（应用数学专业论文）风险价值体系中风险量化方法的实证与比较.pdfVIP

手g oq 摘要 本文旨在介绍与比较风险价值量化的初步也是最常用的方法。因为近几年金融界对风险 管理的要求与日俱增，且随着数学作为一种工具渐渐与金融学融合发展为“金融数学”、“数 理金融”等边缘学科的发展，以及计算机复杂模拟能力的提高，计算风险量化值在我国也会 成为可能，所以有必要系统地从基础开始讨论这个问题。 控制和管理风险过程中，风险量化是第一步，也是必需的、基本的一环。很显然，以金 l一 融风险管理为目的的监管环境将建立在风险量化值的基础之上，每一家银行、公司或政府机 构将来都必须以风险量化值的形式表明它们资产负债表中的风险状况，这将需要概率和投资 收益的基本知识，而这些在旧的会计制度中一向被忽略。自上个世纪9 0 年代以来，出现了 很多对市场风险进行量化的尝试，其结果是产生了多种看法不一的模型与工具，其中被国 际上广泛接纳和采用的是风险价值体系中对风险进行量化的数学方法。l 彩 本文系统介绍了国际上经常使用的四种风险量化方法，即正态方法、应力测试、结构 蒙特卡罗法与历史模拟法：然后从方法的优劣、适用情况、应用的难易程度等方面对它们进 行了详细的比较，得出了对其应用具有指导意义的结论，并指出这些方法作为一个整体存在 的三个缺陷；在此基础上，从数理统计角度分析解释了最常用的正态方法，并针对其在 实际应用中可能产生的问题，简化了协方差矩阵，增强了这一方法的实用性。 关键词：风险量化方法，正态方法，协方差矩阵 a b s t r a c t t h i sp a p e ra i m e da t i n t r o d u c i n ga n dc o m p a r i n ge s s e n t i a l m e t h o d so nr i s k q u a n t i f i e d ，w i t h i n c r e a s e dr e q u e s to fr i s km a n a g e m e n ti nt h ef i n a n c ef i e l d ，a n dw i t hd e v e l o p m e n to f “f i n a n c i a l m a t h e m a t i c s ”a n d “m a t h e m a t i cf i n a n c e ”d e r i v e df r o mm a t h e m a t i c sa n df i n a n c e i na d d i t i o nt o i m p r o v e m e n to fc o m p u t es i m u l a t i o nt e c h n o l o g y , i tw i l lc o m e t r u et h a tm e a s u r i n gv a l u ea tr i s k s o i ti sn e c e s s a r yt os t u d y s y s t e m i c a l l yt h i ss u b j e c t i nt h ec o u p e o f c o n t r o l l i n g r i s ka n d m a n a g i n gr i s k ，t h ef i r s ta n db a s i cs t e pi sm e a s u r i n gr i s k o b v i o u s l y , t h em a n a g e m e n tc o n d i t i o n sa i m e da tc o n t r o l l i n gm a r k e tr i s ki sb a s e do nv a l u ea tr i s k e v e r yb a n k ，c o m p a n yo rg o v e r n m e n ti n d i c a t e dt h e i rr i s kc o n d i t i o n so u to ft h e i rb a l a n c es h e e t ，t h i s n e e d st h ek n o w l e d g eo fp r o b a b i l i t ya n di n v e s t m e n t p r o f i t ，w h i c hb en e g l e c t e d i nt r a d i t i o n a l a c c o u n t i n gs y s t e m s i n c e1 9 9 4 ，m a n ym e t h o d so i lm e a s u r i n gr i s ka p p e a r e d ，i nw h i c ht h em o d e lo n v a l u ea tr i s ki sm o s t p o p u l a r t h ef o u rk i n do fq u a n t i f i e dr i s k m e t h o d s ，d e l t a - n o r m a ls c h o o l ，h i s t o r i c a l s i m u l a t i o n ， s t r e s s 。