（应用数学专业论文）耦合摆型方程组的单调性与动力学.pdf

耦合摆型方程组的单调性与动力学摘要 耦合摆型方程组的单调性与动力学 摘要 我们应用合作系统的单调性理论证明了耦合摆型方程组在过阻尼条件下具有强单 调性利用单调性和耗散性，我们又证明了系统的p o i n c a r 6 映射p 存在不变曲线， 且p ? 在该不变曲线上的动力学行为同胚于保向圆周映射 当系统是非自治系统时，我们证明了系统( 1 1 ) ( 1 2 ) 的每一个解的平均速度都唯 一存在而且y 关于系统的每一个参数连续，特别地，函数v ( f ) 关于f 单调不减， 这里f 表示平均外力存在r 满足0 f o 时有v ( f ) 0 若p = 叫t = p q 是一个有理数，则存在一个周期为t 的 ( 弘g ) 型的第二类周期解当系统是自治系统时，则或者存在平衡点，或者存在第二类 周期解 关键词：耦合摆型方程组，单调性，平均速度，旋转数 作者：彭志龙 指导老师：秦文新( 教授) 耦合摆型方程组的单调性与动力学 a b s t r a c t m o n o t o n i c i t ya n dd y n a m i c si n c o u p l e dp e n d u l u mt y p ee q u a t i o n s a b s t r a c t w ee s t a b l i s ht h es t r o n gm o n o t o n i c i t yf o rt h ec o u p l e dp e n d u l u mt y p ee q u a t i o n s u n d e rt h eo v e r d a m p e dc o n d i t i o nb yt h em o n o t o n i c i t yt h e o r yo fc o o p e r a t i v es y s t e m s e m p l o y i n gt h em o n o t o n i c i t ya p p r o a c ha n dd i s s i p a t i o np r o p e r t y , w es h o wt h a tu n d e r t h eo v e r d a m p e dc o n d i t i o n ，t h ep o i n c a r 6m a pp 。o ft h es y s t e mh a sa ni n v a r i a n tc u r v e ， o nw h i c hp rb e h a v e sl i k ea no r i e n t a t i o np r e s e r v i n gc i r c l eh o m e o m o r p h i s m f o rn o n - a u t o m o u sc a s e s ，w es h o wt h a tt h ea v e r a g ev e l o c i t yvf o re a c hs o l u t i o no f ( 1 1 ) ( 1 2 ) e x i s t s ，a n dv i su n i q u e m o r e o v e r ，vi sc o n t i n u o u sw i t hr e s p e c tt ot h es y s t e m p a r a m e t e r sa n dy ( f ) i san o n d e c r e a s i n gf u n c t i o no ff ，w h i c hi sa v e r a g eo ft h ee x t e r n a l f o r c e m o r e o v e r ，t h e r ee x i s t sf 0w i t h0 0i ff f 0 i fp = v t = p qi sar a t i o n a ln u m b e r ，t h e nt h e r ee x i s t sa r u n n i n gp e r i o d i cs o l u t i o no fp ，q ) t y p ew i t hp