（应用数学专业论文）二阶抛物型与cahnhilliard型方程的能控性.pdf

摘要 本文主要研究了二阶抛物型方程支配的双线性控制系统，具有经典分布控制 的四阶半线性c a h n h i l l i a r d 型方程支配的控制系统和具有有界约束控制的半线 性二阶抛物系统的能控性问题全文共分为三部分内容： 在第一部分中我们研究了双线性控制系统的能控性第二章致力于研究反应 扩散项满足n e w t o n 定律的二阶线性抛物型方程支配的双线性控制系统的能控性 问题给出了这类系统是长时间零能控的结论同时对某些特殊目标证明了其能 达性并进一步利用该系统零能控的结论证明了具有经典局部分布控制的一类半 线性抛物系统m 一岁+ 6 l v 1 2 = j c 洲也是长时间零能控的结论，在第三章中我们 研究了一类非线性退化抛物方程支配的双线性控制系统的能控性问题给出了该 系统既不是全局近似能控也不是全局零能控的，但却是全局近似零能控的结论 同时对某些特殊目标我们也证明了其能达性 在第二部分即本文的第四章中，我们研究了两种类型的四阶半线性c a h n h i l l i a r d 型抛物方程支配的控制系统的能控性证明了这两类系统都是零能控的 在第三部分即本文的第五章中，我们研究了具有有界约束控制的二阶半线 性抛物控制系统的局部零能控问题证明了当非线性项满足全局l i p s c h i t z 条件 时，二阶半线性抛物控制系统在有界约束控制下是局部零能控的结论 关键词：抛物型方程；双线性控制系统；零能控性；近似能控性； c a h n h i u i a r d 型方程；有界约束控制 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t em a i n l ys o m ec o n t r o l l a b i l i t yp r o b l e m so nb i l i n e a r c o n t r o ls y s t e m sg o v e r n e db ys e c o n do r d e rp a r a b o l i ct y p ee q u a t i o n s ，c o n t r o ls y s t e m s g o v e r n e db yf o u ro r d e rs e m i l i n e a rc a h n h i l l i a r dt y p ee q u a t i o n sw i t ht r a d i t i o n a l l ya d - d i t i v ed i s t r i b u t e dc o n t r o l sa n ds e m i l i n e a rs e c o n do r d e rp a r a b o l i cc o n t r o ls y s t e m sw i t h b o u n d e dc o n s t r a i n e dc o n t r o l s 。t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft h r e ep a r t s i np a r t1 ，w ea r ec o n c e m e dw i t ht h ec o n t r o l l a b i l i t yo fb i l i n e a rc o n t r o ls y s t e m s i nc h a p t e r2 ，w ed i c u s st h ec o n t r o lp r o b l e m so nb i l i n e a rc o n t r o ls y s t e m sw i t ht h e r e a c t i o n - d i f f u s i o nt e r ms a r i s f y m gn e w t o n sl a wg o v e m e db ys e c o n do r d e rl i n e a rp a r - a b o l i ce q u a t i o n s m o r e o v e r , b yt h i sr e s u l tw ef u r t h e rp r o v et h ee x a c t l yn u l lc o n t r o l l a b i l i t yi nl o n gt i m eo fas e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o ny t 一y + b l v y l 2 = “w i t h t r a d i t i o n a l l ya d d i t i v el o