（原子与分子物理专业论文）高温稠密等离子体辐射不透明度的多极效应.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 辐射不透明度是用来描述高温等离子体辐射输运过程的重要参数，是支配辐射输运过 程的基本物理量，同时也是核武器设计和研发的重要参数。随着原子结构理论和计算机科 学的发展，也随着实验技术的不断完善，不透明度的研究逐渐趋于精确和实用，相继发展 起来的理论模型有a a ( a v e r a g ea t o m ) ，s t a ( s u p e rt r a n s i t i o na r r a y s ) ，u t a ( u n r e s o l v e dt r a n s i t i o n a r r a y ) ，d t a ( d e t a i l e dt e r ma c c o u n t i n g ) 等四种。d t a 模型是目前精度最高的，但其计算量巨 大，适用于较轻的元素，对较重元素的计算仍非常困难，a a 模型计算量最小，但结果却 略显粗糙。然而对于高温稠密重元素等离子体而言，采用a a 模型进行计算，既保证了一 定的精确度，同时计算量又相对较小。因此本文在有心力场单电子近似下，利用平均原子 模型研究了电四极及更高阶跃迁对余元素的高温稠密等离子体辐射不透明度的贡献。计算 并讨论了不同温度密度下，分别计及电四极，电八极，电十六极跃迁时对束缚一束缚跃迁 的影响。讨论了迟滞效应对结果的影响，同时研究了多极效应和n ，1 间的关系。 关键词：不透明度，平均原子模型。振子强度，多极效应 第i 页 旦堕型鲎堡奎查兰堡塞生堕主堡丝圣 a b s t r a c t r a d i a t i v eo p a c i t yo fp l a s m a si sa ni m p o r t a n tp a r a m e t e r , w h i c hc o u p l e si n t ot h e e q u a t i o no f r a d i a t i v et r a n s p o r t a t i o na n da f f e c ts t r i k i n g l yt h er a d i a t i v et r a n s p o r t a t i o np r o c e s so fh o tp l a s m a s ， a sw e l la sac r u c i a lf a c t o rf o r t h ed e s i g no fn u c l e a rw e a p o n s w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h et h e o r y o fa t o m i cs t r u c t u r ea n dc o m p u t e rt e c h n o l o g y , i na d d i t i o nt ot h ep r o g r e s so fe x p e r i m e n t t h e c a l c u l a t i o no fo p a c i t yi sa p p r o a c h i n gh i g h e ra c c u r a c ya n dr e l i a b i l i t y n o wt h e r ea r em o s t l yf o u r t h e o r e t i c a lm o d e l se s t a b l i s h e df o r t h ec a l c u l a t i o no fo p a c i t y ：a a ( a v e r a g ea t o m ) ，s t a ( s u p e r t r a n s i t i o n a r r a y s ) ，u t a ( u n r e s o l v e d t r a n s i t i o n a r r a y ) a n dd t a ( d e t a i l e dt e r ma c c o u n t i n g ) t h ed t am o d e lh a st h eh i g h e s ta c c u r a c ya n dt h em o s te x p e n s i v ec o m p u t a t i o n a lc o s ti nt h e a b o v ef o u rm o d e l s ，w h i c hc a l lb eu s e df o rt h ec a l c u l a t i o no ft h el i g h t e re l e m e n t sb u te n c o u n t e r d i f f i c u l t i e si nt h ec a l c u l a t i o no f h e a v ye l e m e n t s c o m p a r e dw i t ho t h e rm o d e l s ，t