（应用数学专业论文）主理想整环上交错矩阵几何.pdf

摘要 矩阵几何是华罗庚于上世纪4 0 年代开创的一个数学研究方向在矩阵几何中，空 间的点是某一类矩阵，两点问存在一种算术距离，还有一个变换群作用在这个空问上， 矩阵几何的基本问题就是用尽可能少的几何不变量来刻画这个矩阵空间的变换群，其 答案称为这个矩阵几何基本定理本文主要刻画了交换主理想整环上交错矩阵几何基 本定理 设兄是一个交换主理想整环( p i d ) ，用j i c n ( r ) 表示r 上所有nxn 交错矩阵的集合 本文首先研究了r 上交错矩阵的极大集，得到了瓦。( r ) 中仟意的极大集经过变换xh 。p x p + ，v x j | | c 。( r ) ，p g l 。( r ) ，g o 瓦n ( r ) 后的几何结构然后用极大集的 方法证明了r 上的交错矩阵几何基本定理，即：设r 是j a c o b s o n 半单的p i d ，且r 的特征 不等于2 设妒是从j i c 。( r ) 剑自身的双向保粘切与保弱幺模性的双射，则当n 4 时，妒的 形式为：妒( x ) = o l p x 4 p + 凰，v x j i c 。( r ) ，其中o l r + ，p g l n ( r ) ，k oe 瓦。( r ) ， 仃是r 的自同构当n = 4 时，妒的形式为：妒( x ) = o t p ( x + ) 4 p + ，v x j | | c 4 ( r ) 本文最后讨论了r 上交错矩阵几何基本定理在加法保持问题及图论上的一些简单 应用 关键词：矩阵几何；主理想整环；交错矩阵；极大集；算术距离；保粘切 a b s t r a c t t h es t u d yo ft h eg e o m e t r yo fm a t r i c e sw a si n i t i a t e db yl k h u ai nt h em i d f o r t i e so ft h el a s tc e n t u r yi nt h eg e o m e t r yo fm a t r i c e s ，t h ep o i n t so ft h ea s s o c i a t e d s p a c ea r eac e r t a i nk i n do fm a t r i c e s ，t h e r ei sa na r i t h m e t i cd i s t a n c eo ft w op o i n t si n t h i ss p a c e ，a n dt h e r ei sat r a n s f o r m a t i o ng r o u pa c t i n go nt h i ss p a c e t h ef u n d a m e n t a l p r o b l e mo ft h eg e o m e t r yo fm a t r i c e si st oc h a r a c t e r i z et h et r a n s f o r m a t i o ng r o u po ft h e g e o m e t r yb ya sf c wg e o m e t r i ci n v a r i a n t sa sp o s s i b l e t h ea n s w e rt ot h i sp r o b l e mi so f t e n c a l l e dt h ef u n d a m e n t a lt h e o r e mo ft h eg e o m e t r yo fm a t r i c e s i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s s t h ef u n d a m e n t a lt h e o r e mo ft h eg e o m e t r yo fa l t e r n a t em a t r i c e so v e rac o m m u t a t i v e p r i n c i p a li d e a ld o m a i n l e trb eac o m m u t a t i v ep r i n c i p a ld o m a i n ( p i d ) w h i c hi t sc h a r a c t e r i s t i ci sn o t 2 d e n o t eb y 瓦n ( r ) t h es e to fa l ln na l t e r n a t em a t r i c e so v e rr f i r s t l y , w ed i s - c u s st h ec o n s t r u c t i o no fm a x i m a ls e t si n 瓦n ( 冗) u n d e rt h et r a n s f o r m a t i o no ff o r m xh p x 尸+ 凰，v x i c 。