c a l l yd i s t r i b u t e dc o n t r o l s t h e n ，w eg i v ear e s u l to ft h er e a c h a - b i t i t yo ft h es y s t e mf o rs o m es p e c i a lt a r g e t s i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h ec o n t r o l l a b i l i t yo fab i l i n e a rc o n t r o ls y s t e mg o v e r n e db yan o n l i n e a rd e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n n o ti nd i v e r g e n c ef o r ma n dg i v et h er e s u l tt h a tn e i t h e ri st h es y s t e mg l o b a l l ya p p r o x i - m a t ec o n t r o l l a b l e ，n o rg l o b a l l ye x a c tn u l lc o n t r o l l a b l e ，b u ti sg l o b a l l ya p p r o x i m a t en u l l c o n t r o l l a b l e w ea l s op r o v et h er e a c h a b i l i t yo ft h es y s t e mf o rs o m es p e c i a lt a r g e t s i np a r t2 ，i e c h a p t e r4o ft h i sd i s s e r t a t i o n ，w ed i s c u s sc o n t r o ls y s t e m sg o v e r n e d b yt w ot y p e so ff o u ro r d e rs e m i l i n e a rc a h n h i l l i a r dt y p ee q u a t i o n sa n dp r o v et h a tb o t h o f t h e ma l en u l lc o n t r o l l a b l e i np a r t3 ，i e c h a p t e r5o ft h i sd i s s e r t a t i o n ，w ed i s c u s sl o c a l l yn u l lc o n t r o l l a - b i l i t yp r o b l e m so fas e m i l i n e a rs e c o n do r d e rp a r a b o l i cc o n t r o ls y s t e mw i t hb o u n d e d c o n s t r a i n e dc o n t r o l sa n dp r o v et h a ti ft h en o n l i n e a rt e r ms a t i s f i e sg l o b a l l yl i p s c h i t z c o n d i t i o n s ，t h e nt h es y s t e mi sl o c a l l yn u l lc o n t r o l l a b l e k e yw o r d s ：p a r a b o l i ct y p ee q u a t i o n ；b i l i n e a rc o n t r o ls y s t e m ；n u l lc o n t r o l l a - b i l i t y ；a p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t y ；c a l m h i l l i a r dt y p ee q u a t i o n ；b o u n d e dc o n s t r a i n e d c o n t r 0 1 1 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名；盔筮疰日期；塑1 2 ：堕进 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留，使用学位论文的规定， 即；东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存，汇 编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：挺夔指导教师签名： 日 期：皇趟2 口墨坌磐日 期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位 电话 通讯地址：长耋9 翻囱翅基基姜i i 丝殛：蜊邮编 离彦 坦幺! ：兰罂 、! 