（计算数学专业论文）凸约束广义线性回归模型参数的极大似然估计研究.pdf

中文摘要 评估是社会经济学计量和测度的最重要的基础工作之一，甚至有人称我们 现在的时代是评估的时代。众多的评估问题涉及指标的汇总，以前的评估方法 其汇总系数多是事先人为指定的，而现在的趋势是根据样本科学计算而来，这 就需要建立科学的评估模型。本文研究的是童恒庆教授( 1 9 9 3 ) 被s c i 收录 的论文【1 中提出的评估模型，回归系数和因变量均未知，但其都含有约束条件， 属于凸约束广义线性回归模型。本文是对这一模型理论和算法的深入研究，作 者重点讨论了该模型参数的极大似然估计方法，及其大样本性质。 本文主要从以下几个方面进行研究： ( 1 ) 进一步研究评估模型基于凸集间的交互投影算法的最小二乘估计方 法，证明了最小二乘解的存在性，并给出了详细的求解方法。同时还给出了当 设计矩阵为复共线时，评估模型基于交互投影迭代算法的参数岭估计算法。 ( 2 ) 推导了利用e m 算法求评估模型参数的极大似然估计算法实施过程， 并对评估模型改进了e m 算法求期望步时的积分求解算法，大大的方便了算法 的程序设计实现，为此本文作者还编制了专门的程序模块用来实现上面的求解 过程，数值实验表明算法较优。 ( 3 ) 重点讨论了评估模型参数的极大似然估计方法，以及m l e 的收敛性 和渐近性。首先给出了凸约束条件下广义线性回归模型参数的极大似然估计的 e m 算法及其产生的序列的收敛性的定义。然后详细证明了本模型中e m 算法 是收敛的，并且产生的序列也是收敛的。这就保证了我们程序不可能无休止的 迭代下去。接下来，我们重点讨论了e m 算法的渐近性。在评估样本趋于无穷 的时候，我们得到了e m 算法的极限形式，由极大似然估计的渐近性可知，极 限形式的解收敛到问题的真值。我们又通过证明得出：e m 算法序列依概率收 敛到极限问题的最优解。这样我们设计的评估模型基于e m 算法的参数极大似 然估计依概率收敛到模型的真值，完成了渐近性理论的研究。 ( 4 ) 应用我们的评估模型解决了全要素生产率( t f p ) 计算中的一个困难 问题。应用生产函数计算p 存在计算困难：回归系数比样本还多。诺贝尔奖 获得者丁伯根教授假定回归系数为指数函数形式，大大减少了回归系数个数， 但是这个假定显然过于严格，也许根本不符合实际。应用评估模型，我们只需 在生产函数中假定t f p 在每一个小的时间范围内是常量，即系数分段待定，这 个假定显然比较宽松合理。 对比一般线性回归模型、因子分析模型、路径分析模型结构，可以知道我 们的评估模型在完善线性回归模型结构方面的理论意义。 深入理解该模型的基于凸集问的交互投影算法的最小二乘估计以及基于 e m 算法的最大似然估计，可以知道算法构造的技巧性。 由于t f p 测度的重要性，可以知道我们的模型和计算方法具有重要的应用 价值和实践意义。 关键字：评估模型，e m 算法，极大似然估计，收敛性，t f p 测度 a b s t r a c t t h ee v a l u a t i o ni st h em o s ti m p o r t a n tf o u n d a t i o no ft h em e a s u r e m e n ta n dm e t r i ci n s o c i a le c o n o m i c s s o m ep e o p l ee v e nc a l lo u rt i m ei sa ne v a l u a t i o na g e s n u m e r o u s e v a l u a t i o nm o d e l sa l lr e f e rt oc o l l e c t i o no fi n d e x e s t h ec o l l e c t i o ni n d e x e so f p r e v i o u se v a l u a t i o nm e t h o d s w e r ea l m o s ta p p o i n t e db e f o r e h a n da r t i f i c i a l l y , h o w e v e f ， i ti st h em a i n l yt r e n dt h a tt h ei n d e x e sa r ec o m p u t e ds c i e n t i f i c a l l yf r o ms a m p l e s ，f o r t h a tt oc o n s t r u c tam o r es c i e n t i f i cc v a l u a t i o um o d e li sv e r yr e q u i r e d t h ep a p i e r s t u d i e sa l le v a l u a t i o nm o d e lw h i c hw a si n t r o d u c e di nt h el i t e r a t u r ef 1 1a c c e p t e db y s c i n l em o d e lb e l o n g st oag e n