( r ) ，w h e r ep g l 。( r ) ，j i c 。( r ) s e c o n d l y , b yt h e m e t h o do fm a x i m a ls e t s ，w ep r o v et h ef u n d a m e n t a lt h e o r e mo ft h eg e o m e t r yo fa l t e r n a t em a t r i c e so v e rra sf o l l o w s ：l e trb eap i dw h i c hi sj a c o b s o ns e m i s i m p l e a n dc h a r ( r ) 2 l c t 咿：瓦。( r ) 瓦。( r ) b eab i j e c t i v em a ps u c ht h a t 妒a n d 妒一1 p r e s e r v et h ea d j a c e n c ya n dw e a ku n i m o d u l a r t h e nw h e nn 4 ，妒i so ft h ef o r m 妒( x ) = p x 。p + ，v x 瓦。( 兄) ，w h e r ea r ，p g l 。( r ) ，k 0 瓦，。( r ) ，a n d 盯 i sa na u t o m o r p h i s mo fr w h e n n = 4 ，妒i so ft h ef o r m 妒( x ) = a 。尸( x + ) 4 _ 尸+ ，v x j i c 4 ( r ) f i n a l l y , w ed i s c u s st h ea p p l i c a t i o no ft h ef u n d a m e n t a lt h e o r e mo ft h eg e o m e t r yo f a l t e r n a t em a t r i c e so v e rr k e yw o r d s ：g e o m e t r yo fm a t r i c e s ；a l t e r n a t em a t r i c e s ；p r i n c i p a li d e a ld o - m a i n ；m a x i m a ls e t ；a r i t h m e t i cd i s t a n c e ；a d j a c e n c yp r e s e r v i n g i i c h a r ( r ) r “ g l 。( r ) r + r 。 | i c 。( r ) d e t ( k ) e 硒 0 ( n ) 厶 a = ( t ) r a n k ( a ) a l b a d ( a ，b ) d ( a ，b ) a b a b d i a g ( a 1 ，a ) 研 m 芝 m 。h m 一。) ， d i j m i n l 本文符号列表 环r 的特征 环r 上所有m n 阶矩阵的集合 环r 上的n 阶可逆矩阵的集合 环r 中可逆元素的集合 环r 中非零元素的集合 主理想整环r 上所有礼阶交错矩阵构成的空间( 集合) 矩阵k 的行列式 ( i ，歹) 位置为1 而其它位置为零的矩阵 n 阶零矩阵 礼阶单位矩阵 矩阵a 的转置，其中a = ( a 巧) 矩阵a 的秩 a j o b 的一个因子 矩阵a 与b 的算术距离 矩阵a 与b 的距离 矩阵a 与b 粘切 矩阵a 合同于b 对角块是a 1 1 一，a 的对角矩阵 环兄上n 维行向量的集合 是一种极大集( 详见d 8 的定义) 是一种极大集( 详见p 1 3 的定义) ( 三。1 ) e 蟠一e t 盛硝x i j d t j ：x 0 e r 卜，礼 z 1 ，j 一1 d 1 ，j 一1 + x l j d l j + 一l ，j d j 一1 ，j ：z l ，j 一1 ，x u ，巧一1 ，j r 】 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文彳、= 包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后 果由本人承担 作者签名：疹鱼乡咨日期：动纺年上月尸曰 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权长沙理工大学口j + 以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后试用本授权书 2 、刁、= 保密口 