（应用数学专业论文）金融资产收益波动的多尺度garch模型研究.pdf

中文摘要 摘要 金融时间序列建模的主要目的是利用观测到的数据推断真实的数据生成过程 或金融市场的概率法则，由此获得的知识可以用于检验经济学假说和金融理论， 对金融市场行为建模预测，解释重要的金融现象，这对金融产品定价、对冲和风 险度量具有非常重要的意义。本文充分利用多分辨率分析和g a r c h 模型的优越性 能，对金融时间序列进行多尺度g a r c h 建模分析，选取金融资产收益样本序列进 行实证研究，从不同的时间尺度上捕捉金融资产的波动特征，从而为金融市场分 析、预测和监管提供理论依据。 本文主要研究内容及结果如下： 针对金融资产收益波动建模分析中g a r c h 模型的变点探测问题，根据信号真 实信息与噪声在小波变换结果的不同特征，提出了金融时间序列变点探测的小波 模极大值线方法，对g a r c h m 模型进行了数字仿真，其结果验证了此方法的实用 性和有效性。该方法运用于实证研究，结果表明我国股市具有显著的政策市特征。 针对金融波动分析的多时间尺度特征，提出了金融时间序列多尺度g a r c h 建 模方法( 记为：m r a g a r c h ) ，把金融时间序列多尺度小波系数序列分别建立 g a r c h 模型，从而对小波分解的系数进行了很好的预测，然后把预测的小波系数 采用m a l l a t 算法重构，得到了金融时序的预测值，该方法克服了传统可选择阈值消 噪的局限性，提高了g a r c h 模型的仿真及预测精度。 针对“当股票市场个股预期收益波动不太显著时，如何选股? ”这一问题，本文 用m r a g a r c h 建模方法和动态模糊聚类分析原理，设计出了股票预期收益波动 的动态模糊聚类分析算法。并选取中国股票市场上效益差距不太明显的1 2 支股票 进行仿真计算，绘制出了未来2 1 日的分类平面图，观察立即可得到未来最优交易 方案。本文的结果可较好地用于金融市场的投资分析。 关键词：小波变换，多尺度分析，广义自回归条件异方差模型( g a r c h ) ，金融时 间序列 英文摘要 a b s t r a c t t h ep u r p o s eo fm o d e l i n gf i n a n c i a lt i m es e r i e si st oi n f e rh o wt h er e a lg e n e r a t i o n o fb a t ao rt h ep r o b a b i l i t yr u l e so ff i n a n c i a lm a r k e t 1 1 1 ei n f o r m a t i o nw eo b t a i nc a nb e u s e dt o p r o o f - t e s te c o n o m i cs u p p o s ea n df i a n c i a lt h e o r ya n de x p l a i ni m p o r t a n t e c o n o m i cp h e n o m e n a t i l i sp a p e rm a k e sf u l lu s eo fm u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s a n d g a r c hm o d e l ，a n dm a k em o d e l so ff i n a n c i a lt i m es e r i e sw i t hm u l t i s c a l em e t h o d w e m a k ee m p i r i c a la n a l y s i sb ys e l e c t i n go u tp r o p e rf i n a n c i a la s s e ts a m p l e sa n dg e t c h a r a c t e r i s t i c so fw a v e sf r o md i f f e r e r tt i m es c a l e s t h e r e f o r ei tp r o v i d e se v i d e n c eo f f i n a n c i a lm a r k e ta n a l y s i s ，f o r e c a s t i n ga n ds u p e r v i s e t h em a i nr e s u l to f s t u d ya sf o l l o w s ： a sf o rt h ep r o b l e mo fc h a n g e - p o i n t sd e t e c t i n gi n t h eg a r c hm o d e lo ft h e f l u c t u a t i o n so ff i n a n c i a la s s e t ，w ep u tf o r w a r dc h a n g e p o i n t sd e t