（应用数学专业论文）耦合故障转子系统非线性动力学若干问题.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 随着现代工业的快速发展，旋转机械的作用日益明显，转子一轴 承系统作为旋转机械的关键部件，时常出现各种形式的故障，最常 见的故障有裂纹、碰摩和基座松动等。由于非线性气膜力、裂纹和 碰摩等因素的作用，在振动剧烈时会发生重大事故。因此应用现代 非线性动力学理论和转子动力学理论研究故障转子系统成为当今国 内外的热门研究课题之一。 本文以现代非线性动力学理论为基础，采用气浮短轴承模型， 将打靶法思想与四阶龙格库塔法结合起来，对转子系统由于气膜力 和裂纹导致的非线性动力学行为进行数值模拟，借助分岔图、相图、 p o i n c a r e 映射和频谱分析了转子系统的运动形态。研究结果表明，随 着转速增加，系统响应出现了丰富的非线性现象；随着偏心量增大， 系统动力学行为更加复杂并出现混沌运动，周期五窗口明显加宽； 随着深度的加深，在超高速区出现周期六窗口，并且逐步变宽。 其次，建立了考虑气膜力的裂纹与碰摩转子一轴承系统的模型， 研究了系统随转速、定子刚度以及偏心量等参数变化的非线性动力 学特性，发现裂纹一碰摩耦合故障转子在临界转速时与单一碰摩故障 转子有相似的动力学行为，在高转速时，由于碰摩力的作用，系统 响应的稳定性下降，动力学行为比单一裂纹故障时更加复杂。系统 具有裂纹一碰摩耦合故障时，随着裂纹的扩展，周期4 窗口变窄，概 周期和混沌区域增加，系统响应由高倍周期直接进入混沌运动。结 江苏大学硕士学位论文 果显示耦合故障的非线性动力学行为比单一裂纹故障时更加复杂突 出。 第三，基于时域的时间有限元法，将描述转子系统动力学特征 的非线性微分方程组离散成一组非线性代数方程，然后应用吴消去 法的特征列思想对所得到的非线性代数方程组进行降维求解，进而 分析了定子刚度和摩擦系数对含有气膜力的碰摩转子响应的影响。 最后，总结了本文所做的主要工作，指出了存在的问题和今后 的发展趋势。 关键词：非线性动力学，气浮轴承，转子，裂纹，碰摩，数学机械 化，吴消去法 i i 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c k w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fm o d e mi n d u s t r y , t h er o l eo ft h er o t a t i n g m a c h i n e r yi sb e c o m i n gi m p o r t a n t a sak e yc o m p o n e n to ft h er o t a t i n gm a c h i n e r y , t h er o t o rs y s t e me m e r g e sa l lk i n d so ff a u l t sf r e q u e n t l y , s u c ha sc r a c k ，m b ，l o o s e n e s s o fp e d e s t a la n ds oo n b e c a u s eo ft h ei n f l u e n c eo fn o n l i n e a rg a sf i l mf o r c e ，c r a c k ， r u ba n dm a n yo t h e rr e a s o n s ，g r e a tt r a g e d ym a yo c c u ri ft h ev i b r a t i o ni sv i o l e n t e n o u g h s os t u d y i n gr o t o rs y s t e mw i t hm u l t i f a u l t sw i t hm o d e mn o n l i n e a rd y n a m i c t h e o r ya n dr o t o rd y n a m i ct h e o r yb e c o m e so n eo ft h em o s tp o p u l a rr e s e a r c hp r o b l e m s a th o m ea n da b r o a d t h i sp a p e rb a s e do nm o d e mn o n l i n e a rd y n a m i ct h e o r ya n dg a sf i l mf o r c eo ft h e s h o r tj o u m a lb e a r i n g ，n o n l i n e a rd y n a m i c a lb e h a v i o r so fr o t o rs y s t e mc a u s e db yg a s f i l mf o r c ea n dc r a c kf a u l tw e r es t u d i e dt h r o u g hn u m e r i c a ls i m u l a t i o n