（运筹学与控制论专业论文）一类广义拟可微函数的微分与优化.pdf

摘要 本文研究广义拟可微函数的微分理论及广义拟可微优化的最优性条件，取得如下的 主要结果。 1 第2 章建立凸集类空间理论凸集类空间是凸集类集合在合适的等价关系下的商空 间，它在给定的序关系和范数下是r i e s z 空间。 2 第3 章基于凸集类空间理论，建立了广义拟可微函数的微分理论，包括微分运算公 式和中值定理等。其中微分运算公式包括广义拟可微函数的四则运算；逐文极大值与 极小值运算以及复合运算的广义拟微分公式。 3 第4 章研究广义拟可微优化的最优性条件。首先给出无约束优化最优鳃的必要条件 与充分条件。之后提出两个f a r k a s 引理的推广形式，并基于这两个广义的f a r c k a s 引 理，在合适的约束规范下，得到了约束广义拟可微优化问题的若干必要性条件。包括 不等式约束广义拟可微优化的最优性条件，混合广义拟可微优化的最优性条件及抽 象约束集合问题的最优性条件 关键词：非线性规划，非光滑最优化，凸集类空问，r i e s z 空间，广义拟可微函数，广 义拟微分，最优性条件，约束规范。 a b s t r a e t t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e sd i f f e r e n t i a lt h e o r yo fg e n e r a l i z e dq u a s i d i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n sa n do p t i m a i t yc o n d i t i o n sf o rg e n e r a l i z e dq u a s i - d i 髓r e n t i a b l eo p t i m i z a t i o np r o b l e m s i t sm a i nr e s u l t sm a yb es u m m a r i z e da sf o l l o w s 1 i nc h a p t e r2 ，t h es p a c eo ff a m i l i e so fc o n v e xs e t si sc o n s t u c t e d 、w h i c hi st h eq u o t i e n t s p a c e0 ft h es e to ff a m i l i e so fc o n v e xs e t su n d e ra s u i t a b l ee q u i v a l e n c er e l a t i o n ；a n d i tl sar i e s zs p a c eu n d e rt h eg i v e no r d e ra n dn o r m 2 i nc h a p t e r3 t h ed i f f e r e n t i a lt h e o r yo fac l a s so fg e n e r a l i z e dq u a s i - d i f f e r e n t i a b l ef u n t i o r l s ，b a s e do nt h et h e o r yo ft h es p a c eo ff a m i l i e so fc o n v e xs e t s ，i se s t a b l i s h e d ， w h i 出i n c l u d sd i f f e r e n t i a lc a e u l u sa n dm e a n x 氇i u et h e o r e m s t h ed i f f e r r n t i a ic a l c u l u s c o n s i s t so fd i f f e r e n t i a lf o r m u l a sf o rf o h rb a s i co p e r a t i o n s ，p o i n t w i s em a x i m u m ，p o i n t w i s em i n i m u mo p e r a t i o na n dc o m p o s i t i o no p e r a t i o no fg e n e r a l i z e dq u a s i d i f f e r e n t i a b t e f u n c t i o i t s 3 c h a p t e r4d e v e l o p so p t i m a l i 谚c o n d i t i o n sf o rg e n e r a l i z e dq u a s i d i f f e r e n t i a b l eo p t i m i z a - t i o np r o b