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含位势和不定阻尼项的板方程能量的衰减速率 运筹学与控制论专业 研究生武英涛指导教师张旭 我们考虑带有位势项和不定阻尼项的板方程的能量衰减问题，运用整体c a r 1 e m a n 估计和普通能量估计方法，我们得到了在一定条件下它的能量是指数衰减 的；另外，通过经典的扰动理论，我们还给出了为保证其能量指数衰减它的负阻 尼项的一个上界。 关键词：板方程，不定阻尼项，整体c a r l e m a n 估计，能观性不等式，指数 衰减速率。 e n e r g yd e c a yr a t eo ft h ep l a t ee q u a t i o nw i t hp o t e n t i a la n d i n d e f i n i t ed a m p i n g m a j o r ：o p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：y i n g l a ow u s u p e r v i s o r ：z h a n gx u w ec o n s i d e rt h ep l a t ee q u a t i o nw i t hap o t e n t i a lt e r ma n da 1 1i n d e f i n i t es i g nd a m p - i n g b ym e a a so ft h e 百o b 甜c a r l e m a n - t y p ee s t i m a t ea n dt h eu s u a le n e r 9 3 , e s t i m a t e ， w es h o wt h a tt h ee n e r g yo ft h es y s t e md e c a y se x p o n e n t i a l l y a l s o ，u s i n gt h ec l a s s i c a l p e r t u r b a t i o nt h e o r y ，w eg i v ea l le x p l i c i tu p p e rb o u n de 8 t i m a t eo nt h en e g a t i v ed a m p i n g t og u a r a n t e et h ee x p o n e n t i a ld e c a yr a t e k e y 、b r d s ：p l a t ee q u a t i o n ，i n d e f i n i t ed a m p i n g ，c a x l e m m le s t i m a t e o b s e r v a b i l i t yi n e q u a l i t y 、e x p o n e n t i a ld e c a yr a t e 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得四j l i 大学或其它教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四j lf 大学读书期间在导师指导 下取得的，论文成果归四川大学所有，特此声明。 二零零七年四月十日 缈蜴蠢 师 者 导 怍 第一章引言 令q c l p n ) 是一个给定的带有c 4 边界r 垒a q 的有界区域，记 垒( o ，o o ) q ，a 0 7 垒( o ，) x 锄 我们考虑以下系统t f 魂t + 2 2 + a 2 ( z ) + 6 ( z ) 】+ c ( ) 名= 0 ， 在中， z = a z = 0 ， 在a q ，上，( 1 0 1 ) 【z ( o ) ；勾，磊( o ) = z 1 ，在n 中， 其中，a ( x ) ，b ( x ) 0 及c ( x ) 0 是给定的函数我们的目标就是研究上述系统在 z 明( n ) 中的能量指数衰减速率，其中，z 竺 ( 伊( n ) n 硪( n ) ) i 妒= 0 在r 上，具体来说，首先我们很自然的定义； c ( t ) = ；脚v 础，删2 + w a z 蚓2 + c ( z ) l v z 眠州如 ( 1 0 2 ) 为( 1 0 1 ) 的能量，然后我们希望找到l 0 ，p 0 满足： s ( t ) l e - p t ( o ) ， vt 0 ，v ( 知，z 1 ) z 硪( q ) ( 1 0 3 ) 印m c 三_ f 知识州圳列v 刎。