浙江大学历年微积分(1)试卷解答(4)级数.pdf

浙江大学微积分（浙江大学微积分（1）历年试题分类解答级数）历年试题分类解答级数 1 浙江大学微积分浙江大学微积分(1)历年期末考试试题历年期末考试试题 五五. 级级 数数 1. 求幂级数 2 0 21 ! n n n x n = + 的收敛区间及和函数，并计算 0 212 ! n n n n = + 的和. 2222 1 2 22 010 2 222 0 00 23! (1) limlim0 (1)! 21 (). 2121 (2)( )() !(1)! () 22(21). ! 2121 2 ! n nn n n nn nnn n xxxx n n nn ann ann r nx s xxx nnn x xex eeex n nn nn + + = = = + = + = + + + =+ =+=+=+ + = 【方法一】：，因此，幂级数的收敛 半径，收敛区间为， 因此， 22 222 21 22 00 00 222 00 ( 2)(2 21)5. 21 ( )(21). ! 2121 2( 2)(2 21)5. ! n n xx nxx nn nn nn ee nx x dxdxxes xxe nn nn ee nn + = = =+= + =+ + =+= 【方法二】：，则： 故， 2. 将 12 ( )arctan 12 x f x x = + 展开成 x的幂级数，并求级数 0 ( 1) 21 n n n = + 的和. 2 2 0 21 0 0 1 21 00 1221 (1)( )arctan( )2( 1) 4.() 12142 ( 1) 4 (2)( )( )(0)2. 421 1( 1) 411( 1) 2212221 12( arctan2 124 nnn n nn x n n nnn n nn x f xfxxx xx f xfx dxfx n x nn x x = + = + + + = = + 由于，则： ， 根据零点存在定理，在， 必有零点 又，故，存在唯一的零点 ，且 因为，而收敛，从而， 2 1 . n n = 收敛 浙江大学微积分（浙江大学微积分（1）历年试题分类解答级数）历年试题分类解答级数 3 6. 将函数 2 1 ( )arctanln(1) 2 f xxxx=+在0 x =处展开成泰勒级数 （即麦克劳林级 数）并指明成立范围. 2 2 2 0 2121 00 22 0 11 (1)( )arctanln(1)( )arctan( ). 21 (2)( )( 1).( 11) ( 1)( 1) ( )(0).( 11) 2121 ( 1)( 1) ( )(0) (21)(22)(2 nn n nn nn nn nn n n f xxxxfxxfx x fxxx fxfxxx nn f xfx nnn = + = + = =+= + = =+= + =+= + 由可得， 又， 则：， 22 0 22 00 .( 11) 1)(22) 1( 1) ( ). (21)(22)(21)(22) 11. n n n n nn xx n f xx nnnn + = + = + = + ， 由于收敛，因此， 其收敛域为， 7. 求幂级数 1 2 1 ( 1) 21 n n n x n = 的收敛半径、收敛区间及收敛域，并求其和函数. ( 1) 22 1 21 2 2 1 1 ( 1) 2 21 1 1 11 221 11 ( 1) (1)limlim 21 11 ( 1) 1. 21 1 11. ( 1)( 1) (2) 2121 n n x n n n n n n nn n x n n n n nn nn nn a axx na xx x n r xxx nn + + + = = = = = = 记，由可得， 当时，级数绝对收敛；当时，级数发散； 当时，级数为，条件收敛 故，级数的收敛半径，收敛域为， 1 21 0 1 2 2 00 0 1 2 1 ( 1) () 21 1 ( 1) () arctan . 1 ( 1) 1 11. 21 n x n n xx nn n n n n xxdx n xxdxxdxxx x xx n = = = = = + = 当时，级数条件收敛，故，级数的收敛域为， 浙江大学微积分（浙江大学微积分（1）历年试题分类解答级数）历年试题分类解答级数 4 8. 设常数a满足01a + + ，而，则：发散 综上可得，级数条件收敛 9. 试将函数 2 1 ( )f x x = 展开成关于(2x)的幂级数，并写出其成立范围. 0 11 0 1 (1)( )( )( ). 11111 ( )( 1) ( ) (2) . 