（岩土工程专业论文）无网格galerkin方法的改进及其在岩体断裂中的应用.pdf

无网格g a l e r k i n 方法的改进及其在岩体断裂中的应用 摘要 岩体是经过漫长的时间而形成的，是经历过变形、遭受过破坏的复杂地质体。岩 体在形成过程中会在内部产生大量的节理和裂隙，这些节理和裂隙对岩体的性质有着 极大的影响，在外载荷的作用下还会发生扩展，从而导致岩体的力学性质发生改变， 甚至会引起岩体的破坏以及结构的失稳。岩体的非连续性与非均匀性越来越受到工程 界与学术界的重视，因此研究岩体中裂纹的扩展规律具有非常重要的理论与实际意 义。 为了模拟岩体结构的实际破坏过程，针对非连续尖端的局部化现象，本文在 单位分解法的理论基础上引用了裂隙尖端局部函数来扩展无网格方法中的试函数，提 出扩展的无网格方法。应用该方法可较好地求解裂隙岩体连续和非连续及其所带来的 局部化问题。本文讨论了该法在模拟裂纹扩展中的应用。 在无网格的改进方面，本文提出了一种改进的移动最小二乘近似。该法中，引入 比现有的最小二乘法近似( m l s ) 具有更高的计算效率和精度的改进型最小二乘法近似 ( i m l s ) ，该近似不会导致系统方程产生病态。i m l s 近似与无网格伽辽金法相结合构 成了一种改进的无网格伽辽金法，数值算例表明该方法是一种具有收敛快、精度高、 简便有效的通用方法，在工程中具有广阔的应用前景。 由于无网格g m e r e n 法采用m l s m 进行场变量的近似表达，因此场量的拟合不 具有插值的性质，这也使得边界条件的处理较为麻烦，此外，目前的无网格g a l e r l ( i n 法计算量较大。为了解决这些问题，本文提出一种改进型无网格g a l e r m n 法与有限元 ( i e f g f e ) 耦合的方法。并将该耦合的方法应用到裂纹问题中。 关键词：无网格法改进型无网格法耦合单位分解裂纹岩体 a p p l i c a t i o no ft h ei m p r o v e de l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o di n f r a c t u r ea n a l y s i so fr o c km a s s a b t r a c t a sat y p eo fg e o m a t e r i a l sn a t u r a l l yf o r m e d ，r o c km a s si su s u a l l yc o m p o s e do f m a n yn a t u r a lj o i n t sa n dc r a c k so ro t h e rt y p e so fi n t a c t d i s c o n t i n u i t i e sd u et o l o n g - t e r md e f o r m a t i o n a n dd a m a g e w h e nl o a d e d ，c r a c k sw i l lb ei n i t i a t e da n d e x p a n di nt h er o c km a s sa n dt h et h e nm e c h a n i c a lp r o p e r t i e so fr o c km a s sw i l l c h a n g e t h e a c t u a l d e f o m a t i o n a n df a i l u r e p r o c e s s o fg e o m a t e r i a l sa n d g e o - s t r u c h u e si s ac o m p l e xp r o g r e s s i v ee v o l u t i o ni n v o l v i n g i n i t i a l l y e l a s t i c d e f o r m a t i o n ，c r a c kp r o p a g a t i o n ，l a r g e - s c a l ed i s p l a c e m e n ta n de v e nm o v e m e n to fa d i s c r e t e s y s t e m t h es t u d y o nt h ec r a c ke x p a n s i o ni sv e r yi m p o r t a n tf o rt h e e v a l u a t i o no fd a m a g ea n ds t a b i l i t yo f r o c km a s s e s i no r d e rt os i m u l a t et h er e a lf a i l u r ep r o c e s so f r o c km a s s ，f o rt h el o c a lp r o b l e m s a tt h et i