翌 毽| 皂3 z 主芝生建垡 第一章绪论 能控性理论是r e k a l m a n 于上世纪6 0 年代初首先针对有限维系统提出 的它与能观性理论和反馈镇定理论一起构成线性系统结构理论的基本内容这 一理论很快被推广到非线性系统，分布参数系统，甚至随机系统的情形 分布参数系统的能控性理论始于上世纪6 0 年代y u ve g o r o v , h o f a t t o r i n i 和d l r u s s e l l 等人的工作1 9 7 8 年，r u s s e l l 的综述文章概述了该领域当 时的主要工作1 9 8 8 年，j l l i o n s 出版了专著【2 】，这是该领域最重要的文献 他所倡导的h i l b e r t 空间唯一性方法极大地刺激了能控性理论的发展并吸引了众 多学者投入其研究在l i o n s 之后，重要的进展如国外c b a r d o s ，j m c o r o n ，o y u i m a n u v i l o v , i l a s i e c k a , g l e b e a u ，d t a t a r u ，r t r i g g i a n i ，e z u a z u a 等，国内 姐李大潜，刘康生，汪更生，姚鹏飞，张旭等人的工作 近年来，分布参数系统的能控性理论研究中抛物系统和双曲系统的能控性理 论都得到了较大的发展抛物系统的能控性理论主要分为近似能控性和( 精确) 零 能控性理论两类粗略的说，给定状态空间x 和控制空间u ，我们称一个抛物系 统在给定的时间t 0 是近似能控的，是指对任意给定初值x o x 及目标j l x 的任意邻域，都存在控制u u ，使得系统相应的解能在时刻7 进入目标x l 的该 邻域；而称一个抛物系统是( 精确) 零能控的是指对任意给定初值x 0 x ，都存在 控制u u 使得系统相应的解能在时刻了 等于0 双曲型系统通常是研究系统的 精确能控性由于双曲方程的解具有有限速度传播的性质，我们称一个双曲系统 是精确能控的是指对任意给定初值x o x 及目标捌x ，都存在控制“u 和时 间区间( 0 ，r ) ，使得系统相应的解在时刻t 击中耳标能控性问题在科学技术及 工程实践甚至我们的日常生活中处处可见例如，我们希望系统的温度接近于或 等于给定值等其实，每个正常人每天所傲的每一件事，都自觉或不自觉她运 用了上述能控性的概念 经典的抛物系统能控性理论到了上世纪9 0 年代进入了蓬勃发展的时期，其 特点是控制通常加在区域内部或边界以o y u i m a n u v i l o v 及e z u a z u a 等人为 代表的学者对半线性二阶抛物方程的近似能控性和精确零能控性理论进行了一 系列深入的研究【3 _ 33 1 他们主要是通过“线性化+ 不动点定理”的方法对抛 物系统的近似能控性，通常是发展了l i o n s 的对偶方法，即对线性化系统对偶系 统的解构造适当的泛函并利用该对偶系统的唯一延拓性质证明线性化系统是近 似能控的再进一步利用适当的不动点定理证明非线性系统是近似能控的；对抛 物系统的精确零能控性，主要是将半线性系统的精确零能控问题转化为线性化系 统对偶系统的能观性估计，再结合适当的不动点定理在有些文献1 1 2 ，1 7 1 中，也 将两种方法结合使用同时得到了系统是近似能控和精确零能控的结论此外，近 年来双曲系统1 3 4 - 5 0 1 和高阶p d e 支配的控制系统 5 1 - 5 5 】的能控性理论也有所发 展张旭等人对板方程【5 2 ，5 4 ，5 5 】的精确能控性得到了一系列的结果j i d i a j 和a m r a m o s 首先讨论了四阶次线性c a h n h i l l i a r d 抛物型方程1 5 l 】的近似能控 性还有大量的学者对其它类型方程1 5 6 - 7 7 】支配的分布参数系统的能控性理论进 行了广泛的研究 进入8 0 年代，开始有学者致力于研究分布双线性控制系统的能控性理论所 谓双线性控制系统是指系统中含有形如叫的项，其中u 是控制，y 是状态但涉 及这类系统能控性理论的文献还不多见最早的工作是由j m b a l l ，j e m a r d s e n 和m s l e m r o d 所做的结果州其中讨论了具有d i r i c h l e t 边界条件的以k 为控制 的板方程蜥+ u x x r x + ( f ) m 。