（应用数学专业论文）集值优化问题的ε超有效解和benson次微分.pdf

摘要 摘要 在局部凸拓扑线性空间中引进了集值向量优化问题的f 一超有效解的概念 在目标函数和约束函数均为内部锥类凸的假设下，利用凸集分离定理建立了关 于一超有效解的标量化定理，利用择一定理碍到了e - l a g c a n g e 黍子定理 定义了集值映射在b c n s o n 真有效意义下的次微分，在一定的条件下，利用 凸集分离定理证明了次微分的存在性，得到了次微分的若干性质，给出了目标 函数参数扰动和约束值序扰动集值优化问题在b e n s o n 次微分意义下的稳定性 关键词：一超有效解；内部锥类凸性；参数扰动；序扰动：稳定性 a b s t r a c t a b s t r a c t i nl o c a l l yc o n v e xl i n e a rt o p o l o g i c a ls p a c e s ，t h ef s u p e re f f i c i e n ts o l u t i o nf o r v e c t o ro p t i m i z a t i o nw i t hs e t - v a l u e dm a p si si n t r o d u c e d u n d e rt h ea s s u m p t i o no ft h e i c - c o n e - e o n v e x l i k e n c s so fs e t - v a l u e dm a p s , b ya p p l y i n gs e p a r a t i o nt h e o r e mf o r c o n v e xs e t s ，t h es c a l a l i z a t i o nt h e o r o m sa l ee s t a b l i s h e d b yu s i n gt h ea l t e r n a t i v e t h e o r e m t h e 占一l a g r a n g em u l t i p l i e rt h e o r e m sa r ed e r i v e d t h es u b d i f f e r e n t i a lo fb e n s o np r o p e re f f i c i e n c yi si n u o d u c e d , u n d e rs u i t a b l e c o n d i t i o n s ，t h ee x i s t e n c e o fs u b d i f f e r e n t i a la r ep r o v e da n dt h e p r o p e r t i e so f s u b d i f f e r e n t i a la l ed e r i v e d , b ya p p l y i n gt h ec o n v e xs e ts e p a r a t i o nt h e o r e m ；t h e s t a b i l l t yo fs e t - v a l u e do p t i m i z a t i o nw i t hp e r t u r b e dp a r a m e t e ro f0 b j e c t i v ef u n c t i o n s a n dp e r t u r b e d0 r d e ro fe o n s t r a i n ts e t sa l ei n v e s t i g a t e di nt h es e n s eo fs u b d i f f e r e n t i a l d e f i n e du n d e rb e n s o np r o p e re f f i c i e n c y k e yw o r d s ：- s u p e re f f i c i e n ts o l u t i o n ；i c - c 舳e e o n v e x l i k e n e s s ；p e r t u r b e d p a r a m e t e r ；p e r t u r b e do r d e r ；s t a b i l i t y i i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得直昌太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：舭签字日期：2 加占年，月；日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论 