po ft h ed i s c o n t i n u i t y ，t h ee x t e n d e dn u m e r i c a le f gm e t h o di sp r e s e n t e d b a s e do nt h ep a r t i t i o no fu n i t ym e t h o d t h el o c a lt r i a lf u n c t i o n sa tt h et i po ft h e d i s c o n t i n u i t ya r ee n r i c h e dw i t ht h ea n a l y s i ss o l u t i o na tt h et i p s ot h em e t h o di nt h e p a p e rc a ns o l v e dt h ep r o b l e m so ft h ef r a c t u r e dr o c k m a s sa n dt h el o c a l i z a t i o nw i t h c o n t i n u i t ya n dd i s c o n t i n u i t y a tt h es a m et i m e ，t h em e t h o dc a ne n h a n c et h ep r e c i s i o n o ft h en u m e r i c a lr e s u l tt od i s c o n t i n u o u sa n di t st i p w i t ht h i sm e t h o dc r a c k e x p a n s i o no fr o c km a s si sa n a l y z e d t h i s p a p e rp r e s e n t s a n i m p r o v e dm o v i n gl e a s t s q u a r e s ( i m l s ) t h e i m l s a p p r o x i m a t i o nh a sg r e a t e rc o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c ya n dp r e c i s i o nt h a nt h ee x i s t i n g m o v i n gl e a s t s q u a r e sa p p r o x i m a t i o n ，a n dd o e sn o tl e a dt oa ni l l - c o n d i t i o n e ds y s t e m o fe q u a t i o n s b yc o m b i n i n gt h ee l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o da n dt h ei m l s a p p r o x i m a t i o n ，a ni m p r o v e d e l e m e n t - f l e eg a l e r k i nm e t h o di sd e r i v e d t h e e x a m p l e sr e v e a lt h em e t h o dh a st h ea d v a n t a g e so fe x c e l l e n tc o n v e r g e n c er a t e ，h i g h a c c u r a c ya n de f f i c i e n c y i ti sv e r yp r o m i s i n gi ne n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n o n eo ft h em a j o rd i f f i c u l t i e si nt h ei m p l e m e n t a t i o no fe l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o di s t h en o n i n t e r p o l a t o r yc h a r a c t e ro ft h ea p p r o x i m a t i o n a sac o n s e q u e n c e ，t h ei m p o s i t i o no f b o u n d a r yc o n d i t i o n si sq u i t ea w k w a t s oac o u p l e di m p r o v e de l e m e n t f l e eg a l e r k i n - f i n i t e e l e m e n tm e t h o di ss u g g e s t e d w i t