2 (2)2222 1 2 2 104. 2 1 (2)( )( )( 1)( )(2). (04) 2 nnn n nnn n g xf xg x x g xx x x x x f xg xnxx = + = = = + + = = 令，则： 而 其中：，即， 10. 设 1 1 0 (1)(12) n n axxdx n = l， ，(1) 求 n a ；(2) 求 1 ( 1)n n n na = . 1111 1 0000 1 1 0 110 11 11 1 (1)(1)(1) (1)(1) 11 (1). (1)(1) ( 1)( 1) (2)( 1)1ln21. (1)(1) ( 1)( 1) ln(1)( 11)ln2 nnnn n n nn n n nnn nn n nn x axxdxdxxxxdx nn x n nn n na nn xxx nn + = + = = = = = + = = + += = 其中：，故，. + 浙江大学微积分（浙江大学微积分（1）历年试题分类解答级数）历年试题分类解答级数 5 11. (1) 写出 22 ( ) xx f xee=+展开成x的幂级数展开式，并写出其收敛域； (2) 积分 221 0 () xx eedx + 与积分 331 0 () xx eedx + 谁大谁小，并请说明理由. 22 22 22 3 22 000 224 000 4 11 00 00 0 ( 1) (1)(). ! ( 1) (2)( )2.() !(2 )! 1 ()22. (2 )!(41)(2 )! ( nnnn uxx nnn nnnn xx nnn n xx nn x uxx euee nnn xxx f xeex nnn x eedxdx nnn e = = = = += =+=+= + + 由于，则： 12. 设( )f x 在区间(01)，内可导，且( )fxm（m 为常数） 证明：(1) 级数 1 1 11 ( ()() 22 nn n ff + = 绝对收敛；(2) 极限 1 lim() 2n n f 存在. 1 1111 11 11 1 11 (1)() 22 111111 ()()( )()( )(). 222222 111 ()(). 222 111 (2)( )()limlim(). 222 nn nnnnnn nnn nn nn nn nn ffffm ff sffsf + + + = + = = 由拉格朗日中值定理，使得 而级数收敛，所以，绝对收敛 又，而存在，故，也存在 13. 设0 (12) n an=l， ， ，下列结论正确的是 【 】 (a) 若存在0n ，当nn时均有 1 1 n n a a + ，当nn时均有 1 1 n n a a + ，则 1 n n a = 必发散； (c) 若 1 n n a = 收敛，则必存在0n ，当nn时必有 1 1 n n a a + ，当nn时必有 1 1 n n a a + 浙江大学微积分（浙江大学微积分（1）历年试题分类解答级数）历年试题分类解答级数 6 1 11 1 1 1 1 2 1 1 11 (1).11 1 (2).01. lim0. ( 1)2 (3).01. 1 (4).0 n nn n n nn n nn n n n n n n n an an nann a bnnnaa a aa a cnnn na dnn n + = + + = + = = = + 不成立.例如：当时，但发散； 成立 若存在，当时，则： 则必有，从而级数发散 不成立 例如：收敛，但不存在，当时，必有 不成立 例如：发散，但存在，当 1 1. n n a n a + 时， 14. 设级数 1 n n a = 收敛，则：下述结论不正确的是 【 】 (a) 1 1 () nn n aa + = + 必收敛； (b) 22 1 1 () nn n aa + = 必收敛； (c) 221 1 () nn n aa + = + 必收敛； (d) 221 1 () nn n aa + = 必收敛. 111 111121 1 11 22222222222 112231121 1 22 1 1 2 (1):()2. (). (2):(). (). (3):( nnnnnnn nnnnnn nnn nn nnnnnn n nn n aaaaaaaaa aaa baaaaaaaaaaa aa ca + = + = + = + = +=+=+=+ + =+= ll 对于 而收敛，故，必收敛 对于 因此，收敛 对于 2123452211 11 221 11 2212345221 12 121 ). ()