（运筹学与控制论专业论文）一类非线性广义系统观测器的设计.pdf

，上： ? 、上 l at h e s i si no p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s o b s e r v e r d e s i g n f o rac l a s so fn o n l i n e a r d e s c r i p t o rs y s t e m s b yk o n gq i n g f u s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rz h a n gq i n g l i n g n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u l y2 0 0 8 ；i*ft# ，自矗 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的研究成果除 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过的研究成果，也不包括本人 为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：孔仅高 日期： 沙。孑7 r 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文的规定：即 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交 流。 f作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： i l半年口一年口一年半口两年留 学位论文作者签名：孔认品导师签名：了氐久灵 签字日期： 伽呵 ，c 签字日期：v 6 苫7 f x， ，l*cj 东北大学硕士学位论文摘要 一类非线性广义系统观测器的设计 摘要 广义系统是一类形式更一般化的系统。一些实际系统用广义系统描述起来更方便、 自然，诸如电力系统、经济系统、机器人系统和电子网络等。因此，近年来，广义系统 问题一直吸引着众多学者的关注，关于广义系统稳定性、能控性以及能观性等方面的理 论已有相当成熟的结果。状态反馈在许多广义系统问题的讨论中己显示出其优越性。广 义系统的极点配置、镇定和线性二次型的最优控制都可以利用状态反馈来实现。然而， 在实际工作中，由于直接测量的困难，使得不可能即时获得系统的状态变量，从而使状 态反馈的物理实现成为不可能。这就需要观测到真实状态，以实现所要求的状态反馈。 广义系统状态观测器是在这样的背景下提出的一个同时具有理论意义和应用价值的研 究课题。 在过去几十年，关于广义系统状态观测器的课题研究受到了广泛的关注，广义系统 的误差估计能够用来实现电力系统、经济系统、机器人系统和电子网络的控制，诊断和 管理等，同时可以利用观测到的状态实现反馈和各种性能指标。 本文对非线性广义系统状态观测器设计问题进行了探索。全文的结构概括如下： 考虑了一类非线性广义系统的全维和降维状态观测器的设计问题。利用微分中值定 理将动态误差非线性广义系统转化成线性变参数广义系统。如果给定的线性矩阵不等式 可解，则存在一个全维状态观测器，并可保证降维状态观测器也存在。利用李亚普诺夫 函数分析了误差系统的稳定性，说明误差是指数收敛的。最后以仿真实例说明了所给出 的方法是有效的，且优于现有结果。 考虑了一类非线性广义系统的比例积分和比例积分导数观测器的设计问题，分别给 出了非线性广义比例积分观测器和非线性广义比例积分导数观测器。利用微分中值定理 将动态误差非线性广义系统转化成线性变参数广义系统，并利用李亚普诺夫函数和凸原 理分析了误差系统的稳定性，说明误差是指数收敛的。如果给定的线性矩阵不等式可解， 则可以很容易求出所有的增益矩阵。新的设计方法提高了设计自由度，可以实现更广一 类非线性广义系统的观测器设计。最后以仿真实例说明了所给出的方法是有效的，且优 于某些现有结果。 关键词：非线性广义系统；全维状态观测器：降维状态观测器；非线性广义比例积分观 i i i 东北大学硕士学位论文 摘要 测器；非线性广义比例积分导数观测器；微分中值定理；线性矩阵不等式 二代 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t o b s e r v e rd e s i g nf o rac l a s so fn o n l i n e a r d e s c r i p t o rs y s t e m s a b s t i a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ed e s c r i p t o rs y s t e mh a sh i g h e rc a p a b i l i t yt od e s c r i b eap h y s i c