（基础数学专业论文）一维奇异微分方程的混合有限元方法.pdf

m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s 1 1 士o ro n e d l m e n s l o n a l s i n g u l a rd i 肋r e n t i a le q u a ti o n b a i a l a t a n g a o w a s u p e r v i s e db yp r o f e s s o rl ih o n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e ， i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y ，h o h h o t ，0 1 0 0 2 1 a p r i l ，2 0 1 1 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得内蒙古大学及其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：塑垣避塑指导教师签名： 日日 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙 古大学有权将学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交 学位论文的复印件和磁盘，允许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩 印或其他复制手段保存、汇编学位论文- 为保护学院和导师的知识产权，作者 在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学作者今后使用涉及在学期间主要 研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用于发表 论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表 学位论文作者签名： 日日 指导教师签名：查虽 一维奇异微分方程的混合有限元方法 摘要 具有奇异系数的微分方程是在核物理、气体动力学、流体力学、边界层 理论、非线性场和光学等实际问题中提出的一类重要的方程，数值分析和求 解该类方程具有重要意义目前，具有奇异系数的椭圆，抛物型方程的传统有 限差分和有限元的方法已经得到广泛的研究，并有了一系列很好的结果 本文首次利用混合有限元方法研究了奇异两点边值问题和一维奇异抛物 型方程证明了半离散格式和与欧拉向后差分格式相结合的全离散格式的加 权l 2 一模误差估计 计 关键词：奇异两点边值问题；奇异抛物型方程；混合有限元方法；误差估 m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o ro n e - d i m e n s i o n “s i n g u l a r d i f j f e r e n t i me q u a t i o n a bs t r a c t t h ed i 髓r e n t i a le q u a t i o n sw i t hs i n g u l 盯c o e m c i e n t sa r ev e u1 m p o r t a n to n e sm p r a c t l c a l w o b l e m s ，s u c ha sn u c l e a rp h y s i c s ，g a sd y n a m i c s ，m o c h a n i c s ，b o u n d a 巧l a y e rt h e o u ，n o n l l n - e a rf l e l d sa n do p t i c s t h e r e f o r e ，t h en u m 面c a la n a l y s i sa n dc o m p u t m g a r ev e r ym e a n m g m l t h et r a d i t i o n a l l 丘n i t ed i f f c r e n c ea n d 丘n i t ee l e m e n tm e t h o d sf b rc u i p t i ca n dp a r a b o l i cd i f - f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hs i n g u l a rc o e m c i e n t sh a _ v eb e e ns t u d i e de x t e n s l v e l ya i l ds o m e1 d e a 量 r e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e d i nt h i sa r t i c l e ，m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rt w o - p o i n tb o u n d a 珂v 龇u ep r o b l e ma n d o n e d i m e n s i o n 出p a r a b o h cd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hs i n g u l 盯c o e 伍c i e n t s 盯es t u d i e dt o rt h e f l r s tt i m e t h ee r r o re s t i m a t e si nw e i g h t e dl 2 - n o r mf 加8 e m d i s c r e t e8 c h e m ea n d 重= u l l y d i s e r e t es ( 建l e m ec o m b i n e dw i t he u l e rb a c k w 盯dd i 雎r e n c es c h e m ea r ep r a v e d k e y w o r d st w 伊p o i n tb o u n d a 巧v 甜u ep r o b l e m w i t hs i n g m 甜c o e m c i e n t s ； p a r a b 0 1 i cd i 艉r e n t i a le q l l a t i o nw i t hs i n g u l a rc o e m c i e n t s ；m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ； e r r o re s t i m a t e s i i 中文摘要 英文摘要 引言 目录 i i i l 第一章奇异两点边值问题的混合有限元法 3 1 1 函数空间及其相应的范数 3 1 2 混合变分问题。一4 1 3 混合有限元格式及其误差估计4 第二章一维奇异抛物方程的混合有限元法 8 2 1 函数空间及其相应的范数 8 2 2 混合变分问题9 2 3 半离散化的混合有限元格式及其误差估计一9 2 4 全离散化的混合有限元格式及其误差估计1 2 第三章结论 1 5 参考文献 1 6 致谢 1 8 i i i 内蒙古大学硕士学位论文 引言 奇异方程，特别是非线性奇异方程广泛应用在核物理、气体动力学、流体力学、边 界层理论、非线性场和非线性光学等诸多领域还有热传导问题、离子体极化现象中的 猝灭问题以及概率中描述布朗运动和随机过程的微分方程都归结为奇异抛物方程但 是，由于奇性产生困难，这类问题的理论及数值分析一直没有得到很好的研究直到1 9 8 1 年，著名数值分析家t h o m 百e 首先提出要深入探讨奇型问题的有限元方法以来，国内外学 者对此问题的有限元方法展开了广泛的研究国内，李德茂等【1 】对奇型问题的有限元方 法做了全面、系统、深入的研究，得到了许多非常好的结果，对推动这一领域的研究工作 做了有益的尝试近几年，李宏等利用时间间断g a l e r k i n 时空有限元方法考虑二维奇异抛 物问题【2 ，3 ，4 ，5 】，给出有限元解及其跳跃项的加权s o b o l e v 空间模意义下的误差估计进 一步，在文f 4 ，5 1 中分别利用有限差分方法和有限元方法相结合的技巧以及基于对偶问题 稳定性估计的技巧讨论了一维奇异抛物问题的时间间断g a l e r l 【i n 时空有限元方法的收敛 性在此基础上，本文首次讨论了奇异两点边值问题和一维奇异抛物型方程的混合有限 元方法 混合有限元方法是将问题中的所求的未知函数，除了原来的未知量，还将原方程 未知量的导数作为补充的独立变量一起来求解。通过混合有限元方法可以将高阶方程 进行降阶处理，化为低阶方程，从而有利于数值处理。