高等教育出版社积分变换第五版课后答案.pdf

1-1 1 试证若 f t 满足 fourier 积分定理中的条件则有 dd 00 cossinf tatbt 其中 dd 11 cos,sin.afbf 分析由 fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题请读者试 用三角形式证明. 证明利用 fourier 积分的复数形式有 jj ee d 1 2 tt f tf j jde d 11 cossin 2 t f jjd 1 cossin 2 abtt 由于 ,aabb 所以 dd 11 cossin 22 f tatbt dd 00 cossinatbt 2求下列函数的 fourier 积分 1 22 2 1,1 0,1 tt f t t ; 2) 0,0 ; esin2 ,0 t t f t t t 3) 0,1 1, 10 1,01 0, 1 t t f t t t 分析 由 fourier 积分的复数形式和三角形式都可以解此题 请读者试用三 角形式解. 解1函数 22 2 1,1 0,1 tt f t t 为连续的偶函数其 fourier 变换为 j2 1 ( ) ( )( )ed2( )cosd2(1)cosd 00 t ff tf ttf tt ttt t f 1 2 233 0 sin2 cos2sinsin4(sincos) 2 tttttt ( 偶 函 数) f(t)的 fourier 积分为 j 3 11 ( )( )ed( )cosd 02 4(sincos) cosd 0 t f tfft t 2)所给函数为连续函数其 fourier 变换为 jj ( )( )edesin2 ed 0 ttt ff tf tttt f 2 j2 j j( 1 2j j)(1 2j j) ee1 eedeed 02j2j 0 tt tttt tt ( 1 2j j)(1 2j j) 0 1ee 2j12jj12jj tt 2 24 252 j j11 21(2)j1(2)j256 实部为偶函数虚 数为奇函数 f (t)的 fourier 变换为 j 1 ( )ed 2 t f tf 2 24 252 j 1 cosjsind 2256 tt 22 2424 2 24 5cos2sin5sin2cos 11 dd 256256 5cos2sin 2 d 0256 tttt tt 这里用到奇偶函数的积分性质. 3所给函数有间断点-101 且 f(-t)= - f(t)是奇函数其 fourier 变换为 j ( )( )ed2j( )sind 0 t ff tf ttf tt t f 12j(cos1) 2j1 sind 0 t t 奇函数 f(t)的 fourier 积分为 j j ( )edsind 00 21cos sind 0 t f tfft t 1 = 2 其中t-101在间断点 0 t处右边 f(t)应以 00 00 2 f tf t 代替. 3求下列函数的 fourier 变换并推证下列积分结果 1 e(0), t f t 证明 22 cos de; 02 tt 2( )ecos t f tt 证明 2 4 2 cosdecos ; 042 t tt 3 sin , ( ) 0, tt f t t 证明 2 sin , sinsin 2d 01 0, tt t t 证明1函数 e t f t 为连续的偶函数其 fourier 变换为 j eed2ecosd 0 ttt ff ttt t f 2222 0 ecossin2 2 tt t tt 再由 fourier 变换得 j 22 112 edcosd 20 t f tft t 即 22 cos de 02 t t 2函数 ecos t f tt 为连续的偶函数其 fourier 变换为 jj ( )edecos ed ttt ff tttt jj j ee eed 2 tt tt t ( 1 j j)(1 j j)( 1 j j)(1 j j) 001 edededed 200 tttt tttt (1 j j)(1 j j)( 1 j j)(1 j j) 001eeee 2 1jj1jj1jj01jj0 tttt 2 4 111112 2 1jj1jj1jj1jj4 再由 fourier 变换公式得 2 j 4 1112 ( )edcosdcosd 2004 t f tfftt 即 2 4 2 cosdecos 042 t tt 3给出的函数为奇函数其 fourier 变换为 jj edsin edsincosjsind tt ff tttttttt 00 2jsin sindjcos1cos1dtt tttt 2 sin1sin1sinsin2jsin jj 1010111 tt -1j 2 112jsin edcosjsind 221 t fftt f 2 0 sin , 2sinsin d 1 0, t t t t 故 2 0 sin , sinsin 2d 1 0, t t t t 4.求函数 e0,0 t f tt 的 fourier 正弦积分表达式和 fourier 余弦积 分表达式. 