（基础数学专业论文）单位球面之间等距算子的延拓.pdf

，二) ，：、 i i i l l1 11i i ii ii ii iii llll y 17 9 8 2 8 4 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：鸯 b 寥年月日 l 一 姓 名： 单位： 年级： 专业： 研究方向： 论文题目： 导师： 完成日期： 开大学 生毕业( 学位) 论文 李磊 数学科学学院 二零零五级 基础数学 泛函分析 单位球面之间等距算子的延拓 定光桂教授 2 0 0 8 年3 月 fi s o m e t r i e sb e t w e e nu n i t s p h e r e s b y l il e i s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rd i n gg u a n g g u i at h e s i ss u b m i t t e dt on a n k a iu n i v e r s i t yi n p a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t sf o r t h ed e g r e eo fd o c t o ro fp h i l o s o p h y i nm a t h e m a t i c s m a r c h2 0 0 8 ，t i a n j i n ，p r c h i n a 进t 2 】中的定理2 2 ( 即不使用n a 空间的概念) ，此即本文的定理2 1 4 作者又 在定理2 1 6 推广 2 1 】中的定理到更一般的情形，当然相比较于 2 1 】而言，我们这 儿把值域空间作了一些限制，即要求其足自反空问实际上，我们也在2 1 中就证 明了：如果x 是实的b a n a c h 空间且而可贾i 研= s 1 ( x ) y 是自反的b a n a c h 空间 v o 是从s 1 ( x ) 到s 1 ( y ) 的满等距算子如果对任意的z s 1 ( x ) ，x o 8 m s l ( x ) 】， 有 v o z i 入i u o ( 士z o ) i | i i x i a l ( - 4 - x o ) l l ，v a r 那么，可以延拓为全空间x 上的实线性等距算子 为了研究更一般空间上的等距延拓问题我们在2 2 中引入了“正齐性对偶 空间”e 口的定义( 见2 2 1 ) ，即赋范空间e 上所有满足 s u p i f ( x ) iz b 1 ( e ) 】 ：g 1 ) f - 并且e 是一个赋范空间，假设是从单位球 3 e f 面s 1 ( g ) 到单位球面s 1 ( e ) 内的等距算子而且满足下列两个条件： 摘要 ( 2 ) 对任意的s i ( g 1 ) 以及可s ( e ) 满足z 1 上夕，如果入l ，入2 rk l a w o ( z 1 ) + x 2 y o l i = 1 ，那么就有一x l v o ( z 7 ) + 入2 v o ( y ) 【s 1 ( g ) ； ( 3 ) 存在r 上的一个簧换7 r 使得对任意的7ef ，z 7 ，玑s i ( g 7 ) 以及a 1 ，a 2 r ，只 要忪1 ( z 7 ) + 入2 k ( 掣1 ) | i = 1 ，就可以导n a i v o ( z 1 ) + a 2 v o ( 玑) v o s 1 ( g 。( 7 ) ) 】； 那么可以等距的延拓到全空间上这里的两个条件是十分自然的，实际上就是 要求的像也是满足线性性的 我们在第3 章中对于l o o 空间中的等距延拓问题做了一些研究在3 1 我们 研究了l o o 空间单位球面上等距算子的一些性质，其中最重要的就足引理3 1 2 ，即 如果是从s 1 ( l o o ) 到某一个b a n a c h 空间e 的单位球面s 1 ( e ) 的等距算子且满 足一v o s i ( l 0 。) cv o s i ( l 。) ，那么对任意的z s i ( l 。) 