数学毕业论文高中数学中的函数思想及应用.doc

西 南 大 学 本科毕业论文(设计) 题 目 高中数学中的函数思想及应用学 院 理工学院 专 业 数学 年 级 2008 级 学 号 xxxxxxxxxx 姓 名 ddddddddd 指 导 教 师 成 绩 年 月 日目 录摘要1关键词1abstract1key words1一、引言2二、函数的基本概念2（一）函数概念2（二）函数思想5三、函数思想在高中数学中的具体体现6（一）方程中的函数思想6（二）不等式中的函数思想8（三） 数列中的函数思想9（四）三角中的函数思想10（五） 向量中的函数思想11（六）立体几何中的函数思想12（七）解析几何中的函数思想13（八）探索性与实际应用问题中的函数思想14四、总结15参考文献17致 谢18西南大学育才学院2012届数学与应用数学专业本科毕业论文高中数学中的函数思想及应用摘要：函数是高中数学的一个重要的基本概念，它渗透在数学的各部分内容中。一直是高考的热点、重点内容。本文论述了函数思想是函数基础理论的升华，并结合大量的实例叙述了函数思想在高等数学的各个方面的应用，从而揭示了函数意识的实质以及对知识发展规律的认识。在解题过程中不仅限于只简单地模拟、套路，而更多的是创设一个自己去观察、探索、研究问题的情境。在理清思路，搞清原理的基础上，将具体的模式和解题方法上升到定的思想高度。这样才能使思维得到真正的发展和深化，进而完成函数思想的培养。关键词：高中数学 函数 函数思想abstract：function of the high school mathematics is an important basic concept, which penetrates in mathematics of all the parts of the content., so it has been the hot spot of the university entrance exam, key content.this paper discusses the function of the theory of ideological function is the sublimation, and combined with a large number of examples describes the function in higher mathematics thought of all aspects of the application, and reveals the essence of the function of knowledge and awareness know the law of development.we in solving questions are not limited to just simply simulation, routines, and more is to create a himself to observe, exploration, research problem situation. in the ideas, understand principle, and on the basis of the specific pattern and problem solving method to set up the thought highly. this way can make our thinking get real development and deepening, complete function and the cultivation of thinking. key words: high school maths, function , function thought一、引言函数是构建整个中学数学的主旋律。函数思想在高中数学中起到了横向联系和纽带的主干作用，它是一种考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态过渡到研究变化过程的思想方法。在高中数学关于方程、不等式、解析几何等知识学习中，函数的性质是最有力的工具。于是摆在我们面前的突出问题是：如何更好的理解函数思想；培养提高学生应用函数解决问题的能力；进一步挖掘培养学生思维深刻性。现在我们就从以上问题出发，对高中数学中的函数思想及其应用进行论述。二、 函数的基本概念概念是思维的基本形式之一，它反应事物的一般的、本质的特征。把人们感觉到的事物的共同特点抽象出来，加以概括，就成为概念。正确认识概念是一切科学思维的基础。概念本身的形式反映了人们对现实世界丰富而深刻的认识，因此深化概念教学，深刻揭示概念的内涵和外延的过程是培养学生思维深刻性的一个重要过程。数学中，一般的题目是通过运算来完成的，但对概念的定义掌握得好坏将直接影响解题的质量。