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摘要 一类k i r h h o f f 方程初边值问题的摄动解分析 摘要 长期以来，多重尺度法被广泛应用于求解奇异撮动i 司题的渐近解。本 文讨论了k i r c h h o f f 方程 旷= 占( 肛出k 在初值条件u ( x ，o ) = 9 ( x ) ，坼( x ，o ) = 少( x ) 和第一齐次边值条件下的初边值问题。 我们首先利用能量方法得到上述问题的解的估计，从而得到如下结论：存 在正实数氏，当o o ， 当。 o ，存 在正实数，当o x 1 ，o s c t t ，且o s 岛时，近似解的首项与精确解 之间的误差不超过一个依赖于e o ，丁和n 的常数与占的乘积； 若给定初值条件为无穷正弦级数的形式，且妒( x ) c 7 ，y ( x ) c 6 ， 则存在正实数五和占。，使得当o x l ，o 甜互，且o 占毛时，近似解的 首项与精确解之间的误差不超过一个依赖于q 和互的常数与g 的乘积。 关键词：k i r c h h o f f 方程，初边值问题，多重尺度法，误差估计 摘要 a n a l y s i so ft h ep e r t u r b e ds o l u t i o no ni n i t i a l b o u n d a r yv a l u e p r o b l e mf o rt h ek i r c h h o f fe q u a t i o n a b s t r a c t t h em e t h o do fm u l t i p l es c a l e sh a sb e e nu s e df o ral o n gt i m et od e r i v e a s y m p t o t i ce x p a n s i o n sf o rs o l u t i o n st os i n g u l a rp e r t u r b a t i o np r o b l e m s i nt h i s p a p e r , w ed i s c u s st h ei n i t i a l v a l u ep r o b l e mf o rt h ek i r c h h o f fe q u a t i o n 一”。= 占( f “2 x d x ) “。 w i t hi n i t i a lv a l u e u ( x ，0 ) = 妒( x ) ，u t ( x ，0 ) = y ( x ) a n dh o m o g e n e o u sd i r i c h l e t c o n d i t i o n f i r s t l y , w ep u r s u et h ep r i o r ie s t i m a t ef o rt h es o l u t i o nb yt h ee n e r g y m e t h o da n do b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t ：t h e r ei sap o s i t i v en u m b e r s o s u c h t h a t u ( x ，t ) i su n i f o r m l yb o u n d e df o ra l l0 s 6 0 ，a n dt h e r ei s ac o n s t a n t 驴。s u c ht h a t f ( 嘉 2 血i s u n i r o m yb o u n d e d r o ra ，0 - 0 ， t h e r ei sap o s i t i v ec o n s t a n te - 0 ，s u c ht h a tt h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h ee x a c t i i i 北京化1 二人学硕i ：学位论文 s o l u t i o na n dt h ef i r s t t e r m a p p r o x i m a t i o n s o l u t i o ni sb o u n d e d b y f m u l t i p