e r a l i z e dl i n e a rr e g r e s s i o nm o d e lw i t hc o h v e x c o n s t r a i n t , t h a tt h er e g r e s s i o nc o e l t i c i e n t sa n dd e p e n d e n tv a r i a b l e sa r ea l lu n k n o w n b u tt h e ya r eb e t hs a t i s f i e ds o m ec o n v e xc o n s t r a i n tc o n d i t i o n s t h i sp a p e ri st od e e p l y s t u d yt h et h e o r ya n da l g o r i t h mo ft h i sm o d e l t h ea l l t h o rd i s c u s s e st h ep r o b l e m sf r o mt h ef o l l o w i n g s ： ( 1 ) f u r t h e rs t u d i e so ft h el s ea l g o r i t h mo ft h e e v a l u a t i o nm o d e lw i t ht h e a l t e r n a t i n gp r o j e c t i o nm e t h o db e t w e e nt w os e t sa r ep r e s e n t t h ee x i s t e n c eo ft h el s e r o e t si sp r o v e d t h ea u t h o ra l s op r e s e n t st h er i d g ee s t i m a t eo ft h ep a r a m e t e r sb y a l t e m a t i n gp r o j e c t i o nw h e nt h ed e s i g n i n gm a t r i xi sm u l t i c o u i n e a r i t y ( 2 ) u s i n gt h ee ma l g o r i t h m ，t h ea l l t h o rd e d u c e dt h ed e t a i lp r o c e s so fm l e m e t h o do ft h ec v a l u a t i o nm o d e la n di m p r e y e dt h ei n t e g r a ls o l u t i o nm e t h o di nt h e e m a l g o r i t h m t h i sm a k e st h ep r o g r a md e s i g nc o n v e n i e n t a n dt h ea u t h o rc o m p i l e d a s p e c i a lp r o g r a mf o rt h i sa l g o r i t h m n u m e r i c a le x p e r i m e n ts h o w st h a tt h ea l g o r i t h m i sb e t t e r ( 3 ) t h ea u t h o rd i s c u s s e st h em l em e t h o do ft h ee v a l u a t i o nm o d e la n di t s c o n v e r g e n c ea n da s y m p t o t i cp r o p e r t y f i r s t l y , w ep r e s e n tt h ed e f m i t i o no ft h e c o n v e r g e n c eo fe ma l g o r i t h ma n dt h ec o n v e r g e n c eo ft h es e r i e sg e n e r a t e db vt h ee m a l g o r i t h m t h e nw ed e t a i l e dp r o v e dt h ee ma l g o r i t h mi sc o n v e r g e n ta n dt h es e r i e s g e n e r a t e db yt h ee ma l g o r i t h mi s a l s oc o n v e r g e n t s e c o n d l y , w ed i s c u s s e dt h e a s y m p t o t i cp r o p e r t yo ft h ee ma l g o r i t h m w h e nt h ee v a l u a t i o ne x p e r tt e n dt oi n f i n i t e w eo b t a i n e dt