a l s y s t e m d e s c r i p t o rs y s t e mm o d e l sa r em o m c o n v e n i e n ta n dn a t u r a lt h a nn o r m a lm o d e l ss u c h a sp o w e rs y s t e m s ，e c o n o m i cs y s t e m s ，r o b o ts y s t e m s ，e l e c t r i c a ln e t w o r ka n a l y s i sa n ds oo n t h i si st h el a s o nw h yd e s c r i p t o rs y s t e mp r o b l e m sh a v ea t t r a c t e dm u c hi n t e r e s to fm a n y s c h o l a r si nr e c e n ty e a r s t h e r eh a v eb e e nal o to fa c h i e v e m e n t so nt h es t a b i l i t y , c o n t r o l l a b i l i t y a n do b s e r v e r a b i l i t y t h es t a t ef e e d b a c kh a ss h o w ni t sa d v a n t a g e si nm a n yd e s c r i p t o rs y s t e m p r o b l e m s t h ep o l ea s s i g n m e n t ，s t a b i l i z a t i o na n dl i n e a rq u a d r a t i co p t i m a l c o n t r o lo ft h e d e s c r i p t o rs y s t e m sa l ld e p e n do ni n t r o d u c i n gs o m ep r o p e rs t a t ef e e d b a c kt ot h es y s t e m s i n p r a c t i c e ，h o w e v e r , a l ls t a t ev a r i a b l e sa r er a r e l ya v a i l a b l ef r o mo n l i n em e a s u r e m e n td u et ot h e d i f f i c u l t i e so fm e a s u r i n gs t a t ed i r e c t l y , w h i c hm a k e ss t a t ef e e d b a c kc a nn o tb ep h y s i c a l l y r e a l i z e d t h i sm a k e su so b s e r v et h er e a ls t a t et os a t i s f yt h er e q u i r e m e n to ft h es t a t ef e e d b a c k t h es t a t eo b s e r v e ro fd e s c r i p t o rs y s t e m si sb o 也at h e o r e t i c a la n da na p p l i e ds u b j e c td e v e l o p e d u n d e rt h eb a c k g r o u n dm e n t i o n e da b o v e o v e rt h el a s td e c a d e s ，t r e m e n d o u sr e s e a r c ha c t i v i t i e sh a v ef o c u s e do no b s e r v e rd e s i g nf o r d e s c r i p t o rs y s t e m s t h es t a t ee s t i m a t i o no fd e s c r i p t o rs y s t e mc a nb eu s e df o rc o n t r o l ， d i a g n o s i so rs u p e r v i s i o no fd e s c r i p t o rs y s t e m s , s u c ha sp o w e rs y s t e m s ，e c o n o m i cs y s t e m s ， r o b o ts y s t e m sa n de l e c t r i c a ln e t w o r ka n a l y s i s m e a n w h i l