圆锥曲线大题专题训练[答案和题目].doc

圆锥曲线大题专题训练1如图，曲线的方程为以原点为圆心以为半径的圆分别与曲线和轴的正半轴相交于点与点直线与轴相交于点（）求点的横坐标与点的横坐标xybaoad的关系式（）设曲线上点的横坐标为，求证：直线的斜率为定值1.解：（）由题意知，因为，所以由于，故有（1）由点的坐标知，直线的方程为又因点在直线上，故有，将（1）代入上式，得，解得（）因为，所以直线的斜率为所以直线的斜率为定值2设是抛物线的焦点（i）过点作抛物线的切线，求切线方程；（ii）设为抛物线上异于原点的两点，且满足，延长，分别交抛物线于点，求四边形面积的最小值2.解：（i）设切点由，知抛物线在点处的切线斜率为，故所求切线方程为 即 因为点在切线上所以，所求切线方程为（ii）设，由题意知，直线的斜率存在，由对称性，不妨设因直线过焦点，所以直线的方程为点的坐标满足方程组 得，由根与系数的关系知因为，所以的斜率为，从而的方程为同理可求得当时，等号成立所以，四边形面积的最小值为3如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为（i）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（ii）求面积的最大值3解：（i）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为点的纵坐标满足方程，解得，其定义域为（ii）记，则令，得当时，；当时，所以是的最大值因此，当时，也取得最大值，最大值为即梯形面积的最大值为4如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上（i）求边所在直线的方程；（ii）求矩形外接圆的方程；（iii）若动圆过点，且与矩形外接圆外切，求动圆的圆心轨迹方程4.解：（i）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为即（ii）由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为所以为矩形外接圆的圆心又故矩形外接圆方程为（iii）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支因为实半轴长，半焦距所以虚半轴长从而动圆的圆心的轨迹方程为5已知函数与的图象相交于，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点（i）求的取值范围；（ii）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（iii）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）5解：（i）由方程消得依题意，该方程有两个正实根，故解得（ii）由，求得切线的方程为，由，并令，得，是方程的两实根，且，故，是关于的减函数，所以的取值范围是是关于的增函数，定义域为，所以值域为，（iii）当时，由（ii）可知类似可得由可知从而当时，有相同的结果所以oyx1lf6如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且（）求动点的轨迹的方程；（）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点（1）已知，求的值；（2）求的最小值6.解：（）设点，则，由得：，化简得（）（1）设直线的方程为：设，又，pbqmfoaxy联立方程组，消去得：，由，得：，整理得：，解法二：（）由得：，所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：（）（1）由已知，得则：过点分别作准线的垂线，垂足分别为，则有：由得：，即（）（2）解：由解法一，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为7在平面直角坐标系，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为（1）求圆的方程；（2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由7.解：（1）圆c：； （2）由条件可知a=5，椭圆，f（4，0），若存在，则f在oq的中垂线上，又o、q在圆c上，所以o、q关于直线cf对称；直线cf的方程为y-1=,即，设q（x,y），则，解得所以存在，q的坐标为。8在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和（i）求的取值范围；（ii）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由8解：（）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得整理得直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或即的取值范围为（）设，则，由方程， 又而所以与共线等价于，将代入上式，解得由（）知或，故没有符合题意的常数9在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点（）求的取值范围；（）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由9解：（）圆的方程可写成，所以圆心为，过且斜率为的直线方程为代入圆方程得，整理得直线与圆交于两个不同的点等价于，解得，即的取值范围为（）设，则，由方程， 又而所以与共线等价于，将代入上式，解得由（）知，故没有符合题意的常数10在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点（i）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（ii）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由abxynco10.解法1：（）依题意，点的坐标为，可设，noacbyx直线的方程为，与联立得消去得由韦达定理得，于是，当时，（）假设满足条件的直线存在，其方程为，的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，noacbyxl则，点的坐标为，令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线解法2：（）前同解法1，再由弦长公式得，又由点到直线的距离公式得从而，当时，（）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程代入得，则设直线与以为直径的圆的交点为，则有令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线11已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点（i）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（ii）在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由11解：由条件知，设，解法一：（i）设，则则，由得即于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是（ii）假设在轴上存在定点，使为常数当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以，于是因为是与无关的常数，所以，即，此时=当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，此时故在轴上存在定点，使为常数解法二：（i）同解法一的（i）有当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以 