h el i m i t e df o l i no ft h ee ma l g o r i t h m b yt h ea s y m p t o t i cn o r m a l i t y0 f m l e t h el i m i t e df o r i l ls o l u t i o no ft h ee ma l g o r i t h mi sc o n v e r g e n ti np r o b a b i l i t yt o i t sr e a lv a l u e w ba l s op r o v e dt h a tt h es e r i e so fe ma l g o r i t h mi sc o n v e r g e n ti n p r o b a b i l i t yt ot h eo p t i m a ls o l u t i o no ft h el i m i t e df o r m s ot h em l e o fp a r a m e t e r so f t h ee v a l u a t i o nm o d e lb a s e do nt h ee ma l g o r i t h mi sc o n v e r g e n ti np r o b a b i l i t yt ot h e p a r a m e t e r s r e a lv a l u e w ep e r f e c t l yc o m p l e t et h ea s y m p t o t i ct h e o r yo ft h em l e0 f t h ee v a l u a t i o nm o d e l ( 4 ) ad i f f i c u l tp r o b l e mi nt h et o t a lf a c t o rp r o d u c t i v i t y ( t f p ) c o m p u t a t i o nw a s s o l v e db ya p p l y i n g0 1 1 1 e v a l u a t i o nm o d e l t h en u m b e ro fr e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t si s m o r et h a nt h es a m p l e s ，w h i c hi st h em o s tc o m p u t i n gd i f f i c u l t yi nt f pc o m p u t a t i o n s o l v e db yt h ep r o d u c t i o nf u n c t i o n p r o f e s s o rt i n b e r g e n ，w h oi sag a i n e ro ft h en o v e l p r i z e g r e a t l yr e d u c e dt h en u m b e ro fr e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t sb ya s s u m i n gt i l a tt h e r e g r e s s i o nc o e 髓c i e n t sh a v eaf o r mo fe x p o n e n t i a lf u n c t i o n s b u tt h i sa s s u m p t i o ni s m o r es t r i c t l ya n dn o ti na t , c o r dw i t ht h ep r a c t i c e i fw ea s s u m e dt h a tt h et f fi sa c o n s t a n tv a l u ew i t h i nas h o r tt i m ei n t e r v a li nt h ep r o d u c t i o nf u n c t i o n t h a ti ss a i dt h a t t h ec o e m c i e f t t sa r es e g m e n ti n d e t e r m i n a t e tw ec a na p p l yo u i e v a l u a t i o nm o d e lt o s o l v ei t t h i sa s s a m p t i o ni so b v i o u s l yf c a s i b l ea n dr e a s o n a b l e c o m p a r i n gw i t ht h ef r a m e w o r ko fg e n e r a l i z e dl i n e a rr e g r e s s i o nm o d e l ，f a c t o r a n a l y s i sm o d e la n dp a t ha n a l y s i sr o o d e l 。