（理论物理专业论文）量子信息和量子门的研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 上世纪八十年代，量子力学与信息科学的结合产生一门崭新的交叉学科量子信 息，它为信息科学的发展提供了新的原理和方法，注入了新的活力，成为量子力学在新 的应用领域的一个重要发展方向。二十多年的研究表明，利用量子力学的奇妙特性，量 子信息处理在提高计算机的运算速度、确保安全性、增大信息容量和提高检测精度等方 面具有突破现有经典信息极限的能力，必将引起信息领域的技术革命。 本文主要介绍量子信息的物理基础、产生、发展和现状。希望能为热爱量子信息学的 并为有志于它的发展的人们起到抛砖引玉的作用。文章的创新地介绍了量子态的等价类 概念，研究讨论了具体利用等价类概念，选取量子态的演化规律所允许的末态，并利用 等价类之间的变换，构建了一些通用量子门，给出了它们的推广形式，展示了相应量子 门【厂p ) 的更有效的作用。 第一章绪论主要介绍了量子信息的物理基础，即量子力学的一些基本原理以及量子 力学不同于经典物理的最奇特的现象，即被e i n s t e i n p o d o l s k y r o s e n 提出的e p r 佯谬。 正是量子纠缠现象成为信息传输和处理的重要的物理资源。 第二章简要的阐述了量子信息学在纠缠态及其性质、量子计算、量子通信、量子密 码学和量子纠错等五个主要的研究领域的发展和现状。 第三章重点阐述了量子信息领域的一些基本概念和特性。 第四章简述了国内外量子信息的研究现状。 论文的最后一章介绍了量子态的等价类概念，及其一般通用量子门的构造。 关键词：量子信息处理；纠缠态；量子隐形传态；量子态的等价类，量子逻辑们 量子信息概论 a b s t r a c t i nt h e1 9 8 0 s ，t h ec o m b i n a t i o no fq u a n t u mm e c h a n i c sa n di n f o r m a t i o ns c i e n c em a k e san e w s u b j e c tc a l l e dq u a n t u mi n f o r m a t i o nw h i c hp r o v i d e sn e wp r i n c i p l e sa n dm e t h o d sa n di n j e c t s n e wl i f et ot h ei n f o r m a t i o ns c i e n c e t h eq u a n t u mi n f o r m a t i o nb e c o m e sa ni m p o r t a n t d e v e l o p i n gd i r e c t i o nf o rq u a n t u mm e c h a n i c s i nt h en e wa p p l i e da r e a t h es t u d i e si nt h ep a s t t w e n t yy e a r ss h o w st h a tq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n gh a st h ea b i l i t yo fb r e a k i n gt k r o u g h t h el i m i to fc l a s s i c a li n f o r m a t i o ni nt h ea r e a so fh i g ho p e r a t i o ns p e e da n ds e c u r i t y ，l a r g e i n f o r m a t i o nc a p a c i t ya n dh i g hp r e c i s i o nd e t e c t i n g i tw i l lc a u s et h er e v o l u t i o no ft e c h n o l o g y i ni n f o n n a f i o na r e a t h i sa r t i c l ei n t r o d u c e sp h y s i c a lb a s i so ft h eq u a n t u mi n f o r m a t i o na n di t sa p p e a r a n c e d e v e l o p m e n ta n d a c t u a ls t a t ei nr e c e n ty e a r s 。