（概率论与数理统计专业论文）由分数brown运动驱动的随机微分方程.pdf

中文摘要 摘要 分数b r o w n 运动作为普通b r o w n 运动的推广，在许多领域有着重要的应 用，因此有必要研究将分数b r o w n 运动作为输入噪声的随机微分方程。本文 主要研究由分数b r o w n 运动驱动的积分方程的解的存在性和唯一性，在积分 l i p s c h i t z 条件下得到强解的存在唯一性定理，其中分数b r o w n 运动的h u r s t 参 数为h ( 0 ，1 ) 。 在对分数b r o w n 运动驱动的随机积分方程的研究中，b i h a r i 不等式及推广 的b i h a r i 不等式是非常重要的工具。为了得到解的唯一性，本文将b i h a r i 不等 式进一步推广，得到一个非线性的积分不等式，并给出证明。 论文结构如下： 第一章主要概述将b r o w n 运动推广至分数b r o w n 运动的必要性，以及由分 数b r o w n 运动驱动的随机微分方程的发展、研究现状等，最后简述本文研究的 主要内容及方法。 第二章分两部分：第一部分陈述了分数b r o w n 运动的研究意义及定义，第 二部分讲述了分数b r o w n 运动的性质。内容包括连续性、自相似性、可微性、 g i r s a n o v 公式、谱、再生核h i l b e r t 空间、p 次变差等几方面。 第三章主要概述由分数b r o w n 运动驱动的随机微分方程的解的存在唯一性 理论的最新研究成果，包括： h 1 到h 丢，时齐到非时齐，一维到多维 等等。 第四章分两部分：第一部分首先给出了与本文主要结论相关的定义和引 理，并给出了推广的b i h a r i 不等式及其证明。第二部分证明了本文主要结论， 即积分方程在一类积分l i p s c h i t z 条件和线性增长条件下强解的存在唯一性定 理。 关键词：分数b r o w n 运动；自相似性；随机微分方程；积分l i p s c h i t z 条件；强解； b i h a r i 不等式 湖北大学硕士学位论文 a bs t r a c t f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o nh a sm a n yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n sa sag e n e r a l i z a t i o n o fo r d i n a r yb r o w n i a nm o t i o n s oi ti sn e c e s s a r yt os t u d ys t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o na si n p u tn o i s e t h i st h e s i sh a sm a i n l ys t u d i e d t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o nf o rt h ei n t e g r a le q u a t i o nd r i v e nb yaf r a c t i o n a l b r o w n i a nm o t i o nw i t hh u r s tp a r a m e t e rh ( 0 ，1 ) ，a n dw eh a v ee s t a b l i s h e dat h e o r e ma b o u tt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es t r o n gs o l u t i o nu n d e rt h ec o n d i t i o no f i n t e g r a ll i p s c h i t z b i h a r ii n e q u a l i t i e sa n dt h eg e n e r a l i z e db i h a r ii n e q u a l i t i e sa r ei m p o r t a n tt o o l si n t h es t u d yo ft h es o l u t i o no ft h es t o c h a s t i ci n t e g r a le q u a t i o nw h i c hi sd r i v e nb yf r a c t i o n a l b r o w n i a nm o t i o n i no r d e rt od e r i v et h eu n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n ，t h i st h e