ew ea l s oc a nm a k e 峨o ft h e o b s e r v e rs t a t et of i n i s hs t a t ef e e d b a c ka n da c h i e v ea d d i t i o n a lp e r f o r m a n c e sa n ds p e c i f i c a t i o n s t h i st h e s i sf o c u s e so nt h ep r o b l e m so fo b s e r v e rd e s i g nf o rn o n l i n e a rd e s c r i p t o rs y s t e m sa n d i so r g a n i z e da sf o l l o w s ： t h ed e s i g np r o b l e mo ff u l l o r d e ra n dr e d u c e d - o r d e ro b s e r v e r sf o rac l a s so fn o n l i n e a r d e s c r i p t o rs y s t e m si sc o n s i d e r e d u s i n gt h ed i f f e r e n t i a lm e a nv a l u et h e o r e m ( o m v t ) ，w e t r a n s f o r mt h en o n l i n e a re r r o rd y n a m i c sd e s c r i p t o rs y s t e m si n t oal i n e a rp a r a m e t e rv a r y i n g ( l p v ) d e s c r i p t o rs y s t e m i ft h eg i v e nl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) a r ef e a s i b l e ，t h e r e e x i s t saf u l l - o r d e ro b s e r v e ra n dt h ee x i s t e n c eo far e d u c e d o r d e ro b s e r v e ri sa l s og u a r a n t e e d t h es t a b i l i t yo ft h ee r r o rs y s t e mi sa n a l y z e db yal y a p u n o vf u n c t i o n ，w h i c hs h o w st h a tt h e e r r o r sa r ee x p o n e n t i a lc o n v e r g e n t f i n a l l y , s i m u l m i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h eo b t a i n e dm e t h o di s v a l i da n db e t t e rt h a ne x i s t i n gr e s u l t s t h eo b s e r v e rd e s i g np r o b l e mo fn o n l i n e a rg e n e r a l i z e dp r o p o r t i o n a li n t e g r a l ( n o p i ) a n d n lfi 东北大学硕士学位论文a b st t a c t n o n l i n e a rg e n e r a l i z e dp r o p o r t i o n a li n t e g r a ld e r i v a t i v e ( n g p i d ) f o rac l a s so fn o n l i n e a r d e s c r i p t o rs y s t e m si sc o n s i d e r e d n g p io b s e r v e r sa n dn g p i do b s e r v e r sa l ep r o p o s e d u s i n g t h ed i f f e r e n t i a lm e a nv a l u et h e o r e m ( d m v t ) , w et r a n s f o r mt h en o n l i n e a re r r o rd y n a m i c s d e s c r i p t o rs y s t e mi n t oal i n e a rp a r a m e t e rv a r y i n g ( l p v ) d e s c r i