（应用数学专业论文）一类四阶非线性微分方程最终正值解的存在性.pdf

摘要 微分方程在实际中有广泛的应用，而关于微分方程振动与非振动解的相关问题在天体 物理和工程建筑等方面均有重要的应用本文主要是研究一类四阶非线性微分方程 ( ) j ”i 。一1 ”) ”+ q ( t ) l u l 4 1 札= 0 其中a 0 ，p 0 ，p ( t ) ，q ( t ) 是定义在区间陋，o o ) 上的正值连续函数 w u 1 1 给出了上 述方程满足as1 p 时最终正值解存在的充分必要条件事实上，我们 可以证得一个更一般的结果本文给出了当1 口 0 ，p ( t ) ，q ( t ) a r ep o s i t i v ec o m i n u o n sf u n c t i o n so naf i n i t ei n t e r v a lf 口，o o ) t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t i n t e g r a lc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fe v e n t u a l l yp o s i t i v e s o l u t i o n so ft h ee q u a t i o na b o v ea r ee s t a b l i s h e db yw u 1 jw h e nt h ee q u a t i o ns a t i s f i e sq 0 ，p ( ) ，q ( t ) a r ep o s i t i v ec o n t i n u o u sf u n c t i o n so naf i n i t ei n t e r v a l 【n ，o 。) w ea s s l n n et h a tv ( t ) s a t i s f i e s j ( ”南出= o on 删z 1 剖“班一 z ， b yas o l u t i o no f ( 1 1 ) w em p 8 j 1ar e a l - v a l u e df u n c t i o nu ( t ) s u c ht h a tu ( t ) c 。i t , 。) a n du ( t ) s a t i s f i e s ( 1 1 ) a te v e r yp o i n to fi t , 0 0 ) ，w h e r et ( a ) m a yd e p e n do ne a c h s o l u t i o nu ( t ) af u n c t i o n “( ) i sc a l l e dap o s i t i v es o l u t i o no fe q u a t i o n ( 1 1 ) o i le o 。) i f “( ) i sas o l u t i o no fe q u a t i o n ( 1 1 ) o i li t , o o ) a n du ( t ) 0f o ra l lt t af u n c t i o nu ( t ) i sc a l l e d ag l o b a l l yp o s i t i v es o l u t i o no fe q u a t i o n ( 1 1 ) i fu ( t ) i sap o s i t i v es o l u t i o no fe q u a t i o n ( 1 1 ) o i lt h ee n t i r ei n t e r v a lk o o ) i na d d i t i o n ，af u n c t i o nu ( t ) i sc a l l e dae v e n t u a l l yp o s i t i v e s o l u t i o no fe q u a t i o n ( 1 1 ) i fu ( t ) i sap o s i t i v es o l u t i o no fe q u a t i o n ( 1 1 ) o d ：s o m ei n f i n i t e s u b i n t e r v a li t ，o o ) o fkc o ) as o l u t i o nu ( t ) o fe q u a t i o n ( 1 1 ) i sc a l l e dn o n o s c i l l a t o r yi f 口( ) i se v e n t u a l l yp o s i t i v eo re v e n t u a l l yn e g a t i v e as o l u t i o nu ( t ) o fe q u a t i o n ( 1 1 ) i sc a l l e d o s c i l l a t o r yi fi th a sa ni n f i n i t es e q u e n c eo fz e r o sc l u s t r i n ga tt = o o t h eo s c i l l a t o r ya n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o no ft h eq u a s i l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o no ft h ef o r m ( 1 1 ) h a sb e e nr e c e n t l yc o n s i d e r e db yw u 1 1a n dk a l x l oa n du s a m i i a l i nt h ep a p e ro fw u ”，e q u a t i o n ( 1 1 ) i sd i s c u s s e du n d e rt h ec o n d i t i o n s ( 1 2 ) o r z 。矧v 。出= o o ( 1 3 ) a n di nt h ep a p e ro fk a m oa n du s a m i t s ，e q u a t i o n ( 1 1 ) i sc o n s i d e r e du n d e rt h ec o n d i t i o n z 。南班 0 ，卢 0 ，p ( f l ，q ( t ) 盯ep o s i t i v e ? o n t i n u o u sf u n c t i o n so naf i n i t ei n t e r v a l n 。) w eg i v eab r i e fs u m m a r yo fs o m ei m p o r t a n tr e s u l t sf o rt h es e c o n do r d e re q u a t i o n ( 1 5 ) u n d e rt h ec o n d i t i o n ，1 上丽祷拈舱 t h er e s u l t sb e l o wa f o u n di nt h ep a p e r so fe l b e r t l e e l b e r ta n dk u s a n o s 1 h y u m o v aa n d m i r z o v 9 ，n o t i n gt h a tt h en o t a t i o nf ( t ) 一g ( t ) 柏t _ m e a n st h a t l i r a 鲤：1 f ，o 。