e c t i n gm a ) 【i m u m a r i t h m e t i co ff i n a n c i a lt i m es e r i e sb a s i n go nt h ed i f f e r e n tc h a r a c t e r i s t i eb e t w e e nt h er e a l i n f o r m a t i o na n dt h en o i s e s w ja l s om a k et h ed i 【g i t a ls i m u l a t i n go ng a r c h mm o d e l a n dt h er e s u l tp r o v e st h a tt h em o d e lh a sp r a c t i c a b i l i t ya n dv a l i d i t y t h er e s e a r c ho n c h i n e s em a r k e tw i t ht h i sm e t h o dp r o v e st h ec h i n e s es t o c kh a so b v i o u sc h a r a c t e r i s t i co f p o l i c ym a r k e t a sf o rt h ec h a r a c t e r i s t i co fm u l t i s c a l ei nf i n a n c i a lt i m es e r i e s ，w eb r i n gf o r w a r d m u l t i s c a l eg a r c hm o d e l ( m r a g a r c h ) w eg e tg a r c hm o d e lu s i n gm u l t i s c a l ew a v e l e t c o e f f i c i e n t so fi n a n c i a lt i m es e r i e s s ow ec a l lf o r e c a s tw a v e l e te o e 硒c i e n t sw e l l a n d t h e nw er e b u i l dt h ew a v e l e tc o e f f i c i e n t su s i n gm a l l a ta r i t h m e t i ca n dg e tt h ef o r e c a s t i n g v a l u e s t l l i sm e t h o di m p r o v e dt h ec o n v e n t i o n a lo p t i o n a lt h r e s h o l dd e n o i s i n gp r o c e s s i n g a n de n h a n c et h ep r e c i s i o no f f o r e c a s t i n g “h o wt oc h o o s et h es t o c kw h e nt h ef l u c t u a t i o no fs t o c ke x p e c t e di n c o m ei sn o t o b v i o u s e ? ma n s w e rt h i sq u e s t i o n , w ec o n t r i v et h ed y n a m i cf u z z yc l u s t e r i n g a r i t h m e t i co f t h ef l u c t u a t i o no f s t o c ke x p e c t e di n c o m e 、i t l lm r a - g a r c ha n dd y n a m i c f u z z yc l u s t e r i n gp r i n c i p l e w ea l s os i m u l a t eo nt h et w e l v es t o c k sw h i c hh a v en o t s i g n i f i c a n td i f f e r e m e e si nc h i n e s em a r k e t a n df r o mt h ep l a n eg r a p ho ft h ef u t u r e2 1 d a y s ，w ec a l l o b s e r v et h eb e s tt r a d es c h e m e t h er e s u l to ft h i sp a p e ri sa p p l i e dt o i n v e s t m e n ta n a l y s i sw e l l k e y w o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ，m r a ，g a r c h ，f i n a n c i a lt i m e s e r i e s i h 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重废太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名髀 签字嘿刎年月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重废太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重迭太堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( ) 。 ( 请只在上述一个括号内打“4 ”) 学位论文作者虢乡湃 签字日期词乱月7 日 一毯：倦皇 签字蹶f 年。其冲 1 绪论 1 绪论 1 1 研究背景及意义 金融计量经济学的主要目的是用观测到的数据推断真实的数据生成过程，或 金融市场的概率法则，由此获得的知识可以用于检验经济学假说和金融理论，解 释重要的和公认的金融现象，并对金融市场行为建模预测，这对金融产品定价、 对冲和风险度量具有非常重要的意义。 金融资产收益波动建模是金融计量经济学研究的问题之一”1 ，金融时间序列 是金融资产收益序列的重要表现形式，例如股票、基金、外汇等收益率的分时线 及、日线及周线等。如何对金融资产收益序列的动态特征做出高精度的预测是金 融学家与实际工作者十分关注的问题。本课题提出金融时间序列的多尺度广义自 回归条件异方差模型( 简称“m a r - - g a r c h ”) ，并初步探讨该模型建模过程、相关 算法设计及实际运用。m a r - - g a r c h 方法是小波多尺度分析与g a r c h 建模理 论的结合，其核心思想是在不同的时间尺度上建立金融时间序列的g a r c h 模型， 分别从近似和细节上反应金融资产收益序列的波动性等特征，更准确地从不同的 时间尺度上还原金融资产收益率数据生成过程，在这个模型基础上做出高精度的 预测是可能的和有效的。 在金融时间序列建模分析中，突变点或异常点称为模型的变结构点，简称变 点。其对金融市场统计分析和金融产品价格预测有重大影响。一方面，突变点或 异常点反映了统计数据的异常波动，首先可能是人为因素，也可能是计量误差所 致，此类异常数据没有分析价值，其次另类异常数据反映了异常的金融波动和市 场效力，这种异常可能意味着国内重大的经济或政治事件对金融系统的脉冲响应 和国际金融波动溢出效应。因此，对这类突变点的分析可以探索金融系统所处的 异常状态并给予合理的经济解释及积极的政策建议，促进金融市场的良性发展， 充分体现市场的强市效力。另一方面，金融时序的突变点和异常点对模型精度有 实质性影响：首先，异常点的存在，加大了建模难度，如模型的定阶、参数的估 计及检验等。其次，异常点和突变点的存在，使模型结构可能出现根本性的变异， 包括函数形式的变化，参数值的改变以及参数个数的增减等。因此，探测金融时 间序列的突变点有助于促进新的模型产生和建模方法的改进。本课题提出了增广 g a r c h - - m 模型变结构点探测的小波模极大值方法，该方法综合了c u m s u m 方 法和分段建模方法的优点，充分运用t 4 , 波变换的多尺度性和聚焦性等优点。 重庆大学硕士学位论文 1 2 国内外文献综述 1 2 1 金融资产收益波动的时变性和持续性 不确定性是金融计量学中的一个中心问题【2 1 ，风险就是不确定性，金融资产 价格的不确定性可用资产收益的方差( 波动) 和各种资产收益之间的协方差来度量。 在传统的投资理论中，资产收益的方差和各种资产收益之间的协方差被看作是常 量。但通过对大量金融时间序列的研究，人们发现金融时间序列的波动不是固定 不变的，而是随时间变化的，呈现出时变性。在二十世纪六十年代金融市场的波 动特征就受到了学者的关注。m a n d e l b r o t ( 1 9 6 3 ) 和f a m a ( 1 9 6 5 ) 就提出了在用方差和 协方差刻画投机价格或收益的风险时，其大小具有时性，即存在“大的波动之后尾 随大的波动，小的波动之后尾随小的波动”的波动聚集性和尖峰厚尾的非正态现 象。【3 】【4 】【5 1 波动建模的历史表明，金融市场波动建模的理论和实证研究越来越深入，己经 形成了一个庞大的体系【6 】。其中值得关注的研究结果包括波动的持续性和协同持 续性( b o l l e r s l e v ，e n g l e ( 1 9 9 3 ) ；r a y , t s a y ( 2 0 0 0 ) ：李汉东，张世英( 2 0 0 0 ，2 0 0 1 ) ) 、 不同资产和不同市场之间的联结和溢( j e o n g ( 1 9 9 9 ) ；b r o o k s ，h e n 等( 2 0 0 0 ) ；e n g l e 等( 1 9 9 0 ) ) 、波动相关性的非对称性( 称杠杆效应) ( n e l s o n ( 1 9 9 1 ) ) 等。 在波动性建模研究中有两个重要的发展方向，即多元模型与高频数据模型的 建立、检验和有关性质的研究。