s i sh a s g e n e r a l i z e dt h eb i h a r ii n e q u a l i t i e sf u r t h e ra n dd e r i v e dan o n l i n e a ri n t e g r a li n e q u a l i t y w h i c hh a sb e e np r o v e d 纬台o r g a n i z et h et h e s i sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w eo v e r v i e wt h en e c e s s i t yo ft h eg e n e r a l i z a t i o nf r o mb r o w n i a nm o - t i o nt of r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ，a n dt h ed e v e l o p m e n to ft h es t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nd r i v e nb yf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n f i n a l l y ，w es u m m a r i z e o u rm a i nr e s u l t a n dt h el e a m i n gm e t h o d s c h a p t e r2i sd i v i d e dt ot w op a r t s i nt h ep a r to n e ，w es t a t et h ed e f i n i t i o na n d t h es i g n i f i c a n c eo ft h ef r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n p a r tt w oc o n t a i n ss o m ep r o p e r t i e s s u c ha sc o n t i n u i t y , s e l f - s i m i l a r i t y , d i f f e r e n t i a t i o n ，g i r s a n o vf o r m u l a ，t h es p e c t r a ，t h e r e p r o d u c i n gk e r n e lh i l b e r ts p a c ea n dt h ep v a r i a t i o n i nc h a p t e r3 ，w eo v e r v i e wt h el a t e s tr e s e a r c hr e s u l t sa b o u tt h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h es t r o n gs o l u t i o n sf o rs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sd r i v e nb yf r a c - t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n n e yi n c l u d e ：f r o mi 2 h 1t oh 1 2 ，f r o mt i m e h o m o g e n e o u s t ot i m ei n h o m o g e n e o u s ，f r o mo n e - d i m e n s i o n a lt om u l t i d i m e n s i o n a la n d s oo n f i n a l l y , c h a p t e r4 i sa l s od i v i d e dt ot w op a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，w eg i v et h er e l e v a n t d e f i n i t i o n sa n dl e m m a s ，a n dt h e ng i v et h eg e n e r a l i z e db i h a r ii n e q u a l i t i e sa n di t sp r o o f i nt h es e c o n dp a r t w ep r o v et h em a i nr e s u l t s t h a ti st os a y , i n t e g r a le q