（理论物理专业论文）相空间中的量子力学——变形量子化方法的若干研究.pdf

摘要 摘要 本文在变形量子化的形式下研究了相互作用的谐振子。利用待定 系数法计算了相互作用的费米振子、玻色振子，以及费米振子与玻色 振子的能谱与w i g n e r 函数，并在非反对易g r a s s m a n 空间下研究了相 互作用的费米振子。此外，为了消除母乘法的具体形式对于计算结果的 影响，我们以自由振子的w i g n e r 函数为基础，重新表述了上述计算， 并在此基础上简要说明了变形量子化方法与矩阵力学方法的联系。 关键词：变形量子化，w i g 婶r 函数，玻色振子，费米振子 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，h a r m o n i co s c i l l a t o r sw i t hi n t e r a c t i o ni nf o 蛐a l i s mo f d e f o 珊a t i o nq u a n t i z a t i o na r es t u d i e d u s i n gt h em c t h ( 刈o fu n d e t e r m i n e d c o e m c i e n t s ，w ec a l c u l a t et h es p e c t r aa n dc o r r e s p o n d i n gw i g n e r 如n c t i o n s f o rf e r m i b o s e f e r m i - b o s eo s c i l l a t o r sw i t hi n t e r a c t i o n ，a sw e l la sf 毫r m l o s c i l l a t o r sw i t hi n i e r a c t i o ni 1 1n o n a n t i c o m m u t a t i v eg r a s s m a n ns p a c e t h e n i no r d e rt oe l i m i n a t et h ei n n u e n c ef r o mt h ec o n c r e t ef o m l a t i o no f 宰p r o d u c t ，w er e e x p r e s st h e 出o v ec a l c u l a t i o n so nt h eb a s eo f t h ew i g n e r f u n c t i o n so ff r e eo s c i l l a t o r s ，a n dp r e s e n tas h o r tc o m m e n t t ot h er e l a t l o no 士 d e f o r m a t i o nq u a n t i z a t i o na n dm a t r i xm e c h a n i c s k e y w o r d s ：d e f o n n a t i o nq u 础i z a t i o n ， f e m l io s c i l l a t o r i i w i g n e rf u n c t i o n ，b o s eo s c i 】l a t o r ， 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任 何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均己在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：篁霾 2 口纠髟手6 月c ) 日 第1 章绪论 第1 章绪论 量子力学是描写微观世界物质运动的动力学基础理论，它与相对论起并称 为二十世纪物理学的辉煌成就。量子力学有三种等价的表述形式：希尔伯特空间 的算符形式、路径积分形式，以及相空间形式，又称变形量子化方法。通常量子 力学教材中介绍的都是希尔伯特空间的算符形式，而在量子场论或规范场理论中 路径积分方法应用得比较广泛。 在量子力学的希尔伯特空间算符形式中，物理状态用希尔伯特空间的矢量表 示，力学量用厄米算符表示，算符之间不可随便交换位置，基本的坐标和动量算 符之间满足给定的量子化条件，物理态随时间的演化由薛定谔方程决定，物理量 的观测值用相应算符的矩阵元表出。而在量子力学的相空间形式或变形量子化方 法中，与在路经积分形式中一样，所有的物理量都用相空间中的经典函数描写， 但是经典函数之间的普通乘法要替换为种可结合、非对易的木乘法。