sb a s e do nt h e c o m b i n a t i o no ft h o u g h to fs h o o t i n gm e t h o da n dr u n g e - k u t t am e t h o d t h em o t i o n c h a r a c t e r i s t i c sa r ea n a l y z e db yb i f u r c a t i o nd i a g r a m ，p h a s ed i a g r a m ，p o i n c a r em a p s a n ds p e c t r u ma n a l y s i s t h er e s u l t ss h o wt h a tm a n ya b u n d a n tn o n l i n e a rp h e n o m e n a a p p e a ri nt h er e s p o n s eo ft h es y s t e ma l o n gw i t ht h ei n c r e a s eo fr o t o rs p e e d ；s y s t e m d y n a m i cb e h a v i o r sa r em o r ec o m p l e xa n da p p e a rc h a o sm o t i o n s ，a n dp e r i o d 一5 w i n d o wb e c o m e sw i l d e ra l o n gw i t ht h ei n c r e a s eo fe c c e n t r i cq u a n t u m ；s y s t e mh a s e m e r g ep e r i o d 一5w i n d o wi nh i g h - s p e e dz o n ea n db e c o m e sw i d e rg r a d u a l l yw i t ht h e d e e p e n i n go ft h ec r a c k s e c o n d l y , b u i l tt h ed y n a m i cm o d e lo fr o t o rs y s t e mw i t ht h ec o u p l i n gf a u l t so f c r a c k i n ga n dm b i m p a c ta n dp r o v i d e dt h ee q u a t i o n so fm o t i o n i nt h i sm o d e l ，t h e n o n l i n e a rg a sf i l mf o r c e ，t h ec r a c ka n dt h er u bi m p a c t i n ga r ec o n s i d e r e d s e ea b o u t t h en o n l i n e a rd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c sa l o n gw i t ht h ec h a n g eo fr o t a t i o ns p e e d ，s t a t o r s t i f f n e s sa n de c c e n t r i cm a s s ，a n df i n dt h a tr o t o r b e a r i n gs y s t e mw i t hc o u p l i n gf a u l t s o fc r a c ka n dr u b i m p a c th a st h es i m i l a rd y n a m i cb e h a v i o rw i t ht h er o t o rw i t ha s i n g l em bi m p a c t i n gf a u l ta tt h ec r i t i c a ls p e e d ，a sar e s u l to ft h ef o r c eo fc o l l i d i n g i i i 江苏大学硕士学位论文 a n dr u b b i n g ，t h es t a b i l i t yo ft h es y s t e mr e s p o n s ed r o p s ，a n dd y n a m i cb e h a v i o r sa r e m o r ea b u n d a n tt h a nt h o s es i n g u l a rc r a c kf a u l ta tt h eh i g hr o t a t i o ns p e e d w h e nt h e s y s t e mh a sc o u p l i n gf a u l t so fc r a c ka n dr u b - i m p a c t ，w i t hc r a c ke x p a n d i n g ，p e r i o d - 4 w i n