e n g l e ( 2 0 0 1 ) 也着重强调了这两个发展方向。多元 模型的实际经济意义不言自明，但由于在过去的波动性建模研究中，多元波动模 型的估计问题还没有突破性的进展，使得多元模型的研究以及建立在此基础上的 波动的协同持续研究进展缓慢。计算机处理能力的提高和高频数据的可获得性己 经为高频模型的发展提供了条件，另外也为了一个以研究市场价格形成过程为目 地的研究领域一市场微观结构理论研究的需要，高频时变波动模型的发展将是一 元模型的新发展领域。 1 2 2 两类模型的发展概述【6 】 目前，对时变方差( 波动性) 建模的方法基本分为两大类，即自回归条件异方差 ( a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k c d a s t i c i t y ，简称a r c h ) 模型i t l 、随机波动 ( s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ，简称s v ) 模型。两类模型不同之处在于：在s v 模型中，方 差即波动性由一个不可观测的变量决定，s v 模型的一个显著的优点是自接与一类 应用在资产定价理论中的扩散过程相联系( m e l i n o ，t u m b u l l ( 1 9 9 0 ) ) 。 s v 模型最初是由c l a r k ( 1 9 7 3 ) 、t a u c h e n ，p i t t s ( 1 9 8 3 ) 、t a y l o r ( 1 9 8 6 ) 等人提出的， 在开始的十余年里，s v 模型的估计几乎是不可能的，但随着计量经济理论的发展， s v 模型的估计问题逐渐被解决，加之这一模型更适合于对金融问题的研究，因此 在二十世纪九十年代又受到人们的关注。在基本s v 模型基础之上，有很多扩展 2 1 绪论 形式。h a r v e y ( 1 9 8 9 1 、h a r v e y , k o o p m a n ( 1 9 9 3 ) 将非平稳成分如季节成分、日内 ( i n t r a - d a i l y ) 成分纳入波动方程中，w a t a n a b e ( 1 9 9 9 ) 在波动方程中引入表示周末效应 的虚拟变量。l i e s e n f e l d ，j u n g ( 2 0 0 0 ) 提出了厚尾s v 模型。h a r v e y 等( 1 9 9 4 ) 、5 0 ， l a m ( 19 9 7 ) 、d a n i e l s s o n ( 1 9 9 8 ) 将s v 模型扩展到多维情况。b r e d i t 等( 1 9 9 8 ) 为了刻 画波动的长记忆性，将s v 模型扩展到长记忆s v ( l o n gm e m o r ys t o c h a s t i c v o l a t i l i t y ，简称l m s v ) 。受h a m i l t o n ( 1 9 8 9 ) 动态模型的启发，s m i t h ( 2 0 0 0 ) 把m a r k o v 转换机制引入到s v 模型中，得到m a r k o v 转换随机波动模型( m a r k o vs w i t c h i n g s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ，简称m s s v ) 。l i um i n g ( 2 0 0 0 ) 提出了一种能够描述波动长记忆 性的随机结构转换s v 模型，称为域转换s v ( r e g i m es w i t c h i n gs t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ， 简称r s s v ) 模型。j e n s e n ，w h i t c h e r ( 2 0 0 0 b ) 将l m s v 模型进行扩展，提出了时变 l m s v 模型。 另一类波动性建模分析的重要工具是e n g l e ( 1 9 8 2 ) 仓0 造性地提出a r c h 模型， 并成功地用a r c h 模型刻画了英国通货膨胀指数的波动的聚集性【1 【8 】。在此后二 十多年的时间里，a r c h 模型的各种变化形式和各种应用研究成果不断涌现。 a r c h 模型的发展主要经历了从a r c h 模型到广义a r c h 模型 9 】【1 0 】即( ；a r c h ( g e n e r a l i z e da u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t y ，简称g a r c h ) 模型，从 线性a r c h 模型到非线性a r c h 模型以至非线性g a r c h 模型，从平稳g a r c h 模型到单整g a r c h 模型以至分整g a r c h 模型，从单变量g a r c h 模型到多变 量即向量g a r c h 模型的不同发展阶段。