物理体系 的状态用该体系的w i g n e r 函数表示，物理量的观测值用表示该物理量的经典函 数与相应的w i g n e r 函数在相空间中的积分给出。在这种形式中，物理状态随时 间的演化由w i g n e r 函数所满足的车本征方程决定。量子力学的这种形式能够更 清楚地表现量子理论与经典理论之间的联系和过渡，因而便于更好地理解量子力 学。 从量子力学的这些等价表述形式的历史来看，希尔伯特空间的算符形式在量 子力学诞生的早期，即上个世纪二十年代，就己初步形成并被广泛应用。路经积 分形式最初出现于上一世纪四十年代末，它的广泛应用始于六十年代规范场理论 的发展。虽然w i g n e r 函数早在19 3 2 年就被提出【1 】，而关于经典力学量与量子 算符的w e y i 对应更是早在19 2 7 年就被提出【2 】，但是变形量子化方法的正式出 现却被认为开始于19 7 8 年b a y e n 等人的著名论文的发表【3 】。由于人们已经习 惯于用薛定谔方程处理微观世界的物理问题，再加上w i g n e r 函数所满足的术本 征方程在多数情形下不易求解，所以变形量子化方法的应用和发展长期以来比较 第1 章绪论 缓慢。最近十年来超弦理论的发展揭示了变形量子化方法在处理非对易空间等 问题上有特殊的用处，因而重新刺激了人们对这一方法的重视与研究。 在变形量子化方法中，w i g n e r 函数起了核心的作用。给定了物理体系的哈 密顿量之后，通常有三种方法来计算得到w i g n e r 函数，一种是解薛定谔方程， 得到波函数以后按照w i g n e r 给出的公式来计算；另一种是利用这个哈密顿函 数，直接解木本征方程，并选取它的实数解作为w ；g n e r 函数；还有一种就是解 相应的拳演化方程，得到体系的时间演化函数，再作它的f o u r i e r - d f r f c h i e t 展开 得到w i g n e r 函数。 本文共8 章，在第二第三章，我们简短的回顾了变形量子化的基本方法以及 自由振子，在第四章简短讨论了相互作用的振子的性质，并选取了一个最简单的 相互作用h a m i f o n 量，然后再第五章应用待定系数的方法计算了两个费米振子， 两个玻色振子，以及一个玻色振子和一个费米振子的相互作用，在第六章则用这 一方法计算了非反对易g r a s s m a n n 空间下的费米振子。第七章则采用了不同的 方法，应用自由振子的w i g n e r 函数为基础来展开时间演化函数，重新表述了上 面的计算，最后在第八章简要总结了本文的意义并对其物理意义做了简短讨论。 第2 章经典系统的变彤量子化 第2 章经典系统的变形量子化 为了进行量子化，需要一个从经典系统出发，将力学量间的乘法变形为：f ：乘 法。对于玻色子来说，微观粒子可以处在相同的态上，因此自然存在一个相应的 宏观系统，这正好是经典力学中的系统；而对于费米子来说，泡利不相容原理限 制微观粒子不能处在相同的状态下，因此不存在对应的经典系统。为了对费米子 进行类似的变形量子化，就需要采取赝经典化，用g r a s s m a i l n 变量来表示费米子 的状态和力学量。 考虑一个既有玻色子，又有费米子的系统，分别有n ，m 个自由度，其l a g r a n g e 量记为三( g7 ，口7 ，口，沙) ，其中f ，= l ，2 ，刀，口，= l ，2 ，朋，9 1 是普通的c 数，用来表示玻色子，沙口是g r a s s m a n n 变量，用来代表费米子。其正则共轭动 量为 只= 钇。，死= 让a 沙口 式2 1 其中否a 沙。是对g m s s m a i l i l 变量的左导数。它们共同构成一个2 ( 所+ ，z ) 维的超流 形。h a m i l t o n 函数为 h ( g 。，p ，口，万) = 口7 b + 沙口一三 式2 2 用x 记超流形中的偶空间部分的子流形中的点，秒记奇空间部分的子流形中 的点，则偶空间的对易关系可以用对称的p o i s o n 张量a 来表示，奇空间的反对 易关系可以用反对称的p o i s o n 张量b 来表示。相应的，p o i s o n 括号表示为 l f ，g 、= a q f 爸x j 8x l g b n 3 f a8 ；a8 ；g 式2 3 第2 章经典系统的变形量子化 的称为第二类约束。对于所有第二类约束石，取q = 石，乃) ，c ”为q 的逆 矩阵，则可以以如下d i r a c 括号取代p o i s o n 括号 f ，g ) d = f ，g ) 一 f ，石) c 扩 z ，g ) 式2 5 则系统的h 撇i l t o n 方程可以统一表示为 车： 尸， 式2 6 将系统按上述步骤表示为2 6 式的形式后，就可以开始进行量子化了。