e r i o dt i np a r t i c u l a r ，i fv = o ，t h e r ei sa p e r i o d i cs o l u t i o n f o rt h ea u t o u m o u ss y s t e m s ，t h e r ee x i s te i t h e re q u i l i b r i a ，o rr u n n i n g p e r i o d i cs o l u t i o n s k e y w o r d s ：c o u p l e dp e n d u l u mt y p ee q u a t i o n s ，m o n o t o n i c i t y , a v e r a g ev e l o c i t y , r o t a t i o nn u m b e r w r i t t e nb yz h i - l o n gp e n g s u p e r v i s e db yp r o f w e n x i nq i n i i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人承担本 声明的法律责任。 研究生签名：丝苞筮日 期：矽丫形斗j ( 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 导师签名：日期：乡子牛曙 第一章引言 一般来说，微分方程的单调性是指若某个微分方程的两个解在某个初始时刻存在 某种偏序，则在以后的时间里始终保持这种偏序因此我们也称之为微分方程的保序 性具有这种性质的微分方程的动力学性质相对比较简单 在偏微分方程的理论中，单调性方法在极大值原理的基础上已经很好的建立了起 来，但对于常微分方程，尽管可以上溯到上世纪三十年代m f i l l e r 1 8 】和k a m k e 1 1 等 人的研究，但直到上世纪八十年代h i r s c h 1 9 ，2 0 】在总结了所谓的常微分方程的合作 系统之后，才发展成现在称之为单调动力系统的理论 在本文中，我们主要研究一类称之为摆型方程的常微分方程，很多模型如j o s e p h - s o i l 结，离散的s i n e - g o r d o n 方程，以及f r e n k e l - k o n t o r o v a 模型等都可归结为这种形 式： 卢奶+ f ( x j ) 奶+ 9 ( t ，巧) = k ( x j 一1 + 巧+ l 一2 2 ；j ) ，( 1 1 ) 这里 0 ，k 0 表示耦合强度，( z ) ，g ( t ，z ) 是周期函数，分别满足 f ( x + 1 ) = f ( x ) 和9 ( t ，z ) = g ( t ，z + 1 ) = g ( t + z z ) ，t 0 本文讨论1 1 在周期边界条件 巧+ ( t ) = ( t ) + m( 1 2 ) 下的动力学行为，这里正整数表示振子的个数，m 是一个整数 在我们已知的大多数文献中处理的耦合摆型方程组大多都是当阻尼系数f ( x j ) 为 一个常数的情况【4 ，7 ，9 ，1 0 ，1 2 ，1 7 ，2 3 ，但就是在此情况下，除了用数值模拟和扰 动分析等方法外，也很难给出精确的结果直到最近， k a t r i e l 1 2 1 应用s c h a u d e r 不 动点定理严格证明了行波解的存在性；b a e s e n s 和m a 池y 7 】发现了在过阻尼条件 p 1 4 ( 2 k + 1 ) 下及，( z ) 为常数时若系统( 1 1 ) ( 1 2 ) 的两个解存在某种种偏序，且 在以后的时间内这种偏序能够保持，接着又证明了在此过阻尼条件和系统受常外力驱 动的条件下耦合系统若不存在平衡点，则存在一个第二类周期解吸引相平面内的任一 轨道；h u 等更是利用( 7 】中的单调性方法及定义系统的旋转数研究了在周期外力驱 动下耦合系统的动力学性质 对单个振子，当满足 时，即系统为 ，( z ) = 1 + $ c o sz ，g ( t ，z ) = - i as i n t + s i nz p 岔+ ( 1 + c o s z ) 杰+ s i n x 一，一as i n t = 0( 1 3 ) 1 耦合摆型方程组的单调性与动力学第一章引言 时的个主要研究课题是电流电压关系，即，y 曲线的特征，其中电压y 和偏流与 圣的时间平均成比例在机械模拟中，y 曲线测量摆旋转过最高点的速度。