叫， 一z 上v 咄) v z t z 掀 刚 一 f 加0 2 ( 卅】- v z t d x d t + ，f z v c v 抛 0 ( l o _ 5 ) 第2 页 众所周知，这类问题在波方程中已经研究的很深入了，像在1 5 1 中，已得到 了带有非常数位势和不定阻尼项的波方程在任意欧式空间中的能量指数衰减但 据我们所知，板方程在这类问题上的研究还比较有限，尤其是在z 嘲( n ) 中， 并且能量形式如( 1 0 2 ) 的 我们将主要借用文章 5 】5 和【1 0 】中的证明思想由【7 】中的经典扰动理论， 我们将把( 1 0 1 ) 作为以下系统的一个扰动， fq u + a 2 q + a 2 ( x ) q t + c ( z ) g = 0 ，在q 7 中， q = a q = 0 ， 在a q 上，( 1 0 6 ) 【g ( o ) = 鼋b ，啦( 0 ) = q a ， 在q 中 定义其能量形式为， 印) = i 脚v 以俐2 + i v 矧圳2 + c ( z ) i v 帕，州虹 ( 1 0 7 ) 如果我们得到了一定条件下e ( ) 的能量衰减速率，那么应用扰动理论便很 容易得出系统( 1 0 1 ) 的能量衰减速率，于是证明( 1 2 6 ) 的能量指数衰减便是我 们问题的关键。而为达到上述目标，我们需要先证明( 1 01 ) 对应的以下齐次方 程的一个能观性不等式( 见第二章定理2 1 ) ，即系统t fu h + 2 计+ c ( 卫) u = 0 ， 在q 中， u = 口= 0 ， 在上， ( 1 0 8 ) l l 口( o ) = 聊，钝( o ) = 鞠，在q 中， 其中，t 0 为时间， q = a ( o ，t ) n ，e 垒( o ，丁) a n 其能量定义为一 刖= ；上 阮( c ，圳v 酬侧2 + c ( z ) i v 吣，卅如 ( 1 0 9 ) 本文余下部分是这样安排我们将在第二章叙述本文的主要结果；在第三章 我们为定理的证明做一一些准备性工作；主要结果的证明我们将在第四章和第五章 给出 第二章主要结果的叙述 百先，对任何集合m cr f 和6 0 ，我们记 仇( m ) = 。e i r ”jj x - - x i i 0 ； ( h 2 ) 。( z ) c a ( f i ) ，a a 2 ( z ) 0 ； ( h 3 ) b ( x ) 伊( 砭) ； ( h 4 ) c ( z ) e 1 ( 豆) ，g 垒。i n n f c ( 。) o ，并令c l 垒s u n p c ( z ) ；而且， q 垒s 锄u p l v c ( z ) i m i i l ( 鼎，l 2 ( c o + l n o ) t 渤告，且( i + n o ) t ) ( 其中，c o ，n o 和露将在下面给出) 接下来，我们引入一些符号固定z o r n 瓦，记 r 0 垒忙r ix - - x o ) 凰全m 。i n 。i z - z o l ， r 1 z 、m 。a ：x 。j x - - x 0 j ， m ) 垒岳一$ o ， p ( z ) o l ， ( 2 0 1 ) 其中，( z ) 表示n 在。f 出的单位外法线向量，而表示舒中的内积 再固定玩( i _ l ，2 ，3 ) ，满足0 巩 如 5 s j 记 地垒0 6 , ( r 。) n q ( 2 0 2 ) 3 第4 页 僚警袅， 隧暑m ( 2 0 3 ) ( 2 0 4 ) ( 2 0 5 ) t k 垒t 2 一“t ，曩垒t 2 + “丁， 级垒( 疋，) ( 五，) x n ， 鼠垒( 瓦，t t ) ( 耳，t t ) r o ，( 2 0 6 ) q 垒( o ，丁) q ，s 垒( 0 ，丁) ， 8 0 ( t o ，t 2 ) ，品( t 2 ，靠) ， 崖爹l r 。叫2 ) 2 9 r i n 。乔 ( 2 0 7 ) ( 2 0 8 ) 第5 页 则由( 2 0 1 ) 和( 2 07 ) 可得 们，驴) 刊t ，s ，班扣一t a t 2 ) = 一鲁 0 ) ( 2 0 1 0 ) 使得 毋o ，s ，z ) 0 使得方程( 1 0 8 ) 的弱解 ( t ) c ( 9 0 ，t i ；z ) n e l ( 【o ，列；硪( q ) ) 满足； e ( 。) k z 7 z l v 仇i 出，v ( 如，”，) 2 硪( n ) ( 2 1 1 ) 并且，常数k 即为 耳垒孝岽南乜 其中，a 垒m a x a 2 ，a 3 ) ( 2 1 2 ) 附注2 1 1 实际上类似于( 2 1 1 ) 的能观性不等式已存在俾x ，z h a n g 【1o j 而定理2 ，1 的新颖之处就在于( 2 1 2 ) 容易发现k 中的所有常数都是可计算 的 第7 页 定理2 1 的证明我们将在第四章给出有了定理2i ，我们便可得到系统 ( 1 0 