ih o p et h i sa r t i c l ec a nw o r ka sat h r e a df o rt h o s e p e o p l ew h o l o v eq u a n t u mi n f o r m a t i o na n dd e v o t et oi t sd e v e l o p m e n t i nt h ee n do ft h ep a p e r , t h ec o n c e p to fe q u i v a l e n c ec l a s s e si s p r e s e n t e da n db yu s i n gt h e i rt r a n s f o r m a t i o n st o c o n s t r u c tt h eu n i v e r s a lq u a n t u ml o g i cg a t e si nt h eq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r ya n dg i v et h e i r g e n e r a l i z e df o r m s t h ef i r s tc h a p t e r , i n t r o d u c f i o n ，m a i n l yi n t r o d u c e st h ep h y s i c a lb a s i so fq u a n t u m i n f o r m a t i o n - t h eb a s i cp r i n c i p l e so fq u a n t u mm e c h a n i c sa n de p rp a r a d o xs u g g e s t e db y e i n s t e i n - p o d o l s k y - r o s e nw h i c hi st h em o s ts t r a n g ea n dm y s t e r i o u sp h e n o m e n o no fq u a n t u m m e c h a n i c sd i f f e r e n tf r o mc l a s s i c a lp h y s i c s i ti st h eq u a n t u me n t a n g l e m e n tt h a tb e c o m e sa n i m p o r t a n tp h y s i c a lr e s 0 1 】r c e sf o ri n f o r m a t i o nt r a n s m i t t i n ga n dp r o c e s s i n g t h e s e c o n dc h a p t e rb r i e f l ye x p l a i n st h ed e v e l o p m e n ta n d t h ea c t u a ls t a t e so fq u a n t u m i n f o r m a t i o ni nq u a n t u mc o m p u t i n g ，q u a n t u mc o m m u n i c a t i o n ，p r o p e r t i e so fe n m u g l e m e n t ， q u a n t u mc r y p t o g r a p h ya n dq u a n t u mc o r r e c t i n gw h i c ha r ef i v em a i nr e s e a r c ha r e a si n t h e q u a n t u mi n f o r m a t i o n t h et h i r dc h a p t e rf o c u s e so ns o m eb a s i cc o n c e p t sa n dc h a r a c t e r i s t i c si nq u a n t u m i n f o r m a t i o n t h ef o u r t hc h a p t e rb r i e f l yr e v i e w st h ea c t u a lr e s e a r c hs t a t e so fq u a n t u mi n f o r m a t i o ni n t h eh o m ea n db r o a d i nt h ee n do ft h ep a p e r ，t h ec o n c e p to fe q u i v a l e n c ec l a s s e sa n di t sa p p l i c a t i o ni s d i s c u s s e d k e yw o r d s ：q u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g ：e n t a n g l e m e n t ： o u a n t u mt e l e p o r t a t i o n ； e q u i v a l e n c ec l a s s ，q u a n t u ml o g i cg a t e 一丑 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同心= l - 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 人迩理jj ：t l 学硕+ 研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定 ，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名： 聊虢埠灶 烨年乒月坐同 大连理工大学硕士学位论文 引言 l a n d u a r 指出信息是物理的，任何有用的信息类型必须是物理上可实现的：反过来， 承载信息的物理系统所遵循的物理规律将会影响信息处理。