u a t i o ne x i s ta u n i q u es t r o n gs o l u t i o nw h e nt h ec o e f f i c i e n ts a t i s f i e st h ec o n d i t i o n so fi n t e g r a ll i p s c h i t z a n dl i n e a rg r o w t h k e yw o r d s ： f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ；s e l f - s i m i l a r i t y ；s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ；i n t e g r a ll i p s c h i t zc o n d i t i o n ；s t r o n gs o l u t i o n ；b i h a r ii n e q u a l i t y 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 作者签名：7 眵琴 签名日期：) 唧年s 月刁日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在 解密后遵守此规定) 作者签名： 导师签名： 橱 0 蔓戋磔 日期：川年岁月刁日 醐：7 钳月；7 日 第1 章引言 第1 章引言 b r o w n 运动不仪是花粉粒子运动的模型，它还描述了像热电子运动、通 信噪声、市场价格波动以及许多动态系统的随机干扰等等物理现象。可以说 b r o w n 运动具有中心理论的重要性，但对于其它一些目的来说，它也有一定的 局限性，b r o w n 过程具有独立平稳增量，且具有有限方差，但是在许多自然现 象中，存在一类随机过程，不具有上述特性，要模拟此类随机过程，最合适的 还是分数b r o w n 运动。分数b r o w n 运动是协方差为 1 r h ( t ，s ) = e ( b 芦b h ) = 去 l t l 2 日+ l s l 2 日一l t s 1 2 日) 的中心高斯过程，0 丢一1 ) 阶h o l d e r 连续 导数。 当h 0 时w ( u 1 0 ，k 是非负常数。 目前已有大量研究工作对b i h a r i 不等式进行了各种形式的推广，并将其用 于研究方程解的性态。如文献【2 0 】把b i h a r i 不等式推广到含n 个非线性项的积 分不等式，并且用归纳法加以证明，所得结论包含了m p i n t o 【2 3 】和s u n gk y u c h o i 【3 3 】等的结论。再如文献【2 】将m e n gfw 和w a n gjz 2 l 】的结果进一步推 广，建立了若干新的更为广泛的非线性积分不等式。文献【3 9 】建立了n 维独立 变量的g r o n w a l l b e l l m a n b i h a r i 型l e b e s g u e s t i e l t j e s 积分不等式。 本文将按照文献【2 和 3 9 】中的方法，将b i h a r i 不等式进一步推广，即 让岛+ c lf o2 巾) 小脚s + q z 。巾) f 0 8 小一嘲s ) d s 其中u ( t ) 单调递增且连续，v ( t ) 非负可积，0 t t ，g ( i = 0 ，1 ，2 ) 非负， p ，y 为非降凹函数。推广后可应用到积分l i p s c h i t z 条件下的方程( 1 3 ) 的解的证 明中。 一3 一 湖北大学硕士学位论文 第2 章分数b r o w n 运动的介绍 2 1 分数b r o w n 运动的定义 1 8 2 7 年，英国植物学家b r o w n 在显微镜下观察到了花粉粒子在静水中的奇 怪的不规则的运动。1 9 0 5 年，e i n s t e i n 对这种现象作了物理解释。1 9 2 3 年， w i e n e r 构造了它的数学模型，这就是现在称之为b r o w n 运动的随机过程。 按照w i e n e r 的定义，一维b r o w n 运动w = w ( 亡) ，t 0 ) 是具有以下性质 的随机过程： 1 w ( 0 1 = 0 ； 2 0 t l t 2 t 。，礼n = 令 ( 亡2 ) 一( t 1 ) ，w ( t 3 ) 一 w ( 2 ) ，w ( t 。) 一w ( t n - - 1 ) 】为相互独立随机变量族； 3 0 8 0 为 一常数。 当口2 = 1 时，称之为标准b r o w n 运动( 或简称为b r o w n 运动) 。取值于掣的 d 维随机过程w ( t ) = ( w 1 ( t ) ，w 2 ( t ) ，w d ( ) ) ，若 ( t ) ，t 0 5 ：1 ，2 ，d 为 d 个相互独立的一维b r o w n 运动，称之为d 维b r o w n 运动。 