近年来，很多计算数学工作者致 力于混合有限元方法方面的研究，这个方法早期是于上个世纪六七十年代被几位工程 师( n a e i j sd ev e u b e k e ，1 9 6 5 ；h e l l a n ，1 9 6 7 ；h e r m a n n ，1 9 6 7 ) 用来解决s o l i dc o n t i n u a 问题而引入 的，从那时起，混合有限元方法被广泛应用到( 如，固体力学，流体力学) 很多领域7 0 年 代初，b a b u 吝l 【a 6 】和b r e z z if 7 】创立了混合有限元法的一般理论其主要的结果是b b 稳 定性条件【8 ，9 ，1 0 】为了使混合有限元方法能够解决更多，更广泛的问题，得到更高的计 算精度，8 0 年代初，f a l l 【和0 8 b o r n 提出了一种改进的方法【1 1 】，扩大了混合有限元方法的 适用范围，使混合有限元方法得到更进一步的发展胁i a 毗t h o m 蹈，j i m - d o u g l 船，z h a n g ) 【i n c h e n 等人也在这方面作了很大的贡献【1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 】，国内罗振东等 人也作了很大的贡献【8 ，2 2 ，2 3 】但是，作为有限元方法的一个前沿分支，它的理论仍有待 于进一步的发展和完甏它的应用更有待于进一步的推广我们之所以讨论混合有限元 方法，因为其较标准有限元方法有以下优点【2 2 】： 1 混合有限元的解空间( 即有限元或有限维空间) 的光滑度较普通有限元( 也称为标 准有限元) 的解空间的光滑度低，从而较容易构造出混合有限元空间，并可提高计算的精 度 2 混合有限元方法可使解本身( 位移) 和梯度( 应力或应变) 在各自不同的有限空间 中按其有限元空间的精度得到逼近，克服了一般有限元中先求得位移( 解本身) ，再由位移 求得应变，应力( 梯度) 的方法，从而减少了计算过程中的许多工作量和计算所造成的误 差 3 混合有限元方法对处理高阶方程和含有两个或两个以上未知函数的方程更便利， 且易于数值处理 4 混合有限元解有很好的物理意义和物理性能 本文的组织结构安排如下，在第1 章中讨论了奇异两点边值问题的混合有限元法， 给出了混合有限元格式并证明了解本身( 位移) 和梯度( 应力或应变) 的加权l 2 一模最优阶 误差估计在第2 章中研究了一维奇异抛物型方程的混合有限元法，给出了半离散格式 和全离散格式，并证明了解本身( 位移) 和梯度( 应力或应变) 的三2 模最优阶误差估计注 意在本文中主要应用了h 6 l d e r 不等式，c a u c h ：产s c h 啪r z 不等式，y 0 u n g 不等式，并且作估计 时所有的c 都是与空间步长 和时间步长r 无关的常数 2 第一章奇异两点边值问题的混合有限元法 本文考虑如下的奇异两点边值问题 善卿) - 节( 旷( 卅三p ( 垆m ) ， z j 三( 0 ，1 ) ， ( 1 0 1 ) ip ( o ) = o ， p ( 1 ) = o ， 其中，7 ( z ) = 嚣( z ) ，p 7 ( z ) = 塞( z ) ，盯o 为常数，函数，工2 ( j ) 为已知函数当盯= o 时， 问题( 1 o 1 ) 为通常的两点边值问题。 1 1函数空间及其相应的范数 设日m ( j ) 和l 2 ( ，) = 日o ( j ) 表示通常的s o b o l e v 空间和l e b e s g u e 空间，即 l 2 ( j ) = 秒：u 是定义在j 上的可测函数，并且z 口2 如 o 。】- ， 其相应的内积和范数分别定义为 ( ，叫) ：厂口( z ) 伽( z ) d z ， l l 口i l ： ，u ) 1 2 ， 口，叫l 2 ( ，) ， 日w ) = 舅职n o 歹m ) 其相应的范数定义为 f n - 删m = ( 到骞i | 2 ) 1 胆，日邳) 。加权l 2 ( j ) 空间为 l ；( j ) = u ：u 是定义在j 上的可测函数，并且z 盯( z ) 口2 如 o 。) ， 其相应的范数定义为 i 盯：( 卜( z ) 口( z ) 2 如) 1 2 ，钞l ；( n 其中盯( z ) o 是权函数 加权s o b o l e v 空间为 刃( j ) = 舅l 轨o 歹m 其相应的范数定义为 mt 删叩= ( | l 舅时尼，讹霹( n 3 1 2 混合变分问题 辫= 篙器： 勉， f 矿乱( z ) + ( z 印( z ) ) ；o ，z j 三( o ，1 ) ， 1z ，u ，( z ) ：z 。