t e s t i n ga n ds t r u c t u r e dm o n t ek a r l oa r ei n t r o d u c e ds y s t e m i c a l l yi nt h i sa r t i c l e ，t h e nt h e ya r e d i s t i n g u i s h e di nd e t a i lf r o mm e t h o d se x c e l l e n ta n di n f e r i o r , a p p l yc i r c u s ，a p p l i e dd i f f i c u l t l ya n d e a s i l y t h ec o n c l u s i o no na p p l yi st a r g e t e d o nt h eb a s i s ，d e l t a - n o r m a ls c h o o li st a k e na p a r ta n d e x p l a i n e df r o mt h ev i e wo fm a t ha n ds t a t i s t i c s ，a n da i m e da tt h ep r o b l e m sp r o d u c e di np r a c t i c e ， t h ec o v a r i a n c em a t r i xi ss i m p l i f i e d ，b o o s ti tu pi np r a c t i c e k e y w o r d sm e t h o d o f q u a n t i f i e dr i s k ，d e l t a - n o r m a ls c h o o l ，c o v a r i a n c em a t r i x 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下( 或我个人) 进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国农业大学 或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：裤锄薛 时间：瑚年占月纠日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国农业大学大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅；学校可以用不同方 式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议1 研究生签名： 樨黝繁时间：如畦年月习日 聊繇砺 昏力 时间： 枷眵年月印伺 圭旦壅些盔堂堡堂丝垒塞：笪三童彗笪一 第一章绪论 1 1 风险管理与风险量化的必要性 公司的基本任务之一就是管理风险，取得成功的是在这方面最擅长的公司，其他公司却 没有成功。因此，实际上一些公司和机构被动地接受了金融风险，其他的却企图通过谨慎的 发现和揭示金融风险而建立一种竞争性优势。但是，无论在哪种情况下，这些风险由于其潜 在的危害性，都必须得到仔细的监测。 本章的内容是为什么必须仔细的管理金融风险。第一部分，描述了公司所面对的金融风 险的类型，同时认为，自从固定汇率体系崩溃以后，金融风险急剧地增加；虽然风险量化体 系主要是关于市场风险的，但公司还会受到其他类型风险的威胁；第二部分，描述了为了满 足管理这些风险的需要，衍生品市场不断地得以发展；第三部分是关于风险量化的简单介绍。 1 1 1 风险 风险被定义为预期收入的不确定性。这种收入的不确定性通常是资产及有息负债的价 值。公司一般面临三种类型的风险：经营风险、战略风险与金融风险。 经营风险是公司为了形成竞争优势及增加股东的价值而自愿承受的一种风险。经营风险 或操作风险是和产品市场有关的，包括了技术革新、产品设计和市场营销。运营杠杆，包括 固定成本与可变成本的比例，也是一个可选择因素。谨慎地揭示经营风险是所有经营活动的 一个核心。 相对而言，战略风险是由于政治与经济环境的根本性变化而产生的风险。如8 0 年代后 期，来自前苏联的威胁突然消失使得美国的国防开支逐渐削减，这直接影响了国防工业。这 些风险很难规避，除非把其分散在不同行业及不同国家。 金融风险与金融市场可能的损失相关。金融变量，如利率及汇率，其变动对绝大多数公 司而言会形成风险。可以选择最佳的方式揭示金融风险，以便公司能够集中精力从事他们最 擅长的，即管理所面临的经营风险。和工业企业相比，金融机构最初的功能是积极的管理金 融风险。银行现在意识到，作为控制风险及为风险适当定价的第一步，他们必须精确地测度 风险的各种根源。理解风险意味着金融管理者能够自觉地为可能出现的相反结果作打算，而 且通过同样的做法，为不可避免的风险做更好的准备。这样，对管理风险而言，他们就能够 提供比竞争对手更好的价格。