在今天，b r o w n 运动己不仅是花粉粒子运动的模型，它描述了像热电子运 动、通信噪声、市场价格波动以及许多动态系统的随机干扰等等物理现象。 尽管b r o w n 运动具有中心理论的重要性，但对于其它一些目的来说，它也 有一定的局限性。b r o w n 过程具有独立增量，增量是平稳的，且具有有限方 差，但是在心率及脑波的波动，自然地貌等自然现象和社会现象中，存在一类 随机过程，不具有上述特性。因此人们不断寻找各种合适的模型来模拟此类随 机过程，而分数b r o w n 运动就是用的比较多的一种。 无论从理论还是实践角度来看，分数b r o w n 运动都是很具有研究意义的。 它是复杂系统科学体系下的数理金融学的一个合适工具，为自然时间序列一类 提供有用的模型，是对具有分形特征的自然现象的高度逼真。事实上，分数 b r o w n 运动已经被广泛应用于金融、天文学、随机网络等各个领域。它的优良 性质如自相似性和长时相关性已经完好的呈现给统计学家、科学家、工程师等 等，因此研究它是非常有益的。 最早在1 9 6 8 年，b e n o i tm a n d e l b r o t 和v a nn e s s 4 】提出了分数b r o w n 运动 模型。在不同的文献中，分数b r o w n 运动被赋予不同的名称，如分形b r o w n 运 动、有偏的随机游走、分形时间序列、分形w i e n e r 过程等等。其定义如下： 4 第2 章分数b r o w n 运动的介绍 定义2 1 设6 0 是任意实数，0 h 0 ，b h ( t ，w ) 被定义为 b h ( o ，w ) = b o ， b f t ( t ，w ) 一b h ( o ，w ) = 南 瞰_ s ) 肛l ( s ) 肛址即川+ o 。( 削g1 酢m ) 当t 0 ，( 一1 ) 叫= e 一”，r ( 口) = 铲r a - 1 e d r 。 并且定义w e y l 左( 右) 导数如下： m ，= 南( 器+ q 霉等书咖) 剐= 描( 器+ q 6 警书咖) 酬以 其中，( z ) 为示性函数。 p a u ll 6 v y 【2 9 】明确指出b ( t ，w ) 的一个类似但更著名的滑动平均，即 h o l m g r e n r i e m a n n l i o u v i l l e 分数次积分： b 刍( ，叫) = f 曩；酉z 。q s ) h 一；d b ( s ，叫) 其中日为任意正数。这个积分在原点对于许多应用发挥着重要的作用。 下面主要介绍分数b r o w n 运动的一些性质。 5 一 湖北大学硕士学位论文 2 2 分数b r o w n 运动的性质 分数b r o w n 运动b h ( ，叫) ，0 h 时，b h ( t ，w ) 一b n ( o ，w ) 与b h ( t + h ，w ) 一( 亡，叫) 同号，所以 如果b h ( t ，w ) 在过去有增加的趋势，则在将来也增加，即增加的趋势具有“持 久性”。 当h 时，b n ( t ，w ) 一b n ( o ，w ) 与b h ( t + h ，w ) 一b n ( t ，w ) 异号，则反 趋势变化，或者说具有“反持久性”，所以增量不独立。有些文献也称此性质 为“长时相关性”。 2 2 1 自相似性 因为分数b r o w n 运动的自相似性和非平稳性是许多自然现象和社会现象的 内在特征，所以下面首先来讨论一下分数b r o w n 运动的自相似性。 定义2 2 随机函数 x ( 厶伽) ；一 t 0 和任意t o 有 x ( t o + 7 ，w ) 一x ( t o ，硼) ) 全 一日【x ( o + h r ，w ) 一x ( t o ，叫) 】) 其中全表示前后两个随机函数有相同的有限维联合分布。 分数b r o w n 运动的增量具有自相似性。另外，如果x ( t ，w ) 有自相似性和 平稳增量且均方连续，那么0 h o ，妒1 ( 亡) ： 6 1 o 。6 ， 10 o t h e r w i s e 则勘( t ，伽；6 ) 有平稳导数，即 b h ( t ，加；6 ) = 6 - - 1 b 日( 亡+ 6 ，w ) 一b h ( t ，叫) 】 一仁晰，伽) d c p l ( h ) 它几乎处处连续，但不可微。当6 足够小时，现( z ，w ) 和b h ( t ，加；6 ) 是无区 别的。所以一步一步地，用更光滑的核取代妒1 ，最后使用无穷可微核妒，它 在有限区间外为0 且积分到1 ，那么f ：b h ( 8 ，叫) 妒( t s ) d s 的k 阶导数为 ( 一1 ) 知巴b n ( s ，叫) 妒( 七) ( 亡一s ) d s 。它对于所有正整数k 是连续且平稳的。按照 这种方法，可以解释b 0 不是随机函数，而是一个推广的随机函数( 在s c h w a r z 分布意义上) 。