，( z ) ， z j 三( o ，1 ) 1 2 3 善( z 盯u ：口) _ ( z 盯p ，u 7 ) = o ， 口v ( 1 2 4 ) 、( z 仃u 7 ，伽) = ( 矿，叫) ， t ，形 “a 7 b d m b d d f 和第二c d 元时，= r 上述混合有限元的有关性质以及具体的构成方法 可参见文【17 】 问题( 1 2 3 ) 的混合有限元格式为：求 阢p ) ，使得 ( 矿以口) 一( 矿p ，口。) - 0 ， 睢 ( 1 3 5 ) i ( z 口u ，伽) = ( z 口 伽) ， t ，w 么 下面给出本文所用到的引理 引理1 1 ：引入加权投影7 r h ：日1 ( j ) _ 和哦：，满足 ( z 仃( 口一7 r 九口) ，t u ) = o ， v 叫w 么， ( 可。，z 盯( z 一嘞z ) ) = o ， ， 且有误差估计 i l 口一7 r ，l 口i | c 九i l 口l ， 1 z 7 - + l ， i l ( u 一7 r 口) i i c l l 口m ， o z r + ， l i 叫一r 加i | c i i 伽f ， o z r + 进一步，在( 1 3 6 ) 一( 1 3 7 ) 式中取叫= 玩z 和秒= 霄 ，有 ( z 盯( 口一7 r ，l 口) ，r h z ) = 0 ， ( ( 7 r ) 。，z 盯( z r h z ) ) = o ， 于是，( 口7 ，如名) = ( ( 丌) ，矿名) ，讹日1 ( n 比 满足 引理1 2 ：给定的伽，存在口使得u = 伽且 i y c | | 叫i i 上述两个引理证明参见【17 】 ( 1 3 6 ) ( 1 3 7 ) 定理1 1 ：设 u ，p ) 是方程( 1 2 3 ) 的解 以p ) 帆是混合有限元格式的解，则 | i ( t 正一u ) 7 i i psc i i 仳7 i l f ， o z r ， l i t 正一u i l p c i i u | l l ， o l 7 + 1 ， l i p p l l p c ，i i u | i l ，+ 九。i l p i i l ：) ， 0 2 1 r + 1 ，o z 2 r ， 其中c 表示不依赖于 的常数，p = z 口2 。 5 ( 1 3 8 ) ( 1 3 9 ) ( 1 3 1 0 ) 于是 即 证明：从方程( 1 2 4 ) 减方程( 1 3 5 ) 得误差方程组为 ( z 口( 一u ) u ) 一( z 仃( p p ) 秒。) = o 口 ( 1 3 1 1 ) l ( z 仃( u 一u 7 ) ，伽) = o ， 伽 首先，取叫= ( 丌 ( u u ) ) 7 ，则从( 1 3 1 1 ) 的第二个方程得 ( z 盯( 札一【厂) ，( 7 r ( t 一u ) ) 7 ) = o ， ( 。仃( u 一【，7 ) ，( u u ) ) = ( z 盯( 让一u ) ，( u 一，r 让) 7 ) + ( z 矿( u 一u ) ，( 7 r 让一u ) 7 ) = ( z 一( u 一u ) ，( 乱一7 u ) 7 ) c l i 仳7 一u 7 i i p | l ( u 一7 r h u ) i l p ， ( 1 3 1 2 ) i l u 7 一u 7 l l p c i l ( 牡一丌 u ) 7 i i p ， 并结合引理1 1 ，第一个不等式得证。 其次，在( 1 3 1 1 ) 式的第一个方程中取秒= 7 r ，l 心一u ) 并在第二个方程中取 = 吼( p p ) ，得 ( z 盯( 札一u ) ，7 r ( 乱一u ) ) 一( z 4 p p ) ，( 7 r ( u u ) ) ) + ( z 口( 珏一u ) ，玩一p ) ) = 0 因此，由投影丌 和如的关系，有 ( z 盯( u u ) 7 ，r 一p ) ) 一( z 口p p ) ，( 7 r h ( 缸一u ) ) ) = o ， 进而， 即 于是， ( z 口( 让一u ) ，7 r ，l ( u u ) ) = o ( z 仃( u u ) ，t 正一u ) = ( z 盯( t 正一u ) ，t 一7 r u ) + ( z 仃( u u ) ，7 r 札一u ) = ( z 4 ( t 正一u ) ，让一7 r 钆) c i i u u i i p i | u 一7 r u i i p ， u u l i p c i l u 一“u i l p ， 并结合引理1 1 ，第二个不等式得证 