l y i n gac o n s t a n td e p e n d i n go nz o ，ta n dn ， f o ra l l0 s x 1 ， 0 s f5ta n d0 f 岛 i ft h ei n i t i a l v a l u ei sa nin f i n i t ef o u r i e rs i n e s e r i e s ，a n d 缈( x ) c 7 ， y ( x ) c 6 ，t h e r ea r ep o s i t i v ec o n s t a n t s 石a n ds i s u c ht h a tt h ed if f e r e n c e b e t w e e nt h ee x a c ts o l u t i o na n dt h ef i r s t t e r m a p p r o x i m a t i o n s o l u t i o ni s b o u n d e db y 占m u l t i p l y i n gac o n s t a n td e p e n d i n go n 毛a n d 互，f o ra l l 0 工1 ，0 g qa n d0 6 t 五 k e yw o r d s ： k i r c h h o f fe q u a t i o n ，i n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ， t h em e t h o do fm u l t i p l es c a l e s ，e r r o re s t i m a t e i v 符譬说明 c ( q ) i | ( ) 0 ： 符号说明 大于零的小参数 q 上具有直到k 阶连续偏导数的函数的全体 2 范数 i x 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论 文的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单 位属北京化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公 布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在土年解密后适用 本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授 权书。 作者签名：塞皇生 日期： 导师签名：i 兰望盥 日期：导师签名： ( 至丛翌 日期： jq o r 讲 第一章绪论 1 1 相关背景知识 第一章绪论 达郎贝尔( d a l e m b e r ) 等人于1 8 世纪开始对弦振动方程给予了系统的研究。通 常在考察弦振动问题时，会给出如下三个基本假设： 一 l 、弦是均匀的，弦的截面直径与弦的长度可以忽略，因此可以将弦看成一根曲线， 它的线密度p 为常数； 2 、弦在某一平面内作微小的横振动，即弦的位置始终在一直线段的附近，弦上各 点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小的振动； 3 、弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力方向与弦的切线方 向一致，而且弦的伸长形变与张力的关系服从胡克( h o o k e ) 定律。 将弦固定在轴的两端，用w ( 孝，f ) 表示弦上各点在时刻f 沿垂直于孝方向的位移。 在不受外力作用的情况下，基于以上假设，于是可以得到经典的弦振动方程如下 一口2 = 0 ( 1 1 ) 其中a 2 = f p ，f 表示f 处的张力。 考虑到在微小横振动过程中弦所受张力的变化，r c h h o 缚1 】于一个世纪以前提出 了作为张紧着的弦的横截运动的模型 h 等纠= p k ( 1 - 2 ) 其中e 表示剪切模量，彳和分别表示弦的横截面和长度。在这里，弦所受的张 力不再是常数，括号中的第二项即表示张力的变化。c a r r i e r 2 3 1 、s a a d 4 3 结合纵向振动 得到了大振幅的弦振动对偶方程组。 对( 1 2 ) 式做变换石= 鱼l ，f = 乏吾，“( 工，f ) 2 吼w ( 善，f ) ，其中c r 0 为平衡位置的 应变。