l e m s n e c e s s a r yc o n d i t i o n sa n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ru n c o n s t r a i n e do p - t i m i z a t i o na r ed e r i v e dt w oe x t e n s i o n so ff a r k a sl e m m aa r ep r e s e n t e da n ds e v e r a l s e to fn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rc o n s t r a i n e dq u a s i d i f f e r e n t i a b l eo p t i m i z a t i o na r ee s t a b l i s h e db a s e d0 nt h et w og e n e r a l i z e df a r k a sl e m m a 8a n du n d e rs u i t a b l ec o n s t r a i n t q u a l i f i c a t i o n s ，w h i c hi n d u d eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n sf o ri n e q u a i t yc o n t r a i n e do p t i m i z a 。 t i o np r o b l e m s ，f o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m sw i t hm i x e dc o n s t r a i n t sa n df o ro p t i m i z a t i o n p r o b l e m so v e ra b s t r a c tc o n s t r a i n ts e t s k e yw o r d s ：t h e s p a c eo f f a m i l i e so f c o n v e x s e t s ，r i e s zs p a c e ，g e n e r a l i z e dq u a s i d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n ，g e n e r a i z e dq u a s i - d i f f e r e n t i a l ，o p t i m a i t yc o n d i t i o n s ，c o n s t r a i n tq u a l i f i c a t i o n s 】1 1 绪论 本章对不可微函数的微分理论进行扼要的综述，并介绍选题的背景及主要结果。 1 1 不可微函数的微分 不可徽非光滑分析与优化的研究对象是不可微函数。不可微函数非常众多，不同时 期有着不同的研究特点。我们仅就不可微函数的导数微分进行综述。关于优化理论，算 法理论则不在我们的考虑之内。五、六十年代研究的不可微函数是性质较好的凸函数，代 表学者为f e n c h e l 与r o c k a f e l l a r ，代表著作为r o c k a f e l l a r ( 1 9 7 0 ) 。凸函数是方向可微的， 而且方向导数是次线性函数，次梯度是上半连续的，而且凸函数是m i l i l i n ( 1 9 7 7 ) 意义下 半光滑的，这一性质在凸规划的束方法中起关键性作用。六十年代，极大极小问题的研究 也走向成熟，代表性著作为p s h e n i c h y i ( 1 9 7 0 ) ，d e m y a n o v & m a l o z e m o v ( 1 9 7 2 1 9 7 4 ) 。极 大值函数是方向可微的，其方向导数也是次线性的，这类函数是几乎处处可微的，它是 d e m y a n o v 意义下次可微的。七十年代代表性的工作是c l a r k e ( 1 9 7 3 1 9 7 5 ) 的l i p s c h i t z 函 数理论，l i p s c h i t z 函数是几乎处处可微的，但并不是方向可微的。c l a r k e 引入广义方向导 数的定义，广义梯度的定义，建立了l i p s e h i t z 函数的微分理论和优化理论。l i p s c h i t z 函数 的广义方向导数是次线性的，广义梯度也是上半连续的，但广义梯度的运算往往只能用包 含关系表达，即这类函数或这类函数的广义方向导数不能形成线性空问，这一点是c l a r k e 广义梯度的局限性。