w ec a nf i n dt h a to u re v a l u a t i o nm o d e lh a v e m o l et h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ei n c o n s u m m a t i n gt h em o d e la t m c t u r e o fl i n e a r r e g r e s s l o n d e e p l yc o m p r e h e n d i n gt h el s ea l g o r i t h mo ft h ee v a l u a t i o nm o d e lw i t ht h e a l t e r n a t i n gp r o j e c t i o nm e t h o db e t w e e nt w os e t sa n dt h em l eo ft h i sm o d e lw i t ht h e e m a l g o r i t h m w ec a nf i n dt h et e c h n i q u eo ft h ea l g o r i t h ms t r u c t u r e b c c a u s eo ft h ei m p o r t a n c eo ft h et f pm e a s u r e m e n t , w ec a nf i n dt h a to u rm o d e l a n d a l g o r i t h mh a v ea ni m p o r t a n ta p p l i c a t i o nv a l u ea n dp r a c t i c es i g n i f i c a n c e k e yw o r d s ：e v a l u a t i o nm o d e l ，e ma l g o r i t h m ，m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o n , c o n v e r g e n c e t f pm e a s u r e m e n t 武汉理工大学硕士毕业论文 1 1 研究目的和意义 第1 章引言 评估，这个词在当今的社会各个角落都会出现，它十分的平凡同时又是那 么的重要，已经渗透到我们生产生活的各个方面。在国内外，已经初步形成了 一些有相当实力的现代评估业，他们从事着日常生活的各种评估活动，涉及各 类科技活动( 科技政策、计划、项目、成果、机构、人员) 的评估。 评估是社会经济学计量和测度的最重要的基础工作之一，甚至有人称我们 现在的时代是评估的时代。在沪举办的“太平洋论坛一2 0 0 6 ”会议期间，记者 采访了与会的兰德公司执行副总裁迈克尔里奇、高级经济顾问查尔斯伍尔 夫、政治学家埃里克荷金伯斯，请他们畅谈兰德故事。里奇说，“我想最好的 例子就是1 9 4 6 年兰德对世界卫星发展初始阶段作了预测和评估，这份报告也推 动形成了当时美国的太空计划”。事实上，上世纪5 0 年代，兰德公司对朝鲜战 争以及苏联发射卫星事件都进行了准确评估，此后，在诸如中美建交、古巴导 弹危机、德国统一等重大事件中，他们同样进行了成功的评估与预测。怎样进 行评估? 伍尔夫说，“我们会先提出问题，然后请专家回答，经过反馈后再研究 分析并反复征求各方面意见以形成最后的结论。此外，我们采用系统分析模式， 对整个问题的有关部分进行定量和定性分析，并研究各个部分的变化与其他部 分的关系”。伍尔夫这里说的第一句话是指德尔菲评估法，第二句话则涉及各类 评估模型。 评估在国内也已经渗透到方方面面。且不说众人皆知的电视上常见的给演 员运动员打分评估，也不说很多人接触过的房屋质量评估、教师授课质量评估、 学校办学质量评估，更不说鲜为人知的司法上的量刑评估。这些评估原始指标 很多不是可测的统计数据，需要评估自然无人异议。有些可测的统计数据，由 于种种原因，也变成了需要评估的指标。2 0 0 4 年1 月2 0 日新华社报道，国家 统计局公布了经专家评估认可的中国2 0 0 3 年g d p 数字，并说这是中国首次对 g d p 数字进行专家评估。如果我们的评估模型能够为这些评估工作进行科学的 最后测度和计量，那么模型的应用价值就显而易见了。 然而由于评估的对象和评估方法的多样性，使得对于具体问题的评估就有 多种评估方案。评估方案最核心的不同点是评估模型及其算法的不同。因此对 于一个实际的问题，设计一个合理的合适的评估模型就显得尤为重要。本文要 武汉理工大学硕士毕业论文 研究的不是针对所有的评估问题，而是选取其中的一种情况进行研究。 本文要研究的是这样一类评估问题：待评估的对象有多个，每个评估对象 都有若干个评估指标，有若干个评估专家对每个评估对象的每个评估指标分别 打分评估，最后设计一个合理的算法求出每个评估对象的合理的得分。这类评 估问题属于单层指标汇总模型，一般的做法是先通过一定的方法给出每个评估 指标的权重，然后进行综合评估。这样做的问题是首先通过其它的渠道得到通 用的指标权重，不考虑实际问题本身对指标侧重的影响，尽管有些优秀求指标 权重的算法，但这些方法也大都是根据经验或者是其它途径所获得的专家指标 权重，没有很好的考虑问题本身的影响。