风险管理是一个过程，是一个识别、测度、控制备类风险的过 程。总之，金融风险管理已经成为各种经营活动得以存在的必不可少的工具。 变化：唯一的常量 风险管理行业不断发展的一个最重要的原因是金融变量的波动性。以下情形表明了这 种波动性： 1 9 7 1 年，美国固定汇率体系的崩溃使得汇率具有灵活性和多变性： 开始于1 9 7 3 年的石油危机诱发了高通货膨胀和利率的剧烈波动： 1 9 9 2 年9 月，欧洲货币体系的破裂使欧洲经济及货币一体化受阻； 1 9 9 4 年的债券灾难，美国联邦储备银行在保持了三年低利率后，开始连续六 次提高利率，使得全球资本市场损失了1 5 亿美元； 日本股市下跌，日经指数从1 9 8 9 年末的3 9 0 0 0 点跌至三年后的1 7 0 0 0 点，整 个资本市场损失了2 7 亿美元，这导致了日本前所未有的金融危机。 纵观这些事件，唯一不变的或唯一的常量就是他们的不可预见性。每次，市场观察者 或研究者都对这些变化的速度感到吃惊。这些事件对国内外的金融市场及公司产生深刻影 响。金融风险管理为防止风险的这些起因提供部分保护。为了说明最近3 0 年这种变化的力 度，图1 - 1 与1 - 2 列出了自1 9 6 2 年以来美国油价、股价的变动情况。 1 9 6 31 9 7 01 9 7 51 9 8 21 9 8 61 9 8 81 9 9 01 9 9 2 1 9 9 5 年份 图卜1 石油价格变动图 图1 - i 给出了7 0 年代石油价格的突然增长与债券收益增长的相关关系。这同时也影响 了全国股市的价值( 图i - 2 所示) ，1 9 7 4 1 9 7 5 年全球大熊市是由于原油价格增长三倍触发 - 2 。 踮 孙 塘 m 0 0 的。这件事表明如果没有很好地掌握利率、汇率、商品价格及股市之间的联系，就很难理解 6 36 5 6 8 7 07 37 5 7 88 3 8 5 8 78 89 09 5 年份 图1 _ 2 股票价格变动 金融风险。除了这种不受约束的波动性，企业一般地变得对金融变量的变动更加敏感。7 0 年代之前，在大多数工业化国家，银行要么受到监管，要么随心所欲地进行联合。对银行的 监管，如对储蓄利率规定上限，有效地隔绝了银行家与利率变动之间的联系。一些主要在国 内进行销售的工业类公司，对汇率并不大关心。 面对现实的呼声随之而来的是放松管制与全球化。放松管制迫使金融机构更加注意金融 市场。不断增加的贸易使企业不得不承认竞争的全球化的真正本质。这样的结果是公司再也 不会为忽视金融风险付出任何代价。 1 1 2 风险管理 这种不加约束的波动性形成了一个新的金融领域，即金融工程，其目的在于为防止金 融风险或风险性投资提供创造性的方法。表1 1 给出了自7 0 年代初期，风险管理工具的发 展。 踮 撕 加 m 0 0 表1 - 1 风险管理工具的发展 1 9 7 2外汇期货 1 9 7 3权益期权 1 9 7 5国债期货 1 9 8 1货币掉期 利率掉期；中期国债期货；欧元期货；权益指数期货；国债期货期权： 1 9 8 2挂牌交易货币期权 1 9 8 3 权益指数期权；中期国债期货期权；期权与货币期货；权益指数期货期权： 利率上限及下限 1 9 8 5 欧元期权；掉期期权 1 9 8 7柜台交易复合期权；柜台交易平均期权 1 9 8 9利率掉期期货 1 9 9 0权益指数掉期 1 9 9 1 差别掉期 1 9 9 4信用迟付风险 这些衍生品提供了种机制，通过这种机制，机构能够有效地规避金融风险。规避金融 风险类似于购买保险，即提供旨在防止一些金融变量逆向结果的保险，而这些逆向结果，在 一些经营业务或一些国家中没有对其进行控制。 1 1 3 金融风险的类型 本文的重点是关于金融风险的个方面，即市场风险的量化方法。然而，应当承认，这 仅仅是公司所面l 临的金融风险的一种。通常，金融风险大体上可分为市场风险、信用风险、 流动性风险、操作风险及法律风险( 金融风险较好的分类，可参看美国货币监管局银行的公 告1 9 9 3 中关于金融衍生品风险的管理) 市场风险 市场风险源于金融资产与负债的价格变化以及通过未结清头寸的价值的变化或收益的 变化来度镀。 4 市场风险包括基础风险与伽马( g a m m a ) 风险。基础风险即为用于对冲交易的两种产品 的关系变化或破裂时发生的风险，伽马风险是由于非线形关系的存在而出现的一种风险。在 衍生品上持有大额头寸的投资者已经在受到上述两种风险的损伤，即使他们以为他们完全可 以套期保值。 市场风险以两种形式存在：绝对风险与相对风险。绝对风险是以货币计价的潜在损失， 而相对风险是相对于某种基准指数的损失。前者旨在强调总收益的波动性，而后者则以偏离 基准指数的程度去衡量风险。除了对风险的线形量度外，风险量化体系能够诊断出基础风险 与伽马风险。而且很容易延伸到相对风险。 风险量化体系的最初目的在于量化市场风险。理想的情况应该是，这种体系应当构建成 能够在管理过程中采取迅速的补救措施，以防形成损失或异常出现的风险。 信用风险 当交易双方不愿意或不能够完成契约责任时，信用风险就会出现。如果契约的一方不能 履约时，其产生的结果是由进行替代的现金流的成本去度量。