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：套丝君日期：2 g 年上月罗日 导师签名： 日期：w f 年岁月i 7 f 日 第一章引言及主要结果 1 1课题背景与发展状况 矩阵几何是华罗庚于上世纪4 0 年代由丁研究多复变函数论的需要所开创的一个 数学研究领域并巾我国数学家万哲先院士等继承和发展为了解释矩阵几何，我们回 忆f k l e i n 于1 8 2 7 年提出的几何纲领：“一门几何就是一些图形在某个非奇异变换组成的 群卜的不变性质的集合”这个纲领成为几何学研究的指导性纲领之一对于矩阵几何， 空白j 的点是某一类矩阵，例如同样大小的长方矩阵、对称矩阵、交错矩阵、h e r m i t i a n 矩 阵等，还有一个变换群作用在这个空间上，矩阵几何的基本问题就是用尽可能少的几 何不变量来刻厕这个矩阵空问的变换群，其答案通常称为这个几何的基本定理 最初讨论的矩阵几何是复数域上的四类矩阵几何，即长方矩阵几何、对称矩阵几 何、交错矩阵几何与h e r m i t i a n 矩阵几何1 9 4 5 1 9 4 7 年问，华罗庚证明了这四类矩阵几 何基本定理| 1 - 9 1 他用来刻画变换群中变换的不变量有双射、算术距离、调和点集、连 续性等1 9 4 9 年他用构造对合的方法证明了特征不等十2 的仟意域上的对称矩阵几何 基本定理- 1 0 1 1 9 5 1 年他用极大集的方法i 止明了不为f 2 的任意除环上的长方矩阵几何 基本定理f 1 1 1 f 2 的情形后来南万哲先与王仰贤在1 9 6 2 年补证f 1 2 1 刘木兰在1 9 6 6 年用 极大集的方法证明了任意域上交错矩阵几何基本定理1 3 1 9 0 年代前期，万哲先院士讨 论了任意域上n 2 时他x 佗对称矩阵几何与四元数体上的h e r m i t i a n 矩阵几何f 1 4 1 5 1 2 0 0 2 年，力哲先院士和黄礼平教授证明了特征不等十2 的四元数除环上的2 x 2 h c r m i t e 矩 阵几何基本定理- 1 1 6 万哲先院士还证明了满足两个假设条件的任意有对合的除环d 上 的h e r m i t i a n 矩阵几何基本定理( 除了礼= 2 同时d 4 i 足域的情形) 1 7 - 1 8 h u a n g w b n l i n g 分别在g r a s s m a n n 空间与n u l ls y s t e m 空间上讨论了保粘切的映射【1 9 2 1 1 最近几年，国内外一批学者继续了对矩阵几何的研究，得到了一些重要的结果 p s e m r l 等讨论了域上矩阵几何的条件的简化与等价条件 2 2 2 4 1 ，还讨论了矩阵几何 的一些应用t p e t e k 、p 雪e m r l 、候晋川等分别将长方矩阵几何、对称矩阵几何基 本定理扩大剑泛函分析中的无限维算。t 2 5 - 2 6 i t u a n gw 色n l i n g 、r h b f e r 、万哲 先、黄礼平等证明了除环上长方矩阵几何、h e r m i t i a n 矩阵几何、域上对称矩阵几何 中保粘切的双射的逆也保粘切，使矩阵几何更完美 2 7 - 3 0 黄礼、f 教授与万哲先院士 于2 0 0 5 年解决了满足一个假设条件的带对合的除环上的斜h e r m i t i a n 矩阵几何基本定 理f 3 1 1 2 0 0 6 年，黄礼平教授在其专著环上矩阵几何( 英文) f 3 2 1 一书中在较弱的条 件下，将除环上的长方矩阵几何几何基本定理推广n b e z o u t 整环上，将对称矩阵几何 基本定理推广到交换主理想整环上，并证明了特征不等f 2 的除环上的分块三角矩阵几 何基本定理 目前，对- j ：一些重要环( 例如：b e z o u t 整环、交换主理想整环、单a r t i n i a n 环等) 上的 矩阵几何的研究成为矩阵几何发展的新趋势域上的交错矩阵几何基本定理的问题已 基本解决，然而对于主理想整环上的交错矩阵几何基奉定理的研究尚未开始，仍是一 项新的工作 1 2 本文的主要内容 1 9 6 6 年，刘木兰 1 3 用极大集的方法证明了任意域上交错矩阵几何基本定理该定 理如卜： 刘的定1 里 1 3 ，3 3 】设f 是任意域，n 4 是整数设妒是从j | | c 。( f ) 到自身的双射 如果妒与妒一1 均保粘切，则 ( 1 ) 当n 4 时，妒为如f 形式 妒( x ) = p x 9 p + v x 瓦。( f ) ，( 1 2 1 ) 其中q f + ，p g l 。( f ) ，k o 瓦。( f ) ，盯是f 的白同构 ( 2 ) 当佗= 4 时，妒为如下形式 妒( x ) = p ( x + ) 。p + 硒v x j | | c 4 ( f ) ，( 1 2 2 ) 其中xhx 。是恒等映射或下列映射 反之，任意从j i c 。