= 0 和波动方程u 一u x x + k ( t ) u = 0 的能控性他们 采用的是f o u r i e r 序列逼近方法此外，k k i m e l 7 9 j 同时得到了板方程和一个简 单的s c h r 6 d i n g e r 方程支配的双线性控制系统的能控性直至2 0 0 1 年开始，a y k h a p a l o v 发表了几篇关于双线性抛物控制系统能控性理论的文章i 阳一8 3 1 其中 较为重要的是他讨论的一类二阶超线性抛物方程支配的双线性控制系统【8 1 j 的非 负近似能控性文中得到了对任意非负初值都可以选取适当的控制逼近任意非负 目标的结论此外，k h a p a l o v 还讨论了一类超线性方程的全局近似能控性问题 剐由于如j h e n r y 在文献【8 4 】中举出了某些具超线性增长的抛物型方程如果仅 施加经典的内部分布控制不能使系统全局近似能控的反例，k h a p a l o v 证明了当 对此类方程同时施加经典的内部分布控制和双线性控制时这类方程【8 3 j 是全局近 2 似能控的 然而，到目前为止，人们研究的分布参数系统的能控性问题大多局限于控制 无约束的情形但我们从生产和实际生活中可知，由于人们有能力施加的控制毕 竟是有限的，所以讨论控制有约束尤其是具有界约束时的能控性问题更有意义 在本文中，我们将主要研究二阶抛物型方程支配的双线性控制系统，具有经 典分布控制的四阶半线性c a h n - h i l l i a r d 型方程支配的控制系统和具有有界约束 控制的二阶半线性抛物控制系统的能控性问题 贯穿全文，设q 为月中非空有界开区域，c q 为q 的非空开子集，q 的边界a q 适当光滑，q = q x ( 0 ，丁) ，孙表示上的特征函数 全文共分为三部分 在第一部分中，我们将首先致力于研究反应扩散项满足n e w t o n 定律的二阶 线性抛物型方程支配的双线性控制系统 y t = a y + 孙“( ) ，一a ( x ，f ) ) 的能控性问题；同时利用所得到的关于( 1 1 ) 的零能控性的结论， 有经典的内部分布控制梯度项以平方增长的半线性抛物控制系统 y t a y + b v y 2 = 脚 我们来研究具 ( 1 2 ) 的零能控性问题 对热交换而言，根据n e w t o n 定律，u ( y c c ( x ，) ) 一项描述的是给定物质在 温度为0 【伍，t ) 的周围介质的影响下在空间x 和时间t 的热交换u 与热交换系数 成比例，它依赖于该物质本身，物体表面积和周围的环境如果涉及液体或气体 的热交换，u 还与流体的速度有关1 8 5 1 一般说来，人们可以通过采取适当的控制 u 加快或减缓热交换的速度 对于双线性控制系统的能控性问题，由于含有渺这样的项，实际上关于控 制已不是线性的，而是具有某种“非线性”特征这就使问题的研究有不同于经 典的能控性问题的本质性困难所以至今为止只有为数不多的关于双线性控制系 统的能控性问题的文章a y k h a p a l o v 在文献 8 2 】中沿用了j m b a l l 等人【7 8 】 3 在解决波动方程与板方程支配的双线性控制系统的能控性问题时使用的f o u r i e r 序列展开方法，证明了当控制作用在全空间，即= q 时，系统( 1 1 ) 是零能控 的结论实质上是将方程的解用f o u r i e r 展开法表示出来，再通过解的表达式选 取适当的控制，结合适当的估计来得到系统在一定条件下是零能控的结论但由 于这种方法的限制，只能得到当控制作用在全空间时能控性的部分结果 在本文的第二章中。我们首先研究了当控制作用在区域q 的内部，即q 的任 意非空开子集时系统( 1 1 ) 的零能控性问题我们的方法是把双线性控制问题 转化为经典的热方程的能控性问题由于热方程的解具有倒向唯一性，当a 三0 时，对任意非负初值，系统都不可能是零能控的所以我们需要对0 施加一定的 条件我们对0 【施加的条件是，0 r ( q ) 并且存在非空开区域b o c 和v o 0 使得 i a ( x ，f ) l v 0 0a e 仁，t ) b o ( 0 ，丁) 我们首先对系统( 1 1 ) 施以零控制利用热方程的衰减性，存在充分大的时刻死 0 ，使得( 1 1 ) 解的妒模在五处充分小再利用热方程解终端的r 模可由初值 的l 1 模控制，进而由弘模控制，从而系统( 1 1 ) 的解在时刻乃+ 1 的尸模可以 充分小结合这一结果，由0 【所满足的条件，根据弱解的极值原理，在时间区间 ( 五十1 ，正+ 2 ) 上，双线性系统控制问题( 1 1 ) 等价于一个经典的具有局部分布控 制的热方程的零能控性问题而且对双线性控制系统( 1 1 ) ，在此区间上，我们可 以选取反馈控制从而证明了系统( 