为了 对系统实行量子化，需要将力学量之间的普通的乘法改成丰乘法。改变的部分与 变形参量成正比，通常就是普朗克常数壳。枣乘法有无穷多种，不同的宰乘法对应 不同的量子化方案。通常采用m o y a l 乖乘法 f 木吖g = f e x p ( 等( 4 否西_ 一石如百钐) ) g 。 式2 7 但在下面的计算中，为了避免出现二次微分，我们将采用正规宰乘法。不同的木 乘法相互c 等价，存在一个变换t ，使得 r ( f 宰g ) = r ( f ) 宰m 丁( g ) 式2 8 因此可以在计算完毕后采用变换将结果化为m o y a p 乘法的结果。由于上述对应 关系，所以主要的乘法关系都不会改变，改变的将只是具体的函数形式。 时间演化函数为 e x p c 筹，= 茎去c ”研 式2 9 其中它戤是h 的n 重幸乘积。它满足方程 访丢e 即( 等m 魄p ( 式2 。 时问演化函数可以展开为 e x p ( 等) = 莓e x p ( 等) 式2 m 其中e 是h 的木本征值，是相应于e 的、m g n e r 函数。在母乘法下，它满足正 交归一 木- = 疋 式2 1 2 第2 章经典系统的变形量了化 也满足完全性 = 1 式2 1 3 上述完全性与正交归一与波动力学形式下本征函数的完全性与正交归一性完全 相当。因此利用上述性质，可以很类似的求出变形量子化下的微扰问题的解。 另外w i g l l e r 函数还满足 ：ye 式2 1 4 一 o 后面将利用这个性质来简化我们的计算。 第3 章自由玻色振予与费米振子 第3 章玻色振子与费米振子 为完整起见，这里简短的回顾一下玻色谐振子和费米振子的变形量子化。对 于一维玻色振子，系统l a g r a n g e 量为 三= 丢( 茸2 一彩2 9 2 ) 正则动量为p = 口，系统h a m i l t o n 量为 代换变量为 则h 锄i l t o n 量为 m o y a l 乘法为 正规乘法为 对易关系为 式3 1 h = 劫一上= 圭( p 2 + 幽2 ) 式3 2 口= 层= 店旷争 越3 h = 彩d + 口 式3 4 ，：i c m g = ，e x p ( 警( 否g 瓦一t 瓦) ) g = f e x p ( 兰( 百口否口+ 一百口+ 历口) ) g 式3 5 ，木g = f e x p ( 壳a 口a 口+ ) g 式3 6 【口，口】= 【口+ ，口+ 】= o ，【口，口+ 】= 壳 式3 7 时间演化方程为 扬昙e x p ( 等) = h 木e x p ( 等) = ( 1 + ) e x p ( 等) 式3 8 解得时间演化函数为 第3 章自由玻色振子与费米振予 e x p ( 一p ( _ 争e x p ( 宰e x p ( 侧) 式3 9 兵f o u r i e r - d i r i c h l e t 展升为 e 冲c 务委扣c 咖加卅争c 本征函数为 ，口a 、 = e x p ( 一_ ) 忍 式3 1 l 一去e x p ( 一宰) ( 宰卜焘口 死满足完全性和在木乘法下的正交归一 木- = 嚷睨 = 1 式3 1 2 木本征值方程为 h 水瓦= 砌彩死 式3 1 3 所以能量本征值为 e = 聆疙缈 式3 1 4 费米子由g r a s s m a n n 变量来表示。最简单的非平凡情形需要二维，分别记为 杪1 ，2 。其l a g r a n g e 量为 = 吉( 少1 纱1 + 2 缈2 ) + f 国沙1 y 2 式3 1 5 正则动量为= 一言口，这里就有了两个约束 屁= + 言妙口= o h 锄i l t o n 量为 式3 1 6 h = 砂口死一= 一z 彩妙1 2 式3 1 7 因为有约束，所以这里需要采用d i r a c 括号，因为约束满足 笙!雯鱼虫墼丝堡王皇望鲞堡三一一 _ 一 t z 。，z 8 、= 一 6 b 式3 1 8 所以d i r a c 括号为 g 护账嘉击+ 岳嘉， + c 嘉鲁+ 妾参艄等毒+ 甏旁鹏+ 可贵+ 两矿弘l 矿瓦a a 少一一 叫去嘉去+ 圭妾嘉十z 嘉专一丢去去，g 再把约束视为强方程，则只剩下沙1 ，妙z 两个独立参量。最终得出 c 考古嘉归 与玻色振子的情况相似，采用变量代换 厂= 击( 一们厂= 击( 产妒1 ) d i r a u c 括号变为 f ，g ) = f ( 昙( 历，否厂+ 历厂否) ) g 正规乘积为 f 水g = f e x p ( 壳历西+ ) g h a m i l t o n 量为 h = 一i l l ，1 中。