( f ) 到自身的形如( 1 2 1 ) 或( 1 2 2 ) 的映射妒都是双射，且妒与 妒- 1 均保粘切 本文主要讨沦将上述域上交错矩阵几何基本定理推广到主理想整环的情况，文章 共分为三章 第一章，介绍了本文的背景、研究动态及发展趋势 第二章，讨论了交换主理想整环上交错矩阵的极大集问题主要证明了f 列定理， 即：m 1 和m 都是瓦。( r ) 中的极大集，并且瓦。( r ) 中的任意极大集都可通过形如xh p x p + ，v x 疋。( r ) ，p g l 。( r ) ，k o | | c 。( r ) 的变换变成m 1 或虬 第三章，研究了交换主理想整环上交错矩阵几何基本定理以及一些简单应用，主 要推广“刘的定理”到如下基本定理： 基本定理设r 是一个j a c o b s o n 半单的交换主理想整环，j j _ c h a r ( r ) 2 设n 4 是整数，妒是从瓦。( 冗) 到自身的双射如果妒与妒_ 1 均保粘切并且均保弱幺模性( 或 者妒与妒- 1 均保粘切并且均保极大集的平行性) ，则 ( 1 ) 当佗 4 时，妒为如下形式 v ( x ) = p x 。p + k ov x 瓦。( r ) ， ( 1 2 4 ) 其中qer + ，p g l 。( r ) ，g o 瓦。( r ) ，盯是r 的自同构 2 02 、-、 3 4 4 耽耽铷o 3 4 3 钆钆。 嘞 2 h 孔 观。 川 川 挖 坩 弱 0 z z z 一 一 一 ，j_i_ill_ii、 、l 4 4 4 n 现强0 3 3 弘 矾现0 叼 2 孔 钆。 叼 哪 控 埒 h o z z z 一 一 一 ( 2 ) 当n = 4 时，妒为如下形式 妒( x ) = q p ( x ) 4 p + k ov x j i c 4 ( r ) ， 其中xhx + 是恒等映射或下列映射 反之，任意从瓦n ( r ) 到自身的形如 妒_ 1 均保粘切与保弱幺模性 ( 1 2 5 ) ( 1 2 4 ) 或( 1 2 5 ) 的映射妒都是双射，且妒与 3 、 3 4 4 庇庇船o 3 4 3 m 吼。 诹 2 1 2 础。 棚砌 他 n 船 0 z z z 一 一 一 ，i一 h 、i 研现瓢0 3 3 弘 现沈0 哪 2 2 2 钆。 嘞吨 ： ” m 0 z z z 一 一 一 ，fi。一 第二章交换主理想整环上交错矩阵的极大集 2 1引言 极大集的方法是研究矩阵几何的一个主要方法，因此讨论极大集的结构是有意义 的，早在1 9 6 6 年刘木兰 1 3 】就研究了域上交错矩阵的极大集，这一章我们将讨论交换 主理想整环上交错矩阵的极大集下面我们先米介绍一些相关的基本概念和基本知识 定义2 1 1 一个交换整环r 叫做一个交换主理想整环( 简记为p i d ) ，假如r 的每一个理想都是主理想 定义2 1 2 一个无零因子环r 的非零元的相同的( 对加法来说) 阶叫做环的特 征记做c h a r ( r ) 定义2 1 3 设r 是一个交换主理想整环，a = ( a q ) t p n ，代数和 s g n ( a ) a l m ) a 2 帕) 咖) 口s n 称为a 的n 阶行列式，记做d e t ( a ) 对丁交换主理想整环r 上的佗阶矩阵a 而言，如果a 为可逆矩阵，则d e t ( a ) 为 r 中的可逆元素如果矩阵a 既不足o 又不是零因子，则称a 为非奇异的 本文下面假设r 是一个交换主理想整环，用r 表示r 中非零元素的集合，彤 表示r 中可逆元素的集合用最f 表j ( i ，j ) 位置为1 而其它位置为零的矩阵，其阶 数看上下文可知用0 ( n ) 表示n 阶零矩阵，厶表示n 阶单位矩阵用胛黼表示r 上 所有m n 矩阵的集合，r n = r 1 n ，“r = 册赳，用g l 。( 兄) 表示r 上的n 阶可逆矩 阵设a = ( a i j ) 1 t 水。钟黼，用。a = ( a j i ) l g i , j n 表示a 的转置如果盯：ah a 。是 r 到自身的映射，则记a 。= ( 口磊) 若对于i j ，l i ，歹n ，吼，= 一n 扣，并且对于 i ：1 ，2 ，佗，a n = 0 ，则称a 为r 上的交错矩阵用j i c 。( r ) 表示r 上所有n 阶交 错矩阵构成的空间( 集合) ，它的元素称为空间的点所有形如 以下记分块对角矩阵为出叼c a h 一，a ，= ( a 二，) ，其中a 一，a ，为 4 定义2 1 5 对于任意矩阵0 m r ，7 i 加，若存在r 上的可逆矩阵p q ，使得 m = p d i a g ( e l ，e ，0 ，o ) q ， 其中0 e t r ，i = 1 ，r 则称7 为矩阵m 的秩，记做r a n k ( m ) = r 定义零矩阵 的秩为0 r 上矩阵的秩是唯一的 显然，r a n k ( m ) 为m 的非零子式的最大阶数 引理2 1 6 设r 为交换主理想整环，0 a i c ，。