（应用数学专业论文）平面多项式向量场的局部与全局分叉.pdf

摘要 平面多项式向量场的分叉理论是常微分方程定性理论的重要研究领域之一， 主要研究依赖于参数的向量场的全局轨线拓扑结构随参数变化的规律。就平面向 量场的分叉理论而言，极限环分叉的研究已成为人们关注的热点，具有极其重要 的理论价值和实际应用价值。著名的h i l b e n 第1 6 个问题的第二部分就是研究平 面多项式向量场能产生的极限环的最大个数以及它们之间的相对位置关系。近年 来，引起众多的常微分方程和动力系统专家的广泛兴趣。 本文研究了平面多项式向量场的全局与局部分叉，旨在研究高次平面非线性 动力系统多极限环的存在性以及极限环的个数及其相对位置关系；并研究了多极 限环分叉理论在机械系统方面的应用，主要内容如下： ( 1 ) 综述了平面多项式向量场全局与局部分叉的发展历史、国内外研究现 状、进展及工程应用背景； ( 2 ) 介绍了极限环、平面多项式向量场的分叉、乙。等变向量场等概念以及 平面多项式向量场局部与全局分叉的研究方法； ( 3 ) 研究了一类具有z 2 一等变性的5 次平面多项式向量场的全局与局部分 叉。利用非线性动力系统分叉理论，得到该系统在两组控制条件下极限环的个数 及其相对位置关系； ( 4 ) 研究了一类含有未扰参数的一般平面非线性系统，给出了由未扰参数决 定的分叉集，以及在不同的分叉集里的1 5 组相图结构；研究了参数在其中一分 叉集里取值时受扰h 锄订t o n 系统的局部与全局分叉，给出了在不同扰动条件下 系统的极限环个数及其分布构型；本文还进一步研究了平面多项式向量场分叉理 论在非线性机械系统中的应用，讨论了含参数激励和外激励的非线性机械系统的 局部与全局分叉，这一结果对机械振动中相应的控制问题有重要的理论指导意 义。 最后，给出了结论与展望，概述了本文所获得的主要研究成果，并指出进一 步研究的方向。 关键词乃等变平面多项式向量场；h i l b e n 第十六问题；h o p f 分叉；同宿 异宿分叉；全局与局部分叉 北京工业大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t t h cb i 胁c a t i o nt h e o r yo ft h ep l a n ep o l y n o m i a lv e c t o rf i e l d si so n ei m p o r t a l l t r e s e a r c hd o m a 抽o ft h em e o r yo fo r d i n a r yd i f i 打e n t i a le q u a i i o n t h eb i f u r c a t i o n so f l i m i tc y c l e sw h i c hh a v ei m p o r t a 工1 tm e o r yv a l u e sa n da p p l yv a l u e 8a r eg e n e r a l l y a c k n o w l e d g e da st 1 1 eh o ta r e a so ft h er e s e a r c hw o r k t h es e c o n dp a r to ft h e 加n o u s h i l b e r t16 t hp r o b l e mi sa b o u tt h em a x i m a ln u m b e ra n dr e l a t i v ed i s p o s i t i o n so fl i m i t c y c l e so f t h ep l a n a rp o l y n o m i a lv e c t o r 五e l d t h e1 0 c a la n d9 1 0 b a lb i 缸a t i o n so ft h ep l a n a rp o l y l l o m i a lv e c t o r 丘e l d sa r e c o n s i d e r e d t h em a i na i mo ft h i sd i s s e r t a t i o ni st os t u d yt h ee x i s to fl i m i tc y c l e so f p l a n en o n l i n e a rd y n a m i cs y s t e mo f h i 曲d e 孕e ea n dt h en u i r l b e ra 工l dt h ec o n f i g u r a t i o n s o fl i m i tc y c l e s t h i sd i s s e r t a t i o na l s od i s c u s s e st h eb i f 时c a t i o