p t o rs y s t e m t h e nt h es t a b i l i t y o ft h ee r r o rs y s t e mi sa n a l y z e db yal y a p u n o vf u n c t i o na n dc o n v e x i t yp r i n c i p l e ，w h i c hs h o w s t h a tt h ee l l o r sa 托e x p o n e n t i a lc o n v e r g e n t i ft h eg i v e nl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) a r e f e a s i b l e ，a l lt h em a t r i xg a i n sp a nb eo b t a i n e de a s i l y t h en e wd e s i g nm e t h o dc a no f f e rm o r e d e g r e e so fd e s i g nf r e e d o m ，b yw h i c ham o l ec o m p r e h e n s i v et y p eo fn o n l i n e a rd e s c r i p t o r s y s t e m sc a nb ed e s i g n e d f i n a l l y , s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h eo b t a i n e dm e t h o di sv a l i d a n db e t t e rt h a ns o m e e x i s t i n gr e s u l t s k e yw o r d s ：n o n l i n e a rd e s c r i p t o rs y s t e m s ；f u l l - o r d e rs t a t eo b s e r v e r ：r e d u c e d - o r d e rs t a t e o b s e r v e r ；n o n l i n e a rg e n e r a l i z e dp r o p o r t i o n a li n t e g r a l ( n g p i ) o b s e r v e r ；n o n l i n e a rg e n e r a l i z e d p r o p o r t i o n a li n t e g r a ld e r i v a t i v e ( n g p i d ) o b s e r v e r ；d i f f e r e n t i a lm e a nv a l u et h e o r e m ( d m v a 3 ； l i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) 1 ； 东北大学硕士学位论文 目录 目录 独创性声明i 摘要i i i a b s t r a c t v l i l 录v i i 第l 章绪论。l 1 1 广义系统的应用背景1 1 2 广义系统理论的发展与研究现状5 1 3 广义系统状态观测器的研究背景和现状6 1 4 本文的主要工作8 第2 章预备知识l l 2 1 控制系统的相关理论知识1 l 2 1 1 广义系统1 l 2 1 2l y a p u n o v 稳定性：1 3 2 1 3l u e n b e r g e r 观测器1 4 2 2 数学基础1 5 2 3 线性矩阵不等式1 6 2 4 相关引理1 9 第3 章全维和降维状态观测器的设计2 1 3 1 全维状态观测器的设计2 2 3 2 降维状态观测器的设计2 4 3 3 数值仿真2 7 3 4 结论2 9 第4 章n g p i 和n g p i d 观测器的设计。3 1 4 1 观测器设计3 3 4 1 1n g p i 观测器3 3 4 1 2n g p i d 观测器3 6 4 2 仿真实例3 7 4 3 结论4 0 v i i 东北大学硕士学位论文目录 第5 章总结与展望4 l 5 1 本文总结4 1 5 2 研究展望4 2 参考文献4 3 致谢i 。4 9 攻读学位期间发表的论文及获奖情况5 1 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 广义系统的应用背景 广义系统( 也称为奇异系统、广义状态空问系统、隐式系统、微分代数系统、半状 态系统) 是上世纪7 0 年代发展起来的现代控制理论中的一个独立分支。