如计算机是一物理系统，计 算过程是这一物理系统随时间的循序演化。当代的计算机技术日新月异，日趋小型化， 当运算的基本元件小到原子的尺度，量子效应将影响计算机的运行。由考虑量子效应对 信息处理的影响出发，量子力学和信息科学相结合并诞生了一门新的学科量子信息 科学。 量子信息以量子态表征信息，因此有关信息的所有问题都必须遵循量子力学基本原 理来处理，如信息的演变遵从薛定谔方程，信息传输是在量子通道中传送量子态，信息 处理是对量子态实施幺正变换，信息提取是对量子系统执行量子测量等等。由于量子体 系不同于经典体系的基本规律，量子信息过程具有许多经典信息过程不具备的特征，如 量子态的相干叠加性使得量子信息能够以并行的方式演化；量子力学线性特征对操作量 子态作出了限制，例如克隆一个未知量子态，删除一个未知量子态的两份拷贝之一都是 被量子力学基本原理所禁止的。而作为量子理论的最突出的特征之一，量子纠缠为量子 信息处理带来许多没有经典对应的效应。量子隐形传态就是这种效应的一个明证。在量 子隐形传态中由于量子纠缠的存在只需2 个经典比特信息就可以传送一个未知量子态。 不仅如此，量子纠缠还在密集编码，密码术，远程操控等方面有着广泛的应用。 量子力学作为近代自然科学的两大支柱之一，在推动人类社会的发展中发挥了巨大 的作用。然而自量子力学诞生的那天起，人们对量子力学的争论就没有停止过，争论的 焦点就是量子力学是否是描述现实的物理世界的完备的理论? 对量子力学质疑最著名 的问题莫过于e i n s t e i n 等人提出的e p r 佯谬和s c h r o d i n g e r 提出的所谓的“s c h r o d i n g c r 猫佯谬。 “s c h r o d i n g e r 猫”佯谬的物理本质是“世界是量子的，那么宏观世界是否存在着 可以区分的量子态的叠加 。s c h r o d i n g e r 用猫的死活两种状态来形象地表示两种宏观量 子状态，s c h r o d i n g e r 猫态就是两种可区分的宏观量子态的叠加态。美国学者于1 9 9 7 年 在实验上证实了s c h r o d i n g e r 猫态的存在。 e p r 佯谬在近6 0 年的量子力学的发展过程中起着重要的作用，它是e i n s t e i n 和b o h r 最重要争论的一个假想实验，这个假想实验的结果完全遵从量子力学的原理，但却令人 匪夷所思。4 0 多年来，人们不断的从理论和实验的角度来研究这个假想实验，正是对这 个假想实验的研究奠定了量子信息学的研究基础。 作为本文的基础，了解量子力学的一些基本原理是必要的。 量子信息概论 1 量子信息的量子力学基础 从物理上看，信息是被称为信源的物理系统的物态变化产生的，信息传输是编码的 物理态的传输，信息处理是称为“计算机的物理系统的物态按照算法的要求有控制的 演化。经典信息理论是以经典物理态编码信息为基础的。当对编码信息的物理态作量子 力学描述时，就产生了量子信息学。 1 。1 量子力学产生的物理背景 1 9 世纪末期，经典物理学已发展到相当成熟的地步，很多物理现象都己得到澄清。 在当时的绝大多数物理学家看来，物质世界的图像已经清楚，基本物理学理论已经很完 备了。剩下的工作就是如何把实验做得更精密些，把计算做得更精确些。正当人们为经 典物理取得重大成就欢呼的时候，一系列经典理论无法解释的现象一个接一个地发现了。 1 1 1 黑体辐射的研究口卅 大约从1 8 4 9 年开始，物理学家们已经认识到研究光的发射和光的吸收之间关系的 重要性。因为人们已经发现太阳光谱中d 暗双线的波长同某些火焰中强黄光的明双线的 波长相对应，这需要从理论上作出说明。实际上这就是对平衡辐射的性质作理论探讨的 开始。1 8 5 9 年，德国物理学家基尔霍夫得到如下定律：“在相同温度下的回一波长的辐 射，其发射率和吸收率之比，对于所有物体都是相同的。 如果以e ( ，t ) 表示物体 的发射本领，以a ，t ) 表示物体盼吸收本领，则当物体处于辐射平衡时便有 皇导罢。e ，d ，其中e ，t ) 为物体的表面亮度，它是一个与发射体速度羌关，仅由 a ，- l j 辐射频率 ，和温度t 决定的普适常数。1 8 6 0 年，基尔霍夫把口，t ) - - 1 的理想物体定义 为“绝对黑体 ，它在任何温度下能够吸收落在它上面的一切热辐射；对于绝对黑体， 其表面亮度e 等于它的发射本领e 。基尔霍夫呼吁“当前最重要的任务”就是要找到这 个函数，因为人们材有理由希望这个函数有一种简单形式，象所有以前我们熟悉的不依 赖于各种物体性质的函数那样 。