记占= 老为大于零的小参数，即可得到我们将要讨论的拟线性双曲型方程的 初边值问题 一= s ( 肛出k ( 1 - 3 ) u ( x ，0 ) = 伊( z ) ，u t ( x ，0 ) = 5 f ，( 石) ( 1 - 4 ) u ( 0 , t ) = “( 1 ，) = o ( 1 - 5 ) 关于k i r c h h o f f 方程初边值问题的研究始于b e r n s t e n 5 的开创性t 作，他证明了当 北京化t 人学硕i ：学位论义 初始条件矽( x ) ，y ( x ) 为以2 兀周期的解析函数时，问题( 1 - 3 ) ( 1 - 5 ) 广义解的存在 性，他的这一结论还可以推广到更高维的情形，即x r ”，n l 。随后，很多人都对 弦振动问题作了进一步的研究 6 - 1 2 】。 文献 1 3 1 7 】证明了在s o b o l e v 空间中k i r c h h o f f 方程柯西问题局部解的存在性；文 献 1 8 2 3 证明了在特定的s o b o l e v 空间中广义解的存在性；文献 2 4 2 6 则证明了给定 解析的初始条件的情况下广义解的存在性。后来，r e n a t om a n f r i n 2 7 】和f u m i h i k o h i r o s a w a 列j 又给出了在初始条件非解析的情况下，k i r c h h o f f 方程的全局可解性。 文献 2 9 3 1 和文献 3 2 则分别讨论了在混合齐次边界条件和下非齐次边界条件 非线性k i r c h h o f f 方程的渐近展开式。 非线性方程一般没有解析解。本文所考虑的k i r c h h o f f 方程的初边值问题是一个摄 动问题，可以用摄动方法求解近似解。用摄动方法求近似解已有多年的历史，应用最 广泛的是所谓“多重尺度法 ，但这类方法本身并不能给出近似解的误差估计。对多 重尺度法所得近似解的严格分析是近2 0 年才出现的。对于半线性方程问题的近似解 分析已有一些文献 3 3 - 3 4 】讨论过了，但对于像方程( 1 - 3 ) 这类的拟线性方程问题的近似 解的分析在文献中还没有见到。一般拟线性方程的近似解的误差估计比半线性的情形 要困难。 本文的主要工作首先利用能量方法给出问题( 1 - 3 ) 一( 1 - 5 ) 的解的几个估计， 从而得到解的一致有界性；在第三章中，对于给定初值条件为有限正弦级数形式的情 况，利用多重尺度法求解原问题近似解的首项，并利用积分方程对所得结果进行误差 估计；在第四章中，对于给定初值条件为无穷正弦级数的情况，利用多重尺度法求解 原问题近似解的首项，并利用能量积分法对所得结果进行误差估计。 1 2 预备知识 1 2 1 奇异摄动理论 在研究数学和物理问题的过程中时常会遇到含有小参数f 的问题，通常我们就称 这一类问题为摄动问题【3 5 4 1 1 。如果摄动问题是一类含有小参数的微分方程的定解问题 f t 【u s 】= 厂( 石，占) ，z = ( 五，x 2 ，) q 托恢小小：纺( 郴) ，( j - - 0 ，1 ，k ) q 其中0 o ，以及依赖于和t 的 正实数c ( 毛，t ) ，当o 占岛，o 反t 时，满足 y ( f ) s c ( 氏，t ) 按照引理1 2 的证明方法，可以得到引理1 27 如下 引理1 27 ：对任意的t 0 和g 0 ，若成立 。训邪叫1 + f 阻) + y ( 妒p ) 其中b 为给定的j 下常数，则对任意给定丁 0 ，存在常数氏 o ，以及依赖于岛和t 的 正实数c ( 氏，t ) ，当0 g ，0 6 t t 时，满足 】，( f ) s c ( ，t ) 引理1 3 ( y 。u n g 不等式) 设p 1 ，一1 + 一1 ：1 ，则口，6 0 ，必有 pq 口6 笙+ 丝 p q 北京化| t 人学顾i ：学位论文 当a p = b q 时上式中的等号成立。 1 3 主要结论 定理1 ：存在 o ，当0 6 时，问题( 1 - 3 ) - ( 1 - 5 ) 的解“( x ，t ) 满足 i 川( 巨( 岛，o ) ) _ 存在o 瓦 ( 巨( 氏，o ) 易( 岛，o ) ) 一j ，当o “ - t o 时，满足 吖。