1 9 7 4 年著名学者 r o s e n b r o c k 在研究复杂电路网络系统时提出了广义系统模型，接着，l u e n b e r g e r 和 a r b e l 分别在美国电子电气工程师学会自动控制汇 q j ( i e e et r a n s a c t i o n s o na u t o m a t i c c o n t r 0 1 ) 和在英国出版的国际自控联汇刊自动化( a u t o m a i i c a ) 上发表文章【2 1 ，对线性广义 系统解的存在性和唯一性等问题展开了研究。自此，拉开了学者们对广义系统研究的帷 幕。 随着现代控制理论及方法在工程系统中的深入和向其它学科诸如航空、航天、通讯、 电力、生态、人口、能源、机器人、经济和社会管理等系统的渗透，人们越来越多地发 现很多实际问题中存在着广义系统的形式，如在航空工程，电路网络，核反应，神经网 络，电力系统，受限机器人和机械中的接触或限制问题等工程系统，以及社会系统，经 济系统( 如多部门经济的动态投入产出模型) 和生物系统，石油和通讯等领域均有广泛的 应用。 下面通过举例来说明广义系统的应用。 a 线性系统模型： 1 一个电子网络模型【3 j ： 其中，x 而 x 2 南 以 厶0 0 如 o o oo oo o0 厶0 o0 d x d t o0 0o 0o o一厂 00 o一1 o1 厂l 0 ，而( 1 1 , 2 ，3 ) 表示通过相应电感器的电流，厶，i - 1 ，2 ，3 表示第f 个电感 器的电感，_ 表示流经电阻为l r 的电阻器时的电压，：f ( f - 1 , 2 ) ，n 表示互感器系数。 2 熟知的l e o n t i e f 动态投入产出模型表示为【4 】： e x ( t + 1 ) 一( ，- a - b ) x ( t ) + w ( t ) + c l ( t ) 1 - o ，i， 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 d ( f ) 彳( f ) 图1 1 电子设备信号 f i g1 1 t h es i g n a lo fe l e c t m n i c a le q u i p m e n t 其中，a 为消耗系数矩阵，e 为投资系数矩阵，均具有相应的阶数；x 似为t 时刻的产量， d ( o + w 为t 时刻的最终产品量，其中d ( o 为确定性的，被称为计划中的最终消费，w ( o 为市场波动对消费的影响。在多部门的经济系统中，当各部门之间不存在投资时，在矩 阵e 中对应的行为零。从而知e 不满秩。于是此系统表示的是带有不确定项的离散广义 系统。 3 单机多产品批量调度中的时间平衡方程可以表示为1 5 】： 000 o 100 0 110 0 111 0 x q + 1 ) i d l f - 1 o 0 o 一1 如一1 0 0 1 1 如一1 o 一1 - 1 z o ) + l 一1 1 其中，丸表示单位的f 种产品在一个循环生产周期平均的满足市场需求的时间，x ( f ) 中 的分量表示循环生产中的产量，也表示生产时间。表示生产准备时间总和。 4 电子设备中常用的正弦波信号源控制问题【5 】： 一个电子设备( 电视机，感应信号发生器等) 中常用的正弦波信号源，是由延迟器件、 乘法器件和加法器件组成，其振荡频率取决于乘法因子。当系统输入口( f ) 有一个扰动， 就可导致系统振荡，振荡的周期为2 # 0 , ，如图1 1 该问题可用下述周期系统来描述： 政( f + 1 ) 一彳( f p ( f ) + b ( f ) h ( f ) y ( f ) 一c ( o x ( o + d ( f ) “( f ) 2 ， 、 l 1 1 一d 一 一 一； 村 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 具甲， 彳o ，。 2 c 0 罕d ：】 川。嘲 c ( t ) - c o s c t ) - 1 】 d ( t ) 一1 ，e d i a g ( e l ，e 2 ) e l 。t o , 系统无因果性。l z r l 系统有因果性 b 非线性模型： 1 h o p f i e l d 神经网络模型模型可表示为1 5 】： 其中，x 一 而 吃 x 3 x | c 10 oo oo oo o o 0 0 0 0 0 o 出 出 一00 一 o，00 0 一1 0 00o， y - o 10 o x 0 g “) b 厂也) + 且 0 0 o ，彤和是两个加权矩阵；厂( 屯) 和g 瓴) 是非线性函数。 2 神经网络系统【5 l ： 棚瓴，陋一毫k 筹矽d ”) 。叫工瓴，( 吮魄，一毫戋等y ，d ) ) 其中，毛为第i 个神经元的状态，i - 1 ，2 ，n ，口l 对应神经细胞相关生存期标度，岛对 应接受力和时间延迟，也可能包括细胞的自我反馈，s 为神经元的输入，为网络的连 接权， l ，2 ，l ) 为 1 ，2 ，m + n ) 的l 个无序子集。 