（计算数学专业论文）有理插值的构造方法及其应用研究.pdf

有理插值的构造方法及其应用研究 摘要 有理分式函数是简单函数类，它虽然比多项式复杂，但用它表示函数时，却比多 项式灵活，更能反映函数的一些特征，因而在数值逼近、函数近似表示等方面得到了 广泛的应用。而有理插值是有理逼近的重要内容，关于一元有理插值理论与方法已 有许多优美的结果，关于一元数量有理插值理论基本成熟，而向量有理插值及 矩阵有理插值有些问题还值得进一步研究，特别是适用于实际应用的构造方法 的研究还是很有意义的。本文给出一种适用于实际应用的有理插值构造方法，该方 法简洁明了、灵活性强、便于在计算机上实现。并将它推广到向量值函数有理插值和 矩阵值函数有理插值。在本文中我们还将该构造方法应用到估计复杂系统的可靠性当 中，得出一个算法，用该算法得出的数据和已有的数据相比较，我们发现该算法不仅 在精度上比已有算法要高，而且在计算量方面也比已有的算法少。 最后，我们研究了有理曲线中有理插值方法的应用，包括两方面的内容，一方面 是：已知非均匀有理b 样条曲线的节点反求它的控制顶点及权因子；另一方面是：两 条有理三次b 6 z i e r 样条曲线g 2 光滑拼接的充要条件。 关键词：有理插值，高可靠性系统，可靠性分析， 有理样条曲线 t h ec o n s t r u c t i o nm e t h o do fr a t i o n a li n t e r p o l a t i o na n di t s a p p l i c a t i o ni n v e s t i g a t i o n a b s t r a c t r a t i o n a lf r a c t i o nf u n c t i o ni sa s i m p l er u n i o ng e n u s ，a l t h o u g hi ti sm o r ec o m p l i c a t e d t h a np o l y n o m i a lf u n c t i o n , w h e nw ed e n o t ef u n c t i o nw i t hi t , w ec a l lf i n dt h a ti ti sm o l e f l e x i b l et h a np o l y n o m i a lf u n c t i o n , f l t r t h e r m o l 七，i tc a l lr e f l e c tc h a r a c t e ro ff u n c t i o nb e t t e r b e c a u s eo ft h e s e ，r a t i o n a lf r a c t i o nf u n c t i o nr e c e i v eb r o a da p p l i c a t i o no i ln u m e r i c a l a p p r o a c h 、a p p r o x i m a t ed e n o t a t i o no ff u n c t i o ne t c a n dt h a tr a t i o n a li n t e r p o l a t i o ni s i m p o r t a n tc o n t e n to f r a t i o n a la p p r o x i m a t i o n t h e r eo r eal o to f p e r f e c tr e s u l t sa b o u tt h e o r y a n dm e t h o d so fu n i t a r yr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o n ，t h e o r yo fu n i t a r yn u m b e rr a t i o n a l i n t e r p o l m i o ni sv e r ym a t u r e ，b u ts o m ep r o b l e m so f v e c t o rv a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l m i o na n d m a t r i xv a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a t i o nn e e dd e 印i n v e s t i g a t i o n e s p e c i a l l y , i n v e s t i g a t i o no f c o n s t r u c t i o nm