都有v o ( - z ) = 一v o ( z ) 随后，作者借鉴了定光柱在 2 6 】中的结论，在l o o 中得到了类似地等距延拓问题的 一个肯定回答，这也就足定理3 2 1 ；另外，作者根据 1 9 】中的证明方法还得到了另 一个结论( 即，定理3 2 2 ) 我们在第4 章中尝试研究t s i r e l s o n 空间上的等距延拓问题首先，我们在4 1 和4 2 中介绍了一些必须的准备知识，包括b a n a c h 空间中的基理论的基本概念， t s i r e l s o n 空间的定义及其性质最后，在4 3 中，我们给出了一个充分条件，在此 条件之下，我们研究 t s i r e l s o n 空间的单位球面之间满等距算子的表现定理( 利用 了 1 4 】中的方法) ，从而部分的得到了等距延拓问题的肯定回答 第5 章主要足研究准b a n a c h 空间l p ( p ) 的单位球面上等距算子的延拓问题， 我们给出了一个充分条件，使得从准b a n a c h 空问l p ( 肛) 的单位球面到准b a n a c h 空 间l p ( ) 的单位球面内的等距算子在此条件下可以线性的延拓到全空间上也 即是，假设0 p 1 而且是从单位球面s l 妒( p ) 到单位球面s 1 p ( ) 内的等 距算子如果满足下面的两个条件： ( i ) 对任意的z s 1 妒( p ) 】都有v o ( - x ) = 一v o ( z ) ； ( i i ) 若对于两个元z 1 ，z 2 s i 【驴( p ) 满足s u p p z 1ns u p p x 2 = d 以及两个实 数入l ，入2 酞满足i a l i p + i a 2 p = 1 使得( z ) = a i v ox 1 ) + a 2 v o ( z 2 ) ，则 存在x ，遐瓜和加汐( p ) ( 其中，s u p p x oc ( s u p p x lus u p p z 2 ) 。) 使 得z = a t l x l + m z 2 + x 0 那么，可以等距线性延拓到全空间上尸( p ) 上 关键词等距延拓，正齐性对偶空间，严格凸空间的g i _ 和，t s i r e l s o n 空间 a b s t r a c t a b s t r a c t t h e o r yp l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei nt h eb a n a c hs p a c et h e o r y , a n dw ec a l ls t u d yt h es t r u c t u r e so fb a n a c hs p a c e su t i l i z i n gi s o m e t r i cm a p p i n g s i nt h i s t h e s i s ，w ew i l li n t e r e s ti nt h ei s o m e t r i ce x t e n s i o np r o b l e mi nt h e ( q u a s i ) b a n a c hs p a c e s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ei s o m e t r i ce x t e n s i o np r o b l e mi nt h eu n i ts p h e r e so f g e n e r a lb a n a c hs p a c e s i n 2 1 ，w eg e n e r a l i z et h em a i nr e s u l t so f 21 a tf i r s t ，w eg i v e t h ed e f i n i t i o no ft h en o r m i n gs e ta n dg e tt h e o r e m2 1 4w h i c hi m p r o v et h et h e o r e m 2 2i n 2 】( n o tt ou s en a s p a c e ) a n dt h e o r e m2 1 6i st h eg e n e r a l i z a t i o no f t h em a i n t h e o r e mo f 2 1 i nf a c tt h em a i nr e s u l to f 2 1i s ：s u p p o s et h a txi sar e a lb a n a c h s p a c ew i t h8 m s l ( x ) = s l ( x ) a n dy i sar e f l e x i v eb a n a c hs p a c e a s s u m et h a tv 0i s as u r j e c t i v ei s o m e t r yf r o m 研( x ) o n t o 研( y ) i f f o ra n yx s 1 ( x ) ，x o 8 m 【s 1 ( x ) 】， w e h a v e v 0 z i a l w o ( 士x 0 ) l i | i z i a l ( i x 0 ) l l ，v a r t h e nv oc a nb ee x t e n d e dt ob eal i n e a ri s o