解根据 fourier 正弦积分公式并用分部积分法有 00 2 sindsind fttf 00 2 sindsind e t t 22 0 sincos2 sind 0 et t 22 0 2 sind . t 根据 fourier 余弦积分公式用分部积分法有 00 2 cosdcosd fttf 00 2 cosdcosd e t t 22 0 sincos2 cosd 0 et t 22 0 2 cosd . t 1-2 1求矩形脉冲函数 , 0 ( ) 0, at f t 其他 的 fourier 变换. 解 j j jj 0 1e e ( )( )( )eded 0jj t t tt a ff tf ttata f 2.设 f是函数 f t的 fourier 变换证明 f与 f t有相同的奇偶 性. 证明 f与 f t是一个 fourier 变换对即 j ed t ff tt j 1 ed 2 t f tf 如果 f为奇函数即 ff 则 jj 11 eded 22 tt ftff 令u j 1 e d 2 ut f uu 换积分变量u为 j 1 ed 2 t ff t 所以 f t亦为奇函数. 如果 f t为奇函数即 ftf t 则 jj eded tt ff ttftt 令tu j ed u f uu 换积分变量u为t j ed t f ttf 所以 f亦为奇函数. 同理可证 f t与 f同为偶函数. 4求函数 e0 t f tt 的 fourier 正弦变换并推证 2 0 0 12 sin de 解由 fourier 正弦变换公式有 ( ) ss ff t f 0 sinf tt t d 0 sin t t t ed 2 sincos 10 t tt e 2 1 由 fourier 正弦逆变换公式有 1 2 00 22sin ( )( )sin 1 sss t f tfft fdd 由此当0t时可得 2 0 sin de0 122 f 5设 ( )f tf f试证明 1 f t为实值函数的充要条件是()( )ff 2 f t为虚值函数的充要条件是()( )ff . 证明 在一般情况下 记 ri f tftftj其中 r ft和 i ft均为t的 实值函数且分别为 f t的实部与虚部. 因此 j edjcosjsind t ri ff ttftftttt cossindjsincosd riri fttftttfttfttt reimfjf 其中 recossind ri ffttfttt a imsincosd ri ffttfttt b 1 若 f t为t的实值函数 即 ,0 ri fttfft .此时 a式和 b式 分别为 recosd r fftt t imsind r fftt t 所以 rejimfff rejimfff 反之若已知 ff则有 rejimrejimffff 此即表明 f的实部是关于的偶函数 f的虚部是关于的奇函数.因 此必定有 cosdjsind rr fftt tftt t 亦即表明 r f tft为t的实值函数.从而结论 1获证. 2 若 f t为t的虚值函数 即 j,0 ir ftfftt.此时 a式和 b式 分别为 resind i fftt t imcosd i fftt t 所以 rejimfff rejimff rejimff f 反之若已知 ff 则有 rejimrejimffff 此即表明 f的实部是关于的奇函数 f的虚部是关于的偶函数.因 此必定有 sindjcosd ii fftt tftt t 亦即表明 j i f tft为t的虚值函数.从而结论 2获证. 6.已知某函数的 fourier 变换 sin ( )f 求该函数 f t. 解 sin ( )f 为连续的偶函数由公式有 j 1sin edcosd 20 t f tft sin 1sin 111 dd 2020 tt 但由于当0a 时 sinsinsin dd()d 0002 aat at t 当0a 时 sinsin() dd 002 aa 当0a 时 sin d0, 0 a 所以得 1 1 2 1 1 4 01 t f tt t 7已知某函数的 fourier 变换为 00 f 求该 函数 f t. 解由函数 00 dttg ttg t易知 j jj 00 1 ed 2 11 eded 22 t tt f tf jj 0 00 11 eecos 22 tt t 8求符号函数又称正负号函数 1,0 sgn 1,0 t t t 的 fourier 变换. 解容易看出 sgn tu tut而 1 ( )( )( ). j u tf f 9求函数 1 222 aa tatatf tt 的 fourier 变换. 解 j 1 ed 222 t aa ff ttatatt f jjjj 1 eeee 2 22 tttt aa tatatt coscos 2 a a. 10 .求函数 cos sintf tt的 fourier 变换. 解: 已知 000 sinj t f 由 1 cos sinsin2 2 f tttt有 j 22 2 f t f 11.求函数 3 sinf tt的 fourier 变换. 解:已知 0 j 0 e2 t f,由 3 jj 33jj-j3j eej sine3e3ee 2j8 tt tttt f tt 即得 j 331313 4 f t f 12.求函数 sin 5 3 ttf 的 fourier 变换. 解: 由于 13 sin 5sin5cos5 322 f tttt 故 j3 5555 22 f t f. 14.