nt h e o r y sa p p l i c a t i o no n t h en o n l i n e a rd y n 锄i cs y s t e m t h em a j o rw o r l ( so fm i sd i s s e r t a t i o nm a i n l ya r ea s f o l l o w s ： ( 1 ) t h ed e v e l o p m e n th i s t o r y r e s e a r c hd e v e l o p m e n t ，a c h i e v e m e n t sa n dm e 印p l y b a c k 莎o u n di ne n 百n e 嘶n go ft h el o c a la n dg l o b a lb i f u r c a t i o n sm e o r yo ft l l ep l a n e p 0 1 y n o m i a lv e c t o rf i e l d sa r es u m m a r i z e d ； ( 2 ) t h ec o n c e p t so fl i m i tc y c l e s ，t h eb i f i l r c a t i o n so fp l a n ep o l y n o m i a lv e c t o r 矗e l d sa n d 乙一e q u i v 蒯a n tv e c t o rf i e l d sa r ei n t r o d u c e d t h em e t h o d s 亿rs t u d y i n gt 1 1 e l o c a la n dg l o b a lb i f h r c a t i o n so f p l a n ep 0 1 y n o m i a lv e c t o rf i e l d sa r ea l s oi n t r o d u c e d ( 3 ) t h el o c a la i l dg l o b a lb i f u r c a t i o n so faz 2 一e q u i v a r i a n tp e n u r b e dp o l y n o m i a l h 锄i l t o n i a i lp l a l l ep 0 1 y n o m i a lv e c t o rf i e l d so fd e g r e e5a r ec o n s i d e r e d u t i l i z i n gt h e b i f h r c a t i o nt h e o r yo fn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m ，t h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l e1 i m i t c y c i e sa n dt h en m b e r sa n dr e l a t i v ep o s i t i o no ft h el i m i tc y c i e so ft h i ss y s t e ma r e o b t a i n e d ( 4 ) a g e n e r i cn o n l i n e a rs y s t e mw i 廿1u n p e r t u r b e dp a r 锄e t e r si sa l s od i s c u s s e d t h ec u n r e sd e c i d e db ym eu i l p e n u r b e dp a r 锄e t e r sp a n i t i o nt l l e ( a ，b ) 一p l a n e 血o15 d i f f b r e n tr e g i o n s a n dt h ef i r e e nd i f f 色r e n tp h a s ep o n r a i t sa r ea l s og i v e n t h en u m b e r o fl i m i tc y c l e sa 工1 dt h ec o n 丘g u r a t i 。