一般而言，当信贷机构降低信 贷者的信用等级时，信用风险也可以产生损失，通常会导致市场信用的下降。 信用风险以预先清算及清算风险的形式存在。后者是指契约的另一方已经支付的情况 下，另一方违约的可能性。这一情况对于外汇交易是非常真实而典型的。在外汇交易中，可 能早上在欧洲的支付而后在美洲进行清算。确实，当1 9 7 4 年h e r s t a t tb a n k 破产时，该银行 已经得到了许多签约方支付的款项，但其银行相应的交易支付还没有进行时违约就发生了。 这造成了全球银行体系潜在的不稳定。 信用风险有定性与定量两个方面。决定契约的一方是否具有信用为定性分析。最近的进 展已开始了对信用风险的定量评价。虽然，风险量化方法最适用于对付市场风险，然而，我 们将会看到进行风险量化模拟也可以计量信用风险。 流动性风险 流动性风险存在着两种形式：产品市场流动性及现金流融资。由于市场活动不充分， 交易不能按现行价格进行时，第一类风险就会出现。对于非流动性的柜台交易和约和运用动 态对冲交易时，此类风险是个大问题。然而，流动性风险很难定量化，且随着市场的条件而 变化。市场，产品流动性风险能够通过对一定的市场或产品设定限额及多元化的方式进行管 理。虽然，流动性风险从形式上讲不包括在风险价值测度体系中，但是对风险价值测度而言， 其尺度的选择与破产清算的时序密切相关。 5 第一二种风险是指无力满足现金流动的要求，而这种要求可以迫使比较早地进行破产清 算，这样就能把纸上的损失变成现实的损失。融资风险可以通过适当的现金流动需求计划来 控制而现金流动需求，正如前面的情况，又可以通过设定现金流动缺口的限额与多样化来 控制。 操作性风险 操作性风险指的是，由于制度不健全、管理失误、控制错误、欺诈及人为因素造成的潜 在的损失。操作性风险包括交易执行中的风险、欺诈与技术风险。防止操作风险的最好办法 由两部分组成：系统的备份、交易责任与强有力的内部控制及日常的应急计划清楚分离。 法律风险 当交易的一方无合法的或按管理规定的权利进行一种交易时，就会发生法律风险。法律 风险表现为股东对遭受巨大损失的公司的诉讼形式。法律风险直接与信用风险相联系，同时 又包括遵循与监管的风险。 对金融风险有一定的了解后，下面来看一下为规避风险而产生的衍生产品与作为风险管 理 ：具的风险价值体系。 1 2 衍生品 1 2 1 衍生品的基本内容 许多有关衍生品的错误出自于对其基本功能的误解。衍生品的和约一般定义为是一种从 某些基础资产、比率、指数，如股票、债券、货币或商品之上派生的私人和约。其最简单的 例子就是外汇的远期和约。这种外汇的远期和约是一种在将来某一日期以一定的价格购买一 定数量外汇的承诺式和约。最初，这种和约的价值为零( 如果价格平稳的话) ，但随着汇率 在某- - u ? 期的变化，其就将产生收葫或损失。外汇的现金头寸完全能够被一个短期汇票的头 寸和远期和约的多头所复制。 因此，衍生品是一种怪物，他使得所有权与市场风险相分离。在某种资产如股票之上的 一个远期和约，没有股票控制权，也没有红利( 直到和约期满) ，但最终所有者还是要面对 市场风险。当最初的投资非常小时，衍生品产生杠杆作用。习惯于进行典型的、具有明确产 权投资的投资者不适用这种通常意义上对衍生品的定义。然而，这种远期和约在经济上等同 - 6 丁- 持有外汇资产，这种资产是在票据上的、可用于支付的短期头寸。一旦这种情况得到承认 衍生品的风险就可以转换成可知其数量的风险。这也是风险量化的目的之一a 1 2 2 衍生品市场 适应管理金融风险的需要，衍生品市场以爆炸性的速度增长。期货与期权交易在全世界 遍地开花。表1 - 2 是从1 9 8 6 至1 9 9 4 年选择的衍生工具的增长情况。该表给出了在衍生品市 场上能够获得数据的一些衍生品未清算的头寸的值，这包括上市交易的衍生品及柜台交易的 掉期。从1 9 8 6 到1 9 9 4 年，这些衍生品市场从1 0 8 3 万亿美元增长到2 0 万亿美元。国际清 算银行( b i s ) 1 9 9 5 年一项调查表明，柜台交易总的名义价值，包括远期与期权和约为4 0 7 0 万亿美元。这样，加上上市交易的和约，衍生品市场大约为5 0 万亿美元。 表1 - 2选择出一些衍生品的未清算和约的全球市场状况 ( 1 0 亿美元) 1 9 8 61 9 9 01 9 9 31 9 9 4 上市交易的工具 5 8 32 2 9 27 8 3 98 8 3 8 利率期货 3 7 01 4 5 44 9 6 05 7 5 7 利率期权 1 4 66 0 02 3 6 22 6 2 6 货币期货 1 01 63 03 3 货币期权3 95 68 15 5 股票指数期货 1 57 01 1 91 2 8 股票指数期权 39 62 8 6 2 4 2 选择的柜台交易工具5 0 03 4 5 07 7 7 71 1 2 0 0 利率掉期4 0 02 3 1 26 1 7 78 8 1 5 货币掉期1 0 05 7 89 0 09 1 5 最高限额、次高限额、 5 6 1 7 0 01 4 7 0 底价和掉期期权 l 合计1 0 8 35 7 4 21 6 6 1 62 0 0 3 8 仅从表面上看，这些数字就令人感到惊奇。