，引理34 正毕。 引理3 5 ：假设f e 及( 3 1 0 ) 式成立，则对任意固定的7 0 ，有 p ( ( t ) = 七) - 尸( & p ( t ) z ) = o ( a ( t ) 户( z ) ) ，( t - o 。)( 3 1 6 ) 七 z j ( 1 一e ( t ) ) ( ) p ( 札州三螂坤) ) p ( 等 ，刊) p m 巾m 】砜h 圳州) p ( 错 o 及o 。) = p ( ( t ) = ) p ( & 一p ( t ) 。) ( 3 一1 8 ) 女= 0 几个新的重尾族上随机变量和的大偏差 为了证明定理3 2 ，只需证明 p ( ( t ) = ) - p ( 鼠一p ( t ) z ) 一d ( a ( t ) f ( z ) ) ，( t 。) ( 3 1 9 ) k ( 1 十6 ) a ( t ) 对于扩帕( t ) 一致成立，其中，y 为任意固定的正数。 由f 曰cs 则对任意的 0 存在( e ) 使得 f 矿扛) sk ( e ) ( 1 + e ) “户( z ) ，( o 。 z ) 七 ( 1 十5 ) a ( t ) 冬( e )p ( ( o ) = ) ( 1 + e ) 2 户( z + 肛( t ) ) ( 1 + d ) ( t ) sk ( e ) p ( ( t ) = 女) ( 1 + e ) 2 f 扣) 女 ( 1 + d n ( o ) = k ( e ) 户扛) e ( 1 + e ) ( 厶( t ) ( 1 + 6 ) ( ) ) = o ( a ( t ) p ( z ) ) ，( t 斗。) 对于护帕( t ) 一致成立，定理3 2 证毕。 2 2 54 一类l e v y 过程的极值分布关于破产概率的表达式 4类l e v y 过程的极值分布关于破产概率的表达式 4 1引言 在基本的更新风险模型里，如果假设 ( t ) ，t o ) 是参数为a 的p o i s s o n 过程， x t ，1 ) 是独立同分布的非负随机变量列，p ( x ) 记为的分布函 数，其数学期望为e x l = 越， ( t ) ，t o ) 与 x ，女1 ) 独立，此时的模型就 退化为风险分析中的古典风险模型。我们总假设 ( t ) ，t o ) 的轨道是右连续 的，记 ( t ) x ( z ) = 五一以 ( 4 1 ) 其中c o 。众所周知，随机过程f x ( ) ，f o ，是轨道右连续的平稳独立增量过 程，也是个l e v y 过程，从而具有强马尔可夫性。令 砰= 僻茹云呈髫糍 霹= f 1 答譬最# 糍 易见，霹是停时，本文总假设a 肛一c o ，注意到e x ( ) = ( 一c ) t o ，由 强大数定律可知 p 吨掣：a 卢一c ) ：l 、斗o 。f 。( 4 2 ) 由上式可知，j d ( 1 i m _ o o x ( ) = 一) = 1 ，以h 记 x ( ) ，t o ) 的零点总数， 即 日= 。，溉塞燕 2 3 几个新的重尾族上随机变量和的大偏差 那么有p ( h o 时，霸 o 。，瑶+ l = 。，记 兄( 钆) = p ( s u p y ( t ) su ) o s 砰 f k ( u ) = p ( s u px ( t ) “) 0 不妨记口= a 肛c ，由文献【1 3 知咖( o ) = 1 一a 肛c = l g = p 。 文献 1 4 研究的是k = 1 时f l ( “) 与生存概率的关系，本文所作的工作就是 把其推广到一般情况，得出了r ( “) 与f 女( “) 关于生存概率的表达式。 4 2 主要结果 按照文献 1 4 中的记号，对自1 ，记 厶( “) = p ( s u p x ( t ) 札，h = )( 4 5 ) o 型 硭 g ( “) = p ( s u px ( f ) s “，掣 o ，有 风( u ) = p ( s u px ( f ) u ) o ! k 霹 = p ( s u px ( ) u ，露 。) + p ( s u d x ( t ) u ，霹= o o ) o ! t 霹 o k = g 女( u ) + p ( s u px 0 ) su ，日= 一1 ) + 尸( s u p x ( t ) u ，硭一l = ) o ! 雩 o s t 1 _ = g 女( u ) + 一l ( ) + p ( s u px ( ) u ，2 岂l = o 。) o s t ( 碍一1 = g ( u ) + 五( 札) + p ( s u p x ( t ) “，日= o ) 扛1 o ! t 2 ： = ( 卜赤n p h ( 卜蠢) i + ”赤) j 当u = o 时，由样本函数的轨道性质知以( “) = p ( 日= o ) = p 当札 0 时，最( “) = 0 。 定理4 1 证毕。 为了求出f ( u ) 的表达式，我们需要先证明两个引理，不失一般性，可设 关于x ( t ) 的推移算予存在，用 吼，t o 表示。 引理4 2 对1 ，有 p ( 霹 。) = ( 1 一p ) 。 2 5 f 4 9 1 几个新的重尾族上随机变量和的大偏差 证明：因x ( t ) 是强马尔可夫过程，从而有， 尸( 霹 。) = 1 一尸( 霹= o 。) = l p ( 硪。= o 。) 一p ( 日= 一1 ) = p ( 礓。 。) 一尸( 礓t o 。，( 霹= 。) 魄。) = p ( 礓1 o 。) 一p ( 矸= o 。) p ( t 墨1 o o ) = ( 1 一p ) p ( 霹一l 。) = ( 1 一p ) 。 引理4 2 证毕。 引理4 3 对于k o ，有 证明 p (s u px ( t ) u ，哦1 o 。) = ( 1 一p ) 2 g 1 ( 孔) ( 4 一l o ) 霹s t 吼1 p ( s u px ( t ) 曼u ，掣+ l