证明若 j e t f f其中 t 为一实数则 1 cos 2 tff f 1 sin 2j tff f 其中f为 f的共轭函数. 证明因为 jj eed tt ft jjjj eedeed tttt ftt jj jj 1ee edcosedcos 22 tt tt fftttt f 同理可证另一等式. 17求作如图的锯齿形波的频谱图.图形见教科书. 解 0 2 , t 1 ,0 0, httt f tt 其他 0 00 111 dd 2 tt h cf ttht t ttt 000 jjj 02 000 11 ededed ttt ntntnt n hth cf nf ttttt tttt 00 jj 2 0 00 0 11j eed jj2 t ntnt thh t tnnn 00 00 jj 22 . 22 nn nn hhh fnhn nn 13 1若 1122 ( )( ),( )( ),ff tff t ff, 是常数证明线性性 质 1212 ( )( )( )( )f tf tff f -1 1212 ( )( )( )( )fff tf t f 分析根据 fourier 变换的定义很容易证明. 证明根据 fourier 变换与逆变换的公式分别有 1212 ( )( )( )( ) t f tf tf tf tt f j ed 12 ( )( ) tt f ttf tt jj eded 12 ( )( )ff -1 1212 1 ( )( )( )( ) 2 t ffff f j e d 12 11 ( )( ) 22 tt ff jj e de d 12 ( )( )f tf t 6若( ) ( )ff t f证明翻转性质 () ()fft f 分析根据 fourier 变换的定义再进行变量代换即可证明. 证明 () t ftftt f j ed 令tu u f uu j ed 换u为t t f tt j ed ()f 9 设函数 1,1 0,1 t f t t 利用对称性质 证明 ,1 sin . 0,1 t t f 证明 ( ) t f tf tt f j ed 1 1 t t j ed 1 0 cost td 1 0 sint t d 由对称性质 ( )f tf f则 ( )2,f tff 有 sin ( )2 t f tf t ff ,1 sin 0,1 t f t f 12利用能量积分 221 2 f ttf dd 求下列积分的值 1 2 1cos x x x d 2 4 2 sin x x x d 3 2 2 1 1 x x d4 2 2 2 1 x x x d. 解1 2 22 2sin 1cos 2 x x xx xx dd 令 2 x t 2 sint t t d 2 1sin 2 t t fd 1 2 1 1 2 d 2 22 4 22 sin1cos sin xx x xx xx dd 22 sinsincosxxx xx xx dd 2 1sin 2 t t t d 22 -= 3 2 22 2 11 1 1 xt t x dd 2 2 11 21t fd 其 中 22 11 11 t t tt f j ed 2 0 cos 2 1 t t t d2 2 e e 从而 2 2 2 11 2 1 x x d ed 22 0 1 ed 2 0 1 22 e 4 22 22 22 1 1 11 xx xx xx dd 22 2 11 1 1 xx x x dd arctan 2 x 2222 14 1.证明下列各式 2 1 ft 23123 ftftftftft 6 121212 ddd ; ddd ftftftftftft ttt 10) d t f tu tf 分析根据卷积的定义证明. 证明 2) 123 ftftft 123 dfftft 132 dffu ftu du 132 d dffu ftuu 123 ddfftufuu 123 dftuftufuu 123 ftftft 6 1212 dd d dd ftftfft tt 1212 dd d dd fftftft tt , 1212 dd d dd ftftftf tt 1212 dd d dd ftfftft tt . 10) df tu tfu t 1, 0, t u t t d t f . 2若 12 e,sin t ftu tfttu t 求 12 ftft. 注意不能随意调换 1 ft和 2 ft的位置. 解由 1 e,0 e 0,0 t t t ftu t t 2 sin ,0 sin 0,0 t t fttu t t 所以 1221 ftftftft 21 dfft 要 确 定 21 0fft的 区 间 采 用 解 不 等 式 组 的 方 法 . 因 为 21 0,0;0,0ftft.即必须满足 0 0t , 即 0 t , 因此 1221 ftftftft 21 dfft 0 sin ed t t 0 esin e d t t 分部积分法 2 esincos e 10 t t 22 esincos1 e 11 t 2 sincose 1 t 4 .若 1122 ,fftfft ff证明: 1122 1 * 2 ffttff f 证明: 1212 11 d 22 fffufuu j 21 1 edd 2 ut fufttu j 21 1 edd 2 ut fu fttu j 21 1 edd 2 ut fuftut j 12 1 edd 2 ut ftfuut jj 12 1 eedd 2 stt ftfsst j 1212 ed t ftfttftft f 5.