（应用数学专业论文）多变量细分方程与非齐次细分方程.pdf

摘要 、这篇论文由两个主题组成：多变量细分方程和非齐次细分方程、 y 小波分析的一个主要课题是构造小波基小波基通常由一个多分辨分析 导出：而多分辨分析总是由具有良好性质的细分函数生成在计算机图形学中， 细分函数是光滑曲线和光滑曲面快速生成的主要工具f 见f 1 与 9 ) ) 因此，细分 方程在小波分析与计算机图形学中起着重要的作用在应用中人们常常对限 制在区间上的问题感兴趣，区间上小波的构造关键是边界小渡的构造非齐次 细分方程用于边界小波的构造在f 5 0 1 中，它也用于向量小波的构造到目前为 止，关于l 2 ( r ) 上小波基的构造已经取得丰硕的成果，但是关于高维小波与区 间上小波构造方面的结果还较兜，j 本文主要讨论多变量细分方程和非齐次细 分方程解的存在性，衰减性和正则性； 、 2 这种情况在f 2 1 和 f 3 】中，对一般的伸缩矩阵，细分方程在l p r s ) ( 1sps 。) 中解的存在性用算子 的联合谱半径给出了刻划但是，困扰我们的问题是如何找到满足那里谱半径 条件的细分面具n 在这一章中，我们得到了几个容易实现的判定准则，多个细 分方程的解可以由一个细分方程的解通过迭代算法得到 在第二章，我们刻划了多变量细分函数的衰减性当s ：1 ，m ：2 时， b o n a m i ，d u r a n d 和w e i s s 在( 1 5 j 中用频域方法研究了细分函数的衰减性那里 用到的方法不适用于一般的伸缩矩阵在这一章，对一般的伸缩矩阵m ，我们 用时域方法研究了细分函数的衰减性 在第三章，我们刻划了肘= ( ；j 1 ) 时细分函数的正刚性对一个与 m = f ：1 ，1 相关的m r a ，对应的小波函数有已知的表示式文献f 2 0 1 给出了 1 1 。、 一些与m ：( 1 ，1 11 相关的m r a 的例子这种细分函数出现在对应于二维 图像处理中梅花状子取样的小波构造中细节可参考f 2 6 与 2 9 i a 2 当s = 1 ， m = 2 时，有许多技巧可用来估计细分函数的正则性( 见【l a l ， 1 4 】与 2 3 卜【2 8 ) ， 但是这些技巧不适用于高维情况这一章给出了m = ( 1 ，1 ，1 时细分函数的 s o b o l e v 指数的一些估计 第四章刻划了与一般的伸缩矩阵m 相关的s u b d i v i s i o n 算法和c a s c a d e 算 法之间的联系 第五章讨论了非齐次细分方程在l v ( r ) ( 1sp o o ) 中解的存在性和正则 矿 ab s t r a c t t h i st h e s i sc o n s i s t so ft w ot o p i c s ：m u l t i v a r i a t er e f i n e m e n te q u a t i o na n di n h o m o g e n e o u s r e f i n e m e n te q u a t i o n am a i nt o p i co fw a v e l e ta n a l y s i si s c o n s t r u c t i n g w a v e l e tb a s e sw a v e l e t b a s e sa r eu s u a l l yo b t a i n e df r o mam u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，w h i l eam u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i sc a nb e g e n e r a t e d f r o mar e f i n a b l ef u n c t i o n i nc o m p u t e r g r a p h i c s ， r e f i n a b l ef l m c t i o n sa r et o o l sf o rt h ef a s tg e n e r a t i o no fs m o o t hc u r v e sa n db u r f a c e s ( s e e 1 】a n d 9 j ) t h e r e f o r e ，r e f i n e m e n te q u a t i o n sp l a ya ni m p o r t a n t r o l ei nw a v e l