整个美国一年的国民生产总值( g n p ) 只有 7 万亿美元。衍生品市场却已超过了全球股票与债券价值之和( 大约3 5 万亿美元) 。仅仅美 国商业银行，与其4 2 万亿美元总资产及3 3 4 0 亿美元的总的所有者权益相比，1 9 9 5 年其表 外业务已增加到1 7 9 万亿美元! 然而，就风险管理而言，这些数字足以使人产生误导。衍生晶的市场风险涉及到和约市 场价值的变化，并不是名义上和约总量的变化。如果所有这些和约被取消( 这是一种不可能 的事) ，国际清算银行估计所有柜台交易的和约替换值仅仅是名义总量的4 3 ，即1 7 万亿 美元。风险的价值精确地抓住了当前与潜在的市场价值，并且提供了一种测度风险的方法， 这种方法远远胜过名义上量的概念。 1 2 3 为什么衍生品市场能够增长? 按照芬纳蒂( f i r m e r t y ) 分散风险的观点，有三种因素被认为是衍生品市场增长的主要 原因： 全球经济日益增加的波动性7 0 年代与8 0 年代期间，由于在前面我们谈到的各种因素， 是全球经济高波动期。另外，金融与产品市场的全球化使得企业面l 临越来越多的金融风险。 这种波动性导致了对衍生品的需求，并从此使这种衍生产品在金融工具大家族中占据了永久 性的地位。衍生品有时被斥责为诱发波动性的根源。然而，正如我们所看到的，债券市场最 波动的时期是8 0 年代初。既然衍生品发展最快的时期是9 0 年代，那么，从波动性到衍生品 市场的增长似乎是一种必然的关系 技术的变迁技术的变迁出自两方面的进展：即物理设备与金融理论。一方面，更廉价 的通讯及计算设备的出现导致了金融创新，例如全球2 4 小时交易与通过因特网的风险管理 系统。另一方面，现代金融理论的突破已经使机构能够创造新的金融工具以及更好地掌握金 融风险的动态管理。例如。有这样一个模型，即布莱克一斯科尔斯( b l a c k - s c h o l e s ) 模型 ( 1 9 7 3 ) ，是用于定价与对冲期权。该模型提供了一个特别简明精练的定价期权的模型，而 且，到目前仍为衍生品交易者所熟悉。这个模型一直被认为是应用经济学最成功的模型。 政治的发展鉴于6 0 年代政府被看作是经济增长的主要工具，所以对由此而产生的政 策的不满意导致了7 0 年代的政治上的变化。这些形成了一个全世界的强调市场导向政策及 金融市场放松监管的运动。随着汇率及利率的波动，金融机构，例如商业银行及储蓄与信贷 银行越来越强烈地意识到需要对付金融风险。 除此之外，支持开发更为复杂的衍生金融工具的技术，其发展不时地超出我们能够控制 的能力。8 0 年代经历了金融衍生品类型的迅速发展：9 0 年代应当是这些衍生品的合并期， 将会形成通过规范的风险管理体系更好地控制金融工具的局面。 8 1 3 风险价值体系 风险价值体系是一套通过量化风险而达到控制风险的目的的风险管理工具。他简要地给 出了在一定的置信度水平下与一定的目标水平之上，预期的最大损失( 或最坏的损失) 。 例如，参照图1 - 3 ，即给出了从1 9 6 3 年到1 9 9 5 年美国中期债券收益图。 6 4 蔷2 坩 o 一2 4 6 _ 八14 m m 、 v ”。 厂v v v v r 矿w 。 _ - 年份 5 35 65 96 26 56 8 7 1 7 57 88 l8 48 99 29 5 图1 - 3 、中期债券收益 收益的分布从- 6 5 n + 1 2 o 。现在，我们按照这些数字依最低到最高的排列规则地构 造一些柱形，并计算每个柱形体中掉进的观察结果。例如，有个结果是在5 以下，另一 个落入- 5 至一4 5 区间，依次类推。通过这样，我们将构建出一个月收益的概率分布。依 据此概率分布，可计算出一种特别的分布在过去发生了多少次。图1 4 就是这样一种分布。 - 9 5 1 6 个月中发生 的次数 图1 4 风险价值测量 月收益( ) 对于每一个收益，可以计算出现更低收益的概率。选一个置信度水平，即a = 9 5 。为 了符合这种置信度水平，可以在图上找出一个点，即5 的概率是较低的收入。从图1 - 4 可 看出，这个数字是一1 7 。这是因为所有小于1 7 的事件在总共的观察月份中增加到5 ， 或者说5 1 6 个月2 6 出现了次。 5 水平的选择是随意性的。例如，美国的商业银行现在用各种各样不相互配比的参数 报告他们的风险价值。信孚银行使用9 9 的置信水平；化学及曼哈顿银行使用9 7 5 的置信 水平；花旗银行使用9 5 4 的置信水平；美洲银行使用9 5 的置信水平。假如是一个正态分 布，很容易把这些各异的测度方法转换成一个普通的数字，在第三章将会看到。 持有期的选择，即一个月或一天，同样是相对主观的。对于一个银行，交易期在具有高 流动性的货币上的组合投资而言，一天的持有期也许是可以接受的。对于一个按季进行决算 和报告的投资经理9 0 天也许是较为合适的。理想的状况是，持有期对应于依次进行组合性 投资清算所需的最长期限。 现在准备计算一个1 亿美元投资组合的风险价值。仅有个5 的概率，投资组合将落 入一个大于1 亿美元的一1 7 倍，或1 7 0 万美元的区域。风险的价值即为1 7 0 万美元。