由此，本文就考虑这样一个问题，指 标的权重为未知，评估结果也为未知的评估模型，简历广义的线性评估模型， 这里的广义是指线性模型的权系数未知，线性模型的因变量也未知。本文后面 的章节详细介绍了这个模型，并且给出了合理的算法，并讨论了算法的收敛性 和渐近性。对比一般线性回归模型、因予分析模型、路径分析模型结构，可以 知道我们的评估模型在完善线性回归模型结构方面的理论意义。 1 2 和本课题有关的国内外研究回顾 本文要讨论的评估模型，在理论和实际研究领域是空前的，本文的导师童 教授在1 9 9 3 年就已经提出了该模型【l j ，并给出了模型的基于交互投影算法的参 数最小二乘估计。本文作者的工作是对这个模型的理论进行深入研究和完善。 童恒庆教授在文献【1 】中已经给出了该模型的一般表示方法，以及参数估计 的最d x - - 乘法i l j 。由于线性回归的回归系数和因变量均未知，使得一般的回归 方法无法实施，幸运的是回归系数和因变量都含有凸约束条件，于是文献f 1 1 采 用凸集间的交互投影算法成功的解决了参数最小二乘估计问题。但是这里面需 要进行一定的改进：第一，文献【1 】的算法虽然从理论上解决了参数最小二乘估 计问题，但是从算法的具体实现上看还有待改进；第二，当自变量构成的设计 矩阵复共线时，算法具有一定的不稳定性。本文针对这两个问题提出了改进意 见和方法。 到目前为止，对这类凸约束广义线性回归模型的研究还仅限于此。对比一 般线性回归模型、因子分析模型、路径分析模型结构，可以知道这类凸约束广 义线性回归模型是对线性回归模型结构的一个重要完善，使线性回归模型具有 一般的结构。因此对这一模型的研究就具有较强的理论意义和现实意义。本文 作者打算对这一模型参数的估计方法进行深入研究，在文献【1 】的基础上进一步 - 2 - 武汉理工大学硕士毕业论文 研究模型参数的极大似然估计方法。由于这里所要研究的的模型属于含有缺失 数据( 这里的缺失应该是完全缺失) 的线性回归模型，对于这样的模型，有很多 现成的算法，其中以e m 算法最具有代表性。e m 算法是d e m p s t e r , 蹦r da n d r u b i n 于1 9 7 7 年提出的l z j ，w u ( 1 9 8 3 ) 对e m 算法的收敛性进行了研究，l o u i s ( 1 9 8 2 ) 得到了e m 算法的观测信息阵【3 】h o m g ( 1 9 8 6 。1 9 8 7 ) , j a m s h i d i a na n dj e n n r i c h ( 1 9 9 3 ) ，j o n e sa n dm c l a c h l a n ( 1 9 9 2 ) ，l a n g e ( 1 9 9 5 a ，b ) 从理论上对e m 算法的收敛速 度进行了研究卜”。这些都是对不含约束条件下的e m 算法的研究。 对于本文要研究的凸约束广义线性回归模型，可以借助于e m 算法求解参 数的极大似然估计，但是不能把e m 算法直接照搬过来，因为我们这里的缺失 应该理解为完全缺失，而且含有约束条件，必须对e m 算法进行适当的修正和 适应性调整。算法可以解决，还必须研究算法的收敛性和渐进性。对于这方面 的研究也不乏一批优秀的学者参与。 在含有约束条件的情况下的参数估计的渐进性研究，最早在1 9 9 6 年，j i n d e w a n g 就给出了在含有一般的非线性不等式约束下非线性回归模型的最小二乘 估计的渐进性i 冽，他首先给出约束条件所表示的可行域的极限形式，然后给出 最小二乘估计的目标函数的极限形式，w a n g 指出，目标函数的极限形式的最优 解依分布收敛于原问题的真实解。郑术蓉( 2 0 0 5 ) 给出了含缺失数据线性模型的 线性不等式约束e m 算法的参数估计问题1 8 】，并证明了此算法的收敛性，指出 含缺失数据线性模型的线性不等式约束的极限问题的。房详忠( 2 0 0 2 ) 对于一般 的点过程模型中向量参数极大似然估计给出了一个保证其强相合的较为广泛的 充分性条件1 9 j ，并在进一步的条件下给出了重对数型的收敛速度。沈启霞( 2 0 0 5 ) 给出了含有不完全数据的约束线性回归问题回归参数极大似然估计的渐近性 【埘。 然而对本文要研究的凸约束广义线性回归模型的极大似然估计的e m 算法 的研究还是空白，它的主要难度在于这里的因变量同样含有凸约束条件，无法 将上面的一些方法直接加以应用。 1 3 本文的主要工作 由前面的叙述我们不难发现，凸约束广义线性回归模型具有很强的理论意 义和实践意义，但是目前对其的研究却十分有限，本文拟对这一类凸约束广义 线性回归模型的参数估计理论进行深入研究和完善。由于这一凸约束广义线性 回归模型是从生活中的科技评估中提炼出来的，为了方便描述，下文将这一模 一3 一 武汉理工大学硕士毕业论文 型简称为评估模型。由于童恒庆教授已经给出了该模型的表述方法及其参数的 最小二乘算法，本文首先对其做一定的改进，使得算法更加具有稳定性和可操 作性。其次，本文还进一步提出了该模型的参数极大似然估计算法，及其收敛 性和渐近性的证明方法。