丑u n d c rd i f f e r e n tc o n t r o lc d i t i o n sa r eg 如e n t h e b i n r c a t i o n so fm u l t i p l e1 i m i tc y c l e so ft h es y s t e mw i t ho n l yo n ep e r t u r b e dt 锄a r e a l s od i s c u s s e d f i l l a l l y ，w ed i s c u s s e dt h ea p p l i c a t i o no ft h eb i f l l r c a t i o n t h e o r yo n n o i l l i l l e a rm e c h a n i c a ls y s t e m ap a r 锄e 埘c a l l ya n de x t e m a l l ye x c i t e dm e c h a n i c a l i i s y s t c mi ss t u d i e d f i n a l l h i nc o n c l u s i o na n dp r o s p e c t ，w es u m m a r i z et h em a i nr e s e a r c h a c h i e v e m e t sa i l dp o i n to u tm e 蛐e rr e s e a r c hd i r e c t i o n k e y w o r d ：z 2 一e q u i v a 打a n tp l a l l a rp o l y n o m i a lv e c t o rf i e l d s ，h i l b e r t s1 6 也p r o b l e m ， h o p fb i f c a t i o n ，h o m o c l i i l i ca 1 1 dh e t e r o c l i n i cb i f m a t i o n ，1 0 c a la i l dg l o b a l b i f i l r c a t i o n i i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：生翌盔垄日期： 关于论文使用授权的说明 2 e o 1s 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规 签名：缝耋! 盔导师签名：日期：翌! ：! ：f r 第1 章绪论 本章综述了平面多项式向量场全局与局部分叉的发展历史、国内外研究现 状、进展及工程应用背景，给出了本文研究的主要内容。 1 1 前言 平面多项式向量场的分叉理论是常微分方程定性理论的重要研究领域之一， 丰要研究依赖于参数的向量场的全局轨线拓扑结构随参数变化的规律。近半个世 纪以来，随着在结构稳定系统的研究中所取得的突破性进展，对结构不稳定系统， 也即分叉系统的研究，受到越来越多的研究者的关注。数学上作为研究分叉现 象的理论一分叉理论主要研究三类问题：由常微分方程或向量场所定义的连续动 力系统的分叉；由映射所定义的离散动力系统的分叉；函数方程的零解随参数变 化而产生的分叉。前两类分叉称为动态分叉，第三类分叉称为静态分叉。本文研 究第一类即向量场所定义的连续动力系统的分叉。 动力系统通常可用以下的常微分方程组 豢_ ，( x ) 出。 来描述。其中x = ( j 。z 。) 7 r ”是h 维向量，表示系统的状态，而 ，( z ) = ( ( z ) ，2 ( x ) ，一， ( x ) ) 2 是n 维向量场，由系统所遵循的某些规律决定。 上式右端不显含时间，所以是定常的动力系统。 当h = 2 时，厂( x ) = ( 工( x ) ， ( z ) ) 7e r2 称为平面向量场。 对于平面向量场的分又理论而言，最为人们所关注的是极限环分叉，也就是 研究当系统中的参数作微小变化时，极限环的产生和消失问题。平面向量场极限 环的产生有四种可能：细焦点分叉( 也称h o p f 分叉) ；多重极限环分叉；奇闭轨分 叉( 分为同宿轨分叉或者异宿轨分叉两种) 和周期环域分叉。 自h p o i n c a r c 在论文微分方程所定义的积分曲线中发现极限环后，它 立即受到这位著名数学家的特别重视。正如hp o i n c a r e 所预见的，极限环在微 分方程定性理论中扮演了“一个重要的角色”。经过一百多年蓬勃的发展，它已 经成为从事许多学科和尖端技术研究的不可缺少的数学工具，它的思想和技巧也 经成为从事许多学科和尖端技术研究的不可缺少的数学工具，它的思想和技巧也 北京工业大学理学硕士学位论文 已渗透到数学以及其它很多分支，包括自动控制理论、航天技术、生物学、医学、 经济学等。 经典动力系统的理论已经获得了非常成功的应用。人们对于天体和行星的运 行，原子弹爆炸的半经典行为，宇航员登陆月球等所实现的精确预报和成功观测 等，已成为动力系统理论研究与应用中最为成功的例子。 极限环分叉之所以引起人们的特别关注，一方面它有很大的实际应用价值， 对于生态数学，生化数学，流行病学等微分模型的分析研究都离不开对极限环的 研究。