d o wb e c o m e sn a r r o w ，a l m o s tp e r i o d i ca n dc h a o sr e g i o ni n c r e a s e ，s y s t e m r e s p o n s ef r o mm u l t i p e r i o d i ce n t e rc h a o sm o v ed i r e c t l y r e s u l t ss h o wt h a td y n a m i c b e h a v i o r si n d u c e db yc o u p l e df a u l t sa r em o r ec o m p l e xt h a nt h o s es i n g u l a rf a u l t ，a n d n o n l i n e a rq u e s t i o n sa r em o r es e r i o u s t h i r d l y , b a s e do naf i n i t ee l e m e n tf o r m u l a t i o ni nt h et i m ed o m a i n ，t h i sm e t h o d t r a n s f o r m st h en o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sg o v e r n i n gt h ed y n a m i cb e h a v i o ro f r o t o r - b e a r i n gs y s t e mi n t oa s e to fn o n - l i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n st h a tc a nb er e d u c e d a n dc a l c u l a t e db yt h ec h a r a c t e r i s t i cs e to fw ue l i m i n a t i o nm e t h o d t h ee f f e c to f s t a t o rs t i f f n e s sa n df r i c t i o nc o e f f i c i e n to nr e s p o n s ef o rr u b - i m p a c tr o t o rs y s t e mw i t h g a sf i l mf o r c ei sc o m p r e h e n s i v e l ya n a l y z e d f i n a l l y , t h ep r i m a r yw o r ko ft h i st e x th a sb e e nc o n c l u d e d ，a n dt h ep r o b l e m e x i s t e da n dt h ed e v e l o p m e n tt r e n do ff u t u r ew o r kh a sb e e np o i n t e do u t k e yw o r d s ：n o n l i n e a rd y n a m i c s ，g a sj o u r n a lb e a r i n g ，r o t o r , c r a c k ，c o l l i d i n g a n d r u b b i n g , m e c h a n i z e dm a t h e m a t i c s ，w u e l i m i n a t i o n m e t h o d i v 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学位保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文 的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 学位论文作者签名： 汐年6 月t o 日 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密团。 带弋 指导教师签名：3 却弓孚笔 d 夕f 。年石月r 日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外， 本论文不包含任何其它个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期：w 【9 年1 6 月f de t 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 课题研究目的和意义 旋转机械是工业部门应用最为广泛和关键的设备之一，转子轴承系统作为旋 转机械最为核心的部件，在石化、国防、能源、机械和交通等领域发挥着非常重 要的作用。由于材料性能、技术和设计等原因，这类设备常常出现各种不同形式 的故障而影响其正常和有效的运行，甚至引发严重的事故，导致重大的损失。