（计算数学专业论文）一类代数riccati方程的解的存在性.pdf

中文摘要 型如彳7 1 x + 删+ 比脯+ q = d 的矩阵方程被称为代数m c c a t i 方程，代数 融c c a t i 方程在自动控制等工程领域内占有十分重要的地位。 研究代数融c c a t i 方程，许多作者主要依据的是矩阵的方法，采用泛函分析 的方法来研究的似乎没有。本文试图从泛函的角度来研究下面一类代数硒c c a t i 方程的解的存在性： 彳7 x + 。翻+ a 财一无x + q = d 这里，x ，彳，r ，q r 删”，且q 为对称矩阵，r 为半正定或半负定矩阵，兄为任 意常数。本文用泛函的方法，主要是利用不动点定理和压缩映射思想，给出了 这类鼬c c a t i 方程在两个不同条件下有解的充分条件，并且给出了一些结论。 本文分为四章。第一章，我们简单介绍本文研究的背景与动机，介绍了 l y 印u i l o v 方程的一般解与砒c c a t i 方程的解的一般形式，以及本文中的一些相关 定义和符号。 第二章，我们介绍不动点定理，给出了第一种限定条件下鼬c c a t i 型方程解 的存在性证明，并给出了一些结论。 第三章，我们介绍压缩映射，给出了第二种限定条件下鼬c c a t i 型方程解的 存在性证明，并给出了一些结论。 第四章，简单总结本文工作。 关键词：硒c c a t i 方程；不动点定理：压缩映射 a b s t r a c t t h em 撕xe q u a t i o n 么r x + 朋+ 朋+ q = oi sc a l l e da l g e b r a i cm c c a t i e q u a t i o i l ，w m c hi sv e 巧i m p o r t a n ti i l t 1 1 ef i e l do fa u t o m a t i cc o m r o la n do t l l e r e n g i n e e r i n g 印p l i c a t i o i l s m 锄yr e s e a r c h e rh a v es t u d i e d 让i es o l u t i o l l s o fv a r i o l l s a l g e b r a i c 鼬c c a t i e q 咖i o l l ，m o s to ft h e mm a i l l l ya p p l i e dt h em 撕xm e t h o d s ，f e wu s e dt l l e 劬c t i o l l a l a 1 1 a l y s i st 1 1 e o r i e s 1 1 1 i sp 印e rm a 瑚ys t u d i e st l l ee x i s t e n c eo f 让i es o l u t i o n so ft 1 1 e f o l l o 谢n gk i i l do fa 】g e b r a i c 硒c c a t ie q u a t i o n 舶mt h e 劬c t i o n 2 l lv i e v 叩。砬： 岔x + x a + x r x 一九x + q = o h e r e ，x ，彳，r ，q r “”，qi s m e s y m m e 句r i cm a t r i x ， a 1 1 dri s p o s i t i v e s e m i d e f i n i t eo rs e i i l i 1 1 e g a t i v ed e f i n i t em 撕x ，见i sa r b i 仃a r yc o m 妇n t s t l i i sp a p e r l l s e s 劬c t i o n a l 印p r o a c hs u c ha sf i x e d - p o i n t 廿1 e o r e ma n dm i n k i n go fc o n t r a c t i o n m a p p i i l g ，i 1 1o r d e r t og i v e st 、) 帕s u 街c i e n tc o n d i t i o nf o rs o l v a b i l 时a b o u tt l l i sk i l l do f 砒c c a t ie q u a t i o ni 1 1g i v e n 铆od i 髓r e mc o n d i t i o n s ，a i l ds o m ec o n c l u s i o l l sa r eg i v e n ，1 1 1 i sa n i c l ei sd i v i d e dn of o u rc h a p t e r s i nc h 印t e r1 ，w eb r i