文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌太堂可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术 信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：螽功双 导师签名： 衙吠 签字日期：溯8 年月弓日 签字日期：九帕多年f 月夕日 第1 章引论 第1 章引论 新兴的向量集值优化理论在微分包含、逼近论、变分学与最优控制等领域 均有广泛的应用，集值优化问题在各种解意义下的最优性条件是其中的重要组 成部分，是建立现代优化算法的重要基础，有重要的学术价值另一方面，集值 优化问题的稳定性是优化理论的重要组成部分，向量优化的稳定性通过研究各 种适定性取得了丰富的成果但是序扰动和参数扰动的稳定性的研究文献却不 多，因此研究这些问题自然就有十分重要的意义本章主要介绍近似解、凸性 的推广和稳定性的研究背景与现状以及相关的预备知识 1 1 研究背景和现状 向量优化理论的近似有效解与著名的e k e l a n d 变分原理之间存在紧密的联 系，近年来，对近似解的研究引起了人们的广泛关注f 1 - 9 1 w c i d o n g r o n g 等在【5 】中， 在目标函数和约束函数均为锥次类凸的条件下建立了s 弱有效解的标量化定 理、- l a g r a n g e 乘子定理、f 鞍点定理等；并在( 6 】中，在目标函数和约束函数均 为广义锥次类凸的条件下建立了e 真有效解的标量化定理、f l a g r a n g e 乘子定 理凌晨【8 月j 在集值映射是广义近似锥次类凸的假设下，建立了赋范线性空间的占 超有效解的鞍点定理，对偶定理，标量化定理和pl a g r a n g e 乘子定理徐义红在 【l o 】中对严有效性给出了k u l m - t u c k e r 型和l a g r a n g e 型最优性条件另一方面， 凸性的概念在不断推广，1 9 9 7 年z e 和c h e ngy i n 】提出了锥次类凸的概念， 随后x m y a n g 等1 1 2 】引进了近似锥次类凸的概念，2 0 0 5 年，只h s a c h 【廿】引进了一 种新的凸性内部锥一类凸( i c - c o n e - c o n v e x k k e n e s s ) ，并证明了其为锥次类凸 和近似锥次类凸的推广，因而是目前最广义的凸性本文在目标函数和约束函 数均为这种凸性的假设下，在局部凸空间中引进占超有效解的概念，建立了占 超有效解的标量化定理和l a g r a n g e 乘子定理 数学规划问题的稳定性是优化理论的重要课题之一许多文献对向量优化 问题的稳定性作了研究，并取得了丰富的成果b e d n a r c z u k e 1 1 4 l 首次提出了向量 优化b 一适定的概念，并研究了向量优化问题的稳定性，研究了向量优化问题有 效解集在上h a u s d o r f f 意义下的稳定性h u a n g x x 【1 5 】将向优化问题的广义适定 第1 章引论 性推广至集值优化问题，提出了集值优化问题的广义适定性，并讨论了集值优 化问题的稳定性盛宝怀在【2 9 】中给出了 k 1 1 s o n 真有效意义下集值映射 f ：j 一2 r 在( x 0 ，) ，。) 点的广义梯度的概念侯震梅在 1 6 1 q b 讨论了目标函数扰动 的集值优化问题在上半连续意义下的稳定性，并在广义适定性条件下。证明了集 值优化问题在上半连续意义下的稳定性胡毓达等【1 7 】定义了集值映射分别在有 效，弱有效点集在次微分意义下的稳定性，并讨论了当问题的控制锥序扰动时， 多目标规划问题分别在锥次微分和锥弱次微分意义下的稳定性本文将在 b e n s o n 真有效意义下引入集值映射的次微分，从而讨论集值优化问题b e n s o n 真 有效点集在次微分意义下的参数扰动和序扰动对的次微分稳定性 1 2 预备知识 设x 是拓扑线性空间，y 和z 是局部凸拓扑线性空间。c 和d 分别是l r 和z 的闭凸点锥，y 和z + 分别是l ，和z 的拓扑对偶空间如果时是y 的非空子 集，m 的闭包、内部和生成锥分别表示为c l m 、i n t m 和c o n e m d 的对偶锥定义 为d 一 ，z ：，“) 2 0 ，v d e d 对于c 的非空凸子集b ，如果o 岳c 坍，并且 c c o n e b = u 柚eu x x ：x e b ，则b 称为c的基，记 h o 卸 c - 厂矿：，o ) 己o ，v x c 。