e ta n a l y s i sa n dc o m p u t e rg r a p h i c s i na p p l i c a t i o n s ，o n ei so f t e n i n t e r e s t e di np r o b l e m sc o n f i n e dt oa l li n t e r v a l i n h o m o g e n e o u s r e f i n e m e n te q u a t i o n sa r eu s e di nt h ec o n s t r u c t i o no fb o u n d a r yw a v e l e t s i nf 5 0 】，i n h o m o g e n e o u s r e f i n e m e n te q u a t i o n sw e r ea l s ou s e di nt h ec o n s t r u c t i o no fm u l t i w a v e l e t s s o f a r ，r i c hf r u i t sh a v eb e e no b t a i n e da b o u tt h ec o n s t r u c t i o no fw a v e l e tb a s e sf o r l 2 ( r ) b u tt h ec o n s t r u c t i o no fm u l t i d i m e n s i o n a lw a v e l e t sa n di n t e r v a lw a v e l e t s 1 1 a 5n o tb e e nw e l lu n d e r s t o o d t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h ed i s c u s s i o no ft h e e x i s t e n c e ，t h ed e c a yp r o p e r t y ，a n dt h er e g u l a r i t yo ft h es o l u t i o n st om u l t i v a r i a t e r e f i n e m e n te q u a t i o n sa n di n h o m o g e n e o u sr e f i n e m e n te q u a t i o n s t h i st h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，s o m ec r i t e r i ao ft h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o nt oam u h i v a r i a t er e f i n e m e n te q u a t i o n ，a n dam e t h o do fc o m p u t a t i o no ft h es o l u t i o nt ot h e e q u a t i o na r eo b t a i n e d as c a v a r e t t a w d a h m e n a n dc a m i c c h e l l ii n 【1 】g a v eac r i t e r i o no ft h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o ni nc c ( r 5 ) t oar e f i n e m e n t e q u a t i o nw h e nm = 2 i t h e m e t h o du s e dt h e r ed o e sn o ta p p l yt oag e n e r a l d i l a t i o nm a t r i xm ，e v e nt om = a i ，a 2 i n 2 a n d t h ee x i s t e n c eo ft h e t h es o l u t i o ni n l 9 ( r 5 ) ( 1 p 曼o 。) t oar e f i n e m e n te q n a t i o nw a sc h a r a c t e r i z e di nt e r m so fj o i n ts p e c t r mr a d