换句 话说，这种投资组合的市场风险能用这样一种陈述来表达，即：在正常的市场环境下，超过 一个月的投资组合的最大损失为1 7 0 万美元。这个数字直接与持续期的概念相联系，去度量 所面临的一种风险，即利率风险。风险价值把面临的一种风险与市场的逆向运动的可能性相 结合。然而风险价值体系更具一般化，因为其允许投资者把许多类型的资产包括进去，诸如 外汇、商品和权益。这些资产除了面临利率波动外，还面i 临其他类型的风险。这样风险价值 体系对于常规的风险测度，如期限、持续期或缺v 1 分析而言，是一个巨大的飞跃。这就是为 1 0 们加如0加 什么风险价值体系很快在那些担心金融风险的机构中获得应用。1 9 9 4 年l o 月，摩根 ( j e m o r g a n ) 公布了其“风险度量”( r i s k m e t r i c s ) 体系，适应于免费的因特网，这种风险 度量制提供了可供计算风险价值的数据库。随着计算机硬件及可适用软件的成本的f 降，没 有任何理由不使用风险价值体系。但是风险价值体系并不是万能药，只有当使用者掌握了其 适用范围后，风险价值的测度才是有用的。最后，风险价值体系应当被看作控制风险的必要 程序而不是充分程序，其除了独立的风险管理功能外，还必须有适用及限制条件作为补充。 虫国筮些去堂亟堂僮j 金童差三童量丝凰隍益薹曲錾堡绮进纽迟 导致预期等的概念，而对预期的研究推动了概率论的发展。 2 2 1 一个关于赌博的试验 概率论取得的一次飞跃是在1 6 5 4 年，当时一个法国贵族向布莱斯帕斯卡尔提出一个 关于赌博的问题。他想知道如果游戏中断，如何公平地分配利润。在解答这一问题的过程中 帕斯卡尔奠定了概率论的基础。 卡达诺和帕斯卡尔定义了概率分布的概念，它描述的是在一个假想的试验中，某个特定 值出现的次数。例如设想一个赌徒有一对骰子，每一面出现的概率是相同的，就此意义上说， 骰子是公平的，即每一面在6 次中都有一次机会出现。 频率 图2 - 1骰子结果的分布 将所有的结果列成一览表。例如，( 1 ，1 ) 的组合或总数为2 ，会出现1 次；总和为3 会i u 现2 次，其组合为( 1 ，2 ) 和( 2 ，1 ) 。图2 - 1 列出了从2 到1 2 之间所有可能值的总分布。 定义x 为利益的随机变量掷骰子的总点数，它可能取11 个可能值x i ，其每一个出 现的频率为1 1 i ，对频率进行转换，使之总和为1 ，相应可得概率p ，。 由这些概率定义一个概率分布函数，对其求和，结果必等于1 ： 1 1 p i = 1 ( 2 1 ) i - 1 通过两个变量均值和离散度有助于揭示分布的特征。 期望值e ( x ) ，或均值，可通过对所有可能数值加权求和来估计，权数分别为可能值 出现的概率：1 1 e ( x ) = ，( 2 2 ) 1 2 童垦窒些奎堂堡圭耋垡垒塞 篓三童量些垦堕重垂墼壑堡丝篁垫堡 为了简化，e ( x ) 也写作“。在例子中，总和为2 5 2 3 6 ，也就是7 。因此，掷骰子的期 望值是7 。图形显示这也是出现频率最高的数值，可定义为分布的众数。 表2 - 1计算期望值与标准差 数值( ) 总数 23456 7891 0l l1 2 发生的 频率1 234565432l3 6 ( i i i ) 发生的 概率1 ，3 62 ，3 63 ，3 64 ，3 65 乃66 ，3 65 乃64 3 63 ，3 62 ，3 6l ，3 6l ( p 0 p i x i 2 乃61 6l ，35 ，9s 67 61 0 ，91 15 ，61 1 1 1 81 37 1 p i l x l - e ( x ) 1 2 2 5 3 68 93 ，44 | 95 ，3 60 ，3 65 ，3 64 93 ，48 ，92 5 3 63 5 ，6 方差定义为均值离差平方的加权和( 方差一词是1 9 1 8 年由统计学家r a f i s h e r 在一篇 遗传学论文中首次引入的) 1 l v ( x ) = 吣i _ e ( x ) 】2 ( 2 3 ) i = l 由于方差用基本单位x 的平方来计算，因此不能直接和均值进行比较。所以，利用标 准差或变动性( 方差的平方根) 来比较。 s d ( x ) = 厕 ( 2 4 ) 标准差记为o 。在这个例子中，未来结果的标准差为 2 1 0 3 6 = 2 4 1 5 。这个数字非常有 用，它表示均值附近一个有代表性的数值范围。 2 2 2 期望值的特征 赌博试验的解集是离散的，其特征为概率分布函数( p d f ) 是离散的。对许多变量而言， 例如一项投资的收益率，其解集是连续的。因此，可以定义概率分布函数( p d f ) 为f x 。如同( 2 1 ) ， 必须对其所有可能的值，从一m 到+ m 进行加总或求积分，取其值为1 ： 展升( 2 2 ) 和( 2 3 ) ，则预期和方差为： e ( x ) = j 。“斌x ) d 。 f 2 6 1 v ( x ) = j 。“【) 【_ 也( x ) 】2 f ( x ) d 。 ( 2 7 ) 以下，将运用随机变量的变换和组合，来说明其是如何影响预期和方差的。 首先，定义一个新的随机变量y = a + b x ，对原来的x 进行线性变换。