1 1 ) 是长时间零能控的结论 在本文的第二章中，我们还利用系统( 1 1 ) 零能控性的结果，研究了系统( 1 2 ) 的零能控性问题 近年来，许多学者致力于具有经典内部分布控制形如 ， iy t a y + ，( ) ，) = ) c m “，o ，t ) q ， y = 0 ， t ) a q ( 0 ，r ) ， ( 1 3 ) iy 0 ，0 ) = y o ( x ) ， 工q 的半线性抛物系统能控性问题的研究，其中“为控制较为重要的如c f a b r e ， j rp u e l 和e z u a z u a 【14 推广了l i o n s 的h i l b e r t 空间唯一性方法，得到了系统 ( 1 3 ) 当，满足全局l i p s c h i t z 条件时，在空间( q ) ( p 1 ) 中是全局近似能控的 4 结论此后许多学者用类似的方法对形如系统( 1 3 ) 的半线性抛物系统的近似能 控性问题做了一系列的推广v b a r b u ，a f u r s i k o v , o y u 1 m a n u v i l o v , e z u a z u a 等人讨论了形如系统( 1 3 ) 的半线性抛物系统的零能控性问题分别在厂满足全 局l i p s c h i t z 条件，次线性和超线性增长的情况下，证明了系统( 1 3 ) 是零能控的 结论特别是e f e m f i n d e z c a m 和e z u a z u a 1 7 】讨论了弱爆破半线性抛物系统的 零能控性和近似能控性当，满足局部l i p s c h i t z 条件，y ( 0 ) = 0 并且 l 罂丽= 。 时，得到了系统( 1 3 ) 是零能控和近似能控的结论同时证明了存在函数，满足 l ，( 5 ) l 一l 0 9 9 ( 1 + l s l ) ，s - 一且p 2 ，使得系统( 1 3 ) 是不能控的结论并指出 当； 0 ，无论施加任何控制u ，总存在包含于q 中 的正测度集，使得存在相应于u 的解在这个集合中恒为正，从而系统( 1 5 ) 并非 全局零能控然而，虽然系统( 1 5 ) 不是全局零能控的，但可以使其全局近似零 能控即给定的时刻t 0 ，对任意初值如以及目标0 的任意小邻域，都存在控 制u 使得系统( 1 5 ) 的解在时刻r 进入该邻域此外，对某些特殊目标，我们利 用证明系统( 1 1 ) 零能控性类似的方法得到了能达性的结论 本文的第二部分主要讨论了c a h n h i l l i a r d 型半线性四阶抛物系统的精确零 能控性问题由c a h n h i l l i a r d 型方程支配的系统是一类重要的高阶非线性扩散 系统，它来源于自然界中广泛存在的扩散现象早在1 9 5 8 年，j w c a l m 和j h i l l i a r d 在研究热力学中两相物质之间相互扩散现象时就提出了这类系统再比 如生物种群的竞争与排斥现象，河床的迁移过程，固体表面上微滴的扩散等也可 以用该方程来描述c a h n h i l l i a r d 方程的理论研究始于上世纪八十年代中期， 近二十年来，国内外众多学者对这种类型的方程进行了广泛的研究 9 5 - 9 8 j 但对 于此类方程能控性的研究还不多见 j i d f a z 和a m r a m o s l 5 1 j 讨论了半线性高阶c a h n h i u i a r d 型方程的近似 能控性问题，得到了当非线性项满足次线性增长条件时系统近似能控的结论但 c a h n - h i u i a r d 型方程即使是线性方程的零能控问题还没有碍到解决本质的原因 在于高阶线性方程的c a r l e m a n 估计与二阶线性方程相比有本质的困难对于二 阶线性方程的c a r l e m a n 估计，在估计的过程中做分部积分出现边界项时，利用权 函数的好的性质，很容易判断其符号为恒正或恒负，从而将其从边界项中甩掉； 但对于高阶线性方程，由于边界项出现了高阶导数，很难判断其符号或做出适当 的估计，不再能象二阶方程那样可以简单地来处理对于板方程 ”，5 5 j ，其实质是 四阶双曲系统，对主型微分算子可将其分解成两个s c h r o d i n g e r 算子的复合，从 而转化成s c h r 6 d i n g e r 算子的c a r l e m a n 估计，而s c h r 6 d i n g e r 算子的c a r l e m a n 估 计基本上与二阶线性方程的c a r l e m a n 估计相似从而问题得到解决然而对于 7 四阶线性c a h n h i l l i a r d 型方程，却没有这样好的性质 然而对于一维四阶c a l m h i l l i a r d 型方程，由于边界上的高阶导数项可以由低 