e f l yi n 仃o d u c et l l e r e s e a r c hb a c k g r o u n da n dm o t i v a t i o na n dag e n e r a ls o l u t i o no fl y a p u n o ve q u a t i o r l s a i l dm c c a t ie q u a t i o n so fg e n e r a lf o m ，a sw e l l 嬲s o m eo ft h er e l e v a n td e 矗n i t i o n sa 1 1 d s y m b o l si i l 吐1 i sa m c l e i nc h a p t e r2 ，w e 毗d u c et 1 1 ef i x e d p o i n tt l l e o r e ma n dg i v ep r o o fo fe x i s t e n c e o fi u c c a t i 够p ee q 删i o ns o l u t i o n su n d e rm ef i r s tc o n d i t i o n i nc l l a p t e r3 ，w ep r e s e n tt l l i i i k i n go ft h ec o i 灯a c t i o ni i l a p p i n ga n dg i v e sp r o o fo f e x i s t e r l c eo fr i c c a t it ) ，p ee q u a t i o ns 0 1 u t i o n su n d e rt 1 1 es e c o n dc o n d i t i o n i nc h a p t e r4 ，w es i i i l p l ys 哪u p 舭w o r ki n 恤s 枷c l e k e y w o r d s ：黜c c a t ie q u a t i o n ；f i x e dp o i mt h e o r e m ；c o l l 仃a c t i o nm 印p i n g i i 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考其他个人或集体己经发表的研究成果，均 在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和厦门大学研究生学 术活动规范( 试行) 。 另外，该学位论文为() 课题( 组) 的研究成果，获得() 课题( 组) 经费或实验室的 资助，在() 实验室完成。( 请在以上括号内填写课 题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特 别声明。) 声明人( 签名) ： t f 掣乒c | 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦门大学根据中华人民共和国学位条例暂行实施办 法等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交 学位论文( 包括纸质版和电子版) ，允许学位论文进入厦门大学图书 馆及其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国 博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和 摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于： ( ) 1 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 () 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打“”或填上相应内容。保密学位论文 应是己经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密 委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权。) 避煺 厶 ，jj 儿 日 名 7 签 ， 月 人6 明 年 府7 第一章绪论与预备知识 1 1 引言 型如么7 x + 剧+ 朋+ q = d 的矩阵方程被称为代数砒c c a t i 方程，代数 硒c c a t i 方程在自动控制等工程领域内占有十分重要的地位。 在数值代数领域和现代控制理论中，代数砌c c a t i 方程解的问题研究已比较 深入。在算法领域，刘新国教授【1 】评述了求解代数鼬c c a t i 方程比较有代表性的 数值方法。如：迭代法，不变子空间法，符号函数法等。