（应用数学专业论文）一类四阶非线性微分方程正值解的存在性.pdf

摘要 本文研究一类四阶非线性微分方程 ( p ( f ) 阶f ) i “1 “，( f ) ) + g ( r ) ) j 户1 ( t ) - - o 其中a o ，p o ，函数p ( t ) 和g ( f ) 是定义在区间 口，一) 上的正的连续函数，并给出了此 类方程分别在条件f l a - l 和1 oa n dp ( f ) a n dq ( t ) a r ec o n t i n u o u sf u n c t i o n sd e f m e do na ni n f i n i t e i n t e r v a l d ，) ，a 0 ，a n ds a t i s f y i n gp ( t ) 0 a n dq ( t ) 0f o rt a u n d e rt h e a s s u m p t i o n sp 0 is 1a n d1 8 0 w e8 s s u l e t et h a t p ( t ) s a t i s f i e s ，o o 斟t “ q 2 ， o r , m o r es t r o n g l y , r 帝2 0 。a n a ，o o 丽t 唐一 3 ， b ya l u t i o no f ( 1 1 ) w em e a na r e a l - v a l u e df u n c t i o n “( f ) s u c ht h a tu c 2 i t ，o o ) a n d p l 甜”r 一甜e c 2 i t ，o o ) a n d 甜( f ) s a t i s f i e s ( 1 1 ) a te v e r yp o i n to fi t ，o o ) ，w h e f e r oa n d tm a yd e p e n do nu ( t ) s u c has o l u t i o n 甜( f ) o f ( 1 1 ) i sc a l l e dn o n o s c i l l a t o r yi f ( f ) i s e v e n t u a l l yp o s i t i v eo re v e n t u a l l yn e g a t i v e as o l u t i o n 拄 o f o 1 ) i sc a l l e do s c i l l a t o r yi f i t h a s a l l i n f i n i t es e q u e n c e o f z e r o s c l u s t e r i n g a tt = o o t h e r e f o r e ，w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , w e c a na s s u m ean o n o s e i l l a t o r ys o l u t i o no f ( 1 1 ) i se v e n t u a l l yp o s i t i v e e q u a t i o n ( 1 1 ) i t s e l fi s c a l l e do s c i l l a t o r yi f a l lo f i t ss o l u t i o n sa r eo s c i l l a t o r y t h es t u d yo fo s c i l l a t i o nt h e o r yf o rf o u r t h - o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sl i k e ( 1 1 ) w a si n i t i a t e db yt k u s a n oa n dm n a l t a o 4 ，5 】f o rt h ec a s e 口= 1 w h e n 口 0 ，t h e o s c i l l a t o r ya n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft y p e ( 1 1 ) h a sb e e nc o n s i d e r e db yw u 7 i ti se a s yt os t u d yt h es t r u c t u r eo f t h es e to f n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n so f ( 1 1 ) s u p p o s e t h a t l ：瞄拈o 。， t h e ni ti ss e e nt h a tas o l u t i o n u ( t ) o f o 3 1s a t i s f y i n g 憋甜( r ) 2 c ( c o ) ( 1 4 ) i sm i n i m a li nt h es e to f e v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n so f ( 1 1 ) ，a n dt h a tas o l u t i o nu ( t ) o f ( 1 1 ) s a t i s f y i n g l i r au ( t ) = c ”i b l t 叫斟。彬。， s ) i sm a x i m a li nt h es e to f e v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n so f ( 1 1 ) m o r e o v e ri ti sk n o w n ( f w u 7 ， e l b e r t 1 ，e l b e r ta n dk u s a n o 6 ，m i r z o v 2 ，3 】，m n a i t o 8 ) t h a tt h ef o l l o w i n gr e s u l t sh o l d ( a ) e q u a t i o n ( 1 1 ) h a sas o l u t i o n “( r ) s a t i s f y i n g ( 1 5 ) i f a n do n l yi f 卜”叫 如$ ， l o td s 卜眠， a ， ( b ) e q u a t i o n ( 1 1 ) h a sas o l u t i o n 甜( 0s a t i s f y i n g ( 1 4 ) i fa n do n l yi f f r b 小棚邪，出卜o o ， ( c ) s u p p o s et h a t i s 口a n dt h a t ( 1 3 ) i s s a t i s f i e d t h e ne q u a t i o n ( 1 1 ) h a sa n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o ni fa n do n l yi f ( 1 6 、h o l d s ( d ) s u p p o s et h a t 口1 ，a n d g i v e t h es u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o