（应用数学专业论文）带非局部边界条件的logistic方程的正周期解和数值解.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 l 近二十多年来，非局部的度应函数或出现在微分方程或出现在边界条件的反应 扩散系统越来越受到入们的关注而且我们知道这类方程蘧戬棱反应问题和燕力学 阕题燕蓊景【l 。4 】，森硬究中，入织发现一藏应用闽蘧瓣勰决姣赖予带a # 局鄙边爨条 件的反殿扩散问题的分析例如，w a d a y s ，6 】柱研究热弹性力学时发现在拟静态条 件下其熵满足一个带菲局部边值条件的反应扩敝问鼷随艏，有很多的研究者给出 了骞关这个阏题戆一些结果。其中绝大郄分怒定性的分辑 7 2 1 。特别地，w a 。 d a y 5 ，6 】，a f r i e d m a n 1 0 得到了一些依赖予时间解的焱减性k d e n g 1 2 给出了一些 比较结粜和包括局部解的存在性在内的一个非线性反应扩散方稔解的液减健c v p a o 1 7 ，2 0 骚究了这类溜越豹懿力毪震。焦玉薅等【2 l 】绘出了关予久类螺境传染模攫 正解的渐近性态还有一部分烂有关的数值分析 2 3 2 8 本文的选题主簧是受到焦玉娟等人研究工作【2 l 】的启发，将他们讨论的人类环 境传染攘整遴行接- ，选取繁# 是帮边赛条俘懿溺g i s 羲e 方獠捧梵主要懿琴 究对象少 0 ，茁q ， 嚣。二n ( z ，) t t ) 由，f o , x ea n ， ( 1 1 ) ( 。，0 ) = 珈( z ) ，留孬， 这里q 是属于r 。( = l ，2 ，) 的有界区域，a n 是q 的边界。l 是一致椭圆算予且 具有如下形式： 二u 兰a i j ( z ) u + b ( 。) “勺， i , j = lj = l 的一致性是指对于所有的。豆，它的系数瓶阵( ( z ) ) 是正定的边界算子b 是 嚣嘲篓a 。地 这里锄20 是鬻数，凳是缸在逡赛a q 上蠹每多 法离导数其牵对手b 的考虑有两 独：当鼬= 0 时粒d i r i c h l e t 登边爨和当鼬 0 对翡r o b i n 蛩逸雾。并燕缓竣迩舞各灸 华中科技大学硕士学位论文 是光滑的，而且函数f ( x ，- ) ，k ( x ，y ) 以及u o ( 。) 在它们各自的定义域内是h 6 1 d e r 连续 的，同时u o ( z ) 满足当t = 0 时的边界条件 最近，焦玉娟，萧礼和李少萍【2 1 给出了关于人类环境传染模型正解的渐近性态 该模型是： u t l u = 一o ( z ，t ) u ，t 0 ，x n ， b 【u _ 厶k ( 训) u ( ) 妣t o ，。c g i ) ， ( 1 2 ) u ( z ，0 ) = u o ( x ) ，z 豆， 这里u ( 。，0 ) 0 ，而且u ( x ，0 ) 不恒等于零q 是c 2 “光滑的有界区域，二和b 分别 是一致椭圆算子和边界算子，且分别具有如下形式： nn l u ! a i j ( x ，t ) u q + 幻0 ，t ) t i j = lj = z 口；n 。等t “， 这里舞是“在边界a q 上的外法向导数，其中或是a o = 0 ( d i r i c h l e t 型边界) ，或是 a o 0 ( r o b i n 型边界) ，同时假设l 的系数，n ( 。，t ) ，以及u o ( x ) 在它们各自的定义域 内h s l d e r 连续，而且在豆x 【0 ，。o ) 上a ( x ，t ) 0 还有一部分是有关的数值分析【2 3 - 2 8 】，特别地，c v p a o 2 8 利用有限差分方法 和上下解方法给出了一类带非局部边界条件的反应扩散方程 t 正t 一( d ( 盘) u 。) + ( z ) u z = ，( o ，t ，u ) ，【0 o ) ，( 1 3 ) “( 1 ，t ) + 。l u 。( 1 ，t ) ：1k ( 1 ( z ) u ( 。，t ) d x + g ( 1 ( t ) ，( t o ) ， j u u ( z ，0 ) = 妒( z ) ，( 0 z 0 ，和k 还要满足这篇文章中的第二部分所 给出的假设( 日) ) ，以及相应的定态问题 ( d ( 卫) u $ ) z + u ( 茁) t 上。