如果微分动力系统存在稳定极限环，这就说明此系统有动态稳定的情况出 现，如果微分动力系统不存在极限环，但有稳定奇点，这就说明此系统有静态稳 定的情况出现；一方面它又有很大的理论价值，1 9 0 0 年的第一届世界数学家大 会上，著名数学家h i l b e n 在展望二十世纪数学的未来时提出了一系列的数学难 题3 1 ，其中第1 6 个问题由两部分组成：第一部分是研究”次代数曲线的具有最 大闭分支数时的相对位置关系以及非奇异实代数丛的相应研究，传统上，这是实 代数几何学者的研究课题；第二部分涉及到极限环问题，研究平面多项式向量场 譬= 只( ) ，譬= q 。( 工，y ) 峨) “l “f 能产生的极限环的最大个数以及它们之间的相对位置关系。 为了研究一个方程是否存在极限环以及极限环有何性质，hp o i n c a r e 以及其 后的d u l a c 等建立了一些最基本的理论和方法。h p o i n c a r c 首先提出了地形系法、 后继函数法、小参数法和环域定理等重要的理论，并且人为的造出许多的例子来 检验这些方法的效果。与此同时hp o i n c a r e 也已经注意到研究极限环与解决微 分方程积分曲线族的全局结构问题之间的密切关系。 关于极限环的研究大体上分两个方面，一个方面是关于极限环的存在性，稳 定性，个数以及它们之间的相对位置等问题；另一方面是关于极限环随系统中的 参数的变化而产生或消失的问题。关于极限环存在性问题的研究相对多一些，唯 一性问题的工作就比较少，至于个数问题和相对位置问题难度比较大，已有的工 作屈指可数【5 1 。 1 9 7 7 年，俄国数学家a m o l d 【6 】又提出了弱化的h i l b 哦第1 6 问题： 考虑系统( e 1 1 ) 的一种特殊情形，即h 吼i l t o n 扰动系统： 妾：塑掣+ p ( w )( a ) 2 第1 苹绪论 宰：掣+ y ) ( 1 - 1 b ) i()x 其中，g 是小参数，o 叫 l ，h ( z ，y ) ，p ( z ，y ) ，q ( 葺y ) 都是z 和y 的 实系数多项式，d e g 日( z ，y ) = m + 1 ，m a x d e g p ( 工，y ) ，d e g q ( 工，y ) n ，记为使 实代数曲线日( 工，y ) = 有一个紧分支l 的所有a 值的集合，定义函数 广 4 ( a ) = i q “，y ) 出十p ( z ，y ) 咖， ( 1 - 2 ) j h 为系统( 1 1 ) 的一个a b e l 积分。确定a b e l 积分的零点个数的上界z ，n ) 称为弱 化的h i m e n 第1 6 问题。 这一研究方向目前已有的工作大部分集中在m = 2 及m = 3 的情形，其研究 大致分为两类：一类是取定较小的n 值，即对低次扰动，给出a b e l 积分的零点 个数的上确界。这一方面，最简单的情形是m = 2 ，即= 2 ，此时系统( 1 2 ) 对应二 次向量场。另一类是固定且而p ，q 为任意的n 次扰动，给出z ( m ，n ) 的上界 估计。 迄今为止，对全体h 次平面多项式向量场而言，其极限环个数的一致上界如 何估计( 哪怕是否有限) ，即使对h = 2 这种最简单的非线性情形，仍然是一个未知 的问题，其极限环的相对位置更没有解决。s s m a l e 认为，对这个问题的研究可 能是h i l b e n 的2 3 个问题中最困难的一个问题，可见这是对数学工作者的一个重 大挑战。 1 2 平面多项式向量场的多极限环分叉的研究现状 自h i l b e n 第1 6 问题提出以来，引起了越来越多的数学家的关注，特别是最 近几十年，随着计算机技术的发展，关于极限环的分叉问题出现了大量的研究成 果。对于二次系统的h i l b e n 第1 6 问题，很多数学家都在这方面做过贡献。其中 最好的结果有1 9 7 9 年史松龄【7 】和陈兰荪、王明淑【8 1 分别举出了平面二次系统至少 存在四个极限环的例子，破除了平面二次系统极限环个数的上界是3 的传统猜 测，对n = 2 时的h i l b e n 第1 6 问题是一个极大的推进。c h a i l 等人9 研究了含有 两个或三个参数的二次平面多项式微分系统的极限环分叉。给池了参数决定的不 同区域中的分叉曲线，在不同的区域下可以得到不同个数的极限环。c h e n 等人【1 0 】 给出了n _ 2 情形下的弱h i l b e n 第十六问题的统一的证明方法。u 对于含有2 北京工业大学理学硕士学位论文 个细焦点的有界二次系统存在( 1 ，1 ) 一结构的极限环，在2 阶细焦点的周围不存在 极限环。s c n 【i n a n 和t 0 t h 【“1 给出了在一个双分子系统中不存在极限环的新的而 且直接的证明，这个证明是在带有二次齐次多项式扰动项的向量场上运用了分类 定理。2 0 0 1 年，c h a n 等人研究了具体的二次微分系统，在一个奇点周围找到 了3 个极限环。