卢琳璋教授 2 综述了 两类代数鼬c c a t i 方程数值解法的自8 0 年代以来的研究进展。另外，从理论角度， 一些学者构造了一类特殊的代数鼬c c a t i 方程，并且给出了它的显式解 3 。 研究代数鼬c c a t i 方程，许多作者主要依据，应用的是矩阵的方法，采用泛 函分析的方法来研究的似乎没有。本文定义和从泛函角度来研究下面一类代数 础c c a t i 方程解的存在性： 管x + x a 七x r x 一九x + q = o 这里，x ，么，尺，q r “”，且q 为对称矩阵，灭为半正定或半负定矩阵，力为任意 常数。本文用泛函的方法，主要是利用不动点定理和压缩映射思想，给出了这类 砌c c a t i 型方程在两个不同条件下有解的充分条件，并且给出了一些结论。 显然，对代数础c c a t i 方程的解的研究具有一定的实际意义，而用泛函方法 研究这类砒c c a t i 方程可能会对鼬c c a t i 方程的解的理论研究提供更多的更广泛的 、情形。 1 2l y a p u n o v 方程的一般解与r i c c a t i 方程的解的一般形式 定义1 2 1 【5 1 所谓l y 印u n o v 方程是指具有如下形式的方程： 彳7 x + 剃= 一q 其中，么，x 和q 均为刀刀实矩阵。若对于给定的么和对称矩阵q ，如果存在满 足上式的x ，则称该l y a p u n o v 方程有解。 定理1 2 2 【5 1设么豫删，b 酞“”，c 酞“”，矩阵方程似一船= c 有唯 一解的x r “”的充分必要条件是4 和b 没有相同的特征根。 定理1 2 3 【5 1设刀是矩阵么的特征值，则l y a p u n o v 方程有唯一对称解的充 分必要条件是五+ 乃ov f ，= 1 ，2 ，刀 定义1 2 4 【5 1我们将具有如下形式的方程称为砒c c a t i 方程： 么r x + 觑+ 爿：瞄一q = d 其中，x ，么，r ，q r “”，且q 为对称矩阵，r 为半正定或半负定矩阵。若如 果存在满足上式的，则称该硒c c a t i 方程有解。 对于m c c a t i 方程定义2 玎2 咒矩阵e 如下： e = 匿! l 设丑o = 1 ，2 ，挖) 是e 的”个特征值，且u 是与之对应的特征向量。记 以( f = 1 ，2 ，胛) 所对应的j o r d a n 标准型为j ，并定义2 玎刀矩阵z 为 丁- m 吃屹】，则有e 丁= ，令刀刀矩阵石和正，其中丁= 乏 定理1 2 5 5 1 若x 是砧c c a t i 方程的解，则x 可以表示为x = 互互，反之， 若互是非奇异矩阵，则上式给出的矩阵x 是黜c c a t i 方程的解 2 1 3 一些定义和符号 定义1 3 1 【5 】所谓耻c c a t i 型方程具有如下形式的方程： 4 j x + x a + x r x 一丸x + q = o 这里，x ，么，r ，q r “”，且q 为对称矩阵，尺为半正定或半负定矩阵。 而更一般的鼬c c a t i 型方程是指具有如下形式的方程： 彳1 x + 黝+ 皲y g ( j ) = d 这里，彳，彳，r ，q r “”，且q 为对称矩阵，r 为半正定或半负定矩阵，g ( x ) 是 关于x 的连续函数。 定义1 3 2 7 1 若彳将d 中的任何有界集s 映成易中的列紧集么( s ) ( 即么( s ) 是相对紧集，也即它的闭包么( s ) 是岛中的紧集) ，则称么是映d 入易的紧算子。 定义1 3 3 【8 1若算子彳：d e 是连续的，而且又是紧的，则称彳是映d 入 e 的全连续算子。 第二章第一种限定条件下r ic c a ti 型方程解的存在性 2 1 解的存在性证明 引理2 1 1 【7 1设e 是一个b a n a c h 空间，q 是e 中的有界凸开集，f ：q 专e 是一个全连续算子。如果f ( 孢) cq ，则f 在q 一定有不动点。 定理2 1 2 设i 三，l o ，则矩阵方程彳r x + 捌+ 朋一x + q = d 在 q = 卜雌忭锗卜其中。舢”上所有对称矩阵构成的黔必有 一解这里等 证明 记厂( x ) = 么r x + 拗+ 朋+ q ，我们证明厂：d j d 是一个连续映 射，很显然，由于d c 尺“”，故d 是一个b a l l a c h 空间。 又因为 0 何+ 赵) 一( x ) 0 = 0 彳7 x + 删+ ( x + x ) r ( x + y ) 一删0 = l i 彳r x + 删+ 删+ 蝴+ 蝴从0 ( j i + l | 彳舰i l + i l 肘| i + i l 尺赵i | ) l | 从0 故鹏x + 似) 一厂( x ) i l = o 故厂是连续映射。 又dc r “”，故d 为有限维空间，而厂：d d 是连续映射，因此厂是紧映 射，从而厂：d d 是全连续算子。 