最后，在( 1 3 1 1 ) 式的第一个方程中取u 使得u = 吼0 一p ) ，则由引理1 2 得 ( 冗 函一p ) ，矿p p ) ) = ( 口，z 盯白一p ) ) ) = ( z 口( 让一u ) ，口) c l i 札一u i l ；+ 丢l l r p p ) i i ；， 6 又因为， 于是， ( 冗_ i l ( p p ) ，z 盯r 一p ) ) = ( 风 一p ) ，z 仃一p ) ) ) 一( r 0 一p ) ，z 4 ( p 一冗艘) ) ， l i r p p ) i i ；c l i u v l l ；+ c i i p r 印i i ；， ( 1 3 1 3 ) 结合三角不等式，引理1 1 可得定理1 1 的结论( 1 3 8 ) ，( 1 3 9 ) ，( 1 3 1 0 ) ，证毕 7 一维奇异抛物方程的混合有限元法 第二章一维奇异抛物方程的混合有限元法 本文考虑如下一维奇异抛物型方程 f 毗一u z z 一三= o ， ，t ) q z lu t u z z 一= 2 k2 u ， 【z ，t ) s z j ， 让( t ，o ) = u ( t ，1 ) = o ， t z ( 2 o 1 ) 【u ( z ，o ) ：妒( z ) ，z q ， 其中撕= 赘，z = 嚣，u 。= 爱常数口o ，q = ( o ，1 ) ，= f o ，卅，妒( z ) l 2 ( q ) 是已知函 数假设问题( 2 o 1 ) 存在唯一解u 2 1函数空间及其相应的范数 设h m ( q ) 和l 2 ( q ) = 日o ( q ) 表示通常的s o b o l e v 空间和l e b e s g u e 空间，即 l 2 ( q ) = 口： 是定义在q 上的可测函数，并且口2 如 。) ， 其相应的内积和范数分别定义为 ( 口，伽) = 口( 茁) 伽( z ) 如， l i 口j l = ( 口，口) 1 2 ， 口，伽l 2 ( q ) ， 日m ( q ) = t 7 ：等l 2 ( q ) ，o 歹m ) 其相应的范数定义为 m = ( 副舅| 1 2 ) 1 尼，日m ( q ) 再用1 1 表示空间l o o ( q ) 的范数。日m ( q ) 的子空间珊( q ) 表示为 w ( q ) = 钞日仇( q ) ：舅( o ) = 骞( 1 ) = o ，os js 仇) 特别地，v 幻c ( ，；日m ( q ) ) ，记为 u m = s u p ( t ) i i m o s s 了 加权l 2 ( q ) 空间为 层( q ) = 1 【秒：移是定义在q 上的可测函数，并且盯( z ) t ，2 如 o ，n o + 6 0s c 0 ， 则n 。+ k c n e “口，r o 问题( 2 2 3 ) 的半离散化混合有限元格式为：求 阢p ) ：j - h ，使得 l ( 矿阢，u ) 一( 矿p ) = o ， ”， i ( z 矿p 叫) + ( z 口巩，伽) = o ， 协w 么 ( 2 3 8 ) 内蒙古大学硕士学位论文 定理2 1 ：设 u ，p ) 日m + 2 ( q ) 日m + 1 ( q ) 是方程( 2 2 3 ) 的解而且妒日m + 2 ( q ) ，仡= m + 1 l ， 配p ) 是半离散化混合有限元格式( 2 3 8 ) 的解，则下面的估计成立 i i i p ( u u ) l | i c 九片+ 1 黼i i u i l ：+ 1 + i i 妒i i ：+ 1 】+ c m + 1 嬲 i 旧i i 象+ 1 + i l 乱i l 毛+ 2 ) ， ( 2 3 9 ) 以及 p 白一p ) c 危“+ 1 蹲i i 钆i l ：+ l + i i 妒l i ：+ 1 ) + c 九m + 1 踌 i i p l i 象+ 1 + i i 训i 戋+ 2 ) ，( 2 3 1 0 ) 其中p = z 仃2 。 证明：从方程( 2 2 4 ) 减方程( 2 3 8 ) 得误差方程组为 p t _ 一卜 飞- p ) 叫= 0 ， 此 ( 2 3 1 1 ) 、 、j 1 ， i ( z 矿一p ) ，叫) + ( z 叮( 一) ，伽) = o ，叫 由误差方程( 2 3 1 1 ) 和引理2 1 2 2 可有 ( z 仃( 让t 一巩) ，t 正一u ) = ( z 口( u t 一仉) ，u r u ) + ( z d ( 毗一巩) ，r u u ) = ( z 口( u t 一阢) ，仳一日。u ) + ( z 口p p ) ，( 日。