h ea a m o d e lh a s t h es m a l l e s tc o m p u t a t i o nc o s tb u tac o a r s e rr e s u l t a sf o rh o td e n s ep l a s m ao fh e a v ye l e m e n t s ， t h ec a l c u l a t i o nu s i n ga am o d e lc a nn o to n l yg u a r a n t e ea c c e p t a b l ep r e c i s i o nb u ta l s or e d u c et h e c o m p u t a t i o nc o s tc o m p a r e dw i t ht h ed t am o d e l i nt h i st h e s i s ，t h ec o n t r i b u t i o no fe l e c t r i c q u a d r u p o l e ( e 2 ) a n dh i g h e rp o l et r a n s i t i o n st ot h eo p a c i t yo fh o ta n dd e n s ep l a s m a so fe l e m e n t a u r u mi st a k e ni n t oa c c o u n tb yu s i n ga na v e r a g e a t o mm o d e l t h ei n f l u e n c eo ft h eb o u n d b o u n d t r a n s i t i o nd u et ot h ee 2 ，e 3 ，a n de 4t r a n s i t i o ni sc a l c u l a t e da n dd i s c u s s e dr e s p e c t i v e l yd e p e n d i n g o nd e n s i t ya n dt e m p e r a t u r e i n f l u e n c eo ft h er e t a r d a t i o nt ot h ec a l c u l a t i o ni sd i s c u s s e d a n dt h e d e p e n d e n c eo f t h en ，1t ot h em u l t i p o l ee f f e c t si si n v e s t i g a t e d k e yw o r d s ：o p a c i t y ，a v e r a g ea t o mm o d e l ( a a ) ，o s c i l l a t o rs t r e n g t h ，m u l t i p o l ee f f e c t s 第i i 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 图表目录 表3 1 满足电偶极选择定则的口( f ，1 ) 值( 2 1 ) 表3 2 金在计及到不同最高跃迁极次时的r o s s e l a n d 平均不透明度( g c m 3 ) ( 2 4 ) 表3 3 金在计及到不同最高跃迁极次时的p l a n c k 平均不透明度( g c m 3 ) ( 2 5 ) 表3 4 束缚一束缚跃迁振子强度及对应的跃迁级次( 2 7 ) 表3 5 温度为5 0 0 0 e v 、密度为9 6 4 0 5 9 c m 3 条件下的金元素平均不透明度( 3 0 ) 表3 6 束缚一束缚跃迁中多极展开项对应的振子强度( 3 1 ) 表3 7 电偶极与电多极对应的r o s s e l a n d 平均不透明度及相对差别( 3 6 ) 表3 8 温度为5 0 0 0 e v ，密度为4 9 5 3 5 9 c m 3 条件下的p u 元素平均不透明度( 3 7 ) 图3 1 束缚一束缚跃迁仅取电偶极允许跃迁时总的谱分辨不透明度( 2 6 ) 图3 2 束缚一束缚跃迁仅取电四极允许跃迁时总的谱分辨不透明度( 2 6 ) 图3 3 束缚一束缚跃迁仅取电八极允许跃迁时总的谱分辨不透明度( 2 6 1 图3 4 一定光子能量范围内e l ，e 2 ，e 3 跃迁对应的吸收峰( 2 8 ) 图3 5 a u 在温度为5 0 0 0 e v 、密度为9 6 4 0 5 9 c m 3 条件下的谱分辨不透明度( 3 0 ) 图3 6 a u 在温度为5 0 0 0 e v 、密度为0 1 9 2 8 9 c m 3 条件下的谱分辨不透明度( 3 2 ) 图3 7 文献 2 1 计算的a u 在温度为5 0 0 0 e v 、密度为0 1 9 2 8 9 c m 3 条件下的谱分辨不透明 度( 3 3 ) 图3 8l s 电子在某一光子能量处的束缚态波函数( 3 5 ) 图3 9a u 在密度为9 6 4 0 5g c m 3 条件下的r o s s e l a n d 平均不透明度随温度的变化( 3 5 ) 图3 