当参数 p 足够小， 0 使得当0 i 0 ，m = m a x # ( t ，z ) ) ， 这里9 m ，z ) 表示g 关于z 求偏导数 定理1 1 对系统门j 门矽，假定p 硒若：而，则有以下结论： 以夕对系统一砂以纠的每一个解平均速度v 都存在，且y 是唯一的，即与初 值条件无关且y 关于系统的参数是连续的 2 耦合摆型方程纽的单调性与动力学 第一章引言 俐若p = y t = p q 是有理数，则存在一个周期为t 的0 ，口) 型的第二类周期 解特别地，若v = 0 ，则存在周期解x j ( t + t ) = 巧( t ) ，t 腿，歹= 1 ，。 例假定g ( t ，x j ) = f + 声 ) + 日( 巧) ，其中日( z + 1 ) = 日( z ) ，譬户 ) 出= 0 则 v ( f ) 关于f 是一个单调不减的函数 心j 当函数f ( x ) 是偶函数，且g 满足对称性条件，即任意t r ，9 ( + t 2 ，一。) = 一9 ( ，z ) ，平均速度v = 0 特别地，若f ( t ) 满足f ( t + t 2 ) = 一f ( ) ，t r 且h ( x ) 是奇函数时，存在f o ( 0 ，勾使得当0 0 这里a = s u pi h ( x ) i 当系统是自治系统，即户( t ) = 0 时，在过阻尼条件下，系统的动力学性质相对简 单：或者存在平衡点，或者存在一个第二类周期解所以我们有以下定理。 定理1 2 假定 昂时有一个唯一的全局稳定的第二类周 期解 本文是这样安排的，在第二章通过一个变换将( 1 1 ) ( 1 2 ) 变成一阶系统，从而找 到系统是强单调的过阻尼条件；第三章证明了在此条件下系统的耗散性，接着在第四 章利用s c h a u d e r 不动点定理证明了在过阻尼条件下p o i n c a r 6 映射的不变曲线的存在 性，并在第五章定义了旋转数和平均速度在第六章我们证明了定理1 1 和定理1 2 第二章的部分结论在附录中给出了证明 3 考虑系统 第二章强单调性 卢奶+ f ( x j ) 圣j + g ( t ，x j ) = k ( z j 一1 + x j + l 一2 吻) ，( 2 1 ) 其中p 0 ，k 0 , f ( x ) 满足( x + 1 ) = ，( z ) 且厂( z ) ，y o g ( t ，z ) 满足g ( t ，z ) = g ( t + zz ) = g ( t ，z + 1 ) ，t 0 周期边界条件为 + = 吻+ m ，m 0 ( 2 2 ) 不失一般性，设片 厂( 。) d x = 1 令p = ( ，y 一2 ) 7 ，冗( z ) = 譬，( s ) d s z ，z r ，则 r ( x + 1 ) = r ( z ) 令 岛= 巧，仍= ( 1 一p ) 冗( 巧) + ( 1 一p ) 他一# x j ， ( 2 3 ) 巧= 白，奶= 而n j + t j y 一万1 r ( 白) ( 2 4 ) o ， p 溉 ( 2 8 ) 耦合摆型方程组的单调性与动力学 第二章强单调性 时，对任意的t r ，有( 2 8 ) 成立，即伤的每一个元素都大于或等于零 ( 2 9 ) 就是 所谓的过阻尼条件( o v e r d a m p e dc o n d i t i o n ) 。即在过阻尼条件下，存在口r 使得矩 阵c ( t ) + 口厶是非负的下面我们证在此条件下，c ( t ) + 0 1 如是不可约的在此要 用到p e r r o n - n o b e n i u s 理论的几个结论 3 0 】： 引理2 1 设矩阵a 为铊阶矩阵，n 2 则以下命题等价： p ，a 为非负不可约矩阵 例a 的所有特征向量不在r 芊的边界上 由此我们可以证明如下引理： 引理2 2 当卢 4 ( 2 l k + m ) 时，存在q r ，对任意的t r ，使得c ( ) + a 1 2 1 v 是 不可约的 证明由引理2 1 可知，非负矩阵c ( 砂+ 口j 不司约等价于矩阵g ( ) + a i 的所 有特征向量都不属于狙，因此我们只需证对任意的t r ，不存在c ( t ) + a 如 的特征向量在孤 o 上即可要不然，假设存在t o j 5 e ，向量皿= ( ，妒) ? = ( 。