i u so fo p e r a t o r b u t ，i ti s h o wt oc h o o s ea m a s kas a r i s f y i n gt h ec o n d i t i o no nt h e j o i n t s p e c t r a lr a d i u st h a ttr o u b l e sn s i n t h i sc h a p t e r ，s o m ee a s i l yr e a l i z e dc r i t e r i aa r eo b t a i n e d ，t h es o l u t i o n st oi n a n y r e f i n e m e n te q u a t i o n sc a nb eo b t a i n e db yi t e r a t i o ns c h e m ef r o mt h es o l u t i o nt o ar e f i n e m e n te q u a t i o n i nc h a p t e r2 ，t h ed e c a yp r o p e r t yo fam u l t i v a r i a t er e f i n a b l ef u n c t i o ni sc h a r a c t e r i z e d b o n a x n i ，d u r a n d ，a n dw e i s s ( 【15 】) u s e dt h ef r e q u e n c y d o m a i na p p r o a c ht os t u d yt h ed e c a yp r o p e r t yo far e f i n a b l ef l m c t i o nw h e ns =1a n d m = 2 t h e a p p r o a c ht h e r e i nd o e sn o ta p p l yt o 8g e n e r a ld i l a t i o nm a t r i xm i nt h i sc h a p t e r ，w eu s et h et i m e d o m a i na p p r o a c ht os t u d yt h ed e c a yp r o p e r t y o far e f i l l a b l ef u n c t i o na s s o c i a t e dw i t hag e n e r a ld i l a t i o nm a t r i xm i n c h a p t m 3 t h er e g u l a r i t yo far e f i n a b l ef u n c t i o na s s o c i a t e dw i t hm = ( ；二。) i s c h a r a c t e r i z e d r ”am r a ”s o c i a t e dw i t hm = ( ；二，) ，t n e c o r r e s p o n d i n gw a v e l e tf u n c t i o n h a sk n o w n e x p r e s s i o n t n 2 0 ，s o m ee x a m p l e s o f m r aa s s o e i a t e dw i t h m = ( 。1 二) w e r e g i v e n m 瑚n a n t e r u n c t i o n s u r i nw a v e l e tb a s e sc o r r e s p o n d i n gt oq u i n c u n xs u b s a m p l i n gi nt w od i m e n s i o n sf o r i m a g ep r o c e s s i n g s e e 2 6 a n d 【2 9 3 2 1f o rd e t a i l s w h e n5 = 1 a n dm = 2 i n o s co ft e c h n i q u e sw e r ed e v e l o p e dt oe s t i m a t et h er e g u l a r i t 3 ro far e f i n a b l e f u n c t i o n ( s e e 【1 3 】，【1 4 ，a n d 2 a l 一【2 8 】) ，a n dt h e s et e c h n i q u e sd on o ta p p l yt o m u l t i m e n s i o n a lc a s e i nt h i sc h a p t e r s o m ee s t i m a t e so ft h es o b o l e ve x p o n e u t 。