ht h ec o u p l e ds u g g e s t e db e f o r ec r a c kp r o m b l e ma n dt h e c r a c kp r o p a g a t i o na r ec a l c u l a t e d k e yw o r d ：e l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o d ( e f g ) ；i m p r o v e de l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d ( i e f g ) ： c o u p l e d ；p a r t i t i o no fu n i t y ；c r a c k ；r o c km a s s 表格清单 表3 一l 不同基函数下不同回路的j 积分3 4 表3 - 2 不同基函数和不同回路下应力强度因子k l 的计算结果3 5 插图清单 图2 1 二维问题中常用的影响域8 图2 2m l s 形函数及其一阶偏导数1 0 图2 3 衍射规则的权函数1 2 图2 _ 4 衍射规则权函数自变量的计算1 2 图2 5 伽辽金法中的计算背景网格1 4 图2 6 有限元法与无网格法耦合。1 5 图3 11 4 中心含孔矩形板及其边界条件2 2 图3 2 节点布置方案2 2 图3 3 在x = 0 处仃，的应力图2 3 图3 - 4i e f g f e 耦合方法离散模型2 3 图3 5 裂纹类型2 4 图3 - 6i 型裂纹及载荷示意图2 5 图3 7i i 型裂纹即载荷示意图2 6 图3 8t i t 型裂纹及载荷示意图2 7 图3 - 9 含裂纹物体示意图2 9 图3 1 0 节点增强示意图( 加圈圈的节点为增强节点) 3 0 图3 1 1 裂尖积分围线3 3 图3 1 2 单边裂纹有限板3 4 图3 1 3 网格的划分及节点的布置3 4 图3 1 4 位移变形图3 5 图3 - 1 5 单边斜裂纹受拉矩形板一3 6 图3 1 6 网格划分及节点布置图3 6 图3 1 7 修正系数e = k 。( 盯口万) 图3 6 图3 18 修正系数r = k 丌p 口万) 3 6 图3 1 9 含中心斜裂纹方板3 7 图3 2 0 网格的划分及节点的布置3 7 图3 2 1 不同倾斜角d 所对应的标准化应力强度因子3 7 图3 2 2a b c d 区域内的应力盯。云图 3 8 图3 2 3a b c d 区域的位移变形图( 放大5 0 倍) 3 8 图4 1 裂纹试件4 3 图4 2 裂纹的当量强度因子k 。4 3 图4 3 不同时步裂纹扩展计算结果( 无围压) 4 4 图4 4 两条节理边坡计算模型( a ) 节理边坡( b ) 节点分布4 5 图4 5 边坡裂纹扩展结果4 5 图4 - 6 不同裂尖端应力强度因子变化曲线( a ) a 点、( b ) b 点4 6 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得金胆王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：磊丈l 毖卜签字日期：2 唧年夸月乃日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金月曼王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金目垦王些太 堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：教姐趣 签字日期：) 7 年 月j 弓日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师躲辚鲥 婵醐：叩帅佣 电话：哪盼l “r 邮编： 致谢 值此论文完成之际，谨向我的导师钱德玲教授表示最诚挚的感谢。 本人在硕士研究生学习、撰写学位论文的过程中，自始至终得到了我的导师钱 德玲教授的悉心指导，无论从课程学习、论文选题，还是到收集资料、论文成 稿，都倾注了导师大量的心血。导师渊博的学识、严谨的治学态度、精益求精 的敬业精神、诲人不倦的育人情怀，必将使我终身受益，并激励我勇往直前。 作者再次表示深深的谢意。 在几年的研究生学习生活中，从众位师兄弟那里获益良多，特别是我的同 学张文炎，刘华，涂芬芬，师兄许小健，刘振杰，诸位师弟，好友牛晓玉、边 燕飞等给了我很多帮助，在此向他们致以诚挚的谢意，感谢他们的鼓励和支持。 感谢父母的养育之恩，他们艰苦耐劳的精神、无私善良的品德、塌实敬业 的为人，是我一生前进的动力。 谨在此对所有帮助过我的人致以诚挚的谢意! 作者：程媛嫒 2 0 0 9 年3 月 第一章绪论 近年来，岩体断裂和损伤力学的研究越来越受到广大岩土力学工作者的关 注，并取得了大量的成果。岩体损伤力学和断裂力学对节理岩体从微裂纹萌生、 扩展、演化到宏观裂纹的形成、断裂、破坏全过程进行研究，旨在更真实地分 析裂隙岩体的稳定性。