e t h o do fr a t i o n a li n t e r p o l m i o ns u i t e dt op r a c t i c a l a p p l i c a t i o n si sv e r y i m p o r t a n ta n dm e a n i n g w ep r e s e n tan e w r a t i o n a li n t e r p o l a t i o nc o n f o r m a t i o nm e t h o di n t h i sa r t i c l e ，w h i c hi ss u i t a b l et op r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ，a n dt h i sm e t h o di se a s yt ob er e a l i z e d o nc o m p u t e r , w h i c hi ss i m p l ea n df l e x i b l e , p u s h i n gi tf o r w a r dt ov e c t o rv a l u ef u n c t i o n r a t i o n a li n t e r p o l a t i o na n dm a t r i xv a l u e sr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n i nt h i sp a p e r , w ew i l la l s o a p p l yt h i sc o n s t r u c t i o nm e t h o di ne v a l u a t i n gt h er e l i a b i l i t yo fac o m p l e x ，h i g h l yr e l i a b l e s y s t e m , o b t a i n i n ga na l g o r i t h m a n db yc o m p a r i n gt h ed a t ao b t a i n e df r o mt h i sa l g o r i t h m w i t ht h eo d g i n a ld a t a , w ef o u n dt h ea l g o r i t h mi so fb e t c e rq u a l i t yt h a nt h ep o s s e s s e d a l g o r i t h m si nt e r m so f n o to n l yp r e c i s i o n , b u ta l s oc o m p u t a t i o na m o u n t f i n a l l y , w er e s e a r c h e dt h ea p p l i c a t i o no fr a t i o n a li n t e r p o l a t i o nm e t h o di nr a t i o n a l c u r v e s ，i n c l u d i n gt w oa s p e c t s ，o n ei s ：t os o l v et h ec o n t r o l l i n gv e r t e xa n dp o w e ri n d e xw i t h t h e # v e nn o d e so fu n b a l a n c e dr a t i o n a lbs p l i n ec u r v e s ；a n da n o t h e ro n ei st h en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no fg 2c o n t i n u i t yb e t w e e nt w oc u b i cr a t i o n a lb 誊z i e rs p l i n ec u r v e s k e y w o r d s ：r a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ，h i g h l yr e l i a b l es y s t e m ，r e l i a b i l i t ya n a l y s i s ，r a t i o n a l s p l i n ec h , r v e $ 图表目录 图3 - 1 一个即不是并联也不是串联的系统1 8 图3 - 2 有理插值在评估可靠性的应用2 0 表3 3 数据比较2 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知。