d 啪o r t i e r 1 4 总结了对于有界二次系统已有的结论并研究了其局 部分叉。 自1 9 8 4 年以来，l i l l 5 1 1 7 1 为了寻找三次系统从一族闭轨线分又出多少个极限 环以及它们可能有多少种不同形式的分布，做了很多的工作，给出日( 3 ) 1 1 的 结论。g 和h o n g 1 8 1 研究了含有9 次扰动项的三次h 锄i l t o n 系统的极限环分叉， 得到了1 4 个极限环。z a n ”】等人研究了三次扰动项下的三次近h 姗i l t o n 系统极 限环的个数，得到9 1 1 个极限环，并运用分叉理论和定性分析的方法给出了它 们之间的分布构型。“u 和w e n 【2 0 】研究了三次多项式系统的多极限环分叉，证明 了系统存在1 2 个极限环。z h a i l g 等人【2 i 研究了四次扰动项下的三次系统的极限 环个数，运用分叉理论与定性分析，得到系统存在1 5 个极限环，并给出结论 日( 4 ) 1 5 。z h a n g 【2 2 考虑了含有四次扰动项的三次系统，发现存在1 5 个极限环。 y h 和h a i l 【2 3 指出了3 次平面系统存在1 2 个小极限环，该系统具有z 对称性， 并且原点是鞍点或者是结点或焦点，且存在关于原点对称的两个焦点，指出这样 的z ，等变向量场可以存在1 2 个极限环，以前猜测的存在1 4 或1 6 个极限环是 不可能的。 h u a n g 和l i n 【2 4 1 研究了一类五次多项式系统在无穷远点处的多极限环分叉。 h e 2 5 】给出了寻找非线性系统极限环分叉曲线的一个简单且有效的方法。l i u 等人 【2 6 】利用定性分析和数值模拟相结合的方法研究了受扰的五次h 锄i l t o n 系统的极 限环分叉，首先得到未扰系统的相图，并对闭轨线进行分类，然后利用判定函数 得到扰动后系统的判定曲线和极限环的个数及其分布。z h a n g 等人【2 7 1 研究了带有 5 次非线性项的简支悬臂梁在轴向激励下的多极限环分叉和余维3 退化分叉。 z h a n g 和y u 【2 8 1 研究了一类具有参数激励和外激励的动力系统的局部和全局分叉， 利用多尺度法和规范形的理论，指出这类系统具有同宿异宿分叉和多极限环分 叉，并详细的讨论了余维3 退化分叉。s h a n g 和h a l l 研究了一种含扰动项的五 次系统，利用多参数扰动理论和和定性分析得到了5 个极限环。 此外，x i a n g 和h a n l 3u j 研究了一族多项式系统的极限环个数问题，利用分叉 4 第1 章绪论 理论和m e l l l i k o v 方法，得到全局分叉下极限环的最大个数。w a n 矿1 给出了计算 l v l l i l o v 量的复算法，并给出了不含2 次项的4 次系统存在1 1 个极限环的例子。 l i 和z h a n g 3 2 1 给出了一种研究两个a _ b e l i a l l 积分单调性的方法。d m o r t i e r 【3 3 证明 了一般的l i e n a r d 方程存在一个极限环，并给出了全局分叉图以及相图的分类。 i l i e v 和p e r k o 【3 4 】证明了如果“6 n a r d 系统中的三个参数是小参数的解析函数， 这个系统至少有3 个极限环。h a n 【3 5 】研究了在一系列扰动下从一个h a m i l t o n 系统 的周期轨道处分叉的极限环，得到了至少存在一个，两个或三个极限环的结果。 r o b b i o 【3 6 根据谐波平衡法，非线性反馈系统理论和单值矩阵给出了一个算法并运 用这种算法研究了某个奇点附近向量场的极限环分叉，并指出这个算法可用于从 其他复奇点产生的极限环的分叉分析l i 等人【3 7 - 3 9 1 分别研究了其闭轨为二次、三 次、四次曲线的二次非h a m i l t o n 可积系统，给出了这些系统a b e l 积分零点个数 的线性估计。与之相关的带有二次扰动的可积非h a m i l t o n 二次系统的研究，可 参看文献 4 0 一4 2 。 由于平面多项式向量场的分叉与对称性有密切关系，因此研究具有最大中心 数的对称h 锄i l t o n 系统可以得到更多的极限环，据此，1 9 8 3 年，l i 等人4 3 4 5 1 运 用研究等变向量场的全局和局部分叉相统一的判定函数法，在数值分析工具的帮 助下，通过参数控制，指出对高次多项式系统可以获得非常有趣的极限环分布和 尽可能多的极限环个数。运用判定函数法，l i 等人i ：4 6 ，4 7 1 还研究了z 。等变的5 次受 扰平面h a m i l t o n i 姐多项式向量场( g = 2 ，3 ) ，至少可以得到2 3 个极限环。“等人 4 8 研究了z 6 等变的扰动平面h a m i l t o n 多项式向量场至少存在2 4 个极限环。