r ( 1 1 ) t o b e o s c i l l a t o r y w h e n1 o ，f o ra l ll a r g e t ( 2 4 ) l e m m a2 2s u p p o s e ( 1 2 ) h o l d s i fz ，( ，) i sa ne v e n t u a l l y p o s i t i v e s o l u t i o no f ( 1 1 lt h e no n e o f t h e f o l l o w i n gc a s e sh o l d s ： “，( f ) o ，“弋f ) o ，( p ( f ) k 气f ) i ”1 甜弋f ) ) 7 o ，f o ra l ll a r g e t ； ( a ) “，( f ) o ，甜1 f ) o ，f o ra l ll a r g e t ( b ) w eo b s e r v et h a t ，i nt h es e to f a l le v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n so f ( 1 1 ) ，as o l u t i o n “( f ) w h i c hs a t i s t i e s l i m f + o 。 “( f ) 3 = k ，0 k 一，( 2 5 ) c a nb er e g a r d e da sam a x i m a ls o l u t i o ni nt h es e to f a l le v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n s s i m i l a r l y , as o l u t i o n “( f ) o f ( 1 1 ) s a t i s f y i n g l i m “o ) = k ，0 k 1 f o r n o n - o s c i l l a t o r ys o l u t i o n s ，w ed on o ti m p o s ea n ya s y m p t o t i cc o n d i t i o n s ，s u c ha s ( 2 1 ) o r ( 2 2 ) t h e o r e m 3 1 s u p p o s e t h a t1 口 a n d t h a t ( 1 3 ) s s a t i s f i e d i f f f l - - 1 “眦ts 蚶r 撇卜o 。 ， t h e ne q u a t i o n ( 1 1 ) h a san o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o ni f a n d o n l yi f ( 2 7 ) h o l d s p r o o lb yt h e o r e m2 1w ei m m e d i a t e l ys e et h a ti f ( 2 7 ) h o l d s ，t h e n ( 1 1 ) h a sa n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o nu ( t ) ( s a t i s f y i n g ( 2 5 ) ) c o n v e r s e l y , a s s u m et h a t ( 1 1 ) h a san o n o s c ! l l a t o r ys o l u t i o n ( ，) w em a ys u p p o s et h a t u ( t ) i se v e n t u a l l yp o s i t i v e t h e n , “( r ) s a t i s f i e se i t h e r ( a ) o r ( b ) i nl e m m a2 2 w ef i r s t d i s c u s st h ec a s ew h e r eu ( t ) s a t i s f i e s ( a ) t a k ea s u f f i c i e n t l yl a r g en u m b e rt as u c ht h a t “( f ) o ，( f ) o ，“w ) o ，a n d ( p ( t ) l u ( t ) r u ( o ( 3 2 ) f o rt t t h e n i t i se a s y t os e e t h a t 吼，b 伽舻i a - 1u ( s ) ) d s 卜r i n t e g r a t i n gt h i si n e q u a l i t yt w i c e ，w eh a v e 砸垃t f s 。 1f r 似钏以钏“以翻7 卜m r b ye q u a t i o n ( 1 1 ) w ef i n dt h a t ( p ( f ) j z ，弋f ) i “- 1 “，( f ) 厂= 一g ( f ) 阻o ) 】， 5 一g c r ，vv v c p c 善，i “”c 孝，l “一1 ”c 孝，7 d 善f 恤幽凼 ， 斗矿一，7 # aq ( t ) 眦岛纠。批卜r ， w h e r et h ef a c tt h a t ( p ( f ) l ”弋f ) i “弋f ) ) i sd e c r e a s i n go n 【，* ) i su s e di nt h el a s ts t e p w e m u l t i p l yt h i si n e q u a l i t yb y ( p o ) i 弋f ) r 。1 “弋f ) ) 7 一肌 0a n di n t e g r a t e t h er e s u l t i n g i n e q u a l i t yf r o mtt oo o t h e n ，n o t i n gt h a t 盯 ，w eo b t a i n 南扣凇圹一以蹦h 跏) 序，科。抛卜 i np a r t i c u l a r , w eh a v e 胁”槲牡出卜， s ， “) o ，群，( 玲 o ，“气f ) o ， ( 3 聊 v ( t ) = p ( t ) l u ( f ) r 甜( ，) ，t t ， 一r f 斟m r ， t h e n ，以z ) o ，矿) = 一窖) o ) r o ，日，( 力 oa n d 日亿) o 形( f ) = 【日( f ) rv ，( f ) “( f ) r ，t t ， ( 3 5 ) 形，( f ) = 【日( f ) r v ，( f ) 【“( f ) 】叩+ 日( ，) r v ( f ) l ( t ) - p - 【日( f ) 】4 v ，( f ) 【甜( f ) 】一即缸) 【日( f ) 吖v ，( 啾f ) 1 一口( r ) 眦) i n e q u a l i t yf r o mt t ot 眦脚( 矿f 如慨) 】+ f 州以州吣) 】_ 脚 s i n c et h e ( f ) i se v e n t u a l l yi n c r e a s i n g ，s ot h a t ，| v ( f ) ii se v e n t u a l l yd e c r e a s i n g ，t h e r ea r e c o ，d oa n d 写丁s u c h t h a t ( f ) ca n di v ( f ) i df o rt r o w e h a v e 咄眇c t o ) 一小慨矿印炉! v i ( 姚嘲( 3 6 ) s i n c e t h e 卢 1 ，( 1 3 ) a n d f 俐万1 1 矧”么 o ，材飞f ) o ，a n d ( p o ) 卜气) j 4 一甜气f ) ) o ( 3 。