在辐射平衡中，函数e ，t ) 又可以用平衡辐射的能量 密度p ( v ，1 ) 来表示，其关系为 e ，t ) 一户，d ， ( 1 1 ) 舀石 c 为光速。所以，对普舍函数e 的探求就变为对p 的探求，这种探求却孕育着物理学领 域的一场大革命。 大连理工大学硕士学位论文 在黑体辐射的研究中，人们首先从实验入手得到了有关黑体辐射的一些实验规律和 能量密度按频率的分布曲线。物理学家们纷纷从经典物理中寻找理论上对实验规律的解 释。德国物理学家w 维恩和英国物理学家瑞衬分别从经典物理学出发导出的分布曲线， 但是分布曲线和实验曲线相较不是在长波范围就是再短波范围出现困难。这些困难都充 分说明了按照经典物理人们不可能解释黑体辐射能量密度按频率分布的实验结果。致使 p l a n k 在1 9 0 0 年不得不假设光辐射是一份一份的，以离散的形式有辐射源发射出来。 p l a n k 把一份一份的辐射称为能量子( e n e r g yq u a n t u m ) ，并假设每个能量子的能量 h 1 ，( 1 。2 ) 其中 ，是辐射频率，h 是p l a n k 常数。在这种假设下，p l a n k 推导出了和实验结果相符合 的黑体辐射公式。 p l a n k 关于能量只能以“能量子 f 为最小单元作不连续变化的假设，冲击了经典 物理学长期信奉的“自然界无跳跃 的信条，彻底变革了经典物理学中的一切因果关系 都是以物理量的连续变化为基础的物理学思想方法；随着“作用量子 h 的提出，物理 学理论发生了一个巨大的跃迁，特别是打开了解释微观世界新奇物理本质的大门。因此， 丸索默菲在他的原子构造和光谱线( 1 9 1 9 ) 一书中把1 9 0 0 年1 2 月1 4 日称为“量 子理论的诞辰 。 1 1 2 光电效应的研究 5 - 6 当光照射到金属电极上，就有电子从金属中逸出，这一现象称为光电效应 ( p h o t o e l e c t r i ce f f e c t ) a 1 8 8 9 至1 9 9 2 年，勒纳曾对光电效应进行了系统的实验研究，总结出这个现象无法 用光的电磁波理论解释的主要性质： ( 1 ) 对于一定材料构成的阴极，只有光的频率大于一定值时，才有电子发射出来； ( 2 ) 光电子的能量只与光的频率有关，与光强无光； ( 3 ) 对于一定材料的电极，当照射光频率大于一定值时，几乎没有弛豫时间，立 即就有光电子发射出来。 这些实验事实是经典理论无法解释的，因为根据光的电磁理论，光能量只决定于 光强度，而与光频率无光。 e i n s t e i n 第一个认识到，电磁辐射不仅发射和吸收是以量子形式进行的，而且是以 量子形式传播的，辐射场本身就是由一个一个光量子- e i n s t e i n 称为光子( p h o t o n ) - 组成的。每个光子的能量 zh v 一壳 量子信息概论 动量p ；旦k 壳k p 5 磊k 。力k ( 1 3 ) 其中，壳一兰是量子力学中常用的常数，t o - 2 m , 是光波圆频率，k 是波矢量。当光照 2 r r 射到金属阴极上时，能量为一h v1 意的光子被电子吸收，电子把这份能量一部分用 于克服金属表面的束缚，另一部分转化为光电子携带的动能。以这种方式e i n s t e i n 成功 地解释了光电效应。 1 1 3 c o m p t o n 效应的研究【7 l 1 9 2 2 至1 9 2 3 年间，c o m p t o n 进行了x 射线被自由电子散射的实验。观测发现，在 散射辐射中，既存在有原来的入射波波长亢，也有向长波方向偏移的新波长亢一，波长 偏移值从旯一亢随散射角的增大而增大，且使原谱线的强度减小，新谱线的强度增价。 c o m p t o n 原来不相信光量子论，他希望用经典理论作出解释，但没有成功。最后终于放 弃了经典观点，大胆采用了爱因斯坦的光量子假说，即认为x 射线不是频率为，的波， 而是能量单位为h ，的光子束，光子在散射体中与自由电子发生类弹性碰撞而失去部分 能量，“反冲光子的能量减少而波长增大。再利用爱因斯坦于1 9 1 6 年提出的辐射量 子的动量表示式h ，把质能守恒定律和动量守恒定律应用于光子与电子的碰撞过程， ，o 推导出波长偏移与散射角0 的关系式 l 亢。兰n c o s o ) ( 1 4 ) m 0 c 、 m o 为电子的静止质量。这个公式不仅与实验观测完全相符，而且利用上述物理图景对 偏移值a x ( o ) 和不变波长的存在可以作出很好的解释。 可以说，黑体辐射、光电效应、c o m p t o n 效应以及固体比热和玻尔的氢原子光谱的 理论等都是对所谓完备的经典物理学的挑战。人们对于经典物理所给与的超高的期望缘 于宏观低速领域经典物理对于客观世界的真实性的肯定是刻骨铭心的。但在这样一个经 典物理受到真实物理世界的严峻挑战的物理背景下，人类敢于面对挑战。量子力学的诞 生就是人类面对挑战的必然结果。 1 2 量子力学的基本原理i s - g l 量子力学是研究微观粒子系统运动变化规律的理论。对这一学科有广义和狭义两种 理解。狭义的量子力学的研究对象是指低能量的无衰变的( 即长寿命的) 的粒子以及这 样的粒子所组成的系统，理论是非相对论的。