阶导数项清楚地表示出来，我们采用对称分项的办法对边界项进行了一系列的估 计 9 9 1 ，从而可以判断所余项的符号，最终将其从估计式中甩掉而得到其c a r l e m 卸 估计在此基础上，本文的第四章进一步对两种类型的具有低阶项的线性c a h n h i l l i a r d 型方程分别建立了显示能观性估计，并借鉴于e f e r n h n d e z c a r a 和e z u a z u a 1 7 】解决二阶半性抛物系统的精确零能控和张旭【5 4 ，5 5 解决半线性四阶板 方程精确能控性的方法，首先得到线性化系统的零能控结论，进而结合k a k u t a n i 不动点定理得到了如下两类一维四阶半线性c a h n h i l l i a r d 型系统 y f + y n “- i - f ( y ) = h ，( 1 6 ) 和 究+ 宄。+ ( f ( y 刃) x x = h ，( 1 7 ) 的零能控性的结论其中h 与五为控制，作用在( o ，r ) 上f 与，均满足局 部l i p s c h i t z 条件，f ( o ) = 0 ，f ( o ) = 0 ，并且 i 牡踹一o ， i 牡揣一o 本文的第三部分讨论了控制有约束的半线性抛物系统的零能控性问题在以 往能控性理论的研究中，基本上是在控制无约束条件情形下讨论的虽然在有些 文献 1 0 0 - 1 叫中也提到了约束能控性，但通常控制限制在一个锥形区域里而对 于控制具有有界约束的能控性文章还很少然而，我们知道，在生产和生活实际 中，人们所能施加的控制能力毕竟是有限的，因此对控制具有有界约束的能控性 问题更值得人们去研究k d p h u n g ，汪更生和张旭【1 0 5 】讨论了一类发展方程的 时间最优控制的存在性问题其中讨论了线性抛物系统 iy t 一y + a ( x ，t ) y = z “，o ，t ) q ( o ，一) ， y = 0 ， o ，t ) a q ( o ，一) ， ( 1 8 ) i ) ，( 工，o ) = ) 0 ( z ) ，x q 8 关于 ( p ) m i n t ；y ( t ；y o ，“) = 0 川“| | p ( 射| 工2 ( q ) ) p ) ， 和 ( p ，) m i n t ；y ( t ；y o ，“) = 0 ，她1 l 护 舻；州n ) ) p ， 的时间最优控制问题其中p 0 为正常数，y o l 2 ( q ) 其实质是分别给出了在 约束条件i l u l k - ( r + * * ( n 1 ) p 和叫 l - ( 肘p ( n ) ) p 下，存在充分大的时刻而 0 ， 当t t o 时，系统( 1 8 ) 在时刻r 是零能控的条件 在本文的第五章中我们讨论了半线性二阶抛物系统 y f 一y + ，( ) ，) = u ( 1 9 ) 在任意给定时刻t 0 的约束零能控性问题其中f 满足全局l i p s c h i t z 条件，u 取自允许控制集 q 耐= u ：“可测，u ( x ，t ) q 1 a e 于q ) ，钮= 一1 ，1 即控制要求取值于有界闭集钮上 我们知道，当控制无约束条件时，系统( 1 9 ) 的零能控性问题等价于线性系 统的零能控性问题众所周知系统( 1 9 ) 是全局零能控的但是当控制要求取值 于即使是线性系统也未必是全局零能控的这可以从下面简短的论证看出 类似于文献【1 0 5 】中讨论时间最优控制( p ) 和( p ，) 存在性问题反例的想法， 考虑如下的线性系统 j 芗二会7 一勿2 “甚：2 ：呈；。，丁， 。，。， iy 0 ，0 ) = 脚， j q 其中b 九时，九是一在础) 中的第一特征值，q 是相应于九的特征函数， 满足恻i l 2 ( n ) = 1 ，“c 厶d 令z = e ( x - b ) f 职则z 满足 l z t + a z + b z = 0 ，x ，t ) a ， z = 0 ， 砖a q x ( o ，丁) ， ( 1 1 1 ) iz o ，o ) = q ，z 0 ，r ) = e ( x - b ) 7 叩，工q ， 由( 1 1 0 ) 和( 1 1 1 ) ，给定时刻t 0 ，若( 1 1 0 ) 在时刻丁是零能控的，则我们有 。= l y ( 工，r ) z o ，丁) 出= 0 7 五“础胁+ 上y ( 工，。) z o ，。) 出 = el 产m f v q , 2 ( x ) a x = e 卜舭u 从而，由柯西不等式，有p i i z l i l 2 i q ) q 1 1 z 另一方面，方程( 1 1 1 ) 两端同乘以z 并在q 上积分得 ；丢五z 2 出一上i v z l 2 出+ 厶比2 。