系数a 和b 是常数。 代入( 26 ) 和( 2 7 ) 得： e ( a + b x ) 如+ b x ) 域x ) d x = d f ( x ) d x + b j x f ( x ) d x = a + b e ( x ) ( 2 8 ) v ( a + b x ) = f a + b x e ( a + b x ) 】2 f ( x ) d x = a + b x 十b e ( x ) 】2 f ( x ) d x 小2 x e ( x ) 】2 f ( x ) d x = b 2 v ( x ) ( 2 9 ) 因此，y 的变动率为o ( a + b x ) = b o ( x ) 。 现在考虑随机变量的线性组合，例如包含两只股票的资产组合的收益y = x l + x ：。此时， 不确定性由两个变量的概率分布函数胀“x 2 ) 表示。若抽出个变量，则所剩变量的分布为 边际分布： j 2 f ( x l ，x 2 ) d x 2 2 f ( x o ( 2 1 0 ) 展开( 2 6 ) 和( 2 1 0 ) ，得期望值为： e ( x i + x 2 ) = j l 2 ( x l + x 2 ) f ( x l , x 2 ) d x l d x 2 = e ( x 1 ) + e ( x 2 ) ( 211 ) 说明求期望值是一种线性运算，和的期望是期望之和。而方差的推导却较为复杂： v ( x l + x 2 ) = j 1 j 2 x l + x 2 一e ( x 】+ x 2 ) 】2f ( x i , x 2 ) d x l d x 2 2 v ( x 0 + v ( x 9 + 2 c o v ( x l x 2 ) ( 2 1 2 ) 其中，最后项定义为x l 和x 2 的协方差。协方差的运算是非线性的。通常变量之和的 协方差不等于协方差之和。它包含交叉项，这对掌握资产组合的分散化特征是非常重要的。 然而，在特殊情况下，即如果两个变量是独立的，则在数学上可以证明协方差为o ，和的方 圭垦奎些奎堂堡圭茎堡垒塞 篁三塞星些垦堕重茎墼墼垄丝丛墅堡： 差等于方差的和。 2 2 3正态分布 正态分布是两个世纪以前卡尔f 高斯( 1 7 7 7 1 8 5 5 ) 在研究天体运动时提出的，当时被 称为“高斯分布”，“正态分布”一词是后来的盖尔顿首创的。此分布在统计中起核心作用， 因为它充分描述了许多客观现象的整体状况。另外。p s 拉普拉斯后来证明了中心极限定理， 即随着观察数目的增多，均值趋于正态分布。并且，随着抽签的数值的增加( 将骰子的个数 由2 增至一个较大的数) ，分布就趋于平滑的正态分布。 这些数学定理的直接应用就是评估信用风险。设想评估一个包括许多小额消费信贷的大 型资产组合的风险问题。单个地看，每笔贷款违约的概率可通过二项分布模型来衡量，假定 不存在部分偿还贷款的情况，则结果只有两个。然而从极限的角度看，二项变量之和趋于正 态分布。因此，随着贷款数量的增多，资产组合可通过正态分布模型来衡量。应该注意的是， 这一结果成立与否很大程度上取决于违约事件是互不相关的。正如经济陷入严重衰退，许多 违约事件同时发生，导致正态估计失败。 正态分布可用均值和方差来表示整个分布的特征，即n ( “，( 3 2 ) ，第一个参数表示位置， 第二个参数表示偏差。分布函数的表达式为： 舣) = ( x ) = i 芝亓再e 附0 2 。( 州) 2 】 ( 21 4 ) 这个函数在b l a c k - s c h o l e s 的期权定价模型中也处于核心地位。对于不同的u 和。的值 该函数可列成表。在应用时，可以用标准正态分布使问题得到简化。 首先使标准正态变量满足廿4 ( o ，1 ) ，接着定义x 为： x = 十8 0( 2 1 5 ) 根据( 2 8 ) 和( 2 9 ) ，可得x 的均值为p - ，而方差为a 2 。标准正态分布如图2 - 2 所示。 约有9 5 的分布落入e l = - 2 和e 2 = + 2 之问的区域内，6 6 的分布落入8 l = 1 和6 2 = + l 之间的区 域内，如果我们想使汇率变动的均至为l ，变动率为1 2 的置信度，就有： x 。i 。= 1 - - 2 x1 2 = - 2 3 x 。“= 1 + 2 1 2 = + 2 5 对汇率变动x 来说，的置信区间卜- 2 ，2 就可转化为卜2 3 ，2 5 1 。表2 - 2 给出更为 精确的截止点。由该表可知分位点，即在其右边( 或左边) 为给定概率c 的点a ： 一1 5 圭垦奎些奎堂堡圭堂堡婆塞篓三童星垡璺堕重垂墼垫堡丝些垫堇! c ；p r o b ( x 兰q ) ：2 ”f ( x ) d x ( 2 16 ) 对给定的置信水平c 查找标准差的数值，选择第一行中的一个数。例如，目标可能是 查找单尾置信水平为9 5 的风险价值。该表显示，这相当于低于均值的离差为1 6 4 5 。 表2 - 2 正态分布较小的分位数 百分位 9 9 9 99 9 99 99 7 7 29 7 59 59 08 4 1 35 0 数 数值一3 1 7 5- 3 0 9 02 3 2 6- 2 0 0 0一1 9 6 01 6 4 51 2 8 21 0 0 00 0 0 0 2 2 4 风险与资产收益 风险可以用可能结果的离差来衡量。