, 纠a x a t ) 2 妪一 其中 酏川= 枷小( 掣肚却( 掣) 2 出 2 哪，= f ( 掣h f ( 掣脚( 掣卜 定理2 ：若给定初值条件如下 缈( z ) = s i n ( c r t x ) ，缈( 工) = 瓯s i n ( o r x ) 其中为任意的正整数。则问题( 1 - 3 ) ( 1 5 ) 的近似解的首项为 u o ( 墨r ；占) = 善 吼c 。s ( 朊hq ) + 急s i n ( 梳+ o ) k 6 t ) s i n ( 栅) ( x ，f ；占) = l 吼c o s ( 朊f + q ) + 告sn ( 梳+l s ( 栅) 七= ll 儿 j 其中q = 等( k 2 c j ：+ 2 薹垅2 ) 一咖( 射对髓给定的剐，存在正实 m ( 氏，t ，n ) ，当o x - i ，0 - 占t 丁，ko e e o 时，( x ，f ；占) 与精确解“( x ，t ；e ) 之 间的误差满足 “x ，f ；s ) 一“。( 工，t ；t r ) - s m ( 占o ，t ，n ) 定理3 ：若给定初值条件如下 缈( x ) = 吒s i n ( k r t x ) ，缈( x ) = 仇s i n ( a r x ) 且缈( x ) c 7 ，y ( z ) c 6 ，则问题( 1 - 3 ) ( 1 5 ) 的近似解的首项为 6 第一章绪论 ( 五r ；s ) = 善l 吼c 。s ( h r + q 甜) + 笠l a r ls i n ( 舰r + 峨讲) l s i n ( 抵) 七= ij 且存在正实数石、q 和m ( 毛，石) ，使得当o x 1 ，o 6 t 互，且o s q 时，( x ，f ；s ) 与精确解“( 石，f ；g ) 之间的误差满足 “( x ，t ；s ) - u o ( x ，f ；s ) | 0 ，当0 s 岛时 2 2 估计 f n f ，l 堕a x o t ) 2 血 l “i ( 巨( 占，o ) ) - l 圳( 互( ，o ) ) - ( 2 - 4 ) 为了得到f ( 嘉) 2 出所满足的估计式，在c ，3 ，式两边同时乘以丽0 3 u ，并关于 x 从0 到1 积分，同样的，由分步积分法及边界条件( 1 - 5 ) 可得 取封卟矧2 出胎h = 占蜡 2 出昙蚓2 一s 瞎) 2o u 0 2 u i 出 l o 第一二章先验估计 且由h 6 1 d e r 不等式则有 - d d 由r f ，t , a a x 2 a “t 1 ) 2 d x + - + s f ( 罢) 2 d x 丙r t f ，s a - i 2 了x “2j 1 2 d x 2 占f ( 窘 2 d x ( f ( 罢) 2 d x ；( 1 ：t a x a , ) 2 d x ； 不妨记 粕，缸射卟g 心出般卜 则 孵卜晰，f ( 嘉卜晰， 代入( 2 5 ) 式，并由( 2 3 ) 式可得 求解可得 其中 即 型d 盟t 站( e ( s 晰i ( 易( 叫) - 3 卧力广型) l 一 【、1 一( 巨( 占，o ) 易( 占，o ) ) jg j ( 2 5 ) ( 2 6 ) 粥，= f ( 掣h f ( 掣肿( 掣卜 协7 ， 吖i , , 纠o x a t ) 2 螂仁啦一 协8 ) 存在o t o ( 巨( ，o ) 岛( 占，o ) ) 一i ，当o s ，ro 嚷s + 2 s + 2 ，卯7 c”1 、，| i 删 壁 + 北京化工人学硕一l ：学位论文 + 百k 兀3 蠹n 朋2 ( 阿瓦韧+ b m 2 t l + 2 ( 同理可知 f 以。( s ) s i n ( 枷) 出 = 去f 警啪) + 卜善n 肛t 舢_ 2 ：s 2 二k t t _ _ s d 土 5 1 2q s + 2 加 c o k 6 - 2 c o , 6 - 2 m n ：l 既( o ) i + l o o k 6 - 2 0 9 1 6 - 2 m n j 、h 。拥( o ) | 十 【o ) | 竽孙) ) s i n ( 船) 出 吼( - 一c 0 s ( 咄甜+ 2 加r ) ) + 惫s t n ( 纨甜+ 2 艋，) ， 一譬 小c o s ( 酬+ 扣( 酬 ( 3 3 9 ) 一占等纠刮艺等器产一号舞篆竽l 划。) l 毪芸群+ 黜| 吖等纠引。) l 号笺群一号监筹竽l 嘲。) 1 譬群一等l if 。