m e t r yo nt h es h o l es p a c ex i ns e c t i o n 2 2 ，w ei n t r o d u c ean e wc l a s so fs p a c e ，n a m e d “p o s i t i v eh o m o g e n e o u s d u a ls p a c e ”，e o ( t h ed e f i n i t i o nc a nb es e e ni n 2 2 1 ) ，t h a ti s ，a l lt h ep o s i t i v eh o m o g e - n e o u sf u n c t i o n a l sfo fea n ds a t i s f i e st h a t s u p i f ( x ) iz b 1 ( e ) ) + ； a n di ns e c t i o n 2 2 1 ，w es h o w s o m ep r o p e r t i e so fe # ( t h em o s ti m p o r t a n tr e s u l ti s t h e o r e m2 2 6 ) ；a n dt h e nw es t u d yt h ep o s i t i v eh o m o g e n e o u so p e r a t o r si nt h es p a c e e # i ns e c t i o n 2 2 2 t h e r e f o r e ，w eg i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o ns u c ht h a tt h ei s o m e t r i c e x t e n s i o np r o b l e mi st r u e ，w h i c hi st h e o r e m2 2 9 n o t i c et h a tt h ei s o m e t r i e si n 2 1 a n d 2 2a r e a l ls u r j e c t i v em a p p i n g s n e x t ，w ew i l lg e n e r a l i z et h er e s u l t so f 9 3 】i n 2 3 ，a n dw es t u d yt h ei s o m e t r i e s f r o mt h eu n i ts p h e r eo f e 1 - s u mo fs t r i c t l yc o n v e xs p a c e si n t ot h eu n i ts p h e r e s o fab a n a c hs p a c e s u p p o s et h a tgi st h ee 1 - s u mo fs t r i c t l yc o n v e xn o r m e ds p a c e s a b s t r a c t ( 。g - r ) t la n de i san o r m e ds p a c e ，i fv oi sa i s o m e t r yf r o mt h eu n i ts 7 e f i n t ot h eu n i ts p h e r es 1 ( e ) a n dv os a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( a 2 ) f o ra 1 1 & ( g 1 ) a n dy s ( g ) w i t hx 7 上秒，i fa l ，入2 rw i t h 入2 v 0 ( ) 0 = 1 ，t h e nw eh a v et h a ta 1 ( z 1 ) + 入2 v o ( y ) v o s l ( g ) 】； ( a a ) t h e r ee x i s t sap e r t u r b a t i o n7 ri nf s u c ht h a tf o ra l l ，y f ，3 7 , , ，玑s i ( g 7 ) a n da n y 入1 ，a 2 r ，i fl l a l v o ( 3 7 7 ) + 入2 ( 玑) i i = 1 ，w ec a ng e tt h a t 入l v 0 ( 3 7 1 ) + a 2 v o ( y y ) s 1 ( g 霄( 7 ) ) ； t h e nv oc a nb ee x t e n d e dt ob ea ni s o m e t r yo nt h ew h o l es p a c e w es t u d yt h ee x t e n s