但是由于相关的实验手段极为精细，测量 大连理工大学硕士学位论文 十分准确，理论中有时又不可忽略相对论效应的微小影响。至于广义的量子力学则不受 这些限制，能量可以很高，粒子可以产生、泯灭和互相转化，系统粒子数可以不守恒， 这时研究对象是无穷自由度的场，这一领域常称为量子场论。我们主要阐述的是狭义的 量子力学。 由于我们不是详细的研究量子力学，我们只是从唯象的立场，或称实用的立场出发 给出量子力学的基本原理的简要阐述，以备量子信息学理解之所需。 量子力学的基本原理可以有不同的归纳方法，我们参考大连理工大学宋鹤山教授主 编的量子力学把它归纳为五条基本原理。 原理1 描述微观系统状态的数学量是h i l b e r t 空间中的矢量相差一个负数因子 的两个矢量，描写统一状态力学量用h i l b e r t 空间中的线性厄米算符描述 上述原理所指的微观系统的态矢量是指获得这个态历史过程的记录，包含着制备这 个态过程中使用的宏观仪器、选定的参数值、经过的一套操作程序等全部信息。量子态 可以用h i l b e r t 空间中的矢量表示，d i r a c 引用一个称为右矢( k e tv e c t o r ) 的符号表 示态矢量，其作用类似于三维空间中的“一 。一个具体的态矢量可以用i 驴) 表示，妒是 表征具体态矢量的特征量或符号。d i r a c 还引进了( 1 称为左矢( b r av e c t o r ) 。左矢如l 是矢量l 妒) 的共轭矢量( c o n j u g a t ev e c t o r ) 。引入共轭矢量后，态矢空间的两矢量瓴i ， l 妒：) 的内积可简记为( 伊。1 9 2 ) 。 经典物理学中，粒子的运动状态可以用坐标和动量描述。当状态给定后，这些力学 量同时取确定值，其他力学量( 如粒子的角动量、能量等) 可以表示成坐标和动量的函 数，或者一般的表示为状态的函数，这些力学量的取值可直接由测量得出。在量子力学 中，粒子的状态有波函数描写，在给定的状态中，坐标和动量应满足测不准原理不能同 时取确定值，力学量的取值和状态之间就没有经典物理中的那种直接的、单值的决定性 关系。这样量子力学中的力学量就被抽象为一种特殊的算符，例如坐标算符x ，动量算 符p 等。那么这里的算符可以理解为作用到态矢上的一种运算或操作符号，如f 妒) 一l 妒) 。 我们不加精确的可以把算符和态矢之间的作用理解成线性代数中矩阵和列矢量之间的 作用。 那么可以成为表示量子力学力学量的算符应该满足两个条件： 1 、线性的 即f ( c ，l 驴。) + c 2 l 伊2 ) ) - c ，f 1 吼) + c 2f f 伊2 ) ( 1 5 ) 其中c ，和c ，都为复常数。 量子信息概论 + 2 、厄米性即 f f , 4 i + ( 1 6 ) 其中f 是f 的转置共轭( 想一想矩阵的转置共轭) 原理2 若i 吼) 和i 尹：) 是量子力学系统可能的描述状态，那么 i 尹) - c 1 妒1 ) 1 - c ：k ) ( 1 7 ) 也是该系统的可能的新的描述状态，这就是量子力学中的态叠加原理( p r i n c i p l eo f s u p e r p o s i t i o n ) 通常所强调的微观粒子的运动不同于宏观质点的主要一点正在于态叠加原理，即状 态的叠加不是概率的叠加而是态矢量的叠加；或者对于位置表象的波函数来说，状态叠 加是先相加后平方而不是先平方后相加，这正是微观粒子的波动性所在。 这里利用电子自旋态作为例子加以说明。取s ：表象，设s ；的两个本征态是 i 妒- ) ( ：) ， 伊：) ( ? ) 构造一个二者的叠加态 i 妒) 击司仍) + i 妒：) ) 从物理量s ；的角度看，在l 吼) 态中s ：取确定值+ 鲁，在1 妒：) 态中s ：取一要；而在叠加态 中s ：取詈得几率都是昙，既有一点i 吼) 的性质，又有一点k ：) 的性质。 但是从另一个物理量s ，来看，情况就不同了，在i 吼) 和i 妒：) 的两个态中，s ，都可以 以三的概率取+ 吾m 叶- m ，但是在叠加态j 伊) 中，s ，取确定的值+ 笔，这是一个新的性 质，是原来的i 吼) 和i 妒2 ) 态都没有的性质。原来在两个态中土鲁是等概率的出现，按概 率叠加原理在叠加态中s ，应该是零。这正是旧。) 和l 伊：) 相加有别于简单的概率叠加的地 方是干涉的结果。 原理3当对某一量子体系做某一物理量的测量时，测量结果一定是该力学量算符 本征值中的某一个t 若系统的态空间的基矢为 k ) ，k 一1 ，2 ，3 0 那么系统在测量前的状态 大连理工大学硕士学位论文 可以展开为1 9 ) = ya 。l k ) 。则对系统测量结果为状态l k ) 的本征值的几率是 乍 a k l 2 - | ( k | 9 ) 1 2 。 此原理告诉我们，量子力学所掌握的微观系统的规律是一种统计规律。它只能告诉 我们，在某一时刻一个微观系统的各物理量取不同值得概率。测量结果并不是由测量前 体系的状态唯一决定的，因此，测量结果是不确定的。测量破坏了体系原前的状态，而 使体系塌缩到系统的某一本征态，测量结果必然是该本征态所对应的本征值。测量所导 致的态的演化是一非么正演化过程。 