= f f 因此，时间演化函数为 唧c 薹去c 扣? = ( 1 一去厂+ e x p ( _ f 硼去厂+ 厂 太征函数为 式3 1 9 式3 2 0 式3 2 l 式3 2 2 式3 2 3 式3 2 4 第3 章自由玻色振子与费米振子 驴1 ：- 抄i 广矿厂 棚 乃一去= 去广宰厂 满足完全性和在乖乘法下的正交归一 ，e 死e = 6 e 死e + 乃= l + 本征值方程为 h 坪冗n = n 魏国死n 所以能量本征值为 磊= o ，e = 壳彩 同时，由于g r a s s m a r h l 变量的幂零性，上述w i g n e r 函数还满足 嚏冗、= - 鱼死l = q 式3 2 6 式3 2 7 式3 2 8 式3 2 9 第4 章相互作用的谐振子 第4 章相互作用的谐振子 对于有相互作用的振子，h a m i l t o n 量可写为 日= 风+ 脯 式4 1 其中风是无相互作用的振子的h a m i l t o n 量，就简单的两个振子的情况来说，无 论是玻色子还是费米子，形式上都可以写为 厶乙= 口+ 口+ 6 + 6 式4 2 而a 日则是相互作用h 锄i l t o n 量。把埘写成口十，口，6 + ，6 的函数，只考虑最简 单的相互作用形式，注意到h 只能是实的，则可能有如下两种形式 e x p ( f 秒) 口6 + e x p ( 一f 乡) 6 + 口+ 式4 3 e x p ( 汐) 口十6 + e x p ( 一f 秒) 6 + 口 式4 4 因为4 3 式的形式不符合能量守恒，因此只考虑后一种形式。而对于 e ) 币( 刀) 口+ 6 + e x p ( 一徊) 6 + 口，总可以从新定义口+ ，口，用e x p ( 汐) 口+ ， e x p ( 一徊) 6 + 口来替换它们。则脯总能写成变成口+ 6 + 6 + 口的形式，且凰与串 乘法中的a 口a 口+ 不改变形式，因此力学量的对易关系也没有任何改变。因此在下 面的计算中，这个可以任意取值的口不产生任何影响，它只出现最终的w i g n e r 函数中，可以留在最后再来考察这个常数对力学量平均值是否产生影响，而在没 有非对易或非反对易的情况下，下面的计算将只考虑口+ 6 + 6 + 口形式的相互作 用。加上一个相互耦合常数占，相互作用振子的完整h 锄i l t o n 量是 日= 彩l 口+ 口+ 6 + 6 + 占( 口+ 6 + 6 + 口) 式4 5 时间演化函数为 e x p ( 等) = e x p ( 去( 风+ h ) ) 式4 6 z ，zz ，z 采用正规乘积，无论是玻色子还是费米子，只要没有非对易与非反对易的情况， 形式上正规乘积的都一样是 第4 章相互作用的谐振子 f 水g = ，e x p ( j f 2 ( a 口a 口+ + a 6 a 6 + ) ) g 式4 7 对时间演化函数可以类比采用b a k e r - h a u s d o r f r 公式。 e 坤( 唧( 警卸( 等)z nz 力z ，z f 2 术e x p ( 寺，脯胪“ 式4 8 其中 凰，日】= 风水h 一h 半风，对于g r a s s m a n n 变量也一样，而不是采 用反对易括号。省略的部分指数上含有日o ，h 的多次母括号。特殊的，对于 【瓯，衄 _ o ，有 e x p ( 等) = e x p ( 譬) e x p ( 警) 式4 9 z 托z 托z ，z 将右边两部分都做f 0 1 l r i e 卜d i r i c h l e t 展开 则可得相互作用的时间演化函数 e 冲( 蕃e x p ( - 华护碟 枷 相互作用的能量本征值为 e 所= e o + 碟 式4 1 2 对应的w i g n e r 函数为 万胛脚= 万：宰万 式4 1 3 但是对应的m 有许多等于0 ，因此能级没有初看上去那么多。这种简单的情况 下“与a h 对易，因此可以取相同的本征函数，因此有这种简单的结果是很容 易理解的。 例如，对相互作用的费米振子 【厶乙，日 = 彩l 以+ 口+ 彩2 6 + 6 ，占口+ 6 + s 6 + a 】 斤 m 埘 彬 沙 学竿 ：飞 烈 咿 e d 疗聊 久一 致一， 坐坐流 篓i 冀霁豸措嚣餮引墅薹要雾羹蒿基霎 薹；萋一蓁薹i 霆 羹l 蓁l 囊j 薹兰鬻蓁；霎雾蓁饕；羹器； 霉蓁蓁蓁蓁鋈塞l 基鲁霪篓薹。耋i 第5 章待定系数法求解相互作用谐振了 第5 章待定系数法求解相互作用谐振子 5 1 相互作用的费米振子 设费米振子相互作用的h a m i l t o n 量为 = 饥+ 脯= ( 缈l 口+ 日+ q 6 + 6 ) + g ( 口+ 6 + 6 + 口) 式5 1 1 在前一节中讨论了仍l = q = 缈的情况，这时有相互作用的能级为0 ，2 国， 国+ 占，缈一s ，较为平凡。