柯坷，张世英( 2 0 0 4 ) 讨论了a r c h 模型 体系，提出分整增广g a r c h m 模型，将二十多种a r c h 模型归为一体进行了研 究【1 1 】。 1 2 3 小波在时间序列分析中的应用【6 】 传统的时间序列分析可以在时域和频域内进行，而小波则提供了对时间序列 进行尺度分析的方法。频域分析中的频率的概念与尺度分析中的尺度的概念是相 对应的。通常，时间序列的频域分析( 谱分析) 工具可以在尺度分析中找到对应工具， 如功率谱密度函数、周期图、互谱分别对应于小波方差、尺度图和小波协方差， 长记忆过程的自相似性也可以用小波的方法很好地描述。另外小波还可以用于平 滑周期图，分析多重分形性的时间序列，进行预测和季节波动的分离。 1 2 4 小波应用于经济金融的研究现状 截至到2 0 0 6 年】1 月1 0 日，据不完全统计小波分析及其应用的中文文献已达 到9 0 0 0 余篇，最近l o 年内外文文献己达6 0 0 0 余篇，见表1 1 。关于小波分析理 论及其应用专著和优秀硕士博士学位论文已超过1 0 0 0 余本。 重庆大学硕士学位论文 表1 1 小波分析、小波交换、多尺度分析及应用的论文数量 从上表可得到如下启示： 小波分析及其应用研究在国内处于黄金时段，研究热浪一波又一波，涉及 的应用领域几乎涵盖了所有学科门类。小波分析已经成功地应用于经济科学，主 要论文集中在金融波动分析和经济计量分析，小波的经济应用文献的确比较少， 估计在今后5 年是一个热潮。 现阶段国内关于金融波动分析的实证研究比较成功，大量文献都用到了s v 和a r c h 两类模型，但是两类模型的高维理论和实证研究都不成熟，主要是模型 的参数估计和检验存在一定的技术难度。 从已有的统计结果来看，现阶段国内用小波分析工具去研究经济金融问题 的学者比较少，这个研究需要数学者、经济学者和计算机应用学者共同协作。 1 2 5 小波分析在金融波动分析中的应用 目前小波分析在金融波动方面主要用于多尺度分解和降噪，数据特征研究， 异常数据点挖掘等。熊正风( 2 0 0 5 ) 提出金融时间序列分形维估计的小波方法，发现 了金融时间序列的分形特，征【1 2 l ；雷明，文小琴( 2 0 0 5 ) 给出了非线性时间序列的小波 分频预 1 3 1 ；陈军飞、申富饶等( 2 0 0 6 ) 运用小波变换分离出股价指数时间序列的分形 噪声。小波分析用于金融数据的降噪和突变点监测，主要文献有：v u o r e n m a a ( 2 0 0 4 ) 用小波多尺度分析方法分析n o k i a 股价波动率，对小波方差和协方差分析表明个 股收益的时变长记忆特点1 1 4 ；l e e ( 2 0 0 4 ) 用m r a 小波分析了韩国与美国股市之间 的关系，在不同的尺度下发现发达国家有价格波动向发展中国家溢出现象i t s ；g e n y , s e l k 和w h i t c h e r ( 2 0 0 5 ) 用小波分析高频金融数据，发现长期小波动后面可能伴随 4 1 绪论 着一个短期小波动，而对于长期大波动后可就没有大波动，把这种现象叫非对称 垂直依赖性；k i m , s - i n ，f ( 2 0 0 3 ) 用谱分析和小波分析方法发现了经济变量与实际 经济活动的隐含关系【16 】；f u c h i a n gt s u i ，c h i n g c h u n gl i ( 2 0 0 5 ) 给出了时间序列的预 测的小波神经网络方法【1 7 】；g e n c a y ，r s e l c ：u k ，f - w h i t c h e rb ( 2 0 0 0 a , 2 0 0 0 b ) 采用- j 、 波多尺度分析方法研究了股市的非对称风险1 8 】【19 】。 1 3 需要研究的问题分析 本课题认为多尺度分析在金融波动分析方面需要仔细研究下面几个问题： 小波函数选择研究。小波函数不仅是小波分析的重要内容之一，也是金融 时间序列多尺度分析的前提条件，探讨一种或多种适合于金融时间序列分析计算 和预测模拟的小波函数，是研究工作开展的关键问题，这可从已有的小波函数中 选取，或作适当修正，或重新构建新的小波函数。 小波变换算法研究。目前有塔式m a l l a t 算法、流式m a l l a t 和a t r o u s 算法等 多种算法，都比较成熟【2 l l 【2 2 1 。在金融时间序列分析中，研制两种快速小波变换算 法是必要的：一是具有良好压缩功能的小波变换算法，对浩如烟海的金融数据储 存，可节省存储空间和时间，带来巨大经济效益；二是具有扫描特点、能准确跟 踪数据流中每一点变化特性的小波变换算法，便于详细分析计算和预测金融资产 价格和股市波动。结合现代优化算法和数据挖掘技术，探索小波分析在金融时间 序列的结构变点识别中的应用研究。 运用小波多尺度分析研究金融资产收益率的多时间尺度变化特征。小波变 换具有良好的时频局部化特征，能准确地找到时间序列的大小时间尺度( 周期) 和突 变点，据之可以判断目前所处的状态。