1 0a u 在密度为9 6 4 0 5 9 c m 3 条件下的束缚电荷数随温度的变化( 3 6 ) 图3 1 1p u 在温度为5 0 0 0 e v ，密度为4 9 5 3 5 9 c m 3 条件下的谱分辨不透明度( 3 7 ) 图4 1 锂元素在温度为5 e v ，密度为0 0 1g c m 3 的时候，谱分辨不透明度随光子能量的变 化( 3 9 ) 图4 22 p 电子考虑和忽略迟滞效应时的截面随光子能量的变化( 4 0 ) 图4 3s n 元素等离子体，l s 一5 s 电多极和电偶极光电离截面的比值( 4 1 ) 图4 4s n 元素等离子体，2 p 一5 p 电多极和电偶极光电离截面的比值( 4 2 ) 图4 5 金元素等离子体，1 s - s s 电多极和电偶极光电离截面的比值( 4 2 ) 图4 6 金元素等离子体，2 p - 5 p 电多极和电偶极光电离截面的比值( 4 3 ) 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目：一商量塑窒笠直王垡堑盟丕量塑廑鲍垒拯筮廑 学位论文作者签名： 日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在鳃密后适用本授权书。) 学位论文题目： 壶逞塑窒釜直王焦辐射丕羹明庭鱼垒拯煎廑 学位论文作者签名： 日期：年月 日 作者指导教师签名 日期：年月 日 国防科学技术大学研究生院学位论文 绪论 随着科学技术的发展，高温状态下物质的辐射特性的研究日益引起人们的重视。近 几十年来，由于高温等离子体物理，受控热核反应，激光物理等学科的理论研究以及科 学实验的进展，使得我们迫切需要这些条件下的物质的辐射不透明度、状态方程等参数。 通常对于一定温度密度条件下物质性质的描述，仅采用理论物理教材中比较简单的 物理模型是不够的。而利用实验方法去获得极端条件下物质性能的数据，往往会碰到很 大的技术困难，同时在某些条件下花费的经济代价可能十分大。正因为如此，对物质性 能的量子统计模型和计算方法进行系统研究和完善，对计算结果与实验观测进行比较研 究就显得非常重要。其中关于决定物质在高温条件下辐射热导率的不透明度计算，已有 一些相关书籍出版，如r d c o w a n 的原子结构和原子光谱理论，尼基弗洛夫的高温等离 子体辐射不透明度和状态方程的计算【2 。此外，还有一些文章和国际会议对采用的理论模 型和程序包进行了分析和讨论。一个最完善的程序是o p a l ，利用这个程序建立了天体物 理用的不透明度数据库( 美国利弗莫尔国家实验室) 。t 4 研究组( 美国洛斯一阿拉莫斯国 家实验室) 对完善计算模型和获取热物理性能数据表进行了大量工作，该工作的结果已 系统的归纳到s e s a m e 数据库中。世界各国均投入了大量的人力、物力，对不透明度及其 相关的辐射输运过程进行系统的实验和理论研究。一直以来，从最初的认识天体恒星的 自然辐射过程到今天重点研究的惯性约束聚变和激光对物质的破坏机理，实验和理论一 直在相互推进、不断向前发展。在这一过程中，发展了研究不透明度的各种理论模型， 或者追求精确度，或者追求计算简捷以达到实用的目的。1 9 4 7 年，m a y e r 在一份研究报 告中十分详细地讨论了使用屏蔽类氢的平均原子模型( s c r e e n e d h y d r o g e n i c a v e r a g e - a t o mm o d e l ) 来计算高温物质不透明度的方法。后来非屏蔽的类氢平均原子模型 开始发展起来，1 9 6 4 年，g r e e n 首次发表了自洽场( s e l f c o n s i s t e n tf i e l d ) 平均原子模 型( a v e r a g e a t o mm o d e l ) 的论文，此后，经过不断发展，平均原子模型的理论开始被广 泛采用。继平均原子模型之后逐渐发展起来的理论模型还有d t a ( d e t a i l e d t e r m a c c o u n t i n g ) 、u t a ( u n r e s o l v e dt r a n s i t i o na r r a y ) 、s t a ( s u p e rt r a n s i t i o na r r a y ) 等几种模型，其中平均原子模型( 简称a a 模型) 计算结果较为粗糙，但由于其计算量较小、 较为实用，因此在目前现实计算能力的前提下被广泛采用。平均原子模型的基本思想是 采用统计的观点，认为电子在等离子体中均匀分布，把等离子体中的各价离子等效成一 种平均原子，这种平均原子不是具有整数个电子的真实原子，而是一个具有非整数个电 子的假想原子，非整数个电子分布在不同的壳层上，原子的半径由等离子体的密度决定。 a k i v ar o n 等人对于相对论情形下的多极效应和迟滞效应同核电荷数z ，主量子数n ， 轨道角量子数l 的关系进行了研究【z 。苗劲松等人利用平均原子模型，计算了考虑电偶 极跃迁和电多极跃迁( 最高考虑到电四极) 时的高温稠密重元素等离子体辐射不透明度 国防科学技术大学研究生院学位论文 【2 “。