这里讨论更有趣一点的情况，q 哆。为了计算 时间演化函数e x p ( 等) ，采用待定系数法。容易证明，由于g r a s s m a n n 变量的 幂零性，e x p ( 等) 可以展开为如下形式 e x p ( 等) = 彳+ b 口+ 口+ c 6 + 6 + d 切+ 6 + e 6 + 口+ ，切+ 口6 + 式5 1 2 其中系数a 、b 等均为t 的函数。 对任何形如w = 么+ b 口+ 日+ c r 6 + 6 + d 口十6 + e 6 + 口+ ，h + 口6 + 6 的项 h 木w = ( 国l 彳+ q b + e ) 口+ 口+ ( 国2 彳+ 哆c + d ) 6 + 6 + ( 彳+ c + q d ) a + 6 + ( 彳+ b + 呸e ) 6 + 口 + ( 哆b + 缈l c d e + ( 彩l + 哆) f ) 口+ 口6 + 6 式5 1 3 所以日木w 依然可以展开成上述六项。h 无疑是这种形式的，因此很容易由归 纳法得出，时间演化函数 e 印= 酝p 确实可以展开成上述形式。时间演化方程 第5 章待定系数法求解相互作用谐振予 疏扣雾一霪鬟 耋! ；ii ；i；ii 薹i 冀动骓寸日引冀鬟塑萋蘸囊丽羹 鬓薹 囊 坠 b 薹 圭 e f 萋 b 委 警 e f 焉掣i l ；二 熏鬯蠢醑斡羹r ；j 霪 圭喜一冀一篓一耋一薹! 霎翼萋一l ；攀? 妻；薹；茎囊鄹彭爱妻 ：蓁蓁茎萝一冀霎垂主；| | | ： 爹萋雾茎主萋 i 差薹囊蓁一耄重萋莺；重| | | 鬟蓁茎霎雾耋事 蓟矍饕i 墓 霎萋雾震羹攀薹薹篓鏊篓一i 萋一囊蘩黧鬟主= p 一羚 枷 取f = o ，则中= 1 ，所以 乃= 万： 式4 2 3 所以，在有相互作用的时候，概率分布只在守恒量相等的一组w i g n e r 函数中重 新分配。 对于相互作用的谐振子 日= q 口+ 口+ 哆6 + 6 + s ( 口+ 6 + 6 + 口) = 国( 口+ 口+ 6 + 6 ) + ( 口+ 口一6 + 6 ) + s ( 口+ 6 + 6 + 口) 式4 2 4 容易计算出 口+ 口+ 6 + 6 ，口+ 口一6 + 6 = o 口+ 口+ 6 + 6 ，口+ 6 + 6 + 口】= o 式4 2 5 所以 e x p ( 等) _ e x p ( 警) e x p ( 竺等) 式4 2 6 e x p ( i ) = e x p ( j - ) e x p ( j _ ) 式4 2 6 2，2z ，zz ，z 冈量差值有关， x 第5 章待定系数法求解相互作用谐振子 岛= 力一2 + l 暖= 吉( 万i 才+ 才砭) + i 毒百( 砟一砖) + 三了云亏彳( 口+ 6 + 6 + 口) 岛：彩+ 讴丽， = 吉( 万f 万+ 万f 巧) 一i 丢i ( 万，一砖) 一每( 口+ 6 + 6 + 口) 2 2 + 1 e = 仞l + 力2 ，呢= 砰磅 奠中e 。e 两个能级和沿有相百作用时一样。 5 2 玻色振子与费米振子的相互作用 式5 1 1 2 设相互作用的h a m i l t o n 量为 h = 厶k + 日= ( 国i 口+ 口+ 吐6 + 6 ) + 占( 口+ 6 + 口6 + ) 式5 2 1 其中b 为g m s s m 锄n 变量。形如w = 彳+ b 6 + 6 + 十6 + 眈6 + 的项，其中系数 a 、b 等均为n 与t 的函数 何木w = ( 国l 4 + 缈l a 彳+ 人) + ( 缈2 么+ ( q + 哆 x 简写为 z a ， 至 = 芝f i 国t n io + j lo l l 第5 章待定系数法求解相互作用谐振子 o 国l n + 国2 1 o + 1 彩l ( + 1 ) o a至 i a t x = 0 a + b 8 n 、) x 剖虬2 3 式5 2 4 其中= 口+ 口，万：导一去，孝= 彩l ( 1 一万) 。初始条件为a = o ，b = c = d = o 。 彩l听 一 。 令x = m x ，其中m 取为 e x p ( 一) 一1 o o 式5 2 5 则方程化为 i a t x = m 一10 a m 七b an m + b m an 、) x = m 一1 b m x 式s 2 6 m 一、b m = o oo 卜抄 艿 一三z 一占 孝2 ”卜护 万oo 1 8 一 式5 2 7 o o o o 力o叫o o w q o 统 占- l 1一声j、 一0 卜 j o r h 孝。 