为了实践的e l 的，也许要求避免s c h w a r z 分布，因此关注更多的 是b 日的有穷微分是b 备的逼近是不是合理的。( 参看文献【4 】) 7 湖北大学硕士学位论文 2 2 3 谱 分数b r o w n 运动增量的频率表达式： ，0 0 b 日( 亡2 ，叫) 一b h ( t 1 ，叫) = v h ( e 2 疵m 2 一e 2 ，r i a t x ) 入- h - d b ( a ，叫) j 0 其中瞄是常数。这表明b h ( t ，w ) 的谱密度与入- 2 何1 成正比，然而非平稳随机 函数的谱密度很难解释。因此如果使b h 可微，则b 备的谱密度与a 1 _ 2 日成正 比。如果百1 h 1 ，那么此密度对于a = 0 时趋于无穷。 在a = 0 附近，谱密度与a 1 _ 2 日成正比，：i 1 0 ，舰g ，日( a ；6 ) 是正的、有限的、且等于的谱密度。( 参看 文献【4 】4 ) 2 2 4 再生核h i l b e r t 空间 如果，是任意指标集( 如i r ) 且r ：ixi c 是对称、非负定的，那么 一8 第2 章分数b r o w n 运动的介绍 函数在j 上存在唯一h i l b e r t 空间，使得对于所有的t 1 和g ( r ) ， 且 兄( ，t ) m ( r ) ( g ，r ( ，亡) ) h ( r ) = 夕( ) m r ) 称为再生核为r 的再生核h i l b e r t 空间( r k h s ) ( 参看文献【3 1 1 ) 。而且 皿( r ) 由形如 n a ( s ) = a i r ( s ，t i ) ，s i ， i = 1 的函数构成。并且范数 n 圳2 = a i r ( t j ，t 1 ) 丐 i j = l 下面给出了h ( b h ) 的频域特征：设b 日是分数b r o w n 运动， p ( a ) lf ai 彬1 1 2 日如， 那么h ( b h ) 由形如下式的函数构成： 鲋) = 去仁等丽旷2 t 毒r ， 其中歹l 2 ( p ) 且对于所有g ，h h ( b n ) ， ( 咖) h ( b 圹爵1 仁元( 伽) 丽i 以日托 另外给出对应的时域特征：设b h i t 全 b h i t ( t ) ；t o ，卅) ，那么h ( b h i t ) 是由约束在 0 ，卅上的h ( b h ) 中函数构成。则有：h ( b h i t ) 由形如下式的函数 构成： 鲋) = 南o 。f s tt h - - 1 2 ( 丁叫肌3 胆打 瓣班胡d s 其中t 0 ，刀，歹三2 ( o ，t 】) 。在 0 ，t 】上任意函数g 有导数矿，且对于所有 9 湖北大学硕士学位论文 t 0 ，刁， 一i f ( t ) 卅叫2 丢 高o 。( ) 1 2 - h s l 2 - h g ( s ) d s 甚至，对于的，h - ( b t t l t ) ， 2 2 5g i r s a n o v 公式 ( 夕， ) h ( b h i t ) = o t 元( 丁) 劢 关于利用指数鞅研究了概率测度的变换问题，曾有学者得出b r o w n 运动 的g i r s a n o v 定理。应用这种变换，可以将一个随机微分方程的漂移系数加以改 变，称为漂移变换或g i r s a n o v 变换，利用该方法，在一定条件下可将弱解的存 在性和分布唯一性问题简化为漂移系数为零的情况，因此研究它是有必要的。 下面也利用指数鞅研究分数b r o w n 运动的g i r s a n o v 公式。( 参看文献【1 5 】) 用够( m ) 表示m ( m 为鞅) 的随机指数： 1 够( m ) 圭e x p ( 舰一言( m ，m ) t ) 由鞅定理的结论，够( m ) 是期望为1 的鞅，约束t 在有限区间【0 ，卅上， 对于a r ，设只是( q ，易，p ) 上的概率测度，定义关系式： ( 箬) 卿熹嘶聊 那么将陈述g i r s a n o v 型结论：坼( a m ) 是下述两种假设的似然比： h o ：关于测度p ，过程x 是参数为h 的分数b r o w n 运动，即x t = 互。 凰：关于测度只，过程x 是漂移为常数a 的分数b r o w n 运动，即x t = 五+ o 芒。 则关于测度只，过程z 是漂移为a 的分数b r o w n 运动，即z 关于p d 的分布与 五+ 口亡关于p = p 0 同分布。 2 2 6p 次变差 b r o w n 运动几乎所有的轨道在任一有限区间上的变差都是无界的，而分数 b r o w n 运动的p 次变差有下述性质( 参看文献【1 4 】) ：设v s ，t 【0 ，l 】，p 0 ，那 1 0 第2 章分数b r o w n 运动的介绍 么存在常数c = c ) 0 ，使得 e i b f f b l p c l t 一5 i p 日， e i i d b f f d b h i i v 磬= i t s i p 日， i l 酸一倒h i | p ，。