6 ) 能量的指数衰减如下： 定理2 2 任意给定t 0 ，假定( n 1 ) 一( h 4 ) 成立那么系统( 1 0 6 ) 的能量 e ( ) 倔定义( 1 0 7 ) j 满足 其中， 且 e ( ) sl o e 一舶e ( o ) ， v t 0 ，v ( q o ，q 1 ) z 磁( q ) ， ( 2 2 i ) l o = 1 k ；珈2 万执万j 露划( 去+ 螂+ 2 o ) ( e 哟产t - i ) ) 1 2 2 3 ) 我们将在第五章给出定理2 2 的证明而一旦得到了定理2 2 ，根据【7 】第 3 章中的定理1 i ，我们就可容易得到系统( 1 2 1 ) 的能量衰减估计，并可给出 ”) 的一个上界以保证其能量指数衰减我们结果如下： 定理2 3 任意给定t 0 ，假设( h 1 ) h 4 ) 成立如果6 ( ) 亦满足 m 警1 6 ( z ) i o ，雪= o ，皿= ( 互i n ) a ，= 1 ( 3 1 1 ) 2 0 2 i w t i w ，- 4 - 1 2 拶 a 3 x - - x o l 2 一了) t 2 + ( n 一；a 。一2 a n m l 2 + 0 2 枷。1 。 一2 2 铲p ( 巧咖) i x - z o l 2 蚓! + 萨( a 2 i x - - x o f 2 + 警) ( 嘶萄+ 孕) j 卅2 地咱) 莩蚶彬1 e 。 ( x k - x o 研+ 即t u + p 2 a 口( t s ) i 幻1 2 ；+ 0 2 , x a ( t s ) i 叫1 2 。 一2 0 2 a a ( t s ) ( 白q 一甄) j j + 2 口2 岛( 白叼一手仍) 】t 一归2 0 ( & 叩一f 叩t ) 1 ，一 铲岛( 岛叩一f 仍) 】。 j + p 2 岛( 6 叩一仉) b ， 8 ( 3 1 2 ) 。叫 j i ” 。 = 。 第9 页 其中，。= j ，垒r e 叫，卵垒i m 山 由通常的能量估计方法我们易得以下两个引理 引理3 2 对任意t 0 ，设条件( h 4 ) 成立，则( 回忆( 1 , 0 9 ) 定义的e ( ) ) e ) e 字( 1 + o ) 丁e ( s ) ， vt ，s 【o ，t 1 ( 3 2 1 ) 引理3 3 对任意t 0 ，设条件( h 4 ) 成立，如果 ( ) g ( 【o ，刁；z ) n c l ( o ，t i ； 砩( q ) ) 是方程( 1 0 8 ) 的一个弱解，那么( 回忆，( 2 0 6 ) 给出的s o ，晶和t o ，写) r 上 i v 细| 2 + c 即| 2 】d x d t 0 ，设u 满足条件( h 1 ) ，且条件( h 4 ) 亦成立如果 ( ) c “( 0 ，t j f 0 ，邪丽) 是以下方程的解： 忪f 。“咖出，舭肛。 在q 中， ( 3 5 1 ) 左5 上 第1 1 页 那么( 回忆( 2 06 ) 给出的q 2q 3 和。是) 且 厶v 印如d t d s 0 ，所以，我们可选取常数a l ( 如( 2 o 1 6 ) 给定) 使得 a 2 z - - x o l 2 + ( n 一；) a 一2 n 1 ，v a a 1 ( 4 o 1 0 ) 从而，对( 4 0 9 ) 分别从t 2 到丑和q 到写关于r 和一积分，注意到q ( r ，r ，) ) 笫1 7 页 q 1 ( 回忆( 2 0 6 ) 和( 4 0 8 ) ) ，我们有 丘，胡卵触d s + f e ，e 2 1 v 拥i 删s o ( 回忆 ( 2 0 7 ) ) ，我们又有 上明她- i w 。+ a w l 2 如触 讲1 0 y 1 2 d x d t d s j q 研0 研0 研0 赁0 v ( e y ) 1 2 d x d t d s p 。i v ! ，i 。+ i v 目1 2 可2 + ；( v p 。) ( v 可：) d z d t d s 4r 。1 2 0 2 i v 可1 2 + 0 2 y 2 i v f | 2 0 2 y 2 ( i v e l 2 + a t ) d x d t d s 口2 i v y l 2 d x d t d s 从口戴1 得剑 丘。叫切1 2 d x d t d s + q ，0 2 i v 叫1 2 如出如 z 一钾乞明v 卯如d t d s + r 1 j厶e 2 1 券1 2 硒 0 1 3 ) qj l 口 r 41 + e - 2 r o ) 。( 2 t a e 2 + r 1 ) ( i 训1 2 + i w l 2 ) d x d t d s ， j q 2 v 入， 乞厶免尼 一 = = a ， ( 4 0 1 7 ) ( 4 0 1 8 ) 第四步；我们来消掉( 4 0 1 8 ) 中的权函数p 2 首先，结合( 4 0 5 ) 和( 4 0 3 ) 第1 9 页 我们有 i 厂一2 l ：出d t d 5 + 臼。 