u u ) z ) = ( z 4 ( 毗一阢) ，t 一r u ) + ( z 4 一尸) ，( r 让一仳) 茁) + ( z 盯( p p ) ，( 钍一u ) ) = ( z 9 ( 撕一阢) ，t 一昂。u ) + 。p p ) ，( 昂。u t 正) z ) + ( ，0 一r 卯) ，( u u ) z ) + ( z 矿( r p p ) ，( t 一u ) 2 ) = ( z 叮( u t r u t ) ，t 正一日。t 正) + ( z 口( p r 戊p ) ，( 让一7 - h t 正) 霉) + ( z 9 p p ) ，r ，l p p ) = ( z 。( 仳一r u t ) ，t 正一r 札) + ( z 口( p r 即) ，( 一u ) z ) 一( z 盯p p ) ，p p ) + ( z 9 ( p p ) ，r 艘一p ) 从而由c a u d l y 不等式和y o u n g 不等式有： 三丢忪( 缸一u ) 1 1 2 + 丢忪。p ) 1 1 2 丢丢忪( 仳一r 乱) 1 1 2 + c l l p 一7 ，巾1 1 2 + l i u 王一r 缸z i l 2 ) ，( 2 3 1 2 ) 其中p = z a 2 再在上面的式子( 2 3 1 2 ) 两边关于时间t 从0 到t 求积分并且注意到( u r 让) ( o ) = 妒一r p 可得： l i p ( 仳一u ) 1 1 2 + l l j d ( p p ) 1 1 2 d s c i i p ( 让一r u ) 1 1 2 + l i 妒一r 妒1 1 2 + c 2 ( m + 1 ( f i p f f 磊+ l + i l t l i 磊+ 2 ) c f s ( 2 3 1 3 ) c 水+ 1 ) i l u 慨- + 础+ 1 ) + c 九2 m + 1 黼+ i | 训2 ) ， 再两边对时间t 求最大模，可得： 以及 从而定理2 1 得证 忡一驯 c 水+ 1 潞备1 + i i 础+ 1 ) ( 2 3 1 4 ) + g 2 州黼1 + 表+ 2 ， j d ( p p ) c 九2 k + 1 嬲i i 钍i l ：+ 1 + i l 妒候+ 1 ) ( 2 3 1 5 ) + c 2 州嬲删1 + l i 训2 ) ， 2 4 全离散化的混合有限元格式及其误差估计 设l 是一个正整数，丁= t 肛是时间步长，俨= 礼7 ，o n 厶 u n ，p ) 是 u n ，矿) 兰 u ( 俨) ，p ( 俨) ) 的有限元逼近。则问题( 2 2 3 ) 的全离散化的混合有限元格式为： 求 u n ，p ) 使得1 礼厶 ( z 4 u n ，秒) 一r ( z 。p n ，) = ( z 。u n 一1 ，口) ， k ( z 口p n ，叫) + ( z 。叼，叫) = o ， 伽w ： ( 2 4 1 6 ) u o = r 妒( z ) ， z q 定理2 2 ：设 u n ，矿) 日m + 2 ( q ) 日m + 1 ( q ) 是方程( 2 2 3 ) 的解而且妒日m + 2 ( q ) ，k = m + 1 1 ， u n ，p n ) 是全离散化混合有限元格式( 2 4 1 6 ) 的解，并且下充分小，则 下面的估计成立 i i 户 一u ) n + ( 壹7 | f p p p ) j i f 2 ) 1 2 c 心，p ) 胪+ 7 ( 2 4 1 7 ) 。j = l 其中p = 矿2 ，1 占sm + 1 ，c ( 牡，力表示与孔和p 的范数有关的常数 证明：记a u n = ( 俨一铲一1 ) 7 - 在方程( 2 2 4 ) 中取t = 俨且与方程( 2 4 1 6 ) 相减得误 差方程组为 i ( z 口( p p ) n ，伽) + ( z 盯( u 茁一【么) n ，t u ) = o ， t i w 么， i ( 矿( 嵋一侥u n ) ，口) 一( 茁9 一p ) n ，) = o ， u ( 2 4 1 8 ) 再记p = 岛u n u n ，则由( 2 2 4 ) ，( 2 4 1 6 ) ，( 2 4 1 8 ) ，引理2 1 2 2 有： ( ，侥p ，p ) = ( 侥( r 矿一u n ) ，p ) 一( 矿p n ，嚣) = ( 矿侥r 扩，p ) 一( 器，矿( p n 一矿) ) 一( 器，z 4 矿) = ( 矿( 侥r 矿一u ) ，p ) 一( ( r 仳n 一铲) 茁，矿( p 一矿) ) 一( ( u u ) 2 ，z 盯( p n 一矿) ) = ( z 仃( 侥r 铭n z 髫一侥“n + a 牡n 一”) ，j 气孔n u n ) + ( ( 让一u ) 2 ，z 口( 矿一n 汐n ) ) 一( ( r u u ) 2 ，z 仃( p n p n ) ) 一( ( 让一u ) 2 ，z 口( p n 一7 础严) ) = ( z 仃( 侥乱n u ) ，r t 严一u n ) 一( ( p k 让一u ) 2 ，z 4 ( p n 一矿) ) + ( ( 乱一u ) 銎，z 口一r 矿) ) + ( z 仃( 矿一p n ) ，( 矿一r ，印n ) ) = ( z 盯( 侥u n 一醒) ，r u n 一沪) + ( ( r u u ) 2 ，z 盯0 严一p n ) ) + ( ( u r u ) 2 ，z 口( p n r ，汐n ) ) 一( z 盯0 严一p n ) ，0 n p 犯) ) 一( z 口( p n p 他) ，( 矿一r 矿) ) 上式移项，并由c a u c h y 不等式和y o u n g 不等式有： 去必n l l 2 一i l 膳n 一1 旧+ 丢扩一p n ) 1 1 2 丢| i 心乱l i + c i l 侥缸n u ? 1 1 2 + i i ( 缸一r u ) 引1 2 + i 矿一r 肼严1 1 2 ) ， 其中p = z 一2 上式两边从1 到n 求和，而且注意到o = o ，可有： 扣必刈2 + 三著7 。一川2 三著慨j j l 2 + 丁著慨一枷2 + c 九2 k r i l i i ：+ 1 + c 2 ( m + 1 7 一i i 夕i i 象+ 1 j = 1j = l 又因为 i l a 一l i = i i7 - _ 1 ( 一以) 一l i = i l7 。( s 一- 1 ) 乱甜( s ) d s i | r 2 ( 厂矿怖( s ) 怖s ) t 2 ，7 1 2 ( t ( s ) 怖s ) v 2 ， 因此 j 丁到侥止i j 2 卯7 2z ( 珊如 故 抄j j 2 + 三勤p 卅l j 2 三势梆栅2 知州s ) j 1 2 d 8 + c h 2 尤踌l + c 九2 m + 1 踌俐孙 1 3 1 4 内蒙古大学硕士学位论文 第三章结论 微分方程的混合有限元方法是学术界的讨论点，它能否解决现实生活中的问题具 有重要意义。热传导问题、离子体极化现象中的猝灭问题以及概率中描述布朗运动和随 机过程的微分方程都归结为奇异抛物方程本文在大量的查阅了关于微分方程的混合有 限元方法的资料基础上尝试了利用混合有限元方法研究了奇异两点边值问题和一维奇 异抛物型方程本文的创新工作主要有：( 1 ) 用混合有限元方法研究了奇异两点边值问 题，给出了混合变分问题、混合有限元格式、并证明了解本身和梯度的加权l 2 模最优阶 误差估计；( 2 ) 用混合有限元方法研究了一维奇异抛物方程，给出了混合变分问题、半 离散化和全离散化的混合有限元格式、并证明了解本身和梯度的l 2 模最优阶误差估计 混合有限元方法作为有限元方法的一个前沿分支，它的理论仍有待于进一步的发展和 完善，它的应用更有待于进一步的推广 1 5 【2 】李宏，一般二维奇异问题的间断时空有限元法【j 】，内蒙古大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 5 ， 3 6 ( 5 ) ：5 0 5 5 0 9 【3 】李宏，刘洋，王金风，二维拟线性奇异抛物问题的时空间断有限元法【j 】，内蒙古大学学 报( 自然科学版) ，2 0 0 6 ，3 7 ( 6 ) ：6 2 2 6 2 7 【4 】刘金存，李宏，奇异半线性抛物方程的时空有限元法【j 】，内蒙古大学学报( 自然科学 版) ，2 0 0 6 ，3 7 ( 6 ) ：6 1 6 6 2 1 5 】刘金存，李宏，奇异线性抛物问题的时空有限元法 j 】，内蒙古大学学报( 自然科学版) ， 2 0 0 6 ，3 7 ( 5 ) ：4 9 昏5 0 2 【6 i b a b u ；k a ，e r r o rb o u n d sf o r 丘n i t ee l e m e n tm e t h o d j ，n u m e r m a t h ，1 9 7 1 ，1 6 ：3 2 2 3 3 3 【7 】f b r e z z i ，o nt h e 耐s t e n c e ，u i l i q u e n e s sa n d 印p r o x i m a t i o no fs