3 i 两机械手协助抓一物体的动力学方程为【4 】： 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 m ，( 吼o ) ) 0 0 0 0 陈n m 戗) 0 m ：q ：( f ) ) 0 o o 图1 2 非线性r c 电路 f i g1 2 n o n l i n e a rr cc i r c u i t 00 0 0o o m 10 0 o oo o0 0 a o ) 声：( f ) p o ) 五p ) ，( f ) 五( f ) + g l ( q l ( f ) ，a ( f ”+ j 1 t ( 吼o ) ) o ) r d t ) + g 2 ( q e ( f ) ，p 2 ( f ) ) + - ，2 r ( 9 2 0 ) ) 五o ) - f i ( t ) - f ：( t ) - m g ( 吼( f ) ) 一p 日：( q 2 ( f ”一尸 其中，b o ) 一磊o ) ；鸠 o ) ) 表示惯性矩阵：g 电o ) ，只o ) ) 表示c o r i o l i s 离心和引力效 应；互p ) 为第f 个机械手的输入力矩，一般视为控制量；m 为所抓物体的质量；p 表示 所抓物体的中心位置坐标；日。( q l ( f ) ) 和h ：娩o ”分别表示两机械手的直接运动学关系； ( q j o ”表示j a c o b i a n 矩阵。 4 考虑r c 电路模型【q ： c v - 一g v + 0 - - v - m ( i , ) 其中，g 是时变电导系数，c 是电容系数，为电流，v 矛f l m ( i r ) 为电压，见图1 2 。 这些实例从几个侧面反映了广义系统在实际中有着广泛的应用背景。广义系统是正 常系统的更一般形式。与正常系统相比，广义系统具有更大的保持系统物理特性的能力。 广义系统是描述与刻画实际系统的有力工具，对广义系统的深入研究具有重大的理论意 义。因此，有必要对广义系统的分析和研究给予重视。通过对广义系统各种模型的研究， 找出适用于各种实际生产的要求及指标等。 。 4 l 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 1 2 广义系统理论的发展与研究现状 自广义系统被提出以来，学者们对它进行了广泛而深入的研究。越来越多的控制理 论的工作学者开始从事广义系统理论的研究，并成功地把线性系统的理论移植到广义系 统领域，取得了一定成果，特别是对线性时不变广义系统的研究，其中包括可解性，稳 定性，能控性，能观性，极点配置，观测器设计，解耦，以控制，最优控制，分散控 制等在内的许多问题正逐步解决，建立了较完备的理论【4 7 - 8 - 9 j 。c o b bd 提出了广义系统 的能控性、能观性及对偶原理【1 0 l ；d a il 将其推广到了离散系统；d a il 于1 9 8 9 年出版 了广义系统理论的第一本专著，系统地介绍了广义系统的基础理论，标志着广义系统理 论己经形成 7 1 。关于对线性时变广义系统，也取得了相当多的成就。c a m p b e l l 等的研究 表明通过解析坐标变换可将线性时变广义系统转化为标准正则型，并对线性时变广义系 统的能控性、能观性的问题进行了一定的研究【1 1 d 刃；w a n g 对基于状态反馈的消除脉冲 问题进行了一定的研究【1 4 1 ，同时基于给定输出结构的线性时变广义系统的解耦能观和不 能观子空间的分解问题也得到了研究。关于非线性广义系统的问题研究，近年来主要集 中在可解性及数值解方面。陈伯山在【1 5 】中利用一次近似理论讨论了广义系统的局部结 构理论和分支问题，然后讨论了非线性广义系统解的性质，包括微分代数不等式、混合 单调迭代和l i a p u n o vt s 模糊广义系统的h 。控制运动稳定性理论，而且研究了非线性 微分代数控制系统的输入输出解耦问题。关于广义系统的反馈控制设计问题，主要是涉 及能控性，线性化，输入输出解耦，干扰解耦，反馈稳定化，k r o n e c k e r 规范，输出跟 踪，鲁棒稳定化，变结构控制等等方面的研究【1 6 2 7 。关于广义系统的稳定性研究，用 l i a p u n o v 方法来研究系统的内部稳定性较多，通过对线性系统的推广，得到了一系列的 结果。t a k a b a 等在文献 2 8 】给出形式接近于正常系统的广义系统的l i a p u n o v 方程；岳晓 ， 宁、张秀华在文献【2 9 】通过对广义系统墩= a x 进行变换，利用李雅普诺夫第二方法，讨 f论了连续广义系统的稳定性。并用类似的方法对离散广义系统瓯。= 缸也进行了分析， l 得到了相同的结论；张庆灵等在文献【3 0 】研究线性时不变广义系统稳定性问题，通过计 算一系列球的界限，给出广义系统稳定等价于所有特征值的齐次坐标包含于两个六棱柱 内。利用矩阵不等式理论，给出广义系统稳定的判定方法；邱卫根、刘永清在文献【3 l 】 中详细讨论了广义系统的强( 弱) 指数渐近稳定性，得到了一个其强( 弱) 指数渐近稳定的 充分必要条件；在时变广义系统的稳定性研究中，苏晓明等在文献 3 2 q a 对于一类时变 广义系统，通过l i a p u n o v 方程的建立，给出了系统没有脉冲、渐近稳定的充分必要条 东北大学项士学位论文第1 章绪论 件，并利用对应的r i c c a t i 方程进一步研究了系统的稳定性问题。