i o no fi s o m e t r i e so nt h el o os p a c e si nc h a p t e r3 i n 3 1 ， w eg i v es o m ep r o p e r t i e so ft h ei s o m e t r i e sd e f i n e do nt h eu n i ts p h e r eo fl o o t h em o s t i m p o r t a n tr e s u l ti sl e m m a3 1 2 ；t h a ti s ，i fv oi sa ni s o m e t r yf r o mt h eu n i ts p h e r e s i ( l 。) i n t ot h eu n i ts p h e r eo f ab a n a c hs p a c ee a n dv os a t i s f i e st h a t v o s i ( l 。) c v o s i ( l 。) 】，t h e nf o ra l lz s i ( l ”) w e h a v et h a tv o - x ) = 一v o ( z ) l a t e r , u s i n g s o m em e t h o d si n 2 6 ，w eg i v et h ep o s i t i v ea n s w e rt ot h ei s o m e t r i ce x t e n s i o np r o b l e m i nl ”，a n dt h i si st h e o r e m3 2 1 a l s o ，w eg e ta n o t h e rt h e o r e m3 2 2s i m i l a rt ot h e r e s u l ti n 1 9 i nc h a p t e r4 ，w et r yt os t u d yt h ei s o m e t r i ce x t e n s i o np r o b l e mi nt h et s i r e l s o n s p a c e w ei n t r o d u c es o m ef u n d a m e n t a lk n o w l e d g ei n 4 1a n d 4 2 ，i n c l u d i n gt h ed e f - i n i t i o n so fb a s i st h e o r yi nb a n a c hs p a c ea n dt h ed e f i n i t i o n sa n d p r o p e r t i e so f t s i r e l s o n s p a c e s a tl a s t ，i ns e c t i o n 4 3 ，w eg i v es o m ec o n d i t i o n sa n dg i v et h er e p r e s e n t a t i o n t h e o r e mo ft h es u r j e c t i v ei s o m e t r i e sb e t w e e nt h eu n i ts p h e r e so ft s i r e l s o ns p a c e s ( w e u s es o m ei d e a si n 1 4 1 ) ，a n dh e n c et h es u r j e c t i v ei s o m e t r i e sc a nb el i n e a re x t e n d e d u n d e rs o m ec o n d i t i o n s i nc h a p t e r5 ，w es t u d yt h ee x t e n s i o no f i s o m e t r i cm a p p i n g sb e t w e e nq u a s i b a n a c h s p a c e sl p ( p ) ，a n dw eg i v es o m ec o n d i t i o n ss u c ht h a ta n yi s o m e t r yv of r o mt h eu n i t s p h e r eo f q u a s i b a n a c hs p a c el p ( p ) i n t ot h eu n i ts p h e r eo f q u a s i - b a n a c hs p a c el p ( ，) c a nb el i n e a r l ye x t e n d e dt ot h ew h o l es p a c eu n