利用小波变换，揭示金融资产价格时间序 列多尺度特性，从不同的尺度去分析金融市场的有效性和尺度效应，如季节效应、 周一效应、假日效应、周末效应等，为合理开发金融产品、完善金融系统运行管 理机制和优化配置金融资源提供强有力的证据。 加强小波分析与分形、混沌、a n n 、随机理论、信号处理等综合途径研究【2 3 1 ， 充分发挥各自的优点，为金融时间序列预测预报提供更有效、更精确的模型。另 外，对金融时间序列建模分析与预测方面可以运用小波多尺度分析，如单位跟检 验、协整分析与检验、v a r 值的多尺度估计、c a p m 模型的b e t a 值估计等。 在前面的研究基础上，开发一套高精度的投资分析软件。 1 4 本文的结论、结构及创新点 针对1 3 节提出的五个问题，本课题对前三个问题展开了阶段性的研究和分 析，得到了以下三个结论： 重庆大学硕士学位论文 本课题第四章研究了小波变换方法在金融时序分析中变点探测的应用，对金 融时间序列采用连续小波变换，通过分析小波变换模极大值线对应的时序点，提 出了金融时序变点探测的小波模极大值线方法，并对g a r c h - m 模型进行数字仿 真，其结果验证了此方法的实用性和有效性。 本课题第五章提出金融时间序列多尺度g a r c h 建模方法( 记为： m r a ( a r c h ) ，即把金融时间序列多尺度小波系数序列分别建立g a r c h 模型， 从而对小波分解的系数列进行很好的预测，然后把预测的小波系数采用m a l l a t 算 法重构，就得到金融时序的预测值；克服了传统可选择阈值消噪的局限性，提高 了g a r c h 模型的仿真及预测精度。 本课题第六章用m r a - - g a r c h 建模方法和动态模糊聚类分析原理，针对股 票市场预期收益波动，设计出的股票预期收益波动的动态模糊聚类分析算法，将 应用于中国金融市场投资分析，把金融产品按收益波动分为不同的类别，运用该 方法还可以得到未来单个资产的最佳交易时刻，可供投资参考。 研究框架和主要内容 论文将被分为7 章，除开引言和结论与展望外，其余5 章为主体部分。 第2 章小波变换与多尺度分析 第3 章金融时间序列模型 第4 章金融时间序列变点检测的小波模极大值线方法 第5 章金融资产收益波动的多尺度g a r c h 模型研究 第6 章股票收益率波动的动态模糊聚类仿真分析 本文研究的主要创新点如下： 本文在国内外对小波分析及非线性时间序列分析理论研究和实证分析的基础 上，做出了以下创新结果： 理论上探索金融时间序列变点检测的小波模极大值算法设计及基于 m a t l a b 软件的编程实现； 运用小波分析的时频分析优点和强大的变焦性，将金融资产收益率分解到 不同的时间尺度上，充分发现和跟踪金融价值系统的突变点；在最佳时间尺度上 和频域上建模，还市场数据生成过程的最佳模型，从而很好地预测未来。 运用多尺度o a r c h 模型高精度预测资产收益的波动、期望和新息，运用 动态模糊聚类分析算法在m a t l a b 软件上直观地得到资产的最优分类平面。 6 2 小波变换与多分辨率分析 2 小波变换与多分辨率分析 2 1 引言 小波分析理论的思想源于信号分析的伸缩与平移。1 9 8 0 年由m o r l e t 首创，1 9 8 4 年他与g r o s s m a n 共同提出连续小波变换的几何体系，成为小波分析发展的里程碑。 1 9 8 5 年，法国数学家m e y e r 创造性地构造了规范正交基，提出了多分辨率概念和 框架理论，从此兴起小波热潮口2 1 。1 9 8 6 年b a t t l e 和l e m a r i e 又分别独立地给出了 具有指数衰减的小波函数；同年，m a u a t 创造性地发展了多分辨分析概念和理论并 提出快速小波变换算法m a l l a t 算法。d a u b e c h i e s ( 1 9 8 8 ) 构造了具有有限紧支集的 正交小波基，c h u i 和王建忠( 1 9 9 0 ) 构造了基于样条函数的正交小波，至此小波分析 的系统理论得以建立。随后有人又提出了小波包理论和提升小波变换，它是小波 分析理论的进一步发展，理论方面不断推陈出新，如g o o d m a n , l e b r u n 等人提出了 多小波理论( m u l t i ，w a v e l e t ) ，c a n d e s 和d o n o h o 等人提出了脊小波( r i d g e l e t ) 和曲小 波( c u r v e l e t ) 理论，这些理论都是目前研究和应用的热点。 2 2 连续小波变换【2 5 】 定义2 1 如果函酬加即) i 茼足容许条件q 2 l 肾国，且满 足规范化条件i i 妒忙1 ，则称妒( 为基本小波。 若设庐( 国) 在回：o 处连续，则由容许性条件得i 妒( d 出2 庐( o ) 2 0 ，也就是说 伊( x ) 必有正负的振荡的波形，使得其均值为零。这也是成为小波的原因。 定义2 2 设，( z ) 俾) ，妒( 工) 为基本小波，口，b r ，定义厂( 工) 的连续小波 变换为 w f ( a ，6 ) = f ( x ) ial ”2 州。