b ”- ( y e y + ：存在bo ，使得厂( 6 ) 2 f 场研 设e 为x 的任意子集，若对任意的，x 2 e e ，a 【o ，1 】均有机+ ( 1 一a k e e ， 则称e 为z 中的一个凸集 在优化问题中充分条件的给出少不了凸往的假设，我国的学者先后给出了类凸 性，次类凸性，广义次类凸性，近似锥次类凸性，分别定义如下 令f ：x _ 2 r ，cc y 为凸锥且i n t c 乒妒 1 ) 称f 在工上是c 一类凸的网，若对坛。，x 2 e x ，v a ( 0 舯，有 凹“) + ( 1 一口) f ：) c f 暖) + c ； 称，在x 上是c 一次类凸的哆9 9 3 0 e i a t c , ，工，墨，v l o 洧 口4 - a f ( h ) + o - a ) f ( x 2 ) c f ( x ) + c ； 2 第1 章引论 2 ) f 称为是x 上的广义c 一次类凸的鳓，若3 0 e i n t c ，使得 奶h ，x 2e x ，v 口( 0 nv o ，j ，7 0 ，使得 卵+ 西瓴) + ( 1 一a ) e ( x 2 ) c 矿) + c ； 3 ) 称集值函数f 是4 上的近似c 一次类凸的嘲，若c 口鲫e 似) + c ) 是凸的 在这些凸性中近似次类凸是一种最广的概念，已被成功的运用推导各种有效性的充 分和必要条件，且定义中对锥d 和e 不要任何拓扑性质，但是当用它证明最优性结 果时，锥具有非空内部的条件必须满足。为此，2 0 0 5 年，p h s a c h ”1 介绍了一种新 的广义凸性，叫做内部锥类凸，它是近似次类凸的推广，其定义如下： 定义1 2 , 1 嘲称集值映射f ：x 一2 y 是内部锥c 类凸的 o c - c o n e o c o n v e x l a e )，如果i n t c o n e ( f ( x ) + c ) 是凸的，并且 c o n e ( f ( x ) + c ) c c l i n t c o n e ( f ( x ) + c ) ，其中f ( x ) - uf q ) d 由定义1 2 1 可知i n t c o n e ( 1 c ( x ) + c ) _ 刀，否则定义1 2 1 中的第二式不成立 设i n t c d ，m 的有效点记为e ( m ，0 ，即y e e ( m ，c ) 当且仅当 一y ) n ( - o - m 的弱有效点记为腮( 肘，c ) ，即ye w e ( m ，c ) 当且仅当 ( 膨- y ) n ( - i n t c ) - g 定义1 2 2 1 1 i 设彩乒m c y ，y c m ，如果对于】，中的任意零点邻域y ，存在 - - + 删u ，使得c l ( c o n e ( m y ) ) n ( u c ) c v ，则称) ，为m 的关于锥c 的超有效点，记为y e s e ( m ，0 7 注1 2 1y e s e ( m ，0 当且仅当对y 中的任意零点邻域y ，存在一个零点邻 域【厂，使得c o n e ( m y ) n - c ) c v 以上的定义是假设】，是局部凸空间的，如果y 是赋范向量空间，则超有效点 3 第1 章引论 豹定义又是另外一种形式，兵定义如下： 定义1 2 3 岱2 1 设彩，mc y ，) ，m ，如果存在厨 0 。使得 c l ( c o n e ( m 一刃) n p c ) c 露b ，则称) ，为肘的关于锥c 的超有效点 凌晨在e s 中定义了赋范向量空间中的g 一超有效解，定义如下： 定义1 2 4 嘲设g m c 】，】，村，z e c ，如果存在厨 0 ，万( 0 ，1 ) 使得 c i ( c o n e ( m + 磊- y - - ) ) n ( b - c ) c 厢b ，则称y 为m 的关于锥c 的一超有效点 盛宝怀在【2 9 】中给出了b e n , s o n 真有效意义下集值映射f ：x 一2 r 在( ，y 0 ) 点的广义梯度的概念 定义1 2 5 2 ，3 设f ：x 一，( 而，y o ) e g r a p h f ，则集合 护( x o ，y o ) 一口工( z ，y ) ：o r p e ( ( d f ( x o ，y o ) - t x x ) ，c ) ) 称为b e n s o n 真有效意 义上f 在 o ，使得币移) t ，v b e b 下面证明：y e e 一舾( f 似) ，c ) 如果不成立，则存在一个零点邻域k ，使得对任意的零点邻域u ，有 c o n e ( f ) + 一y ) n ( u c ) 证v o ， ( 0 ) 表示零点邻域基，则对于任意砜( 峨存在苫o 儿，“) ， q e c ，乙u o ，使得 乞( 咒+ 一刃一气一巳芒， ( 2 1 7 ) 显然毛一0 ，因此烈乙) 一0 设q 饨，九o 屯e b ，则页气) - 屯弛) 七, k t 先证初h ) - , 0 ，否则气一0 ，由b 是有界的，得气一0 ，则气一c - 一0 与 毛一巳圣矛盾由烈巳) 中o 且讹) 0 ，顽乙) 一0 ，故存在u e n ( o ) ，使得 。