= ，( 。，钍) ，( 0 0 ，。a n ， ( t 5 ) j n u 扛，0 ) = u ( x ，t ) ，$ 丽， 和相应的依赖于时间的问题 “t l u = u ( o ( z ，) 一b ( x ，t ) u ) ，t 0 ，z n ， ， b 【u 】= k ( z ，9 ) u ( 9 ，t ) d y ，t o ，z a n ， ( 1 6 ) ，5z u ( o ，0 ) = = u o ( z ) ，z n 这里我们除了还要假设6 ( z ，t ) 0 外，其它的假设均与前面有关问题( 1 2 ) 的假设相 同 我们主要研究了问题( 1 5 ) 正周期解的存在性和唯一性，以及相应的依赖于时间 问题( 1 6 ) 的解与正周期解间的渐近关系具体来说，我们首先从问题( 1 6 ) 入手，选 取问题( 1 5 ) 的上下解作为初始条件，然后利用这样得到的两个问题的解分别构造迭 代序列，通过研究序列的单调收敛性，以及序列元的正则性，得到的两个极限函数正 是我们所要找的正周期解随后我们又利用强极值原理得到解的唯一性并指出了周 期问题的解与相应的依赖于时间的问题的解之间的渐近关系在讨论正周期解的存在 性的时候，除了用上下解方法外，我们还用到了s a h m a d 和a c l a z e r 在【2 2 文中 所用的方法一一“靴带法”( 也称自助法) 而且在讨论解序列的正则性的时候，由于非 局部边界项的影响不能排除，因此我们就必须对该项中的核提出新的假设 其次，我们还学习性地给出了空间变量是一维时一个简化的l o g i s t i c 模型的数值 解的迭代格式在此，我们主要是借鉴c v p a o 有关一类带非局部边界条件的反应 3 华中科技大学硕士学位论文 扩散方程的数值分析【2 8 】中所用的有限差分方法，将模型离散为有限差分逼近系统， 从而构造出该模型的数值解的单调迭代格式，随后利用上下解方法证明了通过该迭代 格式迭代所得到的数值解是存在唯一的最后就一个具体的l o g i s t i c 模型利用m a t l a b 给出了数值模拟的图形 1 2 预备知识和基本原理 1 2 1 基本函数空间 这一小节，我们将引入以下几个函数空间( 参考 3 0 - 3 4 】) 设q 是r 中的一个区域，孬是它的闭包 ( 1 ) 可积空间 设u ( z ) 为可测函数且p 是正实数，则p 次可积空间为： l p ( n ) = “( 。) l n i “( 。) i 如 。) ， 通常定义的范数为： 驯n ) = ( 厶m 蚓) i 1 ( 2 ) s o b o l e v 空间 记f = ( f 1 ，f 。) ，= e i - - l k ，其中z t 为非负实数并且记广义导数为 眺= 熹， w m p ( q ) = u 0 ) i u l 9 ( q ) ，d “l p ( q ) ，l l fs 仇) ， 通常定义的范数为： | l u l | ( n ) = 拶u 慨n ) f t i m 记q t = n 0 ，司，爵= 西 0 ，引，设k 为正整数， 嘭k , k ( q t ) = t 上( 茁，t ) i u 1 2 ( q t ) ，d r 上，。s t l p ( q t ) ，i s i + 2 r 2 k ) 通常定义的范数为： 孵“( q ，) = i d d ；u l i l 一( 。，) 4 华中科技大学硕士学位论文 f 3 ) h 6 i d e r 空间 设0 8 1 臻数为8 的h s l d e r 系数 脚卜s u p y e f l 嘞掣i x y l ， 2 。，o 一 一 c o ( 孬) = u ( x ) l h a ( u ) o o ， 其相应的范数为： i l u l l c a ( 再) 2h a ( u ) + 1 警j u ( 茹) 1 g + 。( 甄) = u 仕) 1 “c k ( 孬) ，上k ( d “) 0 0 ，= 七) ， 其相应的范数为： “叫b 旷1 悬警p k 缸卜l 晷蹦醇 。，2 ( 舀t ) = u 0 ，x ) i d d ：u e ( t 知) ，l s i + 2 rs2 k ) ， 其相应的范数为： 洲( 诉) = 帮暇磁t | o i s t + 2 r 2 k w 7 c 2 k + 。