（计算数学专业论文）t样条函数空间的维数研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 样条函数作为计算几何中表示和逼近的基本工具，在很多工程领域有着重要而 广瑟的应用要了解样条空问并将其应用，最首要的问题是了解它的代数结构及维 数然而样条函数空间的维数不仅依赖于剖分区域的拓扑结构，而且还依赖于剖分 区域的几何结构t 样条是由s e d e r b e r ge m l 1 于2 0 0 3 年提出的，它是定义在一 般的t 网格上的样条函数空间研究它的空间维数也显得异常重要邓建松、陈发 来、冯玉瑜2 1 利用b 网方法得到，当光滑度小于样条函数次数一半时，t 样条函 数空间的维数公式，而且所得到的维数公式，只与t 网格的拓扑性质有关但是当 样条函数的光滑度接近次数时，维数成立的公式未给出 本文首先利用对t 网格上内网线的排列顺序和光滑余因子方法，给出任意的 规则t 网格上样条空间s ( m ，o t ，反下) 的维数公式，此公式对于一般的不规则t 样条空间也成立得到的结果没有制约性，大大提高了以前的结论之后又利用模 中生成基理论和光滑余因子方法，通过讨论k 与弘的关系，得到了t 网格上的样 条函数空间髭( r ) 的维数公式 关键词：多元样条；t 网格；维数；光滑余因子；模中生成基 t 样条函数空间的维数研究 r e s e a r c ho nd i m e n s i o n so fs p l i n es p a c e so v e rt o m e s h e s a b s t r a c t s p l i n ef u n c t i o ni s8 2 1i m p o r t a n ta p p r o x i m a t i o nt o o li nc o m p u t a t i o n a lg e o m e t r y , m a di ti sw i d e l yu s e di nm a n ye n g i n e e r i n gf i e l d s i no r d e rt ob e t t e ru n d e r s t a n ds p l i n e s p a c ea n dt oa p p l yi t ，t h ef i r s tp r o b l e mi st oe x p l i c i ti t sa l g e b r a i cs t r u c t u r ea n di t s d i m e n s i o n h o w e v e r ，t h ed i m e n s i o no fm u l t i v a r i a t es p l i n es p a c ed e p e n d sn o to n l y i t st o p o l o g i 嘣p r o p e r t yo fi t sp a r t i t i o n ，b u ta l s os o m e t i m e sh e a v i l yo nt h eg e o m e t r i c p r o p e r t yo fi t sp a r t i t i o n t - m e s hs p l i n es p a c ei sf i r s t l yp r e s e n t e db ys e d e r b e r g ， e t a l 1 l i n2 0 0 3 ，w h i c hi sd e f i n e di ng e n e r a lt - m e s h u s i n gb - n e t sm e t h o d ，j i a n s o n g d e n g ，e t a l 【2 d e r i v e dt h ed i m e n s i o no i lt - m e s hs p h n es p a c ew h e nt h es m o o t h n e s si s l e s st h a nh a l fo ft h ed e g r e eo ft h es p l i n ef u n c t i o n s ，w h i c hd e p e n d so nt h et o p o l o g i c a l p r o p e r t yo ft - m e s h b u tw h e nt h es m o o t h n e s si sc l o s et ot h ed e g r e e ，t h ed i m e n s i o n f o r m u l ah a s h tg o t t e n i nt h i sp a p e r ，f i r s t l y , ag e n e r a lf o r m u l ao fd i m e n s i o no fs p l i n es p a c es ( r n ，札，q ，p ，f ) o v e rt - m e