一6 ) 胁 ( 2 1 ) ( i 口i - ，z 伊( 口( 工6 ) ) ) 6 ( 仍) ：i 口r 7 2 爿竺- | a i b 由于 l a ，又由p a r s c v a l 公式，则式( 2 1 ) 司以 改写成 帅，6 ) 2 去脚“2 攻宇如 亿：， 若矿( 工) 及庐( ) 均为窗口函数，设其窗口中心和窗1 2 1 宽度分别为，及 嘭，则由式( 2 1 ) 和式( 2 2 ) 知，w f ( a ，6 ) 反映了信号( 曲在时一频分析窗 【+ 6 一等，+ 6 + 等 西一如，西+ 口】内的局部信息。 藿庆大学硕士学位论文 一般来说，满足容许条件的妒( 工) 就可以作为基本小波了。实际上还要求妒( x ) 具 有一定的正则性，以便乒( 在频域上表现出较好的局部性。因此，要求伊( 曲具有 一阶消失矩性质， 即i ，妒 ) d r 2 0 , p 2 1 ，2 ，一，等价于 型d o j k 。，p = l ，2 ，- ，n 越大越好。 定理2 1 连续小波变换具有如下性质： 设，( 工) 嘲( 工) + 厶( 工) ，贝l j w f ( a ，6 ) = 吼( 口，b ) + w f 2 ( a ，6 ) 设g ( x ) 可( 工一c ) ，则豫( 口，6 ) 2 v e f ( a ，b c ) 设g ( 曲2 - ，( “) ，则w g ( a ，6 ) 刊c1 1 ”w f ( a l c ，b c ) 对，( 力r ( 胄) ，有f 矿( 口，6 ) r 似2 ) ，并r i e l f ( x ) ，g ( r 僻) 有 = c 0 定理2 2v f ( x ) ( r ) ，当，( 叻r ( r ) 时有 ，( 垆寺i ：r v f ( 口，b ) l 口p 妒( 口( 工一b ) ) d a d b 一 育 【2 3 ) 而f 瓦i i 丽n ( 功：e 一“坩m f 竺1 证明：由于 a ，则 f 【：w f ( a ，6 ) i 口| 17 2 矿( 口( x b ) ) d a d b = 去m 于( 功l 口i 2 万瓣“d 如 = 去夕( 功产肌r 硒万胁如 = 老f 夕( ) e “如= 巳，( 实际中大多数连续小波变换只能通过计算机做近似数值计算，将积分变量离 散化为工寸n l ，b 专后z ，则连续小波变换变为 蝎川“2 乏m 酬口( 厅一后 一般情况下，口= 2 0 , 2 - 1 , 2 。2 ，2 ，。采用梯形公式计算近似数值积分，公式( 2 4 ) 化为帅皿) = 卫学薹) 页而丽坝”1 丽而历) 实际计算中，由于处理的信号长度总是有限的，因此在数据的起端和终端 妒( 口o 一后) t ) 将会越出数据之外，如果采用把数据范围外各点，t ) 补零的方法， 计算结果必将产生边界效应而欠准确，通常采用的补救方法是把数据周期延拓或 对称延拓。 由基本小波函数妒( 功经过平移和伸缩得到的子小波函数劬”【功j ”c z 是平方 2 小波变换与多分辨率分析 可积函数空间l 2 ( r ) 的完全正交基( d a u b e c h i 鼯( 1 9 8 8 ) ) ，所以对于任一z ( f ) l 2 ( r ) 可以表示为 即) 2 丕乏既服撕) ( 2 5 ) 其中子小波变换系数既一5j x ( ) 妒”( ) 西。设x ( f ) 为均方收敛的随机过程，则 x ( f ) 的小波变换系数既，。满足p 玎。一2j x ( ) 妒”( f ) d r ) _ “，且为有限二阶矩随机 程( c a m b a n i s ，h o u d r d ( 1 9 9 5 ) ) 。式( 2 5 ) 表明x ( ) 被分割到不同阶的二进频带 ( 垃“石，2 1 “石】中，对于每个尺度系数m ，其所对应的频带相比降低一阶，且小( 大) 尺度m 对应大( 小) 的带宽。 2 3 离散小波变换 从理论上讲，小波系数既，一等于x ( f ) 与p ”u ) 的卷积，但由于实际中x ( f ) 为 一些离散点，所以既，一是通过d w t ( d i s c r e t ew a v e l e tt r 锄s f o r m ，简称d w t ) f i ：i 滤 波系数计算得到而不需计算伊一。以下有关d w t 的内容采用文献p e r c i v a l ， w a l d e n ( 2 0 0 0 ) 的表述方法【硐。 设x 是一个维向量，其分量为实值的时间序列“，t 2 0 ，1 ，2 ，n n ，其中 n = c x 2 “，其中c 为常数，为正整数。x 的小。级部分d w t 是由= w x 给 出的正交变换，其中矿是一个由d w t 系数构成的维向量，w 是一个定义了d w t 的n x n 维实值矩阵( 若n = 2 ”，m 2 耽，则得到完全d w t ) 。d w t 系数向量形 和矩阵w 按以下方式分割： 矿2 【】，w 2 【w lw 2 】 1 其中既2 x ，2 用0 x ，聊2 1 ，2 ，埘o ，这里既是一个心= n 2 ”维的与 尺度o2 2 “上的变化相关的小波系数向量；阡二是一个m “维矩阵；是一 个。o 维与尺度j k2 2 上的平均相关尺度系数向量；是一个m o x 维矩阵。 