，妒，妒1 ，妒 r ) t 勰 o ) 是矩阵c ( t o ) + 口尼的特征向量当q 足够 大时显然由矩阵c ( t o ) + q j l 2 是非退化的( 在假设条件下，c ( ) 的每一个元素都有 界) ，所以皿对应的特征值a 0 即有 ( g ：知q 曼hm 卜 仁 岛q + a h 妒 妒 、7 因为皿铘2 ，所以至少存在一个奶或奶等于零不妨设某个如= 0 ，由( 2 1 0 ) 知， ( 及兰历一丢( 厂( 勤- 1 ) + q ) 奶+ 及 【_ 历奶= a 咖= 。， 所以相应的奶= 0 又有( 2 1 0 ) 可知 咖一+ 【一2 k ( 1 一弘) 一( 1 一p ) 9 7 。，白) 一万币兰面+ 砉( ，( 白) 一1 ) j 奶 + 南+ + 【口一及f 三万j 咖= a 如= o ， 当歹= 1 时咖一1 = 如，当歹= 时奶+ 1 = 1 ，即 咖一1 + 咖+ 1 = 0 由于皿孤，所以如o ，奶o ，j = 1 ，n ，所以奶一1 = 咖+ l = 0 依次可得： 奶= 咖= 0 ，歹= 1 ，n 即皿= 0 ，与假设皿勰 o ) 矛盾故假设不成立， 6 耦合摆型方程组的单调性与动力学第二章强单调性 引理的结论成立 现在我们定义r 2 中的偏序我们假定 三= ( 毒1 ，7 7 1 ，刀) t ，巨7 = ( ：，知，7 7 i ，以) t 口 定义2 1 我们定义三皇7 ，如果白苗，叩j 呓，j = 1 ，n 定义三 三7 ，如 果三三，且三三7 i 定义三三7 ，如果白 0 使得若l q 三0 1 1 b ，则l q p t 三o i b 8 耦合摆型方程组的单调性与动力学第三章耗散性 证明；初值三( o ) = 三。的解三( ) 可表示为 巨( t )= e 优三。+ f o o te c ( t - of ( 丁，三( 丁) ) d 丁 由r ( 白) 和夕( ，白) 的周期性和连续性可知存在m 1 ，m 2 0 使得l | e ( t ，三) l i 丢且矗+ m 2 ， 所以存在正常数b 1 ，使得f q f ( t ，三) 1 1 b 1 因此 q s ( t ) i 。i fe 俄q lf q 三。l + 0 2e c ( 一下q ”i q f ( t ，s ( o ) 1 1 d t e 一耐i q 三。l z + 导( 1 一e m ) ，o 。 取b = b 1 口+ 1 ，我们就完成了证明 口 令q = 三l | q 三1 1 b ) 则q 实际上是p t 的正不变区域且是吸引的，即对每一 个点三o ，存在n o 0 ，使得当佗2n o 时有p t e o q 引理3 2 存在常数岛 0 使得对每个三= ( f 1 ，臼，r l ，t i n ) t q ，有 篓1 ( p 白+ 仍) i 岛，j = 1 ， 即 证明；由投射q 的定义知 q 三= ( 1 + p 2 ) q 三= 三一( 三，e o ) e o ， 显! ! 鱼二丝! n ( 1 + p 2 ) 6 一尝1 白+ p 2 6 + p 仍 已一墨l 白+ p 2 已+ p 釜1 仍 ； 知一墨1 白+ 肛2 知+ 卢2 尝。 n r h + p 墨l 白+ p 2 叩1 一p 2 善1 仍 - n u n + e t - - 1 白+ 矿叩一p 2 尝1 仍 9 1 1 ；1 邓； 叫矗已；知m； 耦合摆型方程组的单调性与动力学 第三章耗散性 由于l q 三1 1 b ，所以上式中每一个分量都有界，所以各个分量的和也有界把各分量 相加，得 篙(鹏+仍)i + 舻鲁”v 一口 故存在常数岛，使得 l ( 屿+ 仍) i b 2 ( 3 2 ) i j = 1i 1 0 第四章不变曲线 由第三章的讨论我们知道，存在相空间的子集q 使得，( q ) cq 在本章，我们 将证明在过阻尼条件下p