s hi sg i v e nb ym e a n so fo r d e r i n gs k i l lt oi n n e re d g e so ft - m e s hu n d e rt h e f r a m eo fs m o o t h i n gc o f a c t o r - c o n f o r m a l i t ym e t h o d t h er e s u l to ft h ef i r s tp a r t i m p r o v e st h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t si n 【2 a n d 【1 7 】s e c o n d l y , b a s e do nt h et h e o r y o fg e n e r a t o rb a s i so fm o d u l ea n ds m o o t h i n gc o f a c t o r - c o n f o r m a l i t ym e t h o d ，w e d e r i v et h ed i m e n s i o no fs p l i n es p a c e 罐( r ) o v e rt - m e s h k e yw o r d s ：m u l t i v a r i a t es p h n e s ；t - m e s h ；d i m e n s i o n ；s m o o t h i n gc o f a c t o r c o n f o r m a l i t y ；g e n e r a t o rb a s i so fm o d u l e i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文申做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：蕉盘竺日期：1 21 ：堑： 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解。大连理工大学硕士、博士学位论文版权 使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阈本人授权大连理工大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编学位论文。 作者签名 指导教师签名： 薛上月卫日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 备 本章着重介绍多元样条函数理论和t 样条函数空间的理论，为后续各章做准 1 1 多元样条函数理论 1 1 1 多元样条函数概述 所谓样条函数( s p l i n ef u n c t i o n ) 就是具有一定光滑性的分段或分片定义的函 数，如果在每段或每片上定义的函数都是多项式，则称为多项式样条函数，本节 若无特别指明，样条函数都是多项式样条函数样条函数最早由美国数学家i j s c h o e n b e r gf 3 】于1 9 4 6 年提出的，以研究无穷区间上的等距节点数据的平滑问题为 背景引入了样条函数i j s c h o e n b e r g 深刻指出了研究一元函数的三种观点，它们 分别是f o u r i e r 交换的观点，截断多项式差商的观点以及t a y l o r 展开的观点按前 两种的观点，i j s c h o e n b e r g 较为系统的建立了一元样条函数的理论基础，这些观 点和方法对于样条函数的发展产生了极其深远的影响但是，s c h o e n b e r g 的工作刚 开始时并未受到重视从6 0 年代开始，随着电子计算机技术的飞速发展，样条函 数也得到了迅速的发展和广泛的应用鉴于客观事物的多样性和复杂性，开展有关 多元样条函数的研究，无论在理论上还是在应用中都有着十分重要的实际背景和意 义现在，多元样条函数在函数逼近、计算几何、计算机辅助几何设计、有限元及小 波等领域中均有较为重要的应用 普遍认为，目前研究多元样条函数有三种方法一种是经典的代数几何方法亦 称光滑余因- 7 ：2 r 法( s m o o t h i n gc o f a c t o r - c o n f o r m a l i t ym e t h o d ) ，这方法是王仁宏 在1 9 7 s 4 年发现的，在文中作者采用函数论与代数几何的方法，简明、深刻地刻划 了多元样条函数光滑连接的内在本质，并建立了光滑连接所应满足的协调方程，进 而使求样条空间的维数和基底等问题归结为求解协调方程的问题，建立了任意剖分 下多元样条函数的基本理论框架从这种基本观点出发，多元样条函数的任何问题 均可转化为与之等价的代数问题来研究之后王仁宏、ll s h u m a r k e r 、c k c h u i 等学者用这种方法进行了大量的研究工作，得到了丰富的结果 