向量x 也可以由d w t 系数向量合成： w = w r w = 艺以既+ v ：。= d 。+ s 卅- 1 m = l 【2 7 ) 式( 2 7 ) 定义了x 的多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，简称m r a ) b o 将x 分解 为+ 1 个维向量d 。= 以既( 所= 1 ，历。) 和2 ”_ ：o ，称d m 为对应于尺度 7 m 的m 级细节( d e t a i l ) ， o m 。为对应于尺度。的册。级平滑( ( s m o o t h ) 。 在实际应用中，并不明确形成d w t 矩阵w ，d w t 系数向量矿的计算是应 用小波滤波器和尺度滤波器通过塔形算法进行的。一个具有偶数非0 长度的滤波 9 重庆大学硕士学位论文 器 ，= o ，1 ，2 ，一n ，如果满足2 , 2 h ，2 0 和正交性，即 一，= o - 1 h m 一2 恼：i ：，则称之为小波滤波器。尺度滤波器( g ：o 1 ，2 ，工一1 ) 是 由小波滤波器定义的，即g ，5 ( 一1 ) h z - - ，尺度滤波器满足也满足正交性，即 乞i = o g 尚m 2 1 0 以o ，还满足z l s g ，一= o 。 设日( ) 是 f ) 的转换函数，即日( 门2 i = - 0 0 啊e - 1 2 m = z ，。“，p “卵，定义 疗( ，) 刊日( 厂) 1 2 为 啊的平方增益函数，则正交性等价于日，+ 日，+ 言= 2 。 设g ( 。) 和g ( 。) 分别为尺度函数的转换函数和平方增益函数，则有 g ，= 日喳一力，由此可得到 。( ，) + 。( ，+ 三) = 2 ，疗( ) + 。( 厂) = 2 ( 2 8 ) 小波滤波器t “，j 是一个高通滤波器，其通带为4 ”2 ，尺度滤波器 g ，j 是 一 l ，l 一 ，、 一个低通滤波器，其通带为。i f l - 。 设一2 【- l 。，- l ，l ，”，圪一- 以，- 】，塔形算法的第m 步是通过对一一中的 m 一- 个元素的循环滤波并保留具有奇数下标的滤波值，得到第m 级小波系数既，一 和尺度系数吃，分别为： 既，。= ： ，吐：。一一n - 1 ；，。= ：g ，邯一一，一 但9 1 其中，盯50 ，m 一1 ，“a m o d b ，按如下方式定义：如果口为整数，且 0 b - 1 ，则a r o o d b a ；如果口是其它的整数，则口r o o d b ；a + n b ，其中n 是 满足0 4 + n 6 6 一l 的一个整数。由叫陶成向量既，由吃，叶勾成向量吒，即 既5 【既t o 既1 ，既，“_ i - 1 r ，圪5 圪，0 ，吃”，靠一】。令sx ，塔形算法 从m = l 开始循环计算得到聊2 2 ，m 。时的m 0 个小波系数向量既和一个尺度系 数向量圪( m 2 l ，2 ，) 。虽然在实际应用中既，是由塔形算法计算得到的， 但理论上讲，既，也可以直接由x 得到： ，。= = 1 x ：锄+ 。卜1 - ，。n - j 。；一= = 1 9 。j x ：+ 1 ) + ，。n - ( 2 1 们 其中 m 川， g m ，) 分别为m 级等价小波滤波器和尺度滤波器( j 1 1 ，= - h t , g l ，2 9 ，) ， 带宽为m5 ( 2 4 1 ) - 1 ) + 1 。 州，g m 。的转换函数分别为 1 0 2 小波变换与多分辨率分析 一2 m l 巩( ) = 日( 2 “力兀g ( 2 7 ) 瓯( 力= 兀g ( 2 7 力 ，= o 卸 且有日( 门= 日( 门，g 1 ( ，) = g ( 门。滤波器 m ) 是一个带通滤波器， 矛1 百i 卅专；瓴，) 是一个低通滤波器，其通带为。s 吲专。 给定既，可由第脚步塔形算法的逆算法合成一- ，即 ( 2 1 1 ) 其通带为 山2 ：岛阡己“一n - - t + ：g ，吃“一n - - 。拧= o ，l ， - 一，一1 ( 2 1 2 ) 其中虻= 0 孚：三：喜：二i 以= 0 孚n n = ：0 。, ，2 ，, ，- , ，n n , 。a - 一2 。 在序列 既，一) 的元素之间插入一个。形成吃。的过程称为2 插值。 前面所定义的小波滤波器还不足以使得d w t 的小波系数被解释为表示特定尺 度下相邻的两个加权平均相比的变化，d a u b e c h i e s ( 1 9 9 2 ) 义了一类小波滤波系数， 由其产生的小波系数可以作出上述解释。根据定义，具有偶数长度l 的d a u b e c h i e s 小波滤波器的平方增益函数由下式给出： 疗旧( 力= d 。( 厂) 以u ) ，其中d ( f ) = 4 s m 2 ( 矿) 是差分滤波器 1 ，一1 ) 的平方增 以( 门：击芝i 詈一“l 。：，( 矿) 益函数，而 ol l 构成一个低通滤波器的平方增益函 ： 型 数，其中l d j 6 1 一b ) t ，可以证明疗。( 力满足式( 2 1 1 ) 。因此，任何具有平方增 益函数疗。