除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得金鳇王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位缴储躲铲栉签字魄严f 月夕日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金8 壁至些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。允许论文被查阅或借阅。本人授权盒目b 王些友 坐可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：彳影幸墨岛 签字眺7 年月日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 鲫盐受掌矽珍 导师签名：个。，厂 签字噍汐7 年参吖日 电话： 邮编： 致谢 时光飞逝，转眼间，三年的研究生生活就要告一段落了。看着自己写好的论文， 思绪万千，心情久久不能平静。首先我要感谢我的导师朱功勤教授，没有他我的论文 不可能顺利完成。导师的治学严谨、学识渊博、品德高尚、平易近人，深深地感染着 我，在我学习期间，不仅传授我做学问秘决，还教我为人处事的道理，这将使我终生 受益。无论是在理论学习阶段，还是在论文的开题、选材、撰写都得到了导师的悉心 指导，在此，我对他表示衷心的谢意。 回首过去学习期间的一千余个日日夜夜，自己能够不断取得进步，离不开所有授 课的老师们，正是由于他们的慷慨解囊，我才能不断地获取知识，不断地进步。对他 们我表示真挚的谢意。 在即将毕业离校之际，我还要感谢我的同学王乐乐、吴国辉、李增祥等，在生活 上对我的关心和帮助，同窗之谊，我会铭记于心。 最后，我要感谢我的父母，他们默默的支持一直是我前进的动力。 学习研究是永无止境的，我愿在未来的学习和研究过程中，以更加丰厚的成果来 答谢曾经关心、帮助和支持过我的所有老师、同学和朋友。 作者：程永福 2 0 0 7 年4 月 1 1 引言 第一章绪论 有理分式函数是简单的函数类，它虽然比多项式复杂，但用它近似表示函 数时，却比多项式灵活，它更能反映函数的一些特征，所以在数值逼近、函数 近似表示、计算机辅助设计等方面，有理分式函数逼近引起人们的关注，而有 理插值是有理逼近的重要内容，关于一元有理插值理论与方法已有许多优美的 结果，关于一元数量有理插值理论基本成熟，而向量有理插值及矩阵有理插值 有些问题还值得进一步研究，特别是适用于实际应用的构造方法的研究还是很 有意义的。 有理插值作为函数逼近的一种重要的方法，具有许多比多项式插值更好的 性质，例如，当被插函数具有极点时，特别是在极点附近，采用多项式插值就 不能取得很好的效果，甚至采用多项式样条插值也未必适合，而有理插值能够 很好的处理这样的情形。又比如采用一元多项式插时，随着多项式次数的升高， 插值多项式在插值区间的两端剧烈振荡，但是有理插值在插值区间的两端却有 很好的逼近性质【l j l 。因此研究有理插值是很必要的。 一元有理插值是c a u c h y 2 在1 8 2 1 年第一次提出来的，因此下面的问题也 称为c a u c h y 有理插值问题。 t a c o n 和d u p r e e 对有理插值问题的解的存在性和唯一性进行了研究，并 且得出了存在性和唯一性定理。王仁宏和朱功勤l 4 对有理插值和逼近做了比较 系统的研究。徐国良 5 - 7 修正了 3 的结果并且研究了切触有理插值的可解性以 及一种曲线上插值节点的有理插值的测度弱收敛问题。盛中平 8 _ 9 等也对有理 插值的特征进行了研究。但是在实际应用当中，利用 3 的结果求有理插值函数 的运算量过大。c s c h n e i d e r 等在文 1 0 中研究了有理插值一些性质。 向量值函数有理插值问题最早是由p w y n n 于1 9 6 3 在文 1 1 中提出来的， 以p r g r a v e s m o r r i s 为代表的一些学者于2 0 世纪8 0 年代初从机械振动中 有关振动膜这一实际问题出发，利用一元t h i e l e 型连分式和s a m e l s o n 逆变换， 研究了向量函数有理插值问题，建立了一元向量值有理插值的理论与方法 f 1 2 一l4 | 。朱功勤、顾传青、檀结庆等于1 9 9 0 年开始，较系统地研究了多元向 量值函数有理插值与逼近问题 1 5 】。从某种意义上来说，向量值有理插值是数 量( 标量) 有理插值的一种自然推广。 