这部分研究成果瞄j 已经发表在首届生物医学和生物信 息工程国际学术会议( i c b b e 2 0 0 r 7 ) 上，并被e i 光盘版收录。由于本文主要采 用了含缺失数据的e m 算法参数估计理论，因此首先对e m 算法做了简单的介 绍和引入。 本文的主要工作是对评估模型，建立基于e m 算法的参数极大似然估计方 法，改进了e m 算法的期望步的运算方法，解决了e m 算法求极大似然估计过 程的程序设计瓶颈问题。然后编制了该算法的专用程序，数值试验表明，算法 是较优的。同时本文重点研究了e m 算法在本模型中的收敛性和渐近性。首先 给出了e m 算法在本模型中的收敛性的定义，并证明了算法是收敛的，同时给 出了e m 算法迭代过程的极限形式，并证明了e m 算法产生的序列收敛到极限 形式的最优解。 论文的基本结构如下： 第一章：引言。介绍了课题研究的目的和意义，以及和本课题有关的国内 外主要研究成果回顾。大致介绍了本文的研究内容。 第二章：介绍现行的常用评估方法，指出其中的问题，引入本文的研究课 题。介绍了评估模型的建立及其表示方法。同时还列出了本文要应用的主要算 法：e m 算法的基本原理和求解方法等。 第三章：主要介绍了凸约束条件下广义线性回归模型参数的最| x - - 乘估计 算法。介绍评估模型的基于交互投影迭代算法，并给出了它的解的存在性。编 制了程序并结合算例说明的算法的效果。另外，本章还给出了当设计矩阵为复 共线时，评估模型基于交互投影迭代算法的参数岭估计算法。 第四章：推导出了利用e m 算法求模型参数的极大似然估计算法实施过程， 并对评估模型改进了e m 算法求期望步时的积分求解算法，大大的方便了算法 的程序设计实现。为此本文作者还编制了专门的程序模块用来实现上面的求解 过程。数值实验表明算法较优。 第五章：首先给出了凸约束条件下广义线性回归模型参数的极大似然估计 的e m 算法及其产生的序列的收敛性的定义。然后详细证明了本模型中e m 算 法是收敛的，并且产生的序列也是收敛的。这就保证了我们程序不可能无休止 的迭代下去。接下来，我们重点讨论了e m 算法的渐近性。在评估专家趋于无 穷的时候，我们得到了e m 算法的极限形式，由极大似然估计的渐近性可知， 武汉理工大学硕士毕业论文 极限形式的解收敛到问题的真值。我们又通过证明得出：e m 算法序列依概率 收敛到极限问题的最优解。从而我们设计的评估模型基于e m 算法的参数极大 似然估计依概率收敛到模型的真值。 第六章：应用我们的评估模型解决了全要素生产率( t f p ) 计算中的一个 困难问题。应用生产函数计算t f p 存在计算困难：回归系数比样本还多。诺贝 尔奖获得者丁伯根教授假定回归系数为指数函数形式，大大减少了回归系数个 数，但是这个假定显然过于严格，也许根本不符合实际。应用评估模型，我们 只需在生产函数中假定t f p 在每一个小的时间范围内是常量，即系数分段待定， 这个假定显然比较宽松合理。通过我们上面的基于交互投影迭代算法的最小二 乘估计方法和基于e m 算法的极大似然估计方法，成功解决了t f p 测度的测算 问题。 第七章：全文的总结和展望。 一5 一 武汉理工大学硕士毕业论文 第2 章评估模型有关理论 2 1 一般评估方法概述 国际评估业的实践表明，尽管各国的国情和不同类型评估活动的特点不同， 但评估的基本原则在世界范围内大致相同。评估方法有广义和狭义两种概念， 广义概念包括评估准备、评估设计、信息获取、评估分析与综合、撰写评估报 告等评估活动全过程的方法，狭义概念特指评估分析与综合的方法。本文所提 到的评估方法为狭义概念。 选择评估方法时，评估者应首先在成熟、公认的方法中进行恰当的选择， 如果由于评估活动的特殊性，没有采用成熟、公认的方法，必须在评估报告中 加以说明。评估方法是实现评估目的的技术手段，评估目的与方法的匹配是体 现评估科学性的重要方面，正确理解和认识这一匹配关系是正确选择评估方法 的基本前提。科技评估的实践表明，评估目的与评估方法之间的匹配关系，并 不是说评估的特定目的与特定一种评估方法之间的一一对应，而是指对于特定 的评估目的，选择高效、相对准确合理的评估方法。 定性和定量方法相结合是科技评估方法应用的基本思路，然而在实践中如 何具体实现定性和定量方法的结合目前尚无一定之规。评估中虽然收集了大量 的定量信息，但定性信息仍然是重要的，包括各种文件、管理规范、各类总结 材料、己有的评估论证报告及调研会议记录以及调查问卷中的开放性问题等。 评估者可以对定性信息进行收集、加工和整理，将定性信思进行重新编码，使 其结构化。结构化面访是科技评估中常用的一种调查方法，根据统一设计的面 访提纲和问卷，采用多项选择的问答方式，分头进行面访调查，所得的调查信 息具有相同的结构形式，使定性信息结构化。在表述评估结果时，可以根据需 要进行定性一定量信息的相互转换。评估结论的表达方式取决于表达的内容以 及用户的要求。有时将定性问题定量化处理后表达比较明确，有时用定性语言 概况表达定量结果更为适宜，有时则需要两者同时使用。 评估方法主要有案例研究、比较研究和多指标综合评估三种方法，其中前 两种比较适合单一个体的评估，而多指标综合评估方法是科技评估中的常用方 法，尤其是对于群体评估应用比较普遍。