；_ ( 毛，) 一币i ( 巳) 0 ，其中气u ， 再由式q 1 7 ) 知，存在蚧尹似) ，使得议咒，+ 占一y - - ) o ，即试乃 尹( 咒，) + 议) ， 这与式( 2 i 6 ) 矛盾因此( i ，刃是( s o p ) 的f 一超有效元 2 2 占一l a g r a n g e 乘子定理 定义( s o p ) 的集值l a g r a n g e 映射工：x o l ( z ，y ) 一2 y 为 0 ，t ) 一f o ) + r ( g ( z ) ) ，其中( z ，r ) 蜀( z ，y ) 考虑( s o p ) 的无约束向量优化问题： ( u w ) t r a 觚i n 似巩r 丘( z ，l ，) 引理2 2 1 ( 择一定理) 嘲设f 是内部锥c 类凸的，则下面陈述有且仅有一 个成立： ( a ) 0 h a t c o n e ( f ( x ) + c ) ； 9 存在，c 。 m ，使得辟i n f ，( ) ，) 苫0 定理2 2 1 设c 有一个有界基曰，如果( _ ，刃是( s 0 p ) 的g 一超有效元， o g ( x - ) ，日 ) - ( f “) + 一歹) x g ) 在凰上是内部锥k 类凸的，其中 k c x d ，存在z x o ，使得g ( x ) n ( 一i n t d ) ，彩，则存在f e l ( z ，y ) ，使得 ( 一歹) 是( 【j 的e 一超有效元，且一f ( g ( x - ) n ( - d ) ) c c ( e + c 0 ) 证明：由于( t 刀是( s o p ) 的f 一超有效元，从定理2 1 1 的证明过程中知，存 在一个开、凸、平衡零点邻域u ，使得 下面证明 c o n e ( f o ) + c + f - f ) n ( v - b ) - 力 ( f 0 4 ) + c + f - f ) n i n t c o n e ( u 一口) - 0 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 否则，如果存在_ ) ，+ ( f 似) + c + # - y ) n i n t c o n e ( u - b ) ，则存在y o e f ( a ) ， c o e c ，t o 【，b o e e ，九 0 ，使得y i y o + c o + e 一歹= 九( 一6 0 ) ，由于 一c + i n t c o n e ( u b ) c i n t c o n e ( u 一嚣1 ，可知 y o + 一歹一九( u o 一6 b ) 一c o i n t c o n e ( u b ) ， 于是，存在0 ，雎u ，b e b ，使得九“- b o ) 一c ot a 7 0 一b ) ，由此可得 1 击( ) ，o + s y ) - u 一b 7 c o n e ( f ( a ) + e - y ) n ( u - b ) c c o n e ( f ) + c 一刃n 缈- b ) 这与式( 2 2 1 ) 矛盾设s - h ( a ) + c o n e ( b - u ) x d ，下证 ( o ，0 ) 圣i n t c o n es ( 2 2 - 3 ) 否则，由( o ，o ) e i n t c o n e s 知，存在l ，中的零点邻域u y 和以，使得 巩x u zc c o n e s ， ( 2 2 4 ) 蔓! 童由垫丝耋凸堡笪垡垡塑曼= 塑立垫箜 由于c o n e ( b u ) 是具有非空内部的凸锥，则存在d 。e i n t c o n e ( b - u ) ，使得 一d u y 0 ，f h 式( 2 2 4 ) 并注意到( - - a , 0 ) e v , x u z ，故存在a o ，x e x e ， ( ) ，z ) 6 f ( x ) x g ( x ) ，p ，e ) e e o n e 埂b - u ) x d ，使得 一d 一a ( y + - y + d ) ； ( 2 2 5 ) 0 - x ( z + e ) ( 2 2 6 ) 由a ，o 和式( 2 2 6 ) 得z 一叫_ d 因此，z e g ( x ) n ( - o ) ，即x 彳另外，由式 ( 2 2 5 ) 得 y + e - 歹- 一去d 一d e i n t