矩阵值函数有理插值问题从某种意义上说又是向量值有理插值的自然推 广，顾传青、朱功勤为代表的一些学者研究了矩阵有理逼近、有理插值以及矩 阵p a d a 逼近等问题，取得令人可喜的成果。 随着有理插值理论的成熟，有理插值在各个方面的应用也越来越受到学者 们的关注，而且由于有理插值具有多项式插值许多无法替代的性质，许多用多 项式插值无法解决的问题因为有理插值的产生而得到了很好的解决，并且它的 应用领域也越来越广泛，在量子力学、量子场论、原子和分子物理、控制论和 数值分析等领域都有应用 1 6 18 】，随着计算机的迅速发展，有理逼近方法在图 象压缩与重建，有理曲线和曲面生成、以及复杂系统性能的评估等方面得到了 很好的发展，文 1 9 采用向量有理逼近研究图象重建取得了满意的结果。c m k r is h n 等在文 2 0 研究了有理插值在复杂系统中性能的评估中的应用，得出良 好的结果。w e i b og o n g 2 1 2 3 等研究了有理插值在估计小概率事件的概率中的 应用。 1 2 本文内容 本文利用代数多项式相等的充要条件是系数相等的这一性质得出一种构造 有理插值的方法，并且在此基础上进行了改进得出了一神求有理插值解集的算 法，并将该方法应用到估计复杂系统可靠性上。在文章的最后我们还研究了有 理曲线中有理插值的应用。所做的工作主要分为以下几个部分： 第一部分，简单地介绍了有理插值的相关概念，对已有的构造方法进行了 概述，在此基础上给出了一种具有实际应用价值的构造方法，该方法简洁明了， 灵活性强，且在计算量方面比现有的方法少，便于在计算机上实现，在实际应 用中具有重要的意义。同时还将该方法推广到向量值函数有理插值和矩阵值函 数有理插值。 第二部分，我们研究了有理插值在估计复杂系统的可靠性中的应用。根据 前面我们得出的有理插值的构造方法，将它用于估计复杂系统的可靠性当中， 得出一个算法，并给出了数值例子，并将它与已有的算法相比，不仅在精度上 有所提高，而且计算量上也少了很多。 第三部分，研究了有理曲线中有理插值方法的应用，主要包括两种曲线， 有理b 6 z i e r 样条曲线和非均匀有理b 样条曲线。对于非均匀有理b 样条曲线， 我们研究了已知它的节点反求它的控制顶点及其权因子的算法；对于有理 b 6 z i e r 样条曲线，我们研究了两条三次有理b z i e r 样条曲线的g 2 光滑拼接的充 要条件。 2 第二章构造有理插值的一种方法 孰知的有理插值( 含向量有理插值、矩阵有理插值) 函数构造方法，都是 在假定有理插值问题有解的条件下给出的，为实际应用带来一定的困难。在本 文章我们通过引入多个实参数，利用求解方程组确定参数，并由此定义有理插 值函数的分母多项式及分子多项式( 也可以是向量多项式、矩阵多项式) ，构造 性的定义出有理插值函数。 2 1 数量值有理插值 插值方法是函数逼近的一种方法，利用它可以通过函数在有限个点处的取 值状况，估算该函数在其他点处的值。此外，插值法还是导出其他许多数值方 法的依据。多项式插值理论与方法已经相当成熟。而有理函数插值的理论与方 法比多项式插值要复杂得多，其主要表现是有理插值问题有解是有条件的或者 说有理插值问题不是总是有解的。另一方面，对于具有极点的函数，即厂( 曲在 无界，或者当工_ a o ，厂( 工) 趋于某一定值时，采用多项式作为逼近工具是不 合适的，而采用有理分工函数作为逼近工具是恰当的，基于此，本节介绍有理 插值的基本理论。下面介绍文【4 】对于有理插值问题的提法。 设( 薯，咒) ，f = 0 , 1 ，m + n 是与y = f ( x ) 有关的m + n + 1 个型值点，其中薯 ( i = o ，l ，m + n ) 互异，乃= f ( x j ) ( i = 0 ，1 ，m + n ) 。p ( x ) = q z 7 ， q ( x ) = 缸x ，所谓有理插值问题，乃是寻求有理分式函数 ) = 器= 等瑟害笋i = o , 1 , - - - , n 汜， 使之满足如下条件 “咖粥叫办m 肿露 缇， 并称而，而，为插值节点，乃= “) ( f _ 0 , 1 ，肌+ 胛) 为型值，式( 2 1 2 ) 称为插值条件，式( 2 1 1 ) 中的心，。( 工) 插值函数，厂( 0 称为被插函数，而 r ( x ) = 厂( x ) 一心，( x ) ( 2 1 3 ) 称为插值余项。 为简便起见，记n = m + n ，只表示次数不超过，的多项式集合， d 。= ( 墨，咒) l j = o ，1 ，n ，分子、分母次数分别不超过掰和撑有理分式函数合 记为r ( m ，疗) ，非负数偶( m ，功称为有理插值问题的次数类型。