v ”1 2 d z 出d s 0 2 1 v w 2 d x d t d s j q l = e 2 ( i v u , + v 1 2 + l v u 1 2 ) d x d t d s ( 4 0 1 9 ) 沪i v 毗+ v u 。1 2 d x d t d s j q l = z 。2 即卵如d t d s + q 。2 8 2 ( v y ( t 圳( v y 瑚如捌s 而由( 2 0 7 ) ，我们又有 0 2 ( v y ( t ，z ) ) ( v y ( s ，x ) ) d x d t d s j q l = 上e 啦m 阿2 如( z te 雄。卿，2 v 铘，茁，出z 7e 1 婚一纠2 ，2 v ，沁z ，a s ) = ne ：l = - = o l ： z 2e a 。一t y 2 ) 2 2 v ，o ，z ，a t 2 a z 2 。 ( 4 0 2 0 ) 从而，由( 4 0 1 9 ) 和( 4 0 2 0 ) ，我们得到 口2 i 叫1 2 d x d t d s + p 2 | v 1 2 d x d t d s2 2 0 2 i v 可1 2 d x d t d s ( 4 0 2 1 ) j q lj q lj q l 其次，由( 2 0 1 ) 和( 2 0 7 ) ，我们有 厶p 2 i 等1 2 娲z e 研厶( i 警1 2 +嘲2 + f 警d 掀如 ( 4 0 2 2 ) 于是，结合( 4 01 8 ) ，( 4 0 2 1 ) 和( 4 0 2 2 ) ，我们可得 7 萨l v f l 2 d x d t d s j q l - e i v - ，d 。f d q 。o 。i 。v ，f 2 d z d t d 5 c t 。s ， = ( 蜀一矗) e 一”1 。，| v 2 d z 出 第2 1 页 尸fm 揪 生笋厶( | 等f 2 + f 等f 2 + i 警) 娲。引 + 名垫乞附娥戤 另一方面，根据条件( i - 1 4 ) 和引理3 , 3 ，并回忆分别由( 2 0 6 ) 和( 1 , 0 9 ) 给出的 岛，晶和以) ，以及由( 2 0 1 5 ) 给出的弼( 1 ) ，我们得到 r ? f n i v v t l 2 如出 2j s o “f l v 叫2 揪+ 丽1e 加阳础 土2 k 1 , 严s o 圳d 2 紫e r o 聊 因此，根据引理3 2 并结合( 4 0 2 9 ) 和( 4 0 3 0 ) ，我们就有 连茅e 一即) s 毪茅厶( 斛+ 肌o u + 嗍2 ) 峨 + 拿e - 砷。) e ( o ) ， e 0 ( 4 0 3 0 ) ( 4 , 0 3 1 ) 第五步t 最后，我们来完成定理2 2 的证明不难看出我们可选取a 足够大 以满足a 三a 3 ( 回忆( 2 0 1 6 ) 给出的 3 ) ，从而使得下式成立 等e 一一争们_ 1 ) 等e 珈c 讵叫， 。、 v a a 3 第2 2 页 最后，结合( 4 03 0 ) 和f 4 03 2 ) ，及引理3 5 中的( 35 3 ) 即得所需结论( 21 1 ) 从而，我们完成了定理2 1 的证明 口 第五章定理2 2 的证明 最后一章我们将给出定理2 2 的证叽令妒和妒分别是以下两个系统 篓三黧 叭， 麓纛砜黧 毗， 刚s k 0 7 f l v 帆1 2 如疵( 5 删 苦条件( h 2 ) ，( 5 o 3 ) 和( 5 o 4 ) ，我们得到 e ( 。) 2 未石n 2 扛) l v q t l 2 如d z + zl v 以同z d t ( 5 0 5 ) ，i v 讥1 2 d x d t m 3 ( 1 + 2 n o ) ( e 盥业t 一1 ) ，n 2 ) i v 玑1 2 如d t ( 5 删 j 口 j q 第2 4 页 用分部积分法可得 去v 魂 2 + v a s t 2 + c ( z ) l v 妒1 2 缸 j n = 7 上v ( 。2 吼) v ) t d x d t - 7 上v c ( z ) v 协妒如班 纷田2 咖吲一甜舯出暇”， + 搿加2 抛 一 型婪型tf 0 2 l v 吼l 。