far 曲n a h l ef u n c t i 。nw i 幽们= ( ；二1 ) a r e g i v e p i nc h a p t e r 4 ，t h ec o n n e c t i o nb e t w e e n s u b d i v i s i o ns c h e m e sa n dc a s c a d es c h e m e s a s s o c i a t e dw i t ha g e n e r a ld i l a t i o nm a t r i xm i sc h a r a c t e r i z e d i nc h a p t e r5 ，t h ee x i s t e n c ea n dt h e r e g u l a r i t y o ft h es o l u t i o n si n l 9 ( r ) ( 1 曼p o o ) t oi n h o m o g e n e o u sr e f i n e m e n te q u a t i o n sa r ed i s c u s s e d 致谢 本文是在导师黄达人教授的指导下完成的三年来导师严谨的治学态度， 精深的学术思想和渊博的学识使学生受益匪浅是他教会了我如何做研究工 作，是他教会了我如何做一个数学工作者在此表示衷心的感谢 感谢孙颀磅副教授许多富有启发性的建议和吴正昌副教授，张泽银副教授 的帮助 感谢小波组全体成员有益的讨论 感谢我的家人对我的理解和支持 谨以此文献给所有关心和帮助过我的人们! 第零章绪论 o 1 记号与概念 n = 1 ，2 ，3 ，) 表示全体正整数的集合， z = o ，士l ，士2 ，士3 ，) 表示全体整数的集合， r 表示全体实数的集合， c 表示全体复数的集合 若没有特殊声明，一个数总是指一个复数 对一个给定的正整数s ，冗s ( z s ) 表示实数( 整数) 的s 序对 ( 钆，。，) 的全体，它常被写作如下向量形式 一 对s = l ，r 5 ( z 5 ) 就是r ( z ) ：r 1 = r ( z 1 = z ) ，表示s s 恒等矩阵 给定1spso o 三一( 月5 ) 表示r s 上所有满足t t lb - 条件的函数，作成的 b a n a c h 空间： u i i ，= ( 五。i ( 圳) o 。，对l p o 。， i i f l l o 。= e s s s u p 。r 。| ，( z ) i 类似地，l p ( z s ) 表示z s 上所有满足如下条件的序列n 作成的b a n a c h 空问： | | n 1 | ，：f l 一19 。，对l 兰， o c , k z 。， i j | | 。= s u pi a k l 。 f 0 ( z 。) 表示z s 上所有具有有限支集的序列作成阿线性空间 对，el 1 ( 咒s ) ，我们定义它的傅立叶变换，( ，) 为 ，( f ) = ，( f ) = f ( x ) c 如 j r ， 对z r s ，1 i s ，z ；表示z 的第i 个坐标对d a 。cr ，1 兰i s ，我们 定义羔。a ，： s n a i = 1 5 0 2 背景与主要结果 这篇论文由两个主题组成：多变量细分方程和非齐次细分方程 小波分析的一个主要课题是构造小波基以一维为例，我们要寻找一个具 有良好性质的妒l 2 ( 兄) 使 组成l 2 ( 丑) 的一个标准正交基，其中渤，k z 使 奶，* ( ) lj ，k z ) 作成l z ( r ) 的一个标准正交基的函数妒的一个最古 老的例子是h a a r 函数 f 1 ， o 墨z ， 妒( z ) = 一1 ，i 1s 。 2 这种情况在 2 与3 1 中，对一般的伸缩矩阵，细分方程在l p ( r s ) ( 1sp o 。) 中解的存在性用 算子联合谱半径给出了刻划但是，困扰我们的问题是如何找到满足那里谱半 径条件的细分面具n 在这一章中，我们得到了几个容易实现的判定准则，多个 细分方程的解可以由一个细分方程的解通过迭代算法得到我们的主要结果 是定理1 2 。