目前，解决岩土力学问题的方法主要有实验方法、理论 分析方法和数值模拟方法三大类。这三大类方法相辅相成，互为补充。其中数 值模拟是解决岩土工程问题的有效手段，己被学术界和工程界广泛接受作为一 种力学状态的分析工具，它越来越多地被应用于岩土体稳定性、岩土工程设计 和岩土工程基本问题分析中。岩土工程方面的许多专家对岩土力学数值分析方 法与最新进展进行了系统的综述【l 巧】。岩土力学的数值方法主要包括有限差分法 ( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ) 、有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 、边界元法 ( b o u n d a r y e l e m e n t m e t h o d ) 、无单元法( e l e m e n tf r e em e t h o d ) 等数值方法，其中 以有限元法应用最为广泛。有限元在连续性分析方面取得了很大的成功，但同 时也遇到了一些本身难以克服的困难。例如，不连续界面处理上的困难，对任 意大变形受制于单元形状的限制等等。为了解决这些难题，新的数值方法应运 而生，其中最有影响力是数值流形方法和无网格法；这两种方法有着传统方法 不可替代的突出优点，并已得到了学术界的初步认可和广泛关注。数值流形方 法解决了材料连续和非连续的数学统一表述问题，使得连续变形分析与非连续 变形分析的统一成为可能。无网格法实现了无网格插值，极大地简化了前处理 工作与裂纹扩展等问题的计算分析。近年来，无网格法得到了迅速发展，受到 了国际计算力学界的高度重视。 1 1 无网格法发展概述 无网格方法( m e s h l e s sm e t h o d ) 产生于2 0 世纪8 0 年代。在这2 0 多年中，各种形式 的无网格方法如雨后春笋般涌现出来，至今已出现l o 多种形式，它们是：( 1 ) 光滑质 点流体动力学法【6 吲( s m o o t hp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ，s p i - i ) ；( 2 ) 无网格伽辽金法【9 。1 1 l ( t h e e l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o d ，e f g m ) ；( 3 ) 局部p e t r o v g a l e r k i n 方法【i 列( m e s h l e s sl o c a l p e t r o v - g a l e r k i nm e t h o d ，m l p g m ) ；( 4 ) 局部边界积分方程无网格法【1 3 1 ( m e s h l e s sl o c a l b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d ，m l b i e m ) ；( 5 ) 小波伽辽金法1 1 4 1 ( w a v e l e t - g a l e r k i n m e t h o d ，w g m ) ：( 6 ) 小波质点法( w a v e l e tp a r t i c l em e t h o d ，w p m ) ；( 7 ) 再生核质点法【1 q ( r e p r o d u c i n gk e n r e lp a t i c l em e t h o d ，r k p l v 0 ) ( 8 ) 多尺度再生核质点法b s l ( m u l t i s c a l e r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d ，m s r k p m ) ；( 9 ) h p 云团法w ( h p c l o u d sm e t h o d ， h p c m ) ；( 1 0 ) h p 无网格云团法b s l ( h p m e s h l e s sc l o u d sm e t h o d ，h p m c m ) ；( 1 1 ) 单位分 解法【1 9 ( p a r t i t i o no f u n i t ym e t h o d ，p u m ) ；( 1 2 ) 有限点法【2 0 ( f i n i t ep o i n tm e t h o d ，f p m ) ：( 1 3 ) 自然单元法【2 1 ) ( n a t u r a le l e m e n tm e t h o d , n e m ) ；( 1 4 ) 有限覆盖无单元法f 2 2 】( f i n i t e c o v e r e l e m e n t - f r e em e t h o d ，f c e f m ) 。 自从1 7 9 7 年l u c y 等首次提出了基于拉格朗日公式的光滑质点流体动力法 ( s p h ) 以来，至今已有不下二十种具有各种不同名称的无网格方法。