很多解题的隐含条件就存在于概念的定义中，同时概念的定义也可作为判定条件。然而有的学生在概念学习中存在一定的误区，认为概念的定义是死的，学习时一带而过，而解题方法是活的，应重点掌握。结果在解题中碰到困难时又得反过来学概念，这样，严重影响了解题的思路。如果一开始就对概念的定义和概念的分类有了清晰的理解，就会对题目的观察增加透明度，并且能丰富解题的方法，提高解题的能力。因此对函数有关概念只有做到准确、深刻地理解，才能正确、灵活地加以运用。（一）函数概念对于函数概念，初中代数中的定义是：设在一个变化过程中有两个变量，如果对于的每个值，都有唯一的值和它对应，那么就说是自变量，是的函数其中自变量取值的集合叫做函数的定义域，和自变量的值对应的函数值的集合叫做函数值域到高中学习映射，又给函数重新下定义：设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数二者在映射的意义下达到统一要正确理解函数概念，需注意以下两个方面（1）函数概念揭示了其定义域、值域及对应法则这三要素之间是相互联系、相互制约的，其中对应法则是核心一般来说，自然定义域取决于确定函数关系的对应法则，而值域又是由对应法则和定义域所决定的正确处理他们之间的关系，是解决有关函数问题的关键例1.已知函数的定义域是，求的定义域分析：要解决这一问题，须明确：（1）定义域是自变量的取值范围；（2）制约的是，而制约的是解：由不等式得，即函数的定义域为这是1985年的一道高考题，得分率很低，究其原因，题目未给出解析式，试题比较抽象很多学生错误地理解为已知，求的范围，故得到结论仍为，这正是由于对函数概念理解不准确而造成的错误可用特殊化法帮助学生理解：不妨设的定义域是，则的定义域是例2.已知函数的值域是，求实数的取值范围分析：解这道题的关键在于弄清函数的“定义域是时，值域是”，那么也就是说当的取值范围是时，的值域才是解：当时，函数的定义域为，此时，从而的值域为；当且，即时，的值域为；当时，显然的取值范围不可能是综上，当时，原函数的值域为解这题常出现的错误是，对数函数要求真数大于零，于是，从而，即或，又，从而这种方法错在当时只能说明，而不能保证的值域是（这时值域是（2）函数的性质是由x的变化决定的，如奇偶性、单调性都是针对而言的，而不是针对的某个表达式例3.函数在上是减函数，且关于的函数是偶函数，那么()分析：首先我们知道和已不是同一个函数，其次是偶函数不意味着也是偶函数由偶函数的定义知，从而得出的图象关于直线对称，又由于在内是减函数，很容易画出的示意图，分析得出答案是解这题的关键在于能否得出函数图象关于直线对称，也可用特殊化法求解，如取例4.已知函数的图象过点，则的图象必过点_分析：由已知的图象过点，则，也就是当，那么对，当时，所以必过点另外，从函数图象变化也能说明，由图象纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得到的图象，再把的图象右移2个单位，就得到的图象若的图象过点，则的图象过点，从而的图象必过点（二）函数思想所谓函数思想就是用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来，并加以研究，从而使问题获得解决而函数方法由函数产生，不同的函数、不同的问题采用不同的思想方法，这就需要我们根据所要解决的问题，构造与之有关的函数，提炼出相应的函数思想方法，从而达到解决问题的目的（1）求变量的取值范围时，考虑能否把该变量表示为另一变量的函数例5.若正数、满足，则的取值范围是_这是1999年一道高考题根据已知条件要求的取值范围，能不能看作求函数的值域呢？显然此时不行，因为式中有个自变量、考虑能否消去一个如果作一下换元，令，则，等式可化为，从而得到关于的一个函数，原题也就转化为求函数值域问题由判别式法及或均值定理得出的取值范围为（2）构造函数是函数思想的重要体现例6.已知：圆锥的底面半径为，高为求内接于这个圆锥并且体积最大的圆柱体的高解：设圆柱的底面半径为，则，由相似比，得出，从而可以把圆柱体的体积表示成的函数，即 ，利用求导法，得出因为，所以，又因为函数只有一个极值，所以当时内接圆柱体积最大（3）有时适当转换变量，使需要解决的问题转化为另一个函数的问题，可能更快更准确地解决问题例7.对于满足的实数，不等式恒成立，试求的取值范围分析：我们习惯把当作自变量，构造函数，于是问题转化为当时，恒成立，求的范围解决这个问题可用二次函数及二次方程根的分布，但可想而知，相当复杂如果考虑把当作自变量，看作参数，那么对一切恒成立，对于一次函数来说这很容易，只需，且，得出（4）运用函数要抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，从而更快更好地解决问题例8.设，其中，如果当时，有意义，求的取值范围分析：当时，有意义，故，即，令，由于在上是增函数，所以只需大于在上的最大值，即的取值范围为三、函数思想在高中数学中的具体体现（一）方程中的函数思想方程是中学数学的重要知识点,函数是高考和竞赛的热点,许多方程问题常常运用函数思想解决,而数学中不少函数问题往往转化为方程解决.