5 ，l2 8 ，1 3 1 与1 3 4 设s 是一个固定的自然数，m 是一个s s 伸缩矩阵，m = id e tm i 在这一 章，我们研究细分方程 ，( ) = n k f ( m 一) ， ( 1 1 1 ) k c ：z 其中，是定义在r s 上的未知函数，n t o ( z 。) ，并且n 满足：对任意女z 。，都有 n 女一m i = 1 ( 1 1 l o ) j z ， 对i 兰p o 。，我们定义( 兄s ) 上的算子疋：对任意妒l p ( r 5 ) ， l = n k 妒( 肼) k z ， 定义珂：对任意咖驴( 月5 ) 霹妒= 菱& m赫 这种迭代算法被称为s u b d i v i s i o n 算法( 见 1 1 ) 在 1 2 中，s u b d i v i s i o n 算法 被称为c a s c a d e 算法 为叙述方便，我们需要下述引理： 引理1 2 。4 。设m 是一个s s 伸缩矩阵，m = id e t m l 则存在5 个正整数l 三2 ，五。使对任意ze 月s ，都有 s ( z + i i o ，l ，】) nm z 。d ( 1 29 ) i = l 定理1 2 5 设m 是一个满足( j 2 9 ) 豹s s 伸缩矩阵，n 是t o ( z 5 ) 中一个满足 r j1 1 0 ) 的非负序列假设n 满足 s u 酬= ( 如吲) 眦5 z 并且存在一个常数c 0 ，0 c o ( i 1 ，使 ”u ：f d c c 。m ( n ”u 刚t f t 】) t = 1 t = i 对l 茎ig u i - - l i 高k 存在i o ，1 i o 茎s ，满足 若存在一个b i o ( z s ) 使 _ f 注等 s u p p ( b ) cs u p p ( a ) ， 对z 5 ，b k m l = l f z - ( 121 5 ) ( 1 2 1 6 ) ( 1 21 7 ) m h 2 2 并且存在妒c 。( 肜) f o 。( 冗s ) j ，使 妒( - ) = b k t p ( m 一 ) ， ( 12 1 8 ) k e z - 则存在一个紧支集的函数，c 。( 彤) fl o o ( r 5 ) j 使当n 一。时，t 2 砂在c 。( 儿5 ) fl 。o ( 咒。) j 中收敛于，并且，是化jj j 的解 设m 是一个5 5 伸缩矩阵，n 是l o ( z s ) 中个满足( 1 1 1 0 ) ，( 1 21 2 ) ，( 121 3 ) 与( 1 2 1 5 ) 的序列，我们以p 表示m ( n ；：。【玉专兰上，2 宁t 】) 上的m i n k o v s k i 泛函定 义 r = ；。m a x ，k m j 一吣m j l ( 12 2 1 ) ”j ，嗽。岳，阻“胁“ 土 p ( m k m h ) c j t 。 其中c = 热 定理1 2 8 设l p o o ，m 是一个满足亿2 9 j 的伸缩矩阵，o 是f 0 ( z 5 ) 中一个 满足f j 】1 0 ) 的非负序列，并且n 满足n 2 i 砂一f 1 2 1 5 ) a 表示s u p p ( a ) 的基数， r 由f 1 22 1 j 定义假定 a jr m j ，f l2 3 0 ) 存在一个6 f o f z ，) 使 并且存在母l v ( ? s ) 满足 s u p p ( b ) cs u p p ( n ) ， 对z 。，b k - m l = 1 f e z 5 ( 1 2 3 1 ) f l 23 2 ) 妒( ) = 6 k t f ( m - 一女) ( 12 3 3 ) k z ， 那么存在一个紧支集的函数，l p ( r s ) 使当n o o 时，叼廿在l p ( r 3 ) 中收敛 于，并且，是f j ! j j 的解 定理1 3 。1 设m 是一个5xs 伸缩矩阵，是l o ( z 。) 中一个满足，1 0 ) 的非负 序列假定对某s 个数c 。，厶，f 。n 有 j ( z + n ( o ，l d ) n m 2 z 。9 ( 1 3 1 ) 扛= l 对任给。且s 成立， 存在“r s ，k7 n ，使 s u p p ( a ) = ( p + m n ) n z 。， m + 1 = d i a g ( ) , h ， 。) ， 其中n = ；：。【一7 ，7 ， ，存在一个常数c o ，0 c o ，满足 nco o m n ， 对l 茎i 。，罂些立7 。， l c o r r m n n ( z 。 