它们之间的 主要区别在于所使用的近似函数( 如移动最小二乘、再生核近似、单位分解、径 向基函数、点插值等) 和微分方程的等效形式( 如g a l e r k i n 方法、配点法、p e t r o v g a l e r k i n 等) 不同。建立近似函数时不借助网格，是无网格法和有限元的主要区 别。无网格方法的共同特点是：摆脱单元的束缚，采用节点信息及具有局部支撑 域的权函数实行局部精确逼近：然后通过配点法或g l a e r k n i 法对偏微分方程进 行求解。无网格法中形函数的构造一般有三种途径：移动最小二乘逼近，再生 核方法：单位分解法；其中再生核近似和移动最小二乘逼近均构成了单位分解。 无网格方法之所以自产生以来会出现各种各样的不同方法，与其本质思想是密切 相关的。所有这些方法的共同点是：摆脱了单元的束缚，采用节点信息及其局部影响 域上的权函数实行局部精确逼近，然后通过配点法或伽辽金法对偏微分方程进行求 解。然而，局部逼近方式和偏微分方程求解途径都存在多种实现方式，两者之间的交 叉组合便会产生不同形式的无网格方法。按无网格方法积分求解方式的不同，可将无 网格方法分为两大类。一类是目前比较流行的无网格伽辽金法类( 如d e m ，e f g m ， m l p g m ，r k p m ，m l s r k m ，p u m 等) ，它从微分方程的弱变分原理出发以导出求 解问题的代数方程。这类方法的特点是求解精度较高，但计算量大，需要“背景网 格”( b a c k g r o u n dc e l l ) 作为数值积分的积分域。另一类( 如s p h ，h p c m ，f p m ) 是基于 配点型的无网格方法，该类方法直接在离散点上满足微分方程或边界条件以建立求解 问题的代数方程。 无网格方法主要依靠形函数逼近来实现，形函数揭示了各种方法的逼近本质。按 形函数逼近方式不同可将无网格方法分为三类：积分核近似估计类，这类有s p h ， r k p m ，m l s r k m 等；移动最小二乘逼近类，这类有d e m ，e f g m ，r k p m ，m q m ， f p m ，h p c m ，h p m c m ，p u m 等；单位分解类，这类有h p c m ，p u m 等。这种分 类方法不仅清楚地区分了上述方法的逼近属性，而且找到了它们之间的内在的联系， 如最小二乘逼近( m l s ) 可以组成单位分解函数，m l s 的权函数与积分核函数可以一致 起来，这样的内在联系将会使各种方法相互结合，形成广阔的发展空间【2 3 】。 在国外，19 7 5 年p e r r o n e ，k a o 例等人最早采用任意网格( a r b i t r a r ym e s h e s ) 技术将传 统有限差分法进行扩展，并提出了广义有限差分法，这可以看作是无网格技术的最初 萌芽。l a n c a s t e r , s a l k a u s k a s 2 5 j 等人在研究曲面插值时，通过引入移动最小二乘插值 ( m o v i n gl e a s ts q u a r ea p p r o x i m a t i o n s ) 思想将标准最小二乘插值进行推广，提出了移动最 小二乘方法( m o v i n gl e a s ts q u a r em e t h o d ，m l s m ) 。n a y r o l e s l 2 6 j 等将移动最小二乘方法运 用于边值问题的求解，提出了散射单元法( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ，d e m ) 。在该方法中， 节点虽可以像有限元法一样进行布置，但其采用了最小二乘法来局部拟合试函数而不 是基于单元的形函数插值获得。 2 d e m 方法由于忽略掉了插值函数( 在无网格方法中，经常将形状函数或者拟合函 数称为插值函数，但由于形状函数并不通过数值点，所以形状函数并不是真正的插值 函数) 导数表达式中的一些项，其计算精度大受影响。1 9 9 4 年b e l y t s c h k o l 9 1 在l a n c a s t e r 和s a l k a u s h a s 等人的基础上导出了被d e m 方法忽略掉的插值函数导数表达式中的这 些项，提出了无网格伽辽金方法( e f g m ) 。这种方法采用基于m l s 方法的伽辽金方程 进行求解，取得了很好的效果。b e l y t s c h k o 和其合作者对此作了许多研究并解决了一 系列问题t 1 0 , 1 1 j 。 美国学者l i u 等1 1 6 基于再生核( r e p r o d u c i n g k e n r e l ) 思想提出了再生核质点法 ( r k p m ) 。该方法采用窗1 2 1 函数和傅立叶变换建立了新的插值函数，由于窗口函数可 以平移、缩放，从而以另一种形式达到了无需单元以及网格细化的目的。接着他利用 小波分析的伸缩尺度平移、多分辨率等特点，提出了多尺度再生核质点法( m s k k p m ) 和小波质点法( w p m ) ，并实现了该方法的自适应分析。