在研究k 和l 壳层的辐射退激发率时，j a m e s 利用多极场理论推导了多极辐射公式， 并在单电子近似下计算了相应的跃迁振子强度【l3 1 。此外，还有很多文献也对相关内容进 行了各种程度的研究与论述【2 4 l ， 2 5 ，【2 6 】，【2 7 】，【2 8 】，【2 9 m 0 1 。 本文在有心力场单电子近似下，在平均原子模型的理论框架内，用自洽场的方法计 算高温稠密金元素等离子体的不透明度。将跃迁截面中平面波形式的矢势p “按电多极矢 势和磁多极矢势展开，得出适用于束缚一束缚和束缚一自由跃迁的跃迁振子强度表达式， 在多极展开收敛的前提下，描述了考虑电多极跃迁后对结果带来的变化。同时关注了忽 略迟滞效应对结果带来的影响。在温度较高时，电四极跃迁对不透明度有一定的影响， 高阶跃迁如电十六极，电三十二极跃迁对不透明度的贡献基本可以忽略。同时与忽略迟 滞效应情况下只考虑电偶极，电四极的计算结果进行了比较与分析，并在此基础上对采 用平均原子模型计算不透明度的方法做了一些修正。 第2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章平均原子模型的自洽场方法 在高温强电离等离子体中，电子和离子主要通过它们电荷的静电吸引和排斥发生相 互作用。因此，在微观水平上研究物质性能时，首要任务是确定每个粒子在所在场中的 静电势，以及任意一点的电荷密度。因为托马斯一费米势与物质中平均原子势差别不是 太大，因此可以利用这个势得到单电子近似的电子能级和波函数，它们对应托马斯一费 米势中具有平均填充数的原子，还可以得到平均填充数本身。这种思路实际上给出了最 简单的平均原子近似。本文的计算皆在有心力场单电子近似下利用平均原子模型进行。 1 1 高温电离物质的两种描述方法 我们要研究的系统往往处于高温状态，这样状态下的系统主要是由光子，不同电离 度的离子和自由电子组成。本节简要讨论一下对高温电离物质的两种描述方法【3 j 。 一个原子序数为z 的中性原子是由带z 个电荷的原子核和z 个围绕着原子核运动的 束缚电子组成。处于不同轨道运动的电子可用主量子数n 和轨道量子数l 来标记。处于 n l 轨道的电子具有能级t ，它可以通过实验测定或者用原子结构理论进行计算。电子在 每个n l 轨道上是按p a u l i 原理排列的，即每个n l 态上最多只能容纳c 。，个电子，称c 。为 简并度，c , l = 2 ( 2 1 + 1 1 。中性原子基态电子组态的排列顺序是按由低能态向高能态排列， 例如，原子序数z = 2 5 的m n 原子的基态组态是l s 2 2 s 2 2 p 6 3 s 2 3 p 6 3 d 5 4 s 2 ，这里，最外两个 壳层结构不是3 d 6 4 s ，而是3 d5 4 s 2 。可见电子的排列顺序有时有反常。基态组态一般按如 下j 顷序扫 列： l s 2 s 2 p 3 s 3 p 1 4 s 3 d 1 4 p 1 5 s 4 d 1 5 p 1 6 s 4 f 5 d 1 6 p 1 7 s ，5 ，6 d i 方括号表明顺序的反常。 如果物质是处于高温状态，原来处于基态的电子会被激发到高能态或被电离出去而 成为自由电子。这样一来，系统中离子的组态类型就很复杂。称某离子为i t i 度电离离子， 这意味着该离子有m 个电子被电离出去，或该离子有z m 个束缚电子，这里z 为离子的 原子序数。所以，对z 元素的原子来说，共有z + 1 种不同电离度的离子，即m = 0 ，1 ，z ， 而每一种电离度的离子又有不同的激发态组态，再细致一些，每一固定的激发组态还可 具有不同的谱项。以这种图象来描写原子系统的方法，我们称为细致组态模型方法。对 于局域热动平衡系统可以利用s a h a 方程和b o l t z m a n n 关系式求出各种不同电离度处于不 同激发态的离子在系统中占的比例。 离子类型方法描述的图象是比较真实细致的，但工作量很大。因此，人们还采用平 均原子模型方法，即假想系统中只有一种平均离子，该离子各轨道上平均占有乙个束缚 第3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 电子，0 茎z , a c i ，z 。可能是非整数，称乙为平均占据数。现在以已知的细致离子组态 图象来说明z 。的意义。设已知某一系统中，有5 的离子其1 s 态上有2 个电子，3 5 的 离子其1 s 态上有1 个电予，而6 0 的离子其1 s 态上没有电子，那么，简单的平均可得1 3 1 ： z i ：! ! ! ：! ! ! ! ! ：! 盐! ! ! ：塑：0 4 5 0 0 5 + 03 5 + 06 0 注意，平均原予模型中的原子实际上指的是广义的原子，是一个同时还包含了各种 价态的离子的概念。其它n i 态的平均占据数的意义也是以这种统计平均来理解的，所谓 平均原子概念，就是说要把具有平均填充数的原子放在电中性的球形原子单元中进行研 究。在该模型中，显然z y = 。，为平均电离度。 育 以上是在各种价态离子比例己知的情况下来确定z 。的。当然，在实际问题中应该通 过其它理论来计算z 。 