出出 j uj “ + 盟罢垫厂加卯俐俐) 黜， 其中， ，3 由( 2 0 1 4 ) 给出对( 5 07 ) 运用普通的能量估计方法和g r o n w a l l 不 等式我们便可容易得到( 5 0 6 ) 那么，结合( 5 0 5 ) 和( 5 0 6 ) 我们即有 e ( o ) 露a 2 ( 圳v 口t 2 d z z d t ( 5 0 8 ) j 口 其中，露是( 2 2 3 ) 中的常数 另一方面，类似于( 1 0 4 ) ，对于( 1 0 6 ) 的弱解口( ) ，我们有 e ( t ) = e ( o ) 一a 2 ( z ) t v q t ( t ，z 坪d x d t + 乞2qt(t，x)lzdxdt-aa(x)lqt(t x ) ld x d t w c ( x 问q d x d t j j q ( 5 0 9 ) + 2 ， ) v 吼r 0 结合( 5 0 8 ) ，( 5 0 9 ) ，由条件( h 2 ) ，并注意到e ( o ) = e ( o ) ，我们有 e ( t ) 1 - 去) e ( 0 ) 一x t c ( 疹v 吼刮础( 5 o 1 0 ) 当条件( h 4 ) 成立时，注意到e ( ) 在( 1 0 7 ) 中的定义，类似于( 5 0 7 ) 式，应用 g r o n w a l l 不等式，我们容易得到 e ( t ) 1 - 去) 5 e ( 。) ( 5 。1 1 ) 第2 j 页 冉疰惹到( 1 0 6 ) 是时不变的，我们就得到 e ( n t ) ( 1 - 去) 6 8 e ( 。) ，v n n ( 5 。1 2 ) 于是，对任意t t ，o o ) ，我们可选择一个整数礼n 使得n t t ( n + 1 ) t 由( 5 0 1 2 ) 并t t , 翩je ( ) 是递减的，我们得到 印) ( 1 - - 扩卜”印) ，v ，( 5 o a 3 ) 这正是我们所期望的结果至此覆们完成了定理2 2 的证明口 参考文献 1 1 】f a l a b a u ，v k o m o m i k ，b o u n d a r yo b s e r v a b i h t y ，c o n t r o l l a b i l i t ya n ds t a b i “t yo l h n e a re l a s t e d y n a m i c ss y s t e m 。s i a mj c o n t r o lo p t t m v 0 1 3 7 ( 1 9 9 9 ) 5 2 1 5 4 2 【2 】2 a b e n a d d ia n db r a o ，e n e r g yd e c a yr a t eo ，t h e me q u a t i o n 研航i n d e f i n i t e d a m p i n g , j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s1 6 1 ( 2 0 0 0 ) 3 3 3 5 7 1 3 1rb g u z r n h na n dm t u c s n a k ，e n e r g yd e c a ye s t i m a t e 如d a m p e dp l a t ee q u a t i o n w i t h 口l o c a ld e g e n e r a t e dd i s s i p a t i o n , s y s t e m c o n t r o ll e t t e r s4 8 ( 2 0 0 3 ) 1 9 1 1 9 7 【4 】v k o m o r n i k ，e x a c tc o n t r o l l a b i l i t y a n ds t a b i l i z a t i o n ：t h em u l i p l i e rm a h o 面 j w i l e ys o n sa n dm a s s o n ，n e wy o r k ，1 9 9 4 【5 1k l i u ，b r a o ，x z h a n g ，s t a b i “t yo ，t h e t f f a u ee q u a t i o nw i t hp o t e n t i a la n di n d e f i n i t ed a m p i n g j m a t h a n a l a p p l 2 0 0 2 2 6 9 ：7 4 7 - 7 6 9 【6 】e m a c h t y n g i e r ，e x a c tc o n t r o l l a b i l i t y ，o rt h es e h r 6 d i n g e re q u a t i o n ，s i a mj c o n t r o l o p t i m v 0 1 3 2 ( 1 9 9 4 ) ，2 4 - 3 4 ，n o 1 f 7 】a p a 2 y , s e m i g r o u p so yl i n e a ro p e r a t o r sa n da p p