o ) ) 钆 其中c = 惫 若存在一个b t o ( z a ) 使 s u p p ( b ) cs u p p ( a ) ， 对k z 5 ，b e m i = l f p ， 并且存在妒ec 。( 兄5 ) rl ”( r 5 ) ) ，使 ( 13 2 ) ( 13 3 ) ( 13 4 ) ( 1 3 5 ) ( 1 3 6 ) f 1 37 1 ( 1 3 8 ) 妒( - ) = b k 咖( m 一) ， ( 13 9 ) k z ， 则存在一个紧支集的函数fe c 。( 口) fl 。( r s ) j 使当n 一。时，e 妒在c 。( 舻) fl o o ( r s ) ) 中收敛于，并且，是f j ，i ) 的解， 设k n n = n ；：，【_ 7 i ，m 是一个sxs 伸缩矩阵，n 是l o ( z 3 ) 中一个 满足( 11 1 0 ) ，( 1 32 ) ，( 1 34 ) 与( 13 6 ) 的非负序列我们以f 表示m k j + l n 上的 m i n 女。u s k i 泛函，定义 ( 1 3 1 2 】 m 睁 9 瞄wz m i 一2 = 其中c = 且 - - c o 定理1 3 4 设1sp 0 ，矿也是一个拟距离，并且存在常数 c ，o l ，n 2 ，口l 与卢2 使 v ) 当f z ls1 时，c 一1 f z f a p ( z ) 蔓e f z f 函，当f z f 1 时，c 一1 i z r ：茎p ( 。) s c 如 当m = ，时，拟距离的典型例子是欧氏距离h 与i h 其中n 0 给定一个z n 上的序列d 如果对任意整数n 1 ，都存在一个常数c _ 使 对任意k n ，有 i d k c ( 1 + p ( ) ) 一“，( 2 1 1 ) 那么我们称d 多项式衰减；如果存在正常数c 和 使对任意k n ，有 那么我们称d 指数衰减 由拟距离定义中的v ) 知，( 21 1 ) 中的p ( ) 可以被欧氏距离代替 设1 p o 。，el p ( 舻) 如果对任意n 1 ，有，( ) ( 1 + p ( ) ) l p ( r “) ，我 们称，在l p ( r “) 中多项式衰减；如果存在正常数a ，使两) “p ( a p ( ) ) l p ( r “) ， 我们称，在l p ( r n ) 中指数衰减显然，一个指数衰减的函数一定多项式衰减， l r ( r n ) 中一个紧支集的函数一定指数衰减，一【舻) 中一个多项式衰减的函数 一定是可积的 设1 p o o 这一章讨论的细分函数是可积的并且是下面细分方程在 l 一( r “) 中满足f r ( z ) d z = l 的解： = c k ( a ( m 一 ) k z * 其中c ? 1 ( z “) ，e k 2 。c = id e t m l 设是三一( 胛) 上的一个有界线性算子对j n ，定义算子虬：对任意 f l ( r “) ， k ，( ) = ( k f ( m ) ) ( m ) 如果对任意f l p ，当j o o 时，k ，在l ，( ) 中收敛于，那么我们称是一 个逼近恒等元对细分方程( 2 12 ) 的一个解，定义算子 r ：对任意，l p ( i i ! n ) ， ，( ) 2 ，、一f j + o , l p f ( 。一j 2 1 4 则当西的整平移l p ( r n ) 一稳定时，k 是一个有界线性算子 定理2 1 1 设l p 。o ，的整平移是l p ( r n ) 一稳定的，细分方程俾12 ) 的细 分面具c 指数衰减侈项式衰减j 则当l p ( r “) nl l ( 冗“) ，由( 2j4 j 定义的算 子k 是一个逼近恒等元时，妒指数衰减侈项式衰减j 定理2 3 2 设l 0 ，我们定义e 。为 e d5 化，= 乏川刘：= 暑i f d l jj 。 0 ，使对任意j z 2 ，有 l h ， sa e 一口对任意ne ( p ，讵卢) ，我们把l h 限制到e 。上，仍然以l h 表示， 由i 7 1 知它是一个迹类算子 设0 p 0 ，我们称h 满足c o h e n 条件 定义 s 。= ( f l ，) z 2 ：巳一6 ，f 1 0 ) u ( f 1 ，巳) z 2 ：6 墨一f l ，f ls0 ) 如果存在一个包含0 的一个邻域，模2 ”只同余于 _ ”，“】：的紧集k ( 即对任意f 【- ，z 1 2 ，都存在mes 。镦+ 2 7 r m k ，并且i g l = 4 r 2 1 ) ，i 吏i n f ，1 ，f k t h ( m 一f ) i o ，我们称h 满足强c o h e n 条件 定理3 2 1 设0 p 0 ，使 肌) = c o s 譬c o s n 学 q 1 ( 0 ) = 1 ，g l ( ，一j 0 以川表示与川一相关的转移算子假设下列条件之一成立 ( 1 ) q 。