拟可微函数的定义早在七十年代末由p s h e n i c h y i ( 1 9 6 9 ) 研究以极大 值函数为背景的极值问题的最优性条件时提出的，它可用于处理非凸问题，但这类函数的 方向导数也不能构成一个线性空间，因为关于减法不封闭，这也是影响p s h e n i c h y i 意义下 的拟可微分析与优化在七十年代中期发展的主要原因，自然方向导数不具半连续性是另 一个原因。七十年代末八十年代初，d e m y a n o v ，p o l y a k o c a & r u b i n o v ( 1 9 7 9 1 9 s 0 ) 推广 了p s k e n i c h y i 的定义，引入了新的定义，将方向导数的次线性性推广至拟线性性，这保证 了代数运算的封闭性。新的拟可微函数的微分是一凸集对，它是凸集空间( d e m y a n o v & r u b m o v ( 1 9 8 6 ) ) 中的元素。但拟微分理论中的一直末解决好的问题是其半连续性的定义， 微分代表元素的选取等。七十年代末与八十年代初r o c k a f e l l a r ( 1 9 8 6 ) 对下半连续函数通 过引入极限“l i m s u p i n f ”定义上次导数，它也是次线性函数。r o c k a f e l l a r 与w e t s ( 1 9 9 8 ) 以 大连理工大学博士学位论文：一类广义拟可微函数的微分与优化 集值分折，上图分析为工具建立一套完整的关于下半连续函数的此可微理论。i o f f e ( 1 9 8 4 ) 则基于下d i n i 方向导数建立不可微函数的微分学理论，还有其它形式的研究方式，这里 不再赘述。 尽管d e m y a n o v 与r u b i n o v 意义下的拟可微函数覆盖了大量的不可微函数，但有一 类常见的最优值函数不属拟可微函数，它们是方向可微的，方向导数往往可表达为下面 的形式 ；d ) _ 。翻尚州陬( 那) ) 或 ；d ) 26 m 似s , x 咖魄 见f i a c c o ( 1 9 9 3 ) ，j a n i n ( 1 9 8 4 ) ，g a u v i n ( 1 9 8 9 ) 等，这类最优值函数是非常有用处的， 尤其是双层规划最优理论的研究。这就是第3 章对d e m y a a o v & r u b i n o v 意义的拟可微 理论作推广的研究背景。 1 2 研究专题及主要结果 第2 章首先考虑凸集类集合瓦，通过在瓦咒引入序关系 - ，引导等价关系一； 定义瓦l = 咒咒一，定义范数| i ，证明( k t ， _ ，j ) 是一p d e s z 空间，并研究r i e s z 空间( 尼1 ，卜，”i i ) 的性质。 第3 章以凸集类空间理论为基础，建立广义拟可微函数的微分学，包括广义拟微分的 定义，运算公式( 尤其是复杂的复合运算公式) ，及中值定理等这些理论应用到d e m y a n o v & r u b i n o v 意义下的拟可微函数可得到与经典结果一致的结论，因而它确是后者的推广。 第4 章研究广义拟可微函数定义的最优化问题的最优性条件。提出推广的f a r k a s 引 理，即广义f a r k a s 引理的弱形式与广义f a r k a s 引理，基于它们得到各种约束规范下的 广义拟可微优化问题的最优性条件，还对约束集合的正则性条件进行讨论。得到的最优 性理论包括无约束广义拟可微最优化问题的最优解的必要条件和充分条件，不等式约束 广义拟可微最优化问题的最优解的必要条件，混合约束问题的最优解的必要条件及抽象 约束闯题的最优性条件。 2 2 凸集类空间理论 本章建立以凸集类对为元素的空间疋l ，它是通过引入合适的等价关系的凸集类集合 之加氏积的商空间。讨论了空间咒- 的性质，包括_ i cz 与5h ，中的一子函数类问的等距 同村陛质，k 1 的范数的绝对单调性，序关系的a r c h i m e d e a n 性质，极大极小运算公式， 极大极小运算的范数公式，等等。基于这些性质证明了晖t ，、是一r i e s z 空间 2 1 引言 凸函数或次可微函数的微分可用凸紧致集合来表示，见r o c k a f e l l a r ( 1 9 7 0 ) p s c h e n i c h - n y if 1 9 6 9 t 9 7 0 ) ，由于凸紧致集合所构成的集合关于减法运算不满足消去律，从而d e - m y a n o v & r u b i n o v 等( 1 9 8 0 ) 以凸紧致集合全体作为正锥生成一线性空间一凸集对空间。 凸集对空闻的建立导致一类不可微函数的产生，这类不可微函数即d e m y a n o v & r u b i n o v 意义下的拟可微函数。显然，更一般的不可微函数需要更一般的空间理论，本章所讨论 的凸集类空间理论即为下一章广义拟可微函数的微分理论提供理论依据 在2 2 节，我们将d e m y a n o v & r u b i n o v ( 1 9 8 6 ) 的凸集空问的定义推广到凸集类空间 的定义，在2 皇节主要证明凸集类空间瓦l 的性质，包括运算性质与范数性质，证明了 】，卜、是一r i e s z 空间。 