9 ) w ep u tv ( t ) = p ( t ) l u ( f ) pz ，( f ) ，t h e n v ( f ) o ，v ，( f ) o ，矿( f ) v ( f ) - “r ) = ，v b 炒 酬以f ) l g - i u ( f ) f ( 酬“乍) l o t - - 1 u t ! ) 协，触 甜亿，b 肛凇乍圹以s 州忙m r 砸，f f 南f c 必帅他r 1 以勃卅忙抛，2 r ( p ( f ) b 弋f ) i “弋f ) ) = 一g ( f ) 阻( f ) r 眦b 伽凇料喈鹏h 芦 一( p ( o l 以叫一以功7 芦aw ，l j p r t j p r s 丽1 j o r r d 善 l a 撇卜况 w h e r et h ef a c tt h a t ( p ( f ) k ，( f ) i ”1 弋f ) ) i sd e c r e a s i n g 。n i t ，一) i su s e di nt h el a s ts t e p w e m u l t i p l y t h i s i n e q u a l i t yb y ( ，( f ) 扭r ( t ) l a - - i ( t ) ) ) 一4 0a n di n t e g r a t et h e r e s u l f i n g i n e q u a l i t y f r o mrt o t h e n , n o t i n g t h a ta p ，w e o b t a i n 。 南水圳以叫州以嘞k t ，l - ( f l o t ) f o o 恤f 斟口叫芦破 伽眇s ，矧归西 乞 1 ，w e h a v e f 】咿如瞅f 帕s 胁 o ，盯，( f ) o ，甜，( ，) 如，a n do ( f ) k 砸) r 甜，( f ) ) o ( 3 1 0 ) f o rt t w e p u t f ) = p ( f ) k p ) i “1 材) ，t - t ， 一f f b l 归批，脚， g ( f ) = 【日( 卅9v ，( f ) 【“( f ) r ，f r ( 3 1 1 ) v ( f ) o ，( f ) = 一g ( f ) l ( f ) r 。 g 缸) = 日( f ) 归) 7 v ，( f ) 【“( f ) - 9 + 日( f ) 】归，( f ) 【“( f ) - p - p h ( f ) 】归v ，( f ) 阻( f ) 】一纠“缸) = 【h ( f ) 】归y 以f ) 【”( f ) r 4 1 ( f ) 】归g ( f ) 一f l h ( f ) 】归v 缸) 【“( ，) 】一川“，( f ) 【即) 一，( f ) 【酬_ 【即) n ( f ) i n t e g r a t i n gt h i si “e q u a l i t yf r o mt t 0t ， g ( f ) g ( 卅翩驯归m 枇) 】_ 声凼一f 1 归如炳 0 ，民 0 s o t h a t g 鲫卅k ，慨p 凼一f 陬s ) 1 , 8 q ( s ) 凼 = g ( 即+ k p ( 叫归) 7 v ( 叫：一k f p ( 叫”) ”小胁一f 日( 叫彬如陟 刊卅k 陋) 】l ，) v ( f ) 一硒一x 助酬归卜弦一f 阳s 弦 1 0 一线一置腓帕b ，卜陟一肛 l p q ( s 羽。一硒一k ，十房印w + 扣，弦11 啪卜 一f 陬s ) l , p q ( s 灿 = g ( 乃一 一k 古b 一1 f 【日。) 协1 q 【日】2 吣一k 万1j ，f t s 川i 1 日”( s ) v ( s ) d s f 脚s 岫 g ( d 一麒。一k 古f 【日( s ) 萨1 日化) v ( s 一f p 酬归如炒 蛔矿麒。一k 扣肛矿1b r d s 一肛 l f l q ( s w h e r e t h e f a c t t h a tr ( s ) 0a n d 麒o 0i s u s e d i n t h e l a s ts t e p 伽咖1 一斟球， w e h a v e f 防1 加胁 o o ， 参考文献 【1 】e l b e r t ，a ，o s c i l l a t i o na n dn o n o s c i l l a t i o nt h e o r e m sf o rs o m en o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，o r d i n a r ya n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j 】，l e c t u r en o t e si nm a t h ，n o 1 9 6 4 ， 1 8 7 2 1 2 【2 】d d m i r z o v ；o s c i l l a t o r yp r o p e r t i e so fs o l u t i o n so fas y s t e mo fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ；d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( j 】，9 ( 3 ) ( 1 9 7 3 ) ，4 4 7 - 4 4 9 3 】d d m i r z o v ；a b i l i t yo ft h es o l u t i o n so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n st oo s c i l l a t e ： m a t h n o t e s ，1 6 ( 1 9 7 4 ) ，9 3 2 9 3 5 4 】t k u s a n oa n dm n a i t o ，n o n l i n e a ro s c i l l a t i o no ff o u r t ho r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j c a n j m a t h ，2 8 ( 1 9 7 6 ) ，8 4 0 8 5 2 【5 】t k u s a n oa n dm n a i t o ，o nf o u r t h o r d e rn o n l i n e a ro s c i l l a t i o n s ，j l o n d o nm a t h s o c ( 2 ) ， 1 4 ( 1 9 7 6 ) ，9 1 1 0 5 【6 】