这种方法引入了柔性可调窗 口函数进行积分变换，适合对局部进行细致的数值分析。 1 9 9 5 年美国t e x a s 大学的著名学者o d e n 和他的学生d u a r t e 1 7 】提出了基于 云团概念的h p c l o u d s 无网格方法( h p c m ) ，该方法利用最小二乘原理建立单位 分解函数以进行场量的近似表达，再通过伽辽金变分，建立求解的刚度方程。 波兰学者l i s z k a 等【ls 】提出了h p 无网格云团法( h p m c m ) ，同h p c m 不同， h p m c m 采用配点法建立求解的刚度方程，无需背景网格作为积分域，是一种 纯无网格方法。 1 9 9 5 年美国计算力学学者b a b u s k a 和他的学生m e l e n k 1 9 】提出了单位分解 法( p u m ) 。其基本思想是先分片进行局部精确近似，再将各片“粘合”从而形成 对全域的全局近似。 1 9 9 6 年西班牙数值分析中心的o n a t e 和i d e l s o h n 等【2 0 】提出了有限点法 ( f p m ) ，该法采用基于高斯型权函数带权正交最小二乘插值函数，应用配点法， 将偏微分方程离散成非积分的形式，再结合广义有限差分法，成功解决了扩散 对流问题。 a r l u r i 及z h u l e t l 2 j 在局部边界积分方程( l i b e ) 的基础上，采用微分方程的局 部对称弱形式( 1 0 c a ls y m m e t r i cw e a kf o r m ，l s w f ) ，运用移动最小二乘法构造局 部子域上的试函数和权函数，并采用权函数的影响域作为局部积分域，就可以 将在全求解域上的g a l e r k i n 方程简化为在各子域上的局部g a l e r k i n 方程进行求 解，从而导出了不用网格的一种新无网格方法一无网格局部伽辽余法( m l p g m ) 。 这一方法可看作是一种特殊形式的子域法。该法与e f g m 的主要区别在于采用 了局部对称积分形式，使得数值积分在子域上完成，而后者在全域上进行数值 积分。只要选取与节点数相同的子域数，就可以得到与未知量个数相等的代数 方程，但导出的总体方程系数为非对称矩阵，当然非对称系数矩阵需要较多的 计算内存和时间，但无网格局部伽辽金方法具有灵活、容易实施数值计算、精 度高、特别在工程应用中容易实现智能化的自适应算法等优点。 近年来，许多国家的专家学者对无网格方法产生了浓厚的兴趣，投入了很 大的精力并取得了许多成就。1 9 9 9 年k r y s l ，b e l y t s c h k 等t 2 7 , 2 8 ) 分别对无网格 g a l e r k i n 法的体积闭锁现象和用无网格g a l e r k i n 法分析任意三维裂纹的动态扩 展进行了研究。2 0 0 1 年，新加坡国立大学的g u 和l i u 等人发展了无网格g a l e r k i n 法和边界元的耦合方法来分析二维固体的应力状态等，并取得了很好的效果。 l i u 等人结合其研究成果编写了无网格计算软件m f r e e 2 d 1 2 ，可以分析解决一 些工程问题。 国内对无网格方法的研究始于2 0 世纪9 0 年代。1 9 9 5 年，清华大学的周维 垣教授对无网格方法的基本理论进行了比较全面的阐述，并首次将无网格方法 应用于岩土工程力学问题中。 清华大学工程力学系的陆明万和张雄等于1 9 9 6 年开始研究无网格方法，受 国家自然科学基金资助，取得了许多研究成果：( 1 ) 以紧支函数作为试函数，以 加权残量法为离散方法，建立了紧支试函数加权残量法及最小二乘配点型无网 格方法，并在此基础上建立了加权最小二乘无网格方法。这些无网格方法吸收 了g a l e r k i n 法和配点法各自的优点，显著的提高了精度和效率【2 9 , 3 0 】；( 2 ) 建立了 基于子域法的无网格方法，控制方程的残差在每个子域内予以消除，避免了目 前广泛采用的基于g a l e r k i n 无网格法借助背景网格积分的做法，是一种真正的 无网格方法1 3 1 1 ；( 3 ) 将其建立的无网格法成功地应用于求解弹塑性问题、波动传 播问题、对流一扩散方程等问题中，充分显示了无网格法在求解某些特殊问题 中的优势。 刘欣、朱德懋 3 2 , 3 3 】对无网格方法进行了较为深入的研究，提出了一种确定 覆盖大小( 即节点影响域半径大小) 的四象限法则，并对边界奇异性半解析无网 格方法进行了初步探讨，提出了基于流行覆盖思想的无网格方法。 庞作会、葛修润 3 4 - 3 6 】等学者对无网格伽辽金方法进行了引入、改进和推广 研究，并将该法用于边坡开挖问题，所得的结果与f e m 计算结果十分接近。 湖南大学的龙述尧【37 】受国家自然科学基金资助对无网格局部边界积分方程 方法进行了研究，提出了弹性力学平面问题的局部p e t r o v g a l e r k i n 方法。