在细致组态模型中往往要计算成百上千个不同组态的原子，因此工作量很大，对于 某些问题即使用巨型机也难以解决。平均原子模型较为简单，工作量小，而且从平均的 角度看，它已能较好的描述系统的一些特性。 1 2 给定温度和密度物质的自洽场方法 我们假定物质处于局域热力学平衡条件下，并且温度足够高，如前文所述，此时物 质称为由电子和不同电离度离子组成的等离子体。这是一个多粒子量子力学系统，任何 粒子的运动与系统其它所有粒子的运动，具有很复杂的相互关联关系，因此，每个粒子 都处在一个不确定的状态中。 为了系统的近似描述，采用有心力场单电子近似作为对各种复杂原子进行计算的出 发点，它的基本假设就是，多电子原予中各个电子都独立地在一个有心力场中运动。 对于真实的原子系统，原子核带正电荷z e ，核外有n 个电子。各电子与原子核之间 存在着有心静电力相互作用，而每一对电子之问还有静电排斥力相互作用，况且每个电 子都在运动着，一个电子的运动还同时与其它电子的运动紧密关联，各个电子的运动互 相影响，这样复杂的运动及其整个系统是无法严格求解的，为此必须对实际问题作合理 的近似，使问题得以简化。 首先假设每个电子是在原子核的有心力场和其它电子所产生的一个平均力场中运 动。这样，多电子问题就被简化为单电子问题，每个电子的运动就好像是独立的了。我 们可以对每个电子列一个单电子s c h r 6 d i n g e r 方程，求解单电子s c h r 6 d i n g e r 波动方程得到 单电子波函数，总的波函数就是各个单电子波函数的乘积【1 1 。 如果再进一步假设其它电子所产生的这个平均场也是一个有心力场，问题就更简化。 这就是解决复杂原子问题有心力场近似的基本思想。多电子原子的结构和量子态比 第4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 单电子的氯原子要复杂的多，严格来讲不能用类似于描述氢原子的方法来描述多电子原 子的结构，但在绝大多数情况下，人们可以借助于类氢原子的方法来近似描述多电子原 子的结构，这种方法的主要思想近似认为：( 1 ) 多电子原予中每一个电子的运动是在其它 电子的平均场和原子核场联合作用下的运动，根据整个原子系统的基本特征，我们可以 认为对任何一个电子，其它电子的平均场是球对称的，( 2 ) 进一步近似认为，对所有电子 来讲，这个平均场是相同的，这就是单电子近似。单电子近似是我们研究原子结构的基 础，在此近似下，原子结构就可以用电子在各个单电子轨道上的分布即电子组态来描述。 由于有心力场单电子近似是极其重要的基本概念，我们就在不考虑电子的置换反对 称及相对论效应的情况下，由一些简单的数学形式对上述思想加以说明。在有心力场单 电子近似下，假设第i 个单电子的s c h r l i d i n g e r 方程以原子单位表示为 厂7 一v ；一兰+ u ，) k ，= s ，“。( 1 1 ) l _ j 其中u j g ) 是第i 个电子所受其它电子的势场，是第i 个单电子的单电子能量，q ) 是 单电子波函数。则总的波函数为 = “。g - ：伉，g ) “。帆) ( 1 2 ) 由于在有心力场近似下，“) 只与矢径有关，和氢原子类似，单电子s c h r o d i n g e r 方程的形式解是 “，g ) = r 叫( _ ) _ 。p ，) ( 1 3 ) 式中一，。，m 。分别是第i 个电子的主量子数、角量子数和磁量子数，z 。 ，砬) 是球谐函数， 容易获得。由以上简单说明可以看出，在有心力场单电子近似下，原子结构的计算，主 要是求解径向波函数r 。，( 1 ) 。由此可见，有心力场单电子近似下，原子结构的核心问题 是要找出恰当的势能函数u “) 和径向波函数r 。“) ，在此基础上，再考虑未曾包括在有 心力场中的电子间的静电相互作用和磁相互作用，然后按照本文上述的基本思想求解整 个系统的波函数、求出复杂原子能级的细微结构和相应的波函数，最终使问题得到解决。 1 2 1 平均原子的哈特利自洽场方法 由上边的讨论可知，在有心力场单电子近似下，解决复杂原子问题的核心问题就是 求解有心力场u ，“) 和单电子波函数“，g ) = r 。“m p ，庐。) ，自洽场方法就是解决这一 问题的一种逐级迭代算法。( 1 1 ) 式中的u ，( ) 是第i 个电子所受其它电子的势场，s ，是 第i 个单电子的单电子能量，”。瓴) 是单电子波函数；而另一方面，这些单电子波函数材，g ) 又决定了电子在其中运动的平均势场u ( ) 。术语自治场就是由于这些相互作用自洽而产 生的。引进自洽场的最简单方法，就是托马斯在1 9 2 6 年，费米在1 9 2 8 年各自独立提出 的托马斯一费米方法。在这个自洽场中确定的不是波函数，而是粒子在空间的分布密度。 这里讨论的自洽场方法于1 9 2 8 年由哈特利( h a r t r e e ) 等人提出，后来福克( f o c k ) 又对其 第5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 做了改善，故又称为哈特利一福克法( h a r t r e e f o c k ，h f 法) 【6 1 。 