胡刚等在文献 3 3 q a 研 究了时变广义线性系统和非线性广义系统的稳定性问题，并利用r i c c a t i 方程，建立了 非线性广义系统是渐近稳定的简明判据。 总的来说，从开始到现在，广义系统的研究从基础向纵深发展，涉及从线性到非线 性，从连续到离散，从确定性到不确定性，从无时滞到有时滞，从线性二次型最优控制 到马和风控制等各个专题。有关广义系统的研究取得了很大进展，但随着现代科学技 术和生产技术的发展，人们对控制系统的性能要求越来越高，而且与正常系统相比，广 义系统的研究还处于初始阶段，仍有大量的理论问题和实际问题急待解决，所以广义系 统的研究还需要学者投入更多的精力与时间，相信前景比较明朗。 l 1 3 广义系统状态观测器的研究背景和现状 状态观测器是系统的一种特殊补偿器。在实际生产过程中，有些系统的实际状态量 是很难测得的，这就需要设计状态观测器来估计难测状态变量的值。状态观测器理论是 随着现代控制理论的发展而逐步建立起来的。状态反馈在控制系统的各种综合问题的讨 论中己充分显示出其优越性。不管是系统的极点配置、解藕控制、镇定、无静差跟踪还 是线性二次型的最优控制，人们首先想到的是用状态反馈去加以实现。但是，或者是由 于量测的设备在经济上和使用上的限制，或者是由状态不易直接量测，使得许多控制系 统不可能来实际获得系统的全部状态变量，从而使状态反馈的物理实现可能性极低。状 态反馈在性能上的不可替代性和在物理上的不能实现性形成了一个尖锐的矛盾。解决这 个矛盾的途径之一，就是通过重构系统的状态，并用这个重构的状态来代替系统的真实 状态，以实现所要求的状态反馈。状态观测器也是在这样的背景下提出的一个同具有理 论意义和应用价值的研究课题。具体地说来，状态重构问题( 亦称观测器设计问题) ，就 是重新构造一个系统，利用原系统中可直接测量的信息比如输入和输出作为新系统的输 入信号，并使其输出信号在一定的提法下等价于原系统的状态，这个用以实现状态重构 的新系统通常称为观测器。观测器按其功能可分为状态观测器和函数观测器。输出渐近 等价于原系统状态的观测器，称为状态观测器。输出渐近等价于原系统状态的一个函数 的观测器，称为函数观测器。一般来说，函数观测器的维数要低于状态观测器。对于状 态观测器，还可按其结构分为全维观测器和降维观测器。维数等于原系统的观测器称为 全维观测器，维数小于原系统的观测器称为降维观测器。显然，降维观测器在结构上要 较全维观测器简单。 东北大学硕士学位论文第1 幸绪论 对线性系统而言，最早的状态观测问题研究是由w i e n e r 和k a l m a n 等人提出的，这 其中的研究成果就是w i e n e r 滤波器和k a l m a n 滤波器。而明确提出解决多变量系统状态 观测问题的则是由l u e n b e r g e r 提出的l u e n b e r g e r 观测器，它很好的解决了线性系统的状 态观测问题。在此后的进一步发展中，出现了现在的全维观测器，降维观测器，比例积 分观测器，比例积分导数观测器等。总的来说，对正常系统的状态观测器的研究已经有 着比较完善的体系。对非线性系统而言，观测器问题没有系统的方法可采用，通常对不 同的情形有不同的方法，因而非线性系统观测器设计问题要比线性系统复杂得多，现引 起了众多学者的关注。在对正常非线性系统的研究主要有三种方法，第一种是基于非线 性转化，利用李导数将系统转化成标准形式，并利用线性技术设计状态观测器瞰3 5 】；第 二种技术是基于线性化模型。尽管此方法是局部指数稳定法，但它被广泛应用于实践中。 在【3 6 】中，作者建立了非线性系统局部稳定观测器存在的必要条件；第三种方法是处理 非线性系统观测器问题，系统包含线性部分和非线性部分，观测器的全局稳定条件被给 出1 3 7 - 3 9 。同时，很多非线性系统中的非线性项都要求满足某些特殊条件，包括：李普希 兹限制，边坡限制等。这种分类讨论的方法有助于对各种非线性系统进行更集中，更详 尽的讨论研究，同时，每一种情况在实际生活中都有着广泛的应用。 近年来，对广义系统状态观测器的设计也引起了广泛的关注，这种课题得到如此关 注主要在于状态估计能够用来实现电力系统、经济系统、机器人系统和电子网络的控制， 诊断和管理等。对广义系统来说，由于广义系统的特殊性：比如脉冲性等，这给广义系 统设计观测器带来很多困难。目前，广义系统观测器问题也没有系统的方法可采用，通 常利用正常系统的一些方法进行推广，并利用广义系统自身的一些特性对不同的情形有 利用不同的方法。总体来说，广义系统观测器设计问题要比线性系统复杂得多，现引起 了学术界的广泛关注和深入研究。文 4 0 - 4 6 中给出线性广义系统的状态观测器的设计， 文 4 7 5 6 】中处理了非线性广义系统的观测器设计问题。一般来说，对于非线性广义系统， 实现状态观测器的设计分析有多种方法。