因此,在解决一些函数和方程问题时,既要善于运用函数思想解决方程问题,又要学会灵活运用方程的观点去观察、处理函数问题.本文举例说明如下.例9.关于的方程，给出下列四个命题：存在实数，使得方程恰有个不同的实根；存在实数，使得方程恰有个不同的实根；存在实数，使得方程恰有个不同的实根；存在实数，使得方程恰有个不同的实根.其中假命题的个数是( ).解析：本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.思路分析：1根据题意可令，则方程化为作出函数的图象，结合函数的图象可知当或时，原方程有两上不等的根，当时，原方程有个根，当时，原方程有个根.(1)当时，方程有一个正根，相应的原方程的解有个；(2)当时，方程有两个相等正根，相应的原方程的解有个；(3)当时，此时方程有两个不等根或，故此时原方程有个根；(4)当时，方程有两个不等正根，且此时方程有两正根且均小于1，故相应的满足方程的解有个，故选.2. 由函数的图象(如下图)及动直线可得出答案为.图表 1-13. 设，方程的判别式为，由的取值依据、从而得出解的个数.4. 设函数，利用数轴标根法得出函数与轴的交点个数为个，以及函数的单调性大体上画出函数的图象，从而得出答案.答案：点评：思路1、思路2、思路4都是利用函数图象求解，但研究的目标函数有别，思路2利用函数的奇偶性以及交轨法直观求解，很好地体现了数形结合的数学思想，是数形结合法中值得肯定的一种方法；思路3利用方程的根的个数问题去求解，但讨论较为复杂，又是我们的弱点，有利于培养我们思维的科学性、严谨性、抽象性、逻辑推理能力等基本素质.（二）不等式中的函数思想 不等式的性质在各种考试中很难单独成题，常常与函数的相关性质相互渗透在一起，形成各种考试命题的一大特色和亮点 。例10.设，求证：分析： 直接采用不等式变换去证明还是比较不容易的。然而观察题目特点。可以把不等式两边看成函数的两个个值，因此可否构造函数，而后应用该函数的单调性求解呢?令，由函数的单调性易知：在区间上是增函数，因为，所以) 即评注：直接绕开了繁琐的变形与计算，整个解题过程显得非常简洁。不但使学生拓宽了眼界，提高了能力；而且带来了一种心情上的惊奇与精神上的震撼，使他们深深的体会到数学的奇妙，提高了学习数学的兴趣。例11.已知关于的实系数二次方程有两个实数根。证明：如果，那么.分析：设二次函数它的图象与x轴两个交点开口向上的抛物线。，两点应在区间内，即，代入,， 。评注：函数的思想在历年的高考题中，一直是必须考察的重点之一。而考虑到不等式与函数的特殊关系，我们必须对这种题型加以足够的重视。本题通过构造一次函数，巧妙的将不等式问题化为函数问题来解决，整个问题得以轻松解决。（三） 数列中的函数思想数列是一种特殊的函数，运用函数思想来解数列方面的题实质上是将一静态问题放到动态背景中加以考察。注意到等差数列、等比数列的通项公式及求和公式都可以看作的函数，所以运用函数思想来解决数列问题不仅能夯实基础，而且有助于学生创新思维能力的培养与提高。例11.设等差数列的前项和为,已知， 。(1)求公差的取值范围；(2)指出中中哪一个值最大，并说明理由。分析： 题(1)根据题设条件列出关于公差的不等式组求出的取值范围；题(2)求等差数列的前项和的最大值，其求法比较多，总的思路有如下2种：一是通项研究法，即当时，求出使得的值；当时，求出使得0且的值；二是前项和研究法，即列出的表达式(当时，它是关于n的二次函数)，求表达式的最大值（小）值。 解：(1)由题意得解不等式组得：。(2)解法一：由，得。因此，若在 中存在自然数，使得则。就是中的最大值。由于，故最大。解法二： =当时， , 最小，解法三：由，得。因此，若在中存在自然数n，使得，则中最大值。由故最大。评注：本题考查等差数列、不等式等知识，利用解不等式及二次函数的图像与性质求。的最大值，这是函数思想在数列中的一大表现。（四）三角中的函数思想 三角函数也是一种特殊的函数，它除了具有一般的函数性质外，还有其特殊之处，因此运用函数思想来解题会使学生在加深理解的同时，培养与提高其创新思想。例12.已知函数，当有实数解时，求的取值范围。分析：由得，那么根据该等式如何求的取值范围呢?当然可以换元，设，将问题转化为一元二次方程在上的根的分布问题。但是，总是觉得太麻烦了，经深思后，觉得可以先作如下变形：分离得：如果把看成是的函数，问题转化为求函数的值域。因为，所以故当时；有实数解。问题轻松解决。（五） 向量中的函数思想向量作为数学中的一种工具，有其重要性。它的方向、模与数量积等很容易被迁移到函数问题的情景之中，这样在加深向量理解的同时，也对函数思想的应用进一步深化。例13.已知向量，函数的图象在轴上的截距为，在处切线的方向向量为，并且函数当时取得极值。 （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间和极值.分析：本题为综合题，它融合了向量、导数等多方面知识，而（1）由图象在轴上的截距为，可求；在处切线的方向向量为，并且函数当时取得极值，可得，从而可求，的值；（2）由，从而可得单调递增区间；（3）时，函数取极大值时，函数取极小值解 向量,故在处的切线的斜率为，从而、随变化而变化情况如下：+极小值极大值极小值当时，的极大值为，当或时，的极小值为， （六）立体几何中的函数思想 立体几何主要培养学生的空间想象能力，把空间的量与量之间的关系转化为平面的能力，而近几年高考立体几何问题很重视数学思想，对于有些立体几何问题，若能利用条件建立函数关系即可化难为易，化繁为简。例14.如图6-1，是圆的直径，垂直于圆所在平面，是圆周上任一点，设，,求异面直线和的距离。分析：异面直线 和 的距离可看成求直线pb 上任意一点到的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。解析：在上任取一点，作于， 于，图6-1设，则，=即当 时，取最小值为两异面直线的距离。评注：本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”。一般地，对于求最大值、最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。（七）解析几何中的函数思想解析几何的特点就是用代数的方法研究几何问题，因此代数中方法可以迁移至解析几何中，而函数思想作为代数中一种常用的思想，在解析中自然有其展示的空间，使得问题简化。例15.从上任意一点作轴的垂线，垂足为，点m在线段上，且(1)求点的轨迹方程；(2)若(1)的曲线上任意一点到的最远距离为，求的值分析: 第一个问题求轨迹方程难度不大，第二个问题比较难为此，设出任意一点的坐标为，再求到a的距离，并考虑到满足轨迹方程，可以得到相关函数式解 (1)点m的轨迹方程 (2)设曲线上任意一点为，则. 当时，.因此，当时，,得.当时，.因此，当y=2时，得（舍去）.由、可知 点评本题是解析几何的最值问题，通过转化，变成了闭区问上的二次函数的最值问题，总之，函数思想是中学数学重要的思想，它不但把数学的各个分支紧紧地联系在一起，而且能够培养我们用联系变化的观点看待、分析、解决问题的能力，因而函数思想的理解与应用可以说是提高学生综合素质的一个有效途径。（八）探索性与实际应用问题中的函数思想 探索性与实际应用问题的背景新颖且具有公平性，它可以较好地考查考生分析问题与解决问题的能力，考查考生数学知识的应用能力，近年来成为高考的热点，由于探索题结论往往不明确，很多考生一时不知所措实际上，解决这两类问题的一个重要突破口就是构造函数例16.函数与 唯一交点的横坐标为，是否存在实数，且当时，使不等式恒成立?若存在，求的值或所在范围；若不存在，说明理由分析此题涉及基础知识较多，我们很容易想到分离变量，再利用函数进行相关转化解 结合图象易知，当时，那么不等式可转化为令，则当时恒成立，则即.因此，实数存在，且点评 本题通过构造函数，结合一次函数的图象特征，使问题的解答很便捷四、 总结函数教学要善于阶段性的总结，这样有利于树立函数观点，提高利用函数意识。函数是变量数学研究的主要对象，它的基础知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用，同时它的概念及其反映出的思想方法已广泛渗透到多学科领域。在我们所处的高中函数教学阶段，函数是数学的主要内容之一，也是历年数学高考的突出重点，其选择题和填空题履盖了函数的大部分内容，例如函数的定义(包括映射)与函数的记号，函数的图象与函数的性质(单调性奇偶性、周期性等)；而解答题不仅在内容上涉及函数与方程、不等式、三角函数、数列、方程的曲线、极限及复数等多方面内容，更注重对知识的综应爿j能力和数学思想方法的考查。而这一切都要求学生有较高的综合能力然而在数学内容上和教学的分单元学习中，限于知识范围，在思维品质上要做到能依据问题的条件和结论进行全方位，多角度，立体地进行思维，做到思考问题灵活而不僵化，敏捷而不呆滞，深刻而不表面，严谨而不疏漏，独创而不机械是非常困难的，只有到了一定阶段，我们才可能从不同的视角，不同层面，居高临下对问题进行综合扫描。 例如在利用数学建模解答应用问题的教学中，当我们进行了行之有效的训练，并掌握各种类型问题的基础上，应及时总结应用问题与数学问题的联系，归纳其归属哪类问题如现实生活中，广泛存在的用料最省，造价最低，利润最大等最优化问题归于函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决；广泛存在着数量之间的相等或不等关系，如投资决策，人口控制，资源保护，生产规划，交通运输等涉及的有关数量问题归结为方程或不等式求解：产量增长(降低)，存款利率，细胞繁殖，人口增长等与时间相关问题常通过建立相应的数列模型求解天体运行轨道，弹道曲线，桥梁形状及航海等问题归于解析几何模型解决；各种常见几何体(如油箱、水坝、水桶、谷堆、钢球、地球等)表面积，体积及球面距离等问题归于立体几何模型解决。