o i n c a r 6 映射p t 有一条不变曲线，在此不变曲线上p t 就是 圆周上的保向同胚本节的证明思路来自 4 】 定义4 1 一个连续曲线三= 三( s ) 称为水平曲线( h c ) 若对所有的8 1 8 2 ，8 1 ，s 2 r ，有量( s 1 ) 0 使得 三( s + 7 - ) = 三( s ) + i ，这里i = ( 1 ，一p 1 ) t 令e = ( 曰1 ，知，瓦，r ) ? ，是个2 nx2 的正交矩阵，其i 行记为h j 特别地，我们选择1 1 12 南( 1 ，1 ，一p ，一p ) 作变换 o = i i = ( 4 1 ) 注意到( 2 5 ) 的向量场是以( 1 ，一p 1 ) t 为周期的所以( 2 5 ) 的向量场在0 一坐标系内是以 丽丁再虿1 为周期的，这里i = ( 1 ，0 ，o ) r 2 记户t = p ，我们有 p ( e + 、历叹r 干i 虿i ) = 户( e ) + 、氮下丽i ( 4 2 ) 如果三( s ) 是一条r h c 且o ( s ) = 三( s ) ，则有 0 1 ( s + 7 _ ) = p 1 ( s ) + 、丙币砑，岛( 5 + 7 - ) = 岛( s ) ， 歹= 2 ， 和易( s + 7 ) = 易，歹= 1 ，并且对任意的8 1 8 2 ，若三( s 1 ) 三( s 2 ) 知0 1 ( 5 1 ) 0 使得对每个e ： ( 口1 ，踟，口1 ，o n ) q 有 l 岛f 岛，j = 2 ，l 易i 岛，j = 1 ， 证明：对每一个e = ( 口1 ，知，口1 ，) q ，存在三q 使得e = 三注 意到三= q 量+ ( 三，e 0 ) e o ，且有n ( 三，e o ) e 0 = ( ( 三，e 0 ) ，0 ，0 ) 所以有 l 岛l - 1 ini ii q 巨i = i q 三i ，j = 2 ，n ，i 易l - 1 i i | i q 三i = l q 三l ，j = 1 ， 令岛表示满足l q 三l 玩，三q 的常数，我们就完成了证明 口 令h = ( h 2 ，h ，元1 ，h ) 召，结表示日的图象，即 幻= ( 口1 ，日( 吼) ) l 口1 耐， 令 q 7 = 纭c 壳j 一1 红是一个r 日c ) ，q = h 召j 如cq ) 引理4 2 假定卢 4 ( 2 士k + 一m ) 则俾纠的p o i n c a r 邑映射把r h c 映成r h c 证明：由系统( 2 5 ) 的向量场的周期性，这是引理2 4 的一个直接推论 口 因此，我们有妒( q ) c 盯，由此我们可以定义一个盎上的导出映射户t 使得 p 1 结= 粤户t 日，故有户t ( 盎) cq 由日= 0 壳可知盎非空，且户? 连续至此我 们把p t 的不变曲线的存在性问题转变为一个不动点问题下面我们将利用s c h a u d e r 不动点定理来证明j 打在佥内有个不动点，从而来证明p t 存在一个不变的r h c s c h a u d e r 不动点定理表述为 3 1 】： 引理4 3 ( s c h a u d e r ) 设c 是b a n a c h 空间形中的一个闭凸子集，t ：g _ c 连续且t ( c ) 列紧，则t 在g 上必有一个不动点 应用s c h a u d e r 不动点定理的关键是证明q 是相对紧的，由a r z e l a - a s c o l i 定理， 只需证矗是一致有界和等度连续的一致有界性可由引理4 1 保证，下证等度连续 性首先我们引入一个引理： 引理4 4 罂1 里 1 + + 臼一z r h 一一“叼) = i p l 1 + p 2 e j 茹l ，- i o 1 2 耦合摆型方程组的单调性与动力学 第四章不变曲线 证明；由白，仍0 ，p 0 知， ( f 1 + + 臼一p m 一一p ) 2 n n g + p 2 谚 j = lj = l 南( 2 + - + 靠+ 7 7 2 + + ? 7 知) 芦2 14 - 肚2 。 