，f ) 出= o 从而， 丢( e _ 2 山”厶z 2 出) o 五( 8 “”厶r 圳之o 在区间( t ，t ) 积分上式，并注意到z 仁，t ) = e ( x 一6 ) 7 叩，我们有 五z 2 。，r ) 出e - 2 ( x - b ) ( t - t ) 五z 2 扛，t ) d x e 2 ( o 一吵 在区间( 0 ，t ) 上积分上式我们有 z 7 上热，恻rs 志( e 2 ( x - b ) t - - 1 ) l 2 ( b - k ) 因此，给定时刻r 0 ，若p ( 茹) 2 ，则对形如q 的初值，无论我们如何选 取控制h 都不能使相应的解在时刻t 为0 因此，系统( 1 1 0 ) 不是全局零能控的 从以上分析可知，当控制取自允许控制集时，对给定时刻t 0 ，我们 不可能期望系统( 1 9 ) 是全局零能控的，而只能讨论其局部零能控性 在本文的第五章中，我们首先讨论了线性系统 m 一y + a y = u 】o ( 1 1 2 ) a i ( q ) 的约束局部零能控性问题我们知道 1 4 】，当控制无约束时，给定初值， 总能找到l ”控制使系统( 1 1 2 ) 实现零能控但是使系统( 1 1 2 ) 零能控的允许控 制通常不唯，我们自然期望寻求最优允许控制，也就是使系统实现零能控的控 制中使得l ”范数最小的控制，如果对其范数能够做出一个相对精确的估计，就 能大致估算出使得线性系统实现控制取值于钮时实现局部零能控初值应该满足 的条件我们的办法是建立线性系统对偶系统的任意弘( q 1 ) 型能观不等式 以往人们建立的能观不等式基本上是l 2 型，我们建立 型能观不等式的目的是 在此基础上通过f e n c h e l r o c k a f f e l l a r 对偶定理，首先实现l p 最优近似零能控即 给定y o 上尸( q ) ，对任意的p 1 ， 0 。来寻找控制u p l p ( q ) ，使得系统( 1 1 2 ) 的解满足 l i y e p ( ，丁；“印) 怯( n ) 并且 峙i i o , ( a l2 。蠢，) 舢p ( 1 1 3 ) 其中 u 蹦( y 0 ，) = u l p ( q ) ；l f y ( ，丁；“) l l ，( n ) ) 并利用f e n c h e l r o c k a f f e l l a r 对偶定理以及我们所建立口型能观不等式，得到关 于所选的这些控制 “印) 与和p 无关的一致估计再通过抽子列，得到使系统 ( 1 1 2 ) 实现零能控的r ( q ) 中的控制并得到相应的估计在此基础之上我们给出 了实现系统( 1 1 2 ) 约束局部零能控的初值的集合再进一步利用k a k u t a n i 不动 点定理给出半线性系统( 1 9 ) 约束局部零能控的相关结论 第二章反应扩散项满足n e w t o n 定律的双线性抛物控制系统 的能控性及其应用 在本章中，我们研究反应扩散项满足n e w t o n 定律的双线性二阶抛物控制系 统y t = y + z m u ( y 一仁，) ) 和具有经典内部分布控制，梯度项以平方增长的半 线性抛物系统y t a y + b l v y 2 = 孙“的能控性问题在2 1 中，我们将证明满 足n e w t o n 定律的双线性抛物控制系统的零能控性结论在2 2 中，我们将利用 h o p f - c o l e 变换以及2 1 中零能控性的结论，证明具有经典内部分布控制，梯度 项以平方增长的半线性抛物系统的零能控性在2 3 中，对某些特殊目标，我 们将证明满足n e w t o n 定律的双线性抛物控制系统的能达性结论 2 1 满足n e w t o n 定律的双线- | 生抛物控制系统的零能控性 在本节中，我们讨论反应扩散项满足n e w t o n 定律的双线性二阶抛物控制系 统 iy t = a y + “( y 伐0 ，f ) ) ，o ，t ) q ， y = 0 ， 0 ，t ) a q ( o ，r ) ，( 2 1 1 ) 1 ) ，仁，0 ) = y o ( x ) ， 工q 的零能控性问题 为了证明主要结论，我们需要如下的几个引理 引理2 1 1 1 1 0 6 j 令s ( f ) 为具有d i r i c h l e t 零边界的热算子在l 1 ( q ) 中所生成的 半群，则v t 0 ，有s ( f ) 仁1 ) ) c z 尸( q ) 并且 i i s ( t ) u o l l l - ( a l c t 一”2 i l u o l l l l ( n ) ，v u o l 1 ( q ) ， 其中c 不依赖于“o 和t 引理2 1 2 1 1 7 1 对于方程 lq r 一g + 8 ( 工，t ) q = x “，扛，t ) q ， q = 0 ，缸，t ) 独( o ，r ) ， ( 2 1 2 ) ig ( 工，0 ) = q o ( x ) ， z q ， 1 2 有v q o l 2 ( q ) 以及d r ( q ) ，存在控制“r ( q ) 使得( 2 1 2 ) 相应的解满足 鼋( ，t ) = 0 ，工q 并且， i i u l i l - c q ) c ( r ，l l a l l l ( a ) ) i q o l l l 2 ( n 1 本节我们的主要结论如下： 定理2 1 1 假设a r ( q ) ，并且存在非空开区域b o c 和v o 0 使得 l “扛，f ) l v 0 0d p “，t ) b 0 ( 0 ，7 ) ， ( 2 1 3 ) 则对任意如l 2 ( n ) 。