c h e n 等 人证明了z 2 一等变的5 次扰动平面存在2 9 个极限环。最近，l i 【5 0 】在综述报告中 给出了关于h i l b e r t 第1 6 问题的研究进展和判定函数法。z h a i l g 等人 5 1 给出了一个 例子证明以前猜测的含有4 次扰动项的3 次h a m i l t o n 系统存在1 4 或1 5 个极限环是 不可能的。l i 和z h o u 【5 2 j 研究了 4 9 中的同样的系统，并给出了5 组控制条件得 到了2 0 2 3 个极限环。l i 等人 5 习研究了变刚度主动式电磁轴承系统非线性动力学 模型得多极限环分叉的情况，在8 组参数控制条件下得到不同的极限环个数及其 分布构型。l i 5 4 】在【5 3 的基础上还研究了系统在一般单扰动情形下的多极限环分 叉，得到2 8 个极限环及其分布构型。l i 和m i a o 5 目研究了一类具有z 2 等变性质的5 次扰动平面h a m i l t o n 向量场，利用动力系统的分叉理论和判定函数法，通过控制 其参数，得到系统在两组不同的参数条件下的极限环个数以及它们之间相对位置 的不同构型。l i 等人【56 把非线性系统分叉理论应用到一个实际的机械系统上，研 北京工业大学理学硕士学位论文 究了参数激励和外激励下的一般机械系统的多极限环分又，该系统可以代表船舶 在横浪或纵向波作用下的横摇运动和柔性悬臂粱在轴向载荷作用下的振动问题。 1 3 课题来源 本课题来源于国家自然科学基金( 1 0 3 7 2 0 0 8 ) 项目和北京市自然科学基金 ( 3 0 3 2 0 0 6 ) 项目。 1 4 本文的研究内容和主要成果 本文利用平面多项式向量场分又理论和判定函数法，研究了高次平面多项式 向量场局部与全局分叉，旨在研究非线性动力系统多极限环的存在性以及极限环 的个数及其相对位置关系；并讨论了平面多项式向量场分叉理论在机械系统方面 的应用，给出禽参数激励和外激励的一般非线性机械系统的局部与全局分叉。 本文共分为四章： 第一章是绪论，综述了平面多项式向量场多极限环分叉的研究现状、进展、 以及取得的成果，并给出本论文的主要研究内容。 第二章是预备知识，介绍了极限环、平面系统的分叉以及z 。一等变向量场等 概念和多极限环分叉的研究方法，给出了阿贝尔积分和判定函数的概念。 第三章研究一类具有z ，对称性的二维平面多项式向量场的多极限环分叉。 运用平面多项式向量场的分叉理论与判定函数法，通过参量控制，得到系统在两 组精确的参数控制条件下，可以产生2 0 和2 3 个极限环，以及它们之间相对位置 的不同构型，这结果对机械振动中相应的控制问题有重要的理论指导意义。 第四章研究了一类含有未扰参数的一般平面非线性系统，给出了由未扰参数 决定的分叉集，以及在不同的分叉集里的1 5 组相图结构；研究了参数在其中一 分叉集里取值时受扰h a n l i n o n 系统的局部与全局分叉，在2 组参数控制条件下 得到系统存在2 l 和2 3 个极限环，并给出了其分布构型及精确的控制参数。本章 还进一步研究了系统在单扰动下的局部与全局分叉，得到系统在2 组参数控制条 件下极限环的个数及其分布构型。最后把平面多项式向量场分叉理论应用到含参 数激励和外激励的一般非线性机械系统。 最后，在结论与展望中，概述了本文所获得的主要研究成果和创新点，并指 出进一步研究的方向。 第2 章预备知识 第2 章预备知识 本章介绍了课题研究的预备知识，介绍了极限环、平面系统的分叉、毛一等 变向量场等概念以及平面多项式向量场多极限环分叉的研究方法。 2 1 平面系统的分叉 考虑平面自治系统 等= p ( z ，y )( 2 1 a ) “ 譬= q ( x ，y ) ( 2 1 b ) “ 其中z ，y ，f 为实变量，p ，q 为x ，y 的连续单值实函数，且保证解的唯一性。 定义2 1 系统( 2 1 ) 的孤立闭轨线三称为极限环。亦即存在三的环状邻域， 使在u 内系统( 2 1 ) 不存在异于工的闭轨线。若u 内的其它轨线当f _ + o 。( 或 f 专一m ) 时都盘旋逼近于三，则称l 为稳定( 或不稳定) ；若u 内上两侧的轨线的一 侧当 斗+ m 时逼近于三，另一侧的轨线当f _ 一。时逼近于厶则称上为半稳定 极限环。 结构不稳定的系统就称为分叉系统，或简称为分叉( b i f w c a t i o n ) 。 就平面系统而言，分叉现象可以出现在一个奇点邻近，那么该奇点相应的一 次近似系统的特征根或具有零实部，即出现一对纯虚根，这时相应的奇点为中心 或细焦点，系统经摄动以后其邻近的拓扑性态就会发生变化，如果在此奇点外围 邻近出现了极限环，这种类型的分叉就称为细焦点分叉，也称为h o p f 分叉；或 具有零特征根，这时相应具有高阶奇点，系统经摄动后，其形态会发生变化，奇 点可能会分裂为几个且伴随着极限环的出现，这种分叉现象中最基本的一个称为 b o 四a n o v r i 钛e n s 分叉。 