该方 法可以推广到求解非线性问题及非均匀介质的力学问题，在工程中具有广阔的 应用前景。 陈建、吴林芝等【3 8 】采用无网格方法计算了含边沿裂纹功能梯度材料板的应 力强度因子。 李卧东、王元汉及方电新【3 9 。4 l 】等采用罚函数法满足无网格法的位移边界条 件，给出了罚因子的选择方案，并用无网格g a l e r k i n 方法模拟了岩体介质中裂 纹面实际的应力状态及计算平板弯曲问题。 清华大学的张见明、姚振汉【4 2 】提出了一种新型边值问题求解方法一杂交节 4 点法，该法将用于杂交边界元法的修正变分原理与移动最小二乘方法相结合， 不但具有边界元降维的优点，而且亦属于一种“真正的无网格方法”，该法既不 需要插值网格，也不需要积分网格，输入数据只是求解域边界上的离散点，域 内未知量的计算也不需要像边界元法中那样，再一次沿边界积分。数值实例表 明该法计算精度高、收敛性好，可以基于三维弹性理论求解宽厚比达到微米级 甚至纳米级的薄型结构问题。 周瑞忠、周小平等【4 3 】研究了无网格方法的权函数问题，提出了求解权函数 影响域半径的自适应方法，计算表明采用自适应影响半径的权函数对求解应力 集中或断裂力学问题具有较大的优越性。 中国科技大学的何沛祥、李子然等【4 4 】提出了采用无网格g a l e r k i n 法与有限 元方法相耦合的方法来计算功能梯度材料中含裂结构的j 积分，这种方法不仅 解决了无网格g a l e r k i n 力学边界条件施加的难点，而且还克服了无网格g a l e r k i n 耗时多的缺点。 袁振、李子然等【4 5 l 学者提出了用无网格g a l e r k i n 法模拟构件在i i i 复合型 裂纹下的疲劳裂纹扩展路径并预估其疲劳寿命的方法，该法能够自然模拟疲劳 裂纹的扩展，不需要网格重构，避免了裂纹扩展过程中计算精度的受损。 1 2 无网格方法研究现状 1 2 1 无网格方法的优势 传统的有限元法在处理加工成型、大变形、任意复杂路径裂纹扩展等问题 时面临了巨大的挑战和困难，而无网格法在上述问题中显示了强大的处理能力 和优势【1 7 , 9 5 - 9 7 】。无网格方法由于只需要节点位置信息、结点之问不必连接成单 元，因此与基于网格的传统有限元法相比具有以下优点： ( 1 ) 由于只需要离散节点的位置信息和边界信息，节点之间不必连接成单 元，因而前处理简单； ( 2 ) 无网格法的近似函数没有网格依赖性，抗畸变能力强，适用于处理诸如 裂纹扩展、大变形和需要动态调整节点位置的问题求解，具有有限元法不可比 拟的优势； ( 3 ) 无网格法的基函数可以包含能够反映待求边值问题特性的增强函数系 列，适用于分析具有高梯度、奇异性等特殊性质的问题； ( 4 ) 由于节点可以根据需要引入、移动或抛弃，因此无网格法的自适应性很 强，与有限元相比更适合进行自适应分析；在h 自适应下不需要重新划分网格， 且极易实现p 自适应分析，若引进小波函数还具有多尺度分析功能； ( 5 ) 由于近似场函数具有高阶连续性，无网格法的计算结果通常是光滑连续 的，因此一般无需应力修匀等后处理。 5 1 2 2 无网格方法存在的问题 ( 1 ) 虽然无网格法在处理裂纹扩展、大变形等问题中显示出了极大的优势， 但是现有无网格方法主要存在以下问题：数值求解精度依赖于节点影响域的 大小，而节点影响域的选取目前尚无定论。影响半径的作用在于使影响域内包 含“足够多同时又尽可能少”的节点。“足够多”在于要有足够的采样点来满足场 函数的连续性要求并确定近似解中的待定系数：尽可能少”在于要保证和突出邻 近节点间的函数关系免受其它节点的过多影响，从而使近似解更好地逼近真实 解。显然，合理、准确地确定影响半径的大小比较困难，尤其是在节点分布不 均匀时，或者是由于在结构突变处或有应力集中的地方有目的的加密节点时更 是如此。周瑞忠、周小平【4 6 1 等研究了无网格法的权函数问题，首次提出在权函 数中采用自适应影响半径，以适应节点分布的随机性，实例表明使用自适应影 响半径的权函数对求解应力集中或断裂力学问题具有较大的优越性。 ( 2 ) 强制边界条件的精确施加需要特殊处理。无网格方法所共同面临的一个 问题是因无网格形函数一般不满足k r o n e c k e r d e l t a 函数的性质从而带来的强制 边界条件施加的困难。为了准确施加强制边界条件先后发展了拉氏乘子法、修 正变分原理方法【4 7 1 、罚方法【4 8 1 、变换方法【4 9 1 、基于达朗贝尔原理方法【5 0 1 、奇 异权函数方法【5 、混合变换方法【5 2 1 、边界奇异核方法【5 3 1 以及与f e m 耦合法【5 4 】 等这些方法的使用使得计算过程变得复杂且增加了计算量。 ( 3 ) 形函数及其导数的计算耗费很大。目前发展的较为成熟的e f g m 和 r k p m 等方法，在形函数及其导数的计算中通常涉及到矩阵及其求逆运算。无 网格形函数及其导数一般是没有显示表达式的分式函数，计算量远较有限元形 函数的计算量大。 ( 4 ) 对弱形式的全域积分一般需采用高阶高斯积分。