旷 。 旷 o j o 旷 )b 手o ， ，一 u 、， 一善 ， 卜 0 缈 ，。一 l、， o 上孝 第5 章待定系数法求解相互作用谐振子 方程化为两个相同的二元方程组。初始条件现在为 彳：p b = e nn 6 c ：生e n ；： j d = 0 。 分离变量，得 贰心柳l v j 彩? 卜扩 一万一2 n 一6 譬2 卜扩 efl 1f l1 代换扰= 百l 旷刮云，v = 孑l 利石，则 p 争毒争一 2 斋_ - ( 篆锄嘉_ + ( 毒厅= 。 所以，甜的解的形式为 u 的形式为 秘埘蹶 。， 扣灶 - + 一l l dl 士 n 廿、z 因为a 与c 的初始条件，所以要求系数为自然数n 鱼+ 委( 1 一万) i + 互( 1 6 ) 解得能级 e = 刀q 一+ 而 - 1 9 = 甩 式5 2 8 式5 2 9 式5 2 1 0 式5 2 1 1 式5 2 1 2 式5 2 1 3 式5 2 1 4 式5 2 1 5 式5 2 1 6 第5 章待定系数法求解相互作用i i j f 振子 其中= 半。帅以譬嘉一( q 一抄， 方程有两个独立解，分别为 甜划胪乳等咱+ 抄伊1 = 哇( 刀+ 弘一善抠i ) 椰一 ，z 洲i 一5 “= ，r ，v = 乡z ( 譬一q + ) 斛扣t e 。告 = 岛( 门+ 弘+ 孝讴) 棚一一 理倒i 5 对n 的n 次方项，有 z + z ：上玎 刀! 錾( 刀+ 弘一手而) - + 尼q 一5 + 哇( 刀+ 弘+ 孝压磊) _ - = o 刀哟一5 乙：+ 弓：= 三j 疗 堡+ 弘一善而) 乙 船缈l 一言 + 羔”川而癖= 蕊 船戤一0l 刀一1 ) ! 解方程得 z = 南c ，+ 志c 詈+ ) 矿 砧去( ，一忐( 詈+ ) 砂 式5 2 1 9 式5 2 2 0 式5 。2 2 1 式5 2 2 4 第5 章待定系数法求解相互作用辫振予 赢：土( 1 一軎) 椰一- 2 ( 刀一1 ) ! 、 2 + 以7 瓦：上一( 1 + ，垒一 ) 椰一- 2 ( ，? 一1 ) ! 、 2 + 聆7 弛岛c 志c 击“m 刀 瓦= 志( 卜忐( 去删妒 瓦：一! 三椰一t d 疗= 一一1 二：一肿扣1 2 ( 刀一1 ) ! 2 十刀 万：= 一一一当椰一- 2 ( 门一1 ) ! 2 + 刀 再经过m 矩阵的变换，得 群= 嘉( h 志( 字+ ) 肌 彳= 去”志c 字删肌 群2 志( 卜志p - 一去c 志c 字抛肌刈 群2 志( h 志) 胪刈 一刍c 卜志c 字肌州 q = 石未露胪州 g 一磊靠胪州 2 1 式5 2 2 5 式5 2 2 6 式5 2 2 7 式5 2 2 8 式5 2 2 9 式5 2 3 0 式5 2 3 1 式5 2 3 2 式5 2 3 3 式5 2 3 4 式5 2 3 5 式5 2 3 6 第5 章待定系数法求解相互作用谐振予 科= 志志旷州 越2 研 研一志志胪e 州 舶2 瑚 对于n = 0 的情况，用前式子似乎可以得出两个能级，一个0 ，一个一2 。但 限定了u 为常数的话，代换u ，v 得到的二次方程将为( 毛) 2 “= o ，因此乱= o ， 哟5 只有平庸解。对于e = o ，“，1 ，都为任意常数，根据初始条件 彳：1 ，否= 虿：历：o式5 2 3 9 经m 变换得 彳= p 一，召= 一p 一，c = d = o式5 2 4 0 前面的解中n 态表示的是玻色子的咒l 态与费米子激发态经过耦合的态，n 态 是玻色子的，2 态与费米子的基态经过耦合的态，调整记号，费米子与玻色子耦合 的能级为 基态： 写= o ，咏= e x p ( 一! ) ( 1 6 + 6 ) 激发态： = ，z q 一+ 2 + ，z 嵋：丢一l 一+ 丢疋一去了芸一l _ 式5 2 4 1 2 j 一- 一+ j 疋一j 了蚕焉一l _ 式5 2 4 1 + 圭志c 字删疋畦志啪， 群= ( 刀+ 1 ) 彩l 一一2 + 刀+ 1 蝣：丢4 + 丢+ l 以+ 丢了矣 x 第5 章待定系数法求解相互作用谐振子 用这两个独立解来按照初值条件求出能级与w i g n e r 函数比较困难，这里就 不解下去了。 5 3 相互作用的玻色振子 相互作用的h a m i l t o n 量为 日= 月r o + h = ( 国l 口+ 口+ 哆6 十6 ) + 占( 日+ 6 + 6 + a ) 对形如 w = 以知州+ 么+ 4 ( 臼+ 6 ) 7 其中4 是l ，2 的函数，则有 式5 3 1 式5 3 2 + 必( 2 + f ) + 2 a 2 ) 4 ，+ ( 1 + a i ) 以f + 1 ) ( a 6 + ) 7 + ( l 2 ( 1 + a 2 ) 以i + ( 缈l l ( 1 + a 1 ) + 彩2 2 ( 1 + a ：) ) 4 + l 2 ( 1 + a 。) 