分叉系统也可以具有鞍点之间的连接轨线，如果当f 一+ 和f _ 一时轨线 的两端均跑向同一鞍点，则鞍点和轨线即组成一同宿奇轨线；如果当f 一+ o 。和 f 一一。时轨线的两端跑向两不同的鞍点，则鞍点和轨线即组成一异宿奇轨线；， 相应的系统就出现同宿( h o m o c l i n i c ) 和异宿( h e t e r o c l i n i c ) 分叉。 北京工业大学理学硕士学位论文 若系统具有一个重极限环，则系统经摄动以后其邻近的拓扑形态也会发生变 化，此极限环消失或分裂出多个极限环，这就是多重极限环分叉。 设某一微分动力系统具有闭轨线族( 如中心点外围的情形) ，闭轨线族除了它 充满全平面的情形之外，它的边界必为奇闭轨线，此奇闭曲线一部分也可能是赤 道弧。此系统经参数微扰后，可能闭轨线族中的某几条闭轨线仍保持为闭轨线， 而其它的闭轨线消失而变成螺旋线，这几条保持孤立的闭轨线就成了极限环。从 闭轨线族分叉出极限环的情况就称为周期环域分叉或p d f m c a r e 分叉。 p d 加c d ，日7 分叉问题可以归结为相应的a b e l 积分的零点个数问题。v a a m 0 1 d 把决定此类a b e l 积分的零点个数问题称之为弱化的h i l b e n 第1 6 问题。_ 尸d 咖c 旭 分叉不像h o p f 分叉那样，其范围只限于在细焦点附近；不像多重极限环分叉那 样，其范围只限于在重环附近；p d f ”c 口，p 分叉出现极限环的范围是在整个周期 环域所在的大范围之内。由于周期环域的边界是奇闭轨，又如果周期环域有中心， 所以p o f n c d ，e 分叉就与奇闭轨和中心联系了起来。 2 2 毛等变向量场 定义2 2 用g 表不作用在胄“上的一个紧的l i e 群， 1 ) 如果中：胄“斗r “是一个映射，且对所有g g 和x r ”有 o ( 影) = g $ ( j ) ，则称。是g 一等变的。 2 ) 如果日：r ”_ r 是一个函数且对所有g g 和x r “有日( 嚣) = 日( x ) ， 则称日是一个g 一不变函数。 3 ) 如果是一个g 一等变映射，则称向量场鲁= 中( z ) 为g 一等变向量场。 4 ) 如果q 是一个整数，z 。是由平面上关于原点逆时针旋转2 叫目所产生的 “e 群，则称z 。为循环群 引理2 1 在变换 z = x + 吵，手= x 一妒， ( 2 - 2 ) 下，向量场 鲁_ p ( ) ，老_ q ( ) ， 变成 去- f ( 啦) ，象坷啦) ， ( 2 - 4 ) 其中p 和q 是多项式。 ，0 ，i ) = p o ，_ y ) + i q b ，y )( 2 5 ) 其中 x = ( z + 三) 2 ，y = ( z 一牙) 2 i( 2 6 ) 定理2 1 向量场( 2 3 ) 是z 。一等变的，当且仅当函数f ( z ，手) 具有形式： f ( z ，驴g 2 ) 抄1 + 比门砂1 ( 2 7 ) 其中g ，和吼是具有复系数的多项式。 定理2 2 向量场( 2 - 3 ) 是z 。一等变的h a m i l t o n 向量场，当且仅当( 2 6 ) 成立且 罢+ 譬；o 一 l ， d 2 定理2 3 ( z 。一不变函数) z 。一不变函数，( z ，手) 具有形式 ，( z ，手) = g “f z l2 ) ；目+ ，( i z i2 ) 手* ( 2 。9 ) 推论2 。l 平面五次乙一等变h a m i l t 。n 向量场中的f ( 2 ，习共有以下5 类： 1 ) 当g = 6 时， f o ，习= b + 6 。h2 + 6 ，吲4 ) 矗+ 爿。手5 ，( 2 1 0 ) 2 ) 当g = 5 时， f ( z ，手) = 瓴+ 6 ：j z l 2 + 6 ，1 2 1 4 ) z f + 4 。牙4 ，( 2 1 1 ) 3 ) 当口= 4 时， f ( z ，i ) = ( 6 ，+ 6 ：盯+ 6 3 i z r ) z i + 4 。三5 + b ；一5 五 ) 三s ， ( 2 _ 1 2 ) 4 ) 当g = 3 时， f ( z ，手) = b + 6 ：1 2 1 2 + 玩h 4 ) z f + 爿。i 5 + 0 ；一4 夏l z l 2 ) 孑z + 爿。z 。， ( 2 1 3 ) 5 ) 当g = 2 时， f o ，习= ( 6 1 + 6 ：h 2 + 岛h 4 ) z r + b 。+ 爿，h 2 ) z ，+ 爿，：s + b 。一3 互2 一五h2 + 4 = 5 + 一互h 2 ) 三， ( 2 1 4 ) 其中，“是实数，4 是复数。 推论2 2 在极坐标下，平面五次z ，一等变h a i h o n 向量场共有以下5 类： 1 ) 当q = 6 时， 譬= r5 ( d 。c o s 6 0 + 6 。