( r ) ，若r a n k ( a ) = 7 ，则a 至 少存在一个非奇异的r 阶子矩阵 定义2 1 7 设r 是一个交换主理想整环，o t r n ，屈”r ，i = 1 ，r ，r n ， ，乜，、 若矩阵a = i ii 是右可逆的，即存在矩阵b t p r ，使得a b = ，则说矩阵a 是 幺模的，并且称向量组【a 1 j 一，o t ， 是幺模的若矩阵b = ( p 一，羼) 是左可逆的，即 存在矩阵c 彤加，使得c b = ，则说矩阵b 是幺模的，并且称向量组 卢1 7 ，屏) 是幺模的 显然，o t r “是幺模的向量，当且仅当存在p ”r ，使得o p = 1 p ”r 是幺模 的向量，当且仅当存在o l 舻，使得q p = 1 定义2 1 8 设兄黾一个交换主理想整环，y 是一个有有序基 q l ，o 。) 的佗维自 n 他 由尼模，如果k i r = r ，则q = k i a i y 叫做幺模的设p = v 1 ，v 2 ，珥】是y 的 = 1i = 1 一个r 维自由了模，如果p 关于y 的有序基 n ，q 。) 的矩阵表示是幺模的，则( u 1 ，v 2 ， ，v ， n q 做幺模的特别， a 1 ，o t 。) 在y 中关于有序基 口- ，o l n 是幺模的 2 2算术距离与距离 在本节及本章以下内容中，设r 是一个交换主理想整环，不再重复 定义2 2 1 设a r m 煳，1 忌m i n m ，n 则a 的一个k 七阶子矩阵的行列 式叫做a 的一个k 阶子式定义d o ( a ) = 1 ，设d k ( a ) 是a 的所有k 阶予式的最大公因子， 则d ( a ) 叫做a 的k 阶行列式冈子( 七= 1 ，m i n m ，n ) 由熟知的交换主理想整环上矩阵理论( 参见f 3 2 1 ，f 3 5 1 ，f 3 6 】) ，我们有 引理2 2 2 设0 a r m 枷，则a 的行秩与列秩相等，记做r a n k ( a ) = r ，且存 在矩阵p g l 。( r ) ，q g l 。( r ) ，使得 p a q = d i a g ( e 1 _ ，e ，0 ，0 ) ， 其中e i 旧+ 1 ，e 产业d i - i ( a ) 0 ，i = 1 ，7 我们称 e 1 i 一，e ，) 为a 的不变因子组，不变因子组是由a 唯一确定的 5 引理2 2 3 设a j i c 。( r ) 且r a n k ( a ) = r ，则存在矩阵p g l 。( r ) ，便得 a = 。p ( a 1 1 。) p ， 其中a 1 1 k ( r ) 非奇异 证明：由引理2 2 2 可知，存在矩阵只q g l 。( r ) ，使得 a = q 一1 ( a 1 。) 只 其中a 1 = d i a g ( e l ，一，e r ) ，e 汴r ，i = 1 ，r + t p - 1 q 一1 = ( 岛s l 。l 善芝) ，其中b r r 则 a = p 。尸一1 q 1 ( a 1 。) 尸 = mb l l b 岛1 。2 ) a 10 ) p b 2 2 = 2 p b 1 1 a 1 ：) p qj 由a 瓦。( r ) 可知，b 2 l a l = 0 令b 1 1 a 1 = a 1 1 ，引理成立证毕 定义2 2 4 设a ，b 瓦。( r ) ，定义a 与b 的算术距离为r a n k ( a b ) ，记做 a d ( a ，b ) 当a d ( a ，b ) = 2 时，称a 与b 粘切，记做a 一b ， 显然，a d ( a ，b ) 0 ；a d ( a ，b ) = 0 当且仅当a = b ；a d ( a ，b ) = a d ( b ，a ) ； a d ( a ，b ) a d ( a ，c ) + a d ( c ，b ) ，v a ，b ，c j i c 。( r ) 定义2 2 5 设两个不同的点a ，b 瓦。( r ) ，定义a ，b 的距离为满足下列性质的 最小j f 整数r ：存在7 十1 个点x o ，x 1 i 一，坼j i c 。( r ) ，其中x o = a ，k = b ，使得 x 一五+ l ，i = 0 ，7 一1 用d ( a ，b ) = r 表示a 与b 的距离定义d ( a ，a ) = 0 显然，d ( a ，b ) o ；d ( a ，b ) = 0 当且仅当a = j e 7 ；d ( a ，b ) = d ( b ，a ) ； d ( a ，b ) d ( a ，c ) + d ( c ，b ) ，v a ，b ，c 1 c 。