广义系统被转化成一个微分方程和一个代数等 式( d a e ) ，然后设计状态观测器。在文【5 2 】中，作者考虑了d a e 模型的非线性广义系统 状态观测器，并确保了动态误差系统的局部稳定性：在 5 1 】中，建立了渐进稳定观测器 存在的条件：在 5 0 】中，给出了局部指数观测器存在的条件。 在文献中，还有其它的方法设计非线性广义系统的状态观测器，文【4 7 】和 4 8 1 研究 了一类满足李普希兹非线性条件的非线性广义系统，并且给出了误差系统指数稳定的条 件。这种方法处理了一类非线性广义系统观测器，其中系统包含线性部分和非线性函数。 7 - ，- 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 非线性函数一般要求满足李普希兹条件。然而，当李普希兹常数取值较大时，误差系统 的稳定性条件很难满足。为了取消这种限制，在设计正常系统的观测器时，文【5 7 】中给 出了一种新的设计状态观测器的方法，这种方法主要在于利用微分中值定理将动态误差 系统转化为线性变参数系统，误差系统的稳定性分析基于李亚普诺夫理论和凸原理，增 益矩阵通过求解一系列线性矩阵不等式来得到。 积分项对处理含有未知输入的非线性广义系统是很有用的。最近，积分项被引进到 广义系统状态观测器的设计。文【5 8 】建立了一类线性广义系统的广义比例积分( g p i ) 状态 观测器，文【5 9 】和【6 0 】设计了含有未知输入的非线性广义系统的状态观测器。这种状态 观测器要优于比例状态观测器( 详见【5 8 舢) ，基于【6 1 】和【6 2 】，文【6 3 】给出了线性广义系统 的导数比例积分( g p i d ) 状态观测器的设计。 1 4 本文的主要工作 第2 章给出了本文状态观测器设计过程中需要的广义系统的相关理论知识，判断稳 定性的李亚普诺夫稳定性，求解过程所需要的线性矩阵不等式及数学基础，并介绍了本 文设计观测器中需要使用的相关引理。 第3 章讨论了非线性广义系统的全维和降维状态观测器的设计问题，利用文【5 7 】中 提出的微分中值定理拓展了文献【4 7 】和【4 8 】中的工作，给出了更广泛的一类非线性广义 系统状态观测器设计的方法，包括全维状态观测器和降维状态观测器，状态观测器的实 现容易简便，可以通过线性矩阵不等式来求解增益矩阵，误差系统的稳定性判断利用了 李雅普诺夫函数，并实现了误差系统指数渐近稳定。最后给出全维状态观测器和降维状 态观测器的仿真实例，以说明本文方法的正确性及优越性。 第4 章讨论了非线性广义系统的n g p i 和n g p m 状态观测器的设计问题，给出了 一种新型的非线性n g p i 和n g p i d 状态观测器，利用文 5 7 】中提出的微分中值定理给出 了非线性广义系统状态观测器存在的条件，系统包含非线性函数和线性部分。增益矩阵 可以通过线性矩阵不等式来求解增益矩阵。误差系统的稳定性判断利用了李雅普诺夫函 数和凸原理，并实现了误差系统指数渐近稳定。本文提出的方法不同于文【4 7 】和【4 8 】， 在本文的工作中，给出的充分条件简单易行，提供了更大的设计自由度，并可保证当李 普希兹常数取值较大时，观测器的设计也可行，而且当非线性向量函数只含有输入项时， 本文的设计方法较文【6 3 】的技术要更方便容易计算，只需利用l m i 工具箱就可以求出增 益矩阵。最后给出三个实例证明方法的可行性与易实现性，并给出了仿真图像说明方法 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 的正确性。 第5 章总结了本文的工作内容，并探索了将来可行的研究方向。 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 第2 章预备知识 2 1 控制系统的相关理论知识 2 1 1 广义系统 1 设广义系统的状态空间表达式为： e ( t ) i c ( t ) = 厂( x ( r ) ，“( ，) f ) ，x ( o ) = x o y ( ，) = g ( x ( r ) ，材( f ) ，r ) ( 2 1 ) 其中，f ：r 一尺肿r + _ r 万，g ：天”尺舸尺+ _ r 。，且x ( f ) r 疗，材( ，) 尺”，y ( f ) 犬7 ，x o 为 初始状态值。 特别地对连续时间的线性时不变广义系统，其空间描述一般表示如下： e 2 ( t ) = 出( f ) + 召“( ，) ，石( o ) = x o y ( ，) = c x ( t ) + d u ( t )( 2 2 ) 其中，e ，a 犬，b 尺，c er i v , nd r 扭“皆为定常矩阵。 这里，很容易知道，当e 非奇异时，广义系统( 2 2 ) 等价于： 童( r ) = e 。1 a x ( t ) + e b u ( t ) ，x ( o ) = x o y ( f ) = c 七o ) + d u ( t ) ( 2 3 ) 系统( 2 3