2 2 凸集类空间的定义 用4 记如下的凸集类 a = r ( a ) 陋a 其中a 形是一非空集合，对每一n a ，r ( a ) 毋是一紧致凸集 是一值是凸紧致集的极值映射。 定义 咒； _ ( c ，d ) 当且仅当4 一口兰c 一目( 2 2 4 ) 由这一偏序关系引导的等介系一定义为； ( 么，嚣) 一( c ，d ) 当且仅当a 一口型c 一嚣( 2 ，2 ，5 ) 其中一4 ，日，c ，d i c 。令k lik j c 一，用卜】表示厄t 中的元素，在赶1 中定义加 法与数乘运算 a l ，8 l 】+ - 4 2 ，玩】= - 4 1 + 2 ，3 1 + 岛 ，( 2 2 6 ) 舭，耻 ：参蹰：；： ( 2 z 其中 a ，聩】咒l ，i = 1 ，2 ，【a ，b l k l 。 命题2 2 1 在( 2 , 2 6 ) 与( 2 2 7 ) 的j h 法与数乘的意义下，足是一线性空间 在_ i c t 中引入范数i i 4 ，舀| = i n f 7 0 i 一3 + 7 u 三a ，a + 7 u 三一层 ，( 2 2 8 ) 其中u = 如舻川z 乩1 ) 容易验证( 疋- ，”i i ) 是一赋范线性空间， 第2 章凸集娄空间理论 2 3 凸集类空间的性质 定义函数：k 一五打，其中磊h 是定义域为r “的正齐次函数集合： 毋( 固( ) 2 呀毗阳( 8 ) ) ，a 足 ( 2 - 31 ) 容易验证 妒( 4 + b ) = o ( a ) + ( b ) ， 西( a a ) = a 妒( 4 ) ，o l 0 4 兰嚣当且仅当( 4 ) 兰( 召) ，拟，嚣定。 命题2 3 - 1j j m ，b | 儿= s u 黝硎1 1j 西( 4 ) ( d ) 一咖( 一层) ( d ) 1 证明： f f 一4 ，嚣l = i n f 7 0 i 一3 + ，y c 厂 三 ，+ 7 移 之一召 ， = i n f 7 o i 庐( 一日) ( ) + 7 i | j j 2 a ( ) ，咖( 4 ) ( ) + ，y 1 1 l 。妒( 一日) ( ) = i n f y o l ( 4 ) ( 一) 一妒( 一嚣) ( ) f 墨7 - 2 = i n f f f 0 1 1 咖( a ) ( d ) 一曲( 一召) ( d ) 7 l l d l l 2 ，v d = s u pi 毋( 一4 ) ( d ) 一眵( 一8 ) ( d ) ( l l d l l l 命题2 3 2 ( 消去律) 对于a i 厄，i = 1 ，2 ，有 a l 三a 2 当且仅当4 l 十a 三2 + 一4 ，a 证明：a 1 三4 2 当且仅当1 ) 三砂( 2 ) ，丽后者成立当且仅当对v a c 有 西( _ ：a i ) + 妒( 4 ) 芝曲( 4 2 ) + 咖( 4 ) ，由的次可加性有妒( 4 l + a ) 妒( 且2 + 4 ) ，亦即a t a 2 等价于对v a 赶，成立着a i + 一4 至a 2 + a 。 注2 3 1 ，命题2 3 1 表明 一4 ，启1 的范数即( a ) 一曲( - 1 3 ) 在五h 中的下述意义的范 数 l i i i = s u p1 i f ( d ) l l ，五h l l d l l _ _ 04 = fm ，8 】 _ m ，一朋】，v m 尼 营a + m 三一层十朋 甘三h a ( 由消去律，见命题2 3 2 ) 静限舀1 驴。 再来证明命题的第二部分，v a ，8 】庀l 由等价关系的定义，对v m k 有 嚣】= m + m ，8 + 朋k 朋。= c 。 f 缸) u ( 一r 日( b ) ) 】l 。a ，b b 以，日】= + m o ，嚣一m o 】 = m o ，层】一 m o a 护一护 命题2 3 4 ”i l 在z d 中是保序的。 证明；对任意的 a ，聩l 2 7 ，m - b l 】卜，岛】，有4 ，三一鼠，i = 1 ，2 l f m l ，8 li n f 7 0 l 一日l + - y i u 三a 1 ，4 l + ，y 矿) 三一日1 ) i n f d o i - b i + 7 u 三a 1 ) i n f 7 0 i 一3 1 一层2 + 7 u 兰a l 一岛) 由l ，b l 】 _ 。，岛】，有4 1 一廖2 兰a 2 层l ，从而 a l ，3 l i i n f 7 0 l 一层l 目2 十，y c 厂 三a 2 一目1 = i n f 7 0 1 - s 2 + 7 u 三a 2 = 4 陋z 一层。m 命题2 3 5 若a 8 j j c l 满足宦 - 4 _ 一日，则| 1 4 | 1 旧叭即l l 是绝对单调 的( a b s o l u t e l ym o n o t o n e ) 。 