, k + a 2 ( z 爵) = u ( t ，# ) h g 2 ，。( z 珏) ，h e , 4 2 ( d ；d ：“) 。，l s l + 2 r 一2 ) ， 其相应的范数为； 燃。m 鼬* 抬( 璐= m ，、a xl d d ：u l +敝。，2 ( 磁磁) ， 0 + 2 r 2 v 7 s t + 2 r = 2 k 其中，记 【tq。，虿，：=h,o2tu)=；。，。，。s。u，p，。辱，il：!；：；：!；跺一 1 2 。2 基本不等式 这里我们只引用将要用到的h s l d e r 不等式( 参考 3 2 ，3 4 ，3 6 1 ) ： 如果1 1 ，a i j ( x ，t ) ，b i ( x ，t ) 是q t 上的连续有界函数若对v i l p ( q r ) ， l p ( 。) w 2 p ( q ) ，在s t 上的函数9 ( 。，t ) 可延拓为q t 上的函数口( z ，t ) 孵，1 ( q t ) 且满 足相容性条件 b 纠l z a n ，t ：0 = 9 扛，t ) l z a n ，_ o ， 6 华中科技大学硕士学位论文 则问题( 1 7 ) 有唯一解u 孵1 ( q t ) 且有估计 i i “i 晖，( 口，) c ( i i l ，( q r ) + ij p 1 1 w ；，- ( n ) + i 憎0 昨，- ( 口，) ) ， 其中e 不依赖于，妒，g s c h a u d e r 估计： 设。玎，b i ，cec 2 ( 萄0 ) ，a q c 2 扣，6 ( z ，t ) l s r 0 ，b ( x ，t ) 可 延拓为c 2 + + o 2 ( 百0 ) 中的函数，若对任意，c a , o 2 ( 爵) ，l p c 2 + a ( 而) ，g 可延拓为 c 2 十a , l + a 2 ( 萄0 ) 中的函数，又满足相容性条件 引纠i 。a n ，t ：0 = g ( x ，t ) l 。a n ，k 0 ， 则问题( 17 ) 有唯一解u c 2 + a , l + a 2 ( 萄0 ) 且有估计 l | u i i g 2 + a 。1 + a 2 ( 虿r ) a ( i | ，i i g 。，a 2 ( z b ) + | | 妒i i c 2 + a , l + a z ( 孬) + 0 引l c 2 + n ，+ a z ( 百t ) ) ， 其中c 不依赖于，妒，g ( 2 ) 上、下解方法一初边值问题解的存在唯一性 比较引理：设h ( x ，t ) 在q r 上有界u ( x ，t ) 满足： 饥一l u + h ( x ，t ) u 0 ，p ，t ) q t ， b u 】0 ，( $ ，t ) 曲，( 1 8 ) u ( $ ，0 ) 0 ，x q u ( z ，t ) 与相应的抛物方程的初边值i 司题的古典解有相同的光滑性，当引u 】中n = l 时 又设a n 有内切球性质则t ( z ，t ) 0 ( ( 。，t ) eq r ) 又若对q ， ( 。，0 ) 不恒等于零， 贝0u ( 。，) 0 ( ( 。，t ) q r ) 对于下列初边值问题： t l t l u = i ( x ，t ，“) ，t ) q r ， b 【u 】= g ( z ，t ) ，( z ，) s t ，( 1 9 ) u ( x ，0 ) = 妒( o ) ，z n 7 华中科技大学硕士学位论文 = = ；= = ；= ；= = ；= = = = ；= = = = ；= ；= = 2 = 目一= 我们总假定上述“s c h u a d e r 估计”的条件满足另外对某常数m m ，当( z ，t ) ，( ，。) 磊，“胁，叫时，要求，( 。，t ，“) 对u 的导数满足 g ( 磊【m ，m ) ，而且存在正常 数k ，使得 和 ，( z ，t ，u ) 一( y ，s ，u ) j k f j 。一f i 。+ i t sj 】 - i ：t 解： ( t ，。) ，砬( 。，t ) c 2 t 1 ( 爵) 分别叫做问题( 1 。9 ) 的上、下解，若 讥+ 二豇兰，0 ，t ，豇) ，( z ，t ) q r ， b g ( z ，t ) ，( 。