所以有 l - - i - + 知一p 叼1 一一p 聊m v i - + 一胪 i - i 引理4 5 q 是等度连续的 证明：只需证壶中的每一元素都是l i p s c h i t z 连续的，且有一致的l i p s c h i t z 常 数令h q ，e 7 ，e 结则互= 。e ，一，= i i - 1 e 7 可由“ 0 由引理4 4 可知 1 日( 口1 ) 一日( ) | 一 i 口- 一醴i 因此有 p 1 一目i i h ( 0 x ) 一日( 口i ) i 呼越产i ( 1 ，z ) i 一 日l 一醴i ， 这表明日是l i p s c h i t z 连续的，且l i p s c h i t z 常数与日q 无关即q 是等度连续 的 口 引理4 6 假定p 赢则( 2 5 ) 的p o i n c a r 邑映射p t 有一个不变的r h c 证明：因为壳是非空闭凸且相对紧的，并有p ( 佥) cq ，所以由s c h a u d e r 不动点 定理知在q 中存在户r 的一个不动点h ，其图象z 是户t 的不变曲线因此， 一1 z 是p t 的一个不变的r h c 口 1 3 第五章旋转数与平均速度 在本章我们假定p 万赢从而使得( 2 5 ) 的p o i n c a x 毛映射p t 是强单调的并 有一个不变的r h c 本章的主要目的是讨论p t 限制在这个不变曲线上的动力学行 为，或者等价地说，p t 限制在z 上的动力学行为。令日表示相应于孽的函数，即 2 = _ ( 曰1 ，h ( 0 1 ) ) 1 0 1 r ) 定义p t 在孽上的一个导出映射g 如下：对任意的0 1 r ， 存在点 e = ( v n ( 1 + p 2 ) 0 ，日( v n ( 1 + p 2 ) 口) ) 它 由于p r o z ，所以存在0 7 酞使得 定义a ( e ) = 引理5 1 g 严格递增并满足a ( e + 1 ) = a ( e ) + 1 证明：假定0 0 则 0 = ( 、( 1 + p 2 ) 0 + ，日( ( 1 + 旷) p + ) ) 孽 由于一1 z 是一个r h c ，所以有i i - 1 0 1 7 1 e 由尸t 的强单调性，我们有 i i x p r o = p t 一1 e p t 一1 e + ：i i 一1 户t e + 表明户t e 的第一个分量值比户t e + 的第一个分量值小，即有a ( e ) a ( o ) 等式 a ( o + 1 ) = a ( o ) + 1 成立是由于( 4 2 ) 口 因此，g 是一个保向圆周同胚的提升，其旋转数 p ：嗣：l i m 剑 有定义且与0 r 无关，见( 2 j 命题1 i 1 1 并且由g 的定义和周期性( 4 2 ) 可知在z 上的映射户t 可看作保向的圆周同胚 我们定义平均速度y 为 y = 专耋c 奶，= 嘉姜。1 i r a 1f o t 奶出= 专。生兰垒l l 掣 1 4 耦合摆型方程组的单调性与动力学第五章旋转数与平均速度 下面我们讨论在过阻尼条件下平均速度y 的存在唯一性及与旋转数p 的关系假定 x ( t ) = ( x l ( ) ，z ( ) ，圣1 ( ) ，圣j v ( t ) ) t 是系统( 2 1 ) ( 2 2 ) 的一个初值满足r x ( o ) i i 1 粤的解在变换( 2 3 ) 和( 4 1 ) 下，这 个解变为三一坐标系中的量( ) 和o 一坐标系中的e ( ) = ( 曰1 ( t ) ，瓦( ) ) t 由g 的 定义，令0 = 0 1 ( o ) 万f 干两，则 伊( p ) = 丽0 1 ( n t ) = 币b ( “礼丁) + 州小丁) 一脚( 删- - t t 聊( 叫) = 斋b ( 1 + 国n 咖t h c ，刊姜酬删m 孙t ， ) 由r ( s ) 的连续性和周期性，知r ( s ) 有界又由( 2 4 ) 知， 蚤匆( 灯) 2 而与i = 1 ( 屿+ 彩) 一三j = l r ( 锨 由引理3 2 知q ( n t ) 一致有界因此 p = l i m 盟= 1 i m 攀， 由此我们有 y ：熙毯掣：恕学：争 在上面的讨论中我们总是假定初值点在不变曲线上事实上，对于系统( 2 1 ) ( 2 2 ) 的 任意解，平均速度都存在且与初值点无关 引理5 2 