由于不问指标的综合、折衷、平衡各 种因素的相互影响，所得结果只能是合理的、满意的，不存在客观的最优。对 于多指标评估问题，只应从非劣方案( 非劣解) 中寻优。某一方案称为非劣方案， 武汉理工大学硕士毕业论文 是指不存在所有指标都优于该方案的选择。这种评估方法也是本文着重要讨论 的问题。 在评估指标体系建立后，每一个评估指标都应制定具体的标准和统一的计 算方法。其中可用金额、人数、时间、重量、体积等计量的指标，可进行定量 评估，对社会影响可作定性评估的描述。由于各个指标的含义、测量量纲以及 取值优劣标准不尽相同，为了能够对评估对象进行多指标的综合评估，有时要 将各种指标值转化成一个相对统一的尺度。这一过程称为指标值的规范化，其 实质就是把不能相加或相乘的指标值转化成可以汇总相加或相乘的综合指标 值。 在评估问题中，有时某些定性指标的值无法通过定量的方法得到，必须由 专家的判断决定，该方法通常用分数、序数、评语等作为评估的指标值，依此 作出总的评估。专家打分时应尽量保证所有的指标值属于同一类型，即问为分 数或问为序数，若有不同的，应将其转化成同一类型，以利于综合评估。 在多指标的综合评估问题中，各个指标对于评估总目标的影响和作用大小 的重要程度不同。为了正确反映这一客观事实，需要对指标赋权。加权理论在 国内外都有广泛的研究和应用。关于权重系数的获得主要有专家咨询法 ( d e l p h i ) 、层次分析法( a h p ) 、二项系数加权法、环比评分法等。其中比较有代 表性的且应用较多、较成功的主要有a h p 和d e l p h i 法。a h p 将专家的思维过 程定量化，并且可以通过一致性检验处理专家意见不一致的情形。d e l p h i 法也 是常用的一种方法，它具有匿名性、反复性、统计性三大特征，较好地克服了 主观因素的影响。 应用综合评分法计算综合分值，就是利用每个评估对象在各个指标中的得 分，按照不同的方法得到一个综合得分，据此对所有的评估对象排出优先次序。 计算综合分值的方法主要包括加权加法评分法、权备法评分法、乘法评分法和 加乘评分法。方法的选择可以根据相应的评估问题的具体评估指标体系来确定。 目前科技评估中采用较多的是加权加法评分法。 2 2 评估模型 由于评估过程的和评估结果的重要性，我们必须慎重对待评估过程的每个 环节，尤其是评估方法的选择。本文着重讨论多指标的综合评估问题。由前面 的介绍不难发现，在多指标的综合评估过程中，最重要的工作就是各个指标的 权重的计算。尽管有些获得权重的方法具有一定的优越性，但总体看来，这些 - - 7 - - 武汉理工大学硕士毕业论文 方法都有一个共同的弱点，就是无法完全客服主管因素的影响，权重的大小应 该完全依赖于原始数据。原书数据发生变化的时候，权重应该随之发生变化。 权重的改变可能导致完全不同的评估结果，因此，设计一个好的权重计算方法 就显得尤为重要。为了彻底解决这一问题，童恒庆教授在1 9 9 3 年提出了广泛意 义下的评估模型【”。 评估模型一般假定有m 个被评估对象，有p 个评估指标，对每一个评估对 象的每一个指标，都有n 个专家进行评估，给出一个分数。分数需要进行加权 汇总，我们的模型里加权系数卢，( ，一l p ) 是待定的，而不是已经给定的。这 是模型的第一个特点，是相对于一般评估工作的特点。 p 个指标是变量，分别以z ( 1 ) ，x ( p ) 表示。第f “一1 ，1 ) 个专家对第 k ( 七- 1 ，i n ) 个对象的第j ( j l - p ) 个指标进行评估，得到一个分数x 。一 个专家对一个对象的评估分数是p 维数据，作为一行。一个对象的评估数据有n 行，构成一个数据块。m 个数据块构成一个数据阵x 一 ，。x 是一个立体阵， 可以按照立体阵的排列方式排成不同的形式。我们为了计算方便。将x 排列成 m x n 行p 列的平面矩阵形式。给评估对象最终的评估分数为y 。 一1 ，m ) ， 它也是待定的，而不是事先给定的。这是模型的第二个特点，是相对于一般回 归模型因变量的特点。 评估模型的数据结构如下表所示。 x o )z ( 2 )x ( p ) 崩 尻 p p _ y 1 x l i ix 1 2 1x 1 p 1 y lx 2 1 1z 篮l x 2 p 1 y l毛1 ix z t工脑l 一8 一 武汉理工大学硕士毕业论文 ) ，。毛hm毛。 ) ，肼工2 h工i工2 y 。石h l 肼以h工戚情 表1 评估模型数据表 因变量待定，也是属于一种广义线性模型。要能求解，需要对模型加以约 束针对模型第一个特点，我们对加权系数岛，芦，加以约束。显然在评估模 型里，必须满足芦，2o ，- 1 ，p ( 即芦2 0 ) ；岛+ 声2 + + 卢pz 1 ( 即1 ：卢，1 ) 。 这是一种配方约束。针对模型第二个特点，我们对因变量加以约束。显然给每 个对象只能给出一个分数，也就是说虽然x 矩阵有m 蚪行，但是只能有m 个 分数。因此定义因变量】，- 研，这里毋一y 固1 。，d 榭。一l 1 。，1 。- “，1 ) ， ) ，一饥，) ，。) ，其中国是k r o n c c k e r 积。 这样评估模型可以表达为( 1 ) 和( 2 ) ： o y 一盖筘+ ，e ( ) = 0 ，v a t ( e ) 一o r 2 i ( 2 - 1 ) l ：芦一1 ，声 0 ，。