( r ) 定义2 2 6 设妒是从k ( r ) 到自身的映射，对橱，y k ( r ) ，如果x y 推 出妒( x ) 一妒( y ) ，则称妒保粘切如果x y 当且仅当妒( x ) 一妒( y ) ，则称妒双向 保粘切如果r a n k ( 妒( x ) 一妒( y ) ) = r a n k ( x 一】厂) ，则称妒保算术距离 引理2 2 7 ( 见 4 2 】中的定理4 1 ) 设r 是一个交换主理想整环，c h a r ( r ) 2 ，a 瓦。( r ) ，且r a n k ( a ) = r 则r = 2 s ，且存在可逆矩阵p g l 。( r ) ，使得 。p a p = d i a g ( a 1 z ，o 。z o ) ， 其中啦兄且。t i 。件，i = ，s 一，j = 0 1 言) 特别，当a 为幺模交错矩阵时， 6 命题2 2 8 形如( 2 1 1 ) l 弘j 变换保持j i c 。( r ) 中的任意两点的算术距离不变 证明：这个结论是显然的 命题2 2 9 设r 是一个交换主理想整环，c h a r ( r ) 2 ，a ，b j i c n ( r ) 则 a d ( a ，b ) = 2 d ( a ，b ) 证明：假设d ( a ，b ) = r ，则存在7 + 1 个点甄= a ，x 1 ，墨= b | i c 。( r ) ， r 使得五一k + 1 ，i = 0 ，r 一1 因此a b = ( k l x ) ，于是 扛= 1 a d ( a ，b ) = r a n k ( a b ) = r 。n k ( x 一1 一咒) t = 1 l a n k ( x i 一1 一k ) = 2 r = 2 d ( a ，j e 7 ) t = 1 因此，a d ( a ，b ) 2 d ( a ，b ) 反之，假设a d ( a ，b ) = 2 s ，则r a n k ( a b ) = 2 s 由引理2 2 7 ，存在矩阵p g l 。( r ) ，使得 p ( a b ) p = d i a g ( a l j , ，o 。z o ) ， 其札概“， s - 1 ，扛( 一0 1 。1 ) 不妨设p = 厶，设r = d i a g ( a 1 z ，a i z0 ) 则x o ：= a ，x 1 ：= a r 1 i 一，咒：兰 a r 。= b 是瓦。( r ) 中的8 + 1 个点，并且x i x i + 1 ，i = 0 ，8 1 因此， 2 d ( a ，b ) 2 s = a d ( a ，b ) 所以a d ( a ，b ) = 2 d ( a ，b ) 证毕 推论2 2 1 0 设r 足一个交换主理想整环，c h a r ( r ) 2 设妒是从瓦。( r ) 到自 身的双射如果妒与妒_ 均保粘切，则妒保算术距离 证明：设a ，b j i c 。( r ) ，d ( a ，b ) = r ，则存在r + 1 个点x o = a ，x l ，墨= b j i c 。( r ) ，使得x x + 1 ，i = 0 ，r 一1 ，则由妒保粘切与定义2 2 5 可知 d ( a ，b ) d ( 妒( a ) ，妒( b ) ) 类似地，由妒- 1 也保粘切与定义2 2 5 可知d ( 妒( a ) ，妒( b ) ) d ( a ，b ) 所以d ( a ，b ) = d ( 妒( a ) ，妒( b ) ) 由命题2 2 9 知妒保算术距离证毕 2 3交换主理想整环上交错矩阵的极大集 公4 d q = 岛一马l ，1 i ，j 礼，i j ，称d 巧为疋。( r ) 中的基矩阵定义下列符号 m i = t 笔n 。眯r ) 卢”一mk j = 1 ，j j 7 m 出口i ) 0 q i x i 2 n i z t i 一1 - - a i x i 2 0- 0 一a t z i i 一1 x i l a i z i + 1 o i x i n 0 屈x i 2 0 o 0 反戤i 一1 0 0 其中( q t ，屈) r 2 是幺模的特别，我们有 - - x i l 一屈x i 2 一屈z i i 一1 o 一屈魏i + 1 一觑z n o t z i + 1 口i x i n o 0 | 3 t x i i + 1 反 0 0 x i j r m 髦，庇，= i 0 - - x 2 1ol2x2：!j茇孝：z巧兄， 其中( 0 1 2 ，眨) r 2 是幺模的 m 热风) = 0 a 3 x 3 2- - x 3 10 1 3 x 3 4 o 3 x 3 n - - a 3 x 3 2 x 3 1 - - o 3 x 3 4 一0 1 3 x 3 n 其中( a 3 ，岛) r 2 是幺模的 0 一风x 3 2 风x 3 2 0 0 一统x 3 4 0 一风x 3 。 0 0 岛x 3 4 风z 3 n o 0 0 o ：x 3 j r 耽_ ，= iio奠olnxn：2。ognxnp,n_。1科-xnl眯0 其中( o l 。