e o n e ( b u ) 一c o n e ( b u ) c - i n t c o n e ( b - u ) - i n t e o n e ( u - b ) ， 这与式( 2 2 2 ) 矛盾，因此式( 2 2 3 ) 成立 因为目是内部锥一爱类凸的，由引理2 2 1 ( 择一定理) 知，存在 佃，t p ) e c o n e ( b v ) y d ( 0 ，o ) ，使得 ，t p x f + e - y , g x x o ) z o , 于是 “y ) + 妒0 ) + 妒p ) 苫妒( 刃，v o , ，z ) e 堕妒，g ) o ) ( 2 2 7 ) ，o d 接下来证明妒0 否则，妒d 、 0 ，由式( 2 2 7 ) ，v z e g ( x , ) ，有妒o ) 0 由假设存在z x o ，使得c ( x ) o ( - i n t d ) ，彩取z e g ( x ) n ( - i n t d ) ，则 妒( z ，) t 0 ，矛盾 f h q , 6 c o n e ( b u ) n 0 ，有妒p ) 之妒 ) ，v b e b ，u 6 u 由于妒o ，g u 是 开凸零点邻域，贝| j 存在一个 。f ，使得妒( 1 l o ) - l o ，故v b b ，妒( ”1 因此， 舻丑。 由此，可以取到石c 、 o ，使碍9 ( _ ) - 1 。定义如下映射： f ( z ) 妒( z ) tv z e z ， 由于的定义可知f e t ( z ，y ) ，并且妒( f q ) ) 一妒o ) 由 箜! 重由壑堡耋鱼釜焦垡垡塑墨二塑宣塾堡： o g 侈) ，罗俨+ 于( g ) x 习，并由式( 2 2 7 ) 褥 9 ( ) ，) + 认e ) 苫妒( 力，v y u ( f + 粥) 0 ) | 七 o 因此，( 不刃是黼r a i n 妒( f + 面) ) 的一最优元- 由妒b 4 和定理2 1 2 知， ( 五罗) 是( u v p ) r 的g 一超有效元对于忱g ( 习n ( 一d ) ，有妒( z ) s 0 ，因此 - t 0 ) - 呻0 声e c 下证一( z ) 譬+ c o ，否则，一最z ) e + c o ，从而# + 氟z ) e - c o ， 由妒e 可得“) + 烈稚) ) t o ，烈) + 妒( 力t 0 另一方面，在式( 2 2 7 ) 中，设 x i ，y 。y ，可得9 0 ) + 1 ：f r 0 ) 2 0 ，矛盾所以一f ( 6 ( x - - ) n ( - n ) ) c c ( + c 、册) 定理2 2 2 设c 有一个有界基口，i 4 歹f 暖) ，如果存在于t ( z ，1 ，) ，使得 o r 尹( g ( - ) ) ，且( t 刃是( u v p h 的一超有效元，则( - ，歹) 是( s o p ) 的一超有效 元 证明：令舭) 一工k 而一f ) + 承g ) ) 歹f c f + 形伍) 一妒( x - ) c 妒暖) ， 由( 五刃是( u v p ) - r 的s 一超有效元，有歹一跖( 妒( x ) c ) ，再由引理2 1 2 得 歹一跖( 妒( 工) + c ，c ) 于是，对于任意l ，的零点邻域矿，存在一个零点邻域u ， 使得 c o n e ( 驴( x ) + c + - y ) n 缈一c ) c v ( 2 2 8 ) 另一方面，由 4 知，g d ) n ( d ) d ，于是，存在z i e g ( x ) ，使得乙6 5 - d ， 由定理2 2 1 知，一虱毛) c ，从而c 一氟毛) c + c c c ，故c c f 瓴) + c ，于是 c c 于p ( 工) ) + c ，因此 f ) + c + - y - u ( f o ) + c + 一刃cu ( f o ) + ， o ) ) + c + 一y - - ) cu ( f ( x ) + 于( g ( 工) ) + c + e 一力一妒( x ) + c + - f ， 进而 1 2 星! 