在卜”，z 。上没有零点； f 2 1h 满足强c o h e n 条件 则 存在与p 无关的7 l ( o ，纠使对任意的e 。，1 i q 1 ； f b j 的上一一s o b o l e v 指数s ，( ) 满足 s 一( ) j 】v i l o g 。( ，- ) 注对q 。的一些特殊选择，对应的庐生成与m 相关的多分辨分析( 见 2 0 ) 定理3 2 2 设0 p 0 ，使 h ( f ) ：。w 臭驰( ) ， 驰f ) = c 。2 e 。“， ，z 2 对任意jez 2 ，h 2 i a e 一4 i q 2 ( o ) = l ，啦( ，) 0 以k 。表示与，相关的转移算子假设下列条件之一成立 ( 1 ) 9 2 在 一”，n 1 2 上没有零点i ( 2 ) h 满足强c o h e n 条件 邛 舭 延， k m 私譬仆 = 意 0 任 “ 对 则 f a ) 存在与p 无关的7 2 ( 0 ，_ 日l 使对任意的e 。，7 2 0 使对 任意j z 2 ，有 叮1 ( 0 ) = l ，们( f ，一) 0 b l c e 一4 ，与q 2 分别由定理3 2 与定理3 22 定义，则咖的上一一s o b o t c j v 指数s ，( 西) 满 足 一；1 0 9 2 ( 飞胚s 舢) s2 一；l 0 9 2 ( 2 ) 注迹类算子谱半径的计算可参考 7 第四章刻划了与一般的伸缩矩阵m 相关的s u b d i v i s i o n 算法与c a s c a d e 算 法之间的联系我们的主要结果是定理4 2 4 设s 是一个固定的正整数，o l o ( z s ) ，m 是一个s xs 伸缩矩阵。m = id e t m l 以6 表示z s 上的k r o n e c k e r 符号我们定义f n f z s l 上的算子s 。：对任意 a l o ( z 。) 、i z 5 ( i ) = n ( i m j ) a ( j ) ( 4l 】) j z 定义算子序列 础) k n ：对任意a l o ( z s ) $ = 箍心，基 ， 我们称 5 ：) k n 为与m 相关的s u b d i v i s i o n 算法 给定l p 茎o o 我们定义l p ( r 。) 上的算子l ：对任意f l p ( r 5 ) ? 二，( ) = ( i ) ，( m 一i ) ( 4 1 3 ) i z ， 容易看出瓦是妒( 丑。) 上的一个有界线性算子 定义算子序列 露) k n ：对任意f l p ( r 5 ) ， 露，= 菱吖，甚 ， ( 4 ， 我们称 砧) * 。w 为与m 相关的c a s c a d e 算法注意在 2 中，c a s c a d e 算法被称为 s u b d i v i s i o n 算法这种算法常常用于寻找细分方程的解如果存在o l p ( r s ) ， 使当一：d o 时，磁，o 在l p ( r 5 ) 中收敛，那么l i m 一o 。露 是下面细分方程的解： 几) = a ( j ) f ( m 一j ) ，z ( 4 1 5 ) 【2 】用算子的联合谱半径刻划了c a s c a d e 算法的p 收敛性 1 】对m = 2 1 ，是 s s 恒等矩阵的情况证明了以下事实： 如果存在一个r s 上的连续函数，使 那么，是( 4 1 5 ) 的解 女l i m 。i i f ( 2 ) 踟( 训o 。= 0 ， ( 4 1 6 ) 这一章在l p ( r s ) ( 1spso 。) 中建立了 a s c a d e 算法与“b d i v i s i o n 算法之 间的联系 设，是丑8 上一个紧支集的可测函数，如果 ，( 一i ) = 1 ， ( 4 1 7 ) t e z ， 那么我们称，满足一阶矩条件 定义4 2 1 设1sp 。， t o ( z s ) 如果存在一个咒s 上的一致连续函数 使 j i mi i f x ( m 一) 一磷a ( ) 怕n ；= 0 ， ( 1 1 2 1 ) 那么我们称鞋 弱f 一收敛 显然当m = 2 1 ，a = 6 ，p = 。时，( 4 2 1 ) 与( 4 16 ) 一致 定理4 2 4 设1 p o 。，o l o ( z s ) ，m 是一个8 s 伸缩矩阵，是r s 上一个 一致连续函数则以下三个条件是等价的： 存在一个整平移l p ( r s ) 一稳定的，满足一阶矩条件的紧支集的函数讥 使k o 。