，风) r 2 是幺模的定义 人0 = z 1 ，j 一1 d i , j 一1 + x l j d u + 巧一1 ，j b 一1 , j ：x l ，j 一1 ，z l j ，巧一l ，j r ，j = 3 ，佗 则m 为j i c 。( r ) 中的极大集特别，我们有 人尼=(二兰：一x：12：。菘：)。)：z-zzs，zz。r) 8 n o0 既00 j r = o 0 0 一z 1 7 l 一1 一z l n x 1 n 一1 x l n 0 0 0 0 0 z n 一1 n - - x n l - l 0 ：2 ：1 ，l l ，x l n ，z n 一1 ，r i r 定义2 3 1 设m 是i c 。( r ) 中的一个非空子集，如果m 中的仟意两个不同的 点均粘切，并且与m 中所有点均粘切的点都在m 中，则称朋是一个极大集 显然我们有 命题2 3 2 形如( 2 1 1 ) 的变换将j i c 。( r ) 中任意的极大集变为极大集 定理 可通过彤 证明 显然 在m l 中 2 3 3 m 1 和从都足瓦。( r ) 中的极大集并且j i c 。( r ) 中的任意极大集都 如( 2 1 1 ) 的变换变成m 1 或从 ：我们首先证明m 1 是极大集 ，m 1 中 设a = 下证与m 1 中所有的点均粘切的点必 2 r 1 。( n - 1 ) ，r a n k ( a 2 2 ) = 2 r 由引 理2 2 7 ，不妨设a z z = 出口g c 。- z ，z 。，假设对每一个x = ( 一。姿。专2 ) m 1 ，有a x ，下证a m 1 南a x 可知 0 r n 几七- t ( a 1 2 - x 1 2 ) ( 。1，12-xn，1j2。)j=2，vx-zr1m一 因此7 1 ，即a 2 2 = d i a g ( a 1 2 0 ，0 ) 或a 2 2 = 0 假设a 2 2 = d i a g ( a 1 2 0 ，0 ) ，因为 r o n 忌( 寻1 量! 三i 至 4 - 与r a n k ( a x ) = 2 矛盾 下证从是极大集显 粘切的点必矾中设b 9 了朋 - 卜证 3 ( r ) ， ，是极大集 与m 中所有点均 r a n k ( b 2 2 ) = 2 r 叭 a 切 强粘艘 是 b 均 噍、 同a 如 不 紫 滤厂卜 明玑 瓦 e 白 【l 怔珊 眯 珊籽 日 亿息 人的 巳珊 k “邓 此i 冈妒如= 任。沁 2q上忙梆乜 以小 ：所然 = 假设对每一个y = ( 鼍1 墨) 从，有b y ，下证b m 由台一y 有 r n n 后( b ：。- b 。y 。1 1 尝：) = 2 显然，r n 七c 岛。，2 假设r 。n 后c 岛。，= 2 ，刁i 妨设 ( b ：。- b 。y 。1 1 b 1 2 - - ( b 1 1 。- b 。y ：1 1 ( 6 ；1 2 。) ) ( b 1 1 ：m 1 0 因为b 1 1 一m l 是3 阶交错矩阵，所以存在矩阵k l ，使得r a n k ( b 1 l m 1 ) = 2 因此， 卜0 4 ，与r a n k ( b y ) = 2 矛盾所以岛2 = 0 用类似的 冈此b = d i a g ( b 0 ) m 由此证明了m 是卡及大集 下让第二个结论 设m 是瓦。( r ) 中的一个极大集由命题2 2 8 可假设m 包含点0 和d 1 2 设 a = ( a 巧) j i c 。( r ) 是m 中的另一个点，其中n 玎= - - a j i ，v i j ，a i i = 0 下面分两种 情况证明 ( a ) a 1 2 0 且a 1 2 1 由a 一0 可知r a n k ( a ) = 2 由a 1 2 0 可知a 的最后 n 一2 行与前两行线性相关设 p 1 ( 一a l i ，- - a 2 i ，- - a i l 0 ，a i ，“1 ，a i n ) = a t ( 0 ，a 1 2 ，a 1 3 ，a l n ) + 屈( 一n 1 2 ，0 ，a 2 3 ，a 2 。) ， 其中3 i n ，p 1 r ，口 ，屈r 则弘1 a l i = 肛i a l 2 ，i 3 ，p l a 2 i = 一啦n 1 2 ，i 3 ， l a i k = o q a l k + p i a 2 k ，3 i k 因此 p l a l 2 a k = a i a l 2 a l k + 屈n 1 2 a 2 k = - - 肛l a 2 i a l k + p l a l i a 2 k ，3 i k ( 2 3 1 ) 类似地，由a d 1 2 及a 1 2 1 有 p 2 ( 一a l t ，一0 2 ，一a i 一1 0 ，a i ，i + 1 ，a i n ) = a ：( o ，a 1 2 一l ，a 1 3 ，a 1 。) + 厦( 一a 1 2 1 ) ，0 ，a 2 3 ，a 2 。) ， 其中3 i n ，p 2 r ，q ：，厦r _ ! 