第2 章凸集类空间理论 证明：设a = m l ，a ，b = 嘲，1 3 ，】，则 玩一 兰a z q ，a t + 舀z 兰一日一 ， 1 1 j 1 = i n f 7 0 l a 7 + 7 三a l ，a l + 7 矽 三一a 1 ) l i b i i = i n f 7 0 l 日+ 7 u 三日f ，岛+ 7 v ) 三一b 1 1 4 0 = i n f 7 0 l 一 一岛+ 7 u 三a 一岛，一目+ a t + 7 u ) 兰b t 一 sm a x i n f 7 o l - - “一目+ ，y u ) 兰b l a ， i n f 7 o l 一玛+ a z + - y u 兰一连f + 强 = i n f 7 0 l 一巩+ 7 ( 己厂) 兰日f ) 兰i n f 7 0 l 一玩+ ，y ( u 兰召i ，肠+ 1 【，) 三一日) = 1 | 圳。 命题2 3 62 p 在_ i c l 是闭的。 证明：设 驴) c 驴，a k ：i ，满足铲一a | | 一o m o 。) ，其中 小= a n ，驾】，唧三一书，a = m ， 】。 0 一l l “一且| | = l l r 一 ，驾一4 z 川 m a x i n f 7 0 i 一( 4 ：一a z ) + 7 c ， 三4 7 一 i n f 7 o l a ? 一+ - r y 三一( q 一4 f ) 】 i n f 7 o i a 一鸩+ - y ( u 三4 7 一 i n f e o i a 一q + 7 ( v ) 兰一4 ：) = i n f 7 o l a + ，y u ) 三一) ， 于是有a 三一a ，即a 驴。即印在i 中是闭的。 命题2 3 7 序关系卜是a r c h i m e d e a n 的，即由舀卜n a ( v n ) 可推出6 _ a 。 证明：令 = ：嚣一4 ，则a 护，且l l + 4 1 i = 划8 | | 一o 一。) 。因此 厶一一a ，由驴的闭性，有一a 护，亦即石卜4 。 引理2 3 8 若廖，a 赶， r ( o ) i 口a ，嚣= ( 1 1 b ( 6 ) 1 6 b c d ( r 以( n ) u i 8 ( 6 ) ) l o a ，b b k 。 7 a 良 v 4 则 大连理工大学博士学位论文；一类广义拟可微函数的微分与优化 证明：将上式右端记为m ，用( 2 3 1 ) 式中定义的咖的性质，有 庐( m ) ( ) = 卿a n ( 扩( | c o ( n ( o ) u 如( 6 ) ) ) d 一 = m i n m a x 6 ( l ( n ( o ) ) ，6 + ( | r b ( b ) ) 蘑 ：笔划是锹一【m i i l 6 b 扩( - l r b ( 6 ) ) f 咖( 一4 ) ( ) 一、妒( 8 ) ( ) 从而， m 兰a v b 另一方面，v 2 ，兰a v 舀，有 ( ) ( ) 曲( a ) ( ) ，( 厂) ( ) 2 ( 8 ) ( ) 于是， 毋( 厂) ( ) m a x 庐( 4 ) ( ) ，妒( g ) ( ) 】。 我们建立关系 西( 叫) ( ) = m a x ( 一4 ) ( ) ，毋( b ) ( ) 1 。 由m 的定义，显然有 咖( 。m ) ( t ) m a x 渺( a ) ( ) ，( 日) ( - ) 1 。 另一面，对 c a a ， m a x 矿( i r a ( a ) ) ，妒( 日) ( ) 】咖( m ) ( ) ， 留m a x o + ( 。i l 4 a ) ) ，庐( 跗) 】( m ) ( ) ， 即有， 综上所述，有 因此我们推得 m a x 咖( a ) ( t ) ，( b ) ( ) 】兰( 。 “) ( ) ( m ) ( ) = m a x ( ) ( ) ，咖( 8 ) ( ) 1 。 庐( ) ( ) 之庐( m ) ( ) 8 第2 章凸集类空问理论 即有川。所以 川= a v g 推论2 3 9 对a = 【4 ， 】k i ，b = b l ，既】k l ，成立着 a v 舀= m ( a t 一日，玩一a ) ， + 岛 其中 m ( a 一甄，b l 一 ) = ( g of ( r ( m ) 一r 8 ，( b ) ) u ( r 执( 6 1 ) 一r 却( q ) ) m a j ，q a 7 ，6 i b l ，b b 7 ) 证明：将( 2 3 1 ) 的映射咖推广为下述的圣：7 c 1 一五h ， 西( f 口，e 】) ( - ) = 妒( d ) ( ) 一西( 一) ( ) ，口，e i c ( 2 3 2 ) 则 m a x o ( a ) ，西( 舀) 】= m a x 曲( a t ) 一曲( 一 ) ，( 岛) 