垩堕塑堡耋凸叁焦垡丝丝= 鱼宣塑 c o n f ( a ) + c + 5 一乃c c o n c ( o ( x ) + c + f 一刃 再由式( 2 2 8 ) 得 c o n e ( f ( a ) + c + f 一刃n a = ，- c ) c v 由e 一超有效解的定义可知，歹g 一舾( f 似) + c ，o ，由引理2 1 2 得 y e e s e 俨口) ，c ) 因此，( 瓦刃是( s 0 p ) 的8 一超有效元 下面的推论是定理2 2 1 和定理2 2 2 的直接结果 推论2 2 1 设c 有一个有界基，i 彳，y e f ( 习，( f o ) + e 一只g o ) ) 在磊 上是内部锥一c x d 一类凸的，存在x 蜀，使得g o ) n ( 一i n t d ) g ，则( - ，刃是 ( s o p ) 的一超有效元当且仅当存在于丘( z ，1 ，) ，使得0 y 于( g ( 习) ，且( 不刃是 ( u v p ) r 的s 一超有效元 第3 章参数扰动和序扰动集值优化的次微分稳定性 第3 章参数扰动和序扰动集值优化的次微分稳定性 设x 为拓扑线性空间，1 ，z 为b a n a c h 空间，石，y ，z 分别为j ，l z 的 拓扑对偶空间设mc y 且m 一妒我4 f 以e l m ，i n t m ，c o n e m 分别表示m 的闭 包，内部和生成锥k c y 为内部非空的闭，凸，点锥且k i i n t k u ，k 的 对偶锥f 定义为k 一 k y ：七( 七) 之0 ，k e k ，这里k ) 表示k 在k 处的值 ij 本章给出了集值向量优化及凸分析有关的几个概念，引用了几个重要的引 理，特别是定义了集值映射在b e n s o n 真有效意义下的次梯度和次微分概念，分 别在第1 ，2 节研究并得到了集值优化的目标函数参数扰动和约束值序扰动时的 次微分的稳定性结果 3 1 参数扰动集值优化次微分稳定性 定义3 1 1 l 姗集值映射，：z 一2 r 称为是k 一凸的，如果对任意的 葺，而e x ，x e ( 0 , 1 ) 有 2 f “) + ( 1 一a ) f ( 而) c f ( 概+ 0 - x ) x 2 ) + j - ( 集值映射，：x 一称为是一严格凸的，如果对任意的玉，而e x ，a ( o ，1 ) 有 2 f o c l ) + ( 1 一a ) f ( 屯) c f ( t 蕾+ ( 1 一a ) 吃) + i n t k 定义3 1 2 咖称x 是k 一半紧的，如果对任意的形如 ( 屹一e l k ) c ：x o x ，口e a 的开覆盖都有有限子覆盖，其中a 为指标集 定义3 1 3 t 3 t 称集值映射，：x 一2 r 是k 一半连续的，如果对任意的) ，l r ， 集合，。1 仔一c l , o 一扛z ：，仁) y 一枷毋是闭的， 定义3 1 4 嗍设ac y 为非空集，kc y 为凸锥，s 的b e n s o n 真有效点集定 义为：髓口，k ) 一 y 爿：d e o n e ( a + k 一) ，) n ( 一k ) 一怫 1 很明显 1 4 第3 章参数扰动和序扰动集值优化的次微分稳定性 p e ( a ，k ) ce 似，k ) 考虑如下的集值优化问题( s o p ) f n f m f ( x ) 1 s j 工4 - x e x ：g o ) n ( d ) 孵。 其中f ：z 一2 r ，g ：x 一矛，d 为z 中的锥，如果存在而爿，使 f ( x o ) n p e ( f ( a ) , k ) 彩，则称k 为( s o p ) 的b c n s o n 真有效解，若而4 且 y o e f ( x , ) n p e ( f 叫) ，k ) ，则( ，y o ) 是( s o p ) 的b e n s o n 真有效元 定义3 1 5 设，：工一2 r 是集值映射，恕t p e i n t k ，若有f ( ) ，使得 一妒( 而) p 船( u 【f ( 工) 一妒o 汩】，磊勺，则称伊z 。是集值映射f 在而关于y 0 相 对于p 的芷一次梯度( 或k - b e n s o n 次梯度) ，f 在点处的所有相对于p 的k 一 次梯度的集合称为f 在点处相对于p 的k 一次微分( 或k b e n s o n 次微分) ，记 a f ( x o ) p ，若a ，( 而l _ 妒，则称f 在点而相对于p k - b c n s o n 次可微的 引理3 1 1 m 设彳亡y 是非空集合，k c y ，贝i j e ( a ，k ) 一e ( a + k ，k ) 引理3 1 2 咖设锥qc y 及对偶锥q c y + ，如果q q 、 q ) ，q 6 i n t q ， 猁口( d ，o 定理3 1 1 设f o ) # a ，对任意的z 石，存在口】r 使得f o ) c a k ，如果集 值映射f 在羔上是k 一凸的且在上是k 一严格凸的，妒( ) ，研乃，则 a f ( k 彩 。、 证明：考虑f 的k 上图象： ， 叩俨t o ，) ，) ：x 6 x ，y e f ( x ) + j l ： 。 ( 3 1 1 ) 由于f 在x 上是k 一凸的，知e p i f 是凸的，事实上，任取“，m ) ，心，y z ) 6 e p i f ， 有 第3 章参数扰动和序扰动集值优化的次微分稳定性 y 1 f ( 而) + k ，y 2 c f ( x , ) + t c ， 由于f 在x 上是k 一凸的，又k 是凸锥，故对慨( o 1 ) 有 红+ 8 一五) 屯石， 以及x y , + 0 - x ) y 2 a ( 墨) + ( 1 一a ) f ( 屯) + k c f ( a x 1 + ( 1 一a 心) + k ，由式( 3 1 1 ) 知 ( x x x + ( 1 一a ) 】，2 ，a y l + ( 1 一x ) y 2 ) e p i f 所e p i f 是凸集 由已知存在口e y 使 f ) ca - k ，v x x ， ( 3 1 2 ) l r y , 一口+ p ，则y o 一口- p e i n t k ，因此，存在零点邻域q y 有 矾+ y o 一4 c k ( 3 1 3 ) 由式( 3 1 2 ) 知对任意的x e x 和咒f o ) 存在见e k l 蠕 y t a p - t 从式( 3 1 3 ) 和k 是凸锥易知 以+ y o 一儿- u + y o 一口+ 见c k ，戡x 因而 “+ ) ，o 虬+ k c f ( ，) + k ，v x x ， 据此，由式( 3 1 1 ) 有 o ，y ) 印i f ，v xe x ，re v , + ) ，o ， 因i n t x 和“+ y 0 都是开集，故得到 下证 i n t ( e p i f ) 彩 ( 3 1 4 ) ( x o ，) 圣i n t ( 印i f ) 1 6 ( 3 1 5 ) 第3 章参数扰动和序扰动集值优化的次微分稳定性 若不然 则存在u ：( 0 r ) ，使得 对p i n t k 和是吸收集，知 ( x o ，y o ) 6 1 i n t ( e p i f ) ， ( ，+ 以) e e p i f ， j a 0 ；童f 一 p 观， 于是 蜘一a p e f ) + k 因此，存在，瓴) ，七e k 使得 y n 一九p y + k ， 即有 ，一一一砌- k 7 e - i n t k c k 、 0 ， 这样，y 。q e e ( f ( x o ) ，k ) 因此圣咫( f ( ) ，k ) ， 导致与已知矛盾 从e p i ( f ) 是集以及式( 3 1 4 ) 和式( 3 1 5 ) ，根据凸集分离定理可知，存在 佃，妒) 石x l ，。，和，妒) 一( o r ，q ) ， 使得 妒o 一而) + 妒( y + 七一) c o , v x e x ，咖f o ) ，v 七仨k ， 即 矿( x ) + 妒( y + 七) s 妒瓴) + 妒o ，o ) ，k 6 1 k ，0 1 6 ) 在上式中有妒毒町，否则，若妒- 町，则有驴 一而) o ，工j 由i n t z 知， 存在开，凸，平衡的邻域矿( ) 使得 而+ f l e x ， 第3 章参数扰动和序扰动集值优化的次微分稳定性 任取o ，矿矿，贝f j a 矿只五( 0 ，1 ) ，于是 妒( 土订so ， 因此妒一，此与，妒) 聋蛾，) 矛盾 在式( 3 1 6 ) 中取x = x o ，y 一知1 | f - ) o ，k e k ，注意到妒，o r ，因此 妒一k m ， 下面进一步证明有 识x - x o ) + 妒( ) ，+ | | 一y o ) o 若假设f 在处b e n s o n 意义下相对于p 不是次可微的，则对 e p e ( f ( x o ) ，1 0 ，f 在处b o n s o n 意义下相对于p 的次梯度不存在，由定义 3 工5 及d ，o ，易知9 不是f 在粕相对于詈p 的次梯度，因此，有 一妒) 詈p 隹腰( 望陋 ) 一矿 ) 詈p 】 k ) ， 则存在c c 配伽e 世f f d ) 一烈善一矗) 吾p 】+ 习n ( 一k ) 且c - ，因而可找到 毛z ，h f 阮) ，k ，屯，0 ，且c - 渤九【n 一) ，。+ 驴。一而) 詈p + 】，由一k 的 定义，知一i n t k 一、 m ，因此，c 一i n t k ，由引理3 1 2 知 妒( c ) o ( 3 1 1 3 ) 另一方面， 第3 章参数扰多和序扰动集值优化的次微分稳定性 妒( c ) 。熙毛【妒( 只一) + 伊瓴) 一妒) + 妒( ) j ， 由式( 3 1 6 ) 得 妒( c ) so ， 与式( 3 1 ，1 3 ) 矛盾，定理得证 考虑下面的参数优化问题： ( s o p ) ，js m l i n 工妒( x 5 , q 妇) ) cz 其中集值映射s ( q ) 由( s o p ) 。