，t ) s t ， ( 1 1 0 ) 豇( 0 ，茁) 妒( z ) ，。q ； 砬t + l , 2s ，( 。，t ，也) ，( 。，t ) eq t ， b i g 茎9 ( 。，t ) ，( 2 ，t ) s t ， ( 1 1 1 ) 也( o ，茁) 妒( 。) ， 卫n 成立 如果在西上有也豆，则称矗，也为对有序的上下解 解的存在唯一性定理： 设面( z ，t ) ，也( $ ，t ) 分别是问题( 1 9 ) 的上、下解，乱( 。，t ) 豇( 。，) ，“= m i “爵缸 m = m a x 磊缸，在爵 仇，m 】上满足前述条件，则问题( 1 9 ) 在砺、上存在唯一解u ( ，t ) ，并且满足n ( 。，t ) u ( z ，t ) 豇( 。，t ) 1 3 主要结果 我们记 d = q 【0 ，o o ) ，荀= 孬【o ，o o ) ，s = a n 【o ，c o ) ， 并作如下基本的假设： ( h 0 对任意的。豆，l 的系数和函数d ( 。，) ，b ( x ，) 关于t 是以t 为周期的； ( 皿) 在锄x n 上( 。，) 兰o ，且k ( x ，。) 不恒等于零，矗( 。，y ) d y 1 ，而且 耳( z ，y ) ec 2 + a ( a n n ) ； 一 8 华中科技大学硕士学位论文 f 玛) 对袋意懿z 褥，1 热g 0 ，。f t ， b u 】_ 五k ( 哪) t ( ) 咖，t 0 , x eo f t ， ( 2 1 ) t ( 盘，0 ) = u ( z ，t ) ，再 正周期解的存在性和唯一性，以及相应的依赖于时间问题( 1 6 ) ，即 “t l u = t 上( o ( z ，t ) 一6 ( z ，t ) u ) ，t 0 ，x f t ， b 【 = k ( 。，) u ( g ，t ) d ，t o ，z a q ， ( 2 2 ) u ( $ ，0 ) = t o ( z ) ，z 豆 的解与正周期解间的渐近关系即是要完成以下定理结论的证明 定理2 1 在基本假设( 趣) 一( 凰) 成立的条件下，如果豇，也为问题( 2 1 ) 一对有序的 以t 为周期的上下解，则问题( 2 1 ) 在 i u ：也su s 曲中存在唯一的以t 为 周期的正解u t ( 2 ；，t ) ，且对任意的u ( z ，0 ) = u o ( z ) i b o ，问题( 2 2 ) 存在解t ( 。，t ) ， 并对z 孬一致地有 恕( u ( 。，t ) 一u t ( x ，t ) ) = 0 在第二节中我们讨论了存在性，所用的主要方法是“靴带法”，其中我们在利用抛 物型偏微分方程的妒估计和s c h a u d e r 理论相关结果讨论所得到周期解的序列元的正 则性时，我们必须考虑非局部项的影响，所以这个时候我们就必须利用假设( 风) ，( - 4 ) 对估计式中的每一项进行估计，这也正是我们在引理2 5 和引理2 6 所要考虑的问题 在第三节中我们则利用强极值原理来讨论唯一性，最后在第四节当中给出问题( 2 2 ) 的 解与正周期解间的渐近关系 华中科技大学硕士学位论文 2 2 正周期解的存在性 我们首先考虑依赖于时间的问题( 2 2 ) 定义2 2 【1 7 】假设问题( 2 2 ) 满足基本假设中的( h 1 ) 和( h 2 ) ，称均属于空间c 2 , 1 ( d ) ne ( 面) 的函数豇和也为问题( 2 2 ) 的一对有序的上下解，如果在西有也也，并且还有 和 面一l 9 2d ( o ( 。，t ) 一6 ( $ ，t ) 面) ( x ，t ) d ， 口【翻厶k ( 删胁，。) 咖，( 。，。) s ， 面( z ，0 ) “o ( 。) ，。q ， 心一工也也( n ( z ，t ) 一6 ( z ，t ) 吐) ( z ，t ) d 口嘲s 上k 蜘( 蚶) 屯( 州) s 吐( z ，0 ) s u o ( 。) ，o q 成立 引理2 3 【1 7 假设( 日1 ) 和( 凰) 成立，如果面，n 为问题( 2 2 ) 一对有序的上下解，则 问题( 2 2 ) 存在唯一的解t + 在有关抛物型偏微分方程的著作【3 7 - 4 2 】中，我们不难得到以下结果： 引理2 4 设u 。