分布较平缓意味着风险较大，而分布较陡峭意味 着风险较小。 在度量市场风险时，随机变量取金融资产的收益率。证券可能的回报区间也可用概率 分布函数来描述。 例如，将度量的时段定义为一个月。收益的度量从上月末至当月末，分别用下标t - 1 和 t 表示。算术或离散的收益率定义为资本收益加上所有的股息或债息等金融资产本身的收益： h = ( p i + d 广p i 1 ) p i 这个定义隐含着任何收入只有在月末才用于再投资。 为了考察长期收益，需要在此讨论用价格比的对数定义的几何收益率 r = i n ( p t + d 卵“1 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 为简单起见，可假定收入d 。为0 。可把p 看作是将所有股息都用于再投资的互助基金的价 值。这样，几何收益不会再出现平衡，而算术均值相当于固定投资的情况，即收益提出来而 损失加进去。 - 1 6 - 窒垦奎些垄堂堡圭耋垡婆塞篁三重茎些垦堕重矍墼墼堡垒堇垫堡： 用几何收益有两点好处。首先，它比算术收益更具有经济意义。如果几何收益是正态分 布，就永远不会出现价格是负的情况。这是因为当p t p i _ l 一0 或p t 一0 时，将会导致分布的左 尾，相反，当( p t p t _ 1 ) 一1 1 或p 。 o ) ： 舻( ir l u ) o( 3 2 0 ) 这等同于设： c _ w 乙f ( w ) d 硝。”。f ( r ) d r = - l “m ( 8 ) d ( 3 2 1 ) 这样，求风险价值的问题就转化为求偏离a ，使其左边面积等于l - c 。这就可能使用累积标准正 态分布函数表，表中数值表示为d 的标准正态变量左边的区域面积： n ( d ) _ j 西( ) d ( 3 2 2 ) 这一函数在不莱克斯科尔斯期权定价模型中也起着重要作用。 图3 7 表示出累积密度函数n ( d ) ，此函数由0 ( d = 一) 向l ( d = + ) 单调递增，在d = o 时通过 - 3 0 皇垦壅些奎堂堡；堂篁塞： 篁三童翌星璺堕丝笪墼型墼壅! 垂一 要找到标准正态变量的风险价值，需在纵轴上选取的期望的置信水平，例如5 的置信水平。 这一水平对应着值为1 6 5 ( 零的左方) ，然后将代入等式( 3 2 0 ) ，得到最低回报率： r = f r o + i x ( 3 2 3 ) 为了更具一般性，现在假设u 和。以年为基础。时间间隔为a t ( 单位是年) 。代入( 3t 6 ) 式，得到的风险价值的均值形式为： v a r = - w o ( r i 1 ) w o n o 蔚 ( 3 2 4 ) 上式可解释为：风险价值只是一定分布下的标准方差与一个与置信水平直接有关的调整因素的乘 积。当风险价值被定义为绝对损失时，公式为： v a r ( o ) = w o r = w o ( o 赢i j _ a t ) ( 3 2 5 ) 这一方法适用于正态分布及其他累积概率函数，只要。中包含了所有的不确定性因素。其他分布 限定了不同的a 值，正态分布由于代表了许多经验的分布而最易处理。这一方法尤其适用于样本 容量大，多样化程度高的投资组合，但不适用于期权所占比重大的投资组合即只有较少金融风险 的投资绍合。 3 6 简化协方差矩阵及其在股票市场中应用 用德尔塔正态方法计算投资组合的风险价值时，资产的相互关系是投资组合背后关键的推动 力。然而，当资产数量十分巨大的情况下，协方差矩阵的度量变的很困难。当有1 0 种资产时， 需要估算1 0 乘以1 1 2 等于5 5 个不同的方差和协方差。当有1 0 0 种资产时，这个数字为5 5 0 0 个。 方差和协方差的数量随着资产数量的增长而呈几何级数增长。对于资产种类庞大的组合来说，这 意味着两个实实在在的困难： 投资组合的风险价值可能不是正的； 对资产之间的相互关系的估算不精确。 这一部分检测以上问题对风险价值测度的影响程度。并提出解决措施。 3 6 1 零风险价值测度方法 风险价值测度是有投资组合方差推导而来的。该计算公式为： 唧2 = w w( 32 6 ) 这里就有个问题，即这个公式总是正的吗? 事实并非如此。要使上式成立，需要矩阵一定 为正定。在以下两个条件下这种需求才成立：历史观察值t 的数量一定要大于资产数量n ，并且 圭垦丝些奎堂堡圭茎堡垒塞： = ：垒三茎：墼垦垦墼篁堡塑至塑壅婆 这些数据不能线性相关。第一个条件说明，如果投资组合由1 0 0 种资产组成，则必须有1 0 0 个历 史观察值，以保证无论选择了哪种组合，该组合方差都为正值。第二个条件排除了某一资产恰好 是其它资产的线性组合的情况。 一个非正定的矩阵例子是两种资产是完全相同的情况( p = 1 ) 。此时，一个由l 元的第一种资 产和1 元的第二种资产构成的投资组合的风险为零。 在实践中，这种情况在大量高度相关的资产中很可能发生( 如零息债券或固定货币) 。不仅如 此，要达到零风险还要对各个资产的份额精确匹配。如果各种资产的权重是按照协方差矩阵本身