对系统但砂俾矽的任意解x ( t ) ，平均速度v 都存在且与初值x ( o ) 无关 证明对任意的x ( o ) r 2 ，令三( o ) = r x ( o ) 我们可以在f i - 1 2 上找到两点 量( o ) ，e ( o ) 使得壹( o ) 三( o ) 壹( o ) 令量( ) ，三( ) ，壹( t ) 分别表示以e - ( o ) 一( o ) ，量( o ) 为 初值的( 2 5 ) 的解在o 一坐标系中我们记这些解分别为6 ( t ) ，e ( t ) ，e ( ) 则由引理2 4 可知，三( n t ) e ( n t ) 三( n t ) ，竹= 1 ，2 ，表明0 1 ( n t ) 0 1 ( n t ) 0 ，奶( a ，t ) 0 ，t 0 注意到 一即) = z 1 吣趴 所以有 1 = 一印) = 1 m 枞 。， 从而得出结论y ( 日) v ( f 2 ) ( 4 ) 首先我们证明若f = 0 ，则v = 0 假定( x l ，x n ) 是方程( 2 1 ) ( 2 2 ) 的一 个解令呜( 舌) = 一甜+ 1 0 0 + 叫2 ) 易验证( l ( z ) ，缸( ) ) 也是方程( 2 1 ) ( 2 2 ) 的 解由平均速度的唯一性，我们得到 y = 专熙型半= 专熙盟掣= 一v 所以v = 0 另一方面，若v ( f ) = 0 ，则f a 事实上，若v ( f ) = 0 ，则由第二部 分的证明知存在一个周期解z ( t ) 满足( 2 5 ) 且z ( t + t ) = 量( ) ，t r 由( 2 5 ) 知 nn ( 6 ( ) + 彩( ) ) = - ( 1 一p ) 日( 巧( ) ) 一n ( 1 一p ) 卢( ) 一( 1 一p ) 只 j = lj = l 因此在 o ，卅上积分得 n ，t，t o _ - ( 1 - 善z 日( 删加( 1 - z f ( t ) d t _ ( 1 叫) 胛z 表明一a f a 因此由第( 3 ) 部分的结论知存在蜀满足0 f o 时有v ( f ) 0 定理1 2 的证明： 首先我们证明当f ( t ) 三0 时系统( 2 1 ) ，( 2 2 ) 没有非零的周期解事实上，令z = ( z l ，z ) t ， e = ( f k m ，只，只f + k m ) t ，以及 砸每2 一喜z 巧酬5 - ( 耻) + 孙删 则易检验沿( 2 1 ) ( 2 2 ) 的解( z ( t ) ，圣( ) ) ， 瓦dl ( 碱删= 一鹏) 圣；o 耦合摆型方程组的单调性与动力学 第六章主要定理的证明 表明当f ( f ) 三0 时系统( 2 1 ) ( 2 2 ) 没有非零的周期解令p f 表示( 2 5 ) 的时间一下映 射 如果v ( f ) = 0 ，则有定理1 1 的第( 2 ) 部分的证明知存在解x ( t ) 满足z ( + 7 - ) = z ( t ) ，t r 对某个丁 0 ，有以上的讨论可知它实际上是一个平衡点同时，如果系统 有一个平衡点，则显然有v ( f ) = 0 因此v ( f ) = 0 当且仅当系统有平衡点 如果v ( f ) 0 ，则取7 _ = 1 y 使得旋转数p = 1 ，因此存在一个第二类周期解 2 ( t ) = ( 2 l ( t ) ，金( z ) ) 满足奶( + 丁) = 句( t ) + 1 ，t r ，j = 1 ，反之，若存 在一个第二类周期解，则v ( f ) 0 系统的第二类周期解的稳定性可用b a e s e n s 和m a c k a y 在文献f 6 ，7 】中的方法来 证明 在三一坐标系中，定义映射 元( 三) = p r 三一i 令鸯( t ) 表示在三一坐标系中的第二类周期解z ( t ) ，并令= _ 宝( z ) 忙r ) 则旯是 强单调的且z 上的每一个点都是元的不动点对任意的三o ，我们可以在z 上找到两 个点三1 ，三2 使得三1 兰0 三2 事实上，我们可在礼足够大时取三1 = 量( 一亿7 ) 和 三2 = 互( n 7 ) 而且，我们有 三( 1 ) 量( 2 ) ，t l t 2 ( 6 2 ) 为证明这个结论，我们首先证明z 