的可行集所定义，l 是拓扑向量空间v 中的非空 集，( s o p ) 称为原始问题，( s d p l 称为含有参数g 的扰动问题 由参数优化问题的b e n s o n 真有效点集的定义的集值映射如下： p e ( q ) 1 p e ( 妒( s ( g ) 日) ，k ) ，qe l 本文假设您q ) 一咫( 妒( s ( 鼋) 理) 砷彩，q e l ， 定理3 1 2 设妒：x 三一2 y 为k 一严格凸的集值映射，s ( 口) 是凸的集值映射， 如果对任意的口上，妒 ( 口) ，q ) c p c ( q ) + k ，并且存在a e l ，使p e ( q ) c 口一k ，则 集值映射p e ( q ) 在口i n t 三相对于p i n t k ：是k - b e n s o n 次可微的 证明：任取吼，q 2 e l ，弘妒 ( q 1 ) ，q 1 ) ，y z 矿 ( 吼) ，吼) ，o t a 1 ，则存在 而s ( q 1 ) ，屯s ( 吼) ，使得 于是 y l 妒“，q 1 ) ，y 2 烈而，鼋2 ) ， a ) + ( 1 一a ) y 2 妒( j ；l h + ( 1 一a 为吃，a q l + ( 1 一a ，如) ，( 3 1 1 4 ) 由s ( q ) 的凸性和妒是k 一严格凸的可得 坝+ ( 1 一a 溉烈s ( 确+ ( 1 一a 娩) ，她+ ( 1 一a 娩) + i n t k ，0 1 1 5 ) 因此妒( s ( n q ) 在l 上是k 一严格凸的 第3 章参数扰动和序扰动集值优化的次微分稳定性 另一方面，由p e ( q ) 的定义，我们有e e ( q ) c 妒 国) ，g ) 任取毛e p e ( q ，) ， 乞p e ( q 2 ) ，o a 1 由式0 1 1 5 ) ，我们有 五五+ ( 1 一 弦z 庐( s ( a “+ ( 1 一 ) 吼) ，札+ ( 1 一a ) 区) + 缅t x ， 再注意到 妒( s ( 孽) q ) c 尸e ( 叮) + j ， 我们有 红+ ( 1 一a ) 2 ：咫( 弛+ ( 1 一a 碗) + i m k + k ， 于是， z 1 + ( 1 一a k e p e ( _ a , + ( 1 一工) 窖2 ) + i n t k ， 因此，朋国) 在l 上是置一严格凸的 另一方面，由驴( s ( q ) 彩c p e ( 碍) + k 和p e ( q ) c ( s ( 鼋) ，g ) ，有 妒( s q ) ，9 ) c 彤0 ) + k c 妒侈0 ) ，碍) + 蜀 由假设腿( q ) 一j 氇 q ) q ) k ) 一g ，q e l ，易知e 0 q ) ，g ) 鬈) 聋g ，因此。 由引理3 1 1 ，易得 e ( 朋国) ，k ) - e ( p e ( q ) + k ，j r ( ) 一e p 国) d ，j p - 彩， 由定理3 1 1 知结论成立 3 2 序扰动集值优化的次微分稳定性 设x ，r 为局部凸h a u s d o r f f 空间，y 为赋范空间，k c y 为闭、凸点锥， b c k 为锥k 的基，集合v c t 为凸集定义集值映射e ，：矿一2 r 为 砟一) ；咫似，k ( v ) ) ， 考虑y 中的序扰动集值优化问题( s o p ) 第3 章参数扰动和序扰动集值优化的次微分稳定性 嚣鬃j ， 其中集值映射f ：x 一2 r 是严格凸的，y 中的扰动序由内部非空的闭、凸点锥 r ( v ) cy ( y y ) 确定记由f 似) c r 的k ( o b c n s o n 真有效点集确定的集值映 射为 也( v ) p e ( f ( a ) , k ( v ) ) , v e v ， 引理3 2 1 1 2 1 】设爿c y 是非空集合，若一是k 一半连续集，则e ，k ) # a ， 如果f ：x 一矿是k 一半连续的。则f ( x ) 是k 一半紧集 定理3 2 1 设v c t 是非空凸集，k ( v ) c y 是内部非空的闭、凸、点锥， v e v ，p i n t r ( v - ) ，若4 c y 是k ( v - ) 一半紧的和k ( 力一严格凸的，对任意的y y ， 有4 c 砟o ) + 置( 矿) ，e a r ) c a 一联乃，则集值映射q o ) 在任何点v i n t y 处相 对于p 是r ( v o b c n s o n 次可微的 证明：任取h y ，v z v , y l e ( h ) c 么，y 1 e ( 吃) c 彳，o a 1 ，由己知a 是 k ( 乃严格凸的，有 拟+ ( 1 一a 溉c a + i n t 甄刃， 因矿是凸集，故机+ ( 1 一a ) v 2 p ，y m 于a c 辱o ) + k ( 力， a 乃+ ( 1 一a ) ) ，2 c a