c 2 + a , 1 + ( 虿m ) ( o a 0 ，使得0 u m 0 c 2 + a 1 + l ( - 。) c ( 价= l ，2 ，) 则t c 2 + a , 1 + 詈( 虿m ) ，且在g 2 + 。，1 + 夸( 虿m ) ( o n 0 使得0 ( z ，t ) 兰w ，则在q m = n 【0 ，m 】上，存在一正常数g ( 与v ( x ，t ) 的界和q m 的体积有关) ，使得 1 ( 。，2 ) o 昨，( 。) sg + 击m x , t ) o 昨，- ( 。) 证明：由空间w ；，1 ( q m ) 中的范数定义，我们有 l i ”1 ( z ，t ) 1 1 w 詈，- ( o m ) = i l v l ( 茁，t ) l l l ，( o m ) + l i d 。v l ( z ，t ) l l l ，( 口村) + l l d ：v 1 0 ，t ) ij l ，( q 。) + i i d t v l ( z ，t ) l l p ( q 。) ( 2 3 ) 于是为了估计i i v ( z ，t ) | | 孵- 旧。) ，我们只要估计以上等式中的右边的四项 i l ”1 ( 。，。) o l p ( 。”) 3 i i a k ( 2 ，) ”( y , t ) d y l l l p ( q ”) = 【z m 五( 厶k ( 。，m ，t ) 咖) ，如d t 】i 1 m a z x _ k 0 ，f ) d y w i q m i ； o nj n 1 w i q m l i l d( 2 4 ) 慨 1 ( z ，t ) l l l 一( q s d 2 i i 厶( 则) ”( y , t ) d y l l l p ( q ”) = 【z m 五( 二j 厶( z ”由p 缸d t ； m e 墨j 0 缸，) d y w i q m i i $ e nj n c w i q _ l l f l ； c ( 2 5 ) i i d ： 1 ( 。，t ) o l ，( q ”) 2 i i j n k ：z ( z ，v ) ”( 9 ，t ) d y i i l , c q ”) = s o m 五( 正k 。( 。，) ”( 由) ，出d 司；1 m 醇。( o ，y ) d y w i q m i i o nj n sc w i q m l ；1 0 使得0 ( z ，t ) w ，则在虿 f = 豆 0 ，m 上，进一步假设”( ，t ) g 。考( 萄k ) ，我们就可以找到一正常数g ( 与口( z ，t ) 的 界和虿 f 的体积有关) ，使得 1 1 1 1 ( 。，t ) 【| c ：+ 。，t + 孽( 虿m ) c + 表i i ”( z ，。) o c 2 + a , l + 譬( 虿m ) ， ( o q 1 ) 证明：由空间c 2 - b a , l - i - ( 虿肘) 的范数定义，我们有 u 1 ( z ，训c 2 + a , l + g ( 孔) 2i l v l ( n o l l o ，巩圳仉u l ( 。，0 1 1 0 , 百。 + l l d ：v l ( 。，t ) i l c 。 ( 巧。) + i l d , t l ( 。，t ) i i g 。，( 百。) ，( 2 8 ) 1 4 华中科技大学硕士学位论文 这里i i i i o , 虿。：2 器i 1 于是为了估计慨( x , t ) 1 i c 2 一，+ g ( 百。) ，我们只要估计( 2 8 ) 中右 端的四项 于是，对第一项有 对第二项有 仉( 酬慨2 嚣i n k ( 删) ”( ，) d y l m a x g ( x ，) d y w z nj n ( 29 ) 珊，( 酬i 瓯2 豁i 厶拖( 删) ”( ) d y l sm a x _ j 毛( z ，) d y w z nj n s c ( 2 1 0 ) 由空间c 。，( 百m ) 的范数定义知 i i i 1 矿，( 虿。) 2i i i i o ，百。+ n ，虿。 于是，对第三项有 懈 1 ( 。，t ) l l c a 1 ( 一。) = i i d 2 _ u 1 ( n t ) l l o ，孔+ 嘲 1 ( z ，t ) k 。