我们知道在有心力场单电子近似下，第i 个电子的s c h r s d i n g e r 波动方程为 l v 卜一z + u j n ) i 。，= o e j u i ( 1 4 ) l 7 - j 式中u ，( ，1 ) 是其它电子对第i 个电子相互作用的平均势场，占。是第i 个单电子的单电子能 量，u 。g ) 是单电子波函数。考虑所有其它电子对第i 个电子的整体作用，则上述方程可 写为 卜；一号+ 驴j n ) 毒亏奶卜吼 ( 1 s ) 其中= k 跨j 对于整个原予系统，这样的方程共有n 个，这就是哈特利方程( 组) ，它们是相互耦 合的积分微分方程组，是无法精确求解的。哈特利首先假设一套本征函数“f o 】 “p ，“# 作 为零级近似的波函数，然后把这一套本征函数代入上述( 1 5 ) 式所表示的哈特利方程组中 的积分号内，解出“f l 】 “黔“：，这是一级近似解。如此反复直到下一级的解和上一级 的解非常近似，达到“自洽”的程度，这时的解就是期望的解答。可以看出电子在核电 荷的场与这个自洽场u ，) 中运动，而各电子的波函数又通过u 。“) = f r j 以) # 咖， 反过来产生这个自洽场。定性的来讲，就是原子核场和这个平均场一起决定电子的量子 态，而这个平均场本身又和所有电子的运动有关，这就是自洽场方法的核心 1 】。 12 2 自洽场方程的哈特利一福克近似 哈特利方法的最大缺点在于其所用的波函数= m “：不是反对称的，不符合泡利 原理的要求。福克应用了反对称波函数，考虑了电子的自旋，对应自旋量子数m 。= + i 2 的旋量波函数一般记为善o ，) ，则单电子的波函数就是 许q ，) = “，( i 膏，s )( 1 6 ) 称为l h 旋一轨道( s p i n o r b i t a l ) 波函数。则原子的总波函数就是 i 妒。0 )纯( g ：) ，l | 妒：o 。) 妒：( g ：) 炉丽卜 k g 。) a p g ( q ：) 仍( g 。) i 妒：0 。) l 纛o ： ( 1 7 ) 这种形式的波函数通常称为斯莱特行列式( s l a t e rd e t e r m i n a n t ) ，通过变分，可以得到哈特 利一福克方程( 组) 一v ；一詈+ 莩p ；( 2 ) 毒叶( z 弦吒 m ( 1 ) 一手6 白。，珑。： p ；( z ) 毒q ( 2 t ，( 1 ) = ( 1 ) ( - 8 ) 国防科学技术大学研究生院学位论文 式中“。( 1 ) s “，q 。) ，表示第一个原子的波函数，上式与哈特利方程( 组) ( 1 5 ) 最大的不同在 弛式右边多了最后一项j 占k ， r ( 2 ) ( 2 h p ，这一项称为交换势，糯 于全同f e r m i 子体系波函数对粒子交换的反对称性。 1 3 相对论哈特利一福克一斯莱特模型 在t “l k e v 情况下，对于解决高温等离子体物理的许多问题来说，知道托马斯一费 米势已经足够。此时为了得到单电子波函数，必须对某个自洽的中心对称势求解 s c h r 6 d i n g e r 方程，此处略去下标i ，s c h r f i d i n g e r 方程可以写为【2 】 一扛o ) + f u o ) + 掣k r ) = c n l r n l o )( 1 。) 可以看出，该方程中包含对时间的阶导数和对坐标的二阶导数，这不符合相对论协变 性要求，因而只适用于速度远小于光速的粒子运动。本文讨论的重点情况是高温稠密等 离子体状态，这时的原子或离子绝大部分电离度很高，必须用高速运动粒子的相对论波 动方程来描述。这样的方程必须满足以下基本要求；( 1 ) 符合相对论协变性要求；( 2 ) 在速 度很小的极限情况下，可自动还原为s c h r 6 d i n g e r 方程：( 3 ) 由这些方程得出的一些结论符 合实验事实。此时应当讨论下述哈密顿量 肌莩肌捌南+ 卟“撕w ( 1 1 0 ) ( i 1o ) 式中的第三，四项分别与真空极化效应和辐射场的相互作用有关 为了得到考虑相对论效应的哈特利一福克一斯莱特方程，应该把( 1 9 ) 替换成哈密顿 量为( 1 1 0 ) 式时的d i r a c 方程，得到哈特利一福克一斯莱特相对论模型方程： 一i c & v + c 2 彦一u ( ，) ( g ) ，= o ( g ) ， ( 1 1 1 ) 式中，v 代表量子数h u m 的总和； 缈为四分量的自旋波函数 y = 眵1 2 3 4 ) ( 1 1 2 ) 西应分别是 = ( ： ，= ( 。i - o 。 其中。是泡利矩阵，i 是单位矩阵。 在有心力场单电子近似下，上述d i r a c 方程可以写成以下一般形式【5 1 第7 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 妒= ( 友g 苌) 式中o ) 和q 。p ) 分别是相对论径向波函数的大小分量，屁。扩) 是轨道和自旋角向耦合 部分，其具体形式为 z 。