原理4 微观系统的状态i 妒( t ) ) 随时间的演化的规律是薛定谔方程 i 7 l 1 9 ( t ) ) - h i 。驴( t ) ) ( 1 8 ) 式中h h ( x ，p ，t ) 是系统的哈密顿算符。 系统的哈密顿算符，简称哈密顿，是位置算符、动量算符的函数，有是还是时间的函数； 其函数形式与经典哈密顿相同，即取决于系统本身的情况和系统所处外部环境的情况。 前者包括系统中的粒子数，各粒子的质量、电荷以及粒子之间的相互作用；后者包括粒 子所在的外部电磁场等；若电磁场是随时间变化的，则哈密顿明显是包含时间t 。一般 的说，如果我们所考虑的系统只是一个更大的系统的一部分，在这个系统和更大系统的 其余部分之间存在着能量交换，则所研究的这个系统的哈密顿将明显含时。 原理4 规定了在给定外部环境的情况下，微观系统的运动规律。由于薛定谔方程是 时间的一阶微分方程，故只要知道了某一时刻系统的状态( 初态) ，就可以得出以后( 以 及以前) 所有时刻系统的状态。 原理5 描写全同粒子系统的态矢量，对于任意一对粒子的对调，是对称的( 对调 前后完全相同) 或反对称的( 对调前后差一个负号) 。服从前者的粒子称为玻色子，服 从后者的粒子称为费米子。 此原理揭示了全同粒子的不可区分性是微观粒子的特有性质。对于全同粒子系统， 在其薛定谔方程的全部数学解中，只有满足对称性或反对称性的解才能描写系统的状 态，而其余的解是没有物理意义的。 量子力学是一门相当成熟的学科，它的内容已形成了相当完整的有系统的理论。它 的全部内容可以从以上五个基本原理出发，用逻辑推理的方法推演出来，而这些内容由 于得到了无数实验事实的验证，被公认是正确的，无可怀疑的。如果想了解量子力学更 详细的内容请参考大连理工大学宋鹤山教授主编的量子力学。 量子信息概论 1 3 量子纠缠 量子纠缠现象是首先被e i n s t e i n p o d o l s k y r o s e n ( e p r ) n 0 3 和s c h r o d i n g e r 注意到 的量子力学所特有的现象，是量子力学不同于经典物理最奇特、最不可思议的特征。在 量子信息中，纠缠态扮演着十分重要的角色。可以说，如果没有量子纠缠现象，就不会 有现在所说的量子信息。由于纠缠态特殊的物理性质，使量子信息具有经典信息所没有 的许多新的特征，同时纠缠态也为信息的传输和处理提供了新的物理资源，开发和利用 这些新资源成为量子信息研究的重要目的之一。这里我们将详细的阐述一下量子纠缠现 象。 1 3 1e p r 佯谬 1 9 3 5 年爱因斯坦同美国物理学家波多尔斯基、罗森合作发表的论文能认为量子力 学对物理实在的描述是完备的吗? ，对量子力学的完备性提出了有力的反驳，这就是 著名的e p r 佯谬。 爱因斯坦的基本思想，是坚信有一个不依赖于感觉主体而独立存在的外在世界，坚 持微观世界同宏观世界一样具有客观“实在性”。在这篇论文的第一部分一开始就指出： “对于一种物理理论的任何严肃的考察，都必须考虑到那个独立于任何理论之外的客观 实在同理论所使用的物理概念之间的区别。这些概念是用来对应客观实在的”。他们由 此提出了判断一种物理理论成功与否的两个判据。其一是判断理论是否完备的判据，这 就是“物理实在的每一个元素都盛须在物理理论中有它的对应。我们称此为完备性条 件。其二是判断理论是否存在实在元素的判据，这就是“要是对于一个体系没有任何 外晃干扰，我似能够确定的预测一个物理量的值，那么对应着一物理量，必存在着一个 物理实在元素。 根据这种观点e p r 分析了由两个粒子组成的一维系统，指出了虽然每个粒子的坐标 和动量算子不对易，但这两个粒子的坐标算子差x ，一x ：和动量算子p ：+ p ：对易。因此可 以存在一个两粒子态眇) ，使算x 。一x ：和p ，+ p ：的共同本征态。设 ( x l 一王：) i 妒) a i 妒) ( 1 9 ) ( p l + p 2 ) l 妒) - 0 ( 1 1 0 ) 对态i 妒) 若测量粒子1 的坐标为x ，就可以得到粒子2 的坐标为x - a ；同样，若测得粒子 l 的动量为p ，则粒子2 的动量为一p 。特别是当a 值足够大时，对粒子l 的测量必然不 大连理工大学硕士学位论文 会干扰粒子2 。按照e p r 的观点这两个粒子系统就可以有四个物理实在元素。而根据量 子力学，x ，和p ，、x ，和p ，都不对易，这个系统只能由两个物理实在元素，所以e p r 得出结论：量子力学的描述是不完备的，这就是所谓的阿e p r 佯谬。 1 3 2b o h m 的隐参量理论和b ei l 不等式 企图给量子纠缠现象以理论解释的是b o h m ，它首先提出隐参数理论n 卜删。在隐参数 理论中测量实际上是经典决定的，但由于某些自由度不是严格已知的，才表现出概率性。 当测量电子自旋态时，测量结果表现为概率性，实际上蕴含着更深层次的隐参数，其中 测量结果被隐参数a 参数化了。前面处于纠缠态的两个电子当彼此分开时就处在隐参数 a 所支配的一个实在状态，只是受限于现有的量子力学或实验技术，而没有被发现、认 识和控制它，才是测量表现为概率性，但这隐变量确实在起作用，使分别对电子测量结 果表现为相关性。 