时，砑咖在l p ( r s ) 中收敛于，i r 2 j 算6 弱p 收敛于，i 对任意一个整平移l p ( r s ) 一稳定的，满足一阶矩条件的紧支集的函数 砂都有k 0 0 时，露j ：! ，在l p ( rs ) 中收敛于，i 而且，当以上三个条件之一满足时，是紧支集的 第五章讨论非齐次细分方程在l v ( r ) ( 1sp 0 0 ) 中解的存在性和正则性 我们的主要结果是定理5 2 3 ，5 2 4 ，5 27 与5 2l i 我们讨论的方程是 n ) = c k f ( 2 一) + g ( ) ， ( 5 1 1 ) k e z 其中，是r 上的未知函数，c 是f ，( z ) 中一个给定的序列，g 是r 上一个给定的 函数序列c 也被称为细分面具，日( ) = 。z c k e “也被称为符号 显然，当g = 0 时，( 5 1 1 ) 是一个细分方程 f 33 在分布意义下讨论了方程( 51 1 ) 解的存在性和正则性 对1 p 墨o 。，在二，( 显) 上我们定义算子亍与r ，算子列 弘) 。e n 与 7 1 ”) 。e n ：对任意g l ”( r ) ， 如( ) = c k g ( 2 一女) + 一( ) k z 于“9 = 亍( 于“一1 9 ) ， t a ( ) 7 g 。 ( 5 2 ) ( 5 ，13 ) ( 5 14 ) ( 5 1 5 ) 其中产g = t 0 9 = g 容易验证t 是三一( r ) 上的一个有界线性算子 设1 p o 。，对任意一个其傅立叶变换是可测函数的分布，我们定义它 的上p s o b o l e v 指数5 。( r ) 为 s ，( ，) = s u p s ：足) ( 1 + 5 三( 兄) ) ( 5 ，l6 ) 定理5 2 3 在f 5 ，tj ) 中，设1 p ( ，g l ( r ) 若k z 0 ，我们定义e 。为 e a2 l i f i l l 对f f f ) = j zl e - u f ，9 ( ) = j e zg j e - 2 j e 。，定义 庐s j g j e 2 ”旧 j 则e 。是一个h i l b e r t 空间，并且 ( 51 7 ) 是e 。的一个标准正交基 设 ( f ) = ，z ：h j e l 满足：存在常数c ，7 0 ，使对任意n z 有 isc e 一，1 w 对任意o ( 7 ，2 7 ) ，定义e 。上的算子 ：对任意f e 。， 我们称n 为与h 相关的转移算子由i z 知，c 一是一个迹类算子 ( 5 1 8 ) 下面，我们给出方程( 5 11 ) 解的s o b o l e v 指数的一个估计首先，我们引用 7 1 的两个结果 结果1 ( 7 ) 设 h ( f ) = ( c o s 2 - 1 ) q ( f ) 其中n 是一个正偶数，g ( f ) = 。zd 。e “f 满足 存在常数c 0 和卢 0 ，使对任意n z ，都有 则存在7 ( o ，口】使对任意p 0 ，l q ( f ) i 一的傅立叶系数e 。满足 ( 1 ) 当q ( ) 在卜”，”上没有零点时， ( 2 ) 当p 2 n 时 其中c 。是一个与p 有关的常数 结果2 ( 【7 ) 设h ( f ) 满足结果中的条件，并且下列条件之一成立? ( 1 ) p 0 ，q ( ) 在卜”，j 上没有零点； ( 2 ) p 2 n ，h 满足c o h e n 条件，即存在一个包含0 的一个邻域，模2 u z 同余 于f 一”z 的紧集k 使i n f j “，( i h ( 2 一- ) 1 0 对任意o ( 7 2 1 ) ，定义，为e 。上与吲一相关的转移算子，r ，为三，的谱半径 则 7 p 1 ， 并且r 。与o ( 7 ，2 7 ) 的选择无关 定理5 2 1 1 在f 5 i j 中，设g l 1 ( r ) fl 2 ( 冗) j ，l 茎p 2 ，符号满足结果2 中的条件，三，与由结果2 定义若墨。t 2 g 在上1 ( r ) r l 2 ( r ) j 中收敛，存在 一个r 上的可测函数g 与n ，；1l 0 9 2r p 使 0 ( f ) lsg ( ) ls i n ”2 - 1 l n - ；l 0 9 2 g t o o ， 其中g j _ 怕“( 1 - i ) 。i f i 。川。，对任意sc 冗，x s 表示s 上的特征函数 则对f 5 i j j 的任意解，都有 s p ( 毋) 一；1 l 。9