复变函数 留数和留数定理.ppt

1,5-2留数和留数定理,一、留数的定义和计算二、留数定理三*、函数在无穷远点的留数,2,.,的某去心邻域,一、留数的定义和计算,3,0,(高阶导数公式),0(柯西积分定理),4,1.定义,记作,任意一条简单闭曲线C的积分,的值,(Residue),则沿,内，,除,称为,5,2.计算留数的一般公式,由Laurent级数展开定理,定义留数的积分值是f(z)在环域内Laurent级数的负一次幂系数c-1,(1)若z0为函数f(z)的可去奇点,(负幂项的项数为零个),则它在点z0的留数为零.,注：当z0为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时,若为偶函数,则f(z)在点z0的去心邻域内Laurent级数只含z-z0的偶次幂,其奇次幂系数都为0,得,6,如果为的一级极点,那么,规则1,成Laurent级数求,7,规则2若z0为f(z)的m级极点,则对任意整数有,说明将函数的零阶导数看作它本身,规则1可看作规则2当n=m=1时的特殊情形,且规则2可取m=1.,8,规则3,如果,的一级极点,且有,9,为的一级极点,证,10,3.典型例题,解,11,分析,由规则2得,计算较麻烦.,12,解,13,注意:,如为m级极点，当m较大而导数又难以计算时,2.在应用规则2时,取得比实际的级数高.,级数高反而使计算方便.,1.在实际计算中应灵活运用计算规则.,为了计算方便一般不要将m,但有时把m取得比实际的,如上例取,14,例3求下列函数在指定点处的留数(1),;,解：是函数的一级零点,又是函数的五级零点.,于是它是的四级极点,可用规则计算其留数,其中,为了计算简便应当取其中,这时有,15,另解：在点的去心邻域内的Laurent级数为,其中的项的系数为,从而也有.,例3求下列函数在指定点处的留数(1),;,16,(2),;,解：在点的去心邻域内的Laurent级数为,显然为它的本性奇点,其中的项的系数为,于是得,17,(3),.,解：显然是的一级极点;可是不能用规则求其留数,由规则得,18,思考：,有关因式分解问题？,1.,2.,19,二、留数定理,定理1若函数f(z)在正向简单闭曲线C上处处解析，在C的内部除有限个孤立奇点z1,z2,zn外解析，则有,留数概念的重要性在于下面的留数定理.它使得一些积分的计算变得十分容易.,20,例4.计算下列积分(1),解：被积函数的奇点和都在圆的内部,由规则1,2可得以下结果;于是由留数定理得积分值为,21,(2),解：在圆的内部有一个二级极点和两个一级极点,于是利用留数的计算规则和得,22,(2),最后由留数定理得积分值为,23,解,由规则3,24,例6计算积分,C为正向圆周:,解,除,被积函数,点外,无其他奇点，,在圆外。,所以,25,因此,26,1若z0为函数f(z)的可去奇点，(负幂项的项数为零个)，则它在点z0的留数为零.,2当z0为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时，若为偶函数，则f(z)在点z0的留数为零.,小结：留数的计算,3若z0为f(z)的一级极点，则有,4若z0为f(z)的m级极点，则对任意整数有,27,5设f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在点z0都解析。若，Q(z0)=0且，则z0为f(z)的一级极点，且有,6由Laurent级数展开定理，留数等于f(z)在环域内Laurent级数