无网格形函数及其导数 一般是没有显示表达式的分式函数，因而其近似函数一般不是多形式形式；而 且由于背景积分网格一般与形函数的局部支撑域不一致，从而导致了相当的积 分误差，因此一般建议在积分子域内采用高阶高斯积分以确保积分精度这无疑 大大增加了计算量。因此无网格法的计算量一般远大于有限元，如何提高无网 格法的计算效率也是近年来的研究热点。 ( 5 ) 形函数的高阶连续性使得在引入场变量及其导数的不连续性时困难。无 网格计算得到的位移一般是高阶连续的，因而其应变或应力也是光滑连续的， 因此一般不需要应力磨平等后处理。但同时也使得在引入场变量及其导数的不 连续时需要进行特殊的处理。 总体来说，无网格法才刚刚起步，在严格的数学论证、计算效率、边界条 件的处理和大量应用实例等方面还不能和成熟的有限元方法相媲美，更未形成 有效的通用软件。无网格方法虽然无需网格剖分等前处理，但其计算量太大； 研究表明，若将有限元的前后处理、计算开销全算在内，与无网格法作对比计 6 算，结果表明无网格法确实比有限元方法快，但并不存在数量级上的差别。也 就是说无网格法将在前后处理上节省下来的时间基本上全花在了计算上。在目 前阶段，无网格方法名义上比有限元简单、方便，实际上在目前阶段无法真正 的应用于实际。 1 3 论文的研究目的和主要内容 1 3 1 研究目的 岩体是一种非连续性的材料，其中的节理裂隙对于岩体的物理力学特性有 着极大的影响，因而研究岩体节理裂隙在外载荷作用下的扩展及岩体的性质变 化具有重要意义。此本文运用改进型无网格法对岩体中裂纹的扩展进行分析， 计算裂纹应力强度因子，进行裂纹的扩展判断以及岩石材料的破坏进行分析计 算。 1 3 2 研究内容 围绕上述目标，本文主要进行了以下几个方面的工作： ( 1 ) 介绍了一种改进的移动最小二乘( i m l s ) 近似。i m l s 近似比现有的m l s 近似有更高的计算效率和精度，且不会导致系统方程产生病态。i m l s 近似与 无网格伽辽金法( e f g ) 相结合构成了一种改进型无网格伽辽金法( i e f g ) 。 ( 2 ) 提出一种改进型无网格g a l e r k i n 法与有限元耦合的方法，避免系统方程 产生病态，而且还克服了无网格g a l e r k i n 法耗时较多的缺点。 ( 3 ) 针对裂隙岩体非连续尖端局部化特性，在单位分解法基础上应用裂隙 尖端局部函数来扩展i e f g 试函数，提出了扩展的裂尖增强函数方法； ( 4 ) 通过现有的文献和资料，借鉴以前学者所做的研究，探讨了岩体线弹性断裂机 理。采用基于单元分解的i e f g 法对裂纹尖端奇异应力场进行了数值模拟，并用围线 积分法计算了多种工况的应力强度因子，所得结果与解析解吻合程度较好，充分证明 了该法在求解奇异应力场方面的能力。 ( 5 ) 数值模拟岩体的裂纹扩展，针对岩体中普遍存在的压剪裂纹开裂模式，结合试 件在无围压条件下的算例分析验证程序的合理性和有效性。 ( 6 ) 用f o r t r a n 和m a t l a b 语言完成上述算法的程序编制，并用多个例子验证算法的 正确性和合理性。 7 第二章无网格伽辽金法的基本原理 无网格伽辽金法最早提出是在1 9 9 4 年，b e l y t s c h k o 对d e m 做了必要的改进， 考虑到了形函数导数表达式中被d e m 法忽略的部分项，发展成e f g m 法。e f g m 法具有较高的协调性和稳定性，精度和收敛速度都高于有限元法，而且消除了 体积锁死现象，因此现在已经得到了很大的发展。e f g m 法采用移动最小二乘 法( m o v i n gl e a s ts q u a r em e t h o d ：m l s m ) 构造近似位移函数，从能量泛函的弱变 分形式得到控制方程，通过拉格朗日算子法或者罚函数法满足本征边界条件。 本章对移动最d x - - 乘法，权函数及其参数的选择，积分方案，边界条件的处理 进行了研究。 2 1 移动最小二乘法 无网格伽辽金法的数学基础是移动最b - 乘法，用m l s m 产生连续函数来 逼进场函数，得到高阶的函数连续性和导数连续性。移动最小二乘法( m l s m ) 于 8 0 年代初由p l a n c a s t e r 和k s a l k a u s k a r ，比较系统地提出，用于构造插值函数 来拟合曲线和曲面，特点是不需对域进行划分，只需散点( s c a t t e rp o i n t ) 模型。 1 9 9 4 年，美国西北大学的t d b e l y s c h k o 教授将m l s m 用于计算力学的研究，并 提出了无单元伽辽金方法( e f g m ) ，是一种无网格数值分析方法，这几年在数值 分析领域引起了研究者的兴趣。由于具有高阶的连续性，所以计算精度高，利 于处理裂纹开裂的问题。m l s m 在无网格数值方法中有着很重要的地位所有的 无网格法的一个共同的特点就是所用的权函数具有紧支撑特性，紧支撑子域也 称为影响域。对于任意的一个节点，只与它影响域内的点有关。子域要比剩余