由得 当时，由得，将其代入有整理得当时，点的坐标为，满足上述方程当与轴垂直时，求得，也满足上述方程故点的轨迹方程是（ii）假设在轴上存在定点点，使为常数，当不与轴垂直时，由（i）有，以下同解法一的（ii）12已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是（i）证明为常数；（ii）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程12解：由条件知，设，（i）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，此时当不与轴垂直时，设直线的方程是代入，有则是上述方程的两个实根，所以，于是综上所述，为常数（ii）解法一：设，则，由得：即于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是解法二：同解法一得当不与轴垂直时，由（i） 有由得 当时，由得，将其代入有整理得当时，点的坐标为，满足上述方程当与轴垂直时，求得，也满足上述方程故点的轨迹方程是13设动点到点和的距离分别为和，且存在常数，使得（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；（2）过点作直线交双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点13解法一：（1）在中，即，即（常数），故点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线方程为：（2）设，当垂直于轴时，的方程为，在双曲线上即，因为，所以当不垂直于轴时，设的方程为由得：，由题意知：，所以，于是：因为，且在双曲线右支上，所以由知，14已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）（i）求圆的方程；（ii）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值14.（i）解法一：设两点坐标分别为，由题设知解得，所以，或，设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为4分解法二：设两点坐标分别为，由题设知又因为，可得即由，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为4分（ii）解：设，则8分在中，由圆的几何性质得，所以，由此可得 则的最大值为，最小值为15.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为（）设点的坐标为，证明：；（）求四边形的面积的最小值15.证明：（）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，（）（）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，则，；因为与相交于点，且的斜率为，所以，四边形的面积当时，上式取等号（）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积综上，四边形的面积的最小值为16在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切（1）求圆的方程；（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围16解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，即 得圆的方程为（2）不妨设由即得设，由成等比数列，得， 即 由于点在圆内，故 由此得所以的取值范围为17.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标17.（本小题满分12分）解：（）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，椭圆的标准方程为（）设，联立得，又，因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，即，解得：，且均满足，当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点所以，直线过定点，定点坐标为18已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值18解：（）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为（）设，（1）当轴时，（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知，得把代入椭圆方程，整理得，当且仅当，即时等号成立当时，综上所述当最大时，面积取最大值19.设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.19.解：（）解法一：易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或20.设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，原点到直线的距离为（）证明；（）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则20.（）证法一：由题设及，不妨设点，其中，由于点在椭圆上，有，解得，从而得到，直线的方程为，整理得由题设，原点到直线的距离为，即，将代入原式并化简得，即证法二：同证法一，得到点的坐标为，过点作，垂足为，易知，故由椭圆定义得，又，所以，解得，而，得，即（）解法一：圆上的任意点处的切线方程为当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组的解当时，由式得代入式，得，即，于是，若，则所以，由，得在区间内此方程的解为当时，必有，同理求得在区间内的解为另一方面，当时，可推出，从而综上所述，使得所述命题成立（第 题）21.如图，直线与椭圆交于两点，记的面积为（i）求在，的条件下，的最大值；（ii）当，时，求直线的方程21.（）解：设点的坐标为，点的坐标为，由，解得，所以当且仅当时，取到最大值（）解：由得， 设到的距离为，则，又因为，所以，代入式并整理，得，解得，代入式检验，故直线的方程是或或，或22如图，中心在原点的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：（1）求椭圆的方程；题（22）图（）在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值22.解：（i）设椭圆方程为答（22）图因焦点为，故半焦距又右准线的方程为，从而由已知，因此，故所求椭圆方程为（ii）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性，假设，且，又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有 解得 因此，而，