4 ) + + ( ( l + f + 1 ) 2 + l 2 a | ：) 彳，+ 1 ) ( 口+ 6 ) 7 式5 3 3 结果仍为该形式，因此可以数学归纳地证明时间演化函数可以写成该形式。于是 时间演化方程可以写成4 的方程。代换彳，为e x p ( 一l 一2 ) e ，分离变量得到 h 的本征方程 一 一臼 寺 一4 ，i i 口 一 一也砺 叫触 r 酣 一4 优 ，一 d 改 口 飞 缈 恍 盯 孵 冁 蛔 a m 彩+ m 缎 l + h 4 一、- 、 心 a mm + d + z + m lm“ 栅甜 =w 母 h 4 、， 心 a m吃 + 力 + m i 纯 + m a mq + mq 一， + 一4 、- 、 心 a+ “ 怕斟 第5 章待定系数法求解相互作用昔振了 + l a 1 ) 4 十i + ( 哆2 a j v 二+ 缈l ( f + l a m ) ) 4 + a j v ：4 一1 ) ( 动+ ) 佃+ = e ( 彳一，( 口6 + ) + 4 + 4 ( 口+ 6 ) ) 式5 3 4 观察可以知各项都是l ，2 的幂的积，且可以写成 佃 懈 l b 一? n ：卜n ；矿) + b o n ；n ；b i n ：n ；一i 婶” 式s 3 5 f = l f - l 其中的b ，都是常数。将上式代入本征方程，则本征方程变一个常数矩阵的本征 方程，考虑到初值条件，n ，m 都耿自然数。对于一个确定的n ，m ，f 垅，f 一门 的b 。都取o 。则对n + m = n ，对应的本征方程的常数矩阵都一样 竺! 竺：+ 2 一 1 ( 一2 ) 2 一1 ( 一4 ) 3 2 一( 一2 ) 1 一 式5 3 5 是一个n + 1 维矩阵，其中= 半。可以求出，本征值为而， ( 一2 ) ：f i ，一：f 石。对应的归一化本征矢量分别为q ，矩 阵的对应的各个代数余子式为以。 则由归一化条件，可得对第i 个本征值， w i g n e r 函数为 +4 ” a 2 + o吐 + m a缈 ，l + 一 4 、_ 、 屹 a 以 + um“ 栅瑚 l+ om“ 栅 + 、， 4 a m + 4 一 心 a mm ，_ + v， + 6d x +叫 4 m a ”# l ，7 = o 第5 鼋待定系数法求解相互作用谐振子 刀! ( 一刀) ! c i i i n “一n a ? n “一n n ：n ：一“ 丽呙( “肿，l 一”嵋( ) 所 + 哆肌! 一至逐蕊i 一；耋鏊x 要l 薹誊攀l 番i 。垂蚕； 铆 = ? 呵嚣 球 了g r a s s m a r u l 变量的幂零性质，对于玻色振子，则把时间演化函数分解成了 第7 章以自由振子的解为幕础的求解方法 利用上述分解，则时问演化函数写成如下形式 e x p 肖= a 巧i 虿i + b 百：陌i + c 矿b + d 巧i 巧；+ e b a + f 巧：巧；式1 1 a z ，z 时间演化方程为 么 b c d e f 毛 0o o 巨 o ooe 1 001 olo ooo 00o 010 1oo 易 o0 o 巨 o oo e 4 b c d e f 式7 。1 5 初始条件为4 = 曰= d = f = 1 ，c = e = o 。这里除了利用了2 1 3 式w i g n e r 函数的书正交性之外，还利用了 口+ 6 宰万f 砖宰6 + 日= ( 口“刀堆口) 木( 6 术砖木6 + ) = 万，砑 式7 1 6 6 + 口木万_ 巧母口+ 6 = ( 以木万，宰口+ ) 水( 6 + 木巧乖6 ) = 刀i 万； 式7 1 ，7 这同样与不同幸乘法下不同的w i g n e r 函数的具体形式无关。而对于由木乘法决定 的能级，由于只相差一个常数，所以在上述方程中，除了解出的最终能级同样相 差一个常数外，解的形式用自由振子的w i g n e r 函数与口+ 6 ，6 + 口来表示则是完全 一样的。 上述方程的解，明显包含两个不变的能级反，巨，与两个由相互作用改变了 的能级。如果认为自由振子取m o y a r 乘积的能级为准，则相互作用后这两个能 级分别为 e = 2 + 1 乃2 三( 万i 砖+ 才巧) 一瓦舞( 万，万；一万i ) + 三了丢亏彳( 口+ 6 + 6 + 口) 式7 j 8 e ，= 一2 + 1 第7 章以自由振子的解为基础的求解方法 巧= 三( 刀砖+ 矸巧) + 瓦斋( 万，巧一万i 砖) + 三了妄霉彳( 口+ 6 + 6 + 口) 一 式7 j 9 + 三丽口6 + 6 口) 一 式7 - l 9 这与前面结果的形式是完全一样的。 