p ) = ( 1 m s i ls i l + j m y t 舻皓g ) ( 1 1 5 ) j = t 2 、 厶- 式中( ) 是c l e b s c h g o r d a n 系数，r ”8 舻) 表示球谐( s p h e r i c a lh a r m o n i c ) 函，掌o ) 表示电 子自旋的旋量波函数，各量子数的取值分别为n = 1 ，2 3 ，k = _ ( j + 1 2 ) 。当f = j - t - 1 2 时， m = 一，= i k i - 1 2 。在计算物质特性时，对重元素来说需要求解d i r a c 方程， 在讨论适用d i r a c 方程的各壳层电子时，可以认为相对论的单电子能级是分立的，并且不 需要考虑这些能级谱的能带结构。单电子波函数( 1 1 4 ) 式中的径向分量可以通过标准的数 值积分打靶法来求解以下径向d i r a c 方程得到8 1 争+ 争 一扣地2 一胆巾， ，d ( 争一等皿= 扣地2 一u c ，胪“， 其中s 是单电子能量，上述方程描述的是单电子在平均场【，( ，) 中的运动，这个平均的自 洽场由三部分织成 u ( r ) = u s ( ，) + u 。( r ) + u c o ，( r )( 1 1 8 ) 它们分别是静电势、交换势和关联势。 静电势u ，( ，) 是运动电子和其它电子及原子核的平均库仑相互作用，可以由原子核和 电子的平均电荷分布求得。取电子的电荷为单位电荷则， 【，o ) z + f 出产， ( 1 1 9 ) 7 。i 77 l 式中p ( e ) 是电子密度，由电子的波函数和电子在各单电子轨道上的占据数来决定，根据 波函数的正交归一性，在球对称近似下，p ( i ) 仅和径向坐标有关，即 p g ) 2i 去t ；b j 蛾t ，o ) + q2 ( r ) )( 1 2 0 ) 式中0 是，轨道的电子占据数。 交换势u 。( r ) 来源于全同f e r m i 子体系波函数对粒子交换的反对称性，严格计算交换势相 当复杂，根据密度泛函理论d f t ( d e n s i t yf u n c t i o n a lm e o r y ) 的局域密度近似l d a 1 2 l ( 1 0 c a l 第8 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 d e n s i t ya p p r o x i m m i o n ) ，交换作用势也可以写成电子密度的函数”副 吃) 川s t 呱1 坚篙舞筹筹毒等型t a n n 0 2 u 关联势，c 0 。( ，) 是多电子体系的多体效应，是单电子近似的重要物理量，严格计算关 联势几乎不可能，但在随机相r p a ( r a n d o m p h a s ea p p r o x i m a t i o n ) ；i 础t ，关联势也可以写 成电子密度的函数1 2 1 p ) = - 0 6 1 0 9 。”2 爿篆糕篇等t 心 ( 1 ：) ( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 两式中的和f 分别表示电子的密度和温度 _ = 0 6 2 0 3 4 7 4 p 一( r ) ，= 0 5 4 3 ，、2 t 这里丁是电子系统的温度，这样，理论上可以计算出复杂原子的电子结构。 1 4 平均原子模型 ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 为了适应不透明度的计算，由简单到复杂，在有心力场单电子近似的基础上，一些 计算模型相继发展起来，常见的有a a ( a v e r a g ea t o m ) 、s t a ( s u p e r t r a n s i t i o n a r r a y s ) 、 u t a ( u n r e s o l v e d t r a n s i t i o n a r r a y ) 、d t a ( d e t a i l e d t e r m a c c o u n t i n g ) 四种模型，其中精 度最高的是d t a ( d e t a i l e d t e r m a c c o u n t i n g ) 细致谱项模型，该模型在单电子近似的前提 下。把原子的电子结构用电子在各单电子轨道上的分布即电子组态来描述，在电子组态 的基础上，考虑了电子的轨道角动量与自旋角动量的l s 耦合，考虑了不同组态间的组态 相互作用，由于每个组态可以形成一个或者多个谱项，这样，组态与组态之间的跃迁就 会形成多条谱线。该模型中，原子或离子的吸收和发射光谱就是通过计算所有这些谱项 最后得到的，同时也相当精确地计算出了原子或离子的各个能级和波函数，在此基础上 进一步计算体系的热力学函数、光辐射吸收系数等原子参数：通过求解s a h a 方程和速率 方程得到等离子体中各价离子的丰度和各原子能级的占据数；然后再对各种辐射吸收过 程求和，最后得到物质对光辐射的吸收系数、不透明度、平均自由程等光辐射参数。可 以看出该模型对原子结构的计算非常具体，涉及到了每一个谱项。由于其十分精细，因 此计算量也特别巨大，一般只能用于简单元素的计算。因此为了计算重元素的不透明度， 必须对细致谱项模型进行简化 4 1 。 