上的任意的两个解有序假定存在壹( t 1 ) 和量( t 2 ) ，t 1 t l ，则e _ ( t o ) 一宣( t 1 ) a r o ) ，由宠的强单 调性可知这是不可能的因此量( t 2 ) 一量( ) i n t r 犁n ，即宣( t 1 ) 量( ) ，t t 1 对任意的兰o ，在z 上找到两点互1 ，三2 使得三1 e o 三2 ，因此有三l j 驴三o 巨2 ，表明 勋三o ) 有界，从而其u 一极限集非空 定义 l ( n ；三o ) = s u p t r i 宣( 丁) 郧( 三o ) ) 和佴( 佗；三o ) = i n f r r i 量( 7 - ) 廖( 三o ) ) 则一o 。 丁_ ( n ；e o ) q ( n ；e o ) 元n ( 量o ) 1 9 耦合摆型方程组的单调性与动力学第六章主要定理的证明 所以有凡( 礼；e o ) 是单调递增的，q ( 礼；e o ) 是单调递减的令 口= s u p r _ ( n ；三0 ) ) 和 节= i n f r + ( n ；三o ) ) ， 则p 带若c 带，则令雪是序列三七= ( - - ( k r ) 一七i ) n 的一个极限点( 由 三七) 的有界性和 三) 维数的有限性可知存在极限点) ，因此有丁笋( o ；爹) = 丁 ，但由严 格单调性，厂竺 0 并令k 足够大使得邑 足够接近= 雪，使得 丁竺 l ( n ；三k ) q ( 礼；皇) f # 因此有 仁 l ( n + 七；昌) t ( n + 七；三七) 卞， 这与僻的定义矛盾所以有 仁= 芒全7 - 7 从而得出结论 i p 三0 一e ( t + 丁) i _ 0 ，t 一+ o 。， 即量( t ) 吸引相平面的每一个轨道 2 0 附录 我们在此给出单调性定理的证明其想法主要来自 5 ，1 3 】在这里我们假定空间 时由标准锥畔给出顺序，即若z ，入p ，定义z 入，若，j = 1 ，礼；z a ，若z a 且z 入；并定义z a ，若q 0 有7 ( 句0 事实上，由p i c a r d 迭代序列： ，t ，y ( 州( ) = b ( z ( s ) ) 7 ( ( s ) d s ， ，y ( o ) = ，y ( o ) j 0 因此当( o ) ，7 ( o ) 0 时有( ) = e - v t ，y ( t ) 0 ( i i ) 令矿( o ) = ( 1 一a ) z ( o ) + ( o ) ，入【0 ，1 1 ，并令x x ( t ) 是系统( 1 ) 的以一( o ) 为初 值的解定义 ( t ) = 蕞z ( t ) 则p 满足线性方程( 第六章) ，且 ( o ) = y ( o ) 一z ( o ) 0 则由( i ) 的讨论可知对任意的t 0 有p ( ) 0 ，因此有 秒( ) = z ( t ) + f ( ) d a z ( t ) ( 4 ) ，0 这里片p ( t ) d a 表示r “中的向量，其第歹个分量是詹毋( t ) 烈 口 我们称满足条件( k m ) 的系统( 1 ) 是合作系统条件( k m ) 即，可微时的k a m k e - m i i l l e r 条件( 见文献【1 3 ) 如果把条件( k m ) 改为 ( k m + ) 舡枢州r ， 则称满足( k m + ) 的系统( 1 ) 是个竞争系统显然对于一个竞争的系统，通过时间 反转，就变为一个合作系统 上述引理1 是说当系统( 1 ) 是合作系统时是单调的，但我们需要的是系统在什么 条件下是强单调的下面我们引入新的条件令s = 【1 ，礼) ，我们称系统( 1 ) 是严 格合作的或称，是严格合作的，如果对每一对数i ，j s ，存在s 中的一个链：i = i o ，i 1 ，i k = j ，k z + ，对所有的f ，有i l 奶+ 1 ，且当f = 0 ，歹一1 ，时存在c l 使得 芸q 。，2 叫 ( 5 ) 引理2 如果系统以夕是严格合作的，则当x ( o ) 0 耦合摆型方程组的单调性与动力学附录 证明与证明单调性一样，我们先证明系统( 第六章) 的线性化系统是严格单调的， 即我们证明对所有的t 0 ，若0 0 ，所以存在i 使得已( o )