如果有理插值问 题( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 有解，则形式上记为o ne r ( m ，刀) a 仿照文献 2 4 中的 说法，如果有理插值问题( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 解存在且唯一，则称有理问题是 适定的，而而( i = 0 , 1 ，) 称为适定节点。 我们知道对于多项式插值问题，求插值多项式的最直接方法是通过方程组 a o + a t x f + 呸# + f = 乃，f = 0 , 1 ，行 h 来求满足插值条件的多项式p o ) = g 。丽有理插值闯题( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) j - - 0 的解需要解如下方程组 p ( 为) q ( 弓) = 厂( 五) ，i = 0 , 1 ，n 这是一个非线方程组，一般来说求解很困难。但是当心，。( x ) = p ( x ) q ( x ) 是插 值问题( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 解时，此时q ) 0 ，所以自然有 口o + q 墨+ 吃# + 吒f 一乃( 6 0 + 岛薯+ + 舷矽) = o( i = 0 ，1 ，) ( 2 1 4 ) 式( 2 1 4 ) 是一个含n + 2 参数口i ( 扛o ，l ，删) 及屯d = o ，1 , - - - , 门) 的+ 1 个方 程组成齐次线性方程组。由线性代数基本理论知，方程组一定存在非平凡解。 当然可以看出有理插值问题( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 的解不一定总存在，这就 是有理插值与多项式插值不同之处，这说明有理插值问题解存在是有条件的， 并且同一有理函数有可能有多种不同的表示形式。为此我们引入下述概念。 定义2 1 1 4 】对于两个有理函数马= # ( ，q l ( x ) 及恐= b ( 耳) q 2 ( x ) ，如果 存在一个非零常数a ，使得最 ) = 口丑( j ) ，q 2 0 ) = 应q o ) ，贝l j 称墨o ) 与是o ) 是 恒等，记为墨o ) ；坞( 工) ；如果日q ( 工) = 昱( x ) 易( x ) ，则称马( x ) 与恐( x ) 是等 4 价的，记为足l ( x ) 一是( z ) 。 显然，这种等价关系具有性质： 1 ) 焉( x ) 一是( x ) ； 2 ) 若r ( x ) 一( 工) ，( z ) s ( x ) ，则胄( x ) 一s ( x ) ； 3 ) 若r ( x ) 一( x ) ，则s ( x ) 一r ( x ) 。 不难看出两个有理分式函数马( x ) 与是( x ) 等价，必须且只须置( 并) 与坞( 工) 的最简分式( 工) 和r 2 ( 工) 是恒等的。这里所说的最简分式是指把一个有理分式函 数r ( 石) ；p ( 并) ，q ( 并) 的分子p ( 功与分母q ( x ) 的最大公因式约去后所得到的有理 分式，也就是说最简分式的分子与分母多项式是互质的。 今后只要两个有理分式函数蜀( x ) 与坞( x ) 是等价的，则把它看成是一个有理 分式函数而不加以区别。或者说把互相等价的有理分式函数看成是一个函数。 2 1 2 多项式的一个性质 对于给定的n + 1 个互异点 毛 ( f = o , 1 ，捍) ，记 缈( x ) = ( x 一) ( 石一毛) ( z 一矗) 娟) = 等卜小卜( + 1 ) ( h ) ( 2 1 5 ) 将q o ) 右端乘开，不难看出它是形如 q ( x ) = 工”+ 一l j 工”- 1 + ，+ a t x + a v j 的l 1 次多项式，且q ，( ，= 甩一l ，o ) 可由如下公式算出 ( 2 1 6 ) 吒叫= h 屯( 所有不取t 的两个不同的_ 乘积之和) i ( 一1 ) 。q 叫j = 屯h( 所有不取五的t 个不同的_ 乘积之和) l ( 一1 y j = 而薯。而+ i 引入行+ 1 个待定常数( 参数) c 6 ( i = o ，1 ，聆1 。定义，1 次代数多项式 ( 2 1 7 ) q ( x ) = ( x ) + 嘶q o ) + 鸭( 工) = a , t a ，( x ) ( 2 1 8 ) t = o 利用两个代数多项式恒等的充要条件，即系数相等条件，可通过选择参数 ( f _ o ，1 ，行) 将q ( x ) 转化成某一确定的多项式d ( x ) 。 定理2 1 1 选择参数q ( i = o ，1 ，疗) ，可将以次多项式q ( x ) 变成任何j i 次 ( k s ，1 ) 的多项式d o ) 。 事实上，设d ( j ) = 矿+ 岛，1 + + 以( k n ) 。