这里介绍一下a a ( 平均原子) 模型计算原子结构的思想。a a 模型是一种在对跃迁和 占据进行统计平均的基础上，对电子轨道进行各种有效地简化处理的方法，它仍然在单 电子近似的基础上用组态来描述电子结构，但却忽略了原子系统中电子间相互作用的多 体效应，认为原子系统中电子的运动是n 个费米子在一个平均势场中的运动，对大量同 价原予或离子而言，电子在这些单电子轨道上的分布服从量子统计的f e r m i d i r a e 分布， 这样的物理模型就是平均原子模型。其单电子轨道仍然具有壳层结构，这些轨道上的电 国防科学技术大学研究生院学位论文 子密度分布也呈现出壳层结构，由此看出平均原予模型保留了壳层结构，但却忽略了不 同价原子间的差别，使计算大大简化。 平均原子模型首先的假设便是环境对原子的影响是平均球对称的，其次认为电子在 原予核以及其它电子的相互作用下的运动用有心力场来近似，而这个有心力场则取决于 标准的自洽计算。在平均原予模型下，由于电子在各单电子轨道上的平均占据数服从量 子统计的f e r m i d i r a c 分布，这样电子密度分布( 1 2 0 ) 式中的，轨道的电子占据数6 。可 以写成【5 j 2 k i b j = _ l ( 1 _ 2 5 ) e x 一三型i + l l 7 。 式中，是原子系统的化学势，k 。是b o l t z m a n n 常数，丁是电子系统的温度。理论上， 上式可以同时应用于束缚电子和自由电子，但是在温度很高的时候，上式中的r 很大， 需要计算的自由电子的能谱范围很宽，对数值计算的精度要求非常苛刻。因此，束缚电 子密度p b o ) 还用( 1 2 0 ) 和( 1 2 5 ) 式来计算，而局域自由电子密度用平面波动量辱空间的局 域自由电子的f e r m i d i r a c 分布来计算，再采用t h o m a s f e r m i 近似，则自由电子的密度 就可以写成暇 州巾始1 翠亟雾p2 a p 互再 2 6 ) l k r j 这里 = 丝螳盟 ( 1 _ 2 7 ) 为了保证原子系统的电中性，在计算的整个过程中，必须同时满足 p ( r ) = 岛( r ) + p r ( r ) ( 1 2 8 ) f 4 万r2 p ( ，涉= z ( 1 2 9 ) 式中的z 是核电荷数。在高温稠密等离子体中，随着物质密度的增高，物质中每个原子 所占的空间体积变小，一些原来的束缚轨道将不复存在，原来这些轨道上的束缚电子变 成了自由电子，这时的原子结构和自由状态下的原予结构有很大差异，波函数的计算要 受到新的边界条件的约束。在原子结构的计算中，必须考虑原子或离子的空间体积变小 所引起的这种尺寸效应，此时原子的体积和半径由物质的密度决定，本文近似取为【5 l 第1 0 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 同时 以及 或 屹= 耕 在求解径向方程( 1 1 6 ) 和( 1 1 7 ) 时，必须满足以下边界条件 匕( ，) 上生寸口r “ 气n ) = 0( 对束缚电子态) 旦垫蚴l：o(对自由电子态)dr k 一一7 ( 1 3 0 ) ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) 第1 1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二章辐射与物质的相互作用 2 1 局域热动平衡下的辐射不透明度 物质温度越高，辐射在能量迁移过程中起的作用越大。在很高( 几百万度) 温度情 况下，能量重新分布的基本机制是能量迁移通过光子实现的，因为此时光子迁移的能通 量，远大于其它粒子迁移的能通量f 2 】。 2 2 1 局域热动平衡近似 由统计热力学可知，处于热动平衡的系统具有统一的温度t 。系统中各粒子的分布 函数，视其是f e r m i 子或b o s e 子，分别是f e r m i d i r a c 分布函数或b o s e - - e i n s t e i n 分布 函数。例如，光子的辐射强度是p l a n c k 分布函数，而电子分布函数是f e r m i - - d i r a c 分布 函数。在这种系统中，物质的总辐射系数和吸收系数u 。的比值是一个固定的函数即 p l a n c k 分布函数，亦即黑体辐射强度b ，( r ) ( k i r c h h o f f 定律) 3 1 。 芷：掣毒一：日，( r ) ( 2 1 ) r c e 鲁一1 r 。 上面讨论的是整个系统具有统一温度的情况，这是完全热动平衡系统。实际上，人 们经常研究的是具有温度梯度的系统，例如在研究恒星辐射问题时，认为星球内部因热 核反应释放大量的能量而形成高温区，此区的能量主要以辐射输运的形式向外传播，因 此整个星球是一个内部温度高外部温度低，具有温度梯度的系统。对于此种情况，我们 可以用部分的局域热动平衡近似和完全的局域热动平衡近似来描述，前者是指在每一时 刻每一局部区域，由原子，离子和电子组成的物质是处于温度为t 的热动平衡状态：后 者是指每一时刻每一局部区域物质和辐射都处于同一温度的平衡状态。有时统称这两种 近似