因 此人们对旋转机械的设计，特别是对预防故障发生的研究提出很高的要求。但由 于转子系统所出现的故障多属于非线性的范畴，其动力特性较为复杂，对它的研 究还存在一定难度。国内外许多科技工作者和研究人员都致力于非线性动力学的 求解、故障特征与诊断方法的研究，取得了很多重要的研究成果，诊断技术也得 到了长足的发展，并在此基础上研制出多种诊断设备并应用于所研制的工程实际 当中，取得了重大的经济效益和社会效益。但由于非线性动力学问题很难求得其 精确解，以往对于非线性动力系统的研究，仅仅采用平均法、小参数法、多尺度 法等非线性振动理论来求其近似解，其准确性和精确度尚未达到理想的地步，对 转子系统故障发生的机理也未充分揭示。为了从理论上对故障产生的机理做出更 为具体的解释，近些年来，国内外的科技工作者和研究人员采用现代非线性动力 学分岔理论对故障转子系统动力学特性进行分析和研究【1 。3 】。 转子系统的故障种类很多，主要有转子裂纹、轴承油膜振荡、转子静动件之 间的碰摩、轴承支座与基础之间的松动，以及这些故障组合而成的耦合故障等。 传统的转子动力学研究轴承转子系统大多采用线性转子动力学理论。随着机械运 转速度的同益提高和新型材料的出现，线性理论在解决转子动力学问题上的不足 逐渐显露出来。对于大型旋转机械中存在的气浮力、密封力、叶尖气隙力等众多 强非线性激励源，会导致转子轴承系统存在许多非线性问题，而且转子轴承系统 发生故障时，非线性问题就会更加突出。这些非线性因素引起的各种动力学行为 尚未彻底弄清，不能满足现代各种工程设计的需要，迫切需要建立转子轴承系统 存在小间隙非线性激励作用下仍具有良好动力学性态的非线性动力学理论。因此 必须在非线性动力学理论研究的基础上，深入研究非线性气浮力、失稳和非线性 江苏大学硕士学位论文 动力学行为。将转子轴承一基础系统等看成一个整体系统，采用非线性动力学理 论和方法对整体系统进行分析和研究，揭示整体系统存在的各种非线性动力学行 为，提出整体系统的非线性动力学理论及设计方法，研究旋转机械中存在的各种 实际问题。这对提高旋转机械运行的稳定性、安全性、可靠性具有重要的现实意 义和实践工程背景【铀】。 近年来，现代非线性动力学理论的研究取得了很大进展，国内外科技工作者和 研究人员采用非线性理论对转子系统做了大量的研究工作【7 。9 1 。诸如转子系统裂纹 故障的分岔与混沌行为及裂纹故障转子称定性的研究，转子系统油膜振荡的研究， 转子系统碰摩的研究，转子系统基础松动的研究，转子系统分岔与混沌行为及其 稳定性的研究，转子系统故降慢变过程及突变的研究等取得了一系列显著的研究 成果，为单一故障转子的诊断和预测提供了丰富的理论依据。 但目前对多重故障转子系统的动力学和故障机理研究还比较少，而工程实际 当中转子系统的耦合故障又是很常见的，比如裂纹转子系统在一定情况下会产生 转静子碰摩，油膜振荡转子系统在某些干扰下也会产生碰摩故障等。耦合故障转 子的动力学行为较单一故障转子要复杂很多，并且存在许多独特的动力学特性。 由于多重故障转子的耦合特性，用单一故障转子诊断方法去诊断多故障转于必将 发生错误。现在，多故障转子故障诊断的理论依据还很不充分，为解决多故障转 子的诊断方法问题，用非线性理论研究多故障转子系统的非线性动力学问题和故 障机理己是一项十分迫切的工作。 本论文在阅读大量相关科技文献的基础上，以现代非线性动力学理论和转子 动力学理论为基础，采用短轴承非稳态气浮力公式【1 0 j 和非稳态气浮力转子一轴承 系统裂纹模型【1 1 】，研究了一个考虑气浮力作用的裂纹转子一轴承系统模型，并在 此基础上研究了一个考虑气浮力作用的裂纹与碰摩的转子一轴承系统模型，利用 数值积分对这两个模型进行了分析，以此来研究系统响应随转子转速、偏心量、 裂纹扩展和定子刚度等参数变化的特征。此外还对数学机械化方法在转子动力学 中的应用作了初步尝试，分析了碰摩对转子系统响应的影响。 1 2 本课题的国内外研究现状 在转子一轴承系统中，转子相对于定子作高速转动，如果任其直接接触必然 会发生剧烈摩擦，从而降低机器工作效率。为了减小摩擦，必须在转子的轴承中 2 江苏大学硕士学位论文 充入高压润滑剂，传统的润滑剂通常是用油膜充当，从十九世纪开始，希尔( c 工h i r m ) 首次提出了口气作为润滑剂的可能，此后，气体润滑技术得到进一步的发展，在 此基础上，a k i n s b e t y 研制了一种气体润滑径向轴承，1 9 1 3 年，英国w j h a r r i s o n 在保留联系方程密度项的同时，在等温假设条件下导出了可压缩的r e y o n o l d s 方 程，并给出了无限长气体滑块和轴颈轴承r e y n o l d s 方程的解，为气体动压润滑奠 定了基础，在实验研究上，1 9 3 2 年美国在陀螺仪上第一次进行了气体轴承的实验。 n e n z iw a n g 提出了一种等温、可压缩条件下雷诺方程的计算方法，并针对一类气 体轴承进行了分析。 裂纹故障是旋转机械的常见故障之一，裂纹产生原因主要是由于转子材料本 身缺陷或长时间的服役产生的疲劳裂纹。裂纹的存在使转轴发生刚度周期性变化， 从而使转子系统产生了低频激振现象。