a d d l ep o i n tp r o b l e i n s 盯i s i n g ml a g r a i l g i a ni n u l t i p l i e r s 【j 】，s i a mj n u m e r a n a l ，1 9 7 4 ，1 3 ：1 8 5 - 1 9 7 【8 】罗振东有限元混合理论基础及其应用【m 】济南：山东教育出版社，1 9 9 6 【9 】v g i r a u l t ，p a r a v i a r t ，f i n i t ee l e m e n ta p p r o x i m a t i o n so ft h en a v i e r - s t o k e se q u a t i o i l s 【m 】， t h e o r e ma n da l g o r i t h m s ，n e wy o r k ，s p r i n g e r - v 矗l a g ，1 9 8 6 【l o 】r t e m a n ，n a v i e 卜s t o k e 8e q u a t i o l l s 【m 】，3 r d ，n 0 r t h - h o l l a n d ，a 脚t e r d 眦，n e wy o r k ，1 9 8 4 【1 1 】r s f m 【，j 0 8 b o r n e r r o re s t i m a t e sf b rm 波e dm e t h o d s 【j 】r a i r oa n a l n u m e r ，1 9 8 0 ， 1 4 ：2 4 9 - 2 7 7 1 2 】z c h e n e x p a n d e dm 船df l n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rl i n e a rs e c o n do r d e re l h p t i cp r o b l e m si 【j 】r a i r om o d 61 m a t h a n a l n u m r ，1 9 9 8 ，3 2 ( 4 ) ：4 7 9 - 4 9 9 【13 】z c h e n e x p a n d e dm i ) ( e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf 研q u a s i l i n e a rs e c o n do r d e re l l i p t i cp r o b l e m s i i j 】r a 工r om o d 1 m a t h a n a l n u m 自，1 9 9 8 ，3 2 ( 4 ) ：5 0 1 5 2 0 【1 4 】r a v i a n ，p a a n dt h o m a s ，j m ，am i x e df l n i t ee l e m e n tm e t h o df o r2 - n do r d e re l l i p t i cp r o b - 1 e m s 【j 】m a t h e m a t i c a la s p r c t so ft h e f i i l i t ee 1 e m e n tm e t h o d ，l e d t u r en o t e si nm a t h ，、u 6 0 6 ，s p r i n g e r - v 矗l a g ，b e r h n ，1 9 7 7 ，2 9 2 3 1 5 【1 5 】f b r e z z i ，j d o u 斟嬲，j r ，r d u r 五n ，a n dm f b r t i n ，m i ) c e df l i l i t ee l e m e n t sf o rs e c o n do r d e r e l l i p t i cp r o b i e i n si nt l l r e ev 盯i a b l e s 【j 】n 啪e r m a t h 1 9 8 7 ，5 1 ：2 3 7 - 2 5 0 【1 6 】f b r e z z i ，j d o u 斟嬲，j r ，m f b r t i n ，a n dl m a r i l l i ，e 伍c i e n tr e c t a n g u l a u rm i ) ( e df i n i t ee l e m e n t s i nt oa n dt h r e e 印a c ev 盯