d e rt h e s ec o n d i t i o n s t h a ti s ，s u p p o s e t h a t0 p 1a n dv oi sa ni s o m e t r yf r o mt h eu n i ts p h e r es l 驴( p ) 】i n t ot h eu n i ts p h e r s l p ( ) i fv 0s a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( i ) f o ra l lz s x ( p ) 】w eh a v ev o ( - x ) = 一v 0 ( z ) ； a b s t r a c tv ( i i ) i ff o re l e m e n t sx l ，x 2 s 1 【p ( p ) w i t hs u p p x lns u p p x 2 = da n dr e a ln u m b e r s a 1 ，a 2 乏w i t hi , x x l p + i , x 2 1 p = 1s u c ht h a tv o ( x ) = 入1 v o ( z 1 ) + a 2 v o ( z 2 ) ，t h e n t h e r ee x i s t 入i ，a ：ra n dx o 妒( p ) ( w h e r e ，s u p p x oc ( s u p p x lu s u p p x 2 ) 。) s u c ht a h tx = a i z l + 入：z 2 + x o t h e n ，v oc a nb el i n e a r l yi s o m e t r i c a l l ye x t e n d e dt ot h ew h o l es p a c e 驴( p ) k e yw o r d si s o m e t r i ce x t e n s i o n ，p o s i t i v eh o m o g e n e o u sd u a ls p a c e ，e 1 - s u mo f s t r i c t l yc o n v e xn o r m e ds p a c e s ，t s i r e l s o n ss p a c e 目录 目录 摘要i a b s t r a c ti i i 第一章引言 l 第二章单位球面上的等距算子 9 2 1 赋范集与等距延拓问题1 0 2 2 正齐性对偶空间的概念与等距延拓问题1 5 2 3 严格凸空间的g l _ 和上等距算子的延拓1 9 第三章l 。o 空间单位球面上等距算子的延拓2 9 3 1 l o o 空间单位球面上等距算子的一些性质3 0 3 2 l 。的单位球面上等距算子的延拓3 6 第四章t s i r e l s o n 空问单位球面上的等距算子4 l 4 1 b a n a c h 空间中的基的基本概念4 1 4 2t s i r e l s o n 空间的定义及其基本性质4 4 4 3t s i r e l s o n 空间单位球面上的等距算子4 9 第五章空间汐( 0 p 1 ) 的单位球面上的等距算子5 5 参考文献6 3 致谢6 9 第一章引言 第一章引言 设( e ，d e ) 和( f d f ) 是两个度量空间，丁是从e 到f 的一个映射，如果对任意 的z ，y e ，都有d e ( z ，y ) = d f ( t ( x ) ，t ( y ) ) ，则称t 是一个等距算子如果两个度 量空间之间存在一个满的等距算子，那么我们就称这两个空间是等距的( 或者等价 的) 在泛函分析中，一个非常重要的研究方向就是研究b a n a c h 空间( 甚至于更广泛 的度量线性空间) 之间的线性等距算子，如研究b a n a c h 空间之间的等距算子的表 现定理，等距算子的延拓和扰动( 可以参看 9 ，3 6 】中的相关部分) 特别是b a n a c h s t o n e 定理，即：如果k 和q 是两个紧h a u s d o r f f 空间且t 是一个从c ( q ) i i j c ( k ) 上的满等距算子，那么存在从k 到q 上的同胚映射咿以及一个连续的绝对值为1 的k 上的函数h 使得对任意的f c ( q ) 我们有 t f ( t ) = ( ) ，( 妒( ) ) ，v t k 关于连续函数空间中等距理论的更多知识可以参看 3 6 1 而在b a n a c h 空间等距理 论中最著名的结论就是m a z u r - u l a m 定理 7 ，6 7 ，此定理即是说：两个赋范空间之 间的满等距算子一定是仿射算子而我们研究等距算子的另一个角度就是取研 究b a n a c h 空间中等距算子的延拓，例t t d ：p m a n k i e w i c z 6 4 】就研究了b a n a c h 空间 凸体之间满等距算子的延拓( 也可以参看 9 中的1 4 1 ) 而d t i n g l e y 8 4 】提出了 等距延拓问题： 设e 和f 均足赋范空间而是从单位球面s t ( e ) 到单位球面s i ( f ) 上 的满等距算子，问能不能延拓为从e 到f 内的线性等距算子? d t i n g l e y 在 8 4 】中仅仅证明了：如果且n ) 和鼠m ) 是两个有限维的赋范空 间且v o 是从s 1 【且n ) 】到& 反。) 