为了识别早期裂纹的位置和大小，裂纹转 子的振动特性研究引起了广泛的关注，众多研究者提出了各不相同的裂纹模型， 但至今也没有一个公认的力学模型。裂纹开闭规律描述的是转轴转角对裂纹轴动 态刚度表现的影响规律，是裂纹力学模型中的重要组成部分，大体有重力决定的 开闭模型和表面应力决定的开闭模型两大类，目前应用较多的裂纹模型有方波模 型和余弦模型。m a y e 认为具有良好连续性的余弦函数能更好地描述裂纹的开闭规 律【1 2 1 ，而文献 1 3 1 认为裂纹开闭在瞬间完成，裂纹开闭规律应用阶跃函数表示。 高建民提出一种将方波模型和余弦模型统一起来、能描述裂纹开闭及其过渡过程 的模型，称作综合模型【1 4 】。n e l s o n 1 5 】用变分法建立了一个比较完善的裂纹轴单元 的有限元模型，用裂纹所在位置的瞬时曲率决定裂纹的开闭规律，为多自由度的 裂纹转子系统动力学分析奠定了基础。d a v i s 等【1 6 】在对真实转子的实验中用侧量 旋转轴应变的方法第一次证实了裂纹在重力作用下的开闭效应，还证明了裂纹的 开闭规律与裂纹深度之间存在一定的关系。裂纹轴刚度的计算最简单的方法是直 接应用切去裂纹深度的弓形部分的轴段的刚度来等效裂纹的影响。开裂纹模型是 指当转子作同步运动时，转轴裂纹的开闭形状变化很小，此时将裂纹视作常开的。 开闭裂纹是认为裂纹的开闭和轴刚度的变化可用一阶跃函数来表示，即裂纹在轴 旋转一周时，张开闭合一次。薛璞采用开闭裂纹模型，结合有限元法和w i l s o n 0 分析了一个裂纹转子的次谐波和超谐波振动特性【1 7 1 。朱晓梅和高建民针对理想和 非理想能源，研究了裂纹转子加速通过主共振区和参数共振区的非稳态振动【1 8 1 。 3 江苏大学硕士学位论文 t s a it c 和w a n g y z 1 9 】分析了多裂纹转子的自由振动。裂纹会削弱转轴的刚度， 从而引起转子的固有振动特性如临界转速和模态发生变化。但是，裂纹的信息难 以通过固有特性来获取，而是通过疲劳裂纹给系统引入的非线性因素来分析转子 的非线性特性，主要是通过分析各项谐波振动分量的峰值、相位和主共峰附近的 相位跳变、峰尖分裂等现象来寻求转子的裂纹信息。 机械设计中为提高旋转机械的输出功率，采用的主要措施之一就是缩小旋转 机械转子与静子之间的间隙，从而导致转静子间的碰撞与摩擦( 简称碰摩) 的可能性 增大。在转子碰摩研究过程中，通常假设碰摩发生时转子与静子之间的摩擦力符 合库仑摩擦定律，并假设摩擦系数为常数，即假设摩擦系数与转静子相对速度无 关。转子与静予之间的碰摩涉及多种物理现象，其中最重要的有摩擦、撞击、辐 合和硬化效应凹l 。摩擦伴随着转静子元件在接触过程中的相对运动，碰摩转子中 动静子表面间的相对切向速度很高，法向力也很大，因而在很短时间内，摩擦引 起的破坏效应是极其强烈的，可能在某一时刻就对部件造成破坏【2 1 】。当转静件以 相对较高的接近速度发生瞬时碰撞时就会产生撞击，撞击产生一个瞬时响应，且 系统响应为周期的固定谱。由于转静部件接触，机械结构的运动状态和动力学特 性发生改变，这种影响类似于在原有结构上耦合一个附加结构【纽。由于与碰摩耦 合通常依赖于时间( 周期类型) ，所以转子系统的刚度也是时间周期性的。碰摩的附 加效应会使转轴以一个弯曲形状转动，引起转轴刚度的硬化，这将导致转子系统 刚度的增大和系统固有频率的少许增加【2 3 1 。碰摩分四个阶段，依次为初始冲击， 粘着与滑动抖振相互作用的碰摩，伴随转子自由振动的撞击以及碰摩分离。根据 碰摩接触的物理条件按接触面积分为整圈碰摩、偏摩、点碰摩和偏摩与点碰摩的 混合碰摩四种类型，除整圈碰摩以外，其它碰摩亦称为局部碰摩【2 4 , 2 5 】。袁惠群提 出了具有非线性接触力、非线性摩擦力和非线性碰摩力的多种非线性碰摩力学模 型【孤2 7 1 。褚福磊等对碰摩转子典型特征一碰摩分岔现象进行了系统深入地研究， 数值仿真中发现周期运动进入、离开混沌区域的一般规律【嘲。张宇分析了转子碰 摩系统随外激励变化的复杂动力学行为，指出高频振动分量的出现与否是判断系 统产生碰摩的必要条件，还指出当改变轴承间隙时，系统中可能出现单处碰摩或 多处碰摩等不同的碰摩形式【2 9 1 。从2 0 世纪9 0 年代中期开始了耦合故障转子系统的 非线性动力学的理论研究。m u s s z y n s k a 首先研究了带有松动和碰摩故障的转子系 4 江苏大学硕士学位论文 统的非线性动力学问题；刘元峰、赵枚、朱厚军等【删对碰摩与裂纹及含碰摩与松 动的转子转子系统的非线性动力学进行了研究；另外，闻邦椿、李振平、罗跃纲 等【3 4 j 对考虑油膜力的碰摩转子轴承系统的非线性动力学和含裂纹与松动故障 的非线性动力学理论研究。 1 3 非线性转子动力学研究中存在的一些问题和发展趋势 通过总结非线性转子动力学的研究情况可知早期的研究工作，在应用非线性 动力学理论方面，主要集中探索简单转子系统模型中出现的一些非线性动力学现 象，如分岔、混沌等，所获得的结果往往只能为实际机组提供一些定性的、用于 趋势性分析的参考意见。而对较复杂的转子轴承系统，则主要利用数值积分获得 数值结果，其不足之处是只能得到针对特定转子的结果，其结论不具有普遍性。 