那么，这种隐变量的理论是否能解释量子力学的结果呢? 1 9 6 5 年，b e l l 口3 1 进一步 分析了这一问题，他从隐参数理论和定域实在论出发，导出了自然界两个分离的部分相 互关联程度必须满足的一个不等式- - b e l l 不等式： i p ( e ( n ，e ( 2 ) 一p ( e o ) ，e x 2 ) | s2 p ( e t m , e ，( 2 ) + p ( e ( n ，e 2 ) j ( 1 11 ) 其中e o ) ，e ( ，e m ，e 是空间任意四个方向的单位矢量，p ( e m ，e 萄) 等表示是方向上 的关联函数。 当把量子力学所确定的p ( e o ) ，e ( 2 j 等关联函数带入上述不等式，发现上式并不是恒 成立的，这充分说明了量子力学和经典的定域实在论是不相容的，那么何者才是正确韵 呢? 为了检验这两种观点人们曾经作过许多实验。最著名的就是1 9 8 2 年a s p e c t 的实验 1 4 1 ，实验中用激光束将钙原子束激发( 双光子激发) 到某个s 态作为光源，这个态在通 过双光子级联辐射衰变到基态，同时发射一对光子沿不同路经传播。实验中采取十分精 巧的方法极快地任意改变光子的后继路经，使测定光子极化方向是在光子传播过程才决 定的，以至两个光子即使以光速传递信号，也不可能通过实际讯号建立联系，使一个对 另一个的测量结果作出反应。对两光子偏振态的测量证实了他们的相关程度，确实超过 了b e l l 不等式的允许范围，证实了量子非局域纠缠的存在性。 1 3 3量子纠缠态简介 经典信息系统以比特一布尔态o 和1 一为基元进行操作，l 比特信息就是两种情况 中的一种，o 或1 ，假或真，是或非，由一些分离变量或连续参数( 如电压) 的两个不 同区域之一来表示。而量子信息理论中量子信息的基本存储单元是量子比特。一个简单 量子信息概论 的量子比特是一个双态系统，例如考虑光子的偏振方向：用水平偏振代表i o ) ，垂直偏 振代表1 1 ) 。与经典比特不同，量子比特不但可以处在i o ) 和1 1 ) 两个状态之一，而且更一 般地可以处于两态的迭加态。物理上可表示为二维h i l b e r t 空间的矢量，即 l 妒) - - 口i o ) 冲卢 1 yk j 2 + 归 2 - i ( 1 1 2 ) 其中q ，1 3 为任意的复数，l o ) 和f 1 ) 是相互正交的态。如果用量子系统的一对正交态表 示经典的布尔态，那么量子比特还可以处在两个布尔态线性叠加态。由n 个比特存储的 2 “个经典布尔态用o o 0 至1 1 l 标记。n 个量子比特串可以处于具有如下形式的某个 叠加态上 一，互1 1 - i i ( 1 1 3 ) 其中c ，是复数并满足i c i l 2 - i ，序数x 取遍n 比特串的所有2 “个经典布尔态。 当n 个独立的处于i 吣态量子比特经过某种相互作用后从直积态 i o h o i o 演化到一种特殊的n 量子比特叠加态眇) ，这种量子态具有如下的性质：若n 、“1 v 。- 。_ ， n 个量子比特构成的复合量子系统的状态由h1h ， h ：o 0 h n 的h i l b e r t 空间的矢量 i 缈) 描述，那么不存在i 妒，) - h ，l 妒： a i - 1 2 ，陟n y h n ，使得 l 妒) t 渺，) 刮妒2 ) 咖n ，我们称之为纠缠态。而其他不具备这种性质的态称为直积 态。作为一个简单的例子，考虑由水平偏振和垂直偏振两正交矢量张成二维h i l b e r t 空 间的矢量描述的两个光子的状态：它们可能处于 l l f ，1 ) - 去4 h i h + l i t i v ) 一j 号 h ) r g h ) + l v ) ) ，m 1 0 表示i i - i ) ，1 1 ) 表示i v ) 则f 妒1 ) - 去l o o d o + 1 1 ) ) ，这显然是一种直积形式。两光子也可能处于 p 2 ) 一去d v l h + h ) l v 一去日o ) i 畛+ 1 ) | o ) ) ，它不具备两子系状态的直积形式，所以 v 二吖么 它是一个纠缠态，表明在眵2 ) f 态中两个光子之间存在着量子关联。换句话说，纠缠态 陟2 ) 中两子系统具有非局域关联特性：在两子系构成的复合系统被制备在纠缠态b2 ) l 之后无论两子系在空间上相隔多远，彼此都有量子关联，对一个子系的测量会导致另一 子系的量子态的塌缩，也就是所谓的e p r 效应。 大连理工大学硕士学位论文 值得指出，上面提到的两光子纠缠态i 妒2 ) 一去( 1 0 ) 1 1 ) + 1 1 ) i o ) ) 也是两体复合系统的 一个最大纠缠态。对于两体( a 和b ) 复合系统的最大纠缠有如下四个： 柚。去帆1 1 b 1 1 a i o b ) ( 1 1 4 ) 肚- 专q o ) a i o ) b 1 1 a | 1 ) b ) ( 1 1 5 ) 它们形成由 o o ，1 0 1 ) ，1 1 0 ，1 1 1 ) 张成的2 2 维h i l b e r t 空间的另一组正交完备基，称为b e l l 基。