为此在教学中要进行及时评点，及时总结，达到提高解题能力，深化思维过程，培养思维深刻性的目的。实践证明，函数观点和函数意识孕育在平时的潜移默化的教学中，来自教师指导下的灵活扎实的思维锻炼和解题实践。在这个过程中，教师不仅要结合教学内容给学生系统介绍各种思想方法，而且要对凡是能水到渠成的，能为学生所接受的好思想和好方法应不失时机地给学生介绍和示范，及时总结提炼。只有这样经常有意识地进行类似的训练，才能加强学生的函数意识，优化学生的思维品质，真正实现综合能力和素质的提高。函数思想方法的渗透是一项长期的艰巨的任务，因此我们必须在教学中经常地去做这一方面的工作，持久地去关注它，这样才能使学生在潜移默他中树立起函数的观点，才能不断地提高学生的数学素质。第 16 页 共 18 页西南大学育才学院2012届数学与应用数学专业本科毕业论文参考文献1吴海燕.函数思想贯穿高中数学j.数学大世界,2010(12).2张奠宙,张广祥.中学代数研究m.北京高等教育出版社,2003（4）.3虞金龙.方程中的函数思想j中学数学月刊,2002(8).4杨涌.高中数学中立体几何问题的两种解析方法m.华东师范大学出版社,2005（6）.5张静.论高中数学函数思想的教学及意义j数学通报，2010(34).6杨悦.高中函数教学的研究j国外学科教育，2005（4）.7王连笑.2008年高考数学试题分类解析(一):集合与函数(1)j. 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谢本文是在x老师的悉心指导下完成的。承蒙x老师的亲切关怀和精心指导，虽然有繁忙的工作，但仍抽出时间给予我学术上的指导和帮助，使我受益匪浅。x老师对学生认真负责的态度、严谨的科学研究方法、敏锐的学术洞察力、勤勉的工作作风以及勇于创新、勇于开拓的精神是我永远学习的榜样。在此，谨向x老师致以深深的敬意和由衷的感谢。还要感谢我的父母，他们在生活上给予我很大的支柱和鼓励，是他们给予我努力学习的信心和力量。最后，感谢所有关心我、支持我和帮助过我的同学、朋友、老师和亲人。在这里，我仅用一句话来表明我无法言语的心情：感谢你们！内部资料请勿外传9jwkffwvg#tym*jg&6a*cz7h$dq8kqqfhvzfedswsyxty#&qa9wkxfyeq!djs#xuyup2knxprwxma&ue9aqgn8xp$r#͑gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amue9aqgn8xp$r#͑gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z8vg#tym*jg&6a*cz7h$dq8kqqfhvzfedswsyxty#&qa9wkxfyeq!djs#xuyup2knxprwxma&ue9aqgn8xp$r#͑gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxg89amue9aqgn8xp$r#͑gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z8vg#tym*jg&6a*cz7h$dq8kqqfhvzfedswsyxty#&qa9wkxfyeq!djs#xuyup2knxprwxma&ue9aqgn8xp$r#͑gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amue9aqgn8xp$r#͑gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnugk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$u*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$u*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz84!z89amv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$u*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$u*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnugk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum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