1 t 样条函数空间的维数研究 另一种研究多元样条的方法是利用单纯形上多元多项式的b 6 z i e r 网表示，亦 称b 网方法此方法来源于多元b e r n s t e i n 多项式，它是种局部坐标法，是利用 相邻单纯形上b 6 z i e r 坐标之间的相互关系来刻划多元样条函数的光滑程度的最初 是由d ec a s t e l j a u 子5 0 年代末提出的，他考虑的从曲线推广到曲面的第一种类型 就是现在称之为的b & i e r 三角曲面片但d ec a 8 七e l j a l l 的工作从未发表，直至1 9 7 5 年才被w b o e h m 在两篇内部技术报告中发现将b e r n s t e i n 多项式用于多元样条 理论的研究，当首推g f a r i n 5 在1 9 8 0 年完成的博士论文中的工作g f a r i n 在博 士论文中考虑了多元样条的b & z i e r 坐标和光滑性之间的关系，从而使b 网方法成 为研究多元样条的重要方法之一，在此之前其他人的工作都限于定义在正三角剖分 上d eb o o r 。h s l l i g 等人对b 网方法的发展起过重要的作用 b 网方法只适用于所谓的单纯形制分，适用性上有一定的局限性，但由于削分 的针对性，b 网方法对处理单纯形剖分上的样条函数有其特殊的优越性迄今为止， 单纯形剖分上样条函数的一些问题的最佳结果，如任意三角剖分上二元样条函数空 间的维数问题，多是由b 网方法得到的 研究多元样条的第三种方法是投影算子法，亦即b o x 样条法，此方法是最早用 于研究多元样条的方法由c u r r y 和s c h o e n b e r g 建立的，此方法的本质思想是研 究高维空闻上的多面体对低维空间的投影测度函数等价的线性泛函表示使得此种 方法在理论上得到了较为优美的性质m i c c h e l l i ，d eb o o r ，d ev o r e ，d a h m e n 以及 贾荣庆和王仁宏等学者对此方法也作了大量的工作，起了十分重要的作用 1 1 2 光滑余因子方法 如前所述，光滑余因子协调法是一种经典的代数几何方法，1 9 7 5 年，王仁宏在 文献【4 】中采用代数几何的方法建立了任意剐分下多元样条函数的基本理论框架， 并提出所谓的光滑余因子方法采用这种方法，多元样条函数的任何问题都可以转 化为与之等价的代数问题研究 设d 为r 2 中的一区域，以p k 记二元k 次实系数多项式集合一个二元多 项式p 称为不可约多项式，如果除了常数和该多项式自身外没有其它复多项式可整 除代数曲线 r ：l ( x ，y ) = 0 ，z p ，y ) p ， 称为不可约代数曲线，如果f ( 。，y ) 是不可约多项式用有限条不可约代数曲线对区 域d 进行剖分，将剖分记为，d 被分为有限个子区域d l ，d _ ，它们被称为 d 的胞腔形成每个胞腔边界的线段称为网线，网线的交点称为顶点，同一网线的 两个顶点称为相邻网点以某一顶点y 为顶点的胞腔的并集称为顶点y 的关联区 域或星形区域，记为s t ( v ) d 上的关于剖分的二元k 次p 阶光滑样条函数空 间定义为 s 譬( ) = 如c ”( d ) ：s f d i p t ，t = 1 ，一，) 2 大连理工大学硕士学位论文 基于代数几何中b e z o u t 定理，王仁宏得到了多元样条函数光滑连接的条件表现 为如下定理： 定理1 1 1 4 】设8 s 警( ) ，取与d ，是割分的相邻胞腔不可约代数曲线 r ：l ( x ，y ) = 0 是d t 与马的一条公共网线，只= s i 取，易= s i 岛，则有 只一易= ( f ( z ，可) ) 件1 9 ( z ，y ) ， 其中，口( z ，v ) p k 一( 时1 ) d 称为网线r 上的光滑余因子，此处d = d e g q ) 我们将位于区域d 内部的网点称为内网点，否则称为边界网点如果一条网线 的内部属于区域d 内，则称此网线为内网线，否则称为边界网线设 为任给定 的内网点，t ，的关联区域鼬( 口) 有个胞腔d l ，d n ，d i 与d ，的公共网线记 为r o ：2 t ( 霸掣) = 0 ，i = 1 ， 吼( 正，龇( 毛可) 时1 = 0 ， ( 1 1 ) 其中，g ( 毛y ) p k 一( 时1 ) d l ，画= d 凹( k ) ，公式( 1 1 ) 称为样条函数8 ( x ，耖) 在内网点口 处的协调条件若样条函数在所有的胞腔上均为同一多项式，则称其为蜕化的下 面定理称为样条函数的存在性定理： 定理1 1 2 圈对于给定的剖分，样条函数存在的充要条件是在每个内网线上存 在非0 的光滑因子，且在每个内网点处满足协调条件( 1 1 ) 由此，可以建立多元样条函数的一般表达形式设区域d 被剖分分割为如 下有限个胞腔d l ，d 任意选定一个胞腔，倒如d 1 作为源胞腔，从d 1 出发， 画一流向图c ，使之满足： 1 c 流遍所有的胞腔d 1 ，d 各一次 2 ，c 穿过内网线的次数不多于一次 