存在时刻r ( y o ) 0 和控制“r ( q ) ，使得( 2 1 1 ) 相应的解 y 在时刻丁为0 ，即 ) ，( 。，t ) = 0 ，x q ( 2 1 4 ) 证明我们知道 1 0 7 系统( 2 1 1 ) 在c ( 【o ，r , l 2 ( n ) ) n l 2 ( o ，r ；嘲( q ) ) 中存在 唯一解我们分如下几个步骤来证明定理2 1 1 第一步 在( 2 1 1 ) 中，令u = 0 在( 2 1 1 ) 两端同时乘以y 并在q 上积分得。 ；丢五) 1 2 出+ 五1 w 1 2 出= 。 因此， i l y ( 。，乃) i i 弘( n ) p 一九五i l y o l l 2 ( q ) ，v 五 0 ，( 2 1 5 ) 其中九 0 是一在硎( q ) 中的第一特征值 考虑如下系统 篡北死， l 炙，五+ 1 ) i | p ( q ) c l l r ( ，t 1 ) t l d f n ) ，( 2 1 7 ) 1 3 口 k d卅 亿伍搿 k k q蚝 其中c 0 不依赖于而 由( 2 1 5 ) 及( 2 1 7 ) ，有v y o l 2 ( q ) 和e o 0 ，存在乃 0 使得 l 炙，妁+ 1 ) l k - ( a ) c l l y ( , 蜀) l l 1 ( n ) c e 一1 r l i l y o t l l 3 ( q ) e o ( 2 1 8 ) 第二步 对于贝，乃+ 1 ) r ( q ) ，| | 贝，五+ 1 ) i l l - ( h i 0 ( 0 待定) 取代( 2 1 1 ) ，考虑 如下线性系统 i 弘= a y + x 8 0 v ( x ，f ) ，x ，f ) q ( 死+ 1 ，五+ 2 ) ， 1 y = 0 ， ，f ) a qx ( 五+ 1 ，乃+ 2 ) ， ( 2 1 9 ) 【y 仁，乃+ 1 ) = y ( x ，乃+ 1 ) ，工q 由引理2 1 2 ，存在控制v r ( q x ( 五+ 1 ，乃+ 2 ) ) 使得( 2 1 9 ) 相应的解满足 而且， ) ，( ，瓦+ 2 ) = 0 ，膏q ( 2 i 1 0 ) v l l 产( q m + l ，五十2 ) ) c il y ( ，死+ 1 ) l i 驴( q ) c l i n ，t j + 1 ) l l , - ( m ，( 2 1 1 1 ) 其中c l 不依赖于乃 另一方面，由弱解的极值原理i r e s ，有 i i y l i l - m ( n + l ，r l + 2 ) ) i n ，乃+ 1 ) 1 1 , - ( 0 ) + i l v l l l - ( n 。( 而+ 】，卸+ 2 ) ) ( 2 ，1 1 2 ) 由( 2 1 11 ) 和( 2 1 1 2 ) ，有 l y l i l ( a ( 乃+ l ，n + 2 ) ) ( 1 + c 1 ) | | 贝，兀+ 】) ij l * ( n ) ( 2 1 1 3 ) 选取 e o 0 足够大，使得i l l ( ，乃+ 1 ) l l - ( a ) 0 1 4 则我们可以选取控制 i 2 歹毛z 岛于q ( 而+ 1 ，乃十2 ) ， ( 2 1 1 4 ) 其中y 是( 2 1 9 ) 的解 由( 2 1 3 ) ，( 2 1 1 1 ) ，( 2 1 1 3 ) 以及e o 的选取，有i r ( q ( 乃+ 1 ，t j + 2 ) ) 并 且，我们有 司l 尸( n ( 孔+ l ，乃+ 2 ) ) 型坠墨型坚垒2 o 充分大使得( 2 1 1 ) 以 “= 呈j xe 三： 三： 2 + 2 ， c 2 ，6 ， “= f 2 i 1 6 l l 玩j q ( 乃+ 1 ，乃+ ) 、1 为控制的解y 满足 y ( ，孔+ 2 ) = 0 ，x q 定理2 1 1 证毕 注2 1 1 ：如果a = 0 ，无论如何选择控制虬由热方程解的倒向唯一性，对任 意y o l 2 ( q ) ，并且m e ：a s xj y o ( x ) o ) 0 ，( 2 1