， ( 2 t 1 1 ) 其中的 砖( 。，t ) 1 1 。，b = m q a 。x l ，f n k z z ( 。，洲，t ) d y l s 搿五。( z ，) 咖 c ( 2 1 2 ) d 孙州) 】。，瓦= 五玩如，) ”( 州) 剖。而 ： 。p 监坠蛐巡趔盟玉垦擎业亟迪l ( z ，t ) ，( z ， ) 百m i 。一z l + l t t i o 1 5 华中科技大学硕士学位论文 于是 厶( 删) 哟，t ) d v k z ，咖( = 厶出川 ”( ) 一咖，t ) 句+ j 厶 玩z ( z ，) 一虬z ( z ，f ) 】山，t ) 咖j n l2 嘲 1 ( 。，。) 】。再。s 学n z ( z ，y ) d y ) 】n _ + 虬z ( 删) 】n _ i n i c l l ( x ，0 1 1 g 。，e ( 虿。) 4 - 。( 。，吡，_ w h c ( 2 1 3 ) 将( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 代入( 2 1 1 ) ，得到 l l d 。v 1 ( x ，0 t t c o , g ( 虿m ) s c ( 2 1 4 ) 对第四项有 慨u l ( z ，t ) r l c n ( 虿 ) 2i i d t v l ( x ，刚o ，酩4 - d t v l ( x ，札，虿m ， ( 2 1 5 ) 其中的 i i d t v l ( 酬慨2 豁l 厶k ( 删) 毗( y , t ) d y l m a r x g ( x ，) d y m a r x _ i v t ( y ，t ) i z e rj n y e n mj圣k(x,y)dy。ii仇(，t)llcm，l(虿。)xe。i 一， m 楚i n k ( x , y ) d y 。i i ( y ，t ) l l c 2 + e , i + g ( 百) ，(2t6)cell m d t v z ( 州) k 。= 正k ( 训) 巩( ) 圳娟。 ：。! 昱丝壁! 1 2 竺堕! ! ! 塑二丘墨g ! 1 2 生! ! ! ! 。2 塑l i x , t ) ( 一- - ，f r ) - 。肛一z l4 - i t t l 译 二k ( 。，) 州煳咖一五( 。，) 纵，t ) 咖 = fk ( jz ，g ) h ( ，t ) 一地( f ，t ) 】曲+ 厶陋( 。，”) 一( z ，f ) h ( ，t ) 曲 js 2 1 6 华中科技大学硕士学位论文 于是 d r y l ( 删。，虿。m 。a 再x n k ( 。，y ) d y 州删。，如+ 脚，虬五。搿，) | i n j 罢筹n k ( z ，) 曲( z ，t ) o 矿， ( 虿。) + 陋( 。，) 。，再i l v t ( u ，t ) l l c 一，e ( 虿。) i n lnj n 。 v m ， v mj s 【m 楚上k ( $ ，u ) u y “k ( 。，”) 】。，而。i n l l l t , ( u ，t ) l l c z “，+ ，z ) ，(217)softu 4 m j n 。 + ， 将( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 代入( 2 1 5 ) ，得到 i i d t v l ( x , t ) b ( 虿。) 【2 m a t i n k ( 。，y ) d y + 【k ( 。，巩，再i n 洲”( x , t ) l l c m + g ( 虿。) s 麦愀，) 岫h + ( 虿。) - ( 2 1 8 ) 最后，将( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) ，( 2 1 4 ) ，( 2 1 8 ) 一起代入( 2 8 ) ，得到我们要的结果： 1 i i u l o ，t ) i l c z 机t - + 孽( 虿m ) g + 者i h o ，t ) l l c 2 + a , l + 孽( 萄k ) ， ( o 0 ，z q ， b u 】= g ( x ，g ) c ，( ，t ) d y ，t 0 ，z a n ， ( 2 1 9 ) j n u ( x ，0 ) = 彬。