上的满等距算子，那么对任意的z s l 毋。) 都 有( 一z ) = 一v o ( z ) 当然，d t i n g l e y 的证明过程用到了赋范空间中端点和暴露 点的一些性质而马玉梅 6 3 】在其启发下证明了：如果是从s l ( p 1 ) 到s 1 ( 粤1 ) 上 的满等距算子，则必然有( 一z ) = 一v o ( z ) 对于任意的z s l ( 粤1 ) 均成立当我们 注意到严格凸赋范空问的性质的时候，还可以知道，如果值域空间是严格凸空间 则也具有上述性质 6 3 】 2第一章引言 王日生在 8 7 ，8 8 ，9 0 ，8 9 ，9 1 ，9 2 ，9 3 】中，对下列空f a j ( 主要讨论了g ( q ) 型空 间，其中q 是局部紧的h a u s d o r f f 空间) 进行了研究，并均得到了对等距延拓问题的 肯定回答这些空间有：c o ( q ，e ) 型空间 8 8 1 ，c 0 ( n ( x ) 空间 9 1 】，c o ( q ，e ) 型空间 的粤1 和空间 8 9 1 ，g ( q ，e ) 空间的驴和空f 司 9 2 】( e 要求一些条件) ，严格凸赋范空 间的粤1 $ u 9 3 】等等詹大鹏分别对l 1 ( q ，x ) ( ( q ，p ) 为盯有限的测度空间，x 是严 格凸空间) 以及( q ，日) 型空间( 日是h i l b c r t 空间) 的某些子空间的单位球面上的 等距延拓问题进行了讨论，并得到了肯定的回答 1 0 1 ，1 0 2 肖远辉和王f 1 生 9 6 】 讨论了抽象m 空间的单位球面上的等距扩展问题，给出了抽象m 空间的单位球 面之间的满等距映射的表示，从而他们证明了：如果x 和y 均为抽象m 空间，而 且丁是从研( x ) 到s 1 ( y ) 上的满等距算子，则存在实线性的到上的等距u ：x _ y 使得u l s ，1 = t 对于定义域空间和值域空间不同的等距延拓问题，定光桂在 2 l 】中首次对 两种不同类型的空间进行讨论若q 足一个紧h a u s d o r f f 空间而且是从单位球 面s l ( e ) 到单位球面s 1 c ( q ) 1 上的满等距算子，其中赋范空问要求s 1 ( e ) 的“光滑 点”8 m i s l ( x ) 】在s 1 ( e ) 中稠密且对任意z s 1 ( e ) 以及x o 8 m 【s 1 ( e ) 】满足： ( z ) 一i a i y o ( x o ) l i i i z i x l x o l i ，v 入r ， 则可以延拓为全空间e 上的线性等距算子同时，潘伟 7 7 】讨论了b a n a c h 空 间e 至连续函数空f 自j c ( u ) 的等距嵌入及等距延拓问题，给出了等距延拓问题有 肯定回答的一个充要条件也就是说，如果b a n a c h 空间e 的单位球面上每一点都 是光滑点，从单位球面s 1 ( e ) 到单位球面s 1 【c ( q ) 】上的满等距映射可以线性等 距延拓当且仅当集合ii 鼠在q 中稠密，其中，玩= t q ：对一切秒 z s 1 ( e ) s 1 ( e ) ，y o ( 可) ( ) = 8 x 厶( 可) ，岛= 士1 ) ，且，z 是z 的唯一支撑泛函安桂梅 2 】对此 结果做了一些推广，而作者在2 1 中部分的推广了 2 】和 2 l 】的结果首先，作者 利用赋范集的概念改进了 2 】中的定理2 2 ( 即不使用n a 空间的概念) ，此即本文 的定理2 1 4 作者又在定理2 1 6 推广 2 1 】中的定理到更一般的情形，当然相比较 于 2 1 】而占，我们这儿把值域空间作了一些限制，即要求其是自反空间实际上， 我们也在2 1 中就证明- j - ：如果x 是实 b a n a c h 空f a r s m i s l ( x ) 】= 研( x ) y 第一章引言 3 那么，可以延拓为全空间x 上的实线性等距算子更进一步地，方习年 3 1 】和杨 秀忠等人 1 0 0 l 证明了只要上面的不等式成立，那么单位球面上的等距算子就可以 延拓如果是从b a n a c h 空间e 