c i t s l h , 佗n 另外如果定义在 0 ，卅上的分割为n = o = t o t 1 i 1 时，由y o u n gd 8 建立的积分理论可被应用，关于由高斯过程驱 动的随机微分方程的解的存在性和唯一性的定义包含在【3 5 】 3 6 】中。 文献【3 5 】中，l y o n s 考虑了积分方程： 铲时壹p 厩j= l 。” 其中0 t t ，矿是 0 ，卅上的连续函数，有有界p 次变差，p 1 ，2 ) 。如 果每个一有q 阶h 6 1 d e r 连续导数，那么此方程在有界p 次变差的连续函数空 间中有唯一解。 考虑h u r s t 参数为日的分数b r o w n 运动有局部有界p 次变差，p 去， 【1 4 】已经建立了由分数b r o w n 运动驱动的随机微分方程的解的存在性和唯一 性，其中扩散系数有q ( q 丢一1 ) 阶h 6 1 d e r 连续导数。 上面文献考虑的是时齐的方程，再举一个非时齐的例子。 文献 2 5 】证明了由分数b r o w n 运动( h 百1 ) 驱动的微分方程： d x ( t ) = 口( x ( 亡) ，t ) d z ( t ) + 6 ( x ( ) ，t ) d t ， x ( t o ) = ) c o 其解是存在和唯一的，在一个小的随机区间上，扩散系数在空间w 气中是收 缩的。其中； p 寺一1 ) 阶h 6 1 d e r 连续导数。 如果h 互1 ，先前的积分理论不能用来定义和解决由分数b r o w n 运动驱动 的随机微分方程。许多学者正努力发展对于h 互1 的分数b r o w n 运动的一个积 分理论。文献【1 7 】就构造了一个几何粗路径，与； 0 。如果有不等式 ，茹 u ( z ) 2 正o + f ( s ) h ( u ( s 一) ) d a ( s ) ，o z x ， j 0 让( z ) g 一1 g ( u 。) + o 茁，( s ) d a ( s ) ，。z x ， 其中 g ( r ) = r ( 1 h ( ) ) d 移，r 。， 。， g 一1 是g 的反函数，x 的选择需满足 g ( u 。) + o 霉，( s ) d a ( s ) 。o ，仉( g 一1 ) ，。z x + ， 如果h f 0 1 0 ，可定义 g ( r ) = o ( 1 h ( ) ) d 口，r 。 此时甚至允许u o 0 。 引理4 6 ( 比较引理) 设，是r + 上凹的，非降连续函数，使得f ( o ) = 0 ，且 1 8 第4 章主要结论 f o + f - 1 ( z ) 出= 。如果z 是r + 上的非负连续函数，使得 五j 0 2 ，( 五) d s ， 对于所有的t 0 ，那么 z 兰o 4 2 本文主要结论 推论4 7 如果 u ( t ) c o + c 1 厂。u ( s ) 7 ( “。) d s + 岛厂2 ( s ) 厂8 p ( 仳。) d k ( s ) d s j 0j 0j 0 ，u ( t ) + u ( s ) 7 ( “。+ c 2 ( s ) p ( 仳。) d k ( s 1 ， 其中仳( t ) 单调递增且连续，u ( 亡) 非负可积，0 t t ，g ( i = 0 ，1 ，2 ) 为非 负数，p ，y 为非降凹函数，则有 u ( t ) c o e ( t ) f ( t ) 其中 础) = 旷+ o 。洲s ) d s f ( t ) = g - - 1 g ( 1 ) + j 0 2q g ( t ) e ( s ) d 后( s ) 证明：同引理4 3 的证明， z 。 ( s ) z 8p ( 乱。) d k ( s - ) 如g ( t ) z 2 p ( 乱。) d k ( s ) ， 其中 所以 g ( ) = o 。口( s ) d s f tt u ( t ) c o + q g ( 亡) ，p ( u 。) d k ( s ) + c 1 ”( s ) ，y ( u 。) d s j 0j o c o + 删t ，办州 c o e ( t ) + q g ( t ) e ( ) z 。j d ( u 。) d k ( s ) 湖北大学硕士学位论文 其中 所以 由引理4 5 有： 其中 所以 耶，= + o 。删d s ， w ( t ) = o 而1 d s 高1 + q g ( t ) 0 t 耶m 蒜肛( s ) 盟c o e ( t ) 一b ( s ，y ) 1 2 l p ( i z 缸一讥1 2 ) d k ( u ) + l ，、( i x 。一弘1 2 ) ， j 0 p ，y 非降，后南如= ( 2 0 和线性增长条件： b 2 ( s , x ) l ，z 8 ( 1 + 国蚓牡) + 以l + 瑚 其中0 s ，t 1 ，l ，三l ，l 2 为常量，k ( u ) 为非降的连续函数且0 g ( s ) 1 ， 则方程存在唯一强解。 