当k = 打时，取q = 1 ( f = 0 , 1 ， = ，玎1 即可，当k o ) a 2 1 3 数量有理插值构造算法 对于给定的，l + 1 个互异点x o ，一，及相应的函数值乃= 厂“) ( ，= 0 , 1 ， ，”1 ，定义多项式 ( 2 1 1 2 ) ( 2 1 1 3 ) 显然纪o ) r ( 疗，月) 。注意到q ( _ ) = o ，。不难看出仍( ) = o 仍( ) = l ， 且仍( 工) = l ，因此将讫( 工) 视为有理基函数，能过直接验证可知 l = 0 7 q q、”一， 嘶 啦 o | ：一 。m。脚丝驯 。*。踊脚盟荆 卜 卜 = d “ 球) = 粥= 萎北) 鹏) 便是满足插值条件的有理函数，公式( 2 1 1 4 ) 就是构造有理插值函数的公式， 它类似于多项式插值中的l a g r a n g e 插值公式。通过选择参数强o = 0 , 1 ，行) ， 可求出所需类型的有理插值函数。现在我们用定理( 2 1 1 ) 的方法构造出所需类 型的有理插值函数，即类型胄以o ) ，r ( n 一1 ，1 ) ，r ( n 一2 ，2 ) ，r ( 0 ，厅) 。对于 r ( 挖一i , i ) ( f = o ，l ，n ) ，我们知道它的分子是行一j 次多项式，分母是f 次多项式， 并且假定最高次项的系数为1 如果不为1 可以转化成为1 这样我们就可以选择 a ，o = o ，l ，h ) 使其满足下面的方程组 + + + = 0 一叩+ 0 6 a 一i i j + + 一= 0 i a o a l 一o t - 盯l g n - i 一1 1 + + ，- 1 ，= 0 ，o + q 。j + + 一抽= 1 儿+ q m 4 - + 咒= 0 ； a o a , 一1 d + 嘶q l ，l m + + i ，以= 0 设其解为z ( f = o ，l ，疗) ，将西代入式( 2 1 1 1 ) ( 2 1 1 2 ) ( 2 1 1 3 ) ，再由公式 ( 2 1 1 4 ) 便可得到满足插值条件的r ( x ) 。 例2 i 2 设而= l ，而- - - 2 ，x 2 = 3 ，x 3 = 4 及相应函数值= 1 ，乃- - - 1 ，y 2 = 2 ， y 3 = - 2 ，试求有理插值类型函数r ( 3 ，o ) ，r ( 2 ，1 ) ，r ( 1 ，2 ) ，r ( o ，3 ) 的值。 解： 由q ( 工) 定义( 2 i 5 ) 及式( 2 i 6 ) ，( 2 1 7 ) 得 ( 工) = 矿一9 x 2 + 2 6 x - 2 4q ( z ) = 工3 - 8 x 2 + 1 9 x - 1 2 吐( j ) = ，一7 x 2 + 1 4 x - 8屿( x ) = ，- 6 x 2 + l l x - 6 对于r ( 3 ，0 ) ，此时方程组( 2 1 1 5 ) 变成为 8 i + + + 吗2 0 l _ 9 一8 嘶一7 呸一6 吩= 0 1 2 6 a o + 19 i 吒+ 1 4 吃+ l l 呜= 0 【- 2 4 一1 2 a t 一8 a 2 6 a 3 = l 解方程得，= - 1 6 ，= 1 2 ，= - 1 2 ，= 1 6 ，将q 的值代入( 2 1 1 1 ) ， ( 2 1 1 2 ) 得 d ( 工) = 啦q ( x ) = l 2 v ( 工) = 壹q 乃q ( x ) ：_ 2 ，+ 2 9 ，x 2 - - 了6 3 x + 2 0 1 - 0 - r ( 工) = - 2 2 9 2x 2 _ 譬x + 2 0 对于r ( 2 ，1 1 ，此时方程组( 2 1 1 5 ) 变成为 i + q + + = 0 i _ 9 一8 一7 一6 钙= 0 1 2 6 a o + 1 9 a i + 1 4 a 2 + 1 1 畅2 1 【一q + 2 a 1 2 2 锡= 0 解方程得，= 7 2 4 ，q = - 3 8 ，a 2 = - 1 8 ，屹= 5 2 4 ，将q 的值代入( 2 1 1 1 ) ， ( 2 1 1 2 ) 得 d ( x ) = 善3 啦q ( 工) = x 一萼j 日0 - r ( x ) = 喜a ，y o , ( x ) = 一詈冉詈川- 0 u口 一生+ 翌x 一7 尺( 了) = 一 x 一一 4 对于r ( 1 ，2 1 ，此时方程组( 2 1 1 5 ) 变成为 i + q + + = 0 i _ 9 一8 喁一7 呸一6 = 1 1 d o - - 0 a + 2 f f 2 - 2 a 3 = o 【一9 + 8 a t 一1 4 口t 2 + 1 2 c q = 0 解方程得，a o = - 1 0 3 3 ，a t = - 2 1 1 ，吃= 3 1 1 ，吃= 7 3 3 ，将q 的值代入( 2 1 1 1 ) ， ( 2 1 1 2 ) 得 d ( 工) = 善3 啦q ( x ) = 5 7 l l 川- o ( 工) = 壹m q ( 石) 普x 一百3 6 s f f i o , i t - 一堑工一堑 r ( x ) 2 禹l l 1 1 工一z + 6 l l 对于r ( 0 ，3 1 ，此时方程组( 2 1 1 5 ) 变成为 i + + 吒+ 吗= 1 1 一q + 2 一2 岛= o f _ 9 嘞+ 8 嘶一1 4 0 2 + 1 2 a t 3 = 0 【2 6 a ! o 一1 9 q + 2 s a 2 2 2 呜= 0 解方程得，= 3 3 4 1 0 0 1 ，q = 5 2 8 1 0 0 1 ，锡= 1 1 1 1 0 0 1 ，= 4 1 4 3 ，将q 的值代入 ( 2 1 1 1 ) ，( 2 1 1 2 ) 得 d ( 石) = 窖q q ( j ) = x 3 一寻 等一2 5 2f _ o_ r 3 o ) = q m 皑o ) = 一l j f f i o 置( 工) 2 i 耍砸- 1 41 22 值得注意的是利用所给的方法可构造出多种形式的有理插值函数，且构造 的有理插值函数还是唯一的( 是指定类型相同的有理插函数) 。 2 2 一元向量值函数有理插值 2 2 1 问题的一般提法 设由，z + 1 个不同点组成的点集为n ：= 薯i f = 0 , 1 ，n ；x j r ) 和相应的有限 值向量集为v ：= “t i = o ，l ，拧；。= 矿 ) ，矿= 以r ) ) ，屹 ) ，d 4 ，令 r ( x ) = n ( x ) d ( x ) ( 2 2 1 ) 其中n ( x ) 是d 维向量多项式，即n ( x ) = ( l ( x ) ，虬0 ) ) ，m ( x ) ，( 1 s ，s d ) 是 1 0 ，的多项式，d ( x ) 是实系数代数多项式r ( x ) = ( 置o ) ，岛( x ) ) 。 所谓向量值函数有理插值问题，就是寻求形如( 2 2 1 ) 的向量值有理分式 函数s ( x 1 ，使之满足如下插值条件： 嘶) = 鬻= 嘭0 , i = 0 , 1 , - - - , n ；川，d ( 2 2 z ) 这里吩( x ) 是r ( x ) 的第个分量，即r ( x ) = ( 墨( x ) ，乜( x ) ) ，矽 v ( 0 的第， 个分量，即v ( ) = ( 球，) 。 从向量值函数有理插值的提法可以看出，对向量的各分量而言就是数量有 理插值，所以说向量有理插值是数量有理插值的推广，基于此在文献 1 4 中作 了如下基本假设： 1 ) 若v ( ) 中的第七个分量为惟一非零分量，即 l ) ，= o , j = 1 ，七一1 ，k + l ，d ，则向量值有理插值问题便简化 为相应的有理分式函数插值； 2 ) 如果每个向量v ( o 的所有分量是成比例的，即谚= 五麒，后= 1 ，d ， 且数量麒在点薯处被相应的数量有理函数，( x ) 插值，即，( x ) = 一， 则向量插值的分量为 五r ( 工) i 七= l ，j ) ； 3 ) 向量值有理插值问题的解不依赖于插值节点的排列； 4 ) 在某种意义下，插值问题的解是唯一的； 5 ) 插值问题的d 个分量的极点产生于x 轴上同一区间上。 2 2 2 向量值函数有理插值的构造方法 p r g r a v e m o r r i s 在文 1 2 1 3 1 4 系统地讨论了向量僵有理插值问题， 在分母多项式d ( x ) o ，d ( 石) o ) 1 1 2 ( ( 工) 为向量多项式，“l ”表示整除) 的条件下，利用向量的s a m e l s o n 逆给出了构造向量值有理插值函数方法，并证 明了它的特征性和唯一性，现将定义( 2 1 1 4 ) 中的乃= ， ) 换成向量 矿= 矿“) 。并记为 霄( 工) = q ( x ) 矿) ( 2 2 3 ) 相应地将式( 2 1 1 5 ) 中的咒换成矿= 旷“) f = o l ，撑，便可给出构造向量值有 理插值公式了，事实上，对于给定的n + 1 个互异点x o 而 k ( 4 1 1 ) 称为相应了节点向量t 的j 阶( 摩一1 次) 非均匀有理b 样条曲线，m 称为控制顶点， v l v 2 h 称为控制多边形，而( 4 1 1 ) 在仿射坐标系下的对应表达式 吨) _ ( 球m 驴) = 嚣，器，器垮n 叫她砖，喜蹦响，( 4 抛， t t t l 线( 4 1 2 ) 具有可退性。即当q = 哆一一时，它退化为非均匀b 样条曲 线；当栉= 七，f 2 = f 3 = 一 气+ i = 气+ 2 - r 2 p i 时，它退化成为k - 1 次有理b z i e r 曲 线，这里的q ( o i n ) 为控制点权因子，m ( “) 是由节点矢量 u = 【，u a ，m 】决定的k 次规范b 样条基函数，且满足如下递推关系。 