的单位球面到另一个b a n a c h 空间f 的单位球面 上的满等距算子，只要对任意的z ，y s l ( e ) 都有 z i a l v o ( 秒) i i i i x l a l y l l ，v a r ， 那么一定可以线性延拓为一个从e 到f 上的等距算子而方习年和王建华在文 献 3 4 】中证明了，只要q 足一个紧度量空问，那么从任意b a n a c h 空间e 的单位球 面到c ( q ) 的单位球面的满等距算子一定可以线性等距延拓到全空间上这实际 上就直接推广了 2 1 】的结论 为了研究更一般空间上的等距延拓问题作者在2 2 中引入了正齐性对偶空 间e h 的定义( 见2 2 1 ) ，即赋范空间e 上所有满足 s u p i f ( x ) | iz b 1 ( e ) ) 1 ) 的“满”等距算子的表 现定理，并由此解决了相应的等距延拓问题而定光桂在 2 3 】中给出了从s 1 心o 。( r ) 】 到s 1 陋o 。( ) 】的“满”等距算子的表现定理，并由此解决了相应的等距延拓问题上 面两个结果也就可以写为：当1 p ，p 2 时，假设是一个从单位球 面s l p ( r ) 】到单位球面s 。 e p ( ) 上的满等距算子，那么存在一个满的一一对应丌： 4第一章引言 _ r 以及一族绝对值为1 的实数 铅) 6 使得 v o ( z ) = 如矗( d ) 如，v z = 岛e 1 s 1 【( r ) 】 6 ，y r 其中， 如 6 表示空间垆( ) 中的一族元且d 6 = n 6 ，：锄= 1 且a 6 ，= 0 0 7 6 ，6 ，) ，此外，肖远辉和王日生 9 6 】讨论了a m 空间的单位球面之问的等距 算子，得到了：如果足一个从抽象m 空间x 的单位球面研( x ) 到另一个抽象m 空间y 的单位球面s 1 ( y ) 上的满等距算子，则存在一个从x 到y 上的实线性等距 算子y 使得y 在s 1 ( x ) 上的限 右w i s ，( x ) = v o 侯志彬在【删中研究了口空间中 的等距延拓问题，并且得到了：当p 1 时，从s 1 z e ( a 1 ，p ) 】到s l z e ( a 2 ，) 】上的满 等距算子的表现定理，从而k 可以线性延拓到全空间上 更一般地，定光桂 2 5 和王建 8 6 研究了原子生成的a 空间( 0 ：乃) n 7 6 f6 其中r ，均为指标集且b ，r 均为严格凸赋范空间( 7 f ，6 z x ) ，而是从s 1 ( e ) 到岛( f ) 上的满等距算子那么存在从r 到上的一一映射盯使得 帅) = 烈x a - l ( 6 ) i i v o ( 尚) ， 6 ” ” ”川 v z = q 研( e ) z o 、7 7 6 1 、 这样一来，就可以延拓为从e 至- i j f 上的线性等距算子后来，刘锐在 6 0 】中利用 相似的方法研究了严格凸赋范空间的z p 和的单位球面之间的等距算子( 0 p 1 ) 当o 0 使得当a 是e 中的子集且0 d ( a ) 6 时 就有d ( 芸) d ( a ) ，其中d ( a ) 表示子集a 的直径设e 足局部中点收缩的f r 6 c h e t 空问且u 是e 中的一个连通开集，若是从u 至o f r 6 c h e t 空问f 的某一个开集上 的满等距算子，那么可以延拓为一个仿射算子随后，对于单位球面上的等距 算子的延拓问题而言定光桂 1 9 】和王建 8 6 】研究了汐空间( 0 p 1 ) 中的等 距延拓问题，并且给出了一个充要条件：如果是从s l p ( r ) 】n s l 渺( ) 】内的等 距算子且0 p 1 ，则可以延拓y g e p ( r ) 上的线性等距算子当且仅当满足条 件：对任意的z s 1 妙( r ) 】以及任意的，y f ，必存在一个实数玑使得( 一e 1 ) = 一( 白) 一f ) 并且 v o ( x ) l 。u 即v o ( 。，) = r - r v o ( e 1 ) 更一般地，安桂梅在 3 】中给出了度量线性空问( 咖) 的单位球面之间满等距算子 的表现定理，从而知道了其一定可以等距线性延拓到全空间上设( 风) 墨1c ( 0 ，1 ) ， 那么从单位球面s 1 ( z 风) 】到单位球面s l ( e n ) 上的算子是一个满等距算子当且 仅当存在一列符号( 靠) 是1 以及自然数集n 的一个置换7 r 且满足对任何一个n 都 有风= 艮( 。) ，使得 0 0 v o ( x ) = o n g ( 妒n ， n = 1 v x = 矗e n 刚咖) 】 n = l 第5 章主要是研究准b a n a c h 空i b j l p ( p ) 的单位球面上等距算子的延拓问题，我 们给出了一个充分条件，使得从准b a n a c h 空间l