s i n 6 e ) ， d f 罢= 6 ，+ 6 ：，2 + r 4 ( 6 ，一口。s i n 6 e + 轧c 。s 6 e ) ( 2 1 5 ) 2 ) 当g = 5 时， 亳一o 。c o s s 。s i n 5 e ) ， 罢= ”畛2 坞，4 ( 6 。c 。s 5 e 玛s i n 5 e ) ， ( 2 1 6 ) 3 ) 当g = 4 时， 亳一眙；山。，2 ) c o s 4 e + g ，椭。r 2 ) s i n a e ， 害呐( 6 ：飞s i n 4 。地c o s 4 e ) + ，4 ( 6 3 + 6 4 4s i n 4 0 + 6 6 4c o s 4 e ) ( 2 1 7 ) 4 ) 当q = 3 时， 象一 o ，c o s 3 e 地s i n 3 。) 眠s i n 3 e 地6 c o s 3 e ) + r 3 0 4c o s 6 0 + 6 4s i n 6 0 ) ， 祟= 6 。+ ，( 6 ，c o s 3 e 飞s i n 3 。) + 6 ：，2 + r 3 ( 5 6 s i n 3 。+ 5 6 。c o s 3 e ) + r 4 3 一口4s i n 6 0 + 6 4c o s 6 e ) ， ( 2 1 8 ) 5 ) 当g = 2 时， 砉= 哇o 。c 。s 2 e + o 5 玩s i i l 2 0 ) + r 2 ( 一2 。c 。s 2 e + o 5 6 。s i n 2 e + 口9c o s 4 e + 6 9s i n 4 e ) + r 4 ( 一口5c 。s 2 。一4 口7c o s 4 0 + 4 以s i n 4 0 + 口。c o s 6 e + 6 。s i n 6 e ， 1 0 第2 章预备知识 罢= “地c 。s 2 0 _ 0 5 ”i 1 1 2 e ( ”4 吣0 s 2 。+ 2 5 i n 2 e 一 9s i n 4 e + 6 9c o s 4 0 ) + ，4 ( 6 3 + 3 6 5c o s 2 e + 2 日5s i n 2 e + 6 d 7s i n 4 e + 6 6 7c o s 4 0 一d 8s i n 6 0 + 6 8c o s 6 e ) 。( 2 1 9 ) 2 _ 3 多极限环分叉研究方法 令日( x ，y ) 是m 维实多项式，尸( x ，y ) ，q ( x ，y ) 是m 维实多项式。 考虑h 锄i l t o n 系统： 鲁一等，去= 罢 p z 卉却西撕 、7 和扰动系统 害：一罢+ p ( ，九) ， ( 2 _ 2 1a ) 班却 。、 害：罢+ 她y ，九) ， ( 2 1 2 l b ) 功缸”一一7 其中假定o e o ，九协。) o ， 则系统( 2 2 3 ) 在r ，r k 附近分别有一个极限环，且在r 附近是稳定的，在r “ 附近是不稳定的； ( i i i ) 如果s 包含一个点( ，九。) 且九( ) = 矿( ) - - = 水1 1 ( ) = o ， ”5 ( ) o ，则系统( 2 2 3 ) 在r 。附近最多存在世个极限环； ( 呐如果s 为空集，则系统( 2 2 3 ) 没有极限环。 ( 2 ) ( 同宿异宿环的分叉参数) 对于o o ( o ) ，( 2 - 2 7 ) 则有 九( 矗2 ) = j i m 九( ) = 一o 。( + o 。) ( 2 2 8 ) 1 2 结论( 4 ) 说明，由鞍点量可以确定判定曲线在r “近旁是上升还是下降的，从而确 定了同宿或异宿分叉的分叉方向。 注1 ： 1 ) 如果当矗增加时，r 6 向内收缩，那么结论1 中极限环的稳定性及( 2 2 8 ) 中”( 瓦) 的符号与所属情况相反； 2 ) 如果有h ( x ，y ) = 矗，向( 瓦，瓦) 所定义的曲线r 6 由m 个具有z ：一等变性 的闭轨线分量族组成，那么结论l 将同时从玳卜闭曲线族发生全局的极限环分 叉： 3 ) 如果( 2 2 3 ) 。：。有若干个不同的周期轨族 r “) 所确定的周期环域，那么通 过计算每一个闭曲线族的判定函数，系统( 2 2 3 ) 关于分叉的全局信息即可得到。 2 4 本章小结 本章介绍了课题研究的预备知识，介绍了极限环、平面系统的分叉、乙一等 变向量场、阿贝尔积分和判定函数等概念以及平面多项式向量场局部与全局分叉 的研究方法。现实生活中，许多事物的发展和运动都具有某些等变( 对称) 性， 作为描述事物发展或运动的动力系统当然也就随之具有某些等变性。特别地，人 们发现等变向量场在分叉理论中起着很熏要的作用。本文所研究的多项式向量场 的局部与全局分叉涉及到等变向量场。 第3 章非线性动力系统的局部与全局分叉 第3 章非线性动力系统的局部与全局分叉 平面多项式向量场的分叉理论是常微分方程定性理论的重要研究领域之一， 主要研究依赖于参数的向量场的