随着非线性动力学分岔和混沌理论的发展，近年来非线性转子动力学的研究 集中在进一步探索系统中更加丰富和复杂的动力学行为上，从低维系统向高维系 统的发展，从简单转子一轴承系统向复杂转子一轴承系统方向发展，从周期响应的研 究转向对混沌运动的研究。今后将进一步研究高维非线性转子轴承系统的复杂动 力学行为及稳定性，发展解决高维非线性转子。轴承动力系统的工程方法。 虽然非线性转子动力学的研究已取得了一定成果，但将这些研究成果应用于 实际的机组和工程问题，尚有许多工作要做。非线性转子动力学研究的进一步工 作，应该发展现代非线性动力学理论，使之能应用于解决生产实际中非线性转子一 轴承系统的设计以及机组运行的实际问题。综上所述，今后非线性转子动力学的 发展趋势可概括为以下几点： 1 进一步研究简单转子一轴承系统的非线性动力学行为及稳定性问题；为大型 旋转机械的非线性动力学问题的研究提供理论基础； 2 研究从理论以及利用测试数据来建立作用在转子系统上的非线性力学模型 的方法；研究从测试数据进行系统非线性度检测方法；研究旋转机械的非线性参 数识别、建模和重构的方法； 3 研究多自由度转子轴承系统在多个非线性激振力下的非线性动力学理论 及非线性动力学数值分析方法； 4 旋转机械转子系统的非线性参数识别、建模和重构的方法研究； 5 江苏大学硕士学位论文 5 转子轴承系统的非线性动力学优化设计问题，对转子系统非线性动力学的 理论研究必须落实到对大型转子轴承系统非线性动力学优化设计上； 6 非线性转子轴承系统的动力学稳定性、分岔规律及其参数的灵敏度分析方 法研究； 7 非线性转子一轴承系统稳定性裕度及稳定裕度判别准则的研究； 8 转子轴承一密封系统的非线性动力学分析与研究； 9 非线性转子轴承系统的实验模型及现场实验研究； 1 0 发展非线性动力学理论，一方面，研究高维非线性动力学系统的降维 方法；另一方面，提高现有非线性动力学理论能够求解的维数。 1 4 本文的主要研究内容 本论文主要分为两部分，第一部分将四阶r u n g e k u t t a 法结合打靶法的思想建 立数学模型进行数值积分研究，分析了转子轴承系统随转子转速、质量偏心、裂 纹深度和定子刚度等参数的变化所表现出的非线性动力学特性，文章考虑了气膜 力、裂纹以及碰摩等非线性因素的影响；第二部分对数学机械化的吴消元法结合 时间有限元法求解含有局部碰摩转子轴承系统的周期解作了初步的尝试，分析了 碰摩对转子系统响应的影响。 论文的安排如下： 第一章绪论 本章阐述了非线性转子动力学研究现状，存在的一些问题和发展趋势，本课 题的提出及研究的目的和意义，本课题研究的概况，简要介绍了本论文研究的主 要内容。 第二章非线性动力系统理论基础 这章主要介绍了现代非线性动力学的理论，包括分岔理论、混沌理论、非线 性方程的主要研究方法以及数学机械化理论。 第三章考虑气膜力的裂纹转子系统非线性动力学行为分析 这一章建立了气浮轴承支撑的裂纹转子系统模型，将r u n g e k u t t a 法和打靶 法联合求解系统的运动微分方程分析了系统随系统各参数变化而引起的非线性动 力学特征的变化，作出了系统关于各参数的分岔图，并在各给定参数下作出该系 6 江苏大学硕士学位论文 统的相图、p o i n c a r e 截面图合频谱图，通过系统各种动力学图完整地分析了该系 统的动力学行为。 第四章含裂纹与碰摩转子轴承系统的非线性动力学行为分析 在第三章的基础上，研究了含裂纹与碰摩耦合故障转子轴承系统的数学模 型，分析了系统的非线性动力学行为，作出了系统随定子刚度、裂纹深度等参数 变化下的分岔图及部分相图、p o i n c a r e 截面图和频谱图，并与第三章系统只有单 一裂纹故障时作了比较。 第五章数学机械化分析气浮轴承转子的碰摩 本章将时间有限元法和吴消元法的拟除和特征列思想相结合，将数学机械化 应用到非线性转子动力系统中，利用符号推演，研究了碰摩对转子系统周期响应 的影响。 第六章结束语 这章归纳了本论文的研究工作，并指出了有待解决的问题。 7 江苏大学硕士学位论文 第二章非线性动力系统及转子动力学理论基础 非线性动力学及转子动力学中复杂性现象的发现及分岔和混沌理论的建立， 是当代基础科学的重大成就之一，它使非线性科学有了可靠的理论保证，并广泛 应用于振动、自动控制等部门非线性问题的研究，对经典力学、物理学、固体力 学、流体力学、生态学和生物医学，乃至一些社会科学部门的研究和发展都产生 深远的影响。同时，科学实践的进一步深化反过来又促进了非线性动力学理论的 纵深发展。 本章简要介绍了非线性动力系统理论中的分岔理论、混沌理论、数学机械化 理论以及常用的分析方法，是后面章节的理论基础。 2 1 分岔理论概述 分岔是当非线性动力系统的参数在某临界值发生微小变化时，系统的定性性 质发生“质变 的一种现象，该临界参数称为系统的分岔点。分岔不仅提示了系 统的不同运动状态之间的联系和转化，而且与失稳和混沌密切相关。 设区域( 厂冬彤，y 尺“，考虑如下的含参数口的n 阶连续动力系统： 戈= f ( x ，优) ( 2 1 ) 其中口r “，n x u r “为状念变量，历= ( q ，吃，) r v r ”称为分岔参数。 定义2 1当参数口连续变化时，系统( 2 1 ) n 拓扑结构在处发生突变，则称系统 ( 2 1 ) 在岱= 处出现分岔。