p ( p ) 的单位球面到准b a n a c h 空 8第一章引言 间l p ( ) 的单位球面内的等距算子在此条件下可以线性的延拓到全空间上也 即是，假设0 p 1 而且k 是从单位球面& 【护( 肛) 】到单位球面s l p ( l ，) 】内的等 距算子如果满足下面的两个条件： ( i ) 对任意的z s l 【口( p ) 】都有v o ( 一z ) = 一 ) ； ( i i ) 若对于两个元z 1 ，x 2 s 1 【( p ) 】满足s u p p x 1ns u p p x 2 = d 以及两个实 数入1 ，, k 2 r 满足i a l l p + i 入2 i p = 1 使得( z ) = 入1 y o ( x 1 ) + a 2 y o ( z 2 ) ，则 存在x ，遐rs u x o 护( 弘) ( 其中，s u p p x oc ( s u p p x lus u p p z 2 ) 。) 使 得z = , v l x t + 入：z 2 + x o 那么，y o 可以等距线性延拓到全空间p ( p ) 上 第二章单位球面上的等距算子 9 第二章单位球面上的等距算子 定光桂在 2 1 】中首次对两种不同类型的空问进行讨论若s 2 是一个紧h a u s d o r f f 空间而且是从单位球面s 1 ( e ) 到单位球面s 1 c ( q ) 】上的满等距算子，其中赋范 空间要求s i ( e ) 的“光滑点”8 m s 1 ( x ) 在s x ( e ) 中稠密且对任意z s 1 ( e ) 以 及x 0 8 m 【s 1 ( e ) 满足： k ( z ) 一i a i v o ( x o ) l i i i x i a i x o l l ，v a r ， 则可以延拓为全空间e 上的线性等距算子同时，潘伟 7 7 】讨论了b a n a c h 空 间e 至连续函数空f 自j c ( a ) 的等距嵌入及等距延拓问题，给出了等距延拓问题有 肯定回答的一个充要条件也就是说，如果b a n a c h 空间e 的单位球面上每一点都 是光滑点，从单位球面研( e ) 到单位球面s l 畛( q ) 上的满等距映射可以线性等 距延拓当且仅当集合ij 毋在q 中稠密，其中，b x = t q ：对一切y z s l ( e ) s 1 ( e ) ，v o ( 可) ( t ) = 岛厶( y ) ，岛= + 1 1 ，且厶是z 的唯一支撑泛函安桂梅 2 】对此 结果做了一些推广，而作者在2 1 中部分的推广了 2 】$ u 2 1 】的结果首先，作者 利用赋范集的概念改进了 2 】中的定理2 2 ( 即不使用n a 空间的概念) ，此即本文 的定理2 1 4 作者又在定理2 1 6 推广 2 1 】中的定理到更一般的情形，当然相比较 于 2 1 】而言，我们这儿把值域空间作了一些限制，即要求其足白反空间实际上， 我们也在2 1 中就证明了：如果x 是实的b a m c h 空间且葫可两丽= & ( x ) y 是自反i 拘b a n a c h 空间是从s 1 ( x ) 到研( y ) 的满等距算子如果对任意的z 研( x ) ，x o 8 m 岛( x ) ，有 i i y o x i a i y o ( 士z o ) i | i i x i , x l ( 士x o ) l l ，v a r 那么，可以延拓为全空问x 上的实线性等距算子为了研究更一般空间上的等 距延拓问题作者在2 2 中引入了正齐性对偶空间e # 的定义( 见2 2 1 ) ，即赋范空 间e 上所有满足 s u p i f ( x ) i | z j e 7 1 ( e ) + 。o 的正齐性泛函厂的全体；并且在2 2 i 中研究t b a n a c h 空间e # 的一些性质( 在这 其中主要足定理2 2 6 ) ；而在随后的2 2 2 中研究了空间e n 之间的一类正齐性算 l o 第二章单位球面上的等距算子 子的性质由此，我们就得到了等距延拓问题在一定的条件下足成立的，这就是定 理2 2 9 的结论王日生在 8 9 】研究了严格凸赋范空间的g l _ 和的单位球面之间的满 等距算子的表现定理，从而得到相应的等距延拓定理设e = ( 。日) 且f = 一y r ( 毋) 纵其中r ，均为指标集且日，r 均为严格凸赋范空间( ，y r ，6 ) ， 6 而是从s i ( e ) 到s - ( f ) 上的满等距算子那么存在从f 到上的一一映射盯使 得 啡) - i i z 一- , ( 6 ) i i v o ( 尚) ， 6 o ” 。川 v z = q s 1 ( e ) z 一 、7 7 6 f 这样一来，就可以延拓为从e 到f 上的线性等距算子后来，刘锐在 6 0 】中利用 相似的方法研究了严格凸赋范