证明：设x 和x 是定义在同一概率空问具有相同初值z o 且关于同一分数b r o w n 运动( b 日) 的两个解，则 x t 一趸：f 2 x ) 一6 ( s ，戈) a ，0 2 0 第4 章主要结论 所以 e i x , 一y , i 2 】= e l 【b ( s ，x ) 一b ( s ，x ) d s l 2 t e l i b ( s ，x ) 一b ( s ，又) 1 2 d s 】 t l e z 。i z o p ( i z u 一批| 2 ) d k ( 乱) + 7 ( 1 z 。一纨| 2 ) 】d s ) = t l z 。z 5e p ( i z u 一乳1 2 ) 】d k ( “) d s + o e i ，y ( i x s - - y s l 2 ) 】如 令c o = o ，y ( s ) = 1 ，c 1 = c 2 = t l ，u ( t ) = e i x , 一趸1 2 由上述推论知： e i x , 一x 1 2 = 0 所以咒与五无区别，即轨道唯一。 其次用逐次逼近法构造一个解，设 碰。) = z 。，碰n ) = z 。+ o 。6 ( s ，x ( f l 一1 ) ) d s + 醒 ( 1 ) - 下 i t l ze ( 耐n ) d ( 与扎，亡无关) ，即每步迭代有意义。 e 碰1 】2 3 x ；+ 3 t 2 耳+ 3 t e b ( s ，x ( n ) 】2 d s 3 z + 3 t 2 h + 3 t z 。吲l 0 8 ( 1 + z 2 ) 蚓u ) + 以1 + z 蚴d s 3 x 3 + 3 t 2 日+ 3 t e l l 3 ( 1 + z 9 ) 2 ) 】d s( 二3 = l 1 + l 2 ) 3 x ：+ 3 t 2 日+ 3 t 2 l 3 + 3 t l 3 e 砖m 2 d s 其中c o = 3 2 3 + 3 t ：日+ 3 t 2 l 3 ，3 ( 1 2 1 2 + l 可1 2 + i z l 2 ) l z + y + z 1 2 从n = 0 ，1 开始对上式进行迭代，可得： e x ( t1 2 】 c o + 3 t l 3 瑶t c o ( 1 + 3 t l 3 t ) e 隧2 ) 2 】c o + 3 t l 3 o 。岛( 1 + 3 t l 3 s ) d 5 = c o + 3 t 骗g 掣 2 1 湖北大学硕士学位论文 e 碰3 ) 2 】 + 3一 +3coco 3 t l c o 3 t lc o s + g 墼掣d s e 碰3 2 】 + 3 + 3 + g 竖掣d s ，0 ； ：c o + 3 t l 3 岛t + g 鱼写竽+ g 鱼写竽 e 瞰岬】g ( 1 + 3 t l 3 t + 1 ( 3 t l 广a t ) 2 + + 丽( 3 t l 3 t ) n + 1 ) c o e x p 3 t l 3 。 岛e 矿铲厶 其中c o = 3 ( z 0 2 + t 2 h + t 2 l 3 ) 。所以可取 令 则 令 d = ( 3 x ：+ 3 t 2 日+ 3 t 2 l 3 ) e 印3 俨如 ( 2 ) e l 碰n + 一碰住1 2 t e 【6 ( s ，x ( ”) 一b ( 8 ，x ( 俨1 ) 】d s ( s c h w a r z 不等式) t e 己p ( i 义? ) 一义p 一1 1 2 ) d k ( u ) + l 7 ( i 砖“) 一砖n 一1 1 2 ) 】d s j 0j 0 t l 上zp(ei砧一纷_1mi)(fk(“)ds+tl上7(ei砖哪一砖伽”12)dsrt i t，s t l p ( e l x 驴) 一x 9 一! 1 2 ) + ，y ( e l 砖竹) 一砖n _ 1 1 2 ) 】d s f ( x ) = p ( x ) + 7 ( z ) ， e i x 一1 2 t l z f ( e i x ( 帕一砖俨”1 2 ) d s ， 磊= l i m s u pe l 砖n + 1 1 一砖n 1 2 n 因为e l 碰n + 一墨”) 1 2 为可积随机变量。由f a t o u 引理有： z 剐l ：f ( z s ) d s 因为p ，y 均为凹函数，p ( o ) = 7 ( o ) = 0 。所以，也为凹函数且f ( o ) = 0 。又因 2 2 第4 章主要结论 为，为非降连续凹函数，厶+ f - i ( x ) d x = + o o ，所以由比较引理知： 所以 n 五o 。f ( z s ) d s 兮z 三。 1 i me i 砖1 1 一碰n 1 2 = 0 ( 0 t t ) n - - - * c l o 所以碰n = z 。+ ( 碰一墨b 1 ) 一致收敛于某个连续适应过程x 。