3 c 不允许穿过网点 流向图a 所经过的内网线称为相应于d 本性内网线其他的内网线则为相 应于c 的可去内网线显然可去内网线与本性内网线只是一个相对概念设k ： 幻( z ，y ) = 0 为0 的任意一条本性内网线，将从源胞腔0 出发，沿从源胞腔舀出 发，沿e 前进时，只有越过r 妤后才能进入所有闭胞腔的并集记作u r 去，将从源胞 腔口出发沿时，在越过a 之前所经过的各胞腔并集为r i ，称u 呓u r ；为网 线r ，的前方，记作矗( 如) 定义1 1 1 【4 】设r 嵇：l o ( z ，y ) = 0 为相应于流线c 的本性内网线，多元广义截断 多项式定义为 咖肛t b 0 p 喘；：尝i 3 t 样条函数空间的维数研究 由此，有如下的样条函数表现定理： 定理1 1 3 【4 任意s 罐( ) 均可唯一地表示为 s ( z ，分) = p ( z ，) + 幻( 为y ) p 1 ( z ，刍，) ，( ) d ， o 其中p 扛，暑，) p k 为s 扛，y ) 在源胞腔上的表达式，o 表示对所有本性内网线求 和 在文献 6 】中，王仁宏给出了任意维的样条函数框架，这些结果与上面结果类 似 光滑余因子的方法可以研究任意剖分下的多元样条函数空间多元样条的一些 问题，例如维数问题，最终可归结为对协调条件的研究特别地，对于一种较为实 用的剖分，贯穿剖分( 用有限条直线对区域d 进行的剖分称为贯穿剖分) ，利用上 述方法，能较容易的得到该剖分下样条空间的维数与基底t d i m s 芒( ) = 7 ( 昆) + e _ l ( k p + 1 ) + y 町( 七一2 p 一2 ) 且空间鹾( ) 中的任意元素可表示为 此处，e 为剖分中直线数目，v 为内网点数目，当m 0 ，野( m ) = + 2 ) ( m + 1 ) ， 否则7 ( m ) = 0 专著【7 】中，详细介绍了光滑余因子方法的应用，包括1 型，2 型三 角剖分上的维数与基底，任意三角剖分下的维数等等 1 1 3b 网方法 所谓b 网方法，就是利用两个多项式在两个相邻单纯形上b e r n s t e i n 表达形式 的系数之间的关系，给出光滑拼接的条件最早将一元b e r n s t e i n 多项式推广到二元 情形的是五十年代d ec a s t e l j a u 的工作，但并未发表将b e r n s t e i n 多项式用于多元 样条理论的研究，当首推g f a r m 在1 9 8 0 年完成的博士论文【5 中的工作g f a x i a 在博士论文中考虑了多元样条b 包i e r 坐标和光滑性的关系，从而使b 网方法成为 研究多元样条的重要方法之一中国学者苏步青、刘鼎元【8 等人也作了许多有意 义的工作。 b 网方法要求剖分为单纯形剖分，般不能考虑任意剖分下的样条空间但 由于制分的针对性，b 网方法对处理单纯形剖分上的样条函数有其特殊的优越性 迄今为止，单纯形剖分上样条函数的一些问题的最佳结果，如任意三角剖分上二元 样条函数空问的维数问题，多是由b 网方法得到的下面介绍b 网方法的基本思 想和主要结果f 5 ，9 】 4 + p 。剪 z 0 舛。妒 z b z n y m + py m鲈 z 吼 f：l + ” z p i i y s 大连理工大学硕士学位论文 设也，v 2 ，地是三角形6 按逆时针方向排列的三个顶点，则任意z r 2 可唯一 表示为 岳= n m + 您地+ 勺铅， 其中，n + 色+ 勺= 1 ，称n ，吨，为z 关于三角形d 的面积坐标不难得到 力= 丢宇三鹅，n = j ( v 兰l - - 二! v 2 立) 盟( v 。- v 2 ) ，勺= 宇三鹅 面积坐标有个重要的性质就是具有仿射不变性令g = 2 一z 1 ，毛的面积坐标为 i - ( o = ( 矗“，矗”，矗) ，t = 1 ，2 ，q = ( a 1 ，o r 2 ，a 3 ) = 下( 2 ) 一r ( 1 1 函数，0 ) 的自变量z 用面积坐标替换后得到的函数仍用，( r ) 表示，替换前后函数的偏导数与方向导数 有如下关系； 刚垆m r ) - a ，掣+ 譬等4 - r * 3 等 珑竹) = 巧( q ) d 1 竹) l x l = r 其中，研( r ) = 黯r = 粕霄1 矗2 寸3 ，h + 2 + 沁= n ，沁z + 称b 癸( r ) 为 b e r n s t e i n 基函数其具有如下性质； 1 占噔( 7 ) 20 ，r 6 = i v l ，t j 2 ，v 3 2 e 。毋( 下) 兰1 3 取( r ) ，= 仡) 是多项式空间p 。