一曲( 既) 】 = m a x o ( a t ) - i - o ( - 吼) ，西) 4 - 咖( 一 ) 】 一( ( 一a ，) + ( 一岛) ) = m a x 妒z 一吼) ，毋一 ) 1 _ 妒( 一 一岛) = 毋( m ( a b ，岛一 ) ) 一妒( 一 一岛) = 圣( m 一日，肠一 ) ， + 岛】) ， 由西的定义及偏序关系 的定义，有对于e 厄1 ，口瓦l ， e 卜4 当且仅当西拈) 中( 口) 于是上面的推导表明 m 一& ，秭一a 1 ) ， + 既1 卜4 v g 另一面，对v w - a v 日，有 西( ) 中( 4 ) ，中( 厂) 西( 8 ) 即 垂) 三m a x 降( 4 ) ，西( 舀) 】= 圣( m ( a 一岛，嚣r 一 ) ， + 岛】) ， 9 大连理工大学博士学位论文z 一类广义拟可微函数的微分与优化 即于是由西的定义有 _ 【朋( a 一岛，岛一 ) ， + 】。 由上面的推导得到 v b = m ( a 目，肠一 ) ， + 岛】o 推论2 3 1 0 对于a 庀l ，8 庀1 ，a = a l ， ，日= 日f ，岛l 成立着 a 日= a + 岛，一朋( a 目，岛一厶) 】。 证明： a 8 = 一( ( 一a ) v ( 一日) ) = 一( 一 ，a t 】v 一日，一4 f ) = ( m ( b l 一 ，a 一仇) ，一a 一肠】) = 陋f + 鼠，一m 一q ，肠一 ) 】。 注2 3 2 k l 中多个元素的极大元与极小元可通过下匠的关系用推论2 3 9 与推论 2 3 1 0 推得 m + 1 m m + 1m va = ( v x ov 扎八a = ( a x o 八厶扎 i = 1i = 1i = 1i = 1 记a + = a v 0 ，a 一= 一( a 0 ) ，l a l = a v ( 一a ) 分别是a 厄1 的正部，负部及绝对 值，容易验证 a + = m ( x t ，一a ，) ， 】， 4 一= m ( a ，一 ) ，一 j ， a i = m ( 2 a l ，- 2 ) ， 一f a = a + 一a 一( 驴一护) 。 定理2 3 1 1 l ，b - ，”1 1 ) 是一拓扑向量格( t o p o l o g i c a lv e c t o rl a t t i c e ) ，即a a + 是一致连续的。 证明；因为i i 在护中是保序的，只需要证4 4 + 在原点处是连续的，它可由 下面的推导得到 1 0 第2 章 凸集类空间理论 i | 4 + | | = m a 4 ( t l ，- - a 7 ) ， 川 = m a x i n f ) , 0 4 1 + ) 、( u 三( a ，一q ) ， i n f a o i 4 ( a ，一) + a ( u 三一 ) 】 = i n “入 0 1 一 + u 三3 4 ( a f ，一q ) ) ， = i n f a o f 咖( 一 + a 0 1 4 , ( 一 ) ( ) + a i | l l 。m a x 陟( a ) ( ) ，咖( 一 ) ( - ) 】 = i n f a o i a 8 忆m a x 睁( a ) ( ，) 一乒( 一 ) ( ) ，0 1 ， = i n f , x o 】a 0 l l ：( a ) ( ) 一妒( 一) ( ) ) ， = i n f a 0 一 + u ) 三a ， 兰l i t i 注2 3 3 同样成立着| f 4 一l isl i j t l i 。 注2 3 4 乏不是_ j c l 的子格，因为对a ，召乏，a 舀不一定是乏中的元素 命题2 3 1 2 若4 ，b 护，则1 1 4 v 口i i = m a x 1 i a i 圳 。 证明：设a = f a ， ，a 三一 ，罄= 陋，岛】，岛三一q ，则 4 | | = i n f ( , x 0 i 一4 ，+ u 兰a _ 8 i l = i n f t a o l 9 14 - 灭 ，) 兰8 ：) ， ”v 驯= i i m 一岛愚一 ) ， + 岛l | | 一m a x l i n f o l ( m ( a q ，秭一 ) ) ( ) s ( 一 一岛) ( ) + 刈，忆 i n f a o 】砂( 一 一层1 ) ( ) s 庐( 朋( a b y ，玩一a 1 ) ) ( ) + a 1 1 | l 】 = m a x i n f , x 0 im a x 眵( 4 l 一岛) ( 一) ，咖( 肠一4 ，) ( ) 】 西( 一 一目) ( ) + l l l i ， l n f a o l ( 一8 ，) ( ) sm a x 渺( 4 e b ，) ( ) ，妒( 岛一 ) ( ) + 4 l i ) l = m a x i n f , 、 0 i m a x 眵( 4 1 ) ( - ) 一妒( 