并称为分岔点。 定义2 2 在 ，口) 空间中画出系统( 2 1 ) 的极限集( 平衡点、极限环等) 随参数口变化 的图形称为分岔图。 分岔问题可以分为静态分岔、动态分岔，也可以按局部分岔和全局分岔来分 类。静态分岔是指系统的平衡状态数目和稳定性的变化，动态分岔是指系统在相 空间中相轨迹定性性质的变化，它与动力系统理论、结构稳定性概念密切相关。 动力系统的拓扑结构由轨线、平衡点、闭轨、极限集和非游荡集来表征，其结构 8 江苏大学硕士学位论文 稳定性意味着在小扰动下保持拓扑等价，这可以是指整个向量场的结构稳定，也 可以是指某不动点附近的局部结构稳定性的否定。这里系统的小扰动概念通常是 在参数空间的领域内来描述的。动态分岔是对结构稳定性的否定，即总存在一个 小扰动与原拓扑结构不等价。局部分岔是研究平衡状态或相轨线附近拓扑结构的 变化，而全局分岔是研究系统大范围内拓扑结构的变化。 静态分岔可以分为平衡点的鞍结分岔、跨临界分岔、叉式分岔等等。动态分 岔可以分为霍普分岔、闭轨分岔、环面分彷、同宿或异宿分岔等等。局部分岔有 鞍结分岔、霍普分岔等。全局分岔的例子是大范围内出现同宿轨道和异宿轨道。 一般分岔问题的求解，包括维数的约化和形式的化简两个方面，为此发展有 中心流形理论，l y a p u n o v s c h m i d t 方法，奇异性理论和规范形方法等。 2 2 混沌理论概述 混沌是非线性系统特有的一种运动形式，是产生于确定性系统的敏感依赖于 初始条件的往复性稳态非周期运动，类似于随机振动而具有长期不可预测性。 定义2 2 设，为一集合，g ：ioi ，如果g 满足： ( 1 ) g 对初始敏感依赖； ( 2 ) g 是拓扑传递的； ( 3 ) 周期点在，上稠密。 则称g 在，上是混沌的。 上述定义说明混沌系统的三大特征：( 1 ) 隶属于确定性系统又难以预测；( 2 ) 隐 含于复杂系统又不可分解；( 3 ) 貌似无序确有规律。 混沌的基本特征是具有对初始条件的敏感性，即初始值的微小差别经过一定 时间后可导致系统运动过程的显著差别。这种对初始条件的敏感依赖性称为初态 敏感性。 混沌还必须是往复的稳态非周期性运动，这是非线性系统的又一特征。在无 限时间历程中，确定性线性系统的非周期运动( 即周期运动、准周期运动和概周期 运动之外的运动) 都不是往复的稳态运动。如强阻尼线性振动趋于静止，而无阻尼 线性受迫振子共振时的运动发散到无穷。非线性系统则不同，它可能存在往复但 非周期性的运动。混沌的这种往复的非周期运动看上去似乎无任何规律可循，完 9 江苏大学硕士学位论文 全类似于随机噪声，而且采用传统的相关分析和谱分析等信号处理技术也无法将 混沌信号与真正的随机信号区分。值得注意的是，这种类似随机的过程产生于完 全确定性的系统。因此混沌具有内禀随机性。 混沌的另一特征是长期预测的不可能性，这又有别于完全不可预测的真j 下随 机过程。现实中的任何物理量都只能以有限精度被量测，无穷高精度在物理世界 中是不存在的。因此在初值中存在着不确定因素。可以认为具有初态敏感性的系 统对于初值误差的作用不断进行放大。随着时间的流逝，初始条件中的不确定因 素起着越来越大的作用。一段时间以后决定运动的已不是初始条件中以有限精度 给定的部分，而是在精度范围之外无法确定而又必然存在的误差，运动的预测便 成为不可能。由于初态敏感性而具有的不可长期预测性，被形象地称为蝴蝶效应。 判断或预测混沌出现的方法有多种多样，如数值方法，谱分析方法，p o i n c a r e 映射方法，l y a p u n o v 指数方法，胞映射方法，符号动力系统方法等等。由于目前 人们对混沌尚未取得共识，而且有时不同方法所得结论也有所差别，因此在这方 面有待于进一步研究。 目前判断或预见混沌的主要方法有： ( 1 ) 利用数值方法结果观察运动轨迹和奇怪吸引子结构的不规则性； ( 2 ) 利用数值方法得到功率谱，出现连续谱线； ( 3 ) 利用p o i n c a r e 映射，将连续动力系统转化为离散动力系统加以研究，如果 p o i n c a r e 映射呈现具有分形结构云状图； ( 4 ) l y a p u n o v 指数是衡量系统运动对初值敏感程度的量，一般需要用数值方 法计算，系统有几维就有几个l y a p u n o v 指数，其中最大l y a p u n o v 指数大于零可 以作为系统进入混沌的重要判据； ( 5 ) 具有分维数的吸引子也是判定混沌的重要特征。 2 3 机械化数学理论概述 “数学机械化的思想和理论是我国学者吴文俊先生在继承和发扬中国古代 数学中的机械化思想而发展起来的数学理论。吴文俊先生于2 0 世纪7 0 年代发展 了机械化数学的思想【3 5 】，提出了“吴消元法”的理论和方法。他指出，在整个数 学发展过程中有两个中心思想，一是源于希腊的“公理化”思想，另一是贯穿于 1 0 江苏大学硕士学位论文 中国古代数学的“机械化 思想。吴先生强调，与希腊几何学的演绎体系不同， 我国古代数学有着自己的独特特点，其理论精髓是“机械化思想。 由于吴消元法主要用来求解用多项式方程组描述的代数方程组系统，还不能 直接应用于以微分方程组描述的非线性动力学问题，必须先将微分方程组离散化， 转变为代数方程组，以便于利用吴消元法求解。