由于q _ x d ，j | 矧 。，易证q 是。中的凸开集， 4 因此q 是d 的有界凸开集。 又当1 1 i l = ，时， 0 ( 五) l i = 忙r k + k 彳+ k 甄+ 剑 怕r 托i i + j l k 么1 瓯例 ( p 彳i i ) | i l i + i 酬1 1 2 + | l q i i 刮h i 锗+ i i 删( 猪) 2 + 嵴 出：r 一2 这说明厂( 孢) cq ，因此由引理2 1 1 得知厂在q 中必有不动点，即矩阵方 程么7 x + 觑+ 朋一x + q = d 在q = x d ，0 x i | ， 内必有一解。 2 2 结论推广 定理2 2 1 设恻i 掣，忙i l 。，则矩阵方程彳r x + 拗+ 朋一五x + q = 。在 q = 卜雌忭锗卜其中。剐上所有对称矩阵组成的舱必有 一解砌矧驯等h 一。 证明由于兄0 ，方程么r x + 剃+ 朋一力x + q = d 两边同除以于五，得， ( 五1 彳) 7 x + x ( 五1 么) + x ( 兄- 1 r 一x + ( 名- 1 q ) = d ，再由定理2 1 2 ，即证。 这里要说明，本文中的融c c a t i 型方程：彳r x + 剧+ 朋一兄x + q = d ，当 兄= o 时，即为砒c c a t i 方程。 6 第三章第二种限定条件下r ic c a ti 型方程解的存在性 3 1 解的存在性证明 疋义3 1 1 p 右：2 一s 2 满足盯于仕葸嗣爿s 2 ，y s 2 ，郁伺 i l 厂( x ) 一厂( 即忙c0 彳一硎( o c 1 ) ，则称厂是一个压缩映射。 定理3 1 2 设恻l 三，忙o o ，则矩阵方程彳r x + 尉+ 张一+ q = d 在 q = 卜叩忙猪卜其中。剐”上所有对称矩阵构成的豁必有 一解矧剑箐 证明弘错地酬l 弘有 i | 厂( x ) 0 = 忙7 x + 捌+ 删+ q 0 l i 彳丁x f f + i | 。拗0 + i i j 似i i + 0 q f i ( ”| i + l | 彳| i ) l i x i l + l i 酬x i l 2 + 恻 2 i h i 锗+ l i 划( 锗) 2 + 箐 兰型：二 一4 2 以下设俐i 三，由于 0 厂( x ) 一厂( y ) 0 = 0 ( 彳r x + 拗+ 删+ q ) 一( 彳r 】厂+ 翻+ 豫】，+ q ) ( x 一圳i + i l ( x 一即讣+ 0 删一豫】，0 肛一y l l + i l x 一训么删一欣】，i l + i | 姗】，一豫】，0 肛一圳俐i + l | 彳”肛一喇l 欣i i + l l r 】，l i ) i x 一】厂0 ( 2 l i 彳0 + ，1 i 尺l i ) 刮刈( 2 | h | + 锗忙d 艿i i 工一】，0 由于恻i 要，故万存在，这里o 万 吣u 厂是一个醐映射， 因此任取满足蜀五，满足扎r = 蜀，l k 忙昙，记五= 厂( k ) ，则有 五r = 五，0 五0 三，故五五，以此类推，若= ( 瓦一。) ，我们有以五， v 刀1 玎n ，这时 l i 鼍卅一k0 = 0 厂( 鼍) 一厂( y 。一。) 0 于是 万i l 五一五一。0 硎鼍一。一k 一：0 万0 五一五0 8 i 陬+ 。一五忙0 鼍+ ，一五州0 扩“。懈一k 0 岳阡k o 又因为o 万 1 ，所以当| | 专，有6 + 册一五0 一。即 鼍) 是c a u c h y 序列， 从而 ) 有极限善，即 璁五= 孝，由于k q ，q 为闭集，故善q 又由于厂 连续，故对置“= 厂( x 。) 两边取极限，得亭= 厂( f ) ，即善为所求的解。 9 3 2 结论推广 证明若备与彘都是该方程的解，则磊= 美，否则不满足压缩映射；再若磊 是方程的解，则缶r 也是该方程的解。 定理3 2 2 设忙o 掣，忙o o ，则方程么r x + 觑+ 冗一力x + q ：d 在 q = 卜雌忙锗 内，必有唯一对称解。这里 祥h 一。 证明联合定理3 1 2 ，3 2 1 即证 若憎i i = o ，则容易得到下面结论， 定理3 2 3 设l 内有唯一对称解； 洲i 箐时， a t i型方程在 q = 卜雌忙锗b 解，撇有多少懦 我们还可以进一步讨论更一般的鼬c c a t i 型方程： 么7 1 x + 五么+ a 拟一g ( x ) = d 这里，x ，么，r ，q r “”，且q 为对称矩阵，尺为半正定或半负定矩阵，g ( x ) 是关于x 的连续函数。在这种情形下，应该也可以用泛函理论来研究方程解的 参考文献 【1 】刘新国，李湛宽，王玉晔求解代数m c c a t i 方程的一些数值方法评述，青岛海洋 大学学报，2 0 0 0 ，3 0 ( 4 ) ：7 1 3 7 1 7 2 】卢琳璋两类黎卡提方