一 ) ( ) ，咖( 日1 ) ( ) 妒( 一岛) ( ) 冬a 1 | | i ) i n f ( a o l o 兰m a x 渺( a ) ( 一) 一( 一4 ，) ( ) ，妒( 臃) ( ) 一( 一目) ( ) j + a ij jj ) = i n f ( a o lm a x ( f ) ( ) 一( 一a ，) ( ) ，妒( 岛) ( ) 一( 8 ，) ( - ) 】刈吣 = m a x i n f ) 、 o l 庐( a ) ( ) 一( 一 ) ( ) sa j j l i ) ， i n f o l 多( 函) ( ) 一q i ( - 3 ，) ( ，) 入1 1 ) 】 1 1 大连理工大学博士学位论文：一类广义拟可微函数的微分与优化 = m a x i n f a 0 i 一1 + a u ) 三a ) ，i n f a 0 i 一艿，+ a u ) 兰8 2 】 = m a x 1 l t l l ，忪忆 命题2 3 1 3 l ，卜， 1 1 ) 是赋范r i e s z 空间，即由i a i _ j 舀l 可推出，i j l | 8 忆 证明：由于l l 在z p 中是保序的，如能证明：v a 赶- ，4 川= | | a | | 则可得结 论，注意到 i a l = a v ( 一4 ) = f ( 2 a ，一2 4 7 ) ，一一4 z 】， 一a i = a a ，一 4 ( 2 a ，一2 q ) 】， 及 o ( i a i ) ( ) = m a x o ( a ) ( ) ，垂( 一4 ) ( ) ， 有i a l _ a ；同时由 西( 一4 ) ( ) = 曲( a a ，) ( - ) 一庐( ( 2 4 z ，一2 ) ) ( ) = 垂( a f ) ( ) + ( 一) ( ) 一m a x 2 ( a ) ( ) ，- 2 西( - 以。) ( ) 】 = 一m a x 西( a ) ( ) 一曲( 一a ，) ( ) ，曲( 一) ( ) 一曲( a ) ( ) = 一l 中( 4 ) ( ) i s 西( a ) ( ) 有a 卜l 一4 【因此得到 i a l _ 4 - - 一1 4 l ， 于是有a l l i | 1 4 忆再由 l i l a 川= l l 4 + va 一0 = m a x 川4 + | 】，i i 一4 一l l a i i ， 得a l l = | f 4 | | 。 在这一节的最后，讨论特殊的a 所对应的中( 4 ) 的性质。 若a = 汕， 】，其中a l = r h = 1 ，p f ) ， = r 1 山k = = 1 ，珊) 即 且f ，a ，均是有限指标集的情况，则 西) ( ) 2 。墨翌。扩( i r ( ) ) 一。婴，矿( l r 山( ) ) ( 2 3 - 3 ) 是连续函数 下面的定理说呱若r a ( a ) 与r ，( o ，) 是h a u s d o r f f 连续的，则西) ( ) 是正齐次 连续的 12 第2 章凸集类空间理论 定理2 3 1 4 若r 。；( ) 在紧致集a i 上是h a u s d c r f f 连续的，r ( ) 在紧致集如上 是t l a u s d o r f f 连续的存在紧致集dc 钟满足 ( ur ( o z ) ) u ( up 山( n ，) ) cd ( 2 3 4 ) 4 f a r0 1 e a l 则垂) ( ) 是连续的 证明：由于西( 4 ) ( ) = 西( a z ) ( ) 一( 一 ) ( ) ，我们只需证明妒( a ) ( ) 与( 一 ) ( ) 是连续的，由于a 与一a ，的条件是一样的，我们仅证明西( 4 c ) ( ) 的连续性即可定义 t ( d ，a ) = 扩( d l i a 。( o ) ) ， 则 妒( a ) ( d ) 2 哦媳o ) e 首先由于2 ( ，a ) 是次线性函数，d l ( d ，a ) 是连续函数。由于r a ( a ) 在：上是h a u s d o r f f 连续的，对于a t a t ，垤 0 ，3 d ( a z ) 0 对满足懈一a l l | d ) 的任意a ：成立着 r a ( n ；) cr ，( a t ) + e v r ( a t ) cr 山( n ；) + s u 上面二式可推出 f ( ，0 ，) 曼2 ( ，o i ) + e | | l 2 ， o z ) sf ( 1 0 ：) + 怯 即 l f ( ，o ，) 一f ( - ，o r ) 】茎| | j j 。 可见l ( d ，a t ) 是a l 连续函数，而且其连续性相对于d 是一致的。由关系式 2 ( d ，a ；) 一f ( d ，a 1 ) = z ( d 7 ，) 一f ( ，a t ) + z ( d 7 ，a 1 ) 一t ( d ，a 1 ) 及n ) 及关于两个变量的连续性可知l ( d ，a ) 是( d ，a ) 的连续函数。 