1 1 0 因此 p 2 a l i # 2 a 2 i p 2 a i k 反( n 1 2 1 ) ，i 3 ， 一q ：( n 1 2 1 ) ，i 3 ， a ：a l k + 厦n 2 k ，3 i k p 2 ( 0 1 2 1 ) o 诀= a ：( 0 1 2 1 ) a l 知+ 厦( n 1 2 1 ) a 2 k = 一p 2 0 2 i 0 1 k + p 2 a l i a 2 k ，3 i 七 ( 2 3 2 ) 1 0 0 ， 巩 由( 2 3 - 1 ) 与( 2 3 2 ) 可得卢l p 2 。伽= 0 ，因此a i k ：0 ，v ，南3 ( b ? 口1 2 5 o 或。1 2 = 1 只证n 1 2 = o 的情况，口1 2 ：1 的情况由( 2 3 1 ) 是类似证 明的由0 1 2 = 0 ，( 2 3 2 ) 变为n 讥= 一( 口l t n 2 奄一n l k n 2 1 ) ，3 i 后 、 ” 。a l i2 。9 2 i 。0 ，则n k = 0 假设n l i 0 ，由a 一0 可知r n 扎七( a ) ：2 则a 的任意3 阶子式等丁0 特别地 一。 0 a l ia 1 七 0 a 2 i a 2 詹 - - a l l 0 a 伽 即a l i a 2 k a l k a 2 i = 0 ，因此n 姥= 0 ，i ，七 综合情况( 口) 和( 6 ) ，a 必为如下形式 显然 因为a 一0 ，所以 = 0 ， 3 若n 氛0 ，类似可证。执：0 ，i ，南3 r 。n 后( ：；：兰：) ( ( 一三z 。：2 ) 。) ：z 。：r ) 不足极大集因此存在a 朋，使得r n n 七 矩阵p g l 2 ( 兄) ，d e t p = 1 和q 则经变换 后，点0 和d 1 2 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) a 1 3o o l n ) 乩由弓攀2 存在 g l 。一2 ( r ) ，使得 ，坂k ( r ) ( ( 二蚤鼍2 喜) 。) ：a 3 1 1 lii， n n 钆0 ；0 吼眈o ；0 2 轨 警7 一 2 3 它 o m m ； o茗；一 、l 0 0 0 0 q 0 j j q 、 n n 1 2 口 口 墙 勰 口 0 p p 一式 x 彤、上q 如 。 为 p 蔓 中 变 a h 变 x 不持保 因此可假设m 包含点0 ，d 1 2 和a 3 设b = ( b “) i c 。( r ) 是m 中的第四个点( b 0 ，d 1 2 ，a 3 ) 由a d ( b ，0 ) = a d ( b ，d 1 2 ) = 2 ，类似( 2 3 3 ) 的证明可得b 为如下形式 1 0 卜 一6 1 b l ：b 1 3 0 b 2 3 b ：3 0 - b 2 n 0 其中r n n 后( ：薹：) ，因为子集c 2 3 4 ，加上点a s 不是极大集，因此存在 b 使得r 。佗后( 乏：乏：) = 1 由。d c a 。，b ，= 2 可得6 z a = = 6 2 札= 。因此 b = - b l 。0 00 0 其中6 2 3 = 0 或b 1 4 = = b 1 。= 0 所以，b = b 1 2 d 1 2 + b 1 3 d 1 3 + b 2 3 d 2 3 ，其中6 2 3 0 或 者b = 6 l j d l j ，其中存在6 1 t 0 ( 4 i 冬n ) j = 2 假设j e 7 = b l j d l j ，其中存在6 l t 0 ( 4 i 礼) 则由上面的证明可知，与 点0 ，d 1 2 ，a 3 ，b 均粘切的点必在朋1 中，冈此m = m 1 假设b = 6 1 2 d 1 2 + 6 1 3 d 1 3 + 6 2 3 d 2 3 ，其中6 2 3 0 则由上面的证明可知，与 点o ，d 1 2 ，a 3 ，b 均粘切的点必在m 中，因此m = m 证毕 推论2 3 4 庀。( r ) 中的极大集是下列两种形式之一： 类型i 。p ( 二三二z 1 2 z h ) p + k o ：x 1 2 , , x l , , er ) ；c 2 。3 5 ， 类型i-p(二兰：一x三12。3气xl：)二)p+，o：z-z，z3，zr，c236， 1 2 k o ；o o o o 咄o o 勺 3 3 批坛d o 吣。也。 地 n m o山山山 m。h，一。，=f(妻二：兰3912：-：三爹：jjj三兰霉： ：z，。，z。，z2sr， 定理2 3 5 任取幺模的( ，) 砰与幺模的( 0 1 ，n 。一2 ) 形，朋出口) 与m m 一。) 是包含点。和d 1 2 的极大集，则任意一个包含点。和d 1 2 的极大集必形 如m 罢p ) 或( ，并且m 出仂= 朋出，) ，当且仅当存在a 彤，使得( a ，p ) =