( s ) s i n ( 枷) 山i s ( k t l ：3 d k s 丽+ ， 鲁+铷 + 等薹所2 21 雨而+ 石赤丽k o ) | m 2 ，”= l 朋七 f 肌2 t + ( 2 ( 第三章k i r c h h o f f 方程有限维摄动解的分析 1 c o k e + 2 c o m o e + 2 ( k + m ) n + 面i 赤i 赢 l kq f + 2 占+ 2 聊7 【厂枷 + ( 2 不妨。e m ：( i v ) = e m i ，由( 3 3 9 ) - ( 3 4 0 ) k = l 陋巾) 小( k = l 七= i 眦小) c o s ( 枷) 出 一2 m n l i 七 i 弧( o ) l - 2 m x i灿，i 1 弘( s ) c 。s ( 枷) 出i + l 拟( 灿( 施) 出口 2 占= s m ：( n ) k = l 由x o 。1 ( s ) 及g ( s ，l ，( j ) ) 的表达式可得 瞰蝴州) l | ：= 因为 正；l n ：ly l 智 ( s ，l ，( s ) ) 去五如l ，( s ) ) c 。s ( 舾) 2 + 去五如y ( s ) ) s i n - k 兰n 一，k ，( s ，y ( s ) ) 1 2 j 兰k = ll j 三i 五，( s ，y ( s ) ) k = l 聊2 乙o( s ) 如( s ) ( 3 4 0 ) ( 3 4 1 ) m 2 ( j ) + r ( s ) 艺聊2 乙，。( s ) + 如( j ) - 1 2 易知，存在f 实数m k ( k = l ，2 ，n ) ，使得 2 3 m = i 壁m l 一2 、， 1j jd枷ns 、l ， s 得 。 形r 由 盯 + 一工 晓 删 、i ， s j _ l 、o瓦 2 生2 = 磊 三概 删 、l ， s ，-、 o瓦 + 北京化t 人学硕1 ：学位论文 又因为当k = 1 ，2 ，n 时 故 若记 瞰荆刘+ 阱脚。 r ( 洲州州( j ) 睡幽k = l 酬2 知酬i ： 忪1 ( s ) j g r ( 皑( 洲： in n 1 n r s f 兀3 砌。七2 i r ( j ) f + 吉慨七2 i r ( s ) 1 2 l 七= l 七= l二盂= i七= l + 三善尼i r ( s ) j 羔七2 ( 研 ( j ) | + i r k ( + 2 m kl 恁 j ) 1 2 ) k + 吉尼i r ( s ) j 七2 研 ( j ) | + j ) 1 2 ) 女= i= i 、 j ，( ) - 兀3 n ：孵+ 辛麻，- 糍- f fi 2 j r n j + 2 套2 j m i m m a x i2jmi,j=li j = ll , j = l堞i , j = l 力 ，( ) = 兀3： 孵+ 寺f 2 麻，一i ，寺f 2 二 - f ，= l 一，二i 由上式可得 k 1 ( j ) g ( 廿( 洲：c m 。( ) | l y ( 呲+ i i y ( 跏+ 州) ( 3 - 4 2 ) 将( 3 ，4 1 ) 、( 3 4 2 ) 代入( 3 3 7 ) 式，并记 则有 m 。( n ) = m a x m 。( ) + m ：( ) ，m ，( ) l i t ( 眺占m 。( ) + 肛( 呲+ ) ) 峥 ( 3 - 4 3 ) 由1 2 3 中引理1 2 可知，对于非线性g r o n w a l l 不等式( 3 4 3 ) ，给定任意的t 0 ， 存在常数岛 0 ，以及依赖于氏和t 的正实数肘( 岛，t ) ，当0 s ，0 6 t t 时， 满足 又因为 故 i i y ( t ) l l ：占m ( ，t ) r ( r ) i = 阪一。( t ) l i i y ( 0 u ： r k ( f ) l 0 ，当0 甜s r ， r o s 毛时，原问题( 1 - 3 ) 一( 1 - 5 ) 的精确解“( x ，t ；e ) 与( x ，f ；f ) 之间的误差尺( f ；s ) 第三章k i r c h h o f f 方程有限维摄动解的分析 满足 记 则 l ， 尺( 啪) l = l r ( t ；6 ) s i n ( k 默) l k = l nn l r ( f ；f ) | - i s i n ( 概) l i r ( f ；s ) i 占删( 氏，丁) ( 3 4 6 ) k = lk = l 综上，定理2 得证。 