- l o k( 2 2 ) 这个模型是本文导师童恒庆教授在1 9 9 3 年参考文献【1 】里提出来的。 2 3e m 算法简介 e m 算法是一种迭代的算法，用来求解观测数据不完全时参数的极大似然 估计，主要包括缺失数据、截断数据、删失数据或分组数据等。后来研究发现， e m 算法也可适用于参数以隐函数形式出现的大量问题中，例如：随机效应模型， 混合模型，对数线性模型，潜在变量结构模型等。e m 算法最基本的思想来自 - - 9 - - 武汉理工大学硕士毕业论文 遗传学家估计a b o 血型的基因频率，被称为”g e n e - c o u n t i n g m e t h o d ”作为一种 归纳，s u n d b c r g ( 1 9 7 4 ) 针对指数分布族讨论了不完全数据似然方程的性质【1 2 1 ， s u n g b e r g ( 1 9 7 6 ) 给出了似然方程的一种特殊形式1 1 3 】，从而得到了不完全数据下 的信息阵，构建了e m 算法的计算基础，即s u n g b e r g 公式在这篇文章的致谢中， s u n d b e r g 说明算法中关键的迭代映射( 即e m 映射) 的最初想法是来自1 9 6 7 年同 八m a r t i n - l o f 的通信联系。b e a l ea n dl i t t l e ( 1 9 7 5 ) 对于多元正态的不完全数据也 提出了一种相关的算法和理论基于这些准备【1 4 1 ，d e m p s t e r , l a i r da n dr u b i n ( 1 9 7 7 ) 提出了e m 算法1 2 】。这种算法已经被广泛地应用于各个领域，例如：工程 学、生物学、医学、和社会科学中等，因此e m 算法已经成为随机计算中非常 重要的一种方法e m 算法在每次迭代中要计算两步期望步( e x p e c t a t i o ns t e p ) 和 最大化步( m a x i m i z a t i o ns t e p ) 分别被称为e 步和m 步 在包含不完全数据结构的e m 算法中，记x 为包含完全数据的向量，z 为 包含不完全数据的向量。尽管不完全数据并不是第一次出现，但是像这样人工 的明确描述可以使得极大似然估计的计算变得十分容易。这是因为e m 算法使 用给定的完全数据来降低极大似然估计的复杂度。在很多统计问题中，完全数 据似然具有很好的形式。 采用k i m 和t a y l o “1 9 9 5 ) 的记号1 1 5 】，令y 一( 1 ，幽，l r 腑) ，其中y 表示完全数 据，l 幺代表y 的观测部分，乙代表】，的缺失部分，则y 的似然函数可以分解 为 ，( 1 r l ) 。，( 1 幺i u ) f ( ，0l l k ，肛)( 2 3 ) 其中肛是未知的参数，( i ) 代表观测似然，厂( i k ，) 代表基于k 和p 的条件似然，那么对数似然函数可表示为 l ( ti k ) - 地i y ) 一l o g 厂眠l ，p ) ( 2 - 4 ) 其中f i y 幽) 一l o g f ( i t ) 丰l l l ( z 1 1 0 一l o g ，i p ) 。令姐伽) 是e m 算法 所产生的迭代序列，则e m 算法的第伽+ 1 ) 次迭代的e 步和m 步分别为 q ( 口i 神) p ( 肛l y ) 厂( 1 幺i l 幺，枷) d l _ 和 武汉理工大学硕士毕业论文 q ( z 0 + 1 ip 加) 一m a x q ( zi 枷) 令 h ( u i 枷) - 1 。g ，i y 幽，肛) ，阮i y 咖，_ 佃飙 则 ，( p i l k ) 一q ( p l p 伸) 一n o , l p 扣) ( 2 - 5 ) 且 f ( p 忡m l l 幺) 一( z 卅l y o 曲) - q 0 , ”+ 1 ) l 卢扣) 一q 0 , 忡l p 町) 一【日( 卢枷+ 1 ) i i , ”) - h 0 , ”i f “) 】 因为h 似枷+ 1 l 肛( “) 一日似m ip 伽) c0 ( d e m p s t e r , l a i r d 和r u b i n , 1 9 7 7 1 2 1 ) ， 我们得到 f ( 弘佃+ 1 i l ) 一f ( 肛伽1 1 名) - q 0 , m + 1 i l ( m ) ) 一q 0 , “l p 枷) ( 2 6 ) 和 l ( z ”1 l l r 咖) 乏f 似枷i ，咖) ( 2 7 ) 上面的结果蕴涵了对数观测似然在每一步都是增加的。若已知 q ( z 辟+ 1 i “) q ( z ”l z “) ，那么z 似”1 l l ，幽卜，似“i l k ) ，即对数观测似 然函数是严格增加的。 e m 算法自提出以来得到了迅速的发展w u ( 1 9 8 3 ) 对e m 算法的收敛性进行 了研究【1 6 1 ，l o u i s ( 1 9 8 2 ) 得到了e m 算法的观测信息阵1 3 1 。h o m g ( 1 9 8 6 ，1 9 8 7 ) ， j a m s h i d i a na n dj e