的组基底 4 研( r ) 在点r = 妻处取唯一极大值 由性质3 可知，任一多项式p 可唯一表示成 p ( 小= 6 - 暇( f ) n l = ” b x ，= 佗) 称为p ( 下) 关于6 的b 6 z i e r 坐标，插值于 ( ：，h ) ：= n ) 的分片线 性函数称为尸( r ) 关于6 的b 6 z i e r 网，简称b 网下述定理显示了b e r n s m e i n 形式 的升阶公式 定理1 1 4 【9 令e 1 = ( 1 ，0 ，o ) ，e 2 = ( 0 ，1 ，o ) ，e 3 = ( o ，0 ，1 ) ， 3 妒2 寿“札呐卅n + l 则 6 - 磁( r ) = 6 i l 磁+ 1 ( r ) z j “、7z j 5 t 样条函数空间的维数研究 定理1 1 5 ( d ec a s t e l j a u 算法) f 9 】假设礼次多项式p ( r ) = i 却6 蜀贯( 7 - ) 若令 磺1 ( 丁) = 以，攻( 下) = ；：，勺b ( 掣( 7 - ) ，1 a l = 几一r ，则 p ( r ) = 磁一( 下) ，0 r m i x l = n - r 特别地，取r = n ，则得p ( r ) = b ( o n ) ( r ) 下述定理给出了竹次多项式p ( r ) 的方向导数 定理1 1 6 【9 】 删扣禹矗( 嗍q ) 设t 为以 0 1 ，t j 2 ，v 3 为顶点的三角形，于为以 l ，也， v 3 为顶点的三角形，于与t 有公共边v 2 v a 两个相邻三角形上的n 次多项式之间的光滑连接条件为， 定理1 1 7 【9 】设p ( 下) 与p ( 丁) 分别是定义在相邻三角形t = i v l ，v 2 ，v a 】和t = 两，忱，地】上的n 次多项式， h ，协f = n 和蕊，f a f = 死 分别是p 0 - ) 和p 6 - ) 关 于r 和r 的b d z i e r 坐标，则p ( r ) 与p ( r ) 之间c 圹光滑拼接的充要条件是一 舐一6 譬( ) ，s = o 川1 一，r ( 1 2 ) 英中，尹是 1 关于t 的面积坐标，”= ( 8 ，a 2 ，a 3 ) ，a o = ( 0 ，a 2 ，a 3 ) ，a 2 + 沁= r , - - s 1 2 t 样条函数空间 1 2 1 t 祥条函数空间概述 n u r b s ( n o n - u n i f o r m r a t i o n a lb - s p l i n es u r f a c e s ) 是计算机图形学和c a d c a m 系统的工业标准然而单片的n u r b s 曲面与其他参数曲面一样，不能表示任意拓 扑结构的曲面1 9 7 8 年，c a t m u l l 和c l a r k 1 0 】与d o o 和s a b i n d 1 1 将c h a , i k i n 算 法f 1 2 1 推广到双三次b 样条曲面和双二次b 样条曲面，并推广到任意拓扑网格上 为了在细分曲面上加入诸如痕角、尖、刺锥等尖锐特征，常常需要在生成特征的 边上应用一些特殊的细分规则 13 ，或通过修改网络拓扑结构【1 4 】其中一个原因 是t 尽管基于节点插入方法，d o o - s a b i n 和c a t m u l l - c l a r k 等细分曲面只是均匀b 样条曲面在任意拓扑的推广 s e d e r b e r g 等人f l s 通过在控制网格上引入节点距，把非均匀b 样条曲面推广 到任意拓扑，提出了n u r s s e s ( n o n - u n i f o r mr e c u r s i v es u b d i v i s i o ns u r f a c e ) 当所 有的节点距相等时，二次n u r s s 曲面( 非均匀d o o - s a b i n 曲面) 和三次n u r s s 曲 6 大连理工大学硕士学位论文 面( 非均匀c a t m u l l - c l a r k 曲面) 分别退化为d o o - s a b i n 曲面和c a t m u l l - c l a r k 曲 面并且通过让一些节点距置零，可以自然地在曲面上产生尖锐特征，不必再应用 不同的细分规则图1 1 的左图为均匀d o o - s a b i n 曲面，右图为非均匀d o o - s a b i n 曲面，控制网格一些边的节点距被置为0 ，使得曲面在这些边上产生g 0 不连续 图1 1 均匀和非均匀d o o - s a b i n 曲面 f i g1 1 u n i f o r ma n dn o n - u n i f o r md o o - s a b i ns u r f a c e s 由于n u r s s e s 的细分规则是非静态的，并且不能进行局部加细，s e d e r b e r g 等 人【1 6 】又修改三次n u r s s e s ，提出了n u r c c s ( n o n - u n i f o r mr a t i o n a lc a t m u u - c l a r ks u r f a c e s ) 和三次n u r s s e s 一样，n u r c c s 是张量积非均匀b 样条曲面和 c a t m u l l - c l a r k 曲面的推广但是由于n u r c c s 