2 4 州= 器 鸭s “s u i + l 其它 ( “) = - - 差意n 一, j , _ i ( “) + 瓦u i + k + i - - 鸭u “v i 一甜) 并规定0 0 = 0 。 如果不考虑数据点的权因子，将有理插值按照非有理插值那样对数据点实 行参数化，将导致插值曲线光顺性不好【3 3 】，因此必须考虑权因子然后再按照 非有理参数化方法确定节点矢量。参数化方法很多，如均匀参数化、弦长参数 化、向心参数化及修正弦长参数化等。本节仅以向心参数化为例，给定型值点 列只及其权因子劬o = o ，l ，胛) ，令q = 只q ，q = q h q ，d = u q - 4 l ，则 节点矢量如下： = = u 2 = 坞= 0 砷= 1 l i _ i + l q 4 i d ，i = 4 ，5 ，n + 3 u n + 3 2 u n + 4 = u n + s 2 n + 6 2 1 4 1 2 反算控制点权因子 3 3 3 4 在知三次n u r b s 曲线的型值点列b 及其权因子q ( i = o ，l ，撑) 之后，反算 控制点的权因子西d = o ，l ，拧+ 2 ) 。为此可以构造以下规划模型。 im i n f ( r 五) = c 5 7 历 约束q = j ( ) 巧，i = o ，1 ，玎 l倒 l ：o ，= o ，1 ，l + 2 式中：历= ( 成一吃) ，( 西一吼) ，( 瓦：一哝) 7 ，哝= 娄q o + 1 ) 上述模型表面上看是一个简单的二次规划问题，其实不然，因为它与标准 二次规划模型( 现假定为模型a ) 模型a j 幽八功= l z x r g x + g r “艇掣) l 约束条件a o = b( b e r , a r ”“，r ( a ) = 埘) 有着很大差别，变量c o ：并不对应于变量x ，所以必须做一系列比较复杂的变换， 现变换如下； 令聍+ 3 维向量e = 【吃，吃，吃吃r ，勺= 巧一d o o ( j = o ，l ，1 一，甩+ 2 ) 则历= x ， r a i n f ( ( 五) = x 7 x ，与模型a 对比可以解为：g 为一个挖+ 3 阶对角阵，并且对角 线元素为2 ，显然g 是一个对称正定阵。9 7 为零向量，所以有 o j ( ) i ，( 岣) 2 j ( 均) 1 3 ( 地) 2 j ( 心) 3 。( 地) ， 帆j ( 柏) m “j ( 。) m 脚( ) a t6 lq q 屯乞 d 。i 吃“c 胂l 令a l = l 一酶，( f = o ，l ，一) ，则上式中 q + 1 a l + i j + a l t + 2 + a j + 3 6 ：! 垒芏! 垒! ：1 2 垒! ：! + 垒生! ! 垒丝垒生! ! 什 “l + ，+ 2 + a 件3a ，+ 2 + a f + 3 十f “ t = 瓦i a 瓦2 + 2 向量b 的元素 r 2、 b ，= 锡一吃i ( ) i = q - c o , , ( a t + i + 6 j + l + 钆) 卸 首先考察模型a 求解，采用拉格朗e t 方法可得拉格朗函数为 上( 蚰) = 三x 7 + g r x - 矿a r x - b ) 式中：见为拉格朗日乘子，其k t 条件为 i g x + g a 2 = 0 1 a o b ：0 矩阵形式为 一诎h g ， 由上面的讨论我们知道，因为g 为正定对角阵，a 为列满秩，所以上式系 数阵必定可逆并且可表示成如下形式。 - g a ，以0h - h i ，坷u l r li r i 式中：h = g - l - g 一1 a ( a 7 g 一1 a ) - 1 a g 一；t = g 一1 a ( a 7 g 一1 a ) 一； u - - ( a 7 g a - i ，这时方程组( 4 1 3 ) 的唯一精确解可表示为i = h g + t b 。现 在将( 4 1 3 ) 中求得的结果带入就可以求得权因子向量= t b + e 。 通过上面的计算，已经知道了带权型值点列q o = o ，1 ，拧) 以及控制点的权 因子o t ；( j = 0 ，1 ，l + 2 ) ，那么就有下面的方程组成立 谚( 鸭柏) 只= p ( + 3 ) 号矿一( f = 0 , 1 ，n ) ( 4 1 4 ) 巧( ) 方程组( 4 1 4 ) 中的n + 1 个方程不足以决定刀+ 3 个未知控制顶点，还必须 补充两个通常由边界条给定的附加方程，边界条件有很多。有切矢条件、抛物 线条件、自由端点条件，这里以切矢条件为例，即 m 一