微分法方程组的离散化可通过各 种差分格式来实现，最有效的离散化方法当推时间有限元法。时间有限元法经过 不断的完善和发展，现已在非线性动力系统及控制系统等多种领域中获得了成功 的应用。时间有限元法的主要思想是基于h a m i l t o n 变分原理，将一组非线性微分 动力方程组离散成代数方程组，而吴消元法的你出和特征列思想恰恰适用于代数 方程组的解析求解，因而将次二方法联用即可实现对非线性微分动力方程组的解 析求解，具体演算需利用符号推演由计算机实现。 2 3 1 数学机械化中吴消去法的数学基础 设k 是特征为零的域，多项式环的内容分为( “1 ，比2 ，“s ) 与 1 ，勉，尥) 两组， 在多项式环k u l ，地，勋，。】中，u 1 ，“2 ，“。作为参量出现。 设p ( u l ，魄z 1 ，砧研“1 ”，魄x l ，确】，在p ( u l ，魄，x l ，而) 中实际出现的x 1 ， 耽。x n 中最大下标的变元称为p 似1 ，”，弘x 1 ，而) 的主变元，主变元的下标称为多项 式的类，记作c l s 。如果在多项式脚1 ，“。，x 1 ，如) 中变元g 1 ，耽，如) 不出现， 则p 没有主变元，他的类c l s ( p ) = 0 。 设p 的类c l s ( p ) = z ，则在p 中主变元x l 出现的最高次幂称为p 关于主变元的 幂，记作d e g 而p 2 d t 。主变元最高次幂的系数称为多项式p 关于主变元的幂， 记作，他是除主变元之外的变元的多项式，在某些特殊情况下可能是常数。如 果c l s ( p ) = z ，则作= m “1 ，玩，x 1 9 0 oo 为一1 】，即c l s ( p ) s 卜。1 。 2 3 2 多项式的约化 在多项式环的研究中，为求解多项式方程组，用一组非零多项式去除另一个 多项式的方法，得到带零余式，这种广义的除法概念称为“约化”。 定义2 4 假设s 是t 上的单项式序，对于非零的多项式厂k u b ，u s , x 1 , ，x 1 ， 称( r 6 0 ， 0 ，都有fi + l ri ，所以上述过程是收敛的。 此时多项式组n 中的任意多项式对rn 所求余的余式都是零多项式，若rn 非空， 则rn 就是多项式组的特征列，然后令特征列的各多项式为零来求解方程。 2 4 非线性方程的主要研究方法 目前，研究非线性常微分方程的主要方法有三种：定性方法、近似方法和数 值方法。 1 3 江苏大学硕士学位论文 1 定性方法 在不求解非线性常微分方程的基础上，揭示其定性性态，如解的存在性、唯 一性、渐近行为、局部分岔和全局分翁行为等。 2 近似方法 近似方法主要有：摄动法( 小参数法) 、平均法( k b 法) 、k b m 法( 渐近法) 和多 尺度法等，近似方法中解的表述是显式的，便于分析参数的影响，但是难以获得 高精度的解。 3 数值方法 数值方法目前已广泛用于非线性振动系统的研究，是一种求解非线性方程的 有效方法，典型的数值方法有：分岔图、相图、p o i n c a r e 截面、时间历程和功率 谱图等。 2 4 1 分岔图 分岔图是以状态变量和分岔参数构成的图形空间，表示状态变量随分翁参数 变化的规律。选取系统中一个连续变化的参数作为横坐标，取对应于每一参数值 的系统响应的p o i n c a r e 截面为纵坐标，即可绘制出相应的分岔图。通过分岔图可 以得到系统响应的周期运动、拟周期运动及混沌运动所对应的参数区间，在一定 程度上可用于判定通向混沌的道路，但分岔图不能区分混沌运动和拟周期运动。 2 4 2 相图 对于n 维常微分方程表示的动力系统，相图是系统的解曲线在相空间的投影。 对于确定性运动的定常运动状态，只有3 种情况：静止状态，周期运动状态和拟 周期运动状态。在相图上表现为，经过一定长时间以后，周期1 或周期k 运动对应 于1 条或k 条连续的封闭曲线。但相图往往不能区分随机运动和混沌运动及拟周期 运动。 2 4 3p o i n c a r e 截面 连续系统的p o i n c a r e 截面可以表示系统相轨线的拓扑性质。p o i n c a r e 截面上 的孤立点或有限个孤立点、闭曲线和分布在一定区域上的不可数点集分别表示系 统响应的周期或周期k 运动，拟周期运动和混沌运动。对于p o i n c a r e 截面图，每 隔一个周期提取系统响应的位移和速度值，分别作为横纵坐标，得到p o i n c a r e 截 面上的一个点。如果系统响应为周期解，相应的p o i n c a r e 图为孤立的点。当系统 1 4 江苏大学硕士学位论文 响应作严格的同步周期运动时，p o i n c a r e 截面上的所有点均重合为一个点；当系 统响应作周期k 运动时，p o i n c a r e 图上为k 个孤立的点，周期数与孤立点数一致； 当系统作拟周期运动时，p o i n c a r e 图呈现为封闭曲线；当系统响应为混沌运动时， p o i n c a r e 截面图可能呈现为分散性堆积的散点图，也可能呈现类似云图状的复杂 图形。 2 4 4 时间历程 用数值方法将方程的解随时间