求下列函数的 fourier 变换 1 0 sinf tt u t 2 0 esin t f tt u t 5 0 j 0 e t f tu tt 解: 1已知 1 j u t f,又 00 jj 0 1 sinee 2j tt f tt u tu tu t . 由位移性质有 00 00 111 2jjj f t f 0 0022 0 2j . 2由 fourier 变换的定义有 j 00 esinesined ttt t u tt u tt f j 0 0 sined t tt j 000 2 2 0 ejsincos 0 j t tt 0 2 2 0 j 5利用位移性质及 u t的 fourier 变换有 0 j 0 e t u ttu t ff 0 j 1 e j t 再由象函数的位移性质有 00 0 jj 00 0 1 ee j ttu t t f 7已知某信号的相关函数 2 1 e 4 a r 求它的能量谱密度 s其 中0a . 解 由定义知 j edsr 2j 1 eed 4 a 0 2j2j 0 11 eedeed 44 aa 2j2j 0 01 e1e 4 2j42j aa aa 22 111 4 2j2j4 a aaa 9求函数 e,0 t f tu t 的能量谱密度. 解: 因为 e,0 e 0,0 t t t f tu t t , e, e 0, t t t f tu t t 当0时 0f t f t的区间为0,所以 0 deed tt rf t f ttt 22 0 0 11 eedeee 22 tt t 当0时 0f t f t的区间为,所以 drf t f tt eed tt t 2 eed t t 2 1 ee 2 t 2 1 ee 2 1 e 2 因此 1 e 2 r 现在可以求得 f t的能量谱密度即 j edsr j 1 eed 2 0 jj 0 1 eded 2 jj 0111 ee 2jj0 111 2jj 22 1 15 1求微分方程 ,()x tx ttt 的解. 分析求解微分、积分方程的步骤 1对微分、积分方程取 fourier 变换得象函数的代数方程 2解代数方程得象函数 3取 fourier 逆变换得象原函数方程的解. 解设 ,x tx f对方程两边取 fourier 变换得 j1.xx 即 1 . 1 x j 其逆变换为 0,0 . e ,0 t t x t t 4求解下列积分方程 1 222 2 1 0; y ab tb ta d 2 2 2 2 t t y ed e. 解1利用卷积定理可以求解此类积分方程.显然方程的左端是未知函 数 y t与 22 1 ta 的卷积即 22 1 y t ta .设 ,y ty f对方程两边取 fourier 变换有 2222 11 y t tatb ff 即 2222 11 y t tatb fff 易知 22 0 cos 2 t t de有 2222 11 tt ytt tatb jj eded 即 2222 00 coscos 22 tt ytt tatb dd 所以 2 2 b b a a a b y b a e e e 由上可知 2222 0 1cos 2de a t t tataa f -1b a a y te b f -1 - b a a b a bba f e 2 2 - - a b a b tb a . 2设 ,y ty f对方程两边取 fourier 变换同理可得 2 2 e2e t t y t ff 利用钟形脉冲函数的 fourier 变换 2 2 4 ee t aa f及由 fourier 变换的 定义可求得 22 2 e t f从而 2 2 e2e t t y t fff 即 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 y e e 22 2 22 e je 从而 22 2 -1-1 22 y t ejeff 其中记 2 2 ef t f则 2 2 1 2 e t f t 上式中第二项可利用微分性质 2 22 2 ftf t ffjje则 22 2 2 -1 22 2 1 2 t ft t f d jee d 2 2 2 1 2 t t e 因此 22 22 2 11 22 tt t y t ee 2 2 2 2 21 t t e. 5.求下列微分方程的解 x t daxtbxf tch t 其中 ,f th t为已知函数, ,a b c均为已知常数. 解设 ,.f tfh thx tx fff对方程两边取 fourier 变换可得 jaxbxfch 即 , j ch x abf 从而 -1 . 1 2 t ch x abf x t f j ed j 21 1求下列函数的 laplace 变换并给出其收敛域再用查表的方法来验证 结果. 1) sin 2 t f t . 分析用 laplace 变换的定义解题. 解 jj 22 00 1 sinsindd 222j eee sts ts ttt tt l 2 1112 re( )0 jj 2j41 22 s s ss . 2) 2 e t f t . 解 ddre( ) ee ee ttsts t tts s 222 00 1 2 l. 3) 2 f tt. 解 22 2 0 000 11 2 edd(e)2ed e st