这四个最大纠缠态也被称为b e l l 态。每个b e l l 态携带2 比特信息：一个为宇称比 特( p a r i t yb i t ) ，l 妒) 代表偶宇称，l 妒) 代表奇宇称：另一个为相位比特( p h a s e b i t ) ，分 别由+ ，来表征。这样四个b e l l 态分别和四个布尔态一一对应； l + ) b ，( 偶宇称，正相每) 一( o o ) ，f 驴) b ，( 偶宇称，负相位) 一( 0 1 ) ， l 妒+ ) 肥，倚宇称，正相位) 一( 1 0 ) ，l 妒。) b ，( 奇宇称，负相位) 一( 1 1 ) 。 在四个b e l l 态中每个子系的约化密度矩阵都为以一几- i i ，即子系a 和b 都处于最大 混合态，分别以1 2 的几率处于l o ) 和1 1 ) 。因此从每个子系的局域性质中不能获取b e l l 态所携带的2 比特信息，每个b e l l 态携带的2 比特信息对局域操作是隐匿的，不能通过 局域操作提取。但如果对某个子系实施如下四个局域幺正操作： 。吼- 仃j 。( ；三) ，仃2 。盯，一( ；：) 占s 雩盯：2 ( 三二) ，i2 ( 三呈) ( 1 1 6 ) 可以实现四个b e l l 态( 四个布尔态) 间的相互转换： i ：付扩) ，旷) h 旷) 吖旷) ，仲旷) 叫扩) 什，妒) 旷) 口2 - i o 。仃，：l 妒+ ) 伸 妒一) ，l 妒一) 付l 缈。) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) 量子信息概论 但这些局域幺正操作并不改变每个子系的状态，即这些局域操作下两个子系的约化密度 矩阵始终为以t p b = 三。所以这四个局域幺正操作可以用来在b e n 态上局域地编码进 2 比特信息，而被编码的信息却不能被局域地读取。后面将要介绍的密集编码方案就基 于这个原理。 大连理工大学硕士学位论文 2 量子信息学主要研究方向及其发展现状 广义上说，量子信息学是量子力学与信息科学( 计算机科学) 的互相渗透和结合。 它既包括量子力学在信息科学中的应用，也包括信息论的思想对于量子物理学的启发和 渗透。后者是最近几年刚刚开始的研究课题，其核心思想是将“信息的概念纳入物理 学范畴，研究它的本质和演化规律。某些研究者，如p r e s k i l ，甚至认为信息将成为物 理学的基本概念之一n 射。通常人们所说的量子信息学主要是指前者，它包括量子计算、 量子密码学、量子通信、纠缠态等多个领域。本文中，我们按照美国物理学会( a m e r i c a n p h y s i c ss c o c i e t y ) 的网站所提供的分类标准，把量子力学的研究领域分为：量子计算， 量子通信，纠缠态，量子密码学，量子纠错五个主要研究方向。下面我们分别介绍这些 领域的发展现状。 2 1 量子计算 众所周知，电子计算机是一种利用电子元件进行计算的机器。它实现信息存储以及 计算的基本单元是集成电路芯片上的逻辑电路元件。这些元件本质上是宏观物体，他们 的性质和工作原理服从经典物理规律。经典的计算理论实际上是建立在这些规律基础上 的逻辑抽象。然而，我们知道，经典物理适用的范围是宏观低速的世界，它并不是我们 对于自然界最好最准确的描述。量子力学是更深入更能反缺自然界本质和演化规律的科 学理论。因此，理论上讲，将计算理论建立在量子力学的基础上是更合理的，甚至可能 是更富有成果的。二十世纪七十年代以来，随着计算机科学的发展，两个不同方向上的 研究使人们逐渐认识到一个崭新的方向：量子计算机。 首先，摩尔定律告诉我们，电子计算机的发展过程是一个不断小型化，不断在一块 电路板上集成更多的逻辑电路的过程。随着单位面积上集成的逻辑电路书目的上升，计 算机的结构越来越复杂，同时单个逻辑电路的尺度越来越小。目前芯片技术已经达到0 1 微米( 1 0 叫米) 的量级。如果单个逻辑电路小到这个程度，那么就不能不考虑量子效应。 随着芯片产业的发展，不可避免的要面对计算机的工作原理和技术的变革。从这个角度 看，量子计算机的诞生就是一种必然的结果。 另一方面，早在芯片技术的发展迫使人们不得不考虑量子效应之前，为了克服经典 计算机的一些本质的缺陷，探索更强有力的计算技术，一些科学家已经在思考量子计算 的可能性。传统的经典计算的过程式不可逆的过程，因而必然产生能耗，导致芯片发热， 如果不产生有效的散热措施，就可能引发错误和故障。二十世纪六、七十年代，随着大 规模集成电路的发展，人们发现单位面积上能耗不断上升，发热量也随之上升，而散热 量子信息概论 却随着计算机的小型化越来越困难。这就严重限制了计算机集成度的增加，从而限制了 计算机的运行速度。因此，能不能设计一种不产生能耗的机器，从而一劳永逸地解决发 热问题昵? l a n d a u e r 最早研究了这一问题阳，指出计算过程的不可逆性并非本质固有， 而是来自于信息的擦除。如果对基本的逻辑电路加以改进，避开信息擦除过程，那么， 计算过程就变成了可逆的，从而消除了能耗的问题。l a n d a u e r 证明理论上这是可以做到 的。b e n n e t t 更严格地分析了可逆计算过程n 刀，它证明了所有经典