孬， k l v = y ( o ( z ，t ) 一b ( x ，t ) y ) ，t 0 ，茁n ， b v 】= k ( 。，y ) v ( y ，t ) d y ，t 0 ，z a n ，( 2 2 0 ) j n y ( x ，0 ) = 0 ，霉n 显然，w 和0 是问题( 2 1 9 ) 和问题( 2 2 0 ) 的一对有序的上下解，于是问题( 2 1 9 ) ( 或者 ( 2 2 0 ) ) 存在唯一的解u ( 或者y ) ，并且满足 0 u ( x ，t ) ( o rv ( x ，) ) 彬( g 豆，t 0 ) ( 2 2 1 ) 1 7 华中科技大学硕士学位论文 定义序列 4 m ) ， w 。 如下 t 上m ，t ) = 矿0 ，t + m t ) ，扛豆，t 0 ，m = l ，2 ，) u m 忙，t ) = v ( x ，t + r o t ) ，0 西，t 0 ，m = l ，2 ，) 由问题( 2 1 9 ) 的周期性知，每个4 。满足问题( 2 1 9 ) 中的方程和边界条件 4 1 ( z ，t ) 和【，( 。，t ) 同时满足问题( 2 1 9 ) 中的方程和边界条件，且 “l ( z ，0 ) = u ( x ，t ) w = c ，( z ，o ) ，( 。孬) ， 从而由抛物型方程的比较原理【1 2 ，1 7 ，4 0 ，4 2 】，得到 4 1 ( x ，t ) u ( x ，t ) ，( z ，t ) 五d 因此，对于任意的z 丽，t 0 ，我们有 4 2 ( x ，t ) = 4 1 ( x ，t + t ) u ( z ，t + t ) = u 1 ( x ，t ) 由( 2 2 1 ) ，类似的讨论可以得到 ”2 扛，t ) = v t ( x ，t + t ) y 0 ，t 十t ) = v t ( x ，t ) ，忙，t ) 西 于是，因为 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 最后，因为y ( 。，t ) 和u ( x ，t ) 同时满足问题( 2 1 9 ) 和问题( 2 2 0 ) 中一样的方程和边界条 件，且 y ( z ，0 ) = 0 w = u ( x ，0 ) ，( 。丽) ， 则由同样的比较原理有 y ( z ，t ) u 知，t ) ，扛，t ) d ( 2 2 4 ) 类似，由于( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) ，以及归纳法知，对于任意的( z ，t ) 万和m = 2 ，3 ， 我们有 0sv m ( o ，t ) s4 m ( x ，t ) m r m - i - 1 0 ，t ) = t 上m ( z ，t + t ) u m l ( z ，t + t ) = u m ( x ，t ) v m q - i ( o ，t ) = m ( z ，t + t ) 口m i 0 ，t + t ) = ”m 仕，) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 1 ( 2 2 7 1 1 8 华中科技大学硕士学位论文 则由( 22 5 ) ，( 2 2 6 ) ，( 2 2 7 ) 所知序列 u m ，t ”m ) 的单调有界性可知，存在定义在西上的 函数f i t ( x ，t ) 和z t t ( x ，t ) ，使得， 且有 。l 。i m 。u m ( x ，t ) = 6 r ( 。，) ，( z ，t ) 一d l 鎏b v m ( z ，t ) = i i t ( x ，t ) ，( 。，t ) d 0 ! 幻，( z ，t ) s 豇t ，t ) 彬( z ，t ) - d ( 2 2 8 ) 因为， 面t ，t + t ) = l 垮b u m ( z ，t + t ) = 0 垮b t 工m + 1 ( z ，t ) = 毛了、( z ，t ) ； u _ t ( x ，t + t ) = l 粤b v m ( x ，t + t ) 2 去粤b t l m + l ( x ，t ) 2 鲫( 。