要求在每个四边面上的对边有相等 的节点距，使得n u r o c s 的细分规则是均匀的通过在控制网格中引入t 结点， 使得n u r c c s 中的加细可以局部进行，从而得到t - n u r c c 8 在图1 2 中，t 结 点用高亮显示，右图的t - n u r c c s 有2 4 9 6 个面，而全局加细的c a t m u l l - c l a r k 曲 面需要3 9 3 2 1 6 个面才能得到相同精度 n u r c c s 的局部细分性，是来自于s e d e r b e r g 等人在同一篇文章中所提出的t 样条的局部细分能力t 样条的定义域控制网格由一族水平线段和一族垂直线段构 成，由于容许存在t 节点，被称为t 网格图1 3 给出了一些t 网格的例子作 为自由曲面造型基本工具的传统张量积b 样条函数，是定义在一类特殊的t 网格 一矩形网格上的由于张量积b 样条基函数共享两组全局的节点向量，使得对定义 域剖分的局部修改是不可行的t 样条，是定义在t 网格上的p b ( p o m t - b a s e d ) 样 条，就是说，对于每个顶点，定义个混合函数，该函数来自某个张量积样条空间 尽管t 结点的存在，使得t 样条可以进行真正的局部细分但是局部细分很大程 度上依赖于网格的结构，其复杂性是不确定的而且混合函数是否总是线性无关， 从而构成t 样条空间的一组基也是一个未解决问题引起这些问题的一个根本原 7 t 祥条函数空间的维数研究 图1 2 用t - n u r c c 局部细分加细的c a t m u l l o c l a r k 网格 f i g1 2 c a t m u l l - c l a r km e s hw i t ht - n u r c cl o c a lr e f i n e m e n ts u b d i v i s i o n 图1 3t 网格的例子 f i g1 3f “x a m p l eo ft m e s h 因是因为样条在每个割腔上不是一个多项式，而是一个分片多项式 邓建松等人【2 限制样条在t 网格的每个剞腔上是一个张量积多项式且跨边界 时满足一定的光滑性，提出了t 网格上的样条空间的概念利用b 网方法，他们得 到了当光滑阶小于多项式次数一半时的维数公式，并简单讨论了基函数的构造在 17 】中，他们讨论了当光滑阶小于多项式次数一半时般t 网格上样条空间的维数 公式 1 2 2 由b 网方法得刭的结果 本节介绍文【2 的具体研究思路 r l ( z ，掣) ，丌2 ( z ，y ) 为次数是( m ，n ) 的多项式，分别定义在两个相邻区域，z 1 】 ，冒1 和扛l ，z 硝，鳓】它们可以表示成如下b e r n s t e i n - b 6 z i e r 形式； 宵( 训) = 翠。e 霹，* 可( 考暑鼍) 毋( 蚤篙) 丌2 ( z ，鲈) 2 翠v , r , b 批2 b j m ，、_ x 三2 二- - 孙x o 舯kr 旦y l 二- - 塑y o ) ( 1 3 ) 8 大连理工大学硕士学位论文 其中，占罗( t ) 和研( t ) 是& 粕8 t e i n 多项式弓，k 和吆分别称为z l ( x ，掣) 和 丌2 ( z ，! ，) 的b 6 z i e r 坐标 众所周知，以p ，y ) 和7 r 2 p ，扩) 在它们的公共边界上是r 次可微的，当且仅当 【5 1 瓦两10 如一t j ；石_ b t ，。嚷一j = 。，i = 。，r 其中的微分算子定义为a z , 0 b = a 卜1 0 b + l ，一n - i , j ，k ， o - o 吆= 吆扣 ( 1 4 ) ( 1 5 ) 给定个t 网格r ，令( m ，r ) = 妒( m ，n ，- 1 ，- 1 ，r ) 为在相邻胞腔不带连续 性限制的分片多项式函数空间显然有 出m ( m ，n ，r ) 一f ( 仇+ 1 ) ( n + 1 ) 其中f 是r 中胞腔个数妒( m ，几，q ，p ，r ) 中的任意函数可以认为是( m ，n ，r ) 中的函数且满足光滑条件 毪如 f i v l 镊 图1 4 两个水平相邻的胞腔， f i g1 4t w oh o r i z o n t a la d j a c e n tc e l l s 接下来考虑光滑条件任取函数s ( m n ，r ) 令西l 和锄为r 中两水平相邻 胞腔，如1 4 ( a ) 所示设咖和也分别定义在，- t i 】，掣1 】和陋l ，z 2 】x ，掣3 上， 设s ；瓢，靠在饥上的b 包i e r 坐标为6 易，t = 0 ，m ，j = 0 ，疗，七= l ，2 根据张量积多项式的细分算法，计算陬，z 1 】匦，胡，七= 1 ，2 上的s k 的b 6 z i e r 坐标可= m i n ( y 1 ，撕) ，型= m ( 珈，抛) ( 见1 4 ( b ) ) ，令新的b 6 z i e r 坐标为6 屯，t = 9 t 样条函数空间的维数研究 0 ，m ，j = 0 ，佗，k = 1 ，2 根据( 1 4 ) 得到两个b 6 z i e r 坐标集合满足的光滑条 件这些条件引出在原来两个b 6 z i e r 坐标集合的光滑条件 相似的光滑条件对于任何两个垂直相邻的胞腔也可以导出所有的光滑条件可 以集成个线性系统 a c = 0 ， a 是个矩阵，c 是将所有b 6 z i e r 坐标按某种方式排列得到的向量，c 中元素的个 数为f ( m + 1 ) ( n + 1 ) ，所以 d i m 妒( m ，n ，q ，卢，f ) = f ( m + 1 ) ( n + 1 ) 一r a n k a ( 1 6 ) 为了简化r a 丑k a 的计算，接下来利用由a l f e l d 1 8 】和s c h u m a k e r 1 9 】提出的决 定集的概念，在此不再详细介绍 下面给出给出文【2 的主要结论： 引理1 2 1f 2 】对给定的t 网格割分r 和样条函数空间s ( m ，n ，a ，卢，r ) ，如果其中 一条水平复合网线由2 条内网线组成，且有f + 1 个相邻的胞腔，那么在每个胞腔 上的p + 1 行b 6 z i e r 坐标，确定相同的二元多项式( m ，p ) ( 如图1 5 ) 同理可得，在 与垂直复合网线相邻的每个胞腔中的口+ l 列b 6 z i e r 坐标，确定相同的二元多项式 ( 血，n ) ：| 。 。 是： ：|。 。 。 ： ： ： ：|f “： 图1 5 与一条复合网线相邻的胞腔中的b 6 z i e r 坐标( m = 3 ，p = 1 ) f i g1 5 b 6 z i e ro r d i n a t e si ne v e 】2 yc e l ln e a rac - e d g e ( h i = 3 ，肛1 ) 下面给出t 网格上几种常用的记号( 表1 ) ； 上k 水平内网线的条数 日垂直内网线的条数 磁水平边界网线的条数 或垂直边界网线的条数 1 0 大连理工大学硕士学位论文 互k 水平复合网线的条数 日垂直复合网线的条数 y 内网点的个数 九第i 条水平复合网线上内网线的条数，i = 1 ，昂 地第i 条垂直复合网线上内网线的条数，i = 1 ，蜀 f t 网格中的胞腔的个数 y + 贯穿内网点的个数 y 上t 交叉网点的个数 引理1 2 2f 2 】给定t 网格及英如表1 中的说明，那么有下面公式成立z e 錾丸= 最，e 鸯胁= 蜀 ( 1 7 ) 2 f 一磁一赢= 取，2 f 一或一或= 日( 1 8 ) e 一磊一瓦= y 上( 1 9 ) 定理1 2 3 【2 】t 给定一个规则t 网格，其上的样条空间为s ( m ，n ，饵p ，7 ) ，如果 m 2 a + 1 且n 2 卢+ 1 ，则有 d i m s ( m , n , c 1 ，且：= f ( m + 1 ) ( 1 ) 一昆( m + 1 ) ( p + 1 ) 一鼠( 口+ 1 ) ( 1 山) + y ( 口+ 1 ) ( p + 1 ) 。 这里，f 是f 中剖腔数，玩和邑分别为水平内线和垂直内线的条数，y 为内 点数 同上述研究方法类似的，黄章进等【17 研究了一般t 网格上的样条空间和规 则t 网格上的周期样条空间，并给出了它们的维数公式 定理1 2 4f 1 j 7 】：给定一个一般的t 网格和相应的样条空间s ( m ，扎，口，芦，7 _ ) ，当如 果m 22 a + 1 且札2 p + 1 ，则有 d i m s ( m , n , a ，3 , r 、) = f ( m + 1 ) ( 1 ) 一岛( m + 1 ) ( 声+ 1 ) 一e ( q + 1 ) ( 叶11 1 1 ) + y ( a + 1 ) ( p + 1 ) 这里，f 是r 中剖腔数，而和日分别为水平内线和垂直内线的条数，v 为内 点数 1 1 t 样条函数空间的维数研究 定理1 2 5 1 7 ：给定一个规则t 网格和相应的水平周期样条函数，鼠( m ，n ，a ，卢，j r ) ， 当如果m 2 a + 1 且佗2 8 + 1 ，则有 d i m s h ( m ，乱，q ，卢，7 _ ) = d i m s ( m ，竹，o t ，卢，7 - ) 一z x e 。( a + 1 ) ( 仃+ 1 )( 1 1 2 ) + a v ( a + 1 ) ( 卢+ 1 ) ( 1 1 3 ) 其中，目= 或一盼一1 ，a v = 日一l ，磁为垂直边界网线条数，时 为在垂直边界网格线上具有相同y 一坐标的边界网点对的个数 定理1 2 6 1 7 ；给定一个规则t 网格和相应的垂直周期样条函数，岛( m ，佗，o ，卢，r ) ， 当如果m 22 a + l 且n 2 8 + 1 ，则有 击m 瓦( m ，n ，q ，p ，下) = d i m s ( m ，n ，a ，卢，r ) 一e h + 1 ) ( m + 1 )( 1 1 4 ) + a v ( a + 1 ) + 1 ) ( 1 1 5 ) 其中，a e h = 魂一瞄一1 ，y = a e h 一1 ，磁为水平边界网线条数，时 为在水平边界网格线上具有相同z 一坐标的边界网点对的个数 1 2 3 由光滑余因子方法得到的结果 由于s ( m ，亿a ，p ，下) 中的样条函数沿x 方向q 阶连续，沿y 方向卢阶连续， 由光滑余因子方法【4 】，在每条水平网线上的光滑余因子为p i ( x ，y ) 尸 。