m ( s o ，t ，n ) = n m ( s o ，t ) 尺( f ；g ) i 棚( 岛，丁，) 第四章k i r c h h o f f 方程无穷维摄动解的分析 第四章k i r c h h o f f 方程初边值问题的无穷维摄动解的分析 4 1 求解近似解的首项 且 对于问题( 1 3 ) ( 1 5 ) ，若取定初始条件如下 缈( x ) = 咏s i i l ( 足兀x ) ，( x ) = 玩s i n ( h r x ) ( 4 1 ) 妒( x ) c 7 ，沙( x ) c 6 ( 4 2 ) 由初始条件( 4 1 ) 可知，问题( 1 3 ) ( 1 5 ) 存在如下形式的解 u ( x ，f ) = 互( t ) s i n ( k x x ) 将( 4 3 ) 式代入( 1 3 ) ( 1 5 ) ，于是原问题等价于 丁d 2 t k ( t ) + ( 概) 2 瓦( r ) = 一丁c x 4 k 2 瓦( ，) 薹朋2 巧( t ) 互( 。) = 吼，百d t k u ) = 其中k = 1 ，2 ，o o 。 同样的，引入新的变量s = f ，f = e t ，并假设解的展开式为 瓦( t ；6 ) = 占瓦，( 叩) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) 将上式代入( 4 3 ) 式，可知原问题( 1 3 ) ( 1 - 5 ) 的解的展开式及其首项分别为 u ( x ，f ；占) = s7 瓦小，f ) s i n ( 施) ( 工，f 占) = 瓦，。( j ，r ) s i n ( k 戤) 七= l 按照3 1 节所示的方法，求解可得 其中 互，。( s ，f ) = 4 ，。( r ) c o s ( 枷) + 蛾，。( r ) s i n ( a t s ) a k , 0 ( r = a kc o s ( t a k f ) + 急s i n ( 峨丁) ， 2 7 反，。( f ) = - a ks i n ( a ，k f ) + 惫c 。s ( 魄r ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) 即 北京化工人学硕上学位论文 q 瑙o ( 0 ) 峨0 ( o 一。2 + ( 射妒铋2 q 且由( 4 8 ) 式可知 “o + 2 m 2 m = i 瓦，。( f ；s ) = 吼c o s ( 细f + 略甜) + 急s i n ( 细f + 哝甜) ( 刈；s ) = 膏= i ( 4 9 ) 吼c 。s ( 加r + q 甜) + 惫s t n ( h r + 嗥) s i n ( 梳) c 4 - ，。， 由( 4 2 ) 所给的初始条件可知 进一步可知 由( 4 1 1 ) 、 铲。( 古) 忙。( 古) a k , o ( 巾。( 古) q = 。( 古) ， 晰) = 。( 古) 魄= 鄂2 气 魄2 百r 气 卧c o s ( 枷+ q 斛刮 = i 喜h 吼c o s ( 艋s = ( 外陲 0 ：u o 舐2 ( 细) 2 量= l + 2 口l = i ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 珑2 。( 嘉) = o ( 尼) 件 巾惫s i n ( 枷+ 训 s i l l ( 概) + q r ) + 惫s ；n ( h s + 略r ) c o s ( 梳) i 。( 古) i 侧鼬州+ 扣胁叫s i n c 概) | 善( 硝。( 古)七= i、 k = l k 兰l。( 古) l 西 c o s ( 枷+ 纯f ) + 急s ；n ( 枷+ 婊f ) s ；n ( 施) i 。( 抖 k = l。( 剖 2 8 0 = 4 - _ l 矧 第四章k i r c h h o f f 方程无穷维摄动解的分析 酌孙，时，级数州m = lk 去m 恼，从而咧蚓、斟倒& 21 以及倒均燃 即存在正实数m 。、m ：、和m 4 ，使得 4 2 估计( x , t ；6 ) 蚓鲫胖m ：，斛，俐瓴 在求解“。