7 2 玻色子与费米子的相互作用 与上面的做法类似，将h 锄i l t o n 量的两部分分别写为 = ( 霹1 ，万+ + 巧万一) 式7 2 1 凹= ( 1 ，万+ 帆万一) 冰( a + b + b + a ) 木( 万+ 也万一) 盯 埘 = ( 心万一木口+ 6 术万+ + 万十木6 + 口水万一) 式7 2 2 研胛 因此最终的时间演化函数里包括的项有 万+ ，万一 万+ 木如+ = 臼6 + 木+ l 万一 万一术口十6 = 口+ 6 水一l 万+ 将时间演化函数写为 e x p ( 等) = 4 咿+ 莓( 4 n 或一 则时间演化函数为 f ，4 、l ，碌。 oo l 色l = i o 砭 聆 l e ll ol 巧 l 色夕i 1oo 其中利用了 式7 2 3 式7 2 4 + e 万一十见k 万一水口+ 6 ) 式7 2 5 式7 2 6 、l，一 4 历厶厉 ，。，。l 、，l，l， 胛o o 巧 第7 章以自由振子的解为接础的求解方法 口+ 乖串口= ( 刀+ 1 ) + l 式7 2 7 口半宰口= 他一i 式7 2 8 这都是与具体的母乘法无关的关系。取自由振子采用m o y a r 乘积时的结果，则容 易计算出，有两个能级 群：( n + 委) 国。+ 拯i 霹：( 刀+ 昙) 缈。一届i 7 3 玻色子的相互作用 对于玻色子的相互作用，与上面类似 风= 瓯，j w 彬= 瓯，万，j 式7 3 1 6 = 0 艿= o ， 对于相同的n ，时间演化函数里所有的项一共有( + 1 ) 2 个，分别是 o ，。，i c 口6 + ，。木( 口6 + ) 2 ，。木( 口6 + ) 。万半( 日+ 6 ) 万，占水( 口6 + ) 肛j ，水( 口+ 6 ) ，水( 口+ 6 ) 。1 ， 按照相同的做法把时间演化函数展开成这些项的组合，利用 水口+ = 口+ 凇一l ，嵋术口= 日母+ l 口+ 木木口= ( ，2 + 】) + 1 式7 3 2 口半水口+ = 刀一1 即可得出时间演化方程的一个常系数方程。容易检验，结果与前面的方法是一致 的。 第8 章结语 第8 章结语 为了计算相互作用的振子，即时选用了最简单的h a m i l t o n 量的形式，也是 非常复杂的。一个原因就在于直接计算时间演化函数的时候，我们不得不去计算 出w i g n e r 函数的具体形式。在第5 章的冗长的计算中不难看到要透过这些复杂 的部分来计算出能量的本征值需要解决的困难。并且，为了得到这些结果，数学 上的困难也迫使我们采用了正规乘积而非通常所采用的m o y a r 乘积，虽然不同 的事乘法之间可以通过c 等价联系起来，但为了应用c 等价的变换，需要先求出 完整的结果，这一点大大限制了对这一方法的应用。 为了更清楚的展示这里的物理内容，应用上一章的方法是一种较好的选择。 采用自由振子的w i g n e r 函数为基础的展开使得我们可以避免去关心w i g n e r 函数 的具体意义，而使用在c 等价下不变的关系式则可以使我们抛开具体的卡乘法而 集中关注相互作用的物理内涵。 在这种方法中，可以比较清晰地看出变形量子化方法与矩阵力学的联系。 类似于从波动力学中得出正交归一的相空间的基矢，在采用自由振子的w i g n e r 函数为基础来展开后，展开各项的系数可以视为一个矩阵的各项。但是不同的是， 用一组正交归一的基矢可以完全展开任意的波函数，而一组在术乘法下正交归一 的w i g n e r 函数则做不到这一点，取而代之，例如在上面的玻色振子的情况下， 对每一个w i g n e r 函数，展开都有很多项。因为与w i g n e r 函数相对应的并不是波 函数，而应当是密度矩阵。而这里把w i g n e r 函数展开所需要的项也可以看成是 密度矩阵的各个基矢的代数对应。 相应的，为了求得力学量的平均值，需要在相空间上几分，可以很容易的 得出这样的结果，只有完全是实数的，是虚粒子数n 的函数的部分，积分才有 意义，而包含口+ 6 之类的有虚部的项，对积分的贡献都为o ，因此写成矩阵以后， 求平均值时，只有对角线上的部分才有贡献。而对于任意力学量f ，由于可以将 f 写成，= 水，水的形式，则容易知道，写成矩阵形式后，只有f 与w 毽n e r 函数乘积的对应矩阵形式的对角线上的项才有贡献。这与采用密度矩 第8 章结语 阵求力学量平均值的性质完全类似的。不用费多少功夫就可以做