一口一1 ，在 每条垂直网线上的光滑余因子为q a x ，y ) p m 一。l ，将每个阿网点( 鼠，协) 表示为 讧小它的协调条件是( 如果优j 是t 结点，那么光滑余因子的其中之一消失，如图 1 6 ( a ) 所示) ( a a 1 ) 匆一盼) 4 + 1 + ( 劬一1 一毋) 缸一z 。) 。+ 1 = 0 ( 1 1 6 ) p lt，p x a 乃卜_ 宰啐一十一一一一t - 穹。+ 刊 孔置t屯鲁- 嗨曩i mz 并 l 曲 b 图1 6 网点r i d 处和一条水平t 网线上的光滑余因子 f i g1 6 t h es m o o t h i n gc o f a e t m r sa r o u n d 仇ja n da l o n g8h o r i z o n t a lt - s e g m e n t 由于0 一戤) 。+ 1 和 一珊) 胂1 是互素的，存在t i ( z ，s ，) ，巧( z ，y ) f k 一。l ，。一p 一1 ， 使得 p i p i l = 厶( z 一黾) a + lg ，一1 一口，= 巧( 轳一协) 胂1 】2 大连理工大学硕士学位论文 代入( 1 - 1 6 ) 得到 ( 长扛，y ) + 芬( z ，3 ，) ) ( z 一茹) 卧1 皓一协) 4 + 1 若0 因此， t 0 ，y ) 兰- t j ( x ，y ) ：= d t j ( 。，y ) 只。一。一1 一一口一1 也j ( z ，) 称为在内网点仇j 处的协调余因子因此，我们发现光滑余因子之间的数 量关系 a 0 ，毫f ) 一叠一1 ( z ，掣) 三c k j ( z ，可) ( 盘一g i ) o 十1 ， 和 酊p ，暑，) 一彩一1 p ，y ) 三哦j p ，耖) 国一纷) 9 + 1 对于一条包含n 个内网点的水平t 网线，相对应的光滑余因子为p i ，t 一1 ，一 1 如图1 6 ( 5 ) 所示我们可得到n 个协调条件， p l ( z ，y ) = d 1 j ( z ，) ( z x t ) a + 1 ； p 2 ( z ，y ) 一p 1 ( 茁，可) = d 2 j ( z ，) ( 。一x 2 ) a + 1 ； p 一1 ( z ，y ) 一p 一2 ( z ，y ) = d 一1 j ( z ，暑，) ( z z 一1 ) 蚪1 ； 一p 一1 ( 。，可) = = d n j ( x ，! ) ( z z ) 。+ 1 因此我们将上述方程求和得到沿水平t 网线的协调条件 垫1 d i j ( z ，暑) ( 。一卫t ) 。+ 1 三0 ( 1 1 7 ) 相似的，沿垂直t 网线的协调条件为 e 篓1 ( 。，) 白一协) 舛1 - 0 ( 1 1 8 ) 其中n 表示垂直t 网线上的内网点个数将( 1 1 7 ) 和( 1 1 8 ) 两个方程看作第 一类和第二类协调条件因此，这两类协调方程构成了t - 连接段的整体协调条件， 不同的t 连接段的整体协调条件是互相独立的与贯穿剖分上【7 】的样条空间类 似，源胞腔的自由度为( m + 1 ) + 1 ) ，每条贯穿线有个自由的光滑余因子因 此，在整个t 网格上的样条函数空间的维数由下面引理给出 引理1 2 7 【2 0 】给定t 网格r ，分别包含c k 条水平贯穿线和c ；条垂直贯穿 线，t 个不同的t 连接段r t ，i = 1 ，t 那么定义于r 上的样条空间维数为 d t m s ( m ，n ，q ，口，f ) = ( m + 1 ) ( n + 1 ) + c k ( m + 1 ) ( 礼一声) + c ；( m a ) ( n + 1 ) + 圣1 d m r t ， 其中，d i m f t 表示第i 个t 连接段的整体协调方程解空间的维数 1 3 t 样条函数空间的维数研究 现在考虑包含n 个网点的两类协调条件，分别用d i m l ( ) 和d i m 2 ( n ) 表示它 们的维数，有如下的结论 引理1 2 81 2 0 设血( z ，分) ，c 0 ，y ) p 仇- a - 1 ，。一口一1 且z j ( i j ) ，执v j ( i ，) ， 则 e 鉴ld f ( 茁，暑，) ( $ 。) 计1 三0 的解空间的维数为d m l ( ) = 一卢) ( ( m a ) 一( m + 1 ) ) + ， 二1 d a z ，p ) 白一协) 斛1 兰0 的解空间的维数为饿竹记( ) = ( m a ) ( 一夕) 一加+ 1 ) ) + 其中，z + = m 8 z ( o ，z ) 引理1 , 2 9 【2 0 令n 是第i 个t 连接段，英上有砭条水