( 石，f ；s ) 的过程中，为了消除长期项我们依据“高阶近似式的奇性不高于 第一项的奇性”的原则，得到问题o ( s ) 如下 其中 肌一= 一孚 薹 “小o s ( m 咖吨s i n ( 脚) 筋 ( 4 1 5 ) + 薹( f ) c 。s ( 朋) 嬲+ 瓦( f ) s i n ( k + 2 m ) r t s ( 4 - 1 6 ) 上式中g 砌( r ) ，季砌( r ) ，k ( r ) ，瓦( f ) 的表达式与( 3 - 1 0 ) 一( 3 - 1 1 ) 式中所记相同， 只不过，在这里k ，m = l ，2 ，o o 。 求解问题( 4 1 5 ) ，可得 其中 瓦，。( s ，f ) = 4 ，。( f ) c o s ( 枷) + 最，( r ) s i n ( k 兀s ) + 等侯忐 “小o s ( 咖吨s i n ( m m ) 嬲 一薹志 既( f ) c o s ( k - 2 m ) r t s + 瓦( 咖( k - 2 m ) t r s ( 4 椰) 小) _ _ 等匡志啪) + m 争* k 旦k - m 引。) 2 9 ( 4 1 8 ) 嗵觚 、j f = ， = o 以 q = 弋 呱百 、，nu 砷 加 幻 = + o j q 垒酽引 北京化工人学硕：i ：学位论文 最。( 。) = 一l a z 2i m ( k + 2 m ) k ( o ) - z 朋l掣) 纽k 2 u 2 将( 4 - 1 7 ) 式代入o ( s 2 ) ，为了避免产生长期项，令s i n ( 船) 和c o s ( 枷) 这两项的 系数为零，即 最( r ) n = l n = l 门2 巳一畋 壤，。+ 吃4 ， ，z 2 巳+ 以 4 ，。+ 壤。+ 4 4 。 ，z 2 n = l 概5 + 2 5 6 露4 n = i 尼+ ，竹 r a = n - k + 所七 卜 + + n = l 蝴1 ) h 4 珈， 刀2 ( 4 。4 ，+ 或。鼠1 ) = g ( r ) ( 4 2 1 ) ( 以k e g 拥) 一薹志( 以瓦+ 巳弧) 后+ ，竹 n + k 2 脚七 ( 以k 一) + 似) 尼+ ，” n + k 2 肘七 n - k 2 ( 七一掰 七+ m m = n + k m 七 志( 以l + 巳既) 一譬h g 拥) + ( 死+ 氟g 棚) ( 瓦+ 弧) + ( 死瓦一孔弧) ( k - q b g 砌) 一 月一七 2 所七 瓦mi ( 死瓦一礼弧) ( 死瓦+ 百蛔弦) + 莓。云i n 焉 3 0 2 卅七cpb瓦+毒加季加， h 4 04 ，j 2 疗 。科 0觋 4+ 一八一一八一 一6 一6 再一1 兀一 百 百舯 历；一七 小 氇萨 d 一 啪) _ - 墨 ，z 2 n = l 第四章k i r c h h o f f 方程无穷维摄动解的分析 r 喀志似慨) 一 + m m n - k 朋七 壁2 5 6 扫n = l 毒 d 2 4 0 d r 2 且由( 4 1 2 ) 可知 + 朋七 ( 以弧一巳瓦) 志( 以射e n h 拥) 一兰。志( 以既一乞瓦) 足+ m m 拥刮 朋七 ( + g 砌) + ( 觅一牙切k ) i m e ( p h 弧死) + ( 死舐+ 牙加瓦) i 兰= ( p 勋g 拥+ g 砌曩棚) + 瓦焉l g 拥+ j + _l(既妃一氟砝)一k- mi p h g 拥一g 勋7 广 畋= 蠢。一= 。( 古) ； 朋卜+氟瓦1k-。m t b 季 七q 蛔h l c ， 1 1 母缸旗。斗 气( 咖2 = 。1 了) ( 4 2 2 ) ( r ) = 4 ，。以，。一b ，。色。= 。( 南) ；p 蛔( f ) = 反，。色，。+ 4 ，。以，。= 。( 南) c 4 2 3 ) ( f ) = 4 ，。吃，。+ b ，。4 ，。= 。( 刍) ；互加( r ) = 暖，。4 ，。一4 ，。色，。= 。( 瓦1 7 ) ( 4 - 2 4 ) g k n ( r ) 、既( f ) 、k ( r ) 、瓦，- ) 3 l = 。( 南) ( 4 2 5 ) 一mm 一一一七 一 点 一 七一 + 一2 n 一七 = 肿 坍 七一 一一2 玎一七 = 册 小 型： 肛 北京化工人学硕? l ：学位论文 d k = j ( 4 - 2 0 ) 式乘以2 k 6 4 。( f ) ，( 4 - 2 1 ) 式乘以2 尼6 鼠，。