，t ) ， 我们知，a t ( x ，) ，鲫( 。，t ) 关于t 是以t 为周期的 接下来，我们将借用s a h m a d 和a c l a z e r 在 2 2 中所用的方法一一“靴带法” 来证明豇r ( z ，t ) 就是问题( 2 1 ) 的解 记q m = q 【o ，m 】，q 0 = f i x 阢m 】，而且假设口( t ) 是充分光滑的函数，当0st ； 时，o ( t ) = 0 ，当t t 时，e ( t ) = l ，且0 e ( t ) s1 于是， ( e u 。) t l ( o u 。) = u 。+ e ( u m ) 一l ( o u 。) = 口u m + o u m ( o b u m ) ， 由抛物型偏微分方程的护估计【4 1 】知，对于1 p 4 t 有， 1 1 9 t 正m l l w ：，t ( o m ) 墨 c m , d i i o t 王m + 8 t 正m ( o b t m ) l l 驴( q m ) 删耳( z ， ， - ( 口。) ) o y ) o u m ( yt ) d u l l w 2 。- qj i ? 0 p 【( 1 + i t 1 l o ，o 。) l l - 。i l l ，( o 。) + i i b l l o ，口。i i 毛i i l 一( 。) 刊耳( 。， ， ( 铀) o y ) o u m ( yt ) d u l l w 2 v- q ， s g l ，p 【( 1 + i i o i i o ，q m ) l l u m 【l l p ( q m ) + u b u , ，q m l l t 上m l l 乏印( q m ) + l l nk ( 刚) 钆m ( ，t ) d y l l w , ，t ( o 。) 】， ( 2 2 9 ) 1 9 华中科技大学硕士学位论文 这里州h 。，i o ，。分别表示函数n ，b 在q m 上的最大模，c m , p ，e 0 。是与m 无关 的正常数由( 2 2 3 ) 知， l l u m i k ，( o = ( m f “( z ，t ) s w 1 q m l ；1 d x d t ) ，( 2 3 0 ) 岫q ) _ ( ，。厶“( 。，。) ；sw l q m l ，( 2 3 0 ) 。临( = ( o m 五u 鬻( 叫) d 删；w 2 q m l ； ( 2 3 1 ) 另外，又由( 2 2 5 ) ，e ( 0 的定义，以及引理2 5 知，f n g ( x ，y ) e u m ( ，t ) d y 满足引理2 5 的 条件，所以，存在与m 无关的正常数c ，以及( 待定) 足够大的常数c 1 ，使得， i i f n k ( z ，g ) 口u m ( ，2 ) 句i i 昨z ( 。) sg + 击i 9 u m o 嵋1 1 ( 。硝 ( 2 3 2 ) 因此，将( 2 3 0 ) ，( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 一起代入( 2 2 9 ) 有， 0 口u 。i i 嵋。，( 。m ) g 0 ，p ( l q m i i l + 2 。i q m i ； + e + 麦悱m l l w , , ，( ) ， 此时，我们只要选取c ， p ，就可找到一个与m 无关的正常数护，使得， 嵋，z ( 。0 ) 口 于是，当p 譬+ 1 时，由嵌入定理 3 v - 4 0 ，我们有， w 詈，1 ( q 0 ) l g n 寿( 虿0 ) ，n ：2 一n i + 一2 ， 而且，存在一常数， 0 ，对任意的u 叼，1 ( q 0 ) ，我们有， g 。，e ( 巩) 妒睇，1 ( ) 记q 铬：n 2 t ，m 】，假设日1 ( t ) 是充分光滑的函数，当0 t 冬孚时，日1 ( t ) = 0 ，当 t 2 t 时，目1 ( t ) = l ，且0 曼巩( t ) sl _ 于是，由问题( 2 2 ) 以及抛物型方程的s c h a u d e r 估计【3 7 ，4 z 知，存在与m 无关的正常数c m ，。和，q ，使得 i i 9 1 “m l l c m 一 (