令 = ( 1 + ( d 。, a 也，萋：基。 0d 一“ f n 甜 剐 坞 回a 4 大连理工大学博士学位论文：一类广义拟可微函数的微分与优化 对于每一d 兄”及r ”，存在d 的邻域n ( d ) ，有 i i ( d ，。；) a c a zc d ，v d 7 n ( d ) 即r o c k a f e l l a ra n dw e t s ( 1 9 9 8 ) 中的一致水平有界性【u n i f o r ml e v e lb o u n d e d n e s s ) 条件 成立，则由r o c k a f e l l a ra n dw e t s ( 1 9 9 8 ) 定理1 1 7 得咖( a ) ( - ) 在d 处是连续的，证毕。 注2 3 5 定理2 3 ，1 4 仅仅给出( 4 f ) ( ) 是连续函数的充分条件。 如：对a 一 0 ，1 】cr 1 ，下述定义4 的就不满足西( ) ( ) 是连续函数， 耻 瓠己u 一a e ( o o 1 其中u 是r 2 的单位球。西( 以) ( ) 在( 0 ，0 ) t 处就不是连续的。 1 4 3 广义拟可微函数的微分 本章研究一类不可微函数一广义拟可微函数的微分理论。建立了广义拟可微函数的 微分理论框架：包括广义拟可微函数的概念，基于k - 的空间理论，给出了广义拟微分的 运算公式，建立了中值定理。 3 1 引言 在第二章中我们详细地研究了凸集类空问的性质，本章研究以凸集类空间的元素为 微分的方向可微函数。需要指出的是这祥的不可微函数首先被i s h i z u k a ( 1 9 8 8 a ，b ) 研究， 但i s h i z u k a ( 1 9 8 8 a ，b ) 没有说明这类不可微函数的微分是一r i e s z 空间的元素，也没有 指出确定微分的等价关系一，这是我们研究这类方向可微函数的原因之一。原因之二在 于i s h i z u k a ( 1 9 8 8 a ，b ) 仅给出较常见的，简单的复合函数的微分公式( 加法，乘法，与光 滑函数的复合) ，较复杂的复合函数的微分公式还有待于进一步的研究，原因之三在于 i s h i z u k a ( 1 9 8 8 a ，b ) 给出的最优性条件过于复杂。综合这因素我们有必要基于第二章中的 理论对这类方向可微函数进行系统的深入的研究。需要说明的是d e m y a n o vf 2 0 0 0 ) 也提 到i s h i z u k a 的工作，他指出i s h i z u k a ( 1 9 8 8 a ，b ) 建立的最优性条件是繁琐的，这正是我们 剐提到的原因之三。 首先我们给出广义拟可微函数及广义拟微分的定义，然后给出广义拟微分的计算公 式，最后给出广义拟可微函数的中值定理。 3 2 广义拟微分 定义3 2 1 _ 厂：r “一r 1 在。处方向可微，若存在v f ( x ) = 应，( 。) ，可( 。) 】芄l 满 足 ，协；) = 垂( d ，( 。) ) ( ) ，( 3 ，21 ) 则，称在z 处是广义拟可微的( g e n e r a l i z e dq u e s i d i f f e r e n t i a b l e ) ，v f ( x ) 称为，在。处的 广义拟微分( g e n e r a l i z e dq u q s i d i f f e r e n t i a l ) ，堡r ( z ) = f 旦，( z ，a ) l a ( 搿) 厄被称为广 】5 大连理工大学博士学位论文；一类广义拟可微函数的微分与优化 义次微分( g e n e r a l i z e ds u b d i f f e r e n t i a l ) ，西，( z ) = ( - d f ( x ，b ) l b 口( z ) k 被称为广义超 微分( g e n e r a l i z e ds u p e r d i f f e r e n t i a l ) 。 由( 3 2 1 ) 式及d ，( 茁) ，f 7 ( 。；) 的表示式，7 ( 茁；) 可表达为 ，协；) - 。r a a i ( n 。) j * ( i d f ( 。，。) ) + 6 m b i ( n 。) 以( i 面m 6 ) ) ( 3 矧 其中以( | d ) 定义为文( i d ) = m i n 。c d ( ， ) 若a ( x ) 与b ( x ) 均是单点集，如a ( x ) 一 n ，口 ) = p ) ，则，在。处是 d e m y a n o v & r u b i n o v 意义下( 见d e m y a n o va n dr u b i n o v ( 1 9 8 0 ) ) 拟可微的，因为令 旦，( 茁) = 玎( z ；o ) ，o f ( x ) = 3 f ( x ；6 ) ，则