( f ) ，两式相加可得 ( 七3 4 ，i ) 2 + ( 七3 坑，。) 2 7 【3 8 + 七= i k = l d r 尼7 2 以4 ，。反，。+ 吼( 研，。一蠢。) + 4 ( 4 ，。反厂最，。4 ，。) k 6 e ( 丁) a k ，。+ q ( f ) 色，1 由y o u n g 不等式可得 其中 1 一 2 k ；l k = l 后6 e ( f ) 4 。+ q ( f ) 反，。 ( 七3 最( r ) ) 2 + ( | j 3 g ( f ) ) 2 + 三1 ( f ) | 盟5 1 2 艺, , = l 甩2 k = l n = l以2 ( 4 。4 。+ 或，。或，。) ( 后2 + ( 后3 忍，。) 2 丕，卵( i d 。i + l e g 棚i ) + 薹聊( 1 d 。后拥l + l 巳季拥i + 磊。聊( i 饥| + l e g 砌i ) + m = n + k m ( i 以仆晡拥i ) + 磊。m ( 1 以讣i 巳舐i 历七 ) + 篆吼掣肌i + l 嘴小队| + | 训 + + n + k m = - - 2 朋盂 聊( i p 砌季拥l + i g 蛔瓦l + i 死季拥i 朋( i i + | g 棚i ) 月一七 2 3 2 + + k 瓦i ) 聊( i p 砌g 。拥忡加瓦i ) ( 4 2 6 ) ( 4 2 7 ) 第四章k i r c h h o f f 方程无穷维摄动解的分析 盟 5 1 2 朋疗= l k 4 7 c 5 j l 2 5 6 兀5 1 时，级数 式可知 同理可证 综上可得 从而 k = l 尼3 e ( f ) i i = lo ，上l m ” o l 后 + 尼3 g ( f ) b 收敛，由( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 以及( 4 2 2 ) ( 4 2 5 ) 。( 外 o l 后 。( 蚪 ，i q ( f ) | 。( 耕 。( 古) 弦最( f ) ) 2 + ( 尼3 g ( f ) ) 2l 七= i l 一 七= l i e ( f ) | 。( 古) ( 后3 e ( f ) ) 2 + ( 尼3 q ( r ) ) 2 收敛，即存在正实数，使得 正= l ( 尼3 e ( r ) ) 2 + ( 七3 g ( f ) ) 2 性 由y o u n g 不等式以及( 4 - 2 2 ) 可知 2 艺后7 矾4 ，壤，。岁 k d ki ( 尼3 4 ，) 2 + ( 七3 反， 七= l七= l l 3 3 o f 三 lk 4 ( 4 2 8 ) ( 4 2 9 ) ( 4 3 0 ) ) 2 喜 ( 尼3 4 ，。) 2 + ( 尼3 反，- ) 2 c 4 - 3 ， 树 。l 北京化i t 大学倾十学位论文 主k = l 尼7 哝( 磁。一鬈。) 喜慨 ( 七3 4 ，) 2 + ( 尼3 反。- ) 2 善 ( 七3 4 ，。) 2 + ( 尼3 反，。) 2 ( 4 _ 3 2 ) 由y o u n g 不等式及离散的h 6 1 d e r 不等式可得 后7 ( 4 ，。色，。一b ，。4 ，。) 一= l 刀2 ( 4 ，。4 ，。+ 色，。色，) 喜1 尼7 ( 4 ，。域，。一反，。4 ，。) ) 2 + 三(七=厶 、2 ， 是7 4 ，。盈，。| + i 后4 4 ，。) 2 + 七= l = 五= l d r 4 ，。1 l t j 七= l n = l 、2 后7 壤，。4 ，i + ，z 2 ( 4 l 。以，。+ 或，。e ，) ) 2 、2 露2 4 ，0 4 ，ii + 尼3 色，。) 2 + e 。( k 4 色，。) 2z 。( k 3 4 。) 2 七= l 侄。 2 l t j 七= i 七= l ( 后3 反，) 2 钭辩 o ) 协) 2 + k = l 2 厅2 色，。芝，。i 阿+ 静u 弘姘3 3 ， ( 4 2 7 ) 、( 4 3 0 ) ( 4 3 3 ) 式代入( 4 2 6 ) 可得 ( 足3 4 ，。) 2 + ( 七3 鼠，。) 2 d r 聊，+ 三善 ( 后3 4 ，。) 2 + ( 后3 色，) 2 + 詈 2 矗= l f ，4 ，。、1 2 l t j 七= l ( 后3 4 ，1 ) 2 + ( 尼