g ( t 1 ( i ) i f 珏( t ) i sa ne v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o no f ( 1 5 ) ，t h e ni ts a t i s f i e s ( t ) 0f o ra l l l a r g e t ( i i ) f o ra l le v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o nu ( t ) o f ( 1 5 ) ，t h e r ea r ec o n s t a n t sc 1 0a n d c 2 0s u c h t h a t c - 吣) s 饧z 。丽d 8 f ，f o r a l l l a r g e t ( i i i ) e q u a t i o n ( 1 5 ) h a san o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n “( t ) s a t i s f y i n g u ( t ) 一c ( 0 ) a s t _ 。 2 ( 1 6 ) i f a n do u l v i f ( i v ) e q u a t i o n ( 1 5 ) z 。赤( ，。如，d 广d r o o h a san o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o nu ( t ) s a t i s f y i n g 吣j ( 南如， ( 1 7 ) i f a n do n l yi f ( ”m ，( j ( 赤) 4 出 o 。 s ， ( v ) l e tn n t h e ne q u a t i o n ( 1 5 ) h a san o n o s c i u a t o r ys o l u t i o ni fa n do n l yi f ( 1 8 ) i s s a t i 8 l i e d f o rt h ee q u a t i o n ( 1 1 ) ，u n d e rt h ec o n d i t i o n ( 1 3 ) o r ，m o r es t r o n g l y ( 1 2 ) t h er e s u l t b e l o wa r ef o u n di nt h ep a p e r so ff w u n a i t oa n d h f 2 ，1 0 j ( i ) s u p p o s e ( 1 2 ) h o l d s an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r ( 1 1 ) t oh a v ea n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o nu ( t ) w h i c hs a t i s f i e s 舰丽嚣幽， ( 1 9 ) i s t h a t 序曲( z c ，【y 硎s i l i a d s ) 9 出 o o ( 1 1 0 ) ( i i ) s u p p o s e ( 1 2 ) h o l d s an e c s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r ( 1 ，1 ) t oh a v ea n o n n s c i l l a t o r ys o l u t i o nu ( t ) w h i c hs a t i s f i e s h r l m u ( t ) = k ，0 k o 。 i s t h a t ， 剧高，。c 川m 叫u 。d r 0 f o r t t b y ( 1 1 ) w eh a v e ( p ( t ) l u ”i ”1 n ”) ”= 一g ( t ) 川4 一。 0 ，o ra l ll a r g et l e m m a2 2 ，s u p p o s et h a t ( 1 3 ) h o l d s ，a n dl e tu ( t ) b ea ne v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n 0 f ( 1 1 ) t h e nw ec a nc o n c l u d et h a tt h e r ei s 如s u c ht h a t ( 4 ) “馋) 0 ，钍”( 功 0 ，( 1 ( t ) l ”1u ”( t ) ) 0 ，o ra l ll a r g et ( b ) “7 ( t ) 0 ，( t ) 0 ，o ra l ll a r g et 吣m z 。( h ) 别“d s j ，删叫 ( 2 1 ) i nf a c t ，i f ( t ) 0 i f ( f ) 0s i n c e ( 1 3 ) i m p l i e s 协) 【高】1 。d s - + o o ，别一 4 s u p p o s et h a tb o t h 札( t ) a n d ( t ) a r ee v e n t u a l l yp o s i t i v e b yl e m m a 2 1 ，w eh a v e ( p ( t ) i u ”j 0 - 1 ) ， 0e v e n t u a l l y t a k ean u m b e rt ns u c ht h a tt ( t ) 0 ，札留) 0a n d ( p ( ) i u ”i ”1 乱”) 0 f o rt 芝t s o ( p ( ) i ( t ) p 一1 ( f ) ) ，i sd e c r e a s i n go ni t , o o ) t h e r e f o r e ( p ( t ) l u ”i 。- 1 “”) 7s ( p ( t ) l u ”l 。一1 n ”) i b r 兰c 0 ( 0 ) ， f o rt t i n t e g r a t i n gt h i si n e q u a l i t yr e p e a t e d l y , w eo b t a i n 邮制h ) + r ) 【 c l + c 出o ( s ) - t ) j “幽 ( 2 2 ) f o rt t ，w h e r ee l = p ( t ) i “”( t ) l 。一1u ( t ) ，c 2 = t o ) a n de 3 = u ( t ) t h e ni t i s e a s yt o v e r i f yt h a t ( 2 2 ) i m p j i e s ( 2 1 ) w i t h 也 4 1 0 0 t h u s ，i f ( 1 3 ) h o l d sf o r8 0 m ec 0 璐t a n t 如 0 ，w eo b s e r v eb y ( 2 1 ) t h a t ，i nt h es e to fa l le v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o no f ( l i ) ，a s o l u t i o nu ( t ) w h i c hs a t i s f i e s 熙而嚣再幽，畎狄o o ， ( 2 s ) c a nb er e g a r d e da sa ”m a x i m a l s o l u t i o n s u p p o s et h a t ( 1 2 ) h o l d s ，a n dl e tu ( t ) b ea ne v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o no f ( 1 1 ) w e h a v e ( t ) 0 f o ra l l l a r g e t ，a n ds o t h e r e i s 老l 0 s u c h t h a tu ( t ) k l f o ra l l l a r g e t t h u s as o l u t i o nu ( t ) o f ( 1 1 ) s a t i s f i n g 墨恐”( t ) = k ，0 k 0 0 ， ( 2 4 ) c a nb er e g a r d e da 8a m i n i m a l s o l u t i o ni nt h es e to fa l le v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o no f ( 1 1 ) t h e o r e m2 1 l e t0 n p 1a n da u m et h a tv ( t ) s a t i s f i e s ( 1 2 ) i ff o ra n y ， 0 p n ， z 1 箐卜 m 删z 2 嘲“打胁警 s ， h o l d t h e n ，e q u a t i o n ( 1 1 ) h a sa ne v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o ni fa n d 彻l yi f ( 1 1 1 ) h o l d s t h e o r e m2 2 s u p p o s et h a t1 o l 卢a n dt h a t ( 1 2 ) h o 地i ft h e r ea r e 0 m 1 ，t as u c h t h a t z 铡“如m 蒜，哪 仁s ， t h e n ，e q u a t i o n ( 1 1 ) h a sa ne v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o ni fa n do n l yi f ( 1 1 1 ) h o l d s 5 c o r o l l a r y2 1 l e tn 卢 1a n d ( 2 5 ) a n d ( 2 6 ) h o l d s t h e ne q u a t i o n ( 1 1 ) i s o s c i l l a t o r y , i fa n do n l yi f 7t q ( t ) d t = o o ， z ”以驰 o 。蚴dz 。t 品z 。”啦d s j 1 a 出一 c o r o l l a r y2 2 s u p p o s et h a t1 a 0 ，似) 0a n dp ( t ) lu t t ( t ) l ”1 ( t ) ) 0 b y ( 1 1 ) w eh a v e 绯m 他 r z 。时m 胁d 8 t 2 z 以蛇品1 厶f t 以f o o 口( r m 胁d s 1 口 呲 i n t e g r a t i n ga b o v ei n e q u a t i o nf r o mtt ot w eh a v e 毗r 高r 序钏咧懈1 l a 幽 2 z 。嗽m c 钏一武 u 。f 高r 西 “幽 2 。袱，一r r 箭卜 s i n c e ( t ) 0a n d ( t ) 0 ，t h e no n eo ft h ef o l l o w i n gc 鹤h o l d s ： 熙“，( t ) 2 。oo r 舰u 船) = z w h e r e0 。，川死 s ou ( t ) ti si n c r e a s i n go l lm ，o o ) a n dw eh a v e z 。水m 腿= ，。嗽妒吲9 蟛 嘲4 序咖一打 嘲肛”5 斟“6 z 。如矿打 竿广吲“5 ，。如矿机 慨s ， w h e r e0 p 0 1 l e tk = 竽p ”6t h e n z 0 。玳m 腿后”5 一咖哳， 舳 州蛇，广咖扩珈( z 。咖矿打) 蜘f ( 箭) 1 肛出i m u l t i p l y i n gt h i si n e q u a l i t yb y 【让( t ) 】- - 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1 ，一a t h e n ( 1 1 ) h a sas o l u t i o nu ( t ) s a t i s f y i n g i f a n do n l y i f 6 - 2 ( 1 + d ) + ，y l i m 。u ( t ) = c o n s t 0 u s i n gt h eg e n e r a lr e s u l t si ns e c t i o n3 o ft h i sp a p e r ，w eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s ( v ) l e to 芦s i ，一a so l 一7 s p 一2 a 一，t h e n ( 1 1 ) h a sa i le v e n t u a l l yp o s i t i v e s o l u t i o ni f a n do n l yi f j - 2 ( 1 十o ) + ，y ( v i ) l e t1 o p ，- - i o 一，y ，t h e n ( 1 1 ) h a sa ne v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o ni fa n d o n l y i f 6 - 2 ( 1 + q ) + ，y 参考文献 【1 】m lf n o n 0 8 c i l l a t o r ys o l u t i o no ff o u r t ho r d e rq u a s i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 【j 】n l n k - c i a le k v a c ，2 0 0 2 ，4 5 ：7 1 8 8 2 n a t i om ，w uf an o t eo l lt h ee x i s i t e n c ea n da s y m p t o t i cb e h a 、r i o ro fn o n o s c i l l a t o r y s o l u t i o n so ff o u r t ho r d e rq u a s i l i n e a xd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 【j 】a c t am a t hh u n g a r ，2 0 0 4 ， 1 0 2 ：l 杯2 0 2 1 3 k m n ok - i ，u s a m ih o s c i l l a t i o nt h e o r e m sf o rf o u r t h - o r d e rq u a s i l i n e a ro r d i n a r yd l f f e r e n - t i a le q u a t i o n s j s t u d i as c im a t hh u n g a r ，2 0 0 2 ，3 9 ：